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Reflexão, Rotação e Translação Proposta de conjunto de tarefas para o 2.º ciclo

Autores:

Professores das turmas piloto do 6.º ano de escolaridade Ano lectivo 2009/10

Maio de 2010

Proposta planificação: Reflexão, Rotação e Translação Escola 2º Ciclo Geometria Propósito Principal de Ensino: Desenvolver nos alunos o sentido de espacial, com ênfase na visualização e na compreensão das propriedades de figuras geométricas no plano e no espaço, a compreensão de grandezas geométricas e respectivos processos de medida, bem como a utilização destes conhecimentos e capacidades na resolução de problemas em contextos diversos. Objectivos Gerais: Compreender propriedades das figuras geométricas no plano e no espaço. Desenvolver a visualização e o raciocínio geométrico e ser capaz de os usar. Ser capaz de analisar padrões geométricos e desenvolver o conceito de simetria. Ser capaz de resolver problemas, raciocinar e comunicar matematicamente em situações que envolvam contextos geométricos. Tópicos e Subtópicos Objectivos Específicos Notas (2º ciclo) Tarefas Duração Reflexão, Rotação e Translação . Noção e propriedades da reflexão, da rotação e da translação. . Simetrias axial e rotacional (A) Identificar, predizer e descrever a isometria em causa dada a figura geométrica e o transformado. (B) Construir o transformado de uma figura a partir de uma isometria ou de uma composição de isometrias. (C) Compreender as noções de simetria axial e rotacional e identificar as simetrias numa figura. (D) Completar, desenhar e explorar padrões geométricos que envolvam simetrias. (E) Identificar as simetrias de frisos e rosáceas. (F) Construir frisos e rosáceas No estudo das isometrias recorrer à exploração de obras de arte e artesanato. Usar imagens obtidas por composição de isometrias. Fazer notar que a recta que contém a bissectriz de um ângulo é um eixo de simetria desse ângulo. Na identificação dos eixos de simetria de uma figura, dar particular relevo ao caso dos triângulos. Propor a construção de figuras com mais de um eixo de simetria. Na rotação, solicitar indicação do centro, do sentido e da amplitude do ângulo de rotação. Na construção de rosáceas, considerar a divisão do círculo num número par e ímpar de sectores, desenhar uma figura (motivo) num dos sectores, e, por decalque ou por dobragem, preencher os sectores seguintes segundo uma regra (rodar ou reflectir). Usar espelhos e dobragens de papel, representações gráficas e applets. T1 - Como peixe no papel (A) T2 - Geoplano e companhia: Translações, reflexões e rotações (A) (B) T3- Composições e mais composições� (B) (D) T4 - Descobrir eixos de simetria nos polígonos (C) T5 - O milagre dos dois espelhos (C) (E) (F) T6 -Frisos e mosaicos (F) (E)

T7 - Construir frisos e rosáceas com papel e tesoura (C) (E) (F) 90� 90�+45� 90� 90� 90� 90� 90�

Reflexão, rotação e translação 2.º ciclo

Tarefa 1: Como peixe no papel

Recorrendo ao acetato, descobre como podes transformar o peixe A no peixe B.

1 A B 2 A B 3 4 A B A B 5 A B

Foi sempre possível obter o peixe B a partir do peixe A? Explica como procedeste em cada uma das situações apresentadas.

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Reflexão, rotação e translação 2.º ciclo NPMATEB 2009/10 4 Planificação da Tarefa 1: Como Peixe no papel Com esta tarefa, que se enquadra no tema Geometria, pretende-se que os alunos descubram e distingam transformações no plano que tornam uma determinada figura invariante, iniciando assim o estudo de três tipos de isometria: reflexão, translação e rotação. Tema matemático: Geometria Nível de ensino: 2.º Ciclo Tópicos matemáticos: Reflexão, rotação e translação Subtópicos matemáticos: Noção e propriedades da reflexão, da rotação e da translação. Capacidades transversais: Raciocínio matemático Comunicação matemática Conhecimentos prévios dos alunos: . Visualizar e descrever posições, direcções e movimentos; . Resolver problemas envolvendo a visualização e a compreensão de relações espaciais. Aprendizagens visadas: . Identificar, predizer e descrever a isometria em causa, dada a figura geométrica e o transformado; . Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos; . Interpretar informação e ideias matemáticas representadas de diversas formas; . Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando vocabulário próprio; . Discutir resultados, processos e ideias matemáticos. Recursos: Figuras do peixe A em acetato (uma por grupo), enunciado da tarefa em acetato, réguas, retroprojector ou quadro interactivo. Duração prevista: 90 minutos


Notas para o professor: Nos primeiros 30 minutos, a pares, os alunos exploram as situações apresentadas e fazem registos sobre as suas descobertas. Nos 40 minutos seguintes realiza-se a discussão em grande grupo e nos últimos 20 minutos é feita a sistematização da tarefa e dos conceitos envolvidos.

Com esta tarefa pretende-se que os alunos descubram como podem transformar uma figura noutra, congruente, usando três tipos de isometrias: reflexão, translação e rotação. O professor distribui os enunciados das tarefas e entrega a cada par de alunos uma cópia do peixe A em acetato. Os alunos movem o acetato de modo a que o peixe A coincida, ponto por ponto, com o peixe B. São propostas cinco situações diferentes e, em relação a cada situação, os alunos devem efectuar registos sobre o procedimento que adoptaram para conseguir obter o peixe B partindo do peixe A.

Pretende-se que os alunos distingam três tipos de movimentos diferentes: -Nas situações 1 e 5 é necessário virar o acetato ao contrário para conseguir obter o peixe B; -Nas situações 2 e 4 é preciso deslocar o acetato num determinado comprimento, numa determinada direcção e sentido; -Na situação 3 temos de rodar o acetato; a figura é rodada a partir de um ponto fixo e num determinado ângulo.

