02 dieléctricos y capacitores

7/18/2019 02 Dieléctricos y Capacitores

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Física II

Carrera de Geología

Dieléctricos yCapacitores

2007



Física II, Carrera de Geología. Texto de Dieléctricos y Capacitores

Clases del Prof. Diego E. García

2

Dieléctricos y Capacitores, corresponde a Clases de Física II, para la carrera de

Geología, Profesor Diego E. García. F. de C. E. F. y N. de la U.N.C. Texto editado

entre 2003 y 2010.





3

Polarización de un dieléctrico ubicado entre láminas de un condensador. Con el término dieléctrico nos referimos en general a las sustancias aisladoras; algunos

ejemplos de dieléctricos son los siguientes: el vacío, (es el dieléctrico por excelencia), el aire, el

agua pura (en teoría es dieléctrico, con un poco de sal en disolución ya no lo es), el papel, la

mica, el ámbar, la porcelana, el vidrio, la baquelita, el polietileno, el teflón, diversos aceites, elalcohol etílico, la glicerina. Las moléculas de algunos dieléctricos, como el agua, constituyen en

si mismas verdaderos dipolos. Recordemos que un dipolo se orienta en un campo eléctrico según

la dirección de ese campo. En la molécula de agua los dos átomos de hidrógeno representan la

carga positiva del dipolo y átomo de O representa la carga negativa.

La figura siguiente muestra como se orienta un dipolo en la dirección de campo

eléctrico.

Las moléculas de las sustancias, que como el agua, constituyen en si mismas dipolos,

pertenecen a los llamados dieléctricos polares puros, como por ejemplo H2O, NH3, ClH, CH3,

etc.

Hay otros dieléctricos cuyas moléculas no constituyen en si mismas verdaderos dipolos,

pero que sin embargo en presencia del campo se transforman en dieléctricos; son sustancias tales

como H2, He, O2, S2C, Cl4C, etc.

Ya sea que se trate de un dieléctrico polar o no polar analizaremos a continuación de que

manera se produce la orientación de sus moléculas cuando ubicamos ese dipolos en presencia de

un campo eléctrico. la figura siguiente muestra como se produce este fenómeno.

La figura 39 muestra la orientación al azar que tienen los dipolos moleculares de una

lámina dieléctrica en el momento de ser introducida entre las dos placas cargadas de un

condensador. Las cargas eléctricas ubicadas sobre las placas en el condensador se llaman cargas

libres, y a estas cargas libres se las representa con la letra q . La densidad de cargas libres

representa la cantidad de cargas que hay por cada unidad de área de la placa y la indicamos con la

letra (sigma). Dicha densidad resulta igual a:

2

q C

A m

La letra A es el área de cada placa. Esta densidad de carga libre provoca en el interior del

condensador un campo eléctrico cuyo valor es: 0

0

E

E Fuerza del

campo

fuerza

p H

H

Molecula de agua

Figura 38

Dipolo sin orientar

E

Fuerza del campo

fuerza del

campo

Dipolo orientado

P intensidad del dipolo





4

El subíndice cero se refiere a que es el campo producido por las cargas libres.; este campo

E0 ejerce sobre las cargas (+) y (-) de cada dipolo molecular sendas fuerzas lo cual hace girar

estos dipolos (ver figura 40). Como consecuencia de ello, los dipolos moleculares quedan todos

orientados en la dirección del campo como muestra la parte derecha de la figura.

Esta orientación de los dipolos moleculares provoca la aparición de cargas eléctricas

inducidas obre ambas caras de la placa dieléctrica. Designaremos con iq a estas cargas inducidas

y llamaremos densidad de carga inducida al cociente: 2ind i

q C

A m

La carga inducida se suele llamar carga ligada; el término carga inducida o ligada se

usa en oposición a la palabra libre, para poner de manifiesto que estas cargas ligadas no son un

exceso o falta de electrones, como las autenticas cargas libres, sino que aparecen como

consecuencia de la orientación de los dipolos, quiere decir que en definitiva, la carga eléctrica

total que hay adentro del dieléctrico sigue siendo cero.

Todo proceso de orientación de los dipolos moleculares y aparición de cargas inducidas

en el dieléctrico (o en las caras de las placas dieléctricas), como consecuencia de un campo

dieléctrico exterior se llama polarización del dieléctrico o fenómeno de polarización.

