04 tópico 3 - regressão multipla

EconometriaTópico 3 – Regressão Múltipla

O Problema da Inferência

Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Adjunto da Faculdade de Economia

e do PPGE (Economia) UFPA

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Análise da Regressão Múltipla (Tópico 2):

O problema da Inferência

O que devemos ter em mente?

- Normalidade dos resíduos, portanto, devemosconsiderar:

𝑢𝑖~𝑁(0, 𝜎2)

- Deve-se levar em conta que nossos estimadores sãoos Melhores Estimadores Lineares Não Tendenciosos (MELNT)



A estatística t para avaliar os estimadores ’s continua amesma, ou seja, para avaliar a significância estatísticaindividual dos estimadores devemos considerar que:

𝑡 = 𝛽1 − 𝛽1

𝑒𝑝 𝛽1

𝑡 = 𝛽2 − 𝛽2

𝑒𝑝 𝛽2

𝑡 = 𝛽3 − 𝛽3

𝑒𝑝 𝛽3

Nesse caso, segue distribuição t com n-3 graus deliberdade.



O teste de hipótese na Regressão Múltipla

Como já observado na regressão simples, o teste dehipótese anteriormente aplicado é semelhante a múltipla, poresse motivo, não iremos nos deter nesse tópico novamente,analisaremos apenas o modelo já estimado na seção anteriorsobre mortalidade infantil, e a partir deste modelo iremostecer alguns comentários sobre a análise da significância e daconstrução do intervalo de confiança.



O modelo estimado para o caso da mortalidade infantilfoi:

𝑀𝐼𝑖 = 263,6416 − 0,0056𝑃𝑁𝐵𝑝𝑐𝑖 − 2,2316𝑇𝐴𝐹𝑖

𝑒𝑝 = 11,5932 0,0019 0,2099

𝑡 = 22,7411 −2,8187 −10,6293

𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 = 0,00000 0,0065 0,000000

𝑅2 = 0,7077 𝑅2 = 0,6981

Podemos estabelecer que:𝐻0: 𝛽2 = 0 𝑒 𝐻1: 𝛽2 ≠ 0



A interpretação literal da hipótese nula (H0) seria a de que,mantida constante a Taxa de Alfabetização Feminina, X2 (PNBpc)NÃO EXERCE influência (linear) sobre Y ( Mortalidade Infantil). Paratestar tal hipótese, usamos o teste t, onde:

𝑡 = −0,0056

0,0020= −2,8187

Podemos então achar o valor tabelado para comparar se ovalor do t calculado de -2,8187 é, em módulo, maior que o valortabelado, para encontrarmos o valor tabelado basta consultarmosa tabela t para 𝛼 = 5% e com 61 graus de liberdade, haja vistaque o número de observações utilizadas é de 64.

Com (n-k) graus de liberdade, sendo k o número devariáveis, teremos: (64-3=61 gl) o valor tabelado portanto é de 2



Assim, podemos verificar que o valor calculado é maiorque o tabelado, nos direcionando a rejeição da hipótese nula.Logo a conclusão é de que é significativo o efeito do PNBpc naMortalidade Infantil. A seguir podemos visualizar o gráficopara essa situação:



Outro importante elemento a ser considerado é o intervalode confiança do modelo, com os resultados fornecidos já épossível construí-lo com base na seguinte fórmula:

𝛽2 − 𝑡𝛼2𝑒𝑝 𝛽2 ≤ 𝛽2 ≤ 𝛽2 + 𝑡𝛼

2𝑒𝑝( 𝛽2)

Com os valores informados verifica-se que:−0,0056 − 2 0,002 ≤ 𝛽2 ≤ −0,0056 + 2 0,002

−0,0096 ≤ 𝛽2 ≤ −0,0016

Com isso, o intervalo acima incluirá o verdadeiro valor docoeficiente 𝛽2 com um nível de confiança de 95%. Dessa forma, se100 amostras de tamanho 64 forem selecionadas e 100 intervalosde confiança como o de cima forem formulados, esperamos queem 95 deles incluam o verdadeiro parâmetro populacional 𝛽2.



No tópico anterior foi calculado o teste deNormalidade, e verificou-se que os resíduos atenderam ahipótese de normalidade.

