UNIS-MG

Resistência dos Materiais II

Março/2015

Prof. Esp. Douglas José de Sousa

Programa do Curso Ementa:

Tensões nas Vigas. Energia de Deformação. Estudo da Flexão elástica de Vigas. Flexão Assimétrica Centro de Cisalhamento. Esforços Combinados. Estado Plano de Tensões. Teoria das Falhas.

Metodologia/Atividade Didática

Serão realizadas aulas teóricas para introdução dos

conceitos pertinentes aos diversos assuntos apresentados;

Durante os exercícios, os alunos serão solicitados a

pesquisarem os temas com a realização de exercícios

para avaliação, assim como de exercícios extra-sala;

A utilização de livro base e a pesquisa de referências

bibliográficas serão também avaliadas nas aulas de

exercícios;

Distribuição das aulas

Dia Dia Dia Dia

Março 14 21 28

Abril 4 11 18 25

Maio 2 9 16 23 30

Atividades Avaliativas

1ª Prova – 18/04/15 – 30 pontos;

2ª Prova – 30/05/15 – 45 pontos;

Trabalhos – 25 pontos – Todos os trabalhos valerão

25 pontos. Sendo a nota final, a somatória obtida

pelo aluno dividido pelo número de trabalhos

realizados pela turma.

REGRAS DO JOGO….

Cumprimento de prazos e horários;

Ética;

Respeito;

Evolução e crescimento;

Ser capaz de resolver problemas.

Visão Geral de Resistência que devemos ter:

Apesar de nosso foco estar direcionado em eixos e vigas a

resistência dos materiais está ligado em tudo o que nos rodeia;

Em casa: colher, faca, material do fogão, sacolas plásticas.....;

No trabalho: máquinas, equipamentos, computadores......;

Nos carros: Nos últimos anos o Ferro Fundido Vermicular tem

conquistado um crescente espaço na indústria automobilística

na fabricação de cabeçotes e blocos de motores, devido a sua

maior resistência mecânica em relação ao ferro fundido

Cinzento, o que possibilita a fabricação de motores mais

eficientes, mais econômicos e menos poluentes. Dessa forma,

motores mais leves podem ser fabricados, em função das

menores espessuras de paredes necessárias.

Bibliografia Bibliografia Básica

- HIBBELER, R. C. Estática-Mecânica para Engenharia. SP: Pearson Prentice Hall, 7. ed. 2010.

- BEER & JOHNSTON, Resistência dos Materiais. 3. ed. . São Paulo: Makron Books Ltda,1995.

- NASH, William A. Resistência de Materiais. São Paulo: McGraw-Hill, 2001.

- TIMOSHENKO, Stephen P. Resistência dos Materiais. Rio de Janeiro: Livros Técnicos eCientíficos, 1983.

Bibliografia Complementar- LINDENBERG Neto, H. Introdução à Mecânica das Estruturas. SP: EPUSP-PEF, 1996.- MILLER, G.R. & COOPER, S. C. Visual Mechanics - Beams & Stress States. Boston: PWS,

1998.- POPOV. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Ed. Blücher, 1978.

UNIS-MG

Resistência dos Materiais II

Tensão em Vigas

Prof. Esp. Douglas José de Sousa

DEFINIÇÃO DE RESITÊNCIA DOS MATERIAIS

Definição segundo Hibbeler:

É o ramo da mecânica que estuda a relação entre as carga

externa aplicadas a um corpo deformável e a intensidade

das forças internas que agem no interior do corpo.

Introdução

Desenvolvimento histórico

A origem da resistência dos materiais ou mecânica dos

materiais data de meados do século XVII, quando Galileu

realizou experimentos para estudar os efeitos de cargas sobre

hastes e vigas feitas de diferentes materiais.

Nesta época também foram desenvolvidos estudos

experimentais por cientistas famosos como Sain-Venat,

Poisson, Lamé, e Navier;

Introdução

Com o passar dos anos, depois de muitos dos problemas

fundamentais da mecânica dos materiais terem sidos

resolvidos, tornou-se necessário usar técnicas avançadas da

matemática e da computação para resolver problemas

complexos;

Esse assunto se expandiu para outras áreas da mecânica

avançada, como a teoria da elasticidade. A pesquisa nessas

áreas é contínua, tanto para atender à necessidade de resolver

problemas avançados de Engenharia, quanto para justificar a

maior utilização a que está sujeita a teoria fundamental da

mecânica dos materiais.

