04matematica d semi marcao

Incluso para a vida Matemtica D

Pr-Vestibular da UFSC 1

UNIDADE 1

REGRA DE TRS

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas so ditas diretamente proporcionais quando o

aumento uma delas implica no aumento da outra na mesma

razo.

Exemplo: 1 kg de alimento custa R$ 15,00

3 kg de alimento custam R$ 45,00

5kg de alimento custam R$ 75,00

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas so ditas inversamente proporcionais quando o

aumento der uma delas implica na diminuio da outra na

mesma razo.

Exemplo: 2 pessoas constroem 1 obra em 18 dias

4 pessoas constroem a mesma obra em 9 dias

6 pessoas constroem a mesma obra em 6 dias

APLICAES REGRA DE TRS

Regra de Trs Simples

Regra de Trs Simples um processo matemtico mediante o

qual podemos resolver problemas do cotidiano envolvendo

duas grandezas, sejam elas direta ou inversamente proporcionais. Este processo consiste no seguinte:

Identificar as grandezas envolvidas no problema.

Nas situaes dadas (em relao s mesmas) disp-las em colunas.

Verificar se so GDP ou GIP.

Montar a proporo correspondente.

Resolver a proporo.

Regra de Trs Composta

Regra de trs composta um processo matemtico mediante o

qual podemos resolver problemas do cotidiano, envolvendo trs

ou mais grandezas. O processo semelhante ao caso anterior

(Regra de trs simples), levando em considerao apenas o item

da verificao quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito da

seguinte maneira: analisar as grandezas duas a duas, sempre em

relao que possui a varivel. A montagem e resoluo da

proporo seguem o mesmo roteiro do caso anterior (Regra de

Trs Simples).

PORCENTAGEM

PORCENTAGEM

As razes cujos denominadores so iguais a 100 so chamadas

razes centesimais.

Exemplo: ;100

27;

100

13 etc.

Noo Intuitiva

O ndice de analfabetismo da cidade x de 23% (l-se 23 por cento). Significa que, em mdia, 23 de cada 100 habitantes so analfabetos.

Clculo de uma porcentagem

Exemplo: 25% de R$ 80,00 R$ 20,00

pois 25% = 100

25= 0,25

Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00

Definio

Porcentagem uma razo centesimal que representada pelo

smbolo % que significa por cento.

Exerccios de Sala

1. Se 12Kg de um certo produto custa R$ 600,00, qual o preo de 25Kg do mesmo produto?

2. Sabendo que 36 operrios conseguem construir uma casa em 30 dias, se dispomos apenas de 12 desses operrios, em quanto

tempo ser construda a mesma casa?

3. Calcular

a) 60% de 30 b) 30% de 20

c) 20% de 300 d) 20% de 20%

e) (20%)2 f) %4

4. Numa cidade, 240 000 jovens representam 30% da populao. Ento a populao da cidade de:

a) 500 000 habitantes b) 600 000 habitantes

c) 700 000 habitantes d) 800 000 habitantes

e) 900 000 habitantes

Tarefa Mnima

1. Se trinta litros de um combustvel custam R$ 16,95, quantos custaro oitenta litros do mesmo combustvel?

2. Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma casa, quanto tempo levaro para constru-la 10 pedreiros?

3. Um acampamento com 80 pessoas tem suprimento para dez dias. Sabendo-se que chegaram mais vinte soldados, pergunta-

se: para quantos dias tero suprimentos, considerando-os

inalterveis?

4. Calcular as seguintes porcentagens:

a) 25% de 80 b) 4% de 50

c) 120% de 200 d) 0,15% de 400

e) 20% de 30% f) (5%)2

g) %49

5. Numa sala de 80 alunos, 24 alunos foram aprovados. A porcentagem de reprovao foi de:

a) 30% b) 40% c) 50%

d) 60% e) 70%

Matemtica D Incluso para a Vida


6. (UFSC) Ao vestibular de 1982 da UFSC, inscreveram-se 15.325 candidatos, dos quais 14.099 concluram todas as provas.

O percentual de absteno foi:

7. Qual o preo de uma mercadoria que custava R$ 80,00 e teve um aumento de 40%?

a) 110,00 b) 112,00 c) 114,00

d) 116,00 e) 98,00

8. (CESCEM-SP) 3% de 0,009 vale:

a) 0,00027 b) 0,0027 c) 0,00009

d) 0,009 e) n.d.a.

Tarefa Complementar

9. (UNIMEP-SP) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos so necessrios:

a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos

d) 5 gatos e) 6 gatos

10. Dezesseis operrios trabalhando seis horas por dia constroem uma residncia em cento e oitenta dias. Quantos

operrios sero necessrios para fazer a mesma residncia,

trabalhando oito horas por dia durante cento e vinte dias?

a) 18 b) 10 c) 19

d) 20 e) 21

11. Durante 11 dias, 15 cavalos consomem 2200 kg de alfafa. Retirando-se 7 cavalos, 1280 kg de alfafa sero

consumidos em quantos dias?

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

12. (UFSC) Com uma lata de tinta possvel pintar 50 m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2, gasta-se uma lata e mais

uma parte de uma segunda lata. A parte que se gasta da segunda

lata, em porcentagem, :

13. (UFSC) Pedro investiu R$ 1.500,00 em aes. Aps algum tempo, vendeu essas aes por R$ 2.100,00. Determine o

percentual de aumento obtido em seu capital inicial.

14. (UFSC) Um reservatrio contendo 120 litros de gua apresentava um ndice de salinidade de 12%. Devido

evaporao, esse ndice subiu para 15%. Determinar, em litros, o

volume de gua evaporada.

15. (UFSC) Assinale a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) CORRETA(S).

01. Um investidor tem seu dinheiro aplicado a 2% ao ms.

Deseja comprar um bem no valor de R$100.000,00, que pode

ser pago a vista ou em trs parcelas de R$ 34.000,00, sendo a

primeira de entrada e as outras em 30 e 60 dias. Ele sair

lucrando se fizer a compra parcelada.

02. Obter 7 acertos numa prova de 12 questes um

desempenho inferior a obter 6 acertos numa prova de 10

questes, porm superior a obter 5 acertos numa prova de 9

questes.

04. Duplicando-se o lado de um tringulo eqiltero, sua rea

fica tambm duplicada.

08. Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 5 dias

para fazer determinado trabalho, ento 3 impressoras (com a

mesma eficincia das anteriores) trabalhando 8 horas por dia

levaro 6 dias para fazer o mesmo trabalho.

UNIDADE 2

FATORIAL Dado um nmero natural, denomina-se fatorial de n e indica-se

por n! a expresso:

n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). ......... . 3 . 2 . 1 Assim temos:

5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120

4! = 4. 3. 2. 1 = 24

3! = 3. 2. 1 = 6

2! = 2. 1 = 2

1! = 1 e 0! = 1 (conceito primitivo)

Observao: Podemos desenvolver um fatorial at um fator

conveniente. Veja:

8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 8. 7. 6. 5. 4!

4!

6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6. 5!

5!

n ! = n. (n 1).(n 2) !

PRINCPIO FUNDAMENTAL DA

CONTAGEM FRMULA DO ARRANJO

PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princpio fundamental da contagem, ou princpio

multiplicativo, estabelece um mtodo indireto de contagem de

um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever

todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma:

Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e

independentes de modo que:

E1 o nmero de possibilidades da 1 Etapa

E2 o nmero de possibilidades da 2 Etapa

:

:

En o nmero de possibilidades da n-sima Etapa

Ento E1 . E2 . ......... .Ek o nmero total de possibilidades do

evento ocorrer.

ARRANJO

Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos agora montar os

pares ordenados a partir do conjunto K.

(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3; 4);

(2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3)

Observe que esses agrupamentos diferem



Pela natureza dos elementos componentes: (2, 3) (1,4)

Pela ordem dos elementos: (1, 3) (3, 1)

A esses tipos de agrupamentos denomina-se ARRANJO de n

elementos tomados p a p, e indicado por

.

Definio: Denomina-se arranjo de n elementos tomados p a p

cada grupo ordenado de p elementos escolhidos entre n

disponveis.

FRMULAS PARA O CLCULO DO ARRANJO

ARRANJO COM REPETIO A

* n,p = n

p

Exemplo: Considere o conjunto K = {2, 3, 4, 5, 6}. Quantos

nmeros de 3 algarismos podemos formar a partir de K ?

Resoluo: A*5, 3 = 53 = 125

Logo, podemos formar 125 nmeros de 3 algarismos.

ARRANJO SEM REPETIO (SIMPLES)

Anpn

n p

Exemplo: Considerando o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos

nmeros de 3 algarismos sem repetio podem ser formados?

Resoluo: A5,3 = 5

5 3

5 4 3 2

260

Logo, podemos formar 60 nmeros de 3 algarismos distintos.

Exerccios de Sala

1. Calcular o valor de

a) 10

8 b)

11!

11!12!

2. Resolver as equaes:

a) (n 3) ! = 720 b) n

n

3

120

3. Quatro selees de futebol (Brasil, Espanha, Portugal e Uruguai) disputam um torneio. Quantas e quais so as

possibilidades de classificao para os dois primeiros lugares?

4. Quantas placas para identificao de veculos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras,

supondo que no h nenhuma restrio.)

5. Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Quantos nmeros com quatro algarismos distintos podemos formar a

partir do conjunto K?

Tarefa Mnima

1. Calcular 5

3 2.