O teste de significância geral

Já foi retratado que devemos testar se os estimadores𝛽2 e 𝛽3 são em conjunto iguais a zero, ou seja, devemosverificar se 𝛽2 = 𝛽3 = 0 , para realizar tal procedimento,deveremos recorrer a estatística F.

Quando abordamos a regressão linear simples, fizemosuma análise sobre a estatística F, sua forma de interpretação eo cálculo de sua estatística a partir da tabela da ANOVA.



Porém ficou claro que em modelos simples a medida daF não possui muito sentido, haja vista que temos apenas umavariável independente, no caso da regressão múltipla,teremos duas ou mais variáveis independentes no modelo, oque deixa o teste F com maior sentido.

Para tanto, vamos recorres a Tabela da ANOVA,lembrando que essa tabela é composta pela Soma deQuadrados, que para o modelo múltiplo foi verificado nasaulas anteriores.

Assim:



𝑦𝑖2 = 𝛽2 𝑦𝑖𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑦𝑖𝑥3𝑖 + 𝑢𝑖

2

𝑆𝑄𝑇 = 𝑆𝑄𝐸 + 𝑆𝑄𝑅

Considerando a hipótese de normalidade temos:

𝐹 =

𝛽2 𝑦𝑖𝑥2𝑖 + 𝛽3 𝑦𝑖𝑥3𝑖2

𝑢𝑖2

𝑛 − 3

=𝑆𝑄𝐸/𝑔𝑙

𝑆𝑄𝑅/𝑔𝑙



Assim a nossa tabela da ANOVA é composta por:

No nosso exemplo temos:



Como a partir dos dados da regressão podemosencontrar toda a estrutura da ANOVA?

Na verdade a regressão solta dois valores pelos quaispodemos encontrar todos os dados da ANOVA, são a SQR e oR2.

Vejamos no resultado do modelo de MortalidadeInfantil

Análise da Regressão Múltipla (Tópico

2): O problema da Inferência

Devemos lembrar que:

𝑅2 = 1 −𝑆𝑄𝑅

𝑆𝑄𝑇

E que:𝑆𝑄𝑇 = 𝑆𝑄𝐸 + 𝑆𝑄𝑅

Se temos 𝑅2 e SQR podemos concluir então que:

𝑆𝑄𝑇 =𝑆𝑄𝑅

1−𝑅2 logo: 𝑆𝑄𝑇 =106.315,6

1−0,707665= 363.677,3

𝑆𝑄𝐸 = 363.677,3 − 106.315,6 = 257.361,7

Considerando: (n-k)=61 e k-1=2 temos



𝐹 =

257.361,72

106.315,661

=128.680,8

1.742,879= 73,8324

Portanto, apenas com duas informações é possívelencontrar todos os valores da tabela da ANOVA.

Considerando então um modelo com k variáveis:𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖

Formula-se a hipótese:𝐻0: 𝛽2 = 𝛽3 = ⋯ = 𝛽𝑘 = 0

Considerando os resultados da F do modelo damortalidade infantil, rejeita-se a hipótese nula, conclui-se quepelo menos um dos estimadores é diferente de zero.



A importante relação entre o 𝑹𝟐 e a estatística F

Verificamos que:

𝐹 =𝑛 − 𝑘

𝑘 − 1×

𝑆𝑄𝐸

𝑆𝑄𝑅

=𝑛 − 𝑘

𝑘 − 1×

𝑆𝑄𝐸

𝑆𝑄𝑇 − 𝑆𝑄𝐸

=𝑛 − 𝑘

𝑘 − 1×

𝑆𝑄𝐸/𝑆𝑄𝑇

1 −𝑆𝑄𝐸𝑆𝑄𝑇

=𝑛 − 𝑘

𝑘 − 1×

𝑅2

1 − 𝑅2

=

𝑅2

𝑘 − 11 − 𝑅2

𝑛 − 𝑘



Ou seja, para realizar a estatística F, basta quetenhamos o valor do R2.

Dessa forma, podemos encontrar a tabela ANOVA pelaseguinte maneira:



A contribuição “incremental” ou “marginal” de umavariável independente (explanatória)

No tópico anterior, fazendo uso das variáveispadronizadas, podemos observar que a variável Taxa deMortalidade Infantil tinha um peso (impacto) maior naredução da Taxa de Mortalidade Infantil.

