01 pres sesion3 arquitec geo2013

8/17/2019 01 Pres Sesion3 Arquitec Geo2013

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Asignatura :

“Geometría Euclidiana”

Prof: Manuel Galaz Pérez

Santiago, 09 de abril de 2013


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Universidad

de Santiago

de Chile

Facultad de

Ciencia

Sobre los postulados en Geometría

Sesión 3

Las proposiciones que se concluyan de los postulados por mediode las re!las l"!icas son formalmente #$lidas si se %an cumplido

las si!uientes condiciones:

&' (ue se %ayan enunciado e)plícitamente los términos primiti#oscon los cuales se definen los otros'

Departamento

de

Matemática

y

Computación

*' (ue se %ayan enunciado unas proposiciones iniciales con lascuales se pretende demostrar todas las dem$s' +ic%asproposiciones son los postulados' ,stos deben cumplir lassi!uientes condiciones:

• -onsistencia: no pueden ser contradictorios entre sí'

• .ndependencia: nin!/n postulado debe deducirse delos dem$s'

• Suficiencia: los resultados requeridos en la teoría

deben ser una consecuecia de ellos o contradecirlos'


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Sobre los postulados en Geometría

Sesión 3

0' (ue las relaciones establecidas entre los términos sean relacionesl"!icas independientes del sentido que pueda darse a los términos'

1' (ue en las demostraciones no se supon!a nada de las fi!uras esdecir que s"lo inter#en!an las relaciones l"!icas'

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de

Matemática

y

Computación


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La +emostraci"n de un 2eorema:

Sesión 3

Términos primitivos Definiciones Postulados

Otros Teoremas

3ip"tesis

t i # o

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de

Matemática

y

Computación

Fundamentos

Conclusión

Procesodeducti#o

2esis

M é t o d o

+ e d u


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La +emostraci"n de un 2eorema:

Sesión 3

Generalmente la estructura de una demostraci"n se e)presapor medio de una implicaci"n de la forma 3 ⇒ 2 donde:

&' Se acepta que 3 4la %ip"tesis5 es #erdadera y est$constituida por los términos primiti#os las definiciones lospostulados y las proposiciones 4teoremas5 cuya #alidez %asido robada'

Departamento

de

Matemática

y

Computación

*' Se establece una sucesi"n finita de afirmaciones que soncombinaciones y cone)iones de los elementos de la %ip"tesis3 4razones que se e)plicitan5 y los fundamentos que #an adeterminar que 3 implica a 2'

0' Se afirma que 2 4tesis o conclusi"n5 es #erdadera 4est$basada en el principio filos"fico: 6+e la #erdad no se puedese!uir la falsedad75'

3⇒

8& ⇒

8* ⇒

80 ⇒

998n ⇒

2


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+e #uelta a la a)iom$tica

de la !eometría

Sesión 3

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Matemática

y

Computación

+a#id 3ilbert 4&;< = &;105


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Sesión 3

+efinici"n:

>na geometría 4tridimensional5 est$ formada por uncon?unto E que se llamar$ espacio cuyos elementosse denominar$n puntos ?unto a dos familias no#acías de subcon?untos de E a cuyos elementos se

Departamento

de

Matemática

y

Computación

llamar$n respecti#amente rectas y planos'


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8)iomas .:8)iomas de .ncidencia'

8)iomas @:8)iomas de @rden'

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8)ioma P:8)iomas de las paralelas4a)ioma de Euclides5'

8)iomas de continuidad 48)ioma de8rquímides 5'


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8)iomas de .ncidencia 4de e)istencia y enlace5

Se dir$ que una recta o plano π pasa por un punto P o queπ incide en el punto P si P∈ π'

8)i m .'&:Por cada ar de untos distintos 8 A

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y

Computación

pasa una /nica recta'

8)ioma .'*:2oda recta contiene al menos dospuntos'

2res o mas puntos son colineales si %ay una recta que loscontiene a todos ellos'

AB


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8)ioma .'0:2res puntos no colineales 8 A y -determinan un /nico plano'

o 8)ioma .'1:2odo plano contiene al menos tres

Π )( ABC Ρ

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Matemática

y

Computación

8)ioma .'B: Si una recta r tiene dos puntos encom/n con un plano C entonces r est$ contenida en C'

-uatro o mas puntos son coplanares si %ay un plano quecontiene a todos ellos'


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8)iomas .'D:Si dos planos tienen un punto encom/n entonces tienen dos puntos en com/n'

8)iomas .'


