00-21 (1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN

MARCOS ARNDT

O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS APLICADO

ANLISE DE VIBRAES LIVRES DE ESTRUTURAS RETICULADAS

CURITIBA

2009

MARCOS ARNDT

O MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS APLICADO

ANLISE DE VIBRAES LIVRES DE ESTRUTURAS RETICULADAS

Tese apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Mtodos Numricos em Engenharia, Setor de Tecnologia, Universidade Federal do Paran, como requisito parcial obteno do ttulo de Doutor em Cincias, rea de Concentrao: Mecnica Computacional. Orientador: Prof. Dr. Roberto Dalledone Machado Co-orientador: Prof. Dr. Adriano Scremin

CURITIBA

2009

Lilian, minha esposa, e aos meus filhos

Rafaela e Giovani que so as pessoas

mais importantes na minha vida.

Aos meus pais, Vitor e Zeni que me

ensinaram os verdadeiros valores.

AGRADECIMENTOS

Deus, pela vida, pela graa e misericrdia dirias.

minha famlia por todo amor, pacincia e apoio.

Ao professor Roberto Dalledone Machado, pela orientao, apoio, confiana,

persistncia, amizade e principalmente pelo exemplo.

Ao professor Adriano Scremin, pela orientao, apoio e pelas fundamentais

idias e sugestes ao trabalho.

Aos professores Sergio Scheer e Mildred B. Hecke pelo incentivo, amizade,

apoio e confiana.

Maristela Bandil pela amizade e, alegria e motivao em todas as

ocasies.

Aos amigos e professores do CESEC que me acolheram desde a

graduao.

Aos amigos Flvia e Claudio pelo apoio, companheirismo e amizade.

Aos amigos e professores do curso de Engenharia Civil da Universidade

Positivo pelo apoio e amizade.

Se no for o Senhor o construtor da casa, ser intil trabalhar na construo. Se no o Senhor que vigia a cidade, ser intil a sentinela montar guarda.

Salmo 127:1 NVI

RESUMO O conhecimento do comportamento dinmico das estruturas civis e mecnicas tem se tornado cada vez mais importante para um projeto seguro e otimizado. O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) apresenta bons resultados para as primeiras frequncias, porm demanda elevado custo computacional para atingir melhor preciso para altas frequncias. O objetivo deste trabalho investigar a aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG) na anlise de vibraes livres em estruturas reticuladas. O Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados, desenvolvido a partir do Mtodo da Partio da Unidade, permite a incluso de conhecimento prvio sobre a soluo da equao diferencial sendo resolvida, no espao de soluo aproximado. Neste trabalho so propostos e analisados diversos elementos generalizados para anlise da vibrao livre de barras, eixos, vigas de Euler-Bernoulli, trelias e prticos planos com diferentes funes enriquecedoras. So propostos refinamentos h, p e adaptativo para o MEFG. As funes enriquecedoras do MEFG Adaptativo so dependentes da geometria, das propriedades mecnicas dos elementos e das condies de contorno. O problema variacional de vibrao livre formulado e os principais aspectos do MEFG so discutidos. A eficincia e a convergncia do mtodo proposto na vibrao livre de estruturas reticuladas planas so verificadas. As frequncias obtidas pelo MEFG so comparadas com aquelas obtidas por solues analticas, pelo Mtodo Composto (MC), pelos refinamentos h e p do MEF, e por outros mtodos encontrados na literatura. O MEFG proposto permite a imposio das condies de contorno de forma direta, como no MEF, e apresenta taxas de convergncia maiores do que o refinamento h do MEF e refinamento c do MC, e no mnimo semelhantes s taxas de convergncia do refinamento p do MEF. O MEFG Adaptativo proposto converge muito rpido e permite aproximar a frequncia relacionada com o modo de vibrao desejado.

Palavras-chave: Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados. Vibrao livre.

Anlise dinmica. Partio da unidade.

ABSTRACT

The knowledge about the dynamic behavior of civil and mechanical structures has become very important for a safe and optimized design. The Finite Element Method (FEM) presents good results for the lowest frequencies but demands great computational cost to work up the accuracy for the higher frequencies. The objective of this work is to study the application of the Generalized Finite Element Method (GFEM) in free vibration analysis of framed structures. The Generalized Finite Element Method, developed from the Partition of Unity Method, allows the inclusion of a priori knowledge about the differential equation being solved in the approximated solution space. In this work several generalized elements to free vibration analysis of bars, shafts, Euler-Bernoulli beams, and plane trusses and frames with different enrichment functions are proposed and investigated. The h, p and adaptive refinements of GFEM are proposed. The Adaptive GFEM enrichment functions are dependent on the geometric, mechanical properties of the elements and boundary conditions. The variational problem of free vibration is formulated and the main aspects of the GFEM are discussed. The efficiency and convergence of the proposed method in free vibration analysis of framed structures are checked. The frequencies obtained by the GFEM are compared with those obtained by the analytical solutions, the Composite Element Method (CEM), the h and p-versions of FEM, and other methods found in the literature. The GFEM allows to introduce the boundary conditions directly, as in the FEM, and presents convergence rates grater than h-version of FEM and c-version of CEM, and at least similar to the convergence rates of p-version of FEM. The proposed Adaptive GFEM converges very fast and is able to approximate the frequency related to the chosen vibration mode.

Key words: Generalized Finite Element Method. Free vibration. Dynamic analysis.

Partition of unity.

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1 NMERO DE FREQUNCIAS CONVERGINDO COM PRECISO

MNIMA DE 1% - VIGA SIMPLESMENTE APOIADA .........................52

FIGURA 2.2 FATORES INTENSIDADE DE MOMENTO (K1) NORMALIZADOS EM

RELAO LARGURA DA PLACA...................................................61

FIGURA 2.3 SOLUO DA EQUAO LINEAR DA ONDA NO TEMPO t = 7,0 ..65

FIGURA 2.4 SOLUO DA EQUAO DE BURGERS NO TEMPO t = 2,853 .....65

FIGURA 2.5 TENSES xx (dyn/cm2) PARA UM PLANO SEMI INFINITO............66 FIGURA 2.6 ESQUEMA ITERATIVO .....................................................................67

FIGURA 2.7 CURVAS DE CONVERGNCIA PARA PLACA EXCITADA A 2000 HZ

.............................................................................................................69

FIGURA 3.1 ESQUEMA DE ESPAOS DUAIS.....................................................75

FIGURA 3.2 BARRA RETA COM DEFORMAO AXIAL......................................85

FIGURA 3.3 ELEMENTO LINEAR DE BARRA ......................................................95

FIGURA 3.4 ELEMENTO CBICO DE BARRA .....................................................96

FIGURA 3.5 EIXO RETO COM DEFORMAO ANGULAR................................100

FIGURA 3.6 VIGA RETA COM DEFORMAO LATERAL..................................104

FIGURA 3.7 ELEMENTO DE VIGA ......................................................................113

FIGURA 3.8 (a) FUNO B3-SPLINE TPICA; (b) BASE DE FUNES B3-

SPLINE ..............................................................................................115

FIGURA 3.9 TRANSFORMAO DE COORDENADAS PARA BARRA DE

TRELIA............................................................................................120

FIGURA 3.10 TRANSFORMAO DE COORDENADAS PARA BARRA DE

PRTICO...........................................................................................123

FIGURA 4.1 COBERTURA { }i DO DOMNIO ..............................................127

FIGURA 4.2 SUBDOMNIOS E FUNES PARTIO DA UNIDADE PARA

MALHA DE ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS DO MEFG .............130

FIGURA 4.3 FUNO PARTIO DA UNIDADE E ESPAO DE APROXIMAO

LOCAL DO MEFG-1 PARA O ELEMENTO DE BARRA RETA NO

SUBDOMNIO (1,3), COM 1=ln .......................................................133 FIGURA 4.4 FUNO PARTIO DA UNIDADE E ESPAO DE APROXIMAO

LOCAL DO MEFG-2 PARA O ELEMENTO DE BARRA RETA NO

SUBDOMNIO (1,3), COM 1=ln .......................................................135 FIGURA 4.5 FUNES PARTIO DA UNIDADE E ENRIQUECEDORAS DO