O professor deve explicar que nas situações 1 e 5 o peixe B foi obtido por reflexão do peixe A segundo um eixo. No primeiro caso, trata-se de um eixo vertical e, no segundo, de um eixo horizontal. Com a orientação do professor, os alunos devem representar os respectivos eixos utilizando uma régua. O professor deve reforçar que todos os pontos do eixo estão à mesma distância (são equidistantes) do peixe A e do peixe B e que, se �dobrássemos� a folha de papel pelo eixo, os peixes ficariam sobrepostos ponto por ponto.

Nas situações 2 e 4 houve uma transformação no plano num determinado comprimento, numa determinada direcção e sentido, logo dizemos que ocorreu uma translação. Com a ajuda do professor, os alunos podem representar o comprimento, a direcção e o sentido em que ocorreu a transformação utilizando um vector, fazendo corresponder a um ponto do peixe A, o ponto do peixe B que é seu transformado.

Na situação 3 houve uma rotação em torno de um ponto, designado centro de rotação, pertencente ao peixe A, cujo ângulo de rotação é de 90 graus. É importante que o

professor esclareça que o sentido da rotação é negativo quando esta se faz no sentido dos ponteiros do

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relógio, e positivo quando se faz no sentido contrário. Com a orientação do professor, os alunos devem representar o centro e o ângulo de rotação.

No final da aula o professor faz uma sistematização sobre cada uma das transformações geométricas abordadas, explicando que todas são isometrias, isto é, transformam figuras noutras figuras congruentes, preservando a distância entre pontos e a amplitude dos ângulos.

Atendendo ao nível de escolaridade em causa é referido o movimento dos pontos da figura, para referir transformações no plano.

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Informação:

Isometrias

Uma isometria (iso=igual; metria=medição) é uma transformação geométrica que mantém as distâncias entre pontos e as amplitudes dos ângulos, transformando figuras noutras figuras congruentes.

Translações, reflexões e rotações são exemplos de isometrias.

Translação

Numa translação efectua-se uma transformação em que todos os pontos da figura original se deslocam segundo a mesma direcção, o mesmo sentido e percorrendo a mesma distância.

Reflexão

Cada ponto da figura original e o correspondente da figura reflectida estão sobre uma recta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo, e.

Rotação

O Todos os pontos do transformado são obtidos rodando a figura inicial em torno de um ponto fixo, o centro de

88º

rotação, segundo um ângulo orientado no sentido positivo ou no sentido negativo.

e O peixe da esquerda rodou em torno do ponto O no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de 88 graus.

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Explorações dos alunos Situação 1

Situação 2

Situação 3

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Situação 4

Situação 5

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Reflexão, rotação e translação 2.º ciclo NPMATEB 2009/10 10 Tarefa 2: Geoplano e companhia � translações, reflexões e rotações1 1. Identifica pelas respectivas letras as figuras que representam transformados da figura A por: . Translação . Reflexão A B C D E F G H I J K L 2. Desenha o transformado de cada uma das seguintes figuras, considerando as rectas representadas como eixo de reflexão (confirma os teus desenhos com a Mira). 3. Desenha o triângulo C´A´T´ obtido por uma rotação de 180º do triângulo CAT em torno do ponto O. Valida o teu desenho, recorrendo à utilização de papel vegetal: copia a figura constituída pelo triângulo CAT e pelo ponto O e roda-a 180 graus em torno de O, verificando se a figura que obtiveste é congruente com a que desenhaste. 1 Adaptado de �Normas para o Currículo e Avaliação em Matemática Escolar�, Adenda �Geometria dos 2.º e 3.º Ciclos� (NCTM, 2001)


4. �Transformer� Descreve um movimento que transforme a primeira figura na segunda (para te ajudar na visualização podes usar o acetato com a figura):

a) A figura A na figura B. b) A figura A na figura C. c) A figura B na figura D. d) A figura B na figura E. e) A figura B na figura F.

Nota: as letras apresentadas servem apenas para identificar cada figura, não pertencendo à própria figura.

5. Transformações no geoplano a) Coloca um elástico no geoplano para funcionar como eixo de reflexão. Constrói uma figura do lado esquerdo do eixo e pede ao teu colega para construir o transformado por reflexão. Regista os resultados no papel ponteado. Troquem de funções e repitam o procedimento.

b) No canto inferior esquerdo do geoplano, constrói um triângulo escaleno pequeno. Pede ao teu colega para construir o transformado, dessa figura, por translação. Desenhem, no papel ponteado a figura e a imagem descrevendo a transformação ocorrida.

c) Na parte central do geoplano pede ao teu colega para construir um triângulo rectângulo escaleno e tu vais construir o transformado por rotação de 90o (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio) em torno do vértice do ângulo recto. Façam os respectivos registos no papel ponteado.

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Reflexão, rotação e translação 2.º ciclo NPMATEB 2009/10 12 Planificação da Tarefa 2: Geoplano e companhia � translações, reflexões e rotações Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos explorem os conceitos de translação, reflexão e rotação e desenvolvam capacidades de visualização, reforçando a compreensão dos conceitos relativos às transformações geométricas. Tema matemático: Geometria Nível de ensino: 2.º Ciclo Tópicos matemáticos: Reflexão, rotação e translação Subtópicos matemáticos: Noção e propriedades da reflexão, da rotação e da translação. Capacidades transversais: Raciocínio matemático Comunicação matemática Conhecimentos prévios dos alunos: . Visualizar e descrever figuras e identificar propriedades que as caracterizam;

. Resolver problemas envolvendo a visualização e a compreensão de relações espaciais. Aprendizagens visadas: . Identificar, predizer e descrever a isometria em causa, dada a figura geométrica e o seu transformado. . Construir o transformado de uma figura a partir de uma isometria ou de uma composição de isometrias; . Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a exemplos e contra-exemplos e à análise exaustiva de casos; . Formular e testar conjecturas e justificá-las fazendo deduções informais; . Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando vocabulário próprio; . Discutir resultados, processos e ideias matemáticos. Recursos: Mira ou espelho; papel vegetal ou acetato, geoplano, papel ponteado, elásticos, computador e projector, acetato e canetas ou quadro interactivo. Duração prevista: 90 minutos + 45 minutos


Notas para o professor: Nos primeiros 40 minutos, para responder às questões de 1 a 4, os alunos, a pares, exploram as situações apresentadas e fazem registos sobre as suas descobertas. Nos 30 minutos seguintes realiza-se a discussão em grande grupo e nos últimos 20 minutos é feita a sistematização da tarefa e dos conceitos envolvidos.

