02 demonstracoes
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Matemática DiscretaTRANSCRIPT
Em Lógica, estudamos como demonstrar a validade de argumentos formais na forma P → Q.
Neste contexto, a validade do argumento é absoluta (depende apenas da forma ou estrutura do argumento e não do conteúdo ou significado
das proposições).
No entanto, muitas vezes queremos provar argumentos que são verdadeiros em um determinado
contexto (para uma interpretação particular).
Queremos provar que P → Q é verdadeiro para um contexto específico. Podemos usar fatos que
dependem do contexto como hipóteses e então provar que o argumento é verdadeiro (Teorema).
Não existe uma receita para demonstração de Teoremas. Muitas vezes, é muito difícil demonstrar
teoremas utilizando Lógica Formal.
Existem técnicas de demonstração “menos formais”:‣ não usam elementos das lógicas proposicional e de
predicados;‣ não são escritas passo a passo, com justificativas formais a
cada passo.‣ os passos de dedução e raciocínio são explicados em
linguagem natural.
Entretanto, essas demonstrações podem ser descritas com Lógica Formal.
Conjectura
• Podemos formular uma conjectura por meio de raciocínio indutivo
‣ concluir algo baseado na experiência
• Podemos entender uma conjectura como um argumento que não se sabe se é verdadeiro ou não.
Teorema
• Se provamos que uma conjectura é verdadeira, então ela se torna um Teorema.
‣ Para isso podemos usar raciocínio dedutivo (técnicas de demonstração)
• Podemos provar que uma conjectura é falsa encontrando um contra-exemplo (um caso em que P é verdadeiro e Q é falso)
Exemplo
• Prove ou encontre um contra-exemplo para a seguinte conjectura:
‣ “Para todo número inteiro positivo n, n! ≤ n2”.
Técnicas de Demonstração
Sumário
• Técnicas básicas de demonstração
• Primeiro Princípio da Indução
• Segundo Princípio da Indução
Técnicas Básicas de Demonstração
• Demonstração por Exaustão
• Demonstração Direta
• Demonstração por Contraposição
• Demonstração por Absurdo
Demonstração Exaustiva
• Se uma conjectura é uma asserção sobre uma coleção finita de elementos, sua validade pode ser provada verificando-se se ela é verdadeira para cada elemento coleção.
‣ consiste em exaurir todos os casos possíveis.
Exemplo
• Prove a conjectura:
‣ “Se um inteiro entre 1 e 20 é divisível por 6, então ele é também divisível por 3”
Demonstração Direta
• Consiste em supor que a hipótese P é verdadeira e então deduzir a conclusão Q
Exemplo
• Prove a conjectura:
‣ Se x e y são números inteiros pares, então o produto xy é um número inteiro par.
Sabemos que se z é um número inteiro par, então existe um número inteiro k,
tal que z = 2k. (definição de um número par).
Sejam x = 2m e y = 2n,onde m e n são inteiros.
Então xy = (2m)(2n) = 2(2mn),onde 2mn é um inteiro.
Logo o produto xy tem a forma 2k,onde k = 2mn é um inteiro,
e, portanto, é par, como queríamos demonstrar
Contraposição
• Demonstração por contraposição consiste na técnica de provar P → Q através da demonstração direta de Q′ → P′.‣ Sabemos que (Q′ → P′) → (P → Q)
‣ Q′ → P′ é a contrapositiva de (P → Q)
Exemplo
• Prove que a seguinte conjectura:
‣ Se n2 é ímpar, então n é ímpar.
n2 é ímpar → n é ímpar
A contrapositiva é:n é par → n2 é par
Temos que n2 = nn
Como n é par, n = 2k. Assim, n2 = 2k 2k = 2(k+k).
Portanto, n2 é par.
Demonstração por Absurdo
• (P ∧ Q′ → 0) → (P → Q) é uma tautologia
• Assim, para provar a conjectura P → Q, basta provar que P ∧ Q′ → 0
• Ou seja, em uma demonstração por absurdo, supomos que a hipótese e a negação da conclusão são ambas verdadeiras e tentamos deduzir uma contradição.
Exemplo
• Prove por absurdo a proposição:
‣ “Se um número somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é 0.”
‣ Se x+x=x, então x=0.