Introdução

A resistência dos materiais estuda as relações entre as cargas

externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das

forças internas que agem no interior do corpo. Esse assunto

também envolve o cálculo das deformações do corpo e

proporciona o estudo de sua estabilidade quando sujeito a

forças externas.

No cálculo e dimensionamento de uma estrutura ou de uma

máquina são necessários fazer uso dos princípios da estática

para determinar as forças que agem sobre os elementos, como

no seu interior também.

Introdução

O tamanho dos elementos, sua deflexão e estabilidade

dependem não só das cargas internas mas também do tipo de

material que são feitos.

Introdução

Equilíbrio de um corpo

Devido ao importante papel desempenhado pela estática na

aplicação da resistência dos materiais é importante que seus

fundamentos sejam entendidos. Dessa forma, alguns dos

princípios essenciais da estática que serão utilizados serão

revisados. (Ver Resumo).

Cargas externas: Um corpo pode ser submetido a vários tipos

de cargas externas; todavia, qualquer uma delas pode ser

classificada como uma força de superfície ou uma força de

corpo.

Introdução

Forças de superfície: são causadas pelo contato direto de um

corpo com a superfície de outro. Essas forças estão

distribuídas pela área de contato entre os corpos. Se essa área

for pequena em comparação com a área da superfície total do

corpo, então a força de superfície pode ser idealizada como

uma única força concentrada, aplicada a um ponto do corpo.

Introdução

Se a carga de superfície for aplicada ao longo de uma área

estreita, ela pode ser idealizada como uma carga distribuída

linear, W (s). A força resultante Fr de W(s) é equivalente a área

sob a curva da carga distribuída e essa resultante age no

centroide C ou no centro geométrico dessa área.

Introdução

As reações de apoio são forças que se desenvolvem nos apoio

ou pontos de contato entre os corpos.

O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças, para

impedir a translação do corpo ao longo de trajetória, e um

equilíbrio de momentos, para impedir que um corpo gire.

Essas condições podem ser expressas matematicamente pelas

equações vetoriais.

𝐹 = 0

𝑀𝑜 = 0

Introdução

Nessas fórmulas, 𝐹 = 0 representa a soma de todas as

forças que agem sobre o corpo, e 𝑀𝑜 = 0 é a soma dos

momentos de todas as forças em torno de qualquer ponto O

dentro ou fora do corpo.

Introdução

Cargas resultantes internas: servem para determinar a força

e o momento resultante que agem no interior de um corpo e

que são necessários para manter a integridade do corpo quando

submetido a cargas externas.

Introdução

Para a obtenção das cargas internas que agem sobre uma região

especifica no interior de um corpo é necessário usar o método das

secções ou “corte” imaginário passando pela região onde as

cargas internas devem ser determinadas.

Introdução

Dessa forma, duas partes do corpo são

separadas e o diagrama de corpo livre de uma

das parte é desenhado.

Introdução

Podemos ver uma distribuição de forças internas agindo sobre

a área “exposta” da seção, essas forças representam os efeitos

do material que está na parte superior do corpo agindo no

material adjacente na parte inferior.

Introdução

A resistência dos materiais é um estudo da relação entre as

cargas externas que agem sobre um corpo e a intensidade das

cargas internas no interior do corpo. Forças externas podem

ser aplicadas a um corpo como cargas de superfície

distribuídas ou concentradas.

O método das seções é usado para determinar as cargas

resultantes internas em um ponto localizado sobre a seção de

um corpo.

Exercício 01

Determine as cargas internas resultantes que agem na seção

transversal em C da viga mostrada na Figura abaixo.

Respostas: Hc=0, Vc=540N, Mc=1080N.m

Exercício 02

Determine as cargas internas resultantes que agem na seção

transversal que passa pelo ponto B.

Resposta: Hb=0; Vb= 1440KN; Mb=-1915,2 KN*M

Exercício 03

Determinar as cargas resultantes internas que agem na seção

transversal em C do eixo mostrado abaixo. O eixo está apoiado

em mancais A e B que exercem somente forças verticais no

eixo.

Respostas: Hc=0; Vc= 58,8N; Mc=5,69N*m.

Exercício 04

O guindaste da figura abaixo é composto pela viga AB e roldanas

acopladas, além do cabo e do motor. Determine as cargas internas

resultantes que agem na seção transversal em C se o motor estiver

levantando uma carga W de 2000 N. Despreze o peso das roldanas e

da viga.