Na aula seguinte, os alunos fazem explorações respeitantes à quinta parte da tarefa durante 25 minutos, sendo os restantes 20 minutos dedicados à sistematização dos conceitos envolvidos.

Sugere-se que o professor faça a exploração/sistematização das questões apresentadas através da comunicação feita pelos grupos aquando da apresentação dos seus resultados. O professor pode projectar no quadro branco a ficha de trabalho para que os alunos utilizem essa projecção para comunicar à turma as suas descobertas. Em alternativa cada grupo pode ter um acetato e canetas. É importante que seja utilizado um acetato ou papel vegetal para facilitar a visualização dos movimentos, enriquecendo a exploração da tarefa.

Relativamente à primeira questão, os transformados por translação da figura A são D, F, G e H. Os transformados por reflexão são B, C e I. Pode recorrer-se ao desenho da figura no papel vegetal ou acetato que desliza um determinado comprimento, numa determinada direcção e sentido.

Na segunda questão os alunos devem desenhar os transformados da figura inicial (imagens da figura inicial) antes de usarem material manipulável, que apenas devem servir para confirmação das suas conjecturas. A Mira é um recurso útil e adequado para confirmar as reflexões.

Quanto à terceira questão, os alunos podem copiar a figura e o centro de rotação para papel vegetal ou acetato e rodá-la fixando o centro de rotação, verificando assim se a figura se sobrepõe ao transformado.

Na quarta questão prevê-se que os alunos apresentem diferentes descrições para o mesmo problema. O professor deve encorajar os alunos a argumentarem as suas respostas, a escutar e a verificar as soluções alternativas dos seus colegas para compreenderem que podem existir mais do que uma resposta correcta para cada problema.

Existe apenas uma isometria que transforma uma figura noutra. Porém, essa figura pode ser obtida da outra figura através da composição de várias isometrias.

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Pretende-se que os alunos, na alínea a), identifiquem a reflexão de eixo vertical como a transformação geométrica que permite obter a figura B a partir da figura A.

Relativamente à alínea b), pretende-se que a transformação identificada seja a translação, com um comprimento igual a 4 (tomando como unidade a distância entre dois pontos consecutivos), direcção horizontal e sentido da esquerda para a direita. Os alunos podem ainda identificar a composição de duas reflexões de eixo vertical (A para B e B para C) para obter a figura C a partir da figura A.

Na alínea c) deve ser reconhecida a rotação como transformação que permite obter a figura D a partir da figura B. O centro da rotação é o ponto comum a ambas as figuras, o ângulo é de 180º considerando a rotação no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo), ou -180º considerando a rotação no sentido dos ponteiros do relógio (sentido negativo). Ainda é possível que seja identificada a composição de duas reflexões (de B para E e de E para D ou ainda de B para A e de A para D).

Na alínea d) pretende-se que os alunos reconheçam que a reflexão de eixo horizontal é a transformação em causa. Nesta situação pode acontecer que os alunos sugiram que a figura E se obtenha a partir da figura B por composição de três reflexões (de B para A, de A para D e de D para E). Também pode surgir a composição de uma reflexão (B para C) com uma rotação (C para E).

Na alínea e) temos a composição da reflexão (de B para E) com a translação (de E para F). O professor deve referir que, neste caso, a transformação designa-se por reflexão deslizante.

O professor pode sugerir como trabalho suplementar que os alunos coloquem questões semelhantes às trabalhadas na aula e explorem as respectivas soluções. Por exemplo, pedir o(s) movimento(s) que permitem obter a figura F a partir da figura A. Os alunos podem referir a composição de duas reflexões (A para B e B para E) com uma translação (E para F), apesar da isometria em causa ser a reflexão deslizante (translação de A para C composta com reflexão de C para F).

Na quinta questão, a utilização do geoplano e os registos em papel ponteado fornecem ainda outra experiência de aprendizagem para a exploração das transformações e para o desenvolvimento das capacidades de visualização e destrezas psico-motoras. O facto de serem os próprios alunos a colocarem questões aos seus colegas, para além de promover a autonomia

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e a partilha de ideias matemáticas entre si, permite também que estes tenham um papel activo na construção do seu conhecimento matemático.

O uso do geoplano está indicado para esta questão, mas o professor também pode usá-lo como recurso auxiliar na visualização dos transformados das questões anteriores.

A discussão e a formulação de questões acerca dos resultados obtidos devem conduzir a considerações sobre quais as propriedades que se mantêm numa translação, reflexão e rotação (por exemplo, o comprimento dos segmentos de recta, a amplitude dos ângulos e, no caso da translação, a direcção).

O professor deve verificar se os alunos reconhecem que em cada uma das transformações a figura resultante é congruente com a figura inicial. Devem ser investigadas as propriedades para que os alunos descubram que a orientação do transformado nem sempre se mantém (podem dar

o exemplo de quando o professor coloca �incorrectamente� um acetato no retroprojector). Também podem ser discutidas transformações que não são de isometrias (transformações que distorcem ou alteram uma figura), tais como as imagens obtidas nos espelhos curvos dos parques de diversões ou as ampliações e reduções tiradas na fotocopiadora.

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Tarefa 3: Composições e mais composições2

A � Composição de duas reflexões de eixos paralelos

1.º Dobra o papel vegetal pelo eixo a. 2.º Decalca a seta da figura, usando um lápis afiado e fazendo pressão com a ponta do lápis. 3.º Dobra a folha pelo eixo b e torna a decalcar (desta vez, decalcas a segunda seta). 4.º Desdobra o papel e compara a primeira e a última setas. Descreve o que observas.

Usando dois eixos paralelos, o que prevês quando fazes reflexões consecutivas?