ELEMENTO MESTRE DE BARRA RETA DO MEFG-2, PARA j = 1, Le

= 1 E 1 = 3/2 ...................................................................................136 FIGURA 4.6 FLUXOGRAMA DO MEFG ADAPTATIVO ......................................139

FIGURA 4.7 FLUXOGRAMA DO REFINAMENTO p ADAPTATIVO DO MEFG .141

FIGURA 4.8 FUNO PARTIO DA UNIDADE E ESPAO DE APROXIMAO

LOCAL DO MEFG MC E MEFG MMA PARA O ELEMENTO DE VIGA,

NO SUBDOMNIO (1,3).....................................................................145

FIGURA 4.9 FUNES ENRIQUECEDORAS DO ESPAO DE APROXIMAO

LOCAL DO MEFG TRIG PARA O ELEMENTO DE VIGA NO

SUBDOMNIO (1,3) ...........................................................................146

FIGURA 4.10 FUNO PARTIO DA UNIDADE E ESPAO DE

APROXIMAO LOCAL DO MEFG ADAPTATIVO PARA

ELEMENTO DE VIGA, NO SUBDOMNIO (1,3) ...............................150

FIGURA 4.11 FUNES PARTIO DA UNIDADE E ENRIQUECEDORAS DO

ELEMENTO DE VIGA PARA j = 1, Le = 1 E 1 = 3/2.......................152 FIGURA 5.1 BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................157

FIGURA 5.2 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR REFINAMENTO h

BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE .....................................................159

FIGURA 5.3 ERRO RELATIVO DO 2 AUTOVALOR REFINAMENTO h - BARRA

UNIFORME FIXA-LIVRE...................................................................159









FIGURA 5.8 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR REFINAMENTO p












FIGURA 5.14 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR VARIAO DO

PARMETRO DE FREQUNCIA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE

...........................................................................................................167

FIGURA 5.15 ERRO RELATIVO DO 4 AUTOVALOR VARIAO DO

PARMETRO DE FREQUNCIA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE

...........................................................................................................168

FIGURA 5.16 ERRO DOS AUTOVALORES NO REFINAMENTO ADAPTATIVO

DA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ANLISE 1: 1 FREQUNCIA

ALVO .................................................................................................170



ALVO .................................................................................................171



ALVO .................................................................................................171



ALVO .................................................................................................171

FIGURA 5.20 ERRO RELATIVO PARA O 2 AUTOVALOR PARA DIVERSAS

RELAES DE MALHA BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE..........174


ADAPTATIVO BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE ..........................175











FIGURA 5.27 BARRA UNIFORME FIXA-FIXA......................................................178

FIGURA 5.28 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA

UNIFORME FIXA-FIXA .....................................................................179

FIGURA 5.29 BARRA UNIFORME LIVRE-LIVRE.................................................181

FIGURA 5.30 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA

UNIFORME LIVRE-LIVRE ................................................................182

FIGURA 5.31 BARRA UNIFORME FIXA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA

NA EXTREMIDADE...........................................................................183

FIGURA 5.32 ERRO RELATIVO DAS FREQUNCIAS ALVO BARRA

UNIFORME FIXA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA...............185

FIGURA 5.33 BARRA FIXA-LIVRE BIMATERIAL.................................................186

FIGURA 5.34 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO BARRA FIXA-

LIVRE BIMATERIAL ..........................................................................188


FIXA COM VARIAO DE REA SENOIDAL .................................191


FIXA COM VARIAO DE REA POLINOMIAL .............................194

FIGURA 5.37 EIXO CIRCULAR UNIFORME FIXO-LIVRE COM MASSA

CONCENTRADA...............................................................................197

FIGURA 5.38 EIXO CIRCULAR UNIFORME COM MOLA TORCIONAL ............198

FIGURA 5.39 VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE........................................200

FIGURA 5.40 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR REFINAMENTO h VIGA

UNIFORME ENGASTADA-LIVRE.....................................................202







FIGURA 5.44 ERRO RELATIVO DO 1 AUTOVALOR REFINAMENTO p VIGA

















DA VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE ANLISE 1: 1

FREQUNCIA ALVO.........................................................................211



FREQUNCIA ALVO.........................................................................212



FREQUNCIA ALVO.........................................................................212



FREQUNCIA ALVO.........................................................................212

FIGURA 5.56 SEGUNDO MODO DE VIBRAO DA VIGA UNIFORME

ENGASTADA-LIVRE NAS DUAS PRIMEIRAS ITERAES DO

MEFG ADAPTATIVO ANLISE 2: 2 FREQUNCIA ALVO .........214

FIGURA 5.57 VIGA UNIFORME BI-ROTULADA .................................................215


UNIFORME SIMPLESMENTE APOIADA .........................................216















FIGURA 5.66 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA UNIFORME

SIMPLESMENTE APOIADA .............................................................221

FIGURA 5.67 VIGA UNIFORME ENGASTADA-LIVRE COM MASSA

CONCENTRADA NA EXTREMIDADE..............................................223

FIGURA 5.68 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA

ENGASTADA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA.....................225

FIGURA 5.69 VIGA UNIFORME BI-ENGASTADA COM RTULA INTERNA .....227

FIGURA 5.70 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA COM

RTULA INTERNA ...........................................................................228

FIGURA 5.71 VIGA ENGASTADA-ROTULADA BIMATERIAL .............................230

FIGURA 5.72 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES ALVO VIGA

ENGASTADA-ROTULADA BIMATERIAL .........................................233

FIGURA 5.73 VIGA CONTNUA BIMATERIAL......................................................234

FIGURA 5.74 ERRO RELATIVO DOS AUTOVALORES VIGA ENGASTADA-

ROTULADA COM VARIAO POLINOMIAL DE REA E INRCIA

...........................................................................................................239

FIGURA 5.75 TRELIA COMPOSTA POR 7 BARRAS........................................240

FIGURA 5.76 QUARTO MODO DE VIBRAO DA TRELIA DE 7 BARRAS....242

FIGURA 5.77 TRELIA COMPOSTA POR 15 BARRAS......................................243

FIGURA 5.78 QUINTO MODO DE VIBRAO DA TRELIA DE 15 BARRAS ...244

FIGURA 5.79 PRTICO PLANO...........................................................................245

FIGURA 5.80 QUARTO MODO DE VIBRAO DO PRTICO ...........................248

LISTA DE TABELAS

TABELA 2.1 TEORIAS PARA VIGAS......................................................................41

TABELA 2.2 NMERO DE FREQUNCIAS COM UMA PRECISO p% OU

MELHOR BARRA LIVRE-LIVRE......................................................51

TABELA 2.3 NMERO DE FREQUNCIAS COM UMA PRECISO p% OU

MELHOR VIGA SIMPLESMENTE APOIADA ..................................51

TABELA 2.4 FREQUNCIAS NATURAIS PARA VIGA NO UNIFORME .............55

TABELA 5.1 TAXAS DE CONVERGNCIA DOS REFINAMENTOS h BARRA

FIXA-LIVRE .......................................................................................162

TABELA 5.2 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DA BARRA UNIFORME

FIXA-LIVRE .......................................................................................173

TABELA 5.3 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE BARRA UNIFORME

FIXA-FIXA..........................................................................................180

TABELA 5.4 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE BARRA UNIFORME

LIVRE-LIVRE.....................................................................................182

TABELA 5.5 SOLUES ANALTICAS DAS FREQUNCIAS NATURAIS PARA

BARRA FIXA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA .....................184

TABELA 5.6 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE BARRA FIXA-LIVRE

COM MASSA CONCENTRADA........................................................185

TABELA 5.7 SOLUES ANALTICAS DOS AUTOVALORES DA BARRA FIXA-

LIVRE BIMATERIAL ..........................................................................187

TABELA 5.8 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE BARRA BIMATERIAL

...........................................................................................................189

TABELA 5.9 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DA BARRA FIXA-FIXA

COM VARIAO DE REA SENOIDAL ..........................................191


COM VARIAO DE REA SENOIDAL MEF p COM

QUADRATURA DE GAUSS..............................................................192


COM VARIAO DE REA POLINOMIAL.......................................195

TABELA 5.12 RESULTADO DO MEFG ADAPTATIVO PARA BARRA FIXA-FIXA

COM VARIAO DE REA POLINOMIAL E MALHA MAIS

REFINADA.........................................................................................196

TABELA 5.13 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE EIXO FIXO-LIVRE