‣ x+x=x → x=0
Proposição: x+x=x → x=0
Suponhamos P ∧ Q′ → 0: (x+x=x) ∧ (x≠0) → 0
Ou seja, x+x=x e x é diferente de zero.Assim, 2x=x e x≠0.
Como x≠0, podemos dividir ambos os lados da primeira equação por x. Logo,
2x/x = x/x2 = 1
O que é uma contradição, portando x+x=x → x=0.
TécnicaAbordagem para provar
P → QObservações
Exaustão Demonstrar P → Q para todos os casos.
É viável apenas para um número finito de
casos.
Direta Suponha P, deduza Q.
Contraposição Suponha Q′, deduza P′.
AbsurdoSuponha P ∧ Q′,
chegue a uma contradição.
Indicada para os casos em que Q diz
que algo não é verdade.
Exercício
• Prove as seguintes conjecturas:
‣ “Para todo inteiro positivo n, n2+n+1 é primo”;
‣ “Se n=25, 100 ou 169, então n é um quadrado perfeito e também é uma soma de dois quadrados perfeitos”;
‣ “a soma de dois inteiros ímpares é par”.
Exercício
• Demonstre que, dados dois números inteiros positivos x e y,
‣ x < y se, e somente se, x2 < y2
Resumo
• O raciocínio indutivo é usado para formular uma conjectura baseada na experiência.
• O raciocínio dedutivo é usado para provar uma conjectura ou refutá-la através de um contra-exemplo.
• Ao provar uma conjectura sobre algum assunto, pode-se usar fatos sobre o assunto.
Problema?
• Demonstre que:
‣ 1+2+3+...+n = [n(n+1)]/2
• Podemos usar demonstração exaustiva ou direta?
Sumário
• Técnicas básicas de demonstração
• Primeiro Princípio da Indução
• Segundo Princípio da Indução
Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
b) Estando no primeiro degrau, eu consigo subir até o segundo.
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
b) Estando no primeiro degrau, eu consigo subir até o segundo.
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
c) Estando no segundo degrau, eu consigo subir até o terceiro.
Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
b) Estando no primeiro degrau, eu consigo subir até o segundo.
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
c) Estando no segundo degrau, eu consigo subir até o terceiro.
...
Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
b) Se eu estou em algum degrau, eu consigo subir até o próximo.
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
b) Se eu estou em algum degrau, eu consigo subir até o próximo.
a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
Portanto, eu consigo subir n degraus.
Primeiro Princípio de Indução Matemática
P(1) ∧ (∀k)[P(k)→P(k+1)] →(∀n)P(n),
k, n são inteiros positivos
P(1) é a base da indução;
(∀k)[P(k)→P(k+1)] é o passo indutivo,
onde P(k) é a hipótese de indução.
Passos para demonstração usando o primeiro princípio
indução
1. Prove a base da indução
2. Suponha P(k)
3. Prove P(k+1)
Exemplo
• Demonstre que:
‣ 1+2+3+...+n = [n(n+1)]/2
Exercício
• Usando o primeiro princípio de indução, demonstre que:
‣ A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2.
‣ Para qualquer inteiro positivo n, o número 22n-1 é divisível por 3.
Sumário
• Técnicas básicas de demonstração
• Primeiro Princípio da Indução
• Segundo Princípio da Indução
Segundo Princípio de Indução
Se P(1) é verdade e (∀k)[P(r) → P(k+1), 1≤ r ≤ k,então (∀n)P(n)
• Em geral, as propriedades podem ser demonstradas por ambas as formas de indução. Mas, para a maioria dos problemas, existe uma forma mais apropriada.
‣ A diferença entre as formas está apenas na hipótese de indução
• Usamos a segunda forma quando:
‣ o problema se divide no meio ao invés de crescer em um dos lados.
‣ o caso k+1 depende de resultados anteriores a k
Exemplo
• Demonstre que para n ≥ 2, n é um número primo ou é um produto de números primos.
Exemplo 2
• Prove que qualquer franquia postal, maior ou igual a 8 centavos, pode ser obtida usando-se selos de 3 e 5 centavos.
‣ P(n): para se obter n centavos em selos precisa-se apenas de selos de 3 e 5 centavos (n ≥ 8)
Resumo
• A Indução Matemática é uma técnica para provar propriedades de números inteiros positivos
• Uma demonstração por indução não precisa começar com 1.
• As propriedades podem ser demonstradas por qualquer um dos princípios de indução, mas uma das formas pode ser mais apropriada em cada caso.