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+efinici"n: +os planos son coincidentes si tienen trespuntos comunes' Secantes si su intersecci"n es una recta y

paralelas si no tienen puntos comunes'

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y

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+efinici"n: +os rectas son coincidentes si tienen masde un punto en com/n' Secantes si tienen un punto encom/n y paralelas si no tienen puntos comunes'


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2eorema .'&:2oda recta tiene un punto e)teriorcontenido en un plano dado'

2eorema .'*: 2odo plano tiene un punto e)terior'

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2eorema .'0 : Si 8 y A son puntos de una recta r y- es e)terior a r entonces 8 A y - no son colineales'

2eorema .'1 : Si 8 A y - son puntos nocolineales de un plano π y + es e)terior a π entonces8 A - y + no son coplanares'


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2eorema .'B:+ados dos planos distintos entonceso bien no tienen puntos comunes o bien su intersecci"n

es una recta'

2eorema .'D: +os rectas distintas tienen como

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m )imo un punto com n'

2eorema .'< : +ados un plano y una recta o bienno tienen puntos comunes o bien tienen un /nico puntoen com/n o bien la recta est$ contenida en el plano'


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2eorema .': >na recta y un punto e)terior a ellaest$n contenidos en un /nico plano '

2eorema .';: +os rectas secantes est$n contenidosen un /nico plano'

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2eorema .'&: En el plano e)isten al menos tresrectas'


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8)iomas de @rden 4estar entre5

8)ioma @'&:Si 8 A y - son puntos de una recta y Aest$ entre 8 y - entonces A se encuentra también entre- y 8'

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Matemática

y

Computación

8)ioma @'*:Si 8 y - son dos puntos de una rectaentonces e)iste al menos un punto A que est$ entre 8 y- y e)iste al menos un punto + situado de modo que -

est$ entre 8 y +'


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8)ioma @'0:+e cualquiera de los tres puntos 8Ay - situados en una recta siempre %ay uno y s"lo unode ellos que se encuentra entre los otros dos 48A-

A-8 o -8A5'

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'

ua qu era e os cua ro pun os

A - + de una recta siempre puede disponerse deforma que A estar$n entre 8 y - y también entre 8 y+ y adem$s que el - estar$ comprendido entre 8 y+ y también entre A y +'


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8)ioma @'B: Sean 8 A - tres puntos nocolineales y sea l una recta contenida en el plano 8A-y que no pasa por cualquiera de los puntos 8 A -

entonces si l pasa por un punto del se!mento 8Atambién pasar$ por tanto por un punto del se!mentoA- o un punto del se!mento 8-'

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+efinici"n de semirecta: Si 8 y A son puntosdistintos de una recta de tal manera que:

@ est$ entre 8 y A'

@ no esta entre 8 y 8F se dir$ que los puntos 8 y 8F est$n al mismo lado de larecta con respecto al punto @ y que los puntos 8 y A

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+efinici"n de se!mento: Si 8 y A son puntosdistintos se llama se!mento al con?unto de todos lospuntos que est$n entre 8 y A' Estos /ltimos de llamane)tremos del se!mento'

B

con?unto de los puntos ubicados en uno y el mismo ladorespecto del punto @ de la recta se denomina semirecta4semirrayo5 que parte de @' Por tanto cada punto de larecta la di#ide en dos semirectas 4semirayos5


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+efinici"n de 8n!ulo: Sea π un plano y % dossemirectas diferentes que parten de un punto @ en π y

que pertenecen a rectas distintas' El sistema de estassemirectas se llama $n!ulo y se desi!na con el símbolo∠4%5 o ∠4%5 ' Las semirectas se llaman lados del $n!uloy el punto @ se llama #értice del $n!ulo'

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Se llama interior del $n!ulo la re!i"n del plano tal que alunir dos puntos cualesquiera de ella el se!mento quedatotalmente contenido en ella'


