PROVA 1 - 1ª FASEPROVA 1 - 1ª FASE

NÍVEL I OLIMPÍADA DEMATEMÁTICADO POLIEDRO

OLIMPÍADA DEMATEMÁTICADO POLIEDROPROVA 1 - 1ª FASEPROVA 1 - 1ª FASE

NÍVEL II OLIMPÍADA DEMATEMÁTICADO POLIEDRO

OLIMPÍADA DEMATEMÁTICADO POLIEDROPROVA 1 - 1ª FASEPROVA 1 - 1ª FASE

NÍVEL III OLIMPÍADA DEMATEMÁTICADO POLIEDRO

OLIMPÍADA DEMATEMÁTICADO POLIEDRO

RESOLUÇÃO

Instruções para a prova

Verifique se este caderno de questões contém um total de 20 questões de múltipla escolha.Caso o caderno apresente alguma diferença, solicite ao fiscal da sala um outro caderno de questões. Não serão aceitas reclamações posteriores.

Para cada questão, existe apenas uma resposta correta.

Você deve ler cuidadosamente cada uma das questões e escolher a alternativa que corresponda à resposta adequada. Essa alternativa (a, b, c, d ou e) deve ser preenchida completamente no item correspondente na folha de respostas que você recebeu, segundo o modelo abaixo. Observe:

Não será permitida nenhuma espécie de CONSULTA, nem o uso de máquina calculadora.

É proibido pedir ou emprestar qualquer material durante a realização da prova.

Você terá 3 horas para responder a todas as questões e preencher a folha de respostas.

Não é permitida a saída antes de 90 minutos de duração da prova.

Boa prova!

A

ERRADO ERRADO ERRADO CORRETOA A A

1

2

3

4

5

6

7

Instruções para a prova

Verifique se este caderno de questões contém um total de 25 questões de múltipla escolha.Caso o caderno apresente alguma diferença, solicite ao fiscal da sala um outro caderno de questões. Não serão aceitas reclamações posteriores.

Para cada questão, existe apenas uma resposta correta.

Você deve ler cuidadosamente cada uma das questões e escolher a alternativa que corresponda à resposta adequada. Essa alternativa (a, b, c, d ou e) deve ser preenchida completamente no item correspondente na folha de respostas que você recebeu, segundo o modelo abaixo. Observe:

Não será permitida nenhuma espécie de CONSULTA, nem o uso de máquina calculadora.

É proibido pedir ou emprestar qualquer material durante a realização da prova.

Você terá 3 horas para responder a todas as questões e preencher a folha de respostas.

Não é permitida a saída antes de 90 minutos de duração da prova.

Boa prova!

A

ERRADO ERRADO ERRADO CORRETOA A A

1

2

3

4

5

6

7

OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO POLIEDRO

Nível I – Prova 1 – 1a fase Página 2 de 4

1 Três irmãos: Aldo, Beto e Caio deveriam pintar juntos o muro do quintal da casa onde moravam. Como estava indisposto, Aldo disse a seus irmãos que começassem o serviço e que ele terminaria no dia seguinte. Se Beto

pintou 13

do muro e mesmo assim fez o dobro do serviço

de Caio, a fração do muro que sobrou para Aldo pintar é:

a) 14

b) 13

c) 12

d) 34

e) 23

2 O jogo de dominó tradicional é composto de 28 pe-ças. Cada peça tem um par de números que vai desde o “zero-zero” até o “seis-seis”, sem que haja duas peças com o mesmo par de números.

Quantas pedras comporiam um jogo de dominó se ele tivesse pedras que fossem desde o “zero-zero” até o “nove-nove”? a) 36 b) 55 c) 72 d) 81 e) 100

3 Considere o polígono entrelaçado da figura a seguir.

1̂

2̂

3̂4̂

5̂6̂

7̂8̂

Podemos afirmar que ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 2 3 4 5 6 7 8+ + + + + + + é igual a: a) 180o

b) 360o c) 270o d) 300o e) 225o

4 O poder de um número natural é calculado dividindo-se esse número em diversas parcelas positivas de forma que o produto de todas essas parcelas seja o máximo possível. Assim, o poder do número 10 é 36 por três motivos:

I. 10 = 3 + 3 + 2 + 2

II. 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 36 III. Não há como obter um produto maior do que 36

multiplicando-se números positivos cuja soma seja igual a 10.