COM MASSA CONCENTRADA........................................................198

TABELA 5.14 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE EIXO COM MOLA

TORCIONAL......................................................................................199

TABELA 5.15 AUTOVALORES PARA VIGA ENGASTADA-LIVRE (8 GRAUS DE

LIBERDADE) .....................................................................................209

TABELA 5.16 AUTOVALORES PARA VIGA ENGASTADA-LIVRE (12 GRAUS DE

LIBERDADE) .....................................................................................210

TABELA 5.17 ERROS RELATIVOS DO MEFG ADAPTATIVO PARA VIGA

ENGASTADA-LIVRE COM DIFERENTES MALHAS .......................213

TABELA 5.18 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA UNIFORME

ENGASTADA-LIVRE.........................................................................214


SIMPLESMENTE APOIADA COM DIFERENTES MALHAS............222


SIMPLESMENTE APOIADA .............................................................222

TABELA 5.21 SOLUO ANALTICA DOS AUTOVALORES DA VIGA



ENGASTADA-LIVRE COM MASSA CONCENTRADA PARA

DIFERENTES MALHAS ....................................................................225



TABELA 5.24 SOLUES ANALTICAS DOS AUTOVALORES DA VIGA BI-

ENGASTADA COM RTULA INTERNA ..........................................227

TABELA 5.25 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA COM RTULA

INTERNA ...........................................................................................229

TABELA 5.26 SOLUES ANALTICAS DOS AUTOVALORES DA VIGA

ENGASTADA-ROTULADA BIMATERIAL .........................................231

TABELA 5.27 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA BIMATERIAL

ENGASTADA-ROTULADA................................................................233

TABELA 5.28 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA CONTNUA

BIMATERIAL .....................................................................................236

TABELA 5.29 SOLUES ANALTICAS DOS AUTOVALORES DA VIGA

ENGASTADA-ROTULADA COM VARIAO POLINOMIAL DE REA

E INRCIA.........................................................................................238

TABELA 5.30 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE VIGA ENGASTADA-

ROTULADA COM VARIAO POLINOMIAL DE REA E INRCIA

...........................................................................................................238

TABELA 5.31 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE TRELIA PLANA

COM 7 BARRAS................................................................................241

TABELA 5.32 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE TRELIA PLANA DE

15 BARRAS .......................................................................................243

TABELA 5.33 RESULTADOS PARA VIBRAO LIVRE DE PRTICO PLANO.245

TABELA 5.34 RESULTADOS DA ANLISE DO MEFG ADAPTATIVO PARA 1

FREQUNCIA ALVO.........................................................................247

LISTA DE SIGLAS

MC Mtodo Composto

MEF Mtodo dos Elementos Finitos

MEFG Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados

MEFG Adaptativo - Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados Adaptativo

MEFG MC MEFG com funes enriquecedoras baseadas no MC

MEFG MMA MEFG com funes enriquecedoras baseadas no MMA

MEFG Trig MEFG com funes enriquecedoras trigonomtricas

MEF Fourier Mtodo dos Elementos Finitos p-Fourier

MEFS Mtodo dos Elementos Finitos Spline

MMA Mtodo dos Modos Admissveis

MMT Mtodo da Matriz de Transferncia

MPU Mtodo da Partio da Unidade

LISTA DE SMBOLOS

a constante

a1, a2 constantes das solues analticas

aij, bij, cij, dij graus de liberdade de campo

A operador linear compacto XA - operador adjunto de A

A, A1, A2 rea da seo transversal

A0 rea da seo transversal na extremidade esquerda da viga

A1, A2 constantes das solues analticas

Ad, Ae rea da seo transversal nos subdomnios ( )ii xx ,1 e ( )1, +ii xx b constante

b1, b2, b3, b4 constantes das solues analticas

B forma bilinear

B1, B2 constantes das solues analticas

c velocidade de onda

c vetor de graus de liberdade de campo

c1, c2 constantes

cbi graus de liberdade de campo para deformao axial

ci constante

cvi graus de liberade de campo para deformao transversal

C plano complexo

Ck espao das funes contnuas at a derivada de ordem k

C1, C2, C3, C4, C2r, C3r, C4r termos constantes da soluo analtica para vigas

C , GC - constantes do MPU

D(T) domnio do operador T

e erro absoluto da soluo aproximada

erro erro relativo da soluo aproximada

E, E1, E2 mdulo de elasticidade longitudinal

Ed, Ee mdulo de elasticidade longitudinal nos subdomnios ( )ii xx ,1 e ( )1, +ii xx f funo integrvel arbitrria

f funcional linear

F forma bilinear associada ao operador Q

Fr funo enriquecedora

g funcional linear

gk solues de 0=gAX G mdulo de elasticidade transversal

h dimetro mximo dos elementos da malha

h dimenso da subdiviso da viga no MEFS

H, H1, H2 espaos de Hilbert )(hH - complemento ortogonal de hH em H

I momento de inrcia da seo transversal

I operador identidade

I0, I0D, I0E inrcias rotacionais das massas

I0f inrcia da seo transversal na extremidade esquerda da viga

Id, Ie momento de inrcia da seo transversal nos subdomnios ( )ii xx ,1 e ( )1, +ii xx IMD, IME momento de inrcia de massa nas extremidades direita e esquerda

Ip momento polar de inrcia

J - funo de Bessel de primeiro tipo e ordem k grau da base polinomial

k, kD, kE rigidez de mola longitudinal ou torcional

kc constante caracterstica do subespao de aproximao eijk - coeficientes da matriz de rigidez elementar

kRD, kRE rigidez de mola rotacional nas extremidades direita e esquerda

kTD, kTE rigidez de mola transversal nas extremidades direita e esquerda

K parmetro para estimativa de erro

K matriz de rigidez no sistema local

KG matriz de rigidez no sistema global

L, L1, L2, L3 comprimento

Le comprimento do elemento

L2 espao das funes quadrado integrveis

m nmero de divises da viga no MEFS

m nmero de funes enriquecedoras de viga

m ordem do operador linear

m, mD, mE massa concentrada eijm - coeficientes da matriz de massa elementar

M constante de continuidade

M momento fletor

M subconjunto limitado de um espao normado X

MS constante de sobreposio de subdomnios

M matriz de massa no sistema local

MG matriz de massa no sistema global

n dimenso do espao

n nmero de autovetores e autovalores aproximados

n nmero de funes enriquecedoras de barra

n potncia da distribuio polinomial de rea

nl nmero de nveis de enriquecimento

nl,max nmero mximo de nveis de enriquecimento

ngl nmero de graus de liberdade

N nmero de ns

N nmero total de graus de liberdade

N vetor de funes de forma

p grau do polinmio interpolador

P operador linear

p(x,t) fora axial por unidade de comprimento da barra

p(x,t) fora transversal por unidade de comprimento da viga

p(x,t) momento torsor por unidade de comprimento do eixo

qIj deslocamentos nodais ou de interface

q vetor de coordenadas generalizadas

q vetor de graus de liberdade nodais

qI vetor de deslocamentos nodais ou de interface

Q esforo cortante

Q operador linear

R(u) quociente de Rayleigh

R(T) operador resolvente

s dimenso do espao de aproximao j

is - funes de aproximao local do espao Si

S espao de aproximao global

Si espaos de aproximao local

Sj modos estticos de interface

S vetor de modos estticos de interface

t tempo

T matriz de transformao de coordenadas

T operador linear XT - operador adjunto *T - operador Hilbert-adjunto

T(M) imagem do operador T sobre o subconjunto M

[T(M)] fechamento de T(M)

T(t) parcela temporal do deslocamento

Tf tempo final

T operador linear

u vetor de deslocamentos

ur autovetor exato de ordem r

u(x), ur(x) parcela espacial (modo natural) do deslocamento axial

),( txu deslocamento axial (longitudinal)

uh campo de deslocamentos transversais aproximado shu autovetor aproximado de ordem s

ui graus de liberdade nodais (deslocamentos axiais)

uI campo de deslocamentos de interface eENRIQu - campo de deslocamentos elementar enriquecido

uMA campo de deslocamentos dos modos admissveis

uMC campo de deslocamentos do MC

uMEF campo de deslocamentos do MEF eMEFu - campo de deslocamentos elementar do MEF

uMMA campo de deslocamentos do MMA

uTC campo de deslocamentos analtico

U vetor de coordenadas no sistema local

U espao linear

U vetor de coordenadas no sistema global

v funo de projeo

)(xv , )(xvr - parcela espacial (modo natural) do deslocamento transversal

),( txv - deslocamento transversal

vh campo de deslocamentos transversais aproximado

vh funes de projeo

vi graus de liberdade nodais (deslocamentos transversais)