2. Resolver as equaes abaixo:

a) (n - 4)! = 120 b) (4x - 6)! -120 = 600

c) (n - 2)! = 720

3. Ache a soluo da equao 12)!3(

!1

x

x

4. Dum ponto A a um ponto B existem 5 caminhos; de B a um terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um quarto ponto

D existem tambm 6 caminhos. Quantos caminhos existem

para ir do ponto A ao ponto D?

a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080

5. Numa olimpada de Matemtica concorrem 100 participantes e sero atribudos dois prmios, um para o 1 lugar

e outro para o 2 lugar. De quantas maneiras podero ser

distribudos esses prmios?

a) 199 b) 200 c) 4.950

d) 9.900 e) 10.000

6. Telefones de uma cidade possui 6 dgitos (1nunca zero). Supondo que a cidade passe a ter 7 dgitos. Qual o aumento no

nmero de telefones?

a) 81.105 b) 8100 c) 90000 d) 90.103

Tarefa Complementar

7. Qual o valor de n que satisfaz a equao

n n

n

1

25

8. Quantas solues possui a equao (x 2)! = 1

9. (UFPA) Simplificando n n

n

1

2 obtm-se:

a) 1

2n b) n + 1

c) n+2 d) 1

1n

e) n

10. (FSBEF-DF) Sendo m m

m

1

2

1

10 e tendo em vista

que m > 0, o valor de m :



11. Se (n 6)! = 720, ento n igual a:

12. (F.Dom Bosco-DF) A expresso 3! 2! 2! equivalente expresso:

a) 12! b) 7! c) 5! d) 5! e) 4!

13. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 pases, as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os pases que

se classificariam nos trs primeiros lugares Se, em cada

tampinha, os trs pases so distintos, quantas tampinhas

diferentes poderiam existir?

a) 69 b) 2.024

c) 9.562 d) 12.144

e) 13.824

14. (UECE) A quantidade de nmeros inteiros compreendidos entre os nmeros 1000 e 4500 que podemos formar utilizando

somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que no figurem

algarismos repetidos, :

15. (PUC-SP) Chamam-se palndromos os nmeros inteiros que no se alteram quando invertida a ordem de seus

algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O nmero total de

palndromos com cinco algarismos :

a) 450 b) 1000

c) 900 d) 2500

e) 5000

UNIDADE 3

TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE II -

PERMUTAES Quando fazemos arranjos de n elementos tomados n a n, sem

repetio, estamos montando grupos com todos os elementos

disponveis. Dizemos que esse tipo de Agrupamento

denominado PERMUTAO de n elementos, e indicado por

Pn. Considere ento, o conjunto K = {1, 2, 3}. As permutaes

com esses elementos so:

(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2),

(3, 2, 1).

FRMULAS PARA O CLCULO DA PERMUTAO

PERMUTAO SIMPLES

Pn = n! Exemplo 1: Quantos nmeros de 4 algarismos

distintos podemos formar com os nmeros usando os algarismos

{ 2, 5, 6, 7}.

Resoluo: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24

Logo, pode-se formar 24 nmeros com 4

algarismos distintos.

Exemplo 2: Calcule o nmero de anagramas da palavra VASCO.

Resoluo: Cada anagrama uma permutao das letras V, A, S,

C e O. Como so 5 letras distintas, o nmero de anagramas

dado por:

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Logo, pode-se formar 120 anagramas com as letras

que compem a palavra VASCO.

PERMUTAO COM REPETIO

Vamos considerar um conjunto com n elementos, dos quais um

dos deles repete vezes, outro vezes e assim por diante, at

que um elemento repita vezes. O nmero de permutaes

possveis dado pela expresso:

Pn.... n

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as letras da

palavra ARARA.

Resoluo: n = 5 = 3 = 2

P53, 2 =

5

3 2=10

Logo, podemos formar 10 anagramas com as letras

que compem a palavra ARARA.

TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE III -

COMBINAES

Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}.

Vamos montar agora os subconjuntos com dois destes

elementos.

{1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}.

Observe que esses agrupamentos diferem

Apenas pela natureza dos elementos componentes: {1, 2} {1, 4}

Mas no diferem pela ordem: {1, 3} = {3, 1}

Esses tipos de agrupamentos so chamados de COMBINAO

de n elementos tomados p a p, e so indicados por

Cnp ou Cnp

.

Definio: Denomina-se combinao de n elementos p a p todo

subconjunto de p elementos.

FRMULA PARA O CLCULO DA COMBINAO O nmero de combinaes simples dos n elementos tomados p a

p dado pela expresso:

Cnpn

n p p

Exemplo: Quantas comisses de 3 pessoas podemos formar com

um grupo de 10 pessoas.



Resoluo: As comisses so subconjuntos de 3 pessoas

escolhidas entre as 10, logo:

C10,3 = 10

10 3 3

10 9 8 7

7 3 21 120

Portanto, podemos formar 120 comisses de 3 pessoas

com um grupo de10 pessoas.

Exerccios de Sala

1. Quantos so os anagramas das palavras:

a) ROMA

b) ESCOLA

c) BANANA.

d) MATEMATICA

2. Quantos so os anagramas da palavra MXICO em que aparecem as letra E e X sempre juntas?

3. Quantas comisses de 2 pessoas podem ser formadas com 5 alunos (A,B,C,D,E) de uma classe?

4. Marcam-se 8 pontos distintos numa circunferncia. Quantos tringulos com vrtices nesses pontos podemos obter?

Tarefa Mnima

1. Quantos nmeros de 4 algarismos distintos podemos formar com os nmeros utilizando os algarismos { 1, 3, 8, 9}.

2. Quantos nmeros diferentes obteremos permutando os algarismos do nmero 336.223?

3. Quantos so os anagramas da palavra SAPO?

4. Determine os nmero de anagramas da palavra CARCAR? (no considere o acento)

5. O valor de x em Cx,3 = 35, :

a) 12 b) 10 c) 7

d) 8 e) 9

6. Quantas comisses constitudas por 4 pessoas podem ser formadas com 10 alunos de uma classe?

a) 210 b) 120 c) 240

d) 100 e) 200

7. Numa circunferncia so tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtm-se uma corda. O

nmero total de cordas assim formadas :

Tarefa Complementar

8. Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, temos as afirmaes:

I - O nmero total deles 720.

II - O nmero dos que terminam com a letra A 25.

III - O nmero dos que comeam com EN 24.

Ento apenas:

a) a afirmao I verdadeira.

b) a afirmao II verdadeira.

c) a afirmao III verdadeira.

d) as afirmaes I e II so verdadeiras.

e) as afirmaes I e III so verdadeiras.

9. (CEFET-PR) O nmero de anagramas da palavra NMERO, em que nem as vogais nem as consoantes fiquem juntas, :

a) 12 b) 36 c) 48

d) 60 e) 72

10. (PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco smbolos, onde cada smbolo

a primeira letra de cada nome. O nmero total de siglas

possveis :

11. Considere um grupo de 3 moas e 4 rapazes. O nmero de comisso de 4 membros, de modo que em cada comisso figure

pelo menos um rapaz, :

12. Os presentes a determinada reunio, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mo. Os

cumprimentos foram em nmero de 66. O nmero de pessoas

presentes reunio :

13. (ACAFE) Diagonal de um polgono convexo o segmento de reta que une dois vrtices no consecutivos do

polgono. Se um polgono convexo tem 9 lados, qual o seu

nmero total de diagonais?

a) 72 b) 63 c) 36

d) 27 e) 18

14. (UFRN) Se o nmero de combinaes de n + 2 elementos 4 a 4 est, para o nmero de combinaes de n elementos 2 a 2, na

razo de 14 para 3, ento n vale:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

UNIDADE 4

NMEROS BINOMIAIS

Dados dois nmeros naturais n e p, denomina-se nmero

binomial de n sobre p e indicado por n

p ao nmero definido

por:

p

n =

p)!(np!

n! com n N, p N e n p

Podemos concluir de imediato que:

a n

01 b)

n

1n c)

n

n1



NMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES Dois nmeros binomiais de mesmo numerador so chamados

complementares quando a soma dos denominadores (classes)

igual ao numerador.

Exemplos:

a)n

p e

n

n p b)

5

2 e

5

3

PROPRIEDADES DOS NMEROS BINOMIAIS

1) Dois nmeros binomiais complementares so

iguais.

Ento se n

k

n

p

k p

ou

k p n

2 RELAO DE STIFFEL

n 1

p 1

n 1

p

n

p

Veja que 5

3

5

4

6

4

TRINGULO DE PASCAL

Vamos dispor agora os nmeros binomiais em um tringulo, de

forma que os binomiais de mesmo numerador fiquem na mesma

linha, e os binomiais de mesmo denominador fiquem na mesma

coluna.

col 0 col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6

linha 0 0

0

1

0

1

1

linha 2 2

0

2

1

2

2

linha 3 3

0

3

1

3

2

3

3

linha 4 4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

5

0

linha

linha 5

1

5

1

5

2

5

3

5

4

5

5

linha 6 6

0

6

1

6

2

6

3

6

4

6

5

6

6

Substituindo cada binomial pelo respectivo valor, temos:

PROPRIEDADES DO TRINGULO DE PASCAL

PRIMEIRA PROPRIEDADE

Todos os elementos da 1 coluna so iguais a 1.

SEGUNDA PROPRIEDADE

O ltimo elemento de cada linha igual a 1.

TERCEIRA PROPRIEDADE Numa linha qualquer dois binomiais eqidistantes dos

extremos so iguais. (binomiais complementares)

QUARTA PROPRIEDADE

Cada binomial n

pda linha n igual soma de dois binomiais

da linha (n - 1); aquele que est na coluna p com aquele que est

na coluna (p - 1).

p

n

p

1n

1p

1n

QUINTA PROPRIEDADE

A soma dos elementos da linha do numerador n igual a 2n.

