1. (2,0) v f - professores.uff.br · (2,0) v ou f? justifique sua resposta, apresentando uma prova...

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UFF – I NSTITUTO DE MATEM ´ ATICA 13 dezembro 2011. FUNC ¸ ˜ OES COMPLEXAS 2011/2 Prof: Nivaldo. VR 1. (2,0) V ou F? Justifique sua resposta, apresentando uma prova sucinta ou um contra- exemplo, conforme o caso. (a) A func ¸˜ ao f (z )= |z | 2 ao ´ e holomorfa em nenhum ponto do plano complexo. (b) A func ¸˜ ao f : C C dada for f (z )= z 3 ´ e uma func ¸˜ ao sobrejetiva, mas n˜ ao injetiva. (c) Uma func ¸˜ ao inteira que se anula em um conjunto infinito de pontos deve ser a func ¸˜ ao nula. 2. (2,0) Sejam U C um aberto conexo e f : U C uma func ¸˜ ao holomorfa. Mostre que se a imagem de f est´ a contida em R (i.e., f (z ) R, z U ), ent ˜ ao f ´ e constante. 3. (2,0) Calcule as integrais: (a) I 1 = Z |z|=1 sen z cos z z 2 dz (b) I 2 = Z |z|=1 z 4 z 2 - 2 dz . 4. (a) (1,0) Mostre que Z |z|=1 e kz z dz =2πi, para qualquer constante real k. (b) (1,0) Use o resultado do item (a) para mostrar que Z π 0 e k cos t cos(k sen t)dt = π. 5. (2,0) Seja Δ = Δ(0, 1) e f : Δ C uma func ¸˜ ao cont´ ınua e holomorfa em Δ. Suponha que |f (z )| =1 sempre que |z | =1 e que o ´ unico zero de f ´ e a origem. Mostre que f (z )= cz m onde m ´ e um inteiro positivo e c ´ e uma constante com |c| =1. (Palavras- chave: zeros isolados, teorema do m ´ odulo m ´ aximo.) Boa prova!

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UFF – INSTITUTO DE MATEMATICA 13 dezembro 2011.FUNCOES COMPLEXAS 2011/2 Prof: Nivaldo.

VR

1. (2,0) V ou F? Justifique sua resposta, apresentando uma prova sucinta ou um contra-exemplo, conforme o caso.

(a) A funcao f(z) = |z|2 nao e holomorfa em nenhum ponto do plano complexo.

(b) A funcao f : C→ C dada for f(z) = z3 e uma funcao sobrejetiva, mas nao injetiva.

(c) Uma funcao inteira que se anula em um conjunto infinito de pontos deve ser afuncao nula.

2. (2,0) Sejam U ⊂ C um aberto conexo e f : U → C uma funcao holomorfa. Mostre quese a imagem de f esta contida em R (i.e., f(z) ∈ R,∀z ∈ U ), entao f e constante.

3. (2,0) Calcule as integrais:

(a) I1 =

∫|z|=1

sen z cos z

z2dz (b) I2 =

∫|z|=1

z4

z2 − 2dz.

4. (a) (1,0) Mostre que∫|z|=1

ekz

zdz = 2πi, para qualquer constante real k.

(b) (1,0) Use o resultado do item (a) para mostrar que∫ π

0

ek cos t cos(k sen t)dt = π.

5. (2,0) Seja ∆ = ∆(0, 1) e f : ∆→ C uma funcao contınua e holomorfa em ∆. Suponhaque |f(z)| = 1 sempre que |z| = 1 e que o unico zero de f e a origem. Mostre quef(z) = czm onde m e um inteiro positivo e c e uma constante com |c| = 1. (Palavras-chave: zeros isolados, teorema do modulo maximo.)

Boa prova!