Propriedades MecânicasTensões em Vigas

Definem a resposta do material à aplicação de forças (solicitação

mecânica).

Força tensão Deformação

Principais Propriedades:

Resistência Elasticidade Ductilidade

Fluência Dureza Tenacidade

Determinação das Propriedades Ensaios Mecânicos

Tipos de Solicitação

Força lenta (estática)

Força rápida (impacto)

Força variável (vibração)

Altas temperaturas (oxidação, modificação nas propriedades)

Ensaios Mecânicos / Normas Técnicas# Tipos de Tensões:

# Ensaios Mecânicos:

São utilizados para determinar as Propriedades Mecânicas do

material

Utilização de corpos de prova de acordo com Normas Técnicas

ASTM (American Society for Testing and Materials)

ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas)

Tração Compressão Cisalhamento Torção

Propriedades Mecânicas

F

F

F

F

A0

F

F

F

Tração Cisalhamento Torção

Testes mais Comuns

# Os testes (ensaios) mais comuns utilizados

no estudo de materiais são os ensaios de:

• tração

• compressão

• torção

• choque

• desgaste

• fadiga

• dureza

Ensaio de Tração• É o teste mais simples.

• Permite determinar diversas propriedades mecânicas importantes.

• Consiste em aplicar uma força (carga) de intensidade crescente,

tracionando o material até sua ruptura.

Corpo de prova

Máquina de ensaio (MTS)

Célula de carga e extensômetro

Curvas: força x alongamento

tensão x deformação

Ensaio de Tração Para executar o ensaio de tração ou compressão, prepara-se um corpo

de prova de material, antes do teste, duas pequenas marcas são

identificadas ao longo do comprimento do corpo de prova. Essas marcas são

localizadas longe de ambas as extremidades do corpo de prova, porque a

distribuição de tensão nas extremidades é um tanto complexa devido ao

aperto nos acoplamentos onde a carga é aplicada. Em seguida são medidos a

área da seção transversal inicial do corpo de prova Ao, e o comprimento de

referencia Lo. ( em geral um corpo de prova tem do=13mm e Lo=50mm).

Ensaio de Tração

O que acontece com o material durante o teste de tração ?

• A aplicação de uma

força (tensão) provoca a

deformação (variação

dimensional) do material

até a sua ruptura.

Ensaio de tração

Lei de Hooke

Eε

L

ΔLε

A

F

FF

L

L + DL

A área seção

transversal

𝜏 =𝑉

𝐴

• É preciso ter em mente que dois testes de tração nem sempre serão

exatamente iguais, uma vez que, os resultados dependem de variáveis como

a composição e as imperfeiçoes microscópicas do material, seu modo de

fabricação e a taxa de carga e temperatura utilizada durante os testes.

Tensão () x Deformação ()

• A deformação não possui unidade, porem pode-se ter: m/m; cm/cm; %

= tensão ( Pa, Kgf/cm2, Kgf/mm2, N/ mm2)

F = força (carga) aplicada ( N ou kN)

A0 = área da seção reta transversal (m², cm2, mm2)

V = Força de Cisalhamento

𝜏= tensão de Cisalhamento

Pa = N/m² (SI)

= (li - l0)/l0 = Dl/l0

= F/A0

= deformação

l0 = comprimento inicial da amostra

li = comprimento instantâneo

Exercício 05

O comprimento de uma fita elástica não esticada é de 375mm. Se a fita for esticada ao redor de um cano de diâmetro externo 125mm, determine a deformação da fita.

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 휀 = 0,047𝑚𝑚

Exercício 06

Durante a corrida da maratona de São Silvestre o pé de um homem com massa de 75 Kg é submetido a uma força 5 vezes a de seu peso. Determine a tensão desenvolvida na Tíbia T da perna desse homem na seção a-a. Considere a seção circular com diâmetro externo de 45 mm e diâmetro interno de 25 mm. Considere que a Fíbula F não suporta nenhuma carga.

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 𝜎 = 3,35 𝑀𝑃𝑎

Exercício 07

A luminária de 80 Kg é sustentada por duas hastes, AB e BC. Se AB tiver diâmetro de 10 mm e BC tiver diâmetro de 8 mm, determine a tensão em cada haste.

