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Download 1 Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional Capítulo 5 – Modelo da Designação Fernando

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  • 1 Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguet Pesquisa Operacional Livro: Introduo Pesquisa Operacional Captulo 5 Modelo da Designao Fernando Marins fmarins@feg.unesp.br Departamento de Produo
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Sumrio 2 Introduo Modelo da Designao Mtodo Hngaro
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Introduo Problema: alocao de recursos disponveis para atividades de interesse de forma a otimizar alguma medida de efetividade do sistema. Exemplos de aplicaes RECURSOATIVIDADECRITRIO OperriosTarefasTempo de execuo CaminhesRotasCusto de transporte MquinasLocaisOperacionalidade VendedoresRegiesVolume de vendas 3
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Introduo Trata-se de um caso particular do Modelo de Transporte Simples com a i = b j = 1. 4 Pode ser resolvido pelo Mtodo Simplex ou pelo Stepping Stone Method. Ser apresentado um algoritmo mais eficiente que explora suas caractersticas particulares: Algoritmo Hngaro.
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Seja a matriz C = (c ij ) de ordem m x m, onde cada valor c ij corresponde ao custo da alocao do recurso i atividade j. Variveis de deciso: x ij = Funo objetivo: Minimizao de CT = custo total de designao Min CT = Restries: sujeito a: 5 Modelo da Designao X ij {0,1} para todo i = 1, 4 e j = 1, 4 (binrias)
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Modelo da Designao - ExemploExemplo Designar 4 operrios [ I, II, III, IV ] para executar 4 tarefas (A, B, C, D) de maneira que o tempo total para o trmino de todas as tarefas seja o menor possvel. Conhece-se o tempo que cada operrio gasta para desempenhar cada uma das 4 tarefas: [ I II III IV ] 6
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet 7 Modelo em Redes A 1 1 1 1 1 1 1 1 B C D I II III IV 5 24 13 7 10 25 3 23 28 9 8 5 10 17 15 3
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Modelo da Designao - Exemplo Como exemplo, uma designao vivel pode ser identificada da forma abaixo : [ I II III IV ] 8 O valor do tempo total de designao associado a esta soluo calculado por: CT = = 5. 1 + 9. 1 + 15. 1 + 23. 1 = 52 Neste caso a matriz X associada com os valores das variveis bsicas X ij corresponde a: X =
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Modelo completo para o exemplo dos operrios e tarefas Variveis de deciso: i = 1, 4 e j = 1,4 X ij = 9 Funo objetivo: Min T = tempo total execuo das tarefas Min T = 5X 11 + 24X 12 + 13X 13 + 7X 14 + 10X 21 + 25X 22 + + 3X 23 + 23X 24 + 28X 31 + 9X 32 + 8X 33 + 5X 34 + + 10X 41 + 17X 42 + 15X 43 + 3X 44
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Modelo completo para o exemplo dos operrios e tarefas Restries: 10 X ij {0,1} para todo i = 1, 4 e j = 1, 4 (binrias) X 11 + X 21 + X 31 + X 41 = 1 X 12 + X 22 + X 32 + X 42 = 1 (para os operrios) X 13 + X 23 + X 33 + X 43 = 1 X 14 + X 24 + X 34 + X 44 = 1 sujeito aX 11 + X 12 + X 13 + X 14 = 1 X 21 + X 22 + X 23 + X 24 = 1 (para as tarefas) X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 1 X 41 + X 42 + X 43 + X 44 = 1
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Mtodo Hngaro para Resoluo Fase 1: Reduo de linhas e colunas da matriz C Objetivo facilitar a identificao das melhores opes de designao (associados com os custos nulos existentes na matriz reduzida). Ir para a Fase 2. Fase 3: Alteraes adicionais na matriz C Necessria se no for obtida uma designao completa na Fase 2. Voltar Fase 2. Fase 2: Identificao de uma Soluo tima Tentar achar uma Designao Completa que utilize as alocaes de recursos atividades associadas aos custos nulos existentes na matriz reduzida. Se no for obtida uma Designao Completa: ir para a Fase 3. 11
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Aplicao do Mtodo Hngaro ao exemplo dos operrios e tarefas Fase 1: fazendo a reduo das linhas: Fase 1: fazendo a reduo das colunas: IIIIIIIVMenor A 5 241375 B1025 3 233 C2898 5 5 D101715 3 3 IIIIIIIV A 0 1982 B722 0 20 C23 4 30 D714120 Menor0400 12
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Aplicao do Mtodo Hngaro ao exemplo dos operrios e tarefas Fase 2: Procurando identificar uma designao completa: A soluo tima ser dada por: X 11 = 1 tarefa A para o operrio I X 23 = 1 tarefa B para o operrio III X 32 = 1 tarefa C para o operrio II X 44 = 1 tarefa D para o operrio IV Tempo timo de execuo das tarefas (ver na matriz original as posies designadas): T* = 5 + 3 + 9 + 3 = 20 IIIIIIIV A[0]1582 B718[0]20 C23[0]30 D71012[0] 13