B � Composição de duas reflexões de eixos concorrentes

1.º Com um procedimento semelhante ao anterior, decalca a seta usando o eixo c e depois o eixo

d. 2.º Desdobra o papel e compara a primeira seta e a última. O que observas? Utiliza o transferidor e mede o menor ângulo entre as duas rectas. Qual será a relação entre o ângulo formado pelas duas rectas e o ângulo formado pela posição inicial e final da seta.

2 Adaptado de Conjuntos de tarefas do Programa de Acompanhamento e Formação Contínua em Matemática, ESE do Instituto Politécnico do Porto

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Prática Compreensiva de Procedimentos

1. Indica o número mínimo de reflexões necessário para que a figura A� seja o transformado da figura A. São necessárias _____________________ . Representa-as. Que outra transformação te permitiria obter a figura A´ a partir da figura A? A

A�

2. Indica como podes obter uma pegada a partir da outra: NPMATEB 2009/10


Tempo de estudo complementar

1. Desenha todas as reflexões possíveis da figura 1 de acordo com os eixos de reflexão representados. Figura 1 NPMATEB 2009/10

Reflexão, rotação e translação 2.º ciclo NPMATEB 2009/10 19 Planificação da tarefa 3: Composições e mais composições! Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos construam o transformado de uma figura a partir de uma composição de isometrias e relacionem a figura inicial com a figura obtida com a composição de duas reflexões de eixos paralelos ou com a composição de duas reflexões de eixos concorrentes. Tema matemático: Geometria Nível de ensino: 2.º Ciclo Tópicos matemáticos: Reflexão, rotação e translação Subtópicos matemáticos: Noção e propriedades da reflexão, da rotação e da translação Capacidades transversais: Raciocínio matemático Comunicação matemática Conhecimentos prévios dos alunos: . Resolver problemas envolvendo a visualização e a compreensão de relações espaciais; . Visualizar e descrever posições, direcções e movimentos; . Identificar, numa grelha quadriculada, pontos equidistantes de um dado ponto; . Descrever a posição de figuras desenhadas numa grelha quadriculada recorrendo à identificação de pontos através das suas coordenadas . Identificar, predizer e descrever a isometria em causa, dada a figura geométrica e o transformado. Aprendizagens visadas: . Construir o transformado de uma figura, a partir de uma isometria ou de uma composição de isometrias; . Completar, desenhar e explorar padrões geométricos que envolvam simetrias; . Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a exemplo e à análise de casos; . Formular e testar conjecturas e justificá-las fazendo deduções informais; . Traduzir relações de linguagem natural para linguagem matemática e vice-versa;

. Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando vocabulário próprio;

Reflexão, rotação e translação 2.º ciclo NPMATEB 2009/10 20 . Discutir resultados, processos e ideias matemáticos. Recursos: Cópias em papel vegetal das figuras das setas em fundo quadriculado, régua, acetato com enunciado da tarefa, canetas de acetato, retroprojector ou quadro interactivo. Duração prevista: 90 minutos Notas para o professor: Nos primeiros 20 minutos, a pares, os alunos resolvem as situações apresentadas em A e em B, seguindo as instruções e registando as suas descobertas. Nos 40 minutos seguintes realiza-se a discussão em grande grupo e a sistematização dos conceitos envolvidos. Nos 30 minutos seguintes, os alunos realizam a prática compreensiva de procedimentos e é feita a sua discussão. Com esta tarefa pretende-se que os alunos explorem composições de duas isometrias. Na parte inicial dá-se ênfase à composição de duas reflexões de eixos paralelos e de duas reflexões de eixos concorrentes (não perpendiculares). A composição de duas reflexões de eixos paralelos é explorada usando papel vegetal e lápis. A figura, reproduzida em papel vegetal (em anexo), permite que os alunos dobrem pelo eixo a e decalquem facilmente a seta original. De seguida dobram o papel pelo eixo b e decalcam a segunda seta. Posteriormente, os alunos passam à composição de duas reflexões de eixos concorrentes, usando um processo análogo ao anterior. Na fase de discussão das situações A e B o professor deve colocar as seguintes questões acerca da situação A (composição de duas reflexões de eixos paralelos): - Que transformação geométrica ocorreu quando se obteve a segunda seta, por dobragem e decalque através do eixo a? - E que transformação houve quando se passou da segunda para a terceira seta, por dobragem e decalque através do eixo b? - Comparando a primeira com a última seta, o que se verifica? - Qual é a distância entre as duas rectas? - Que relação existe entre a distância entre as duas rectas e a distância entre a primeira e última seta? Em relação à situação B (composição de duas reflexões de eixos concorrentes), o professor poderá colocar as seguintes questões: - Que transformação geométrica ocorreu quando se obteve a segunda seta por dobragem e decalque através do eixo c?


-E que transformação houve quando se passou da segunda para a última seta, por dobragem e decalque através do eixo d? -Comparando a primeira com a última seta, o que se verifica? -Qual é a medida da amplitude do menor ângulo formado pelas duas rectas? (os alunos devem medir a amplitude com a ajuda do transferidor) -Que relação existe entre a amplitude desse ângulo e a amplitude do ângulo formado entre a posição inicial e final da seta? Os alunos devem unir um ponto da seta original ao ponto onde as rectas se intersectam � esse ponto é o vértice do ângulo. Depois unem o vértice do ângulo ao ponto correspondente do transformado. Por último, medem a amplitude do ângulo formado pelos dois segmentos de recta que traçaram. Concluem que a amplitude deste ângulo é o dobro da amplitude do ângulo formado pelas duas rectas.

Após a discussão, o professor sistematiza cada uma das composições estudadas, levando os alunos a compreender que: -ao efectuar uma reflexão em relação a uma recta, seguida de uma reflexão em relação a uma outra recta, paralela à primeira (composição de duas reflexões de eixos paralelos), obtém-se um efeito correspondente ao de uma translação, definida por uma direcção perpendicular aos eixos de reflexão e deslocamento igual ao dobro da distância entre os dois eixos. -ao efectuar uma reflexão em relação a uma recta, e depois uma reflexão em relação a uma outra recta, que tenha um ponto comum com a primeira (composição de duas reflexões de eixos concorrentes), obtém-se um efeito equivalente ao de uma rotação em torno desse ponto: a amplitude do ângulo de rotação é igual ao dobro da amplitude do ângulo formado pelas duas rectas.