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎: 𝜎𝐴𝐵 = 8,05 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝐵𝐶 = 7,86 𝑀𝑃𝑎

Atividade Extra

• O bloco de concreto tem as dimensões mostrada na figura. Se ele for submetido a uma força P=4KN aplicada em seu centro, determine a tensão no material.

Lei de Hooke

A maioria dos materiais de engenharia exibem uma relação linear entre

tensão e deformação dentro da região elástica. Por consequência o

aumento da tensão provoca um aumento proporcional na deformação.

Esse fato foi descoberto por Robert Hooke, em 1976, para molas e é

conhecido como lei de Hooke.

𝜎 = 𝐸휀 Aqui, E representa a constante de proporcionalidade, denominada

modulo de elasticidade ou modulo de Young, nome que deve a Thomas

Young, que publicou uma explicação sobre este modulo. O modulo de

elasticidade representa a inclinação dessa reta.

Gráfico de Tensão x DeformaçãoDentro de certos limites, a deformação é proporcional à tensão

(a lei de Hooke é obedecida)

= E

M = limite de resistência à tração

F = Tensão de ruptura real

E = módulo de elasticidade (módulo de Young)

Tipos de Deformação

Deformação [ ]

Ten

são

[

]

Plástica

Elástica

Deformação Elástica Precede a deformação plástica.

A deformação não é permanente (reversível) o material retorna à

posição inicial após retirada a força.

A Tensão é proporcional à deformação (Lei de Hooke)

= tensão

E = módulo de elasticidade (módulo de Young)

= deformação

= E x

Deformação Elástica: Anelasticidade Anelasticidade: A maioria dos metais apresenta uma “componente” de

deformação elástica dependente do tempo, ou seja, após retirada a carga é

necessário um certo tempo para que haja a recuperação do material (para o

material retornar ao seu tamanho inicial).

Metais: normalmente a componente

anelástica é pequena.

Para alguns polímeros a componente

anelástica é elevada (Comportamento

Viscoelástico)

Deformação Plástica

# Características da Deformação

Plástica:

E = / [Kgf/mm2]P

Está relacionado diretamente com as forças das ligações inter-

atômicas, decorrente do deslocamento de átomos (ou moléculas) para

novas posições na estrutura do metal.

• Ponto “P”: até este ponto vale a Lei de Hooke

Módulo de Elasticidade: Exemplos

MÓDULO DE

ELASTICIDADE [E]

Coeficiente de

Poisson [ν]

GPa 106 Psi

Magnésio 45 6.5 0,30

AlumÍnio 69 10 0,35

Latão 97 14 0,34

Titânio 107 15.5 0.36

Cobre 110 16 0,35

Níquel 207 30

Aço 207 30

Tungstênio 407 59

o módulo de elasticidade mais rígido é o material

(menor é a sua deformação elástica)

* 1 psi = 6,90 x 10-3 MPa = 7,03 x 10-4 kg/mm2

• O comportamento elástico

também é observado quando

forças Compressivas, tensões

de cisalhamento ou de torção

são aplicadas ao material

Limite de Elasticidade

Ponto “P”: Corresponde à máxima tensão

que o material suporta sem sofrer deformação

permanente.

P

a

bE = Inclinação da reta

Exercício 08Um tubo de comprimento de 8,0 m, é sujeito a uma tensão detração de 200 MPa. O material desse tubo é visto no diagramatensão versus deformação a baixo. Calcule, o módulo deelasticidade desse material e seu alongamento.

Exercício 08

Modulo de Elasticidade:

E = 𝑎/𝑏 =200𝑀𝑃𝑎

0,001= 200000 𝑀𝑃𝑎 = 𝟐𝟎𝟎 𝑮𝑷𝒂

Para uma tensão de 200 MPa temos uma deformação 휀 = 0,001, como vistono diagrama. Assim:

휀 =𝛿

𝐿=> 𝛿 = 휀 × 𝐿 = 0,001 ∗ 8000 𝑚𝑚

𝜹 = 𝟖𝒎𝒎

Deformação Elástica: Coeficiente de Poisson

Quando o material é submetido a uma força de tração

axial, um corpo deformável não apenas se alonga, mas

também se contrai lateralmente e vice-versa (contração

longitudinal -> alongamento lateral).

O Coeficiente de Poisson () é uma constante que defini

a razão (negativa) entre as deformações lateral x e

longitudinal z do material.