Linha 0 1 = 20

Linha 1 1 + 1 = 21

Linha 2 1 + 2 + 1 = 22

Linha 3 1 + 3 + 3 + 1 = 23

De uma forma genrica podemos escrever:

Exerccios de Sala

1. Calcule A, sendo A = 4

0

8

2

9

7

10

1

2. Ache o conjunto soluo da equao n 3

221

3. Calcule o valor de:

a)

7

0

7

p p b)

10

0

10

p p c)

8

3

8

p p



4. Resolva a equao: x

15

5

14

4

14

Tarefa Mnima

1. Calcule E, sendo E = 5

2

3

3

5

0

7

1.

2. (UECE) A soma das solues da equao

18

6

18

4 1

x

a) 8 b) 5 c) 6 d) 7

3. (PUC-SP) A soma dos valores que m pode assumir na

igualdade: 17

m 1

17

2m 6

4. Calcule 5

0

5

pp

5. Resolva a equao: 8

6

8

7

9

3x

6. ( Mack-SP ) O valor de

7

2

7

3

7

4

7

5

7

6

7

7:

a) 128 b) 124 c) 120 d) 116 e) 112

Tarefa Complementar

7. (Mack-SP) Considere a seqncia de afirmaes:

. . .15 15 15 15 15 15

I II III1 3 2 13 3x 6

Associando V ou F a cada afirmao, conforme seja

verdadeira ou falsa, tem-se:

a) F, F, V b) F, V, V

c) F, V, F d) F, F, F

e) V, V, V

8. (Fatec-SP) Calcule E de modo que Ep 1

n 1

n 1

p 1

onde p, n N* e p < n

n

o

n n n

n

n

p

n n

1 22 2 ou

p=0

n

9. ( U.C.-MG ) O resultado de 8

2

6

pp

igual a:

a) 216 b) 238 c) 240 d) 247 e) 256

10. (Unesp-SP) Seja num nmero natural tal que 10

4

10

1

11

4

n. Ento:

a) n = 5 b) n = 4 c) n = 3 d) n = 2

11. (FGV-SP) Sabendo-se que

m

px e y

m +1

p +1 entao

m

p +1 :

a) x + y b) x - y c) y - x d) x - p e) y - p

UNIDADE 5

BINMIO DE NEWTON

Observe abaixo os desenvolvimentos:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = 1a + 1b

(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2

(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5 Observe que:

O nmero de termos do desenvolvimento de (a + b)n

n + 1.

Os coeficientes dos termos do desenvolvimento de (a + b)n

formam o tringulo de Pascal.

Os expoentes de a decrescem de n a 0, e os expoentes de b

crescem de 0 a n.

A soma dos expoentes de a e b sempre igual a n

Com base nessas observaes podemos generalizar o

desenvolvimento de (a + b)n. Veja:

a bn

bn

bn

bn

nbn n n

0 1 2

0 1 2 2 0 a a a an n-1

Um termo qualquer do desenvolvimento de (a + b)n dado pela

expresso:

Tp 1

n

pan p bp

Exerccios de Sala

1. Desenvolver o binmio (x + 2)4

2. Determinar o 5 termo do desenvolvimento de (x + 2)6.

3. Determinar o termo independente no desenvolvimento de (2x + 3)4.

4. A soma dos coeficientes do desenvolvimento do binmio (4x 3y)6



Tarefa Mnima

1. Determinar o coeficiente numrico do 4 termo no desenvolvimento de (x + 2)7.

2. Achar o termo independente de x no desenvolvimento de (2x 1)6.

3. Se a soma dos coeficientes do binmio a b m 1 64, ento o valor de m :

4. (UEL-PR) Para qualquer valor natural de n, o nmero de termos do binmio (x + a)n :

a) n + 1 b) n c) n - 1 d) par e) mpar

5. (UFRN) A soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento do binmio (x + a)n :

a) 2n b) n/2 c) n + 2 d) n2 e) 2n

Tarefa Complementar

6. (UDESC) Sendo 125 a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m. O valor de m! :

a) 6 b) 24 c) 120 d) 2 e) 3

7. (CEFET-PR) O 4 termo do desenvolvimento de (x + 2)6 :

a) 80x3 b) 80x4 c) 40x5 d) 320x3 e) 160x3

8. (MACK-SP) Qual a soma dos coeficientes numricos do

desenvolvimento de 322

8

xx

?

9. (Faap-SP) O sexto termo do desenvolvimento de ( x + 2 )8 pelo binmio de Newton :

a) 48x3 b)10752x3 c) 1792x3 d) 3584x3

10. (Mack-SP) O coeficiente x3 do desenvolvimento de

31

5

xx

:

a) -405 b) -90 c) -243 d) -27 e) -81

UNIDADE 6

POLINMIOS

DEFINIO

Dados os nmeros reais a n, a n - 1, ....., a 2, a 1 e a 0, chamamos de

polinmio na varivel x toda expresso da forma:

P(x) = a nxn + a n - 1x

n - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0

Nomenclatura

COEFICIENTES: an, an - 1, .........a2, a1, a0.

TERMOS: a nxn , a n - 1x

n - 1 , ..... a 2x2 , a 1x, a0

TERMO INDEPENDENTE: a0

n um nmero natural e indica o grau do polinmio se an for

diferente de zero.

Observao: Se P(x) = 0, no definido o grau do polinmio.

VALOR NUMRICO

Valor Numrico de um polinmio P(x), o valor que se obtm

substituindo a varivel x por um nmero e efetuando as

operaes indicadas.

Observao: Quando P( ) = 0 dizemos que a raiz do

polinmio.

Observe que os nmeros 2 e 3 so razes do polinmio

P(x) = x2 - 5x + 6, pois P(2) = 0 e P(3) = 0.

POLINMIOS IDNTICOS

Dados os polinmios:

P1(x) = a nxn + a n - 1x

n - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 e

P2(x) = b nxn + b n - 1x

n - 1 + ..... + b 2x2 + b 1x + b0

A condio para que P1 e P2 sejam idnticos que os coeficientes

dos termos de mesmo grau sejam iguais.

Indicamos por P1 (x) P2 (x)

Assim: an = bn ; an - 1 = bn - 1; a2 = b2 ; a1 = b1 ; a0 = b0

Vale ressaltar que, se P1 e P2 so idnticos, para qualquer valor

de x eles assumem o mesmo valor numrico.

Em smbolos: P1 (x) P2 (x) P1 (x) = P2 (x)

Exerccios de Sala

1. Encontre o valor numrico do polinmio P(x) = 5x4 + 2x3 x2 + 3x 3 para x = 3.

2. Dado o polinmio P(x) = (a2 4)x2 + (a + 2)x + 3. Determine o valor de a de modo que P(x) seja do 1 grau.

3. Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c so nmeros reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3).

Tarefa Mnima

1. Dado P(x) = 2x3 + 3x2 5, calcule:

a) P(0) b) P(1) c) P(2)

2. Considere o polinmio P(x) = mx2 5x + 2. Sabendo que P(-2) = - 4, determine o valor de m.

3. Sabendo-se que P1(x) = ax2 + (b + c)x - 2a - 3x2 + 3cx + 3b +

1 e P2(x) = 10x2 + 158x + 29 so polinmios idnticos,

determine o valor da expresso: a + b + c.

4. O polinmio p(x) = (a - 3)x3 + (b + 2a)x2 + (6b + c)x identicamente nulo. Calcule o valor de 2(a + b + c).



5. (Mogi) Se x

x x

A

x

B

x

1

2 24 4 62, ento

2A + B igual a:

a) -3/2 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) -1

Tarefa Complementar

6. (UEM-PR) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c so nmeros reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7,

calcule P(3).

7. (PUC-SP) Efetuando a soma de ax b

xe

c

x2 1 1, obtemos a

expressox

x x

3

1 12. Os valores de a, b e c so

respectivamente:

a) 0, 1, -3 b) 1, -1, -3

c) -1, 1, 1 d) 1, 2, -1

e) 2, 1, -2

8. (ABC-SP) Num polinmio P(x) de 3 grau, o coeficiente de x3 1. Se P(1) = P(2) = 0 e P(3) = 30, o valor de P( 1) :

9. ( UFRGS ) O polinmio do 2 grau p(x), que tem zero como raiz e tal que p(x) - p(x - 1) = 6x - 2,

a) 2x2 + 3x 6 b) 6x - 2 c) 6x2 - x d) 3x2 + x

e) x2 + 3x

10. (Londrina-PR) Sendo F, G e H polinmios de graus 4, 6 e 3, respectivamente, o grau de (F + G).H ser:

a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) 30

UNIDADE 7

DIVISO DE POLINMIOS

Dados os polinmios P(x) e D(x), com D(x) no identicamente

nulos, dividir P(x) por D(x) equivale obter os polinmios Q(x)

(quociente) e R(x) (resto), tais que:

P(x) D(x) R(x) Q(x)

P(x) D(x) . Q(x) + R(x)

gr(R) < gr(D) ou R(x) 0

Onde:

P(x) o dividendo

D(x) o divisor

Q(x) o quociente

R(x) o resto

OBSERVAES:

O grau de Q(x) a diferena entre os graus de P(x) e de D(x), ou seja, gr(Q) = gr(P) gr(D)

Se R(x) for um polinmio nulo, apontamos que P(x) divisvel por D(x), dizemos ento, que a diviso exata.