Caso en que colocamos una lamina conductora entre las placas de un condensador. El proceso de inducción que tiene lugar cuando la placa sumergida en el campo eléctrico

es de un material conductor, o metálico, (ver figura 41), es totalmente distinto al que ocurre en el

interior de un dieléctrico.

En este caso de un material metálico, los electrones libres del metal viajan hasta ubicarse

en le parte exterior de la cara metálica que está frente a las cargas libres positivas; asimismo

aparecen cargas inducidas positivas frente a la placa cargada negativamente. Lo que ocurre en

este caso es simplemente el fenómeno de inducción electrostática tal cual ya fue analizado en la

unidad 1.

Cabe agregar que si el área de las placas del condensador es suficientemente grande frente

a su separación se produce lo que se llama fenómeno de inducción total, que quiere decir que la

densidad de carga inducida en las caras de las láminas metálicas es igual a la densidad de carga

inductora o libre.

Giro del

dipolo

Cargas

libres

Figura 40

E

Figura 39

Cargas ligadas

o inducidas

F

F





5

Además debemos recordar que, como ya sabemos, el campo eléctrico dentro del

conductor metálico con cargas inducidas vale cero.

Comparación de ambos casos (Lamina dieléctrica y Lamina metálica).

En el caso de la lamina dieléctrica, las cargas inducidas aparecen como consecuencia de la

rotación de los dipolos lo cual no ocurre en el metal ya que éste no tiene dipolos, sino que tiene

electrones libres, y por lo tanto las cargas inducidas en el metal aparecen por el movimiento de

dichos electrones libres (que en el dieléctrico no existen).

El valor de la densidad de carga inducida i , en la cara de la lamina dieléctrica es siempre

menos que el valor de de la carga inductora o libre. En cambio en el caso de la placa metálica

i es siempre igual a , cuando hay inducción total.

En el interior de la placa dieléctrica el campo eléctrico es distinto de cero; en cambio en el

interior de la placa metálica 0 E .

iq qiq q

Figura 41

Cargas

libres

Placa cargada

positivamente

Cargas inducidas

Placa cargada

negativamente

Lámina metálica

iq q

Lamina dieléctrica

0 E

0 i E E

0

E i

E

Figura 42 Lamina metálica

0 E

0 i E E

0

E i E

En el dielectrico, el campo

resultante 0 i E E E es

distinto de cero.

En al metal, el campo resultante

es cero:

0 0i E E E

iq

iq

iq

qqiq

iq

qq

Cargas inducidas,(en la parte interiorde la superficiede la lámina dieléctrica.

Cargas inducidas, en la parte exteriorde la superficiede la lámina metálica.





6

00 i E E E : campo resultante en el interior del dieléctrico

0 E : campo de las cargas libres

i E : campo de las cargas inducidas

En cambio en el metal es:

00 i E E E (en el metal 0 E E i (en el dieléctrico)

La figura 42 siguiente ilustra el porqué de esta diferencia:

Es importante observar en las figuras 40, 41 y 42 que, en la lámina dieléctrica, las cargas

inducidas se han dibujado siempre en la parte de adentro de de la superficie de la lámina, en

tanto que, en la lámina metálica, corresponde dibujar las cargas en la parte de afuera de la

superficie de la lámina.

Cálculo del campo eléctrico en el interior de una lámina dieléctrica ubicada en un

campo eléctrico preexistente. Susceptibilidad dieléctrica y coeficiente dieléctrico. Unidades.

Imaginemos ahora, una lámina de material dieléctrico, ubicada entre las dos placas

cargadas de un condensador, y que, además, la superficie de las placas es grande comparada con

su separación, figura 43.

Diremos que, el valor de la densidad de carga inducida en la superficie de de la lámina

dieléctrica, será proporcional a la intensidad de campo eléctrico que hay en el interior de la

misma. Escribimos entonces:

0i e E (1)

e: es un coeficiente adimensional, que depende del material, al que llamaremos

susceptibilidad dieléctrica , y que definiremos enseguida. Es la letra griega “GI”.

0: constante eléctrica, ya fue definida en la ley de Coulomb.