No final da aula os alunos realizam duas questões, onde utilizam os conhecimentos adquiridos. A primeira situação é semelhante à anterior, porém com os eixos de reflexão perpendiculares. Os alunos devem traçar os respectivos eixos e a figura �intermédia� (transformado após a primeira reflexão). A segunda situação consiste numa abordagem à reflexão deslizante. Pretende-se que os alunos concluam que, para obter o transformado do primeiro pé, é preciso que ocorra uma reflexão de eixo horizontal composta com uma translação de direcção paralela ao eixo de reflexão (reflexão deslizante).

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Anexo

ab c d NPMATEB 2009/10


Informação

Composição de duas reflexões3

Se os eixos forem paralelos:

Se efectuarmos primeiro uma reflexão em relação a uma recta e depois uma reflexão em relação a uma outra recta, paralela à primeira, o efeito obtido corresponde ao de uma translação, numa direcção perpendicular às duas rectas e deslocamento igual ao dobro da distância entre essas duas

rectas. Qualquer reflexão inverte o sentido (troca a direita com a esquerda): a imagem no espelho de um gato, que tem a cauda para a direita, é um gato, com a cauda para a esquerda. Uma translação (que equivale à composição de duas reflexões) mantém a posição da cauda do gato

Se os eixos forem concorrentes:

Neste caso, as imagens não se encontram dispostas ao longo de uma linha. O gato mais à esquerda rodou em torno de um centro de modo a coincidir com o gato da direita.

Na verdade, ao efectuarmos uma reflexão em relação a uma recta e, seguidamente, outra reflexão em relação a uma outra recta que tenha um ponto em comum com a primeira, o efeito obtido equivale ao de uma rotação em torno desse ponto, cujo ângulo é o dobro do ângulo entre as duas rectas.

3 Adaptado de: Simetria jogos de espelhos (P. Cereda e outros)

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Explorações dos alunos

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Tarefa 4: Descobrir eixos de simetria em polígonos

1. Será que consegues, utilizando um espelho, obter a figura completa, partindo apenas de uma parte da figura? Experimenta com esta estrela. Se for possível, desenha o(s) eixo(s) de simetria. 2. Descobre todos os eixos de simetria de cada um dos polígonos regulares. ALGUNS POLÍGONOS REGULARES 2.1 Faz os registos na tabela seguinte. N.º de lados do polígono regular 3 4 5 6 7 8 ... n N.º de eixos de simetria ...

2.2. Na tabela que preencheste, que relação observas entre o número de lados do polígono e o número de eixos de simetria? 2.3. Em cada um dos polígonos regulares, explica por onde passam os eixos de simetria em relação aos vértices e aos lados. 2.4. Observa os eixos de simetria que traçaste em cada polígono. Como ficam divididos os ângulos que são atravessados por eixos de simetria? NPMATEB 2009/10


3. Já viste na questão anterior quantos eixos de simetria possui um triângulo equilátero. Experimenta agora para outros tipos de triângulos e escreve as tuas conclusões acerca do número de eixos de simetria de cada um deles. ALGUNS TRIÂNGULOS NÃO EQUILÁTEROS

4. E um círculo, quantos eixos de simetria tem? NPMATEB 2009/10

Reflexão, rotação e translação 2.º ciclo NPMATEB 2009/10 27 Planificação da tarefa 4: Descobrir eixos de simetria em polígonos Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos identifiquem os eixos de simetria de figuras geométricas, com particular relevo para os polígonos regulares e para os triângulos. Pretende-se ainda que considerem o número de eixos de simetria na classificação de triângulos e compreendam que a bissectriz de um ângulo está contida no seu eixo de simetria. Tema matemático: Geometria Nível de ensino: 2.º Ciclo Tópicos matemáticos: Reflexão, rotação e translação Subtópicos matemáticos: Simetrias axial e rotacional Capacidades transversais: Raciocínio matemático Comunicação matemática Conhecimentos prévios dos alunos: . Reconhecer propriedades de figuras no plano e fazer classificações; . Identificar no plano figuras simétricas em relação a um eixo; . Desenhar no plano figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou vertical; . Compreender a noção de ângulo; . Identificar no plano eixos de simetria de figuras. Aprendizagens visadas: . Compreender as noções de simetria axial e identificar as simetrias numa figura; . Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a exemplos e contra-exemplos e à análise exaustiva de casos; . Formular e testar conjecturas e generalizações e justificá-las fazendo deduções informais; . Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando vocabulário próprio; . Discutir resultados, processos e ideias matemáticos. Recursos: Espelhos ou miras ou polígonos recortados, acetatos com as figuras, canetas de acetato, retroprojector ou quadro interactivo.


Duração prevista: 90 minutos

Notas para o professor: Nos primeiros 10 minutos o professor resolve com o grupo turma a questão 1, dado ser a primeira tarefa em que os alunos identificam simetrias numa figura. Nos 30 minutos seguintes, organizados a pares ou em grupos de três, os alunos realizam a tarefa autonomamente. Nos próximos 30 minutos realiza-se a discussão em grande grupo e, nos últimos 20 minutos da aula, é feita a sistematização da tarefa e dos conceitos envolvidos.

Com esta tarefa pretende-se que os alunos identifiquem eixos de simetria de figuras no plano, com especial destaque para os polígonos regulares, os triângulos e o círculo. No caso dos triângulos, os alunos devem considerar o número de eixos de simetria na sua classificação e ainda reconhecer a recta que contém a bissectriz de um ângulo como um eixo de simetria desse ângulo.

Durante o trabalho autónomo os alunos discutem ideias e processos e registam as suas observações e conclusões. Os grupos devem possuir espelhos ou miras e manuseá-los de modo a identificar eixos de simetria nas figuras apresentadas. Em alternativa, o professor pode distribuir os polígonos recortados para que os alunos façam dobragens de modo a identificar os eixos de simetria.

