NOTAS DE AULAS DE FSICA MODERNAProf. Carlos R. A. Lima

CAPTULO 2

RADIAO TRMICA E CORPO NEGRO

Edio de janeiro de 2008

CAPTULO 2 RADIAO TRMICA E CORPO NEGRO NDICE2.1- Radiao Trmica 2.2- Corpo Negro 2.3- Teoria Clssica da Radiao de Cavidade de Rayleigh - Jeans 2.4- Teoria de Planck da Radiao de CavidadeNessa apostila aparecem sees, sub-sees e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposio de aula sem prejuzo da continuidade do curso de Estrutura da Matria. Entretanto, desejvel que os alunos leiam tais assuntos e discutam dvidas com o professor fora do horrio de aula. Fica a cargo do professor a cobrana ou no dos tpicos facultativos. Excluindo os tpicos facultativos, esse captulo deve ser abordado no mximo em 2 aulas de quatro crditos.

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Lista de Exerccios1- Um corpo negro tem que ser necessariamente negro? Explique o termo corpo negro. 2- Um pedao de metal brilha com uma cor avermelhada a 1100 K . Entretanto, nessa mesma temperatura, um pedao de quartzo no brilha. Explique este fato sabendo-se que, ao contrrio do metal, o quartzo transparente luz visvel. 3- Uma das primeiras tentativas de se explicar a distribuio espectral de um corpo negro foi feita por Rayleigh Jeans, a partir de conceitos clssicos da termodinmica. Em que regio do espectro eletromagntico a lei de Rayleigh Jeans no se verifica, e que fato ficou conhecido como catstrofe do ultravioleta? 4- Na tentativa de explicar os resultados experimentais observados no espectro de um corpo negro, Planck concluiu que o problema estava principalmente num conceito clssico da termodinmica. Qual seria esse conceito, e que alterao foi sugerida por Planck ? Essa alterao invalida conceitos clssicos da termodinmica, ou redefine esses conceitos de modo a incluir os casos clssicos como particulares? Explique. 5- Em muitos sistemas clssicos as freqncias possveis so quantizadas, tal como, por exemplo, a propagao de ondas sonoras num tubo ressonante. Nestes casos, a energia tambm quantizada? Explique. 6- Faa uma estimativa para encontrar o comprimento de onda em que corpo humano emite sua radiao trmica mxima? 7- Em uma exploso termonuclear, a temperatura no centro da exploso momentaneamente comprimento de onda para o qual a radiao emitida mxima. 8- A uma dada temperatura, max = 650 nm para uma cavidade de corpo negro. Qual ser emisso de radiao espectral for duplicada?

107 K .

Ache o

max se

a taxa de

9- O mximo da distribuio espectral da potncia irradiada por certa cavidade ocorre para um comprimento de onda de 27,0 m (na regio do infravermelho). A temperatura da cavidade aumentada ata que a potncia total irradiada se torne trs vezes maior. (a) Determine a nova temperatura da cavidade. (b) Determine a nova posio do mximo da distribuio espectral. 10- A energia solar que atinge a parte superior da atmosfera da terra 1,36 10 W / m , a chamada constante solar. (a) Supondo que a terra se comporte como um corpo negro de temperatura uniforme use a equao de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura a temperatura de equilbrio da terra. (b) Se o dimetro do sol da 9 11 ordem de 1,6 10 m e a distncia da terra ao sol de aproximadamente 1,3 10 m e supondo que o sol irradie como um corpo negro use a equao de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura na sua superfcie.3 2

11- A temperatura do filamento de uma lmpada incandescente de 40W 3300 K . filamento se comporte como um corpo negro, determine o comprimento de onda distribuio espectral. (b) Supondo que

(a) Supondo que o

mx

no ponto de mximo da

mx

seja uma boa aproximao o para o valor mdio do comprimento de

onda dos ftons emitidos pela lmpada, determine o nmero de ftons produzidos por segundo pela lmpada. (c) Se um observador est olhando para a lmpada a 5 m de distncia, quantos ftons penetram por segundo nos olhos do observador, sabendo-se que o dimetro da pupila humana , aproximadamente, 5 mm . 12- Um radiador de cavidade a 6000 K tem um orifcio de 0,10 mm de dimetro feito em sua parede. Ache a potncia irradiada atravs do orifcio no intervalo de comprimentos de onda entre 550 nm a 551nm . Resp.:551

7,53W . (Sugesto: Use o fato que RT =

550

RT ( )d , aproximadamente, a rea de um retngulo estreito no

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grfico RT

( ) , de largura = 551 550 = 1nm . Encontre = ( 550 + 551) / 2 = 550,5 nm , usando a frmula de Planck)

a altura do retngulo

RT ( ) , com

e k BT 13- Utilizando a relao P ( ) = mostre que = P ( ) d = k BT . k BT 0

14- Na determinao clssica da energia mdia total de cada modo da radiao no interior de uma cavidade ressonante, adotou-se a lei da eqipartio da energia. De acordo com essa lei, molculas de um gs que se movem em equilbrio trmico a uma temperatura T , a energia cintica mdia por grau de liberdade da molcula

1 k BT . Essa lei poderia ser aplicada ao problema do corpo negro desde que se adotasse um modelo mecnico de 2oscilador harmnico para as partculas que compe as paredes da cavidade, como se fossem pequenos sistemas massa molas, de modo que a energia potencial tambm deveria se includa na determinao da energia total. A vibrao dessas partculas, por conseqncia da temperatura, daria origem as vibraes dos campos eltricos associados s ondas eletromagnticas transversais. Baseado nesse modelo mecnico, conclui-se que a energia mdia total por grau de liberdade deveria ser k BT , isto , o dobro da energia cintica mdia que se esperaria para cada partcula oscilante. Considerando-se que a energia total de um oscilador harmnico simples

1 1 mv2 + kx 2 , onde k a constante elstica da mola, m a massa da partcula, v sua velocidade e 2 2 x = x0 cost sua posio em cada instante de tempo, mostre que essa energia total o dobro da energia cinticamdia.

mx T = 2,898 10 3 K m , a partir da funo distribuio 8 hc 1 . (Sugesto: faa a substituio de espectral de um corpo negro obtida por Planck T ( ) = hc k T 5 1 e 5 2 ( k BT ) hc x5 g ( x ) , onde g ( x ) = x , e reescreva a funo distribuio na forma T ( ) = varivel x = kBT h4c3 e 1 descreve a forma universal do espectro de um corpo negro para qualquer temperatura. Encontre o valor xmx para o qual a funo g x mxima, derivando-a em relao x e igualando a zero. Use esse valor na equao15- Obtenha a lei do deslocamento de Wien,B

bg

xmx =

hc e obtenha o resultado procurado). mx kBT

16- Suponha que a radiao de uma cavidade de corpo negro a 5000 K est sendo examinada atravs de um filtro passa banda de = 2 nm centrado no comprimento de onda581nm

mx , do pico do espectro. Se o orifcio da

cavidade um crculo de raio r = 1cm , encontre a potncia P transmitida pelo filtro. (Sugesto: Usualmente, a potncia irradiada seria calculada por

RT =

579 nm

RT ( ) d multiplicada pela rea do orifcio. Entretanto,

pequeno o suficiente para permitir uma aproximao do tipo RT = rea abaixo da curva RT que

( mx ) , em

mx pode ser calculado utilizando-se a lei do deslocamento de Wien). Resp.: P 25,3W .

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