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8/17/2019 06_modelos_ARDL

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ECONOMETŔIA II:

ECONOMETŔIA DE SERIES TEMPORALES

Modelos econométricos dinámicos uniecuacionales

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Introducción:

• Hemos estudiado modelos de tipo:

→ y t = φ0 +p

i =1 φi y t −i +q

j =0 θ j t − j

→ y t = β xt + u t

• Ahora vamos a estudiar

y t = µ +

p

i =1γ i y t −i +

r

j =0β r x t − j + t t ∼ WN (0, σ

2)

en más detalle

• Este modelo se llama un modelo autoregresivo con retardosdistribuidos y se denota ARDL(p , r ) (ARDL = ”Autoregressive

Distributed Lag”)

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Introducción (cont.):

• Un modelo ARDL(p , r ) sin la parte AR(p ) se denota DL(r ). Esdecir, un modelo DL(r ) tiene la forma

y t = µ +

r j =0

γ j x t − j + t , t ∼ WN (0, σ2)

• Existen modelos ARDL(p , r ) más generales con términos MA. Esdecir, que tienen la forma

y t = µ +p

i =1

γ i y t −i +r

j =0

β r x t − j +q

j =0

θ j t − j t ∼ WN (0, σ2)

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El modelo ARDL(p , r ):

• Con el operador retardo el modelo ARDL(p , r ), sin constante, se

puede escribir como

(1 − γ 1L − · · · − γ p Lr )y t = (β 0 + β 1L · · · + β r L

r )x t + t

C (L)y t = B (L)x t + t

• Un modelo ARDL(p , r ) se puede representar como un modeloDL(∞):

C (L)y t = B (L)x t + t

y t = B (L)

C (L) x t + 1

C (L)t

y t = D (L) x t + ηt

y t =∞

j =0δ j x t − j + ηt

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El modelo ARDL(p , r ) (cont.):

• Nota: El error {ηt } ya no es ruido blanco; ahora estáautocorrelado

• Estabilidad de un modelo ARDL(p , r ):

→ todas las ráıces caracteŕısticas están dentro del ćırculo unidad(⇔ todas las ráıces del polinomo C (L) están fuera del ćırculounidad)

• Es decir, que todas las ráıces del polinomo

1 − γ 1z − γ 2z 2 − · · · − γ p z

p = 0

están fuera del ćırculo unidad, o que todas sus inversas 1z

estándentro del ćırculo unidad

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El modelo ARDL(p , r ) (cont.):

• La estabilidad no implica que la suma

∞

j =0 δ j


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Multiplicadores, el retardo medio y el retardo mediano:

• Definición: multiplicador de impacto. El multiplicador deimpacto (multiplicador contemporáneo), denotado m0, representael cambio en y t en el periodo t ante una variación unitaria de lavariable exógena x t en el periodo t

• Es decir

m0 = ∂ y t

∂ x t

= δ 0

• Definición: multiplicador de retardo j . El multiplicador deretardo j , denotado m j , representa el cambio en y t en el periodo t ante una variación unitaria de la variable exógena x t − j en elperiodo t − j

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Multiplicadores, etc. (cont.):

• Es decir

m j = ∂ y t ∂ x t − j

= δ j

• Definición: multiplicador total. El multiplicador total,denotado mT , es la suma de todos los multiplicadoresm0,m1,m2, . . .

• Es decir

mT =

∞

j =0 m j

=

∞

j =0 δ j

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• Definición: retardo medio. El retardo medio se define como lamedia, ponderada por el retardo, de todos los coeficientes delpolinomio D (L):

Retardo medio: m =

∞

j =0 j δ j ∞

j =0 δ j

• Idea intuitiva del retardo medio: informa si el impacto de x t en

y t está concentrado/diluido en el tiempo

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• Definición: retardo mediano. El retardo mediano se definecomo el instante en el que se alcanza el 50% del impacto total quese produce en y t debido a una variación en x t :

Retardo mediano: q̇ = minq

q j =0 δ j ∞

j =0 δ j ≥ 0.5

• En palabras: el valor ḿınimo de q tal quePq

j =0 δ j P∞

j =0 δ j ≥ 0.5

• Interpretación económica del retardo medio: informa si elimpacto de x t en y t está concentrado/diluido en el tiempo

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• Ejemplo . Consideramos el modelo ARDL(1,0) siguiente:

y t = 0.8y t −1 + 3x t + t (1)

→ Los polinomios C (L) y B (L) son:

C (L) = 1 − 0.8L

B (L) = 3

→ Ráız caracteŕıstica de (1): 1z

= 0.8

→ Ráız caracteŕıstica del polinomo 1 − 0.8z : z = 10.8

• Conclusión: como

1z

1), entonces (1) es estable

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• Ejemplo (cont.). El polinomio D (L) se obtiene dividiendo B (L)

por C (L):

D (L) = B (L)

C (L) =

3

1 − 0.8L = 3(1 + 0.8L + 0.82L2 + · · · )

= 3 + 2.4L

+ 1.92L2

+ 1.536

L3

+ · · ·= δ 0 + δ 1L + δ 2L

2 + δ 3L3 + · · ·

• Entonces:

m0 = δ 0 = 3m1 = δ 1 = 2.4

...

etc.