V espao linear

x coordenada cartesiana no plano

x autovalor de T

xi abscissa do n i

x k solues de 0=Ax X espao da soluo analtica

X espao normado

X - espao dual de X

y coordenada cartesiana no plano

y elemento do espao Y

yi ordenada do n i

Y espao normado

Y - espao dual de Y w funes teste

wh funes do espao Hh

wh funes teste aproximadas

wj funes admissveis

W espao de Sobolev

Y - funo de Bessel de segundo tipo e ordem z1, z2 variveis auxiliares

Zi - amplitudes

Z vetor de amplitudes

- constante de coercividade - parmetro de acoplamento espao-tempo , i, r constantes v relao entre propriedades da viga j, r autovalor adimensional dj, ej autovalor adimensional nos subdomnios ( )ii xx ,1 e ( )1, +ii xx e autovalor adimensional analtico h autovalor adimensional aproximado r autovalor adimensional relativo frequncia r

ij - delta de Dirac 1, 2 constantes - vetor de funes de forma enriquecidas - vetor de modos admissveis

j funes de base globais ij funes enriquecedoras relacionadas s rotaes nodais do MEF

v relao entre propriedades da viga - constante i,ij, ijk funes enriquecedoras do MEFG T constante torcional

i - funes partio da unidade - funes analticas de viga ij funes enriquecedoras do MEFG - contorno do domnio , r - autovalor, nmero de onda , r autovalor r autovalor exato de ordem r

h autovalor aproximado sh autovalor aproximado de ordem s

w comprimento de onda - taxa de convergncia - constante

)(x - parcela espacial (modo natural) do deslocamento angular ),( tx - deslocamento angular

i graus de liberdade nodais (rotaes) p ngulo de propagao de onda v relao entre propriedades da viga , 1, 2 - densidade d, e - densidade nos subdomnios ( )ii xx ,1 e ( )1, +ii xx (T) conjunto resolvente constante (T) espectro de T c (T) espectro contnuo de T p (T) espectro pontual ou discreto de T r (T) espectro residual de T

x, y, z tenses normais segundo os eixos coordenados i - funes com suporte i

, i, r - frequncia natural alvo,i, alvo,MEF, alvo,MEFG - frequncia natural alvo h - frequncia natural aproximada - domnio

i - subdomnios e - domnio do elemento mestre

- coordenada local - funes de viga

ei - funes de forma locais

i modos admissveis v funo que descreve a variao da seo da viga matriz de modos admissveis - gradiente

SUMRIO

1 INTRODUO........................................................................................................33

1.1 OBJETIVO GERAL.............................................................................................36

1.2 OBJETIVOS ESPECFICOS ..............................................................................36

1.3 JUSTIFICATIVA..................................................................................................36

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO...........................................................................36

2 REVISO DA LITERATURA..................................................................................38

2.1 MTODOS ANALTICOS ...................................................................................38

2.2 MTODOS APROXIMADOS..............................................................................44

2.2.1 Mtodo de Rayleigh-Ritz ..................................................................................44

2.2.2 Mtodo dos Elementos Finitos .........................................................................46

2.2.3 Mtodo dos Elementos Finitos Spline ..............................................................48

2.2.4 Mtodo dos Modos Admissveis.......................................................................49

2.2.5 Mtodo Composto e Mtodo do Modo Componente .......................................52

2.2.6 Mtodo dos Elementos Finitos p-Fourier .........................................................56

2.2.7 Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados.................................................58

3 PROBLEMAS DE VIBRAO LIVRE DE ESTRUTURAS RETICULADAS........70

3.1 ANLISE ABSTRATA DOS PROBLEMAS DE VIBRAO LIVRE...................70

3.1.1 Conceitos da anlise funcional.........................................................................71

3.1.2 Propriedades dos autovalores e autovetores...................................................77

3.1.3 Estimativas de erro no processo de aproximao dos problemas de

autovalores e autovetores ................................................................................79

3.2 BARRA RETA COM VIBRAO AXIAL ............................................................85

3.2.1 Soluo analtica ..............................................................................................86

3.2.2 Formulao variacional ....................................................................................90

3.2.3 Solues aproximadas .....................................................................................94

3.2.3.1 Mtodo dos elementos finitos ......................................................................94

3.2.3.1.1 Elemento linear ..........................................................................................95

3.2.3.1.2 Elemento cbico.........................................................................................96

3.2.3.1.3 Refinamento p hierrquico.........................................................................97

3.2.3.2 Mtodos enriquecidos ..................................................................................98

3.2.3.2.1 Mtodo dos modos admissveis.................................................................99

3.2.3.2.2 Mtodo composto.......................................................................................99

3.3 EIXO RETO COM VIBRAO TORCIONAL...................................................100

3.3.1 Soluo analtica ............................................................................................101

3.3.2 Formulao variacional ..................................................................................102

3.3.3 Solues aproximadas ...................................................................................103

3.4 VIGA DE EULER-BERNOULLI COM VIBRAO TRANSVERSAL ...............103

3.4.1 Soluo analtica ............................................................................................104

3.4.2 Formulao variacional ..................................................................................108

3.4.3 Solues aproximadas ...................................................................................112

3.4.3.1 Mtodo dos elementos finitos ....................................................................112

3.4.3.1.1 Refinamento p hierrquico.......................................................................113

3.4.3.2 Mtodo dos elementos finitos spline..........................................................114

3.4.3.3 Mtodos enriquecidos ................................................................................115

3.4.3.3.1 Mtodo dos modos admissveis...............................................................116

3.4.3.3.2 Mtodo composto.....................................................................................118

3.4.3.3.3 Mtodo dos elementos finitos p-Fourier...................................................118

3.5 ESTRUTURAS RETICULADAS.......................................................................119

3.5.1 Trelia plana ...................................................................................................119

3.5.1.1 Solues aproximadas...............................................................................119

3.5.1.1.1 Mtodo dos elementos finitos ..................................................................121

3.5.1.1.2 Mtodos enriquecidos ..............................................................................121

3.5.2 Prtico plano...................................................................................................122

3.5.2.1 Solues aproximadas...............................................................................123

3.5.2.1.1 Mtodo dos elementos finitos ..................................................................124

3.5.2.1.2 Mtodos enriquecidos ..............................................................................125

4 MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS APLICADO A

PROBLEMAS DE VIBRAO LIVRE.................................................................126

4.1 BASES MATEMTICAS DO MTODO DA PARTIO DA UNIDADE ..........126

4.2 ELEMENTO GENERALIZADO DE BARRA RETA ..........................................131

4.2.1 Refinamento adaptativo..................................................................................138

4.2.2 Refinamento p adaptativo...............................................................................140

4.3 ELEMENTO GENERALIZADO DE VIGA DE EULER-BERNOULLI................141

4.3.1 Refinamento adaptativo..................................................................................147

5 VERIFICAES NUMRICAS E APLICAES DO MTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS GENERALIZADOS........................................................155