Además, sabemos que:

i E E E 0

Siendo E : intensidad del campo resultante en el interior de un dieléctrico

Para definir la susceptibilidad dieléctrica, despejamos de la expresión (1):

q

iq

q

iq

Lamina dieléctrica

Placas del Condensador

Cargas Libres

Cargas ligadas

Lamina dieléctrica

Figura 43





7

0.

ie

E

Expresamos entonces que: el coeficiente de susceptibilidad dieléctrica o simplemente

susceptibilidad eléctrica es un valor característico de cada dieléctrico y que nos da una idea de la

mayor o menor respuesta del material con respecto a la aparición de cargas inducidas ante a uncierto estimulo exterior. (es decir, al ubicarse el dieléctrico en un campo pre-existente).

Con respecto a las unidades de la susceptibilidad, comprobaremos, a continuación, que

ésta es, efectivamente, adimensional:

N Coulm

Coulm N Coul

Coulm N

N Coul

m

Coul

E

i

e..

...

..

.. 22

2

2

2

2

0

e : adimensional.

A mayore, mayor densidad de carga inducida;

ees un número característico de cada

dieléctrico. Habiendo definido el concepto dee

continuamos con el calculo del campo E en

el interior de una lamina dieléctrica ubicada en un campo preexistente.

Al valor0i e E se lo llama polarización; como vemos el valor de la polarización, al

que indicaremos con la letra p, coincide con el valor de carga inducida, o sea, i p . La

polarización, al igual que la densidad de carga, se mide en2

C

m.

El cálculo del campo en el interior de un dieléctrico se desarrolla a continuación.

La intensidad del campo resultante en el interior del dieléctrico es:

i E E E 0 (2)

Por otra parte, cuando hemos estudiado el valor de la intensidad de campo en un punto

ubicado entre dos placas cargadas (ver teorema de Gauss, ejemplo b), obtuvimos la siguiente

expresión:

0

0

E (3)

y por analogía, podemos también escribir para las cargas inducidas:

0

ii E (3’)

entonces, reemplazando en (2), los valores indicados en (3) y (3’), se tendrá:

0

0

i E E (4)

pero como, además, sabemos, por (1), que:

E ei

..0

;

reemplazando (1) en (4) nos queda:

0 0

0

e

E E E

despejando el valor de 0 E resulta:

e E E E .

0

e E E 1.

0

o bien:





8

e

E E

1

0

A la magnitud:ee

k 1 indicada en el denominador, le daremos el nombre de

coeficiente dieléctrico, el cual, por ser e adimensional, también es adimensional. ee k 1 coeficiente dieléctrico (adimensional)

En consecuencia, podemos decir que, en el interior de una lámina dieléctrica sumergida

en un campo eléctrico E0 preexistente, la intensidad de campo resultante E es k e veces menor que

la intensidad del campo E0 preexistente:

0

e

E E

k campo resultante en un punto del dieléctrico.

Entonces, para calcular el campo eléctrico resultante en el interior de la lámina dieléctrica,

basta con dividir por ek la intensidad de campo eléctrico 0 E que existiría en el mismo punto si no

estuviese el dieléctrico.

El valor de ek es siempre mayor que 1, y depende del tipo de sustancia. En particular, ek

para el aire vale 1.

Tabla de coeficientes dieléctricosek

Sustancia ek

Vacío 1,00000

Aire 1,00026

Hidrógeno 1,00026

Azufre 4,00000Mica 3 a 6

Vidrio 5 a 10

Cuarzo 4,5 a 4,7

Caliza 7 a 9

Dolomita 6,8

Petróleo 2 a 3

Agua 81

Gas 1,00

Campo disruptivo o campo de ruptura.

Se llama campo de ruptura al campo eléctrico máximo que puede soportar un material

dieléctrico sin que se produzca el salto de una chispa a través de él. Cuando el campo eléctrico es

suficientemente intenso como para que se produzca el salto de chispa se dice que se ha producido

la ruptura de este dieléctrico.

Para el aire seco el campo de ruptura o campo disruptivo es de 3000 Volt /mm, lo cual

quiere decir que si tenemos dos placas metálicas cargadas, separadas por 1mm de aire, cuando la

diferencia de potencial entre esas placas supere los 3000 V, se producirá un salto de chispa

eléctrica entre las placas, que además perforará a la lamina dieléctrica. Cuando el aire está

húmedo, el salto de chispa se produce con menos diferencia de potencial por mm, que puede

llegar a 1000 ó 1500 V (Volt) por cada milímetro de separación.

