07 - linguagens sensiveis ao contexto e recursivamente enumeraveis

LINGUAGENS SENSVEIS AO CONTEXTO E RECURSIVAMENTE

ENUMERVEIS

Prof. Ronaldo R. Goldschmidt [email protected]

HIERARQUIA DE CHOMSKY

O formalismo da MT capaz de reconhecer as seguintes classes de

linguagens:

Classe das Linguagens Recursivamente Enumerveis Composta pelas linguagens L para as quais existe uma MT capaz de determinar se uma

palavra w L. No entanto, se w ~L, o algoritmo pode:

parar, identificando que a palavra no pertence a L

ficar em loop infinito (processando indefinidamente)

MQUINA DE TURING

MT como Reconhecedor de Linguagens

O formalismo da MT capaz de reconhecer as seguintes classes de

linguagens (cont.):

Classe das Linguagens Recursivas Composta pelas linguagens L para as quais existe pelo menos uma MT que sempre pra, capaz de determinar se

uma dada palavra w pertence ou no a L.

MQUINA DE TURING


Classes de Linguagens reconhecidas pelo formalismo da MT:

Linguagens Recursivamente Enumerveis

Linguagens Recursivas

A existncia destas duas classes contradiz a intuio da maioria das pessoas,

pois estabelece que:

Reconhecer o complemento de uma linguagem pode ser impossvel, mesmo

que seja possvel reconhecer a linguagem.

MQUINA DE TURING


Definio: Uma linguagem aceita por uma Mquina de Turing dita ser uma

Linguagem Recursivamente Enumervel ou Linguagem Tipo 0.

Exemplos: As linguagens L1={anbn | n 0}, L2={wcw | w {a,b}

*} e

L3={a2nbcn | n > 0} so recursivamente enumerveis. As respectivas MTs

foram construdas anteriormente.

Observao:

Como, segundo a Hiptese de Church, a MT o mais geral dispositivo de

computao, pode-se afirmar que a classe das linguagens recursivamente

enumerveis representa todas as linguagens que podem ser reconhecidas

(compiladas) mecanicamente. Trata-se, portanto, de uma linguagem muito

rica. Existem, no entanto, conjuntos que no so recursivamente enumerveis,

ou seja, linguagens para as quais no possvel desenvolver uma MT que as

reconhea.

LINGUAGENS RECURSIVAMENTE ENUMERVEIS

Exerccio 1 Mostre que as linguagens abaixo so recursivamente

enumerveis:

a) a*bb*(cc + d)

b) {anbnck / n, k 0}

c) {anbmck / n, m, k 0}

d) {wwR | w {a,b}*}


Teorema: Existe pelo menos uma linguagem que no recursivamente

enumervel.

Demonstrao: (Menezes, 2005, p. 183)

Observao sobre a cardinalidade do Conjunto dos Problemas e a

cardinalidade do Conjunto dos Algoritmos (decorrente do teorema anterior):

Existem mais problemas do que algoritmos para resolv-los.



LINGUAGENS RECURSIVAS

Definio: Uma linguagem L dita ser uma Linguagem Recursiva se existe pelo

menos uma Mquina de Turing M tal que:

ACEITA(M)=L

REJEITA(M)=~L

Observao: Uma linguagem recursiva se existe uma MT que aceita a

linguagem e que sempre pra diante de qualquer entrada.

Exemplos de Linguagens Recursivas:

{anbn | n 0}

{anbncn | n 0}

{w | w {a, b}* e tem o dobro de smbolos a em relao ao nmero de bs}


Exerccio 2 Mostre que as linguagens abaixo so recursivas:

a) abc(a + b + c)*

b) {anbncn | n 0}

c) {w | w {a, b}* e tem o dobro de as em relao ao nmero de bs}


Teorema (Complemento de uma Linguagem Recursiva Recursiva): Se uma

linguagem L sobre um alfabeto qualquer recursiva, ento o seu

complemento ~L tambm uma linguagem recursiva.


Graficamente:

PROPRIEDADES LINGUAGENS R.E. E RECURSIVAS

Teorema: Uma linguagem L sobre um alfabeto qualquer recursiva se, e

somente se, L e ~L so recursivamente enumerveis.


() Direta da definio de linguagem recursiva e do teorema anterior

() Construo da MT abaixo a partir de M1 e M2 tais que ACEITA(M1) = L

e ACEITA(M2) = ~L

Graficamente:


Teorema: A classe das Linguagens Recursivas est contida propriamente na

classe de Linguagens Recursivamente Enumerveis.



Definio: Uma gramtica irrestrita aquela sem quaisquer restries em suas

produes.

Exemplo:

A linguagem {anbncn | n 0} gerada pela seguinte gramtica irrestrita:

G=({S, C},{a, b, c}, P, S), onde:

P={S abc | , ab aabbC, Cb bC, Cc cc}

A palavra aaabbbccc pode ser derivada da seguinte forma:

S abc aabbCc aaabbCbCc aaabbCbcc aaabbbCcc aaabbbccc

A varivel C caminha na palavra at a posio correta para gerar um terminal c.

Existe alguma outra derivao possvel?

Indique uma derivao para a palavra aaaabbbbcccc.