Seguidamente, durante a fase de discussão em grande grupo, o professor pode colocar as seguintes questões: -De quantas maneiras diferentes conseguem posicionar o espelho, de forma que a imagem reflectida coincida, ponto por ponto, com a imagem inicial? -E em relação ao triângulo equilátero, ao quadrado, ao pentágono regular e ao hexágono regular? -Que relação existe entre o número de lados do polígono regular e o número de eixos de simetria? -Por onde passam os eixos de simetria de cada um dos polígonos regulares? -Quando um eixo de simetria passa por um vértice do polígono, o que acontece ao ângulo interno definido nesse vértice? -Que conclusões podem tirar relativamente aos eixos de simetria dos triângulos isósceles? E dos escalenos? -Quantos eixos de simetria é possível identificar num círculo?

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Após a discussão, o professor faz uma sistematização de toda a tarefa, podendo focar os seguintes pontos: -A simetria pode ser observada em algumas figuras geométricas. -Existem diferentes tipos de simetria, dependendo do tipo de isometria associada; nesta tarefa identificámos simetrias de reflexão. -A simetria de reflexão reconhece-se se conseguirmos, por exemplo, colocar um espelho sobre a figura de modo que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura completa. É o que acontece com a estrela (1.ª pergunta da tarefa): é possível encontrar quatro simetrias de reflexão pois existem quatro modos diferentes de colocar o espelho ou a mira. -A recta sobre a qual se coloca o espelho e que divide a figura ao meio, de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade, designa-se por eixo de simetria ou eixo de reflexão. -No caso dos polígonos regulares (segundo grupo de questões), o número de eixos de simetria é igual ao número de lados do polígono regular. -No triângulo equilátero os eixos de simetria passam pelos vértices e pelos pontos médios dos lados opostos. -No quadrado os eixos de simetria são perpendiculares dois a dois e correspondem às rectas que passam por pares de vértices opostos ou pelos pontos médios de pares de lados opostos. -No pentágono regular os eixos de simetria passam pelos vértices e pelos pontos médios dos lados opostos. -No hexágono regular os eixos de simetria passam por pares de vértices opostos ou pelos pontos médios de pares de lados opostos. -Se um polígono regular tiver um número ímpar de lados, cada um dos seus eixos de simetria passa por um vértice e pelo ponto médio do lado oposto a esse vértice; se o número de lados for par, metade dos eixos de simetria passam por pares de vértices opostos e a outra metade passa pelos pontos médios de pares de lados opostos. -A bissectriz de um ângulo está contida no eixo de simetria desse ângulo. É uma semi-recta com origem no vértice do ângulo dividindo-o em dois ângulos congruentes. -Relativamente aos triângulos, podemos concluir que o triângulo equilátero tem três eixos de simetria, o triângulo isósceles tem um eixo de simetria e o triângulo escaleno não tem eixos de simetria. -O círculo tem um número infinito de eixos de simetria; cada eixo de simetria que é possível representar, contém um diâmetro do círculo.

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Informação:

Eixos de simetria dos polígonos regulares

Quadrado4 eixos de simetria

Triângulo equilátero Pentágono regular Hexágono regular 3 eixos de simetria 5 eixos de simetria 6 eixos de simetria

O número de eixos de simetria de um polígono regular é igual ao número de lados desse polígono. Assim, o número de eixos de um polígono regular de n lados é igual a n.

Os eixos de simetria dividem cada um dos lados do polígono em dois segmentos de recta congruentes e/ou bissectam os ângulos, ou seja, dividem cada ângulo do polígono em dois ângulos congruentes.

Eixos de simetria dos triângulos

O triângulo equilátero tem 3 eixos de simetria, o triângulo isósceles tem 1 eixo de simetria e o triângulo escaleno não tem eixos de simetria.

Eixos de simetria de um círculo

O número de eixos de simetria de um círculo é infinito. Qualquer recta que contém um diâmetro do círculo é um eixo de simetria.

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Bissectriz de um ângulo

A bissectriz de um ângulo pertence ao eixo de simetria desse ângulo. Consiste numa semi-recta com origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes.

Exemplo: A semi-recta BD é a bissectriz do ângulo ABC. Cada ponto da bissectriz está à mesma distância dos dois lados do ângulo.


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Tarefa 5: O milagre dos dois espelhos4

1. A Alberta utilizou uma grelha que a professora lhe forneceu e desenhou o seguinte motivo: C A B Quando observou o motivo juntando dois espelhos aos lados AB e AC obteve a seguinte imagem:

Repitam a experiência da Alberta.

4 Adaptado de Programa de Acompanhamento e Formação em Matemática, ESE do Instituto Politécnico do Porto

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2. Utilizem as �grelhas� que se encontram na folha seguinte. 2.1 Juntem os dois espelhos aos lados AB e AC dos novos motivos e repitam a experiência. 2.2. Que polígonos conseguem observar em cada uma das grelhas? 2.3. Investiguem se existe alguma relação entre os polígonos obtidos e os ângulos de vértice A do triângulo inicial. 2.4. Procurem explicar a relação entre os polígonos obtidos e os ângulos de vértice A do triângulo inicial. 2.5. Indiquem o n.º de eixos de simetria de cada polígono obtido pelo �jogo� de espelhos. NPMATEB 2009/10


Grelhas para pintar e explorar:

C

Grelha 1 A

C

Grelha 2 B

A B A C A B C Grelha 3 Grelha 4 B A B C B Grelha 5 Grelha 6 C A NPMATEB 2009/10

Reflexão, rotação e translação 2.º ciclo NPMATEB 2009/10 37 Planificação da Tarefa 5: O milagre dos dois espelhos Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos visualizem rosáceas usando espelhos e identifiquem simetrias axiais e rotacionais numa rosácea, com especial destaque para a composição de polígonos regulares através da rotação de triângulos. Tema matemático: Geometria Nível de ensino: 2.º Ciclo Tópicos matemáticos: Reflexão, Rotação e Translação Subtópicos matemáticos: Simetrias axial e rotacional Capacidades transversais: Raciocínio matemático Comunicação matemática Conhecimentos prévios dos alunos: . Medir, em graus, a amplitude de um ângulo. . Identificar e dar exemplos de múltiplos e de divisores de um número natural Aprendizagens visadas: . Compreender as noções de simetria rotacional e axial; . Identificar as simetrias de rosáceas; . Construir rosáceas; . Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a exemplos e contra-exemplos e à análise exaustiva de casos; . Formular e testar conjecturas e generalizações e justificá-las fazendo deduções informais; . Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando vocabulário próprio; . Discutir resultados, processos e ideias matemáticos. Recursos: Espelhos, grelhas com triângulos, tesoura e lápis de cor. Transferidor e calculadora (facultativo). Retroprojector e 2 acetatos com a rosácea do enunciado. Duração prevista: 90 minutos