MTODO DA CHAVE

(ALGORITMO DE EUCLIDES)

O mtodo das chaves um dos quais podemos obter o quociente

entre dois polinmios. Para isso, devemos seguir os seguintes

procedimentos:

Ordenamos os polinmios P(x) e D(x) segundo as potncias decrescentes de x.

Dividi-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x), obtendo o primeiro termo de Q(x) .

Multiplica-se o termo obtido pelo divisor D(x) e subtrai-se de P(x)

Continua-se o processo at que haja um resto de grau inferior que o de D(x).

Exemplo: Determinar o quociente e o resto da diviso de

P(x) = 4x3 2x2 + 6x 10 por D(x) = 2x2 + 3x + 2

Resoluo:

Observe que:

4x3 2x2 + 6x 10 = (2x2 + 3x + 2) . (2x 4) + (14x 2)

Dividendo Divisor Quociente Resto

MTODO DE DESCARTES

Mtodo de Descartes ou Mtodo dos Coeficientes a determinar

um Mtodo que consiste na obteno dos coeficientes do

quociente e do resto com o auxlio da seguinte identidade de

Polinmios:

P(x) D(x) . Q(x) + R(x)

onde gr(Q) = gr(P) gr(D) e gr(R) < gr(D)

Exemplo: Obter o quociente e o resto da diviso do

polinmio P(x) = x4 x3 2x2 x + 3 por

D(x) = x3 3x2 + 2

Resoluo: O grau do resto no mximo 2, pois

gr(R) < gr(D) e gr(Q) = gr(P) gr(D)

gr(Q) = 4 3 = 1

Isso nos permite escrever:

R(x) = cx2 + dx + e e Q(x) = ax + b

Aplicando a identidade, temos:

P(x D(x) . Q(x) + R(x)

x4 x3 2x2 x + 3 (x3 3x2 + 2) . (ax + b) + cx2 + dx + e

x4 x3 2x2 x + 3 ax4 + (b 3a)x3 + (c 3b)x2 + (2a + d)x + (2b + e)



Da vem:

a 1

b 3a 1

c 3b 2

2a d 1

2b e 3

resolvendo o sistema, temos:

a = 1, b = 2, c = 4, d = 3, e = 1

Logo: Q(x) = x + 2 e R(x) = 2x2 3x 1

TEOREMA DO RESTO

O resto da diviso de um polinmio P(x) por um binmio do tipo

ax + b o valor numrico de P(x) para

x = b

a, ou seja P(

b

a).

Observe que b

a a raiz do divisor.

Esse teorema nos permite achar o resto de uma diviso sem que

haja a necessidade de aplicar o mtodo das chaves ou o mtodo

de Descartes.

Exemplo: Determinar o resto da diviso do polinmio

P(x) = 2x2 + 3x + 1 pelo polinmio D(x) = x 3

Resoluo: A raiz do divisor 3, logo, para determinarmos

o resto da diviso de P(x) por D(x), basta

calcular P(3). Da vem:

P(x) = 2x2 + 3x + 1

P(3) = 2(3)2 + 3(3) + 1

P(3) = 28

TEOREMA DE D'ALEMBERT

Um polinmio P(x) divisvel por D(x) = ax + b se, e somente

se, P(b

a) = 0.

Veja por exemplo que o polinmio P(x) = x3 3x + 2 divisvel

por (x + 2) pois P( 2) = 0.

Exemplo: Determinar o valor de m de modo que o

polinmio P(x) = x3 x2 + mx 12 seja

divisvel por x 3

Resoluo: Para que P(x) seja divisvel por x 3, deve-se

ter P(3) = 0. Ento

P(x) = x3 x2 + mx 12

P(3) = (3)3 (3)2 + m(3) 12

0 = 27 9 + 3m 12

6 = 3m

2 = m

Logo, para a diviso ser exata devemos ter m = 2

TEOREMA DAS DIVISES SUCESSIVAS

Se um polinmio P(x) divisvel por (x a) e por (x b), ento

P(x) divisvel por (x a).(x b).

Observe que o polinmio P(x) = x4 + 2x3 6x2 5x +

2 divisvel por (x + 1).(x 2), uma vez que ele divisvel

separadamente por (x + 1) e (x 2).

DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI O dispositivo de Briot-Ruffini, tambm conhecido como

algoritmo de Briot-Ruffini, um modo prtico para dividir um

polinmio P(x) por um binmio da forma

ax + b. Vamos apresentar esse processo atravs de um exemplo.

Determine o quociente e o resto da diviso da diviso de

P(x) = 2x3 x2 + 4x 1 por (x 3)

Resoluo:

1 Passo Dispem-se todos os coeficientes de P(x) de forma ordenada e

segundo os expoentes decrescentes de x na chave.

2 1 4 1 2 Passo Coloca-se esquerda a raiz do divisor.

3 2 1 4 1 3 Passo Abaixa-se o primeiro coeficiente de P(x)

3 2 1 4 1 2 4 Passo Multiplica-se o coeficiente baixado pela raiz, somando o

resultado com o prximo coeficiente de P(x) e o resultado abaixo

desse ltimo.

+

3 2 1 4 1 x 2 5 5 Passo

Multiplica-se o esse ltimo resultado pela raiz e soma o resultado

com o prximo coeficiente de P(x) de forma anloga ao ltimo

passo, e assim sucessivamente.

+

3 2 1 4 1 x 2 5 19 +

3 2 1 4 1 x 2 5 19 56 Terminando assim o processo, temos:

raiz coeficientes de P(x) 2 5 19 56



coeficientes de Q(x) R(x) Como gr(Q) = 2 [gr(P) gr(D)] temos que

Q(x) = 2x2 + 5x + 19 e resto R(x) = 56

Exerccios de Sala

1. (FUVEST) O quociente de 2x4 5x3 10x 1 por x 3 :

a) 2x3 11x2 + 23x 68 b) 2x3 11x2 + 33x + 109 c) 2x3 11x2 + 33x 109 d) 2x2 + x 7 e) 2x3 + x2 + 3x 1

2. Qual o valor de "a" para que o polinmio x5 + 2x4 + 3x3 + ax2 4x + 12 seja divisvel por x3 + 2x2 x + 3?

3. ( UFSM ) O resto da diviso de x142 1 por x + 1 :

a) 0 b) 1 c) 2 d) 141 e) n.d.a.

Tarefa Mnima

1. (UFSC) Determine o resto da diviso do polinmio 3x3 + 8x2 + 32 por x + 3.

2. (UECE) Se na diviso do polinmio 12x4 + 5x3 + 5x + 12 por 3x2 + 2x - 1 o quociente Q(x), ento o valor de Q(3) :

3. (UFMG) O quociente da diviso de P(x) = 4x4 - 4x3 + x - 1 por Q(x) = 4x3 + 1 :

a) x 5 b) x - 1 c) x + 5 d) 4x - 5 e) 4x + 8

4. (UFSC) Qual o valor de "a" para que o polinmio x5 + 2x4 + 3x3 + ax2 - 4x + 12 seja divisvel por x3 + 2x2 - x + 3?

5. (UFSC) Determine o valor de m, para que o resto da diviso do polinmio P(x) = x3 + mx2 - 2x + 1 por x + 3 seja 43.

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Se o polinmio 2x3 - ax2 + bx + 2 divisvel por 2x2 + 5x - 2, ento o valor de a - b :

7. (Mack-SP) Um polinmio desconhecido ao ser dividido por x - 1 deixa resto 2 e ao ser dividido por x - 2 deixa resto 1. Ento,

o resto da diviso desse polinmio por (x - 1) (x - 2) :

a) x 3 b) -x + 3 c) x + 3 d) x - 5 e) -x + 5

8. (UFBA) O resto da diviso de P(x) = 3x5 + 2x4 + 3px3 + x - 1 por (x + 1) 4, se p igual a:

a) 5/3 b) -2 c) -3 d) -10 e) -7/3

9. (FGV-SP) O resto da diviso do polinmio 2x5 - 15x3 + 12x2 + 7x - 6 por (x - 1)(x - 2)(x + 3) :

a) x2 - 2x + 5 b) -6

c) x - 4 d) 1 e) 0

10. (PUC-MG) Os valores de a e b que tornam o polinmio P(x) = x3 + 4x2 + ax + b divisvel por (x + 1)2 so respectivamente:

a) 1 e 2 b) 3 e 2 c) 4 e 5 d) 5 e 2 e) n.d.a.

UNIDADE 8

EQUAES POLINOMIAIS

DEFINIO

Denomina-se Equao Polinomial toda sentena do tipo

P(x) = 0, ou

a nxn + a n - 1x

n - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 = 0

onde an, an - 1, .........a2, a1, a0 so nmeros complexos

n um nmero natural

x a varivel

O expoente da equao o expoente do polinmio P(x)

Denomina-se raiz de uma equao polinomial todo nmero

, tal que P( ) = 0

TEOREMA FUNDAMENTAL DA LGEBRA Toda equao polinomial de grau n (n 1) tem pelo menos uma

raiz complexa.

Esse teorema foi demonstrado por Gauss em 1799.

DECOMPOSIO DE UM POLINMIO EM

UM PRODUTO DE FATORES DO 1 GRAU Como uma conseqncia do Teorema Fundamental pode-se

afirmar que todo polinmio de grau n pode ser escrito na forma:

P(x) = an(x 1).(x 2)(x 3)....... .(x n)

onde 1, 2, 3, ..... n so razes de P(x).

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ

Denomina-se multiplicidade de uma raiz ao nmero de vezes que

a mesma se repete no conjunto soluo.