5.1 IMPLEMENTAO DO MEFG.........................................................................156

5.2 VIBRAO LIVRE DE BARRAS RETAS.........................................................157

5.2.1 Barra uniforme fixa-livre .................................................................................157

5.2.1.1 Refinamento h ............................................................................................158

5.2.1.2 Refinamento p ............................................................................................163

5.2.1.3 Refinamento adaptativo .............................................................................168

5.2.1.3.1 Verificao da estabilidade e convergncia do mtodo ..........................169

5.2.1.3.2 Verificao do desempenho do mtodo ..................................................169

5.2.1.4 Refinamento p Adaptativo..........................................................................174

5.2.2 Barra uniforme fixa-fixa ..................................................................................178

5.2.3 Barra uniforme livre-livre ................................................................................180

5.2.4 Barra uniforme fixa-livre com massa concentrada na extremidade...............183

5.2.4.1 Soluo analtica ........................................................................................183

5.2.4.2 Soluo aproximada...................................................................................184

5.2.5 Barra fixa-livre composta por dois materiais diferentes .................................186

5.2.5.1 Soluo analtica ........................................................................................186

5.2.5.2 MEFG Adaptativo .......................................................................................188

5.2.6 Barras no uniformes .....................................................................................189

5.2.6.1 Barra fixa-fixa com variao senoidal de rea...........................................189

5.2.6.2 Barra fixa-fixa com variao polinomial de rea........................................193

5.3 VIBRAO LIVRE DE EIXOS CIRCULARES RETOS....................................196

5.3.1 Eixo uniforme fixo-livre com massa concentrada...........................................196

5.3.2 Eixo uniforme fixo-livre com mola torcional....................................................198

5.4 VIBRAO LIVRE DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI.................................199

5.4.1 Viga uniforme engastada-livre........................................................................200

5.4.1.1 Refinamento h ............................................................................................201

5.4.1.2 Refinamento p ............................................................................................204


5.4.2 Viga uniforme simplesmente apoiada ............................................................215

5.4.2.1 Refinamento p ............................................................................................216


5.4.3 Viga uniforme engastada-livre com massa concentrada na extremidade .....223

5.4.3.1 Soluo analtica ........................................................................................223


5.4.4 Viga uniforme bi-engastada com rtula interna .............................................226

5.4.4.1 Soluo analtica ........................................................................................227


5.4.5 Viga engastada-rotulada composta por dois materiais diferentes.................229

5.4.5.1 Soluo analtica ........................................................................................230

5.4.5.2 MEFG Adaptativo .......................................................................................232

5.4.6 Viga contnua composta por dois materiais diferentes ..................................234

5.4.7 Viga engastada-rotulada com variao polinomial de rea e inrcia ............236

5.5 VIBRAO LIVRE DE ESTRUTURAS RETICULADAS..................................239

5.5.1 Trelias planas...............................................................................................240

5.5.1.1 Trelia composta por sete barras...............................................................240

5.5.1.2 Trelia composta por 15 barras .................................................................242

5.5.2 Prticos planos ...............................................................................................244

6 CONCLUSO.......................................................................................................249

REFERNCIAS.........................................................................................................255

33

1 INTRODUO

O uso eficiente e racional dos recursos naturais e das riquezas uma

necessidade mundial e tem conduzido os engenheiros a buscarem a otimizao

estrutural nos seus projetos. Neste sentido, novos materiais e novas tcnicas de

fabricao e construo tm surgido, e as estruturas civis e mecnicas tornam-se

cada vez mais leves e esbeltas. Estas estruturas esto sujeitas a efeitos dinmicos

gerados por fenmenos naturais como ventos, mars e terremotos, e tambm

provocados pelo trfego de veculos e operao de equipamentos e motores, entre

outros. Para o engenheiro responsvel pelo projeto, fabricao e manuteno destas

estruturas torna-se imprescindvel conhecer o seu real comportamento dinmico. Em

alguns casos o conhecimento prvio deste comportamento pode ser determinante

no dimensionamento da estrutura.

Por outro lado, os mtodos no destrutivos de deteco de falhas estruturais

baseados na resposta dinmica tambm exigem a disponibilidade de mtodos

precisos de anlise do comportamento dinmico.

Somente os problemas de vibraes de estruturas com geometrias muito

simples e com condies de contorno especficas tm soluo analtica conhecida.

Logo, na anlise dinmica de sistemas estruturais reais, em geral muito complexos,

necessria a utilizao de mtodos computacionais aproximados para soluo do

problema. Muitos pesquisadores tm se dedicado ao desenvolvimento de mtodos

eficientes para anlise de vibraes em estruturas.

O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) (PETYT, 1990; BATHE, 1996),

disponvel atravs de diversos softwares comerciais, largamente utilizado na

anlise dinmica de estruturas. Na anlise de vibraes livres, ou seja, na

determinao de frequncias e modos naturais de vibrao, o MEF apresenta bons

resultados para as primeiras frequncias. Verifica-se entretanto a necessidade de

um modelo com grande nmero de graus de liberdade quando se pretende obter

34

uma boa preciso nas frequncias e modos de vibrao mais elevados, gerando

assim maiores custos computacionais. O refinamento p do MEF permite aumentar a

preciso da soluo aproximada sem a necessidade de refinamento da malha,

porm exige a determinao de novas funes de forma de grau mais elevado a

cada etapa. Alm disso, o mau condicionamento de polinmios de ordem elevada

relatado por alguns autores, tais como Leung e Chan (1998), e Ribeiro (2001).

Como alternativa, nos ltimos anos tm sido desenvolvidos novos mtodos,

aqui denominados de mtodos enriquecidos, que consistem no enriquecimento das

funes de forma do MEF convencional pela adio de funes no polinomiais

relacionadas soluo da equao diferencial governante do problema. Dentre

estes mtodos destacam-se: o Mtodo dos Modos Admissveis (MMA) (ENGELS,

1992, GANESAN; ENGELS, 1992), o Mtodo Composto (MC) (ZENG, 1998a, b e c)

e o Mtodo dos Elementos Finitos p-Fourier (MEF Fourier) (LEUNG; CHAN, 1998).

Estes mtodos permitem a imposio das condies de contorno de forma simples,

utilizando os mesmos procedimentos do MEF, e tm se mostrado mais precisos e

com menor custo computacional do que o refinamento h do MEF convencional na

anlise de vibraes livres de barras, vigas e placas.

Em 1996 foi desenvolvido o Mtodo da Partio da Unidade (MPU)

(MELENK; BABUSKA, 1996), como uma tcnica otimizada de enriquecimento. Com

base nas idias do MPU surgiram diversos mtodos, entre eles o Mtodo dos

Elementos Finitos Generalizados (MEFG). No MPU, a base do subespao de

aproximaes locais constituda de funes, no necessariamente polinomiais, que

refletem informaes disponveis a priori sobre a soluo da equao diferencial

governante. Esta tcnica garante boa aproximao local e global. As principais

vantagens do MPU so: possibilidade de enriquecimento do espao de aproximao

global com funes que refletem o comportamento local da soluo da equao

diferencial governante, funes de forma obtidas mais facilmente do que no

refinamento p do MEF, construo de espaos de aproximao com a regularidade

desejada e refinamentos locais facilmente implementados. Entretanto, o MPU

35

apresenta alguns desafios que compreendem: a escolha adequada do espao de

funes de aproximao local, a imposio das condies de contorno essenciais,

uma vez que os graus de liberdade utilizados no correspondem diretamente aos

graus de liberdade nodais do MEF, e a construo adequada do esquema de

integrao dos coeficientes das matrizes de rigidez e massa.

Recentemente, inmeras pesquisas tm comprovado a eficincia do MEFG

e outros mtodos baseados no MPU em problemas tais como anlise de trincas

(XIAO; KARIHALOO, 2007) e plasticidade (GRACIE; VENTURA; BELYTSCHKO,

2007), entre outros. Portanto, justifica-se uma investigao apurada da

aplicabilidade e eficincia do MEFG na anlise dinmica de estruturas.

A aplicao do Mtodo da Partio da Unidade em problemas da dinmica

estrutural no indita, uma vez que, embora poucos, existem alguns trabalhos

apresentando a aplicao desta tcnica na vibrao livre e forada de placas (DE

BEL; VILLON; BOUILLARD, 2005; HAZARD; BOUILLARD, 2007).

A contribuio principal deste trabalho est na escolha de espaos de

aproximao local para anlise de vibraes livres de estruturas reticuladas, que

renem tanto as vantagens dos mtodos enriquecidos quanto do MPU. Sendo

assim, os espaos de aproximao propostos, alm de incorporarem conhecimento

prvio sobre a soluo da equao diferencial governante, permitem a imposio

das condies de contorno atravs dos procedimentos clssicos do MEF, sem a

necessidade do uso de outras tcnicas como o mtodo das penalidades ou o

mtodo dos multiplicadores de Lagrange. Tambm proposto um mtodo iterativo

adaptativo que permite refinar a soluo para uma determinada frequncia, com

rpida convergncia e preciso equivalente, em alguns casos at superior, ao

refinamento p do MEF. Este mtodo adaptativo ainda agrega a vantagem de permitir

a construo de funes de forma dependentes das caractersticas mecnicas do

elemento e que so mais facilmente obtidas que as funes de forma do refinamento

p do MEF para estruturas reticuladas.