Notas para o professor:

Nos primeiros 10 minutos o professor deve interpretar a tarefa com os alunos. Os alunos, a pares, devem ter 30 minutos para resolverem a 1.ª e a 2.ª questão. Nos 30 minutos seguintes realiza-se a discussão em grande grupo e, nos últimos 20 minutos da aula faz-se a sistematização da tarefa e dos conceitos envolvidos.

Na exploração da 2.ª questão pretende-se que os alunos identifiquem o dodecágono, o octógono,

o hexágono, o pentágono, o quadrado e o triângulo. Pretende-se que os alunos encontrem uma relação entre os polígonos obtidos e as amplitudes dos ângulos de vértice A do triângulo inicial, falando na divisão do ângulo giro (3600) em partes congruentes (neste caso em 12, 8, 6, 5, 4 e 3).

O professor deve perguntar: -Através do polígono construído pela rotação do triângulo posso saber qual é a amplitude do ângulo do vértice A? Analisando caso a caso, pretende-se que os alunos cheguem às seguintes conclusões: -No dodecágono o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 300 porque 3600 a dividir por 12 é 30. -No octógono o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 450 porque 3600 a dividir por 8 é 45. -No hexágono o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 600 porque 3600 a dividir por 6 é 60. -No pentágono o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 720 porque 3600 a dividir por 5 é 72. -No quadrado o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 900 porque 3600 a dividir por 4 é 90. -No triângulo o ângulo de vértice A do triângulo inicial tem a amplitude de 1200 porque 3600 a dividir por 3 é 120.

O professor pode perguntar: será que os números 30, 45, 72, 90 e 120 têm algo em comum? Pretende-se que os alunos relembrem, que estes números são divisores de 360 e que todos eles (incluindo o 360) são múltiplos de 3. O professor pode pedir contra-exemplos para que os alunos verifiquem que só conseguem construir uma rosácea se o ângulo for divisor de 360º.

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Na síntese deve registar-se que as rosáceas obtidas foram conseguidas a partir de um dado triângulo considerando o seu transformado por sucessivas reflexões e que estas rosáceas têm por simetrias reflexões e rotações.

Como a amplitude do ângulo que os livros de espelhos definem é diferente em cada caso, o conjunto das simetrias da rosácea que se obtém é também diferente.

O uso do transferidor para auxiliar os alunos mais incrédulos ou para validar as respostas fica ao critério de cada professor, assim como o uso da calculadora.

Embora esta tarefa esteja essencialmente direccionada para a simetria rotacional também deve ser explorado o n.º de simetrias axiais de cada polígono usando-se as explorações realizadas na tarefa 4, �Descobrir eixos de simetria em polígonos�.

Para ajudar na visualização e na identificação das simetrias de rotação de uma rosácea, o professor pode projectar o enunciado da tarefa, identificando cada vértice da rosácea aí apresentada. De seguida sobrepõe-lhe outra imagem dessa rosácea e roda-a até que as rosáceas voltem a coincidir, identificando assim as 12 simetrias de rotação.

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Tarefa 6: Frisos e Mosaicos

1. Sobrepondo as duas filas � a da ficha e a do acetato � expliquem como devem deslocar o acetato para que as imagens continuem sobrepostas? Identifiquem as simetrias observadas neste friso. 2. Identifiquem as simetrias que observam nos frisos abaixo: 2.1.

2.2.

2.3.

3. Após as vossas explorações, digam o que entendem por friso. NPMATEB 2009/10


4. Observem estes mosaicos Romanos5 que, devido à romanização, podem encontrar-se em vários lugares da Europa. São belos, não são? Pois sabe-se que os romanos gostavam de usar figuras simétricas nas suas decorações: essa tendência permanece até aos dias de hoje. Para cada figura apresentada, verifiquem se tem simetria e, em caso afirmativo, caracterizem-na. 5 Adaptação de Field, Robert (1988). Geometric patterns forms roman mosaics. Norfolk: Tarquin Publications.

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Reflexão, rotação e translação 2.º ciclo NPMATEB 2009/10 44 Planificação da tarefa 6: Frisos e Mosaicos Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos identifiquem e explorem as simetrias existentes nos frisos e em rosáceas. Tema matemático: Geometria Nível de ensino: 2.º Ciclo Tópicos matemáticos: Reflexão, rotação e translação. Subtópicos matemáticos: Simetrias axial e rotacional. Capacidades transversais: Raciocínio matemático Comunicação matemática Conhecimentos prévios dos alunos: . Resolver problemas envolvendo a visualização e a compreensão de relações espaciais. . Visualizar e descrever posições, direcções e movimentos. . Identificar simetrias. Aprendizagens visadas: . Identificar as simetrias de frisos e rosáceas; . Construir frisos; . Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a exemplos e contra-exemplos e à análise exaustiva de casos; . Formular e testar conjecturas e generalizações e justificá-las fazendo deduções informais; . Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando vocabulário próprio; . Discutir resultados, processos e ideias matemáticos. Recursos: Tira em acetato com cada um dos frisos e miras ou espelhos. Duração prevista: 90 minutos


Notas para o professor: Nos primeiros 40 minutos, os alunos realizam a tarefa em grupo de 3 ou 4 elementos. Nos restantes 50 minutos, o professor inicia a exploração da tarefa em plenário (comunicação e discussão) e realiza a sistematização dos conceitos envolvidos.