Cuando se produce la caída de un rayo lo que ocurre es que el campo eléctrico que seestablece en la atmósfera debido a las cargas atmosféricas es tan intenso que se produce la ruptura

del dieléctrico aire con un gran salto de chispa que es el rayo.





9

Condensadores o capacitores.

Definición de capacitor:

Un condensador o capacitor consiste en dos superficies conductoras enfrentadas entre si

y muy próximas una de otra, que generalmente están separadas por un material dieléctrico. En la

figura 44 (a) se muestra un condensador plano, cuyas placas son planas.

Los condensadores tienen mucho uso en electricidad y electrónica y la función que

cumplen básicamente es la de almacenar cargas eléctricas.

Explicaremos a continuación como se puede cargar un condensador mediante el proceso

de inducción electrostática (figuras 44 (b), 45 y 46):

La placa metálica A está cargada con una carga q , la placa metálica B está descargada.

A es una placa metálica que ha sido previamente cargada por frotamiento o por cualquier otro

método. A continuación coloco enfrente de la placa A , paralela y muy próxima a ella una

segunda placa metálica B , la que esta inicialmente descargada. Por el fenómeno de inducción

electrostática en la placa metálica B se inducirán cargas como lo muestra la figura 44(b). Una

vez hecho esto conecto la placa derecha a tierra con lo cual logro descargar a tierra las cargas

positivas de la placa B (figura 45). Por ultimo desconectamos de tierra la placa B y el

condensador queda cargado con una carga q en la placa A y una carga q en la placa B .

(figura 46).

Lo que se acaba de mostrar es la forma de cargar un condensador por inducción, pero hay

otra forma mas fácil de cargarlo, que es conectándolo a una batería, como muestra la figura 47.

44(b), inducción de cargas

en la placa B 44(a), condensador plano

Figura 44

Superficies o placas

conductoras

Lámina de material

dieléctrico

A B

qqq q

Cadena a

tierra

Figura 45 Figura 46

Tierra





10

El procedimiento consiste en conectar una de las placas del condensador al borne positivo

de la batería, y la otra placa al borne negativo: Al efectuar esta conexión, (figura 47 a) fluyen

cargas eléctricas positivas desde el borne positivo de la batería hacia la placa superior del

condensador y de esta forma, se almacenan cargas positivas en dicha placa; este proceso de flujo y almacenamiento de cargas positivas en la placa superior, finaliza cuando la cantidad de cargas

acumuladas en la placa de arriba, es suficientemente grande como para impedir que viajen más

cargas positivas desde el borne positivo hacia la placa; esto ocurre porque las cargas positivas de

la placa adquieren un potencial eléctrico igual al potencial del borne positivo, y como las cargas

positivas viajan desde los puntos de mayor potencial hacia los de menor potencial, resulta que,

cuando se igualan los potenciales, cesa el movimiento de cargas.

En cuanto a la placa inferior del condensador, podemos decir que, las cargas positivas

que van apareciendo en la placa superior inducen cargas negativas en la placa de abajo, la cual se

va cargando negativamente, hasta que el condensador complete su carga.

Una vez cargado, se desconecta el condensador de la batería (fig. 47b), y queda con una

determinada carga almacenada.La capacidad que tiene un condensador para almacenar mayor o menor cantidad de

cargas, está dada por una magnitud característica de cada condensador, que se llama capacidad

eléctrica y que se explicará en párrafos siguientes.

Algunas formas constructivas de condensadores.

Condensador plano: consiste simplemente en dos placas planas enfrentadas entre sí (Figuras 44

(a) y 48.a).

Condensador cilíndrico: consiste en dos placas cilíndricas concéntricas enfrentadas entre si (Fig.

48.b).

Los dieléctricos que se utilizan para fabricar condensadores pueden ser entre otros, papely materiales cerámicos. En algunos condensadores se utiliza un compuesto químico y estos

condensadores se llaman electrolíticos y cuando se los usa se debe respetar su polaridad, lo cual

quiere decir que el polo positivo siempre debe conectarse en la misma posición.