36

1.1 OBJETIVO GERAL

O objetivo deste trabalho investigar a aplicao do Mtodo dos Elementos

Finitos Generalizados (MEFG) na anlise de vibraes livres de estruturas

reticuladas.

1.2 OBJETIVOS ESPECFICOS

Para alcanar o objetivo geral proposto pretende-se:

Apresentar a formulao variacional dos problemas de vibrao de barras,

eixos e vigas de Euler-Bernoulli, e desenvolver os respectivos elementos

generalizados de modo a aplic-los tambm na anlise de trelias e prticos planos.

Propor e desenvolver uma tcnica de refinamento p1 adaptativo do MEFG

para determinao de frequncias naturais de vibrao.

Buscar, apresentar e desenvolver solues analticas para problemas de

vibraes livres de barras, eixos e vigas.

1.3 JUSTIFICATIVA

Atualmente, a preocupao mundial est voltada para a otimizao e

racionalizao do uso dos recursos naturais cada vez mais escassos. Uma aplicao

tima de recursos depende de anlises de modelos os mais prximos possveis dos

sistemas fsicos reais analisados. Para tanto, o desenvolvimento de mtodos de

anlise mais precisos, rpidos e confiveis imprescindvel.

1.4 ESTRUTURA DO TRABALHO

A estrutura deste trabalho a seguinte: no captulo 2 apresentada uma

1 No presente trabalho, assim como nos trabalhos publicados por RIBEIRO (2001) e, CAMPION e

JARVIS (1996), o refinamento p corresponde ao aumento de funes de forma na base aproximadora.

37

reviso da literatura sobre mtodos de anlise dinmica analticos e aproximados. O

captulo 3 contm as formulaes variacionais e os principais mtodos de soluo

analtica e aproximada dos problemas de vibrao livre de estruturas reticuladas. No

captulo 4 apresentam-se as bases matemticas do Mtodo da Partio da Unidade

e os elementos generalizados de barra e viga de Euler-Bernoulli. Tambm so

apresentadas as propostas de refinamento e adaptatividade do mtodo. No captulo

5 so apresentadas as verificaes numricas e aplicaes do mtodo. O captulo 6

apresenta as concluses finais do trabalho e sugestes de continuidade.

38

2 REVISO DA LITERATURA

O homem tem se interessado por entender os fenmenos de vibrao desde

a antiguidade, quando foram inventados os primeiros instrumentos musicais.

Segundo Dimarogonas (1996), o filsofo e matemtico grego Pitgoras (582-507

a.C.) considerado o primeiro a investigar os sons musicais em bases cientficas.

No estudo das vibraes em estruturas podem-se destacar alguns nomes

importantes. A vibrao de vigas finas foi estudada pela primeira vez por Euler em

1744 e Daniel Bernoulli em 1751, cuja teoria passou a denominar-se teoria das vigas

finas ou teoria de Euler-Bernoulli. Em 1802, o cientista alemo Chladni observou a

vibrao de placas e seus modos de vibrao. Sophie Germain foi premiada em

1815, pela Academia Francesa, por apresentar a teoria de vibrao de placas. Mais

tarde foi descoberto que a equao diferencial apresentada por ela estava correta,

mas as condies de contorno eram errneas. As condies de contorno corretas

para o problema de vibrao de placas foram obtidas por Kirchhoff em 1850.

Muitos outros cientistas e estudiosos poderiam ser citados neste perodo,

com destaque para Lord Baron Rayleigh, que em 1877 publicou seu livro sobre a

teoria do som, ainda hoje considerado um clssico na teoria da vibrao. Rayleigh

desenvolveu um mtodo, conhecido como Mtodo de Rayleigh, para obteno da

frequncia natural de um sistema conservativo. (DIMAROGONAS, 1996)

Os mtodos utilizados para soluo dos problemas de vibrao podem ser

subdivididos em dois grandes grupos: mtodos analticos e mtodos aproximados.

2.1 MTODOS ANALTICOS

Os mtodos analticos de soluo de problemas de vibrao fornecem as

solues analticas das equaes do movimento (equaes de equilbrio dinmico).

Porm, estas solues so possveis apenas para geometrias e condies de

39

contorno muito particulares. J os problemas reais de engenharia apresentam

geometrias e condies de contorno muito mais complexas. Entretanto, as solues

analticas so muito importantes pois fornecem subsdios para um conhecimento

mais aprofundado do comportamento fsico do fenmeno estudado, alm de permitir

a verificao da eficincia e preciso dos mtodos numricos aproximados. Sendo

assim, vrios pesquisadores tm se dedicado obteno de solues analticas de

diversos problemas da dinmica.

Os trabalhos de Clough e Penzien (1975), Meirovitch (1975), Craig (1981),

Chopra (1995), Rao (1995) e Inman (1996) apresentam os conceitos fundamentais

da anlise de vibraes de sistemas contnuos e as solues analticas para

vibrao de cabos, vibrao axial e torcional de barras uniformes, vibrao lateral de

vigas uniformes, incluindo ou no os efeitos de fora axial, deformao cisalhante e

inrcia rotacional, e vibrao de membranas e placas.

O estudo da vibrao axial de barras de seo transversal no uniforme

importante para a compreenso do comportamento dinmico de estruturas que

utilizam materiais compostos e de fundaes, e da propagao de ondas em tubos

de seo varivel, entre outros. Alguns dos mais importantes trabalhos dedicados

investigao da soluo analtica destes problemas so destacados a seguir.

Abrate (1995) apresenta uma famlia de funes polinomiais de 2 grau para

descrever variaes da seo transversal da barra e que permitem, depois de

adequada mudana de variveis, a transformao da equao diferencial

governante do problema em uma clssica equao da onda, cuja soluo bastante

conhecida.

Kumar e Sujith (1997) apresentam solues analticas para vibrao axial

livre de barras com seo transversal tendo variaes polinomial e senoidal da rea

(A), respectivamente nas formas ( )nbaxA += e ( )baxsenAA += 20 , sendo A0, a, b e n parmetros que definem a funo de variao ao longo do eixo x. Estes autores

utilizam mudanas apropriadas de variveis para reduzir a equao do movimento

equaes diferenciais com soluo analtica conhecida. As solues analticas

40

apresentadas por Kumar e Sujith (1997) aparecem na forma de funes

trigonomtricas e funes de Bessel.

Kumar e Sujith (1997) verificaram que nos casos de barras de seo no

uniforme as frequncias mais baixas so mais afetadas pela variao da seo,

enquanto as frequncias mais altas se aproximam da soluo de barra com seo

uniforme equivalente. As barras com seo varivel polinomial apresentam tambm

modos de vibrao com amplitudes decrescentes ao longo do comprimento do eixo

da barra. Os autores sugerem que a utilizao de funes de Bessel como funes

de forma nas solues aproximadas para a vibrao livre de barras de seo no

uniforme pode gerar melhores resultados que os obtidos com o uso de funes

trigonomtricas e polinomiais.

Em muitos problemas prticos, como na anlise de vibraes axiais de

edifcios altos, o problema pode ser entendido como a vibrao livre de uma barra

composta por vrios trechos com diferentes distribuies de rigidez e massa.

Buscando a soluo de tais problemas, Li (2000a e 2000b) apresenta mtodos

analticos para determinao das frequncias e modos naturais de vibrao de

barras no uniformes compostas por mltiplos trechos. A funo que descreve a

distribuio de massa da barra arbitrria e a distribuio da rigidez axial

expressa por um funcional relacionado distribuio de massa. Para relaes

funcionais do tipo potncia e exponencial, a equao diferencial governante para

uma barra constituda de um nico trecho reduzida a uma equao diferencial com

soluo analtica conhecida. Frmulas de recorrncia apropriadas (LI, 2000a) ou o

Mtodo da Matriz de Transferncia (MMT) (LI, 2000b) so ento empregados para

obter solues analticas de barras de mltiplas sees no uniformes com as

distribuies de massa e rigidez analisadas. Li, Li e Liu (2000) utilizaram a tcnica

do MMT para apresentar a soluo analtica do problema de vibrao axial de um

sistema composto por duas barras no uniformes com massas concentradas e

acopladas por molas translacionais.