Com o R2 é possível fazer uma outra análise,verificamos que o R2 para o modelo foi de 0,7077, mas nãopodemos informar qual parte desse valor deve-se à variávelPNBpc e qual deve-se a TAF, graças a possível correlação quepossa ocorrer entre as duas variáveis na amostra. Podemosaplica a técnica da ANOVA para identificar isso.



Procederemos da seguinte forma: será feita umainclusão sequencial estimando um modelo linear tendo comovariáveis dependentes PNBpc e em seguida um modelo comapenas a TAF. Aqui na verdade queremos verificar acontribuição individual de cada variável, ou seja, queremossaber se a inclusão da variável no modelo aumenta a SQE (e,por conseguinte, o R2).

A regressão obtida considerando apenas MI e PNBpcserá:



A tabela ANOVA da Regressão será:


2): O problema da InferênciaNesse caso o valor da estatística F já se encontra no modelo(12,3598), mas a sua fórmula de cálculo será:

𝐹 =60.449,5

4890,7822= 12,3598

Pelo resultado do modelo, verifica-se que a estatística F ésignificativa, observe que se pegarmos a razão t e elevarmos aoquadrado (-3,5156)^2= 12,3594, que é um valor muito próximo aestatística F obtida.

Então vamos para a próxima etapa com os seguintesquestionamentos:1) Qual a contribuição marginal da TAF, sabendo que o PNBpc já

está no modelo e tem relação significativa com MI?2) A contribuição incremental da TAF é estatisticamente

significativa?3) Qual o critério para acrescentar variáveis no modelo?



Para responder a tais perguntas, devemos fazer uso daANOVA. Para isso vamos visualizar, em uma tabela, acontribuição incremental de TAF no modelo, para fazer essaavaliação devemos fazer o seguinte passo:

𝐹 =𝑄2/1

𝑄4/61

=

𝑆𝑄𝐸𝑛𝑜𝑣𝑜 − 𝑆𝑄𝐸𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜𝑛º 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠

𝑆𝑄𝑅𝑛𝑜𝑣𝑜𝑔𝑙(= 𝑛 − 𝑛º 𝑑𝑒 𝑛𝑜𝑣𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑣𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜)

Logo usando 𝐹 =𝑄2/1

𝑄4/61



Em que o 𝑆𝑄𝐸𝑛𝑜𝑣𝑜 = 𝑆𝑄𝐸 sob o novo modelo (ou seja, apósadicionar os novos regressores = 𝑄3), 𝑆𝑄𝐸𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜 = 𝑆𝑄𝐸 nomodelo velho (= 𝑄1) e 𝑆𝑄𝑅𝑛𝑜𝑣𝑜 = 𝑆𝑄𝑅 no novo modelo (ouseja, levando em conta todos os regressores = 𝑄4). Assim:



𝐹 =196.912,9

1742,8786= 112,9814

No entanto, a forma mais fácil de se fazer isso éutilizando o R2, cuja expressão:

𝐹 =(𝑅𝑛𝑜𝑣𝑜

2 − 𝑅𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜2 )/𝑔𝑙

(1 − 𝑅𝑛𝑜𝑣𝑜2 )/𝑔𝑙

𝐹 =(0,7077 − 0,1662)/1

(1 − 0,7077)/61= 113,05

A hipótese aqui testada no caso é:𝐻0: 𝑇𝐴𝐹 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑆𝑄𝐸

http://youtu.be/iIQQ4WhGCrk

http://youtu.be/iIQQ4WhGCrk



Assim a tabela da ANOVA fica:



Quando acrescentar uma nova variável?

O procedimento que verificamos anteriormente naestatística F induz à um método formal para decidir sedevemos adicionar uma variável ao modelo de regressão.Frequentemente, os pesquisadores são confrontados com atarefa de escolher entre vários modelos que envolvem amesma variável dependente, mas diferentes variáveisindependentes. A se fazer uma escolha ad hoc (pois muitasvezes o fundamento teórico é fraco), caímos na tentação deescolher o modelo que reflete o maior R2 ajustado.