𝑣 = −휀𝑙𝑎𝑡휀𝑙𝑜𝑛𝑔

Deformação Elástica: Coeficiente de Poisson

Para maioria dos sólidos não porosos, seu valor encontra-se, em geral,

entre 1/4 e 1/3

O coef. de Poisson também é usado na relação entre os módulos de

elasticidade ao cisalhamento ( G ) e de elasticidade ( E ) de materiais

“isotrópicos”, pela relação:

Nos materiais isotrópicos suas propriedades mecânicas são as mesmas em

todas as direções.

E = 2G (1 + ) Para a maioria dos metais G 0,4E

Coef. de Poisson x Tensão de Cisalhamento

• Tensões de cisalhamento produzem deslocamento de um plano de átomos

em relação ao plano adjacente

• A deformação elástica de cisalhamento ( ) é dada por:

= tg

• Tensão de Cisalhamento ( ) é a relação entre a força aplicada e aárea submetida ao cisalhamento:

= F / A0

F = força (ou carga)

A0 = área da seção

= GG = módulo de cisalhamento (ou módulo transversal)

= deformação de cisalhamento

(está relacionada ao ângulo de torção)

Deformação Plástica: Escoamento

Esse fenômeno é nitidamente observado em alguns metais de natureza

dúctil, como aços com baixo teor de carbono.

Caracteriza-se por um grande alongamento sem acréscimo de carga.

Para a maioria dos materiais metálicos, a deformação elástica persiste

apenas até deformações de 0,005. Após este ponto ocorre a

deformação plástica (não-reversível).

A lei de Hooke não é mais válida !

Deformação Plásticay = tensão de escoamento (dá a capacidade de um material resistir à deformação

plástica)

• Curva “b”: em alguns aços (e

outros materiais) o limite de

escoamento é bem definido, ou

seja, o material escoa deformando-

se plasticamente sem aumento da

tensão.

• Curva “a”: a transição do

comportamento elástico para o

plástico é gradual, iniciando uma

curvatura a partir do ponto “P”.

Limite de “Resistência à Tração”

O “Limite de Resistência à Tração” - LRT, corresponde à tensão

máxima (ponto M) aplicada ao material antes da ruptura. (se esta tensão

for mantida ocorrerá a fratura do material)

É calculada dividindo-se a carga (força) máxima suportada pelo

material pela área de seção reta inicial

Unidades: MPa; psi

1 MPa = 145 psi

1 psi = 7,03 x 10-4 kgf/mm2

LRTM

Ductibilidade

Def.: Representa uma medida do grau de deformação plástica que o

material suportou quando de sua fratura, ou seja, corresponde à

elongação total do material devido à deformação plástica.

Pode ser expressa como:

Alongamento Percentual:

Onde l0 e lf correspondem, respectivamente,

aos comprimentos inicial e final (após a

ruptura) do material.

AL% = [(lf – l0)/l0] x 100

Dúctil x Frágil

Materiais frágeis: são considerados, de

maneira aproximada, como sendo aqueles que

possuem uma deformação de fratura que é

inferior a 5%.

Resiliência

Def.: É a capacidade de um material absorver energia quando este é

deformado elasticamente e depois, com o descarregamento, ter essa

energia recuperada.

Ur = 1/2 (e x e) = (e)2/2E

A propriedade associada é dada pelo módulo de resiliência (Ur)

e

e

A área sob a curva, que representa a

absorção de energia por unidade de volume,

corresponde ao módulo de Resiliência Ur.

Tenacidade

Def.: Corresponde à capacidade do material de absorver energia até sua

ruptura.

Unidade [Energia/volume]

• Para pequenas taxas de deformação, a tenacidade é determinada pela

área da curva de tensão-deformação (teste de tração)

• A tenacidade à fratura é uma propriedade indicativa da resistência do

material à fratura quando este possui uma trinca.

Depende: da geometria do corpo de

prova e da maneira como a carga

(força) é aplicada.

Exercício 09Um material apresenta o diagrama tensão X deformação deacordo com a figura abaixo. Calcules os módulos de elasticidade,resiliência e tenacidade desse material.