Recentemente, Raj e Sujith (2005) apresentaram um mtodo geral para

41

determinao de uma famlia de funes para descrever as variaes de seo

transversal que conduzem a solues analticas conhecidas para a vibrao axial de

barras no uniformes.

Como a vibrao torcional de eixos estacionrios matematicamente

idntica ao problema de vibrao axial de barras, as solues analticas obtidas para

estes problemas podem ser compartilhadas, com as devidas adaptaes. Solues

analticas para vibrao torcional livre de eixos uniformes, com condies de

contorno clssicas e no clssicas, so encontradas no trabalho de Gorman (1975).

Recentemente, Chen (2006) utilizou o Mtodo da Montagem Numrica para

determinar as frequncias e modos naturais analticos de eixos circulares uniformes

carregando mltiplos elementos concentrados (massas com inrcia rotacional ou

molas torcionais).

Quanto s vigas uniformes, existem quatro diferentes teorias que descrevem

a vibrao transversal destas estruturas, que so: Euler-Bernoulli, Rayleigh,

Cisalhamento e Timoshenko. As equaes governantes, as expresses para as

condies de contorno clssicas, as equaes caractersticas e suas razes, para

estas quatro teorias aplicadas a vigas uniformes so apresentadas por Han,

Benaroya e Wei (1999). Um resumo das principais caractersticas desta teorias

apresentado na tabela 2.1.

TABELA 2.1 TEORIAS PARA VIGAS

Modelos Momento fletor

Deslocamento lateral

Deformao por cisalhamento

Inrcia rotacional

Euler-Bernoulli sim sim no no Rayleigh sim sim no sim

Cisalhamento sim sim sim no Timoshenko sim sim sim sim

FONTE: HAN, BENAROYA e WEI (1999)

A teoria de Euler-Bernoulli, muitas vezes denominada de teoria clssica de

vigas, teoria de vigas de Euler ou teoria de vigas de Bernoulli, a mais comumente

empregada pois simples e fornece aproximaes razoveis para muitos problemas

da engenharia. Esta a teoria de vigas utilizada neste trabalho. Sabe-se entretanto

42

que esta teoria tende a superestimar ligeiramente as frequncias naturais,

especialmente para os modos de ordem mais elevada, e seus resultados so

melhores para vigas esbeltas. (HAN; BENAROYA; WEI, 1999)

A teoria de vigas de Euler-Bernoulli remonta ao sculo XVIII. Jacob Bernoulli

(1654-1705) descobriu que a curvatura de uma viga elstica proporcional ao

momento fletor. Posteriormente, seu sobrinho Daniel Bernoulli (1700-1782) formulou

a equao do movimento de uma viga em vibrao. Em sua investigao sobre a

forma de vigas elsticas submetidas a diversas combinaes de carga, Leonhard

Euler (1707-1783) aceitou a teoria de Jacob Bernoulli.

O problema de vibrao livre de vigas uniformes de Euler-Bernoulli tem sido

abordado por diversos pesquisadores, entre eles: Chang e Craig (1969), Gorman

(1975), Clough e Penzien (1975), Meirovitch (1975) e Craig (1981).

A forma clssica da soluo espacial do problema de vibrao livre de vigas

de Euler-Bernoulli apresenta termos trigonomtricos e hiperblicos. Verifica-se

entretanto que as equaes caractersticas obtidas a partir desta soluo podem

apresentar instabilidade numrica na determinao de altos modos de vibrao,

devido s magnitudes excessivas dos termos hiperblicos. Gartner e Olgac (1982)

apresentam uma forma alternativa para a soluo espacial da equao diferencial

governante deste problema, que limita a magnitude de todos os termos da soluo

ao intervalo aproximado de 1, reduzindo os erros no clculo das frequncias e

modos naturais de vibrao. O trabalho de Gartner e Olgac (1982) apresenta as

equaes caractersticas, os autovalores associados s 10 primeiras frequncias

naturais e os coeficientes da soluo espacial para todas as combinaes de

condies de contorno clssicas de vigas uniformes.

Diversos pesquisadores tm se dedicado ao estudo das vigas no

uniformes, uma vez que estas so frequentemente utilizadas em estruturas civis e

navais, e em equipamentos.

Abrate (1995) apresenta uma tcnica de reduo da equao diferencial

governante de viga no uniforme a uma equao de viga uniforme equivalente, para

43

o caso da vibrao transversal de vigas de Euler-Bernoulli com variao polinomial

de quarto grau para rea e inrcia da seo transversal. De Rosa e Auciello (1996)

solucionaram, em termos de funes de Bessel, a equao do movimento vibratrio

de vigas de Euler-Bernoulli com variao linear de seo transversal, com

extremidades axial e rotacionalmente flexveis. J Auciello e Ercolano (1997)

apresentaram a soluo analtica, utilizando funes de Bessel, para viga de Euler-

Bernoulli com apoios genricos e com seo transversal retangular, sujeita

variao linear da altura e da largura ao longo do comprimento. O resultado obtido

foi utilizado na anlise de vigas com seo transversal descontnua, sendo uma

parte constante e a outra parte com variao linear de seo.

A anlise das frequncias naturais de vigas de Euler-Bernoulli com massas

concentradas e condies de contorno clssicas foi realizada por Low (1997 e

1998). As solues analticas constitudas por funes transcendentes foram

comparadas com resultados obtidos pelo Mtodo de Rayleigh (LOW, 1998) e com

resultados experimentais (LOW, 1997 e 1998). Recentemente, Maiz et al. (2007)

apresentaram uma tcnica para determinao analtica de frequncias naturais de

vibrao de uma viga de Euler-Bernoulli com condies de contorno gerais,

carregando um nmero finito de massas em posies arbitrrias e levando em conta

suas inrcias rotacionais. Como casos particulares deste problema, foram

analisadas tambm vigas contnuas.

Muitos outros trabalhos poderiam ser ainda citados. Aqueles aqui citados

tm por objetivo mostrar um panorama geral das pesquisas realizadas sobre a

soluo analtica de problemas de vibrao de barras e vigas, e salientar que a

pesquisa nesta rea continua importante na atualidade. Embora a grande maioria

dos problemas de engenharia no tenha soluo vivel pelo uso das tcnicas

analticas, estas pesquisas so uma vasta fonte de subsdios para teste e verificao

de novos mtodos aproximados.

44

2.2 MTODOS APROXIMADOS

Diversos mtodos aproximados tm sido desenvolvidos para a anlise

numrica de vibraes. Entre eles pode-se destacar: o Mtodo de Rayleigh-Ritz

(CLOUGH; PENZIEN, 1975), o Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) (PETYT, 1990;

BATHE, 1996), o Mtodo das Tiras Finitas (CHEUNG; AU; ZHENG, 2000;

FRIEDRICH, 2000), o Mtodo dos Elementos de Contorno (BREBBIA; NARDINI,

1983; TANAKA; MATSUMOTO; SHIOZAKI, 1998) e os Mtodos Estocsticos

(VANMARCKE; GRIGORIU, 1983; LEI; QIU, 1998; LI; FANG; LIU, 1999). Porm, o

Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) continua sendo o mais empregado na soluo

de problemas de vibraes em engenharia.

Nesta reviso da literatura dedica-se ateno ao clssico mtodo de

Rayleigh-Ritz, ao Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) e aos mtodos enriquecidos

baseados no MEF, alm do Mtodo dos Elementos Finitos Generalizados (MEFG),

que consiste no principal foco deste trabalho.

2.2.1 Mtodo de Rayleigh-Ritz

Segundo Clough e Penzien (1975), o Mtodo de Rayleigh-Ritz uma

extenso do Mtodo de Rayleigh para problemas de vibraes livres e tem como

hiptese bsica que o vetor de deslocamentos (u ) da estrutura pode ser expresso

em termos de um conjunto de modos admissveis de amplitude como segue:

u =+++= L332211 ZZZ (2.1)

Para obter os melhores resultados com o menor nmero de coordenadas, cada uma

das funes admissveis i deveria ser tomada como uma aproximao do modo de vibrao analtico correspondente. Porm, muitos outros esquemas tm sido

45

propostos para escolha das funes admissveis.