Teste de igualdade para dois coeficientes de regressão

Uma das formas de verificarmos a inserção ou não denovas variáveis no modelo e observar a restrição (ouigualdade) dos estimadores de tais variáveis.

Suponha que estejamos trabalhando com a seguinteregressão múltipla:

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝛽4𝑋4𝑖 + 𝑢𝑖

E que desejamos testar as seguintes hipóteses:

𝐻0: 𝛽3 = 𝛽4 ou 𝛽3 − 𝛽4 = 0

𝐻0: 𝛽3 ≠ 𝛽4 ou 𝛽3 − 𝛽4 ≠ 0



Ou seja, com esse procedimento, passamos a verificarse (ou testar) se os dois coeficientes angulares 𝛽3 e 𝛽4, sãoiguais.

A hipótese nula tem importância prática. Imagine que omodelo anterior remeta a uma função demanda de um bem,onde Y= quantidade demandada do bem, X2 = o preço dobem; X3 = renda do consumidor; X4 = riqueza do consumidor.Neste caso, a hipótese nula significa que os coeficientes darenda e da riqueza são os mesmos. Ou, se 𝑌𝑖 e os X foremexpressos em foram logarítmica, a hipótese nula implica queas elasticidades renda e riqueza do consumo são iguais.



A hipótese nula com essas características pode ser testada apartir da seguinte expressão:

𝑡 = 𝛽3 − 𝛽4 − 𝛽3 − 𝛽4

𝑒𝑝 𝛽3 − 𝛽4

Que segue uma distribuição t com (n-4) graus de liberdade.O erro padrão pode ser obtido pela seguinte equação.

𝑒𝑝 𝛽3 − 𝛽4 = 𝑣𝑎𝑟 𝛽3 + 𝑣𝑎𝑟 𝛽4 − 2𝑐𝑜𝑣( 𝛽3, 𝛽4)

Logo:

𝑡 = 𝛽3 − 𝛽4 − 𝛽3 − 𝛽4

𝑣𝑎𝑟 𝛽3 + 𝑣𝑎𝑟 𝛽4 − 2𝑐𝑜𝑣( 𝛽3, 𝛽4)



Nota

Podemos estabelecer a covariância como:

𝑐𝑜𝑣 𝛽3, 𝛽4 =−𝜎2𝑟34

2

𝑥3𝑥4 − 𝑛 𝑋3 𝑋4 1 − 𝑟34

2



Com isso, o processo envolve os seguintes passos:

1) Estimados 𝛽3 e 𝛽4. Isso evidentemente pode ser feito peloprograma de sua escolha, nesse caso estamos vendo o Gretl.

2) A maioria dos programas calcula de forma rotineira os errospadrões de cada estimador.

3) Obtemos a razão t. Porém, devemos ter cuidado com ahipótese nula que passa a ser 𝛽3 − 𝛽4 = 0.

4) Se a variável t calculada for maior que o valor crítico de t nonível de significância proposto para dados graus de liberdade,poderemos rejeitar a hipótese nula; caso contrário, não arejeitamos. Como alternativa, se o valor p da estatística t forbaixo, poderemos rejeitar a hipótese nula.



Pelo resultado da função cúbica de custo total temos: 𝑌𝑖 = 141,7667 + 63,4777𝑋𝑖 − 12,9615𝑋𝑖

2 + 0,9396𝑋𝑖3

𝑒𝑝 = 6,3753 4,7786 0,9857 0,0591

𝑅2 = 0,9983 𝑐𝑜𝑣 𝛽3, 𝛽4 = −0,0576

𝑡 =−12,9615 − 0,9396

0,9867 2 + 0,0591 2 − 2 −0,0576

= −13,9011

1,0442= −13,3130

Usando 6 graus de liberdade (10-4), o valor t observado é superiorao valor tabelado, com isso, podemos concluir pela rejeição dahipótese nula, ou seja, os valores dos coeficientes são diferentes.

http://youtu.be/v9AMylRy3co

http://youtu.be/v9AMylRy3co



Mínimos Quadrados Restritos: testes de restrições deigualdade linear.