No início da aula, o professor distribui os enunciados das tarefas e entrega a cada grupo um acetato com cópia de cada um dos frisos e uma mira ou um espelho e papel vegetal.

Na questão 1 os alunos devem sobrepor o acetato no friso que está na ficha e proceder de acordo com as indicações. Espera-se que os alunos identifiquem as simetrias de translação existentes no friso.

Na questão 2 os alunos devem identificar, em cada um dos frisos as simetrias existentes: -na questão 2.1. reflexões de eixo vertical e translações; -na questão 2.2. reflexões deslizantes e translações; -na questão 2.3. rotações de 180º e translações.

Na questão 3 é importante que se ponha em evidência que a figura é infinita e apresenta sempre simetrias de translação com a mesma direcção.

Na questão 4, no primeiro mosaico os alunos devem identificar 4 simetrias de rotação, indicando

o centro e os ângulos (90º, 180º, 270º e 360º). Neste mosaico devem ser identificados 4 eixos de simetria. O segundo mosaico apenas apresenta simetria rotacional. Aqui os alunos podem marcar o centro e a amplitude do ângulo de rotação. Neste caso a figura fica invariante se o ângulo de rotação for de 90º, 180º, 270º e 360º. O professor pode solicitar que a comunicação das descobertas seja feita em dois momentos, um para cada mosaico. Com a análise dos mosaicos pretende-se que sejam visualizadas as simetrias de rotação e axial.

No final da aula o professor entrega, aos alunos, uma ficha de avaliação formativa individual (ver sugestão, após a planificação da tarefa).

Sugestões de aplicações relacionadas com os subtópicos trabalhados com esta tarefa:

http://www.innovationslearning.co.uk/subjects/maths/activities/year3/symmetry/shape_ga me.asp

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http://www.mathsisfun.com/flash.php?path=%2Fgeometry/images/rotation.swf&w=894&h=762&co l=%23FFFFFF&title=Geometry+Rotation http://www.atractor.pt/simetria/matematica/docs/frisos3.htm http://www.atractor.pt/simetria/matematica/materiais/exercicios.htm


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Mini-Ficha Formativa Rosáceas com esquadros6

1. Contornando um esquadro isósceles constrói a seguinte rosácea: Descreve o que observas nessa figura construída por ti.

2. Contornando um esquadro escaleno constrói as seguintes rosáceas: 2.1. Identifica as simetrias observadas nas figuras anteriores. 2.2. Explica como é possível indicar os ângulos de rotação, sem fazer quaisquer medições. 6 Adaptação de Boyer, Carl B. (1996). História da Matemática (2ª ed). S. Paulo: Editora Edgard Blucher, ltda.

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Tarefa 7: Construir frisos e rosáceas com papel e tesoura7

1. Corta uma tira de papel e dobra-a em fole, como mostra a figura 1. Figura 1

Desenha uma figura num dos lados �de fora� da tira de papel dobrada. Recorta a tua figura com cuidado.

Figura 2 Desdobra a tira. Que simetrias observas?

7 Adaptado de O Ritmo das Formas (Atractor, 2001)

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2. Executa dobragens e cortes numa folha de papel de acordo com o esquema seguinte: Quando terminares, desdobra o teu trabalho com cuidado. Que simetrias observas?

3. Descobre quais as dobragens e recortes que tens de fazer para conseguires produzir trabalhos como os seguintes: NPMATEB 2009/10

Reflexão, rotação e translação 2.º ciclo NPMATEB 2009/10 50 Planificação da tarefa 7: Construir frisos e rosáceas com papel e tesoura Esta tarefa enquadra-se no tema Geometria e pretende-se que os alunos construam frisos e rosáceas dobrando e recortando papel e identificando o tipo de simetrias existente em cada construção. Tema matemático: Geometria Nível de ensino: 2.º Ciclo Tópicos matemáticos: Reflexão, rotação e translação Subtópicos matemáticos: Simetrias axial e rotacional Capacidades transversais: Raciocínio matemático Comunicação matemática Conhecimentos prévios dos alunos: . Identificar no plano figuras simétricas em relação a um eixo; . Desenhar no plano figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou vertical; . Compreender a noção de ângulo; . Identificar no plano eixos de simetria de figuras; . Construir frisos e identificar simetrias. Aprendizagens visadas: . Compreender as noções de simetria axial e rotacional e identificar as simetrias numa figura; . Identificar as simetrias de frisos e rosáceas; . Construir frisos e rosáceas; . Formular e testar conjecturas e justificá-las fazendo deduções informais; . Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando vocabulário próprio; . Discutir resultados, processos e ideias matemáticos. Recursos: Papéis de vários tipos (lisos, coloridos, prateados), tesouras. Duração prevista: 90 minutos


Notas para o professor: A tarefa é realizada individualmente nos primeiros 45 minutos. Nos 30 minutos seguintes promove-se a discussão em grande grupo, nos quais cada um dos alunos mostra as suas produções, criando oportunidade para se analisar o tipo de simetrias existente em cada trabalho. Nos últimos 15 minutos da aula, é feita a sistematização da tarefa e dos conceitos envolvidos.

Na primeira parte da aula os alunos resolvem a tarefa e registam as suas observações e conclusões para, posteriormente, na fase discussão, explicarem o tipo de simetrias que é possível observar no seu friso e na sua rosácea.

Na fase de sistematização da tarefa é importante que o professor refira que quando se recorta uma figura num papel dobrado em fole, cada vinco de dobragem corresponde a um eixo de simetria. Todos os frisos e rosáceas construídos por este processo possuem simetrias de reflexão.

Na terceira parte da tarefa os alunos identificam os eixos de simetria, fazendo-os corresponder aos vincos de dobragem e ao motivo inicial (aquele que deve ser desenhado e recortado para dar origem ao friso ou à rosácea). De seguida, os alunos podem experimentar reproduzir os exemplos apresentados e verificar as suas respostas.

Os alunos podem ir visitar o museu do azulejo, para observar simetrias. Além disso, a articulação com a disciplina de EVT pode revelar-se muito útil na realização desta tarefa.

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037 sequencia reflexao_rotacaotranslacao_tp_2c(maio2010)

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