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• Ejemplo (cont.):

q = 0 q = 1 q = 2 q = 3

mq

mT

315

5.415

7.3215

8.85615

→ Retardo mediano: q̇ = minq Pq

j =0 δ j P∞

j =0 δ j ≥ 0.5 = 3

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Ejemplos de modelos economicos:

• Modelos económicos: existen varios modelos económicos que sepueden representar como modelos de regresión dinámica

• Ejemplos:

→ modelos con expectativas adaptivas

→ modelos de ajuste parcial

→ modelos de optimización dinámica

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Ejemplos de modelos economicos (cont.):

• Ejemplo de expectativas dinámicas: consideramos

y t = α + β x e ,t +1t + t

con

x e ,t +1t = λx e ,t t −1 + (1 − λ)x t , λ ∈ [0, 1]

donde

→ x e ,t +1t es la ”nueva” expectativa

→ x e ,t t −1 es la expectativa anterior

→ x t es el valor realizado

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• Ejemplo de expectativas dinámicas (cont.):

x e ,t +1t = λx

e ,t t −1 + (1 − λ)x t ⇔

(1 − λL)x e ,t +1t = (1 − λ)x t ⇔

x e ,t +1t = (1 − λ)

1

(1 − λL)x t ⇔

x e ,t +1t = (1 − λ)(x t + λx t −1 + λ

2x t −2 + · · · )

• Nota:

→ λ = 0 ⇒ x e ,t +1t = x t (corrección inmediata)

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• Ejemplo de expectativas dinámicas (cont.):

y t = α + β x e ,t +1t + t ⇔

y t = α + β 1 − λ

1 − λLx t + t ⇔

(1 − λL)y t = (1 − λL)α + β (1 − λ)x t + (1 − λL)t ⇔y t = α

∗ + λy t −1 + β ∗x t +

∗

t

• Es decir, un ARDL(1, 0) donde

→ α∗ = (1 − λ)α

→ β ∗ = β (1 − λ)

→ ∗t = t − λt −1 = MA(1)

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• Ejemplo de un modelo de ajuste parcial:

y t = φ1y t −1 + λ(y ∗

t − y t −1) + t , t ∼ WN (0, σ2)

donde y ∗t = β xt . Es decir, hay un valor ”ancla”, y

∗

t , que depende

de x t

• Entonces:

y t = φ1y t −1 + λ(y ∗

t − y t −1) + t

= (φ1 − λ)y t −1 + λβ xt + t

• Esto es un modelo ARDL(1,0), pero con los {t } noautocorrelados

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Estimación:

• Posibles problemas en la estimación:

1. Multicolinearidad entre regresores

2. Excesivo número de parámetros

3. Correlación entre los regresores y el error

• Los problemas 1 y 2 implican que es aconsejable elegir valorespequeños de p y r para un modelo ARDL(p , r )

• Por ello, el modelo ARDL(1,1) es bastante popular:

y t = µ + γ 1y t −1 + β 0x t + β 1x t −1 + t

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Estimación (cont.):

• Recordamos: si los regresores son correlados con el error, el

método MCO (”OLS”) produce estimaciones sesgadas einconsistentes

• En algunos modelos ARDL(p , r ) los regresores son correlados conel error

• Solución: estimación con variables instrumentales

• Variables instrumentales son variables que:

→ están correladas con el regresor que sustituyen

→ no están correladas con el error

→ ya no forman parte de la regresión

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Estimación (cont.):

• Si Z es la matriz que tiene en sus columnas las observaciones de

las variables explicativas del modelo que no han sido sustituidas, esdecir, la matriz de regresores X y las observaciones de las variablesinstrumentales, entonces una estimacion consistente de β es:

→ β̂ IV = (ZX)−1Zy

• El método de ḿınimos cuadrados en dos etapas (MC2E;”2SLS”)se puede usar para realizar una estimación con variablesinstrumentales

• Primera etapa: regresión de cada regresor correlado con el errordel modelo sobre los instrumentos

• Segunda etapa: regresión de la ecuación original sobre los valoresde ajuste en lugar de los regresores
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