Existem ocasiões em que a teoria econômica sugereque os coeficientes de um modelo de regressão estão sujeitosa algum tipo de restrição de igualdade linear. Por exemplo,considere a função de produção Cobb-Douglas:

𝑌𝑖 = 𝛽1𝑋2𝑖𝛽2𝑋3𝑖

𝛽3𝑒𝑢𝑖

Na forma logarítmica já verificamos que:ln 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽2 ln 𝑋2𝑖 + 𝛽3 ln 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖

Vamos supor que queiramos fazer um teste paraverificar a existência de retorno constantes de escala, a teoriaeconômica estabelece que: 𝛽2 + 𝛽3 = 1



Trata-se, portanto, de um exemplo de restrição deigualdade linear. Para descobrir se realmente existemretornos constantes de escala podemos fazer uso de duasabordagens.

Abordagem do teste t: A forma mais simples é verificarpela expressão do teste t considerando agora as restrições,nesse caso antes estávamos testando:

𝛽2 = 𝛽3 o que resultava em 𝛽2 − 𝛽3 = 0

Agora a situação seria:

𝛽2 + 𝛽3 = 1 o que resulta em 𝛽2 + 𝛽3 − 1 = 0



Com isso a fórmula estatística do teste t para aexplicitar a restrição, que antes por hipótese era zero,tornando-se:

𝑡 =𝛽2 + 𝛽3 − 1

𝑣𝑎𝑟 𝛽2 + 𝑣𝑎𝑟 𝛽3 + 2𝑐𝑜𝑣 𝛽2, 𝛽3

Logo a hipótese nula a ser testada é:

𝐻0: 𝛽2 + 𝛽3 − 1 = 0 , ou seja, a restrição existe, oque implica que 𝛽2 + 𝛽3 = 1, concluindo-se pelos retornosconstantes a escala.

Rejeitar H0 é concluir pela existência ou de retornosdecrescentes ou retornos crescentes.



O que torna complicado o uso da t? O fato de calcular acovariância torna a operação ou uso dessa estatística, apesarde simples, mais demorado, pois teríamos que encontrar amatriz var-cov dos estimadores.

Porém há outro método, que pelo uso de duasregressões poderemos encontrar de forma mais rápida,apesar de dar mais trabalho, o nosso teste.



Abordagem do teste F: Mínimos Quadrados Restritos

Trata-se de uma abordagem mais direta seria a o testeF, no entanto, para realizar tal procedimento teríamos quemudar a nossa restrição, uma delas seria:

𝛽2 = 1 − 𝛽3 ou 𝛽3 = 1 − 𝛽2

Isso nos permite eliminar um dos coeficientes betas naequação das elasticidades de produção e reescrever a funçãoCobb-Douglas da seguinte forma:

ln 𝑌𝑖 = 𝛽0 + 1 − 𝛽3 ln 𝑋2𝑖 + 𝛽3 ln 𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖

= 𝛽0 + ln 𝑋2𝑖 + 𝛽3 ln 𝑋3𝑖 − ln 𝑋2𝑖 + 𝑢𝑖



Tal expressão resulta em:ln 𝑌𝑖 − ln 𝑋2𝑖 = 𝛽0 + 𝛽3 ln 𝑋3𝑖 − ln 𝑋2𝑖 + 𝑢𝑖

Que pela propriedade do log fica

ln𝑌𝑖

𝑋2𝑖= 𝛽0 + 𝛽3 ln

𝑋3𝑖

𝑋2𝑖+ 𝑢𝑖

Que nos dará a razão produção trabalho Y/X2 e a razãocapital trabalho X3/X2.

Com isso teríamos dois modelos, um com umarestrição, que foi a modelo que acabamos de construir eoutro modelo sem restrição, que é o modelo sem atransformação.

Quando formos analisar, o modelo com restrição será,geralmente, aquele que possuir menor número de variáveis.



Assim, podemos a partir dessa abordagem construiruma estatística F considerando a SQR de cada um dosmodelos, onde:

𝑢𝑆𝑅2 = SQR da regressão sem restrições

𝑢𝑅2= SQR da regressão com restrições

m = número de restrições lineares (no caso desseexemplo 1)

k = número de parâmetros da regressão sem restrições;

n = número de observações.

