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Linha

Vectortangente erecta tangente

Comprimentode uma linha

Integral delinha decampo escalar

Integrais de LinhaAnalise Matematica 2

Sandra Gaspar [email protected]

2o Semestre 2011/12versao de 16 de Maio de 2012

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Quais destas linhas sao graficos de funcoes?(Cada objecto tem uma so imagem.)

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Equacoes parametricas da curva Cde R2

Definicao

Seja C uma curva/linha de R2 tal que{x = f (t)y = g(t)

, t ∈ I = [a, b] ⊂ R,

com f e g funcoes contınuas em I. A t chama-se a variavel ouparametro.

A orientacao da curva C corresponde ao sentido definido pelosvalores crescentes de t no intervalo I .

Ao ponto (x , y) correspondente a t = 0 chama-se origem ouponto de partida e ao correspondente a t = b chama-seextremidade ou ponto de chegada da curva.

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Outra forma de descrever a curva C e utilizando funcoesvectoriais:

~r : I = [a, b] −→ R2

t 7−→ ~r(t) = (f (t), g(t))

~r(a) e a origem ou ponto de partida e~r(b) e a extremidade ou ponto de chegada de C.

Exemplo: Represente geometricamente a curva C:

~r : [−1, 1] −→ R2

t 7−→ ~r(t) = (t, t2)

ou seja, {x = ty = t2

, t ∈ I = [−1, 1]

ou seja,

~r(t) = (t, t2), t ∈ [−1, 1] 3/24

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Exercıcios

Represente geometricamente as curvas:

1 ~r(t) = (t, t2), t ∈ [0, 2]

2 ~r(t) = (t, sin(t)), t ∈ [0, π]

3 ~r(t) = (t,√t), t ∈ [0, 9]

4 ~r(t) = (t, t + 3), t ∈ [0, 5]

5 ~r(t) = (t, t), t ∈ [0, 2]

6 ~r(t) = (t,−t), t ∈ [0, 2]

7 ~r(t) = (1 + 2t, 2 + t), t ∈ [0, 1]

8 ~r(t) = (t − 1, 3t + 2), t ∈ [0, 2]

9 ~r(t) = (t + 1, t2 + 3), t ∈ [0, 2]

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Exercıcios


1 ~r(t) = (3 cos(t), 3 sin(t)), t ∈ [0, 2π]

2 ~r(t) = (2 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [0, π]

3 ~r(t) = (cos(t)− 2, sin(t) + 3), t ∈ [0, π2 ]

4 ~r(t) = (sin(t), cos(t)), t ∈ [0, 2π]

5 ~r(t) = (5 cos(t), 4 sin(t)), t ∈ [π, 2π]

6 ~r(t) = (cos(t), sin(t)), t ∈ [−π, π3 ]

7 ~r(t) = (cos(t)− 4, sin(t) + 2), t ∈ [−π2 , 0]

8 ~r(t) = (2 sin(t), 2 cos(t)), t ∈ [0, π]

9 ~r(t) = (sin(t)− 1, cos(t) + 3), t ∈ [π2 , 2π]

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Definicao

Uma parametrizacao de um segmento de recta com origemem A e extremidade em B, pode ser:

~r(t) = A + t( ~AB), t ∈ [0, 1].

Definicao

Seja C uma curva dada pelo caminho ~r(t), t ∈ [a, b] comorigem em A = ~r(A) e extremidade em B = ~r(B). A curva −C(com origem em B e extremidade em A) e dada pelo caminhoinverso de ~r , ~r∗, obtem-se se ~r substituindo t por −t, ou seja,

~r∗(t) = ~r(−t), t ∈ [−b,−a]

.Exemplo: Parametrize o segmento de recta de R2 que comecaem (0,1) e termina em (2,3) e o caminho inverso.

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Exercıcios I

Parametrize as seguintes curvas e as curvas inversas:

1 O segmento de recta que comeca em (1,2) e termina em(-1,-3).

2 A parte da recta y = 2x para x ∈ [−2, 3].

3 A parte do grafico da funcao f (x) = ex2 − 1 para

x ∈ [0, 1].

4 As linhas que se seguem:

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Exercıcios II

Nota: Repare que a parametrizacao nao e unica.

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Equacoes parametricas da curva Cde R3

Definicao

Seja C uma curva/linha de R3 tal quex = f (t)y = g(t)z = h(t)

, t ∈ I = [a, b] ⊂ R,

ou seja,

~r : I = [a, b] −→ R3

t 7−→ ~r(t) = (f (t), g(t), h(t))

ou seja,

~r(t) = (f (t), g(t), h(t)), t ∈ [a, b]

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Exercıcios


1 ~r(t) = (0, 2, 2t), t ∈ [−1, 1]

2 ~r(t) = (0, t, 2t + 1), t ∈ [0, 3]

3 ~r(t) = (t, 5, t − 3), t ∈ [−2, 2]

4 ~r(t) = (cos(t), sin(t), 2), t ∈ [0, 2π]

5 Helice circular:~r(t) = (cos(t), sin(t), t), t ∈ [0, 4π]

6 Helice elıptica:~r(t) = (2 cos(t), 3 sin(t), t), t ∈ [0, 4π]

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Exercıcios

Parametrize as linhas de R3 indicadas na figura seguinte querepresenta o cilindro

{(x , y , z) ∈ R3 : x2 + y2 = 9, 0 ≤ z ≤ 5}

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Classificacao de curvas

Definicao

Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].A curva C diz-se fechada se a origem coincide com aextremidade, ou seja, ~r(a) = ~r(b). Caso contrario a curvadiz-se aberta.

A curva C diz-se simples se nao se intersecta a si propria(excluindo a origem e a extremidade).