GRAMTICA IRRESTRITA

Teorema: L uma Linguagem Recursivamente Enumervel se, e somente se, L

gerada por uma gramtica irrestrita.

Exemplo:

Como vimos, L = {anbncn | n 0} recursivamente enumervel.

Do exemplo anterior, G = ({S, C},{a, b, c}, P, S), onde:

P={S abc | , ab aabbC, Cb bC, Cc cc}

G uma gramtica irrestrita tal que GERA(G) = L

GRAMTICA IRRESTRITA

LINGUAGENS SENSVEIS AO CONTEXTO

Avanando na hierarquia de Chomsky, seguem as linguagens sensveis ao

contexto (ou linguagem do tipo 1). Como esperado, so linguagens geradas

por gramticas sensveis ao contexto.


Tipo 1 Linguagens Sensveis ao Contexto

Tipo 2 Linguagens Livres de Contexto

Tipo 3 Linguagens Regulares

Definio: Uma gramtica G=(V,T,P,S) chamada Gramtica Sensvel ao

Contexto se toda regra de produo de P for da forma: , onde:

uma palavra de (VT)*

uma palavra de (VT)+ tal que || ||, excetuando-se, eventualmente, para S . Neste caso, S no pode estar presente no lado direito de

qualquer produo.

Observao:

Em uma gramtica sensvel ao contexto, a cada etapa da derivao, o tamanho da palavra derivada no pode diminuir, excetuando-se para gerar a

palavra vazia, se esta pertencer linguagem.


Gramtica Sensvel ao Contexto

Definio: Uma linguagem gerada por uma gramtica sensvel ao contexto

dita ser uma Linguagem Sensvel ao Contexto ou Linguagem do Tipo 1.

Exemplo: Considere a linguagem L = {ww | w palavra de {a,b}*}

Seja a gramtica sensvel ao contexto (veja que G no livre de contexto)

G=({S,X,Y,A,B,aa>,ab>,ba>,bb>}, {a, b}, P, S) na qual:

P={S XY | aa | bb | ,

X XaA | XbB | aa | ab | ba | bb,

Aa aA, Ab bA, AY Ya, Ba aB, Bb bB, BY Yb

a a, b b, Y aa

a a, b b, Y ab

a a, b b, Y ba

a a, b b, Y bb}



Observao:

Nem toda gramtica livre de contexto uma gramtica sensvel ao contexto.

Ex: G=({S}, {a, b}, P, S), onde P={S aSb | }

S produo, mas S ocorre do lado direito de outra produo S aSb



Uma Mquina de Turing com Fita Limitada (MTFL), M um 8-upla da forma

M=(, Q, , q0, F, V, , ) na qual:

um alfabeto de smbolos de entrada

Q um conjunto de estados possveis da mquina, o qual finito

uma funo programa: : Q x (V{, }) Q x (V{, }) x {E, D}

uma funo parcial. Supondo (p,x) Q x V{ , }, resultando no conjunto

{(q1, y1,m1), ..., (qn, yn,mn)} 2 Q x (V{, }) x {E, D}, ento:

(p, x) = {(q1, y1,m1), ..., (qn, yn,mn)} uma transio da mquina

q0 um elemento distinguido de Q, denominado estado inicial.

F um subconjunto de Q, conjunto de estados finais

V um alfabeto auxiliar (pode ser vazio)

o smbolo de incio ou marcador de incio da fita.

o smbolo de fim ou marcador de fim da fita.

Definio Mquina de Turing com Fita Limitada (MTFL)


Seja M=(, Q, , q0, F, V, , ) uma MTFL; A Linguagem Aceita ou

Linguagem Reconhecida por M, denotada por ACEITA(M) ou L(M) o

conjunto de todas as palavras de * aceitas por M a partir do seu estado inicial

q0.

L(M)={w/*(q0,w)F}, onde

* a Funo Programa Estendida

Analogamente, a Linguagem Rejeitada por M:

REJEITA(M)={w/*(q0,w)F ou *(q0,w) indefinida}

Linguagens Aceita, Rejeitada e Loop

A linguagem Loop de M, denotada por LOOP(M) o conjunto de todas as

palavras de * para as quais M fica processando indefinidamente a partir do

estado inicial q0.


Considere a linguagem: L = {ww | w palavra de {a, b}*}

A MTFL M=(, Q, , q0, {qf},V, , ),

onde :

={a,b},

Q={q0, q1, ..., q9, qf}

V = {X, Y},

ilustrada ao lado tal que:

ACEITA(M) = L

e

REJEITA(M) = ~L

Portanto, LOOP(M)=)

Exemplo: MTFL para Palavra Duplicada


L uma linguagem sensvel ao contexto se, e somente se, L reconhecida por

uma Mquina de Turing com Fita Limitada.

Demonstrao: Vide (Menezes, 2005, p. 191)

Exemplo: A linguagem L (Palavra Duplicada) do exemplo anterior uma

linguagem sensvel ao contexto pois reconhecida por uma MTFL.

Teorema


Atividades Prticas

Lista de Exerccios VI

Leituras Recomendadas

Cap. 8 Paulo Blauth Menezes

Cap. 5 Marcus Ramos


07 - linguagens sensiveis ao contexto e recursivamente enumeraveis

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