Exercício 09

Modulo de Elasticidade:

E = tg 𝛼 =200

0,001= 200000 𝑀𝑃𝑎 = 𝟐𝟎𝟎 𝑮𝑷𝒂

𝑢𝑟 =0,001×200

2= 0,1 𝑀𝑃𝑎

𝑢𝑡 =0,001×200

2+0,002−0,001

2× 200+ 250 + 0,008 ∗ 250 = 2,325𝑀𝑃𝑎

Comparativo

Propriedades Mecânicas x Temperatura

# A temperatura é uma variável que influencia as propriedadesmecânicas dos materiais.

O aumento da temperatura provoca:

Módulo de Elasticidade Força

ductibilidade

Resumo

Módulo de Elasticidade: Exemplos

MÓDULO DE

ELASTICIDADE [E]

Coeficiente de

Poisson [ν]

GPa 106 Psi

Magnésio 45 6.5 0,30

AlumÍnio 69 10 0,35

Latão 97 14 0,34

Titânio 107 15.5 0.36

Cobre 110 16 0,35

Níquel 207 30

Aço 207 30

Tungstênio 407 59

o módulo de elasticidade mais rígido é o material

(menor é a sua deformação elástica)

* 1 psi = 6,90 x 10-3 MPa = 7,03 x 10-4 kg/mm2

• O comportamento elástico

também é observado quando

forças Compressivas, tensões

de cisalhamento ou de torção

são aplicadas ao material

Ensaio de tração SAE 1045

Ensaio de dobramento SAE 1020

Diagrama Tensão x Deformação SAE1020

Exercício 10

• Um pedaço de cobre originalmente com 305 mm de

comprimento é tracionado com uma tensão de 276 MPa.

Se a sua deformação é inteiramente elástica, qual será o

alongamento resultante ?

= E. = Dl / l0 Tabela: E = 110 x 103 MPa

Dl = .l0 / E = (276 x 305) / (110 x 103)

Dl = 0,77 mm

= E. = Dl / l0 Tabela: E = 110 x 103 MPa

Continuação

Exercício 11

• Um corpo de prova de alumínio mostrado na figura tem diâmetro

do=25mm e comprimento de referencia Lo= 250mm. Se uma força de

165 KN provocar um alongamento de 1,20 mm no comprimento de

referencia, determine o modulo de elasticidade. Determine também qual

é a contração do diâmetro que a força provoca no corpo de prova.

Considere:

• G al= 26 Gpa G = 𝑬

𝟐(𝟏+𝒗); 𝒗 = −

𝜺 𝒍𝒂𝒕

𝜺 𝒍𝒐𝒏𝒈

• 𝝈𝒆 =440 Mpa

• 𝒗=coe. poisson

G al= modulo de rigidez

𝜎e= energia de deformação

Resposta: E al= 70 Gpa

contração= 0,0416mm

Exercício 12• Uma tensão de tração deve ser aplicada ao longo do eixo

referente ao comprimento de um bastão cilíndrico de latão, que

possui um diâmetro de 10 mm. Determine a magnitude da carga

exigida para produzir uma alteração de 2,5 x 10-3 mm no

diâmetro. A deformação é puramente elástica

li l

0

di

d

z

x

z = Dl / l0 = (li - l0) / l0

x = -𝜀𝑥

𝑣

Dados:

d = 10 mm = 1X 10-2 m

Dd = 2,5 x 10-3 mm

𝑣 = −휀𝑙𝑎𝑡휀𝑙𝑜𝑛𝑔

x = Dd / d0 = (- 2,5 x 10-3) / 10 = - 2,5 x 10-4 O sinal “-” deve-se à redução

no diâmetro do material

z = - x / = - (- 2,5 x 10-4) / 0,35 = 7,14 x 10-4 Para o latão = 0,35 (tabela)

= z.E = (7,14 x 10-4) . (101 x 109) = 72,1 MPaPara o latão E = 101 GPa

(tabela)

F = .A0 = . r 2 = (72,1 x 106) x 0.0052.

F = 5663 N

Tabela-2;

Letra Nome Letra Nome

Α α Alfa Ξ ξ Csi/Xi

Β β Beta Ο ο Ômicron

Γ γ Gama Π π Pi

Δ δ Delta (Ϻ) San

Ε ε Épsilon (Ϙ) Qoppa

(Ϝ) Digama Ρ ρ Rô

Ζ ζ Zeta Σ σ,ς Sigma

Η η Eta Τ τ Tau

Θ θ Teta Υ υ Úpsilon

Ι ι Iota Φ φ Fi

Κ κ Capa Χ χ Qui/Chi

Λ λ Lambda Ψ ψ Psi

Μ μ Mu/Mi Ω ω Ômega

Ν ν Nu/Ni (t) Sampi

Alfabeto grego

FIM!!