(+)

(-)Bateria

Condensador

(+)

(-)

Figura 47

(b) (a)

Placas

Entre las placas de los

condensadores se ubica un

dielectrico

Figura 48

Placas

cilindricas





11

Concepto de capacidad de un condensador.

Establecemos la siguiente definición para la capacidad de un condensador:

La capacidad eléctrica de un condensador es igual al cociente entre la carga que

almacena el mismo y la diferencia de potencial entre sus placas.

V qC C

V

Asimismo, definimos la unidad llamada faraday , de la siguiente forma:

1 1C

faradayV

A medida que se le suministra mas carga a un condensador aumenta q , pero también

aumenta la diferencia de potencial entre los bornes, por eso la capacidad no cambia, porque el

cociente

q

V se mantiene constante. La capacidad depende exclusivamente del tamaño del condensador, de su forma y también

del dieléctrico que tenga entre sus placas.

El dieléctrico mejora muchísimo la capacidad del condensador.

Carga máxima que admite un condensador.

A medida que se carga más y más un condensador crece el campo eléctrico entre las

placas, y llega un momento en que ese campo eléctrico supera el campo de ruptura del dieléctrico

y entonces se produce un salto de chispa entre las dos placas; cuando esto ocurre se dice que el

dieléctrico de condensador se “perforó.”

Los tamaños de los condensadores van desde un tamaño microscópico, (en chips y

circuitos integrados), pasando por un tamaño de pocos centímetros como en el caso de los

condensadores usados en el sistema de encendido de los autos o en el arranque de motores

eléctricos, hasta tamaños mayores como en el caso de instalaciones industriales en el que se los

utiliza para mejorar el aprovechamiento de la energía en grandes motores eléctricos.

El condensador fue inventado por un holandés llamado Van Mussenbroeck, que trabajaba

en la universidad de Leiden hace mas de 200 años. El primer condensador que se construyó, pasó

a la historia con el nombre de botella de Leiden.

¿Cómo se descarga un condensador?: uniendo ambas placas con un hilo conductor; de esta forma,

las cargas (positivas y negativas respectivamente), de las placas viajan a través del hilo conductor

y se neutralizan mutuamente.

Cálculo de la capacidad de un condensador plano.

El campo E en el interior del dieléctrico (figura 49), vale, de acuerdo con la expresión

deducida precedentemente:

d

Figura 49





12

e o

E k

es la densidad de carga en las placas del condensador y vale A

q; entonces, si

reemplazamos este valor en la expresión precedente, queda:

e o

q E

k A

y por lo tanto, si despejamos q resulta:

0eq k A E (1)

Por otra parte, si tenemos en cuenta la definición de diferencia de potencial entre 2 puntos,

podremos escribir que la diferencia de potencial entre las placas, a la que llamaremos

simplemente V, vale:

V E

d , o lo que es igual: Ed V (2)

Asimismo, recordemos la definición de capacidad:

V

qC (3)

Reemplazamos ahora en la expresión (3) los valores de q y de V dados por (1) y (2)

respectivamente:

d E

E Ak C e

.

... 0 es decir:d

Ak C e

..0

22

2

C m

NmC

m

;C

C

NmC

;C

C

V

; C faraday

La expresión anterior nos permite inferir que:

La capacidad de un condensador plano es proporcional al área de las placas y al

coeficiente dieléctrico ek , e inversamente proporcional a la separación entre las placas.

Calculo de la energía almacenada de un condensador plano.

Supongamos que tenemos un condensador inicialmente descargado; si lo

cargamos con una pequeña carga a la que llamaremos dq, la diferencia de potencial entre las

placas aumentará desde cero hasta un valor dV, correspondiente a la pequeña carga dq. (figura

50)

Si recordamos que:V

qC y que por lo tanto: CV q , podemos decir que la carga q

es una función de 1º grado del potencial V; q es la variable dependiente y V es la variable

independiente en esta f unción. Entonces, podemos efectuar el diferencial de la función

q=f (V), de lo que resulta:

CdV dq (1) en donde C es una constante.