Assim,



𝐹 =

𝑆𝑄𝑅𝑅 − 𝑆𝑄𝑅𝑆𝑅𝑚

𝑆𝑄𝑅𝑆𝑅𝑛 − 𝑘

=

𝑢𝑅2 − 𝑢𝑆𝑅

2

𝑚 𝑢𝑆𝑅

2

𝑛 − 𝑘

=

𝑅𝑆𝑅2 − 𝑅𝑅

2

𝑚1 − 𝑅𝑆𝑅

2

𝑛 − 𝑘Onde,

𝑅𝑆𝑅2 ≥ 𝑅𝑅

2

e

𝑢𝑆𝑅2 ≤ 𝑢𝑅

2

Vamos verificar no exemplo para a função Cobb-Douglas no Gretl.

https://www.youtube.com/watch?v=MrOx1llmVuM

https://www.youtube.com/watch?v=MrOx1llmVuM



Como exercício reproduza no Gretl o exemplo 8.4 dapágina 219, sobre demanda de frango nos EUA.

Teste da Estabilidade estrutural ou dos parâmetrosnos modelos de regressão: O teste de Chow.

Esse teste é aplicado principalmente em series detempo, e sua finalidade é a de verificar se, ao longo dos anos,uma determinada economia teve uma mudança e suatrajetória, ou seja, ele define se ocorreu alguma mudança nocoeficiente de inclinação de nossa variável de interesse.



Agora o que seriam essas mudanças estruturais?Seriam mudança decorrentes de alguns aspectos como:

Decorrente de forças externas – Guerras, Embargoseconômicos, Copa do Mundo no Brasil, etc;

Decorrentes de mudanças na política Econômica:Câmbio Fixo para Flutuante, Plano Real, etc

Decorrentes de tomadas de decisões: Mudançastributárias, Investimentos no Nordeste, Construção de usinashidreelétricas, etc.



Como verificar se a mudança ocorreu ou não? É usadono Gujarati o exemplo da tabela 8.9, que apresenta dadossobre a renda pessoal disponível e a poupança pessoal, em biUS$, nos EUA entre 1970-1995.

Sabe-se que em 1982, ocorreu uma forte recessão naeconomia americana, fato que poderia influenciar na relaçãopoupança X renda.

A ideia e construir uma estrutura de modelo ondepossamos verificar se a partir do ano em que se verifica umamudança na economia, se a inclinação de nossa variável deinteresse mudou. Assim, pode-se construir 3 regressõesespecíficas:


2): O problema da Inferência1970-1981 = 𝑌𝑡 = 1 + 2𝑋𝑡 + 𝑢1𝑡 𝑛1 = 12 (a)

1982-1995= 𝑌𝑡 = 𝛾1 + 𝛾2𝑋𝑡 + 𝑢2𝑡 𝑛2 = 14 (b)

1970-1995= 𝑌𝑡 = 𝛼1 + 𝛼2𝑋𝑡 + 𝑢𝑡 𝑛 = 26 (c)

Como proceder com o teste de Chow?

1) Estima-se a regressão (c) que será adequada se não houverinstabilidade dos parâmetros estimados, obtém-se a SQR com(n-k) gl. Nesse caso ele será a 𝑆𝑄𝑅𝑅, nesse caso ela é restritapela imposição de 1 = 𝛾1 e 2 = 𝛾2, ou seja, as regressõesdos subperíodos são iguais.

2) Estima-se a equação (a) e obtemos a SQR1, com (𝑛1 − 𝑘) gl.

3) Estima-se a equação (b) e obtemos a SQR2, com (𝑛2 − 𝑘) gl.


2): O problema da Inferência4) Como estamos considerando que os dois conjuntos deamostras são independentes, podemos somar SQR1+SQR2 edizer que essa soma seja a Soma de Quadrado dos Resíduossem restrições (𝑆𝑄𝑅𝑆𝑅)

5) Aplicamos tudo na Fórmula da F, onde:

𝐹 =

𝑆𝑄𝑅𝑅 − 𝑆𝑄𝑅𝑆𝑅𝑘

𝑆𝑄𝑅𝑆𝑅𝑛 − 2𝑘

Vamos fazer no Gretl

https://www.youtube.com/watch?v=lmt8paMCp8M

https://www.youtube.com/watch?v=lmt8paMCp8M

FIM DO TÓPICO 2

04 tópico 3 - regressão multipla

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