Qual das potenciações a seguir tem resultado igual ao poder do número 2010? a) 21005 b) 3670 c) 5402 d) 6335 e) 10201

5 Na figura abaixo, em que r e s são retas paralelas e t é uma transversal, ficam determinados os ângulos não nulos, que têm medidas em graus dadas pelas expres-

sões 7x; x2 – 2x; 7y 4

2

− e 3z.

y −7 42

x x−2 2

É correto afirmar que:

a) x + y = z b) y < z < x c) y – x = z d) x < y < z e) x + z = y

6 Um pescador fisgou um peixe cuja cabeça tinha comprimento igual a um número inteiro de centímetros, o rabo tinha comprimento igual ao da cabeça mais a meta-de do comprimento do tronco, e o tronco tinha compri-mento igual ao da cabeça mais o rabo. Com essas infor-mações, é possível concluir que o peixe em questão não pode ter comprimento igual a:

a) 24 cm b) 40 cm c) 66 cm d) 80 cm e) 88 cm

7 Se x% de y é igual a 200, então y% de x será igual a:

a) 10 b) 20 c) 50 d) 100 e) 200

8 Oito pessoas vão disputar um torneio de pingue-pongue na forma de eliminatória simples. Ou seja, primeiro serão disputadas quatro partidas simultâneas (quartas de final) cujos vencedores disputarão mais duas partidas semifi-nais, e os vencedores destas se enfrentarão na final. De quantas maneiras diferentes as quatro primeiras partidas desse torneio poderiam ser escolhidas? a) 105 b) 210 c) 720 d) 5040 e) 40320

OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO POLIEDRO

Nível I – Prova 1 – 1a fase Página 3 de 4

9 Um estudante é considerado popular em sua sala de aula se, em qualquer grupo de 5 alunos desta sala que não o contenha, houver pelo menos um aluno que diz ser seu amigo. Portanto, para que um aluno de uma sala com 26 alunos seja considerado popular, o número mínimo de outros alunos que dizem ser amigos dele deve ser: a) 5 b) 10 c) 20 d) 21 e) 22

10 Dados n pontos que dividem uma circunferência em partes iguais, podemos ligá-los por meio de segmentos de diversas maneiras. Cada maneira diferente é designa-da por um número p, chamado de passo, que deve ser menor ou igual à metade do número n. As figuras a seguir apresentam circunferências com 9 pontos ligados, res-pectivamente, com passos 1, 2, 3 e 4.

Uma vez desenhada a circunferência e tomados os nove pontos, note que, nos casos em que p é igual a 1, 2 ou 4, os pontos podem ser ligados sem que se tire o lápis do papel. No entanto, no caso em que p = 3, é necessário tirar o lápis do papel pelo menos três vezes.

Se desenhássemos uma circunferência, tomássemos 2010 de seus pontos e começássemos a ligá-los com passo p = 15, o número máximo de pontos que teríamos ligado até termos de tirar o lápis do papel seria igual a: a) 134 b) 67 c) 45 d) 30 e) 15

11 Quantos números naturais, maiores que 50, têm dois algarismos e aumentam 18 unidades quando invertemos a ordem de seus algarismos? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12 Soninha recebeu sua mesada e dividiu-a em quatro partes: A, B, C e D, de tal forma que cada parte tinha o dobro da quantia da parte anterior.

O dinheiro da parte A, Soninha gastou em doces; o da parte B, usou para comprar material escolar, já o da parte C foi inteiramente gasto em bijuterias.