Por otra parte, ya sabemos que la diferencia de potencial eléctrico V entre las placas es

energía por unidad de carga,cuolomb

joule ; entonces, también podemos decir que, cuando la carga

del condensador se aumenta en dq, resulta que la energía almacenada W en el condensadoraumenta en un valor dW, en forma tal que:





13

ouledW joule V dq coulomb

coulomb (2)

Reemplazamos ahora el valor de dq dado por (1) en la ecuación (2), con lo que resulta:

CVdV dW (3)

El 1º miembro de la expresión precedente, indica el valor dW en el cual aumenta la

energía W almacenada en el condensador, cuando la d.d.p. entre las placas aumenta en dV.

Finalmente, si queremos calcular ahora la energía que habrá almacenado el condensador,

cuando la d.d.p. entre sus bornes haya crecido desde un valor inicial V=0, hasta un valor final V,

lo que tenemos que hacer es sumar o, con un lenguaje más preciso, integrar todos los dW.

Escribimos, entonces, la integral en ambos miembros de la expresión (3), de lo cual resulta:

dV V C dW .C queda fuera de la integral, por ser una constante.

O bien, efectuado la integral, resulta la siguiente expresión para la energía almacenada en

un condensador:

2

. 2V C

W (4)

Las unidades resultan:

volt faradayW 2

volt volt

coulombW 2

volt coulombW .

coulomb

joulecoulombW .

jouleW

Además, considerando que:V

qC , y reemplazando este valor en la expresión de la

energía obtenida precedentemente, se puede escribir:

2.V qW (5)

Las unidades, en esta expresión son coulomb volt , es decir, como ya vimos, . joule

a

b

Figura 50

q





14

Conexión en paralelo de condensadores.

La figura 51 muestra como se conectan en paralelo dos condensadores de capacidades 1C

y 2C respectivamente. Las dos placas superiores se conectan entre si y por eso están al mismo

potencial eléctrico. Lo mismo ocurre con respecto a las dos placas inferiores; 1q es la carga del

capacitor 1 y 2q la carga del capacitor 2. la diferencia de potencial V es la misma para ambos

condensadores.

La carga total del sistema vale:

21qqq

total (1),

pero

V C q .11 (2) y V C q .22 (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) nos queda:

V C V C qtotal .. 21

21. C C V qtotal , o bien:

V

qC C total

21

21 C C es la capacidad equivalente de ambos condensadores; ello significa que se puede

reemplazar los dos condensadores 1C y 2C por un único condensador cuya capacidad sea:

21C C C

eq

eqC es la capacidad equivalente a los dos condensadores conectados en paralelo.

Conexión en serie de condensadores. La conexión en serie, (figura 52), consiste en conectar la placa inferior de un condensador

1C a la placa superior del otro condensador 2C . En este tipo de conexión se cumple que la cargade cada condensador es igual a la del otro, auque sus capacidades sean diferentes.

q

q

1V

2V

V

q

q

Figura 52

1C 2C 2q V volt

Figura 51

Borne

Borne





15

Esto es así porque, la carga q del condensador 1C induce la carga q en la placa

inferior del condensador 1C , y a su vez, dicha carga q del condensador 1C induce la carga q

de 2C , y finalmente q de 2C induce la carga q de 2C . Por eso las cargas son iguales en

ambos condensadores (hemos supuesto que hay inducción total). La diferencia de potencial total

entre la placa superior de 1C y la placa inferior de 2C vale V . La diferencia de potencial entre las

placas de C1 vale

1

1C

qV y entre las placas de 2C vale

2

2C

qV .

La diferencia de potencial total vale 21 V V V ; por otra parte podemos suponer que

reemplazamos los condensadores 1C y 2C por un único capacitor, con una capacidad a la que

llamaremos eqC . En este caso podemos escribir que eqC es igual a:

V

qC eq

eqC

qV (1)

21 V V V (2) Igualando los segundos miembros de (1) y (2), resulta:

1 2eq

q q q

C C C o bien,

21

111

C C C eq

y despejando eqC queda:

21

21.

C C

C C C

eq

La capacidad equivalente a dos capacitores en serie en serie, resulta menor que la menor

de ellos. Por ejemplo, si F C 61 y F C 32 , resulta F C eq 2 .

En el caso de más de dos condensadores que se conectan en serie la formula a utilizar es:

...1111

321 C C C C eq



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