Genericamente, pode-se dizer que o nmero raiz de

multiplicidade n da equao polinomial P(x) = 0 se e somente se,

P(x) = (x )n. Q(x), com Q( ) 0.

TEOREMA DAS RAZES COMPLEXAS

Se um nmero complexo z = a + bi raiz de uma equao

polinomial de coeficientes reais, ento seu conjugado z = a bi tambm raiz dessa equao.

Conseqncias:

Se a raiz (a + bi) de multiplicidade k, ento seu conjugado (a bi) ter tambm multiplicidade k.

Toda equao polinomial de grau mpar admite pelo menos uma raiz real, pois o nmero de razes no reais sempre par.



RELAES DE GIRARD

So relaes estabelecidas entre os coeficientes e razes de uma

equao polinomial.

Sejam x1 e x2 as razes da equao ax2 + bx + c = 0. Valem as

seguintes relaes:

x1 x2b

a

x1 x2c

a

Sejam x1 , x2 e x3 as razes da equao

ax3 + bx2 + cx + d = 0. Valem as seguintes relaes:

x1 x2 x3b

a

x1 x2 x3d

a

x1 x2 x1 x3 x2 x3c

a

EQUAO DE GRAU n Sendo 1, 2,........... n as razes da equao

a nxn + a n - 1x

n - 1 + ..... + a 1x + a0 = 0, valem as seguintes

relaes:

a a ananan

a a a a a an a a an ananan

a a a an an ananan

a a a ann a

an

1 21

1 2 1 3 1 2 3 12

1 2 3 2 13

1 2 31 0

Exerccios de Sala

1. O polinmio P(x) = x3 + 4x2 + 3x pode ser escrito como:

a) P(x) = x(x 1)(x 3) b) P(x) = x(x + 1)(x + 2) c) P(x) = x(x + 1)(x + 3) d) P(x) = x(x 2)(x +4) e) (x) = x(x 1)(x + 5)

2. Resolver a equao x3 12x2 + 41x - 42 = 0, sabendo que x = 2 uma das razes.

3. Determine a menor raiz da equao x3 15x2 + 66x 80 = 0, sabendo que suas razes esto em P.A.

Tarefa Mnima

1. (ACAFE) A equao polinomial cujas razes so 2, 1 e 1 :

a) x3 + 4x + x 2 = 0 b) x3 x 2 = 0

c) x3 + 2x2 3x 2 = 0 d) x3 + 2x2 x 2 = 0

e) x3 + 2x + 1 = 0

2. (FGV-SP) A equao 2x3 5x2 x + 6 admite uma raiz igual a 2. Ento, as outras duas razes so:

a) 3/2 e 1 b) 2 e 1 c) 3 e 1

d) 3/2 e 1 e) 3/2 e 2

3. (UFSC) Sabendo-se que uma das trs razes da equao 2x3 - 17x2 + 32x - 12 = 0 igual a 1/2 determine a soma das outras

duas razes.

4. (UDESC) As razes do polinmio x3 6x2 x + 30:

a) somadas do 6 e multiplicadas do 30 b) somadas do -6 e multiplicadas do 30 c) somadas do 6 e multiplicadas do -30 d) somadas do -6 e multiplicadas do 30 e) so 5, -2 e 3

Tarefa Complementar

5. (Med ABC-SP) As razes da equao x3 - 9x2 + 23x -15 = 0 esto em progresso aritmtica. Suas razes so:

a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 3, 5

d) 2, 4, 6 e) 3, 6, 9

6. (Mackenzie-SP) Uma raiz da equao x3 4x2 + x + 6 = 0 igual a soma das outras duas. As razes so:

a) 2, 2 e 1 b) 3, 2 e 1

c) 2, 1 e 3 d) 1, 1 e 2

e) 1, 2 e 3

7. (MACK-SP) O determinante da matriz a a c

b c0

1 0 1

, onde a,

b, e c so razes da equao x3 5x2 + 4 = 0, :

8. (SANTA CASA) Sabe-se que a equao: 4x3 12x2 x + k = 0, onde k , admite duas razes opostas. O produto das razes

dessa equao :

a) 12 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/4 e) 12

9. (ITA-SP) Considere a equao x3 + px2 + qx + r = 0 de coeficientes reais, cujas as razes esto em P.G. Qual das relaes

verdadeira?

a) p2 = r.q b) 2p + r = q

c) 3p2 = r2 . q d) p3 = r.q3

e) q3 = r.p3

10. (UFSC) Assinale no carto-resposta a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) CORRETA(S).

01. A equao polinomial x3 2x2 4x + 1 = 0 possui as razes

a, b e c. Logo, a soma a2 + b2 + c2 igual a 12.

02. O resto da diviso do polinmio x6 x4 + x2 por x + 2

52.

04. Dado o polinmio p(x) = x4 + 8x3 + 23x2 + 28x + 12

correto afirmar que 2 raiz de multiplicidade 3 para p(x).

08. Para que o polinmio p(x) = (a + b) x2 + (a b + c) x +

(b + 2c 6) seja identicamente nulo, o valor de c 4.



UNIDADE 9

MATRIZES

DEFINIO

Uma matriz do tipo m x n (l-se: m por n), m, n 1, uma

disposio tabular formada por m.n elementos dispostos em m

linhas e n colunas.

As matrizes so representadas atravs de parnteses ( ),

colchetes [ ] ou atravs de barras duplas || ||

Exemplos.:

A = 2 0 3

6 9 5 A 2 x 3 (l-se: A dois por trs)

A =3 2 8 7

6 1 0 3A2 x 4 (l-se: A dois por quatro)

A =

60

61

12 A3 x 2 (l-se: A trs por dois)

NOTAES

Notao Explcita

Uma matriz genericamente representada por letras maisculas e

seus elementos por letras minsculas.

Sendo assim, uma matriz Am x n algebricamente pode ser

representada assim:

A =

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

n

n

n

m m m mn

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

com m e n N*

Notao Condensada

Podemos tambm, abreviar essa representao da seguinte forma:

A = [aij] m x n

Os elementos da matriz A so indicados por aij de forma que:

i {1, 2, 3,......m} (indicador da linha)

j {1, 2, 3, .....n} (indicador da coluna)

CLASSIFICAO DE MATRIZES

Seja a matriz A = (aij)mxn, lembrando que m e n so

respectivamente a quantidade de linhas e colunas da matriz A,

temos:

a) MATRIZ LINHA se m = 1

Exemplo: A1x3 213

b) MATRIZ COLUNA se n = 1

Exemplo: A4x1 =

0

5

2

1

c) RETANGULAR se m n

Exemplo: A2 x 3 = 049

132

d) QUADRADA se m = n

Exemplo: A2x2 85

63

Definio: Diz-se que uma matriz quadrada se a quantidade de

linhas for igual a quantidade de colunas. Pode-se dizer ento que

ela n x n ou simplesmente de ordem n.

Possui duas diagonais:

diagonal principal (quando i = j para todo aij)

diagonal secundria (quando i + j = n + 1) , onde n a ordem da matriz.

TIPOLOGIA Matriz Transposta

Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A

a matriz de ordem n x m obtida quando trocamos de forma

ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por: At ou A'

Exemplo A2 x 3 = 049

132 At3 x 2 =

2 9

3 4

1 0

OBSERVAO: Seja uma matriz A de ordem n.

Se A = At , ento A dita SIMTRICA

Exemplo: A =

085

813

532

Se A = At, ento A dita ANTISIMTRICA

( A indica matriz oposta de A que se obtm

trocando o sinal dos seus elementos)

Exemplo: A =

043

401

310

Matriz Identidade

Uma matriz A de ordem n dita identidade ou unidade se os

elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais

elementos iguais a zero.



Exemplos: I2 = 1 0

0 1 I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Pode se indicar a matriz identidade por:

In = [aij] , aij =1, para i = i

0, para i j

Importante: A matriz identidade neutra na multiplicao de

matrizes.

Matriz Nula

Uma matriz dita nula quando todos seus elementos forem iguais

a zero. A matriz Nula neutra na soma de matrizes.

Matriz Diagonal

toda matriz de ordem n tal que aij = 0 para i j.

Exemplo: A =

1 0 0

0 4 0

0 0 3

Matriz Triangular

toda matriz quadrada onde aij = 0 para i > j ou/e para i < j.

Exemplos:

819

021

004

100

740

513

IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes Amxn e Bmxn so iguais se os elementos

correspondentes (elementos de mesmo ndice) forem iguais.

ADIO E SUBTRAO DE MATRIZES

efetuada somando ou subtraindo os elementos correspondentes

das matrizes. (vlido para matrizes de mesma ordem).

Propriedades:

1) A + B = B + A (propriedade comutativa)

2) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade

associativa)

3) A + O = A (elemento neutro)

4) (A + B)t = At + Bt

PRODUTO DE UM NMERO POR MATRIZ Dado um nmero real K e uma matriz Am x n, denomina-se

produto de K por A e se indica por k.A, matriz que se obtm

multiplicando-se todo elemento de A por k.