No Mtodo de Rayleigh-Ritz, as funes que compem a soluo analtica

do problema de vibrao livre de vigas uniformes de Euler-Bernoulli so amplamente

utilizadas como funes admissveis na soluo aproximada de problemas

estruturais complexos. Logo, frmulas de integrao para produtos destas funes

admissveis por uma funo arbitrria integrvel so essenciais no Mtodo de

Rayleigh-Ritz. Para este fim, Leung (1988) utiliza a forma alternativa de soluo do

problema de vibrao livre de vigas uniformes proposto por Gartner e Olgac (1982)

para estabelecer frmulas de integrao do tipo

df (2.2)

para o produto de funes e satisfazendo a equao governante do problema de

vibrao de vigas uniformes, ou seja

44

4

=dd , e (2.3)

4

4

4

=dd , (2.4)

com uma funo arbitrria integrvel f.

No trabalho de Leung (1988), o Mtodo de Rayleigh-Ritz foi aplicado na

anlise de vibrao livre de uma viga no uniforme com variao polinomial cbica

de rigidez e variao linear de massa, e foram obtidos os quatro primeiros

autovalores associados s frequncias naturais, para diferentes parmetros de

variao da rigidez e da massa. Tambm foi analisada a vibrao livre de um

sistema de placas utilizando as funes de viga como funes admissveis. Os

resultados do mtodo de Rayleigh-Ritz proposto, com 66 graus de liberdade, foram

comparados com os resultados do Mtodo dos Elementos Finitos com 728 graus de

liberdade. As 16 primeiras frequncias naturais obtidas pelo mtodo proposto foram

46

bastante precisas, apresentando valores prximos porm inferiores aos obtidos pelo

MEF com nmero muito maior de graus de liberdade. Leung (1990) tambm discute

em detalhes o mtodo para gerar as frmulas de integrao envolvendo produtos de

funes admissveis obtidos a partir das solues analticas para vigas uniformes, e

corrige os coeficientes de soluo para vigas com uma extremidade articulada fixa e

outra livre, erroneamente indicados por Gartner e Olgac (1982).

2.2.2 Mtodo dos Elementos Finitos

O Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) convencional, tambm considerado

como uma generalizao do Mtodo de Rayleigh-Ritz (PETYT, 1990), um mtodo

bem conhecido e poderoso na soluo de problemas com qualquer geometria e grau

de complexidade. Porm, para atingir boa preciso em frequncias altas de vibrao

o MEF geralmente exige um grande custo computacional. A anlise de vibraes em

estruturas atravs do MEF apresentada e discutida por Petyt (1990).

O MEF pode ter sua preciso aumentada atravs dos refinamentos: h, p, hp

e adaptativos. A tcnica mais simples, denominada de refinamento h, corresponde

ao aumento do nmero de elementos que compem a malha.

Trabalhos recentes de Ribeiro (2001) e, Campion e Jarvis (1996) definem o

refinamento p como sendo o aumento do grau e/ou do nmero das funes de forma

no elemento sem alterar a malha. No caso de funes de forma polinomiais, como

as utilizadas no MEF convencional, o refinamento p corresponde ao aumento do

grau do polinmio interpolador da soluo. Vrios pesquisadores como Ganesan e

Engels (1992), Zeng (1998a, b e c) e Ribeiro (2001) tm utilizado funes de forma

no polinomiais ao proporem formas enriquecidas do Mtodo dos Elementos Finitos.

O refinamento hp, por sua vez, consiste na combinao do refinamento da

malha (refino h) simultaneamente com a variao na ordem do polinmio

aproximador (refino p). Todas estas tcnicas podem ser adaptativas desde que a

malha de elementos, as funes de forma, ou ambas, dependendo do tipo de

refinamento, se ajustem durante o processo de anlise com o objetivo de melhorar a

47

soluo.

Segundo Ribeiro (2001), Zienkiewicz, Gago e Kelly (1982) e, Carey e Oden

(1984a), em um refinamento p, se o conjunto de funes de forma de uma

aproximao de ordem p constitui um subconjunto do conjunto de funes de forma

de uma aproximao de ordem p+1, este refinamento denominado hierrquico. As

funes de forma hierrquicas foram introduzidas por Zienkiewicz, Irons, Scott e

Campbell por volta do ano de 1971, conforme indica o trabalho de Zienkiewicz, Gago

e Kelly (1982). Campion e Jarvis (1996) destacam como principais vantagens dos

mtodos hierrquicos: a reteno dos coeficientes da matriz de rigidez quando a

ordem da interpolao aumenta e a obteno de altas taxas de convergncia sem

necessidade de refinar a malha, alm de resultar em melhora do condicionamento

das equaes envolvidas.

A utilizao de refinamentos hierrquicos na soluo de problemas de

vibrao em estruturas permite que as matrizes de massa e rigidez j calculadas

sejam mantidas e somente os termos destas matrizes relativos s novas funes de

forma necessitem ser calculados. Esta propriedade reduz o esforo computacional

necessrio para montagem das matrizes a cada etapa do refinamento. Entretanto,

Leung e Chan (1998), e Ribeiro (2001) destacam que polinmios de alta ordem so

mal condicionados, levando alguns pesquisadores a utilizarem funes

trigonomtricas na interpolao dos deslocamentos em problemas de vibraes em

estruturas.

Segundo Solin, Segeth e Dolezel (2004), os melhores resultados do MEF

podem ser atingidos usando refinamentos hp adaptativos orientados a uma meta.

Estes autores apresentam os princpios bsicos do MEF de alta ordem e tcnicas de

discretizao e refinamento adaptativos.

O nmero de trabalhos publicados em que o MEF utilizado na anlise de

vibraes bastante grande. Este fato pode ser comprovado, por exemplo, ao

observarem-se as revises bibliogrficas do Mtodo dos Elementos Finitos aplicado

anlise de vibraes de vigas, placas, cascas e outras estruturas entre os anos de

48

1994 e 1998 apresentadas por Mackerle (1999 e 2000). Recentemente, um

elemento Lagrangiano de 4 ns para anlise de vibraes livres de vigas curvas

atravs do MEF foi apresentado por Yang, Sedaghati e Esmailzadeh (2008).

Ao longo dos ltimos anos tm surgido novos mtodos baseados no

enriquecimento das funes de forma do MEF, como o Mtodo dos Modos

Admissveis (MMA) (ENGELS, 1992, GANESAN; ENGELS, 1992), o Mtodo

Composto (MC) (ZENG, 1998a, b e c) e o Mtodo dos Elementos Finitos p-Fourier

(MEF Fourier) (LEUNG; CHAN, 1998), alm do Mtodo dos Elementos Finitos Spline

(MEFS) (LEUNG; AU, 1990). As idias fundamentais destes mtodos e os principais

resultados obtidos esto descritos nos prximos tpicos.

2.2.3 Mtodo dos Elementos Finitos Spline

O Mtodo dos Elementos Finitos Spline (MEFS), proposto por Leung e Au

(1990), consiste na utilizao de funes B3-spline como funes de forma do campo

de deslocamentos, na anlise de vibraes livres de vigas e placas. As funes B3-

spline so computacionalmente eficientes e flexveis na modelagem de diferentes

condies de contorno. Os parmetros destas funes sobre o contorno, ou fora

dele, so totalmente eliminados atravs de transformao apropriada para garantir

que a imposio das condies de contorno siga o mesmo procedimento do MEF

convencional.

O MEFS foi aplicado na anlise de vibrao livre de uma viga contnua com

mudanas abruptas de seo e de placas com diferentes condies de contorno.

As quatro primeiras frequncias naturais da viga foram determinadas

utilizando o MEFS com 13 graus de liberdade efetivos e o MEF convencional com 22

graus de liberdade. Apesar de tratar-se de discretizaes pobres, os resultados

obtidos por ambos os mtodos apresentaram a mesma preciso, quando

comparados soluo analtica. Observando o nmero de graus de liberdade

empregados em cada anlise, verifica-se a maior eficincia do MEFS.

Na anlise da vibrao livre de placas retangulares com vrias condies de

49

contorno homogneas, Leung e Au (1990) observaram que apenas 40 