1 METODO DE GAUSS - JORDAN PARA CALCULAR

LA INVERSA DE UNA MATRIZ.

Sea la matriz particionada (A | I) donde A es no singular. Premultiplicando esta matriz por A-1 se obtiene: (A-1.A|A-1 .I) = (I | A-1) , por consiguiente aplicando una sucesión de transformaciones con filas solamente,la matriz A se cambia a I e I se cambia a A-1

Ejemplo: Sea el siguiente sistema de ecuaciones

3X1 + X2 = 95X1 - 2X2 = 4

Este es un sistema de la forma AX = b

la solución de X y la inversa de la matriz base puede obtenerse directamente considerando.

(A-1 (A | I | b) = ( I | A -1 | A-1 b )

Por consiguiente, aplicando una operación de transformación de filas, se obtiene.

Iteración 1 : (se divide la primera fila entre 3, al resultado se multiplica por (-5) y se suma a la segunda fila)

Iteración 2 : (la segunda fila se divide entre -11/3, al resultado se multiplica por (-1/3) y se suma a la primera fila)

esto da X1 = 2 y X2 = 3, la inversa de A es

Es útil conocer los siguientes hechos sobre inversión de matrices:

- Si A es no singular, entonces AT también es no singular y (AT )-1 = (A-1 )T

CAPITULO 2 ASPECTOS DE ALGEBRA LINEAL Y ANALISIS CONVEXO

- Si A y B son matrices no singulares n x n , entonces AB es no singular y (AB)-1 = B-1

A-1

2 ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS

Sea el sistema AX = b y la matriz aumentada (A, b) con m filas y n + 1 columnas.Si el rango de (A, b) es mayor que el rango de A, entonces b no se puede representar como una combinación lineal de a1 , a2 , .... an , y por lo tanto el sistema AX = b no tiene solución (y en particular, el sistema AX = b, X > 0 no tiene solución).

Los casos posibles que pueden ocurrir son:

1.- Rango (A, b) > rango (A), por lo tanto, AX = b no tiene solución2.- Rango (A, b) = rango (A) = k = n, solo existe una solución para el sistema.3.- Rango (A, b) = rango (A) = k < n, en consecuencia existe un número infinito de

soluciones al sistema AX = b

Ejemplos:

caso 1 X1 + X2 = 82X1 + X2 = 133X1 + 2X2 = 15

Restando la tercera fila con la suma de las dos primeras se tiene:

La tercera fila de A es linealmente independiente de las dos primeras, por consiguiente:

Rango de (A) = 2Rango de (A,b) = 3 yAX = b no tiene solución

caso 2X1 + X2 = 82X1 + X2 = 13

2

CAPITULO 2 ASPECTOS DE ALGEBRA LINEAL Y ANALISIS CONVEXO

Reduciendo filas se tiene:

por consiguiente X1 = 5 y X2 = 3

caso 3

X1 + X2 + X3 = 82X1 + X2 = 13

Sea X3 equivalente a un valor arbitrario , entonces X1 = 5 + y X2 = 3 - 2.

Dado que puede adquirir cualquier valor, se tiene que el número de soluciones es infinito.Si se asume que el valor de una de las variables, de las ecuaciones simultáneas del caso 3, es cero se tiene que las soluciones básicas se reducen a las siguientes:

SOLUCIONES BÁSICAS

NUMERO VARIABLES VARIABLES NO SOLUCIÓN BÁSICAS BÁSICAS

X1 X2 X3

1 X1 X2 X3 5 3 0 2 X1 X3 X2 6.5 0 1.5 3 X2 X3 X1 0 13 -5

XB = Variables básicasXN = Variables No Básicas

En general, para un sistema de m ecuaciones simultáneas y de “n” variables, si se hace igual a cero las (n-m) variables se tiene que el número de soluciones básicas es:

3

CAPITULO 2 ASPECTOS DE ALGEBRA LINEAL Y ANALISIS CONVEXO

del ejemplo anterior, m = 2 y n = 3 el número de soluciones es:

3 CONJUNTOS CONVEXOS

Un conjunto X se llama convexo, si dados 2 puntos X1 y X2, en X, se cumple que X1 + (1 - )X2 X, donde 0 1, a ésta expresión se le denomina combinación convexa de X1 y X2.

Dicho de otra manera, un conjunto X es convexo sí y sólo sí el segmento determinado por cualquier par de puntos de X esta incluído en X.

En la siguiente figura se muestra un ejemplo de conjunto convexo y de un conjunto no convexo.

X X1

X X2

X1

X2

CONJUNTO CONVEXO CONJUNTO NO CONVEXO

3.1 Puntos extremos

Son aquellos que no pueden ser representados como una combinación convexa, ejemplo:

X1

X2 X3

X1, X2, X3, son puntos extremos de la figura.

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CAPITULO 2 ASPECTOS DE ALGEBRA LINEAL Y ANALISIS CONVEXO

3.2 Hiperplano

Es aquel que divide a En en dos regiones llamadas semiespacios.

3.3 Conjunto poliédrico

Es la iteracción de un número finito de semiespacios.

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