Propriedades:

Sendo x e y dois nmeros reais e A e B duas matrizes de mesma

ordem, valem as seguintes propriedades:

1) x . (yA) = (xy) . A

2) x . (A + B) = xA + xB

3) (x + y) . A = xA + yA

Exerccios de Sala

1. A uma matriz 3 por 2, definida pela lei

aij =

ji se

ji sej2i

,3

,

Ento, A se escreve:

2. (UFSC) Dadas as matrizes:

A = 2 1 3 1

0 4

x y

x z e B =

x 0

12 4

1 6

Se A = Bt , o valor de x.y.z :

3. O valor de x.y de modo que a matriz A seja simtrica, :

A =

625

201

1252

x

y

a) 6 b) 12 c) 15 d) 14 e) 0

Tarefa Mnima

1. Escreva, na forma explcita, cada matriz abaixo:

a) A = (aij)2x2, com aij = i + j b) A = (aij)3x2, com aij = 3i j

2

c) A = (aij)3x2, com aij =

1 se i j

i2

se i j

d) A = (aij)2x3, com aij = 2 se i = j

2 + j, se i j

2. (UFSC) Dada a matriz A = [aij]2 x 3 definida por aij =

ji sej,i

ji se7,

ji sej,3i

2

o valor da expresso 2a23 + 3a22 - a21 :

3. (UFOP-MG) Observe a matriz

y

x

00

40

321.

Determine x e y de tal forma que seu trao valha 9 e x

seja o triplo de y.

4. Considere as matrizes A =

72

log3

21

52

x

y

e B = 7165

812. Determine o valor de x + y de

modo que A = Bt



5. Considere as matrizes A = 03

12e B =

21

30

a) Obter a matriz X tal que A + X = B b) Obter as matrizes X e Y tal que:

BYX

AYX 3

Tarefa Complementar

6. Calcule 5x + 2y, de modo que se tenha:

15

31

12

26

03

125

yy

x

7. (FCMSCSP) Se A uma matriz quadrada, define-se o TRAO de A como a soma dos elementos da diagonal principal

de A. Nestas condies, o trao da matriz A = (aij)3 x 3, onde

aij = 2i - 3j igual a:

a) 6 b) 4 c) -2 d) -4 e) -6

8. Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde aij = i + j se i j ou aij = i j se i < j.

9. Uma matriz se diz anti-simtrica se At = A. Nessas condies, se a matriz A anti-simtrica, ento, x + y + z igual

a:

A =

031

302

zyx

a) 3 b) 1 c) 0 d) 1 e) 3

10. (LONDRINA-PR) Uma matriz quadrada A diz-se simtrica se A = At . Assim, se a matriz

A =

234

10

212

zx

y

simtrica, ento x + y + z igual a:

a) 2 b) 1 c) 1 d) 3 e) 5

11. (U.Catlica de Salvador -BA) Uma matriz quadrada A, de ordem n, se diz anti-simtrica se A = -At, onde At a matriz

transposta de A. Nessas condies, qual das matrizes seguintes

anti-simtrica?

03-2

301-

2-10

b

413

102-

32-1

a ))

031

302

120

e

323

220

301

d

101-

011-

11-1

c

)

))

12. Se a matriz quadrada A tal que At = A, ela chamada matriz anti-simtrica. Sabe-se que M anti-simtrica e:

M = 4

2

2 8

12 13

23

a a a

a b a

b c c

.

Os termos a12, a13 e a23 valem respectivamente:

a) 4, 2 e 4 b) 4, 2 e 4 c) 4, 2 e 4 d) 2, 4 e 2 e) n.d.a.

13. Sendo A = 1 72 4

e B = 3 1

4 0, ento a matriz X, tal que

X A X B

2

2

3, igual a:

14. Dadas as matrizes: A =3 1

2 4 e B =

2 2

0 4, o

produto dos elementos da segunda linha de 1

4B

1

2A :

a) 1 b) 1 c) 0 d) 2 e) 2

15. Dadas as matrizes

Ax y

z w B =

x 6

- 1 2w C =

4 x y

z + w 3e sendo 3A = B + C,

ento:

a) x + y + z + w = 11 b) x + y + z + w = 10

c) x + y z w = 0 d) x + y z w = 1

e) x + y + z + w > 11

UNIDADE 10

MULTIPLICAO DE MATRIZES Considere as matrizes A = [aij]m x n e a matriz B = [bjk]n x p. O

produto de A por B a matriz C = [cik]m x p, de tal forma que os

elementos cik so obtidos assim:

cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k + .... + ain . bnk

ou seja:

n

j

jkijba1

para todo i {1, 2, ........, m} e todo k {1,

2,...,p}.

Exemplo: Considere as matrizes

A = 3 0

2 1e B =

1 3

9 2. Determine A.B

Resoluo: O produto AxB uma matriz obtida da

seguinte forma:



A.B = 3 1 0 9 3 3 0 2

2 1 19 2 3 12

A.B = 3 9

7 4

PROPRIEDADES

1) A.(B.C) = (A.B).C 2) A.(B + C) = A.B + A.C

3) (B + C).A = B.A + C.A 4) A.I = I.A = A

Observaes:

1) Na multiplicao de matrizes geralmente

A.B B.A. Se A.B = B.A dizemos que A e B se

comutam.

2) Na multiplicao de matrizes no vale a lei do

anulamento, ou seja, podemos ter A.B = 0 mesmo

com A 0 B 0.

DETERMINANTES

DEFINIO

Dada uma matriz quadrada de ordem n, podemos associar ela,

atravs de certas operaes, um nmero real chamado

determinante da matriz.

Podemos simbolizar o determinante de uma matriz por

duas barras verticais. Assim, se a a

a a

11 12

21 22

a matriz A,

indicamos o determinante de A por det A = a a

a a

11 12

21 22

CLCULO

1 ORDEM

Seja a matriz A = [a11] , denomina-se o determinante de A o

prprio elemento a11 e se indica por:

det A = |a11| = a11

2 ORDEM

3 ORDEM

Exerccios de Sala

1. Dadas as matrizes A = 0

3

34

12

1-

5=B e .

Determine:

a) A.B b) B.A c) At.Bt

d) Bt.At e) A.I2 f) a matriz X, tal que A.X = B

2. (UFSC) Sejam A = (aij )4 x 3 e B = (bij)3 x 4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A.B =

C, ento o elemento C32 da matriz C, :

3. Calcule os determinantes:

a) 52

43 b)

4 2

1 3

4. Calcule o determinante:

163

341

202

Tarefa Mnima

1. (UEL-PR) Sobre as sentenas:

I - O produto de matrizes A3x2 . B2x1 uma matriz 3x1.

II - O produto de matrizes A5x4 . B5x2 uma matriz 4x2.

III - O produto de matrizes A2x3 . B3x2 uma matriz

quadrada 2 x 2.

verdade que

a) somente I falsa b) somente II falsa c) somente III falsa d) somente I e III so falsas. e) I, II e III so falsas

2. Se 3 2

1 4

a

b

1

2=

5 7

5 9, ento a + b igual a:

3. Dadas as matrizes A = 1 1

0 0e B =

0 1

0 1, para A.B

temos a matriz:

4. (UCMG) O valor de x, para que o produto das matrizes:

A = 2

3 1

xe B =

1 1

0 1seja uma matriz simtrica, :

5. (UFSC) Dada a equao matricial:

4 2

1 3 0

4 2

3

1

4

2

3

x

y

z x

y

O valor da expresso

5x + 4y + z :



6. Calcule os seguintes determinantes:

a)

16

34 b)

13

25

c)

432

314

523

7. (MACK-SP) Sendo A = ( aij ) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j - i

2, o determinante da matriz A :

8. (UFSC) Obtenha o valor do determinante da matriz A = (aij)2 x 2, onde aij =

ji sej,i

ji se0,

9. O valor de x na equao 15

102

1

132

xx :

Tarefa Complementar

10. (CESCEM) O produto M.N da matriz M =

1

1

1

pela matriz

N = 1 1 1 :

a) no se define

b) a matriz identidade de ordem 3

c) uma matriz de uma linha e uma coluna

d) uma matriz quadrada de ordem 3

e) no uma matriz quadrada

11. (FEI-SP) As matrizes abaixo se comutam. a a

a 2 e

0 3

3 3

O valor de a :

12. (UFSC) Determine o produto dos valores de x e y que satisfaam a equao matricial

4 3

5 4

1

2

4 2

7 3

x

y

13. (UFSC) Dadas as matrizes: A = 1 0 2

0 1 3

4 1 2

;

B =

2 1 1

0 3 0

4 2 1

; C =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

e seja P = (2A - C).B.

Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz

P.

14. (UFSC) Considere as matrizes A = 1 0

2 1

1 2

B = 2 0 1

1 1 3 Sejam M = ( A + Bt ).(At B ), onde At e Bt

so matrizes transpostas de A e B, respectivamente. O produto

dos elementos mij com i = j da matriz M :

15. Se A = 1 2

4 3 , ento A2 + 2A 11 I, onde I a

matriz identidade de ordem 2, igual a:

16. (UFSC) Determine o valor de x para que o determinante da matriz C = A x Bt seja igual a 602, onde:

A = 1 2 3

4 1 2, B =

x 1 8 5

2 7 4 e Bt a matriz

transposta de B.

17. (UFSC) Em R,a soluo da equao 2 3

2 4

1 3

x

x

x

= 175 :

18. (MACK) O conjunto soluo de

1

1 1

1 1

1

1 1

1

x

x

x :

a) { x R| x 1} b) { 0,1 }

c) { 1 } d) { -1} e) { 0 }

19. (MACK-SP) Sejam as matrizes A = 1 23 4

e B =3 4

1 2

,

e seja X uma matriz tal que X.A = B. Ento, det X vale:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

UNIDADE 11

PROPRIEDADES DE DETERMINANTES

1 PROPRIEDADE

Casos onde o determinante nulo

1 Se uma matriz possui uma fila de elementos

iguais a zero.

Exemplo: 0 3 9

0 8 3

0 4 1

0

2 Se uma matriz possui duas filas iguais.

Exemplo: 2 8 2

3 5 3

1 6 1

0

3 Se uma matriz possui duas filas proporcionais.



Exemplo: 2 3 5

4 6 10

7 0 3

0

4 Se uma fila de uma matriz for uma combinao linear de duas

outras.