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8)iomas de -on!ruencia

8)iomas -'&: -on!ruencia de se!mentos: Propiedad refle?a: 2odo es con!ruente a si mismo

AB

BA AB y AB AB ≅≅

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Propiedad simétrica: Si entonces

Propiedad transiti#a: Si y entonces

8)iomas -'*:Si 8 y A son puntos en una recta l y 8Fes un punto en la recta lF entonces siempre es posibleencontrar sobre la recta lF a uno u otro lado de 8F un

/nico punto AF tal que '' B AB ≅

'' B AB ≅ B B A ≅

'' B A AB ≅ '''''' B B A ≅

'''' B AB ≅


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8)iomas -'0:Si 8A y A- son dos se!mentos deuna recta l que no tienen puntos en com/n yadem$s si los se!mentos 8FAF y AF-F son dos

se!mentos de recta lF que tampoco tienen puntos encom/n' Entonces si 8A 8FAF y A- AF-F entonces8- 8F-F'

≅ ≅≅

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8)iomas -'1: +ado un 4%5 en un plano C yuna recta lF en un plano distinto CF en el cual se fi?a %Funa semirecta de lF con ori!en en @F entonces e)iste

una /nica semirecta F de modo que 4%FF5 seacon!ruente 4%5'

4%FF5 4%5 '

∠

∠

∠

∠ ∠≅


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8)iomas -'B:Si 4%5 es con!ruente con 4%FF5y con 4%FFFF5 entonces 4%FF5 es con!ruente con

4%FFFF5' Esto es 4%5 4%FF5 y 4%5 4%FF5

entonces 4%FF5 4%FFFF5 '≅ ≅

≅

∠

∠

∠

∠

∠ ∠ ∠ ∠ ∠

∠ ∠

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+efinici"n de Polí!ono: >n sistema de se!mentosse llama poligonal o

línea quebrada al trazado que une los puntos 8 y M' 2al

situaci"n se puede simbolizar mediante la escritura8A-+E9''M' Los puntos 8 A - +99 M se llamanvértices de la poli!onal'

NM DE CD BC AB ,......,,,,

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Matemática

y

ComputaciónSi 8 coincide con M la poli!onalse denomina polígono y losse!mentos se llaman lados delpolí!ono' >n polí!ono de treslados se llama triángulo'


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8)iomas -'D:Si en dos tri$n!ulos 8A- y 8FAF-F lacon!ruencia yentonces se tienen las con!ruencias'' B A AB

≅ ''C A AC

≅ ''' B AC CAB

∠≅∠

''' C B A ABC ∠≅∠ ''' AC B BCA ∠≅∠

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+efinici"n: Si los puntos 8 A y - son colinealesentonces se seHalar$n de la forma 8IAI- o 8A-'

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Sesión 2 - Ejercicios

Si 8IAI- y 8I-I+ entonces los cuatro puntos 8 A - y+ se encuentran en una línea'

Si 8 A - y + son cuatro puntos de una recta y se sabeque -I8I+ y 8I+IA Jqué otras relaciones de orden sepueden determinarK ealice un bosque?o'

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que -I8I+ y -I8IA Jqué otras relaciones de orden sepueden determinarK ealice un bosque?o'

Probar que %ay al menos cuatro líneas en cada punto'

Pruebe que para cada recta r e)iste un punto en cadalado de r'

Entre dos puntos de una recta e)isten una cantidad

indefinida de puntos'


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Síntesis de la sesi"n'

Sesión 2

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Bibliografía

Londoño, J. “Geometria Euclidiana”. Instituto de matemáticas. Universidad deAntioquia. (texto digital en linea).

Clemens, S; O´Daffer, P; Cooney, T (1998). " Geometría". Edo. de México:

Addison Wesley Longman de México.

Barnett Rich (1991). " Geometría". Mac-Graw Hill.

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Computación

ano. . ro emas e eome r a .

Galaz, Manuel. “Construcciones Geométricas con un procesadorgeométrico”. Apuntes de clases.

Euclides (300 A.C). “Los Elementos de Euclides”. [en línea:

http://www.euclides.org/ ]

Hilbert, D. “Los fundamentos de la geometría”. (en inglés texto digital).

Moise, Edwin, Downs Floyd . "Matemática Moderna: Geometría”.

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