08 - escalonamento de sistemas lineares (1)

7/24/2019 08 - Escalonamento de Sistemas Lineares (1)

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CEFET Qumica Unidade MaracanMatemtica 4 perodoProfessora: Bianca da Rocha

email: bdarocha@ahoo!com!br

"#T$%$ $U&$E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$'

(E$RE'

&i*ro: )an+eEdi+ora: ,+ica

Bianca da Rocha -.


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E'C$&"($)"'

)i0emos 1ue um sis+ema es+2 escalonado3 se on4mero de coe5cien+es nulos an+es do 6rimeirocoe5cien+e no7nulo aumen+a de e1ua8o 6ara e1ua8o!

%e9a aluns e;em6los:

Bianca da Rocha -.

Resol*er um sis+ema escalonado < mui+o sim6les! %e9amos o6rimeiro e;em6lo acima! )a +erceira e1ua8o sabemos 1ue 0=>?-!

'ubs+i+uindo na seunda ob+emos = >?- e de6ois3 6ela 6rimera3achamos ; = .! %amos conhecer aora uma +


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TC(#C$ )" E'C$&"($ME(T" Para escalonar um sis+ema ado+amos o seuin+e6rocedimen+o:>7 Fi;amos como 6rimeira e1ua8o uma das 1ue 6ossuemo coe5cien+e da 6rimeira incAni+a diferen+e de 0ero! sealuma for iual a > se +orna mais f2cil

-7 U+ili0ando as 6ro6riedades de sis+emas e1ui*alen+es3anulamos +odos os ce5cien+es das >D incAni+a nasdemais e1ua8es!

7 (o no*o sis+ema e1ui*alen+e ob+ido3 se hou*er uma

e1ua8o com o coe5cien+e da -D incAni+a no7nulo3 elade*er2 ocu6ar o luar da -D e1ua8o e3 a seuir3anularemos +odos os coe5cien+es da seunda incAni+ana D e1ua8o em dian+e!

G7 Re6e+imos o 6rocesso com as demais incAni+as casoBianca da Rocha -.


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E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$'(E$RE'

Bianca da Rocha -.

>H Passo: %amos +rocar a >De1ua8o com a -D3 6ara 1ue o

6rimeiro coe5cien+e de ; se9a>! 6ro6! > dos sis+emase1ui*alen+es

7I

-H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da >D incAni+a a6ar+ir da -D e1ua8o3 a6licando as 6ro6riedades - e dossis+emas e1ui*alen+es!

Para a seunda linha:


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Bianca da Rocha -.

Para a +erceira linha:

H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da -D incAni+a na daD e1ua8o3 a6licando as 6ro6riedades - e dos sis+emase1ui*alen+es!

$ora o nosso sis+ema es+2 escalonado! )e+ermine

ra6idamen+e3 se e;is+ir3 uma solu8o 6ara esse


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Bianca da Rocha -.

>H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da >D incAni+a a 6ar+irda -D e1ua8o!

-H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da -D incAni+a na De1ua8o!

$

4l+ima e1ua8o encon+rada .0=7- no admi+e nenhum *alor rea

6ara 0 1ue sa+isfa8a a iualdade3 loo es+e sis+ema < im6oss*el 7


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Bianca da Rocha -.

>H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da >D incAni+a a 6ar+irda -D e1ua8o!


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Bianca da Rocha -.

-H Passo: $nular +odos os coe5cien+es da -D incAni+a na D

e1ua8o!

$ e1ua8o .0 =. < *erdadeira 6ara 1ual1uer *alor real de 036or+an+o ela 6ode ser su6rimida!

Temos en+o o sis+ema escalonado

Temos 1ue -3.3. < solu8o e 73G3> +amb


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Bianca da Rocha -.

$ -D e1ua8o nos fornece = G03 subs+i+uindo na >D +eremos ;J G0 J0 = - loo ; = - K0 3 assim +odas as in5ni+as 7u6lasda forma - K0 3 G0 3 0 sero solu8es 6ara o sis+ema!

Para anular o coe5cien+e da >D incAni+a na -D linha3 somamos L

seunda linha a 6rimeira linha mul+i6licada 6or 7-! $ ma+ri0encon+rada 2 es+2 escalonada!

> > 7> :7-

- - 7> :>

Para aili0ar os c2lculos3 *amos re6resen+ar as e1ua8es 6orma+ri0es e reali0ar o mesmo 6rocedimen+o de escalonamen+o

na ma+ri0! %e9a:

> > 7> :7-

. . > :K

&embre7se 1ue o

smbolo < dee1ui*alNncia

(o+e 1ue es+e sis+ema no 6ode serde+erminado 6ois +em mais incAni+asdo 1ue e1ua8es! %amos escalonar6ara saber se ele < '# ou 'P#!


10/11Bianca da Rocha -.

$ora sabemos 1ue o sis+ema < 6oss*el e inde+erminado 'P#36ois como 0 = K3 ; J K = - nos fornece ;J = ! &oo 6ara1ual1uer *alor 1ue escolhemos 6ara ;3 usamos O7; 6ara e K6ara 0! $ssim ;3 7;3 K < uma solu8o eral!

E;: >3-3K < solu8o3 3.3K < ou+ra solu8o3 7>3 G3K +amb > 7> :

7-. . > :

K

Es+a ma+ri0 e1ui*ale ao sis+ema

E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$'(E$RE'


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E'C$&"($ME(T" )E '#'TEM$'(E$RE'

Bianca da Rocha -.

> > > : .

- > 7> : .G > > : .

> > > : .. 7> 7 : .. 7 7 : .

> > > : .

. 7> 7 : .. . : .

Temos en+o 0 = .3 subs+i+uindo 0=. na seunda3 +emos: = . esubs+i+uindo esses dois *alores na 6rimeira encon+ramos ;=.3 loo a

4nica solu8o 6ara esse sis+ema < a solu8o +ri*ial .3.3.!

(o+e 1ue +emos um sis+emahomoNneo3 loo .3.3.ser2 solu8o! Mas ser2 1ueela < 4nica

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