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Algoritmo Hngaro completo Fase 1: Reduo de Linhas e Colunas Obter a Matriz C Reduzida (I)Subtrair o elemento mnimo de cada linha (e coluna) de todos os elementos daquela linha (e coluna). Ir Fase 2 (Etapa (II)). 14 Fase 2: Identificao de Designao tima na Matriz C Reduzida (II) Examinar linhas e colunas sucessivamente. Para cada linha (coluna) com exatamente um zero no reservado ([0]) ou eliminado ( ) reservar esta posio para uma designao e eliminar os demais zeros da coluna (linha) correspondente. Repetir este processo para as linhas e colunas sem posies reservadas at que todos os zeros tenham sido reservados ([0]) ou eliminados ( ). Se as posies reservadas formarem uma designao completa Soluo tima foi obtida. Parar! Caso contrrio ir a Fase 3 (etapas (III) e (IV))
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Algoritmo Hngaro completo Fase 3: Etapa (III) Proteger os zeros essenciais na Matriz C reduzida (A)Marcar com um asterisco ao lado da tabela todas as linhas sem zeros reservados; (B) Em linhas marcadas, marcar com um asterisco ao lado da tabela todas as colunas que tenham zeros (reservados ou eliminados); (C) Em colunas marcadas, marcar com um asterisco ao lado da tabela todas as linhas que tenham zeros reservados; (D) Repetir (B) e (C) at no se conseguir marcar linhas ou colunas adicionais (E) Cobrir com uma reta cada linha no marcada e cada coluna marcada Ir Fase 3 Etapa (IV) 15
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Algoritmo Hngaro completo Fase 3: Etapa (IV) - Reduo adicional na Matriz C Reduzida (IV) Examinar os elementos no cobertos por retas na etapa (III) e identificar o elemento mnimo. Subtrair este elemento mnimo de todos os elementos no cobertos por retas Somar este elemento mnimo a todos os elementos cobertos por mais de uma reta (nas interseces de duas retas) Manter os demais elementos da matriz como so. Retornar Fase 2. 16
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Comentrios gerais O nmero mnimo de retas necessrias para cobrir todos os zeros da Matriz de Custos Reduzida = nmero mximo de designaes possvel com os zeros disponveis. Designaes impossveis: bloquear a posio (colocar um custo muito alto na Funo Objetivo) associada designao impossvel na Matriz C original Matriz de custos no quadrada: adicionar linhas ou colunas fictcias e custos nulos. 17
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Comentrios gerais Problema de maximizao: Multiplicar todos os elementos da matriz C por (-1) Identificar o elemento de maior valor em mdulo Somar o elemento de maior mdulo a todos os elementos da nova matriz de custos (j multiplicada por (-1)) Resolver como se fosse de minimizao 18
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Exemplo de Minimizao O presidente de uma empresa est estudando a transferncia de quatro diretores para quatro locais de trabalho diferentes. Foram feitas estimativas dos custos envolvidos na transferncia de cada diretor para cada novo local de trabalho. Estes custos so dados a seguir: Local 1234 DIRETOR A2142 B3416 C1265 D1337 19
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Exemplo Obter a designao de diretores para locais de trabalho de menor custo. Fase 1: Reduzindo as linhas da matriz C 1234Menor A2 1 421 B34 1 61 C 1 2651 D 1 3371 20
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Exemplo Resoluo do exemplo dos diretores e locais Fase 1: Reduzindo as colunas da matriz C Etapa I 1234 A1031 B2305 C0154 D0226 Menor0001 Ir para Fase 2 21
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Exemplo Fase 2: Tentando identificar uma designao completa Etapa II No foi obtida uma designao completa Ir para a Fase 3. 1234 A1[0]3 B23[0]4 C 153 D 225 22
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Exemplo Fase 3: Etapa (III) - Proteger os Zeros (A): Marcar linha sem Designao 1234Marca A1[0]3 B23[0]4 C 153 D 225* Marca 23
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Exemplo 1234Marca A1[0]3 B23[0]4 C 153 D 225 * Marca * 24 Fase 3: Etapa (III) - Proteger os Zeros (B): Em linha marcada, marcar coluna com zero
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguet Exemplo 1234Marca A1[0]3 B23[0]4 C 153 * D 225 * Marca * 25 Fase 3: Etapa (III) - Proteger os Zeros ( C): Em coluna marcada, marcar linha com zero designado
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  • Pesquisa Operacional - UNESP / Camp

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