Exemplo: 3 5 1

0 4 2

3 9 3

0

2 PROPRIEDADE

Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um nmero k, o

determinante da nova matriz fica multiplicado por k.

Exemplo: 2 4

1 32

2 4

1 32 10

5 55

CONSEQNCIAS

No clculo dos determinantes, possvel colocar o fator comum em evidncia.

-216= 3.(-72)

143

051

426

3

143

051

432363

143

051

12618

.

...

( 72)

Se multiplicarmos uma matriz quadrada de ordem n por um nmero k o determinante fica multiplicado pelo nmero kn.

det(k.A) = kn.detA

3 PROPRIEDADE

Se trocarmos duas filas paralelas de uma matriz o determinante

muda de sinal.

4 PROPRIEDADE

O determinante de uma matriz triangular o produto dos

elementos da diagonal principal.

Exemplo:

3 9 8

0 4 5

0 0 1

12

5 PROPRIEDADE (TEOREMA DE BINET)

Se A e B so duas matrizes de ordem n o determinante do

produto de A por B o produto dos determinantes da matriz A

pelo determinante da matriz B, ou seja:

det(A.B) = det(A).det(B)

6 PROPRIEDADE

O determinante de uma matriz igual ao determinante de sua

transposta.

7 PROPRIEDADE

(TEOREMA DE JACOBI)

Se somarmos a uma fila de A uma outra fila previamente

multiplicada por um nmero real, obtemos uma matriz A', tal que

det A' = det A

Exemplo: A =

122

151

214 det A = 15

Multiplicando a terceira linha por 2 e adicionando

primeira, obtemos A': A' = 0 3 0

1 3 2

2 2 1

det A = 15

INVERSO DE MATRIZES Sejam A e B duas matrizes quadradas.

Se A.B = B.A = I, dizemos que B a matriz inversa de A. e

indicamos por A-1.

Logo: A . A-1 = A . A-1 = In

PROPRIEDADES DA INVERSA:

(A-1) -1 = A

(A.B) -1 = B-1 . A-1

det A-1 = 1

det A

OBSERVAES:

Uma matriz s possui inversa se o seu determinante for diferente de zero, sendo assim, chamada de inversvel.

Uma matriz que no admite inversa chamada de singular.

Se a matriz A inversvel, ento, ela quadrada.

Se a matriz A inversvel, ento, a sua inversa nica.

OBSERVAO

O processo de se obter a inversa de uma matriz muitas vezes

trabalhoso, pois recai na resoluo de n sistemas de n equaes e

n incgnitas.

Vamos agora apresentar um processo que simplifica esse clculo.

Teorema

Se A uma matriz quadrada de ordem n e det A 0, ento a

inversa de A :

A 1

= .det

1

A

A

Onde A representa a matriz adjunta.

Matriz Adjunta: a matriz transposta da matriz dos cofatores

de A.

Conseqncia

Para calcular um elemento bij da matriz inversa de A, pode-se



aplicar:

bij = .det

1

A Cji

onde Cji o cofator do elemento aij

Exerccios de Sala

1. Sabe-se que 2

ifc

heb

gda. Determine o valor de

ifc

heb

gda

432

432

432

2. Uma matriz A quadrada de ordem 4 e seu determinante igual a 3. Calcule o valor do determinante da matriz 2A.

3. Determine a inversa das seguintes matrizes:

a) 1 5

2 0 b)

3 1

5 2

4. Determine o valor de x de modo que a matriz 9

32

x seja

singular

Tarefa Mnima

1. Sabendo que 2

ifc

heb

gda

, calcule

ifc

heb

gda

32

32

32

2. (UFRN) O determinante 1 72 81

0 2 200

0 0 3

igual a:

3. (UFRGS) Considere as seguintes afirmaes.

I - O determinante de uma matriz no se altera, quando so

trocadas, ordenadamente, as linhas pelas colunas.

II - O determinante de uma matriz com linhas proporcionais

nulo.

III - Multiplicando-se uma linha de uma matriz por um

nmero real p,no nulo,o determinante da nova matriz

fica dividido por p.

Quais so as verdadeiras?

a) I

b) II

c) I e II

d) II e III

e) todas so verdadeiras

4. (UDESC) A partir da matriz A = |aij| 2 x 2 onde

aij = 1 se i j

i j se i j calcular o determinante

do produto da matriz A pela sua transposta, ou seja: det( At.A ),

onde At a matriz transposta de A.

5. (Unisinus-RS) O valor de um determinante 48. Dividimos a 2 linha por 8 e multiplicamos a 3 coluna por 6,

ento o novo determinante valer:

6. (UFRGS) A inversa da matriz A = 25

13 :

25

13 e)

35

02 d)

31

52 c)

25

13 b)

35

12 a)

7. O maior elemento da inversa da matriz A = 51

42 :

a) 2 b) 5/6 c) 1/5

d) 1/6 e) 1/3

8. (UFVIOSA) Sejam as matrizes A = 62

21 e M =

y

x

1

1 , onde x e y so nmeros reais e M a matriz

inversa de A. Ento o produto x.y :

a) 3/2 b) 2/3 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4

9. (UCSal-BA) A matriz 1

1

x

x, na qual x um nmero

real, inversvel se, e somente se:

a) x = 0 b) x = 1 c) x = -1 d) x 1

10. Considere a matriz A = 21

3

x

x . Sabendo que det A- 1 =

0,25, ento x :

a) 0 b) 2 c) 2 d) 4 e) 1

Tarefa Complementar

11. (UECE) Sabe-se que M uma matriz quadrada de ordem 3 e que det(M) = 2. Ento det (3M) igual a:

a) 2 b) 6 c) 18 d) 54 e) 27

12. (UFSM) Sejam as matrizes A, de ordem 3 e B =

2 1 4

1 0 2

0 1 6

. Se o det A = 6 e C = A.B, o det C vale:

a) 24 b) 12 c) -6 d) -12 e) -24



13. (SANTA CASA) Dadas as matrizes A e B tais que:

1 5 1 3 0 0 0

0 2 2 4 3 4 0 0

0 0 3 1 1 2 1 0

0 0 0 4 2 1 3 2

A

-1

e B =

O valor do determinante de A.B :

a) 192

b) 32

c) -16

d) 0

e) n.d.a.

14. (F.M.Santos-SP) O determinante

1 0 0 0 0

2 2 0 0 0

3 2 1 0 0

4 2 3 2 0

5 1 2 3 3

:

a) -12 b) 10 c) 9 d) 0 e) n.d.a.

15. (MACK-SP) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e

I = 10

01. Chamam-se auto valores de A as razes da

equao det (A xI) = 0. Obtenha os autovalores de

A = 32

41

16. (FGV-SP) Considere as matrizes A =

pc

nb

ma

4

4

4

e B =

3

3

3

cp

bn

am

. Se o determinante da matriz A igual a

2, ento o determinante da matriz B igual a:

a) 3/2 b) 2/3 c) 3 d) 3/2 e) 2/3

17. (UEPG-PR) Dada a matriz A = (aij)3x3, onde aij =

ji se0,

ji se4,. Ento correto afirmar:

01. det (A) = 64

02. (A).(At) uma matriz quadrada de ordem 6

04. det(2A) = 8 det(A)

08. det(A) det(At)

16. A2 =

161616

01616

0016

18. Os valores de k para que a matriz A =

31

31

101

k

k no

admita inversa so:

a) 0 e 3 b) 1 e 1 c) 1 e 2 d) 1 e 3 e) 3 e 1

19. (UFPB) Se a matriz 2 5

5

x x

xno invertvel,

ento, o valor de x em mdulo :

20. (UDESC) Seja a matriz A = ( aij ) 3 x 3 definida por

aij = 1

0

i j para i j

para i jo determinante de A-1 :

UNIDADES 12

SISTEMAS LINEARES

DEFINIO Denomina-se Sistema Linear todo conjunto de m equaes

lineares com n incgnitas.

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

m m mn n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

Se b1, b2, ......, bn = 0 dizemos que o sistema homogneo.

Soluo de um Sistema Linear

Denomina-se soluo de um sistema a seqncia de nmeros

reais ( 1, 2,..........., n) que satisfaz simultaneamente todas as

equaes do sistema.

Sistemas Equivalentes

Dois Sistemas so ditos equivalentes se e somente se:

So Possveis e admitem as mesmas solues, ou

So Impossveis.

Classificao de um Sistema Linear

Um Sistema Linear pode ser classificado de acordo com o

nmero de solues que ele apresenta. Sendo assim ele pode ser:

DETERMINADO (1 soluo)

POSSVEL

INDETERMINADO (infinitas solues)

IMPOSSVEL No Admite Soluo

REGRA DE CRAMER

A Regra de Cramer consiste num mtodo para resolvermos

sistemas Lineares de n equaes e n incgnitas.



Seja o sistema

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

n n nn n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

Para obtermos a soluo para esse sistema vamos fazer alguns

clculos. Acompanhe:

det S

Determinante associado matriz formada pelos coeficientes das

incgnitas.

det S =

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

det Xi

Determinante associado matriz obtida a partir de S, trocando

a coluna dos coeficientes de Xi, pela coluna dos termos

independentes do sistema.

det X1 =

b a a

b a a

b a a

n

n

n n nn

1 12 1

2 22 2

2

det X2 =

a b a

a b a

a b a

n

n

n n nn

11 2 1

21 2 2

1

det Xn =

a a b

a a b

a a bn n n

11 12 1

21 22 2

1 2

A soluo do Sistema dada por:

x1det X

det S x

det X

det S x

det X

det S

12

2n

n

Veja que s possvel aplicar a Regra de Cramer em sistemas n

x n em que det S 0. Esses sistemas so denominados normais.