Depois, Soninha guardou o restante, pois deseja comprar um vestido caro e sabe que procedendo desta maneira, em dois meses terá guardado o valor exato desse vesti-do. Se o vestido custa R$ 160,00, então a mesada de Soninha é de: a) R$ 150,00 b) R$ 140,00 c) R$ 125,00 d) R$ 120,00 e) R$ 100,00

13 Dado um trapézio qualquer, de bases 6 e 8, traça-se paralelamente às bases um segmento de medida x que o divide em outros dois trapézios equivalentes. Podemos afirmar que x vale: a) 6,5

b) 4 3 c) 7

d) 5 2 e) 7,5

14 Aurélio foi ao caixa eletrônico fazer uma retirada com o cartão de seu pai. A senha desse cartão é composta de quatro algarismos e três letras dentre as letras A, B, C, D, E, F, G, H, I e J.

Aurélio lembrava-se dos números que seu pai havia lhe dito, mas se esqueceu das letras.

Aurélio fez um esforço de memória e lembrou-se de que na senha havia uma vogal e duas consoantes iguais. Se Aurélio não se lembrar de mais nada, então terá de efe-tuar um número máximo de tentativas igual a: a) 21 b) 33 c) 42 d) 54 e) 63

15 Marcos começou a escrever os números de 1 a 100 em um quadro da seguinte maneira:

21 22 23 ...

20 7 8 9 10

19 6 1 2 11

18 5 4 3 12

17 16 15 14 13

OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO POLIEDRO

Nível I – Prova 1 – 1a fase Página 4 de 4

Sendo p o maior divisor primo do número 2010 e sabendo que Marcos terminou de escrever todos os números sem cometer nenhum erro, em que linha do quadro ficou escri-to o número p? a) 4a b) 5a c) 6ª d) 7ª e) 8ª

16 AÔB e BÔC são dois ângulos adjacentes de medidas

α e β, respectivamente, com α > β. Sejam OX e OY

as

bissetrizes de ˆ ˆAOB e BOC. Sendo OZ a bissetriz do

ângulo XÔY, podemos afirmar que BÔZ mede:

a) 2

α + β

b) 2

α − β

c) 4

α + β

d) 4

α − β

e) 2

3α + β

17 Existem três números naturais de três algarismos que são simultaneamente múltiplos de 5, 7 e 9. A soma desses três números é igual ao ano de nascimento do escritor Oswald de Andrade. Se estivesse vivo, Oswald de Andrade comemoraria, neste ano, seu aniversário de: a) 90 anos. b) 96 anos. c) 108 anos. d) 112 anos. e) 120 anos.

18 Considere o número = + ⋅ DX A B C , em que os nú-meros A, B, C e D são elementos diferentes do conjunto dos números naturais maiores que 1 e menores que 6. Nessas condições, qual é o menor valor possível para o número X? a) 100 b) 56 c) 41 d) 37 e) 32

19 Nas figuras a seguir, os quadrados Q1, Q2 e Q3 têm lados com o mesmo comprimento x, e as circunferências em cada quadrado têm o mesmo diâmetro x1, x2 e x3, respectivamente. Sejam S1, S2 e S3 as áreas totais ocu-padas pelo conjunto de circunferências em cada quadra-do Q1, Q2 e Q3, respectivamente.

Assinale a alternativa correta. a) S3 > S1 b) S2 > S1 c) S3 > S2 d) S1 = S2 = S3 e) S1 + S2 = S3

20 O diagrama a seguir esquematiza alguns quarteirões de um bairro projetado da cidade de Triangulópolis.

A B

Arnaldo, que mora na esquina indicada pelo ponto A, quer ir de bicicleta até a casa de Bernardo, que mora na esquina designada pelo ponto B. Arnaldo não se importa de fazer o caminho mais curto, mas se nega a entrar em uma rua que o afaste da casa de Bernardo. Sendo assim, quantos caminhos distintos Arnaldo tem à disposição para ir até a casa de Bernardo? a) 10 b) 11 c) 13 d) 15 e) 17