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ExemploClassifique a curva

~r(t) = (sin(t), sin(2t)), t ∈[−π

2,

3π

2

]

Nota: Curvas de Lissajous1

~r(t) = (sin(nt), sin(mt)), m, n ∈ N

1http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve13/24

http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve

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Vector tangente e recta tangente

Definicao

Seja C uma curva de Rn dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Designa-se por vector tangente a curva C no pontoP0 = ~r(t0) a derivada

~r ′(t0) = limh→0

~r(t0 + h)−~r(t0)

h, t0 ∈]a, b[

quando existe e e nao nula.

A recta tangente a curva em P0 = ~r(t0) e dada por:

~rT (t) = ~r(t0) + t~r ′(t0), t ∈ R

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1 Considere o caminho, ~r(t), que leva de A = (1, 0) paraB = (−1, 0), ao longo de uma circunferencia de equacao

x2 + y2 = 1

em sentido directo (anti-horario). Determine a equacao darecta tangente a curva no ponto (0,1).

2 Considere o caminho, ~r(t), que leva de A = (1, 0) paraB = (0, 2), ao longo de uma elipse de equacao

x2 +y2

4= 1

em sentido directo (anti-horario). Determine a equacao darecta tangente a curva no ponto correspondente a t = π

4 .

3 Determine a recta tangente a curva representada pelafuncao

~r(t) = (2 cos(t), 2 sin(t), t)

no ponto t0 = π4 .

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Definicao

Uma curva C de Rn dada por ~r(t), t ∈ [a, b] diz-se regularse a derivada ~r ′(t) existe e e contınua (o que significa que~r(t) ∈ C 1) e nao nula em ]a, b[.

C e seccionalmente regular se se puder dividir num numerofinito de curvas regulares.

Nota: Se um caminho e regular, a curva por ele descrita naoapresenta bicos nem esquinas angulosas pois a derivada evoluisem variacoes bruscas de direccao ou sentido.

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Aplicacoes

Se ~r(t) der origem a uma curva que traduz o movimento deum corpo ou partıcula, ~r ′(t) correspondera ao vectorvelocidade, ou seja,

~v(t) = ~r ′(t).

O vector aceleracao sera

~a(t) = ~v ′(t) = ~r ′′(t).

Exemplo: Considere um objecto que se move ao longo de umacurva C dada por

~r(t) = (t − 2, t2).

Determine os vectores velocidade e aceleracao nos instantest = 0 e t = 1. Represente-os.

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Comprimento de uma linha

Definicao

Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Chamamos comprimento da linha/curva C com origem emA = ~r(a) e extremidade B = ~r(b) ao integral

lC =

∫ b

a

∥∥~r ′(t)∥∥ dt

Definicao

Uma curva diz-se rectificavel se tiver comprimento finito.

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Exercıcios1 Prove que o perımetro de uma circunferencia de raio R e

2πR.2 Determine k de modo que o comprimento da recta

y = −2x + 1 entre 0 e k seja 2.3 Considere

~r(t) = 4 sin(t)~e1 + 3t ~e2 + 4 cos(t)~e3, t ∈ [0, π]

Esboce a curva e calcule o seu comprimento. (R : 5π)4 Determine o comprimento da curva C de equacoes

parametricas {x = et cos(t)y = et sin(t)

, t ∈[0,π

2

]5 Determine o comprimento do arco de curva dado por

x = aet cos(t)y = aet sin(t)

z = aet

desde (a, o, a) ate (−aeπ, 0, aeπ). R:√

3a(eπ − 1)19/24

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Definicao

Seja C uma curva dada por ~r(t), t ∈ [a, b].Seja f : Df ⊂ Rn −→ R um campo escalar contınuo cujodomınio Df contem todos os pontos da curva CChamamos integral de linha do campo escalar f ao longo dacurva C ao integral∫

Cf dS =

∫ b

af (~r(t))

∥∥~r ′(t)∥∥ dt

Notas:

S e o comprimento infinitesimo do arco, ou seja,S =

∫‖~r ′(t)‖ dt logo dS

dt = ‖~r ′(t)‖ portantodS = ‖~r ′(t)‖ dtQuando a curva e fechada o integral de linha representa-sepor ∮

Cf dS

e designa-se por circulacao.Este integral nao depende da parametrizacao escolhidapara C.

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Propriedades

Propriedades dos integrais de linha de campos escalares:Seja f e g campos escalares contınuos com Df ,Dg ⊂ Rn eC curva regular totalmente contida em Df ∩ Dg .C1 e C2 curvas regulares totalmente contidas em Df .α, β ∈ R.

1 ∫Cαf + βg dS = α

∫Cf dS + β

∫Cg dS

2 ∫C1∪C2

f dS =

∫C1f dS +

∫C2f dS

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Exercıcios I

1 Calcule∫C f dS onde C e a linha da figura:

2 Calcule∫C y dS onde C e a meia circunferencia de raio 2

centrada na origem percorrida desde o ponto (2,0) ate aoponto (-2,0). (R: 8)

3 Calcule∫C 2√x − y dS onde C e o semento de recta com

origem em (0,0) e extremidade em (1,1). (R:5√2

6 )

4 Calcule∫C x + z dS onde C e o segmento de recta que tem

origem em (0,2,3) e termina em (2,1,0). (R:5√142 )

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Exercıcios II

5 Calcule∫C x + y + z dS onde C e a linha de equacao

parametrica x = cos(t)y = sin(t)z = t

entre os pontos (1,0,0) e (1,0,2π).

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Autora:Sandra Gaspar Martins

Com base no trabalho de:Nuno David Lopes

eCristina Januario

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