3. Discusso com base na regra de Cramer (2x2)

1) Quando det S 0, o sistema possvel e determinado.

2) Quando det S = det X1 = det X2 = ...= 0, o sistema

possvel e indeterminado

3) Quando det S = 0 e pelo menos um dos demais

determinantes for diferente de zero, os sistema

impossvel

O sistema homogneo sempre possvel.

Exerccios de Sala

1. Usando a regra de Cramer, resolva os seguintes sistemas:

a)

152

1134

yx

yx

b)

622

3

yx

yx

c)

233

1

yx

yx

2. Dado o sistema de equaes lineares

x y z

x y z

x y z

1

1

com

, R, ento o sistema determinado se:

a) se -1 b) se = -1 e 1

c) se 1 d) se = -1 e = 1

e) se = -1 e = -1

3. (FGV-SP) O sistema linear

0

0

02

zyx

zyx

zyx admite

soluo trivial, se:

a) = - 2 b) - 2

c) = 2 d) 2 e)

Tarefa Mnima

1. (USF-SP) Resolvendo o sistema x y z

x y z

x y z

9

2 11

1

, obtm-se y

igual a:

2. (UFRGS) Dado o sistema de equaes lineares sobre

R

2 4

3 2 4

4 0

x y z

x y z

x y z

os valores de x, y e z que constituem sua

soluo:

a) formam uma progresso geomtrica

b) formam uma progresso aritmtica

c) so iguais entre si

d) no existem

e) tm uma soma nula

3. (FGV-SP) O sistema de equaes 2 5 10

2 3

x y

x y

equivalente a:

2 5 10 10) . ) .

1 2 3 3

10 10) . )

3 3

x xa b

y y

x xc d

y y

-2 -5

1 2

2 -1 -2 1

5 -2 -5 2

4. (UFSC)Para que o sistema abaixo seja impossvel, o valor de a :

x y z

x y az

x y z

3 4 1

2

2 3



5. (UFSC)Determine o valor de m para que o sistema, abaixo admita infinitas solues:

mx y z

x my z

x y

2 0

2 0

3 2 0

Tarefa Complementar

6. (UEPG-PR) O sistema linear

b4z2y3x

2zyx

33zyax

:

01. impossvel para a 2 e b = 5

02. impossvel para a = 2 e b 5

04. possvel e determinado para a = 2 b R

08. possvel e indeterminado para a = 2 e b = 5

16. possvel e determinado para a 2

7. (UFSCar-SP) Dado o sistema linear

x ay z

ax y az

x ay z

0

0

0

assinale a alternativa correta:

a) O sistema admite uma infinidade de solues

para qualquer a real.

b) O sistema no admite soluo de a = 1.

c) O sistema admite uma nica soluo se a = 3.

d) O sistema admite somente a soluo trivial.

e) O sistema admite uma nica soluo se a = 1.

8. (FEI-SP) Se o sistema 3 2 1 0

4 2 2 0

2 3 2 0

x y z

mx y z

x my z

admite uma nica soluo, ento:

a) m 6 b) m 2

c) m 8 d) m 4

e) m 3

9. (UFSC) Considere o sistema S1: 06y-2x-

03yx

determine a soma dos nmeros associados (s)

proposio(es) verdadeira(s).

01. O par ordenado ( 15,5) uma soluo do sistema S1.

02. O sistema S1 possvel e determinado.

04. A soluo do sistema S1 uma reta que no passa

pela origem.

08. O sistema S2: 030y-10x-

06y2x equivalente ao

sistema S1.

10. (UFSC) Assinale a soma dos nmeros associados s proposies VERDADEIRAS

01. O nmero de elementos de uma matriz quadrada de

ordem 12 48.

02. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma

ordem.

04. A soma das razes da equao

x44

xx4

xxx

= 0 8.

08. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes

inversas.

16. O sistema 0yx

02y3x indeterminado.

11. (UFSC) Assinale a soma dos nmeros associados s proposies verdadeiras

01. A matriz

0213

1845

1524

0321

no possui inversa.

02. Se um sistema de equaes indeterminado, ento no se pode encontrar soluo para ele.

04. Uma pequena indstria produz trs tipos de

produto que indicamos por x, y, z. As unidades

vendidas de cada produto e o

faturamento bruto da empresa em trs meses

consecutivos so os dados na tabela abaixo.

Ento, os preos dos produtos x, y e z s podem

ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00

e R$ 3.000,00.

Ms

Unidades

de x

vendidas

Unidades

de y

vendidas

Unidades

de z

vendidas

Faturamento

bruto

1 1 5 3 R$

35.000,00

2 4 1 2 R$

15.000,00

3 5 6 5 R$

50.000,00

08. A soluo da equao 0

213

42

142

x x = 1

12. (UFSC) Assinale as proposies corretas.

01. O par ordenado (x, y) = (5, 2) a nica soluo do

sistema 276y3x

92yx

02. A matriz A = (aij)1 3, tal que aij = i 3j

A = 852 . 04. A soma dos elementos da inversa da matriz

10

11 igual a 2.

08. Uma matriz quadrada A se diz anti-simtrica se

tA = -A, sendo tA a transposta da matriz A.

Nessas condies, pode-se afirmar que a matriz



001

000

100

anti-simtrica.

16. Se as matrizes P, Q e R so escolhidas entre as

listadas a seguir, para que PQ R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.

2

1

3

, 53x , x20

116,

6

19

32. A e B so matrizes quadradas de ordem 2 tais

que A = 5B. Nestas condies, pode-se afirmar

que det(A) = 5det(B), sendo que det(A) e

det(B) designam, respectivamente, os

determinantes das matrizes A e B.

13. (UFSC) Marque a(s) proposio(es) correta(s).

01. Dada uma matriz A, de ordem m x n, e uma matriz

B de ordem n x p, a matriz produto A.B existe e

de ordem m x p.

02. Se um sistema de equaes possui mais equaes

do que incgnitas, ento ele incompatvel

(impossvel).

04. A terna (2, 1, 0) soluo do sistema

x y z

x y z

x y z

x y z

2 3 4

2 2 3

3 7

6 2 2 14

08. Trs pessoas foram a uma lanchonete.

A primeira tomou 2 (dois) guarans e comeu 1

(um) pastel e pagou R$ 4,00. A segunda tomou 1

(um) guaran e comeu 2(dois) pastis e pagou R$

5,00. A terceira tomou 2 (dois) guarans e comeu

2(dois) pastis e pagou R$ 7,00. Ento, pelo

menos, uma das pessoas no pagou o preo

correto.

14. (FUVEST) O sistema linear

ayx

ayx

9log4log

3log2log

a) tem soluo nica se a = 0 b) tem infinitas solues se a = 2 c) no tem soluo se a = 3 d) tem infinitas solues se a = 4 e) tem soluo nica se a = 9

GABARITO

Unidade 1

1) R$ 45,20

2) 252

3) 8 dias

4) a) 20 b) 2 c) 240 d) 0,6

e) 0,06 f) 0,0025

g) 70% 5) e

6) 08

7) b

8) a

9) a

10) a

11) a

12) 44

13) 40

14) d

15) 02

Unidade 2

1) 15

2) a) 9 b) 3

c) 8

3) 05

4) c

5) d

6) a

7) 04

8) 02

9) d

10) 08

11) 12

12) e

13) d

14) 60

15) c

Unidade 3 1) 24

2) 60

3) 24

4) 210

5) c

6) a

7) 28

8) e

9) a

10) 30

11) 35

12) 12

13) d

14) a

Unidade 4

1) 19

2) b

3) 13

4) 32

5) 04

6) c

7) c

8) Cn, p 9) b

10) d

11) c

Unidade 5

1) 280

2) 01

3) 37

4) a

5) e

6) a

7) e

8) 01

9) c

10) a

Unidade 6

1) a) 5 b) 0 c) 38

2) 4 3) 66

4) 66

5) d

6) 00

7) d

8) 66

9) d

10) a

Unidade 7

1) 23

2) 35

3) b

4) 11

5) 07

6) 04

7) b

8) e

9) e

10) d

Unidade 8

1) d

2) d

3) 08

4) c

5) c

6) c

7) 00

8) b

9) e

10) 03

Unidade 9

1)

2 1 1 12 3 2 4 5

5 2 4 13 4 3 2 5

8 5 9 9

a b c d) ) ) )

2) 34

3) 6 e 2

4) 36

5)a) 2 22 2

X

b) 3 04 1

X

3 3

5 1Y

6) 12 7) e

8) 12

9) d

10) e

11) b

12) b

13) 9 17

10 12

14) a

15) b

Unidade 10

1) b

2) 05

3) 00

00

4) 01

5) 56

6) a) 14 b) 11

c) 15

7) 03

8) 08

9) 05

10) d

11) 01

12) 40

13) 32

14) 80

15) 0 0

0 0

16) 56

17) 19

18) e

19) b



Unidade 11

1) 12 2) 6

3) c

4) 121

5) 36

6) a

7) b

8) a

9) d

10) e

11) d

12) d

13) a

14) a

15) 5 e 1

16) d

17) 05

18) c

19) 05

20)

Unidade 12

1) 03

2) b

3) a

4) 02

5) 02

6) 26

7) a

8) a

9) 09

10) 04

11) 09

12) 18

13) 13

14) c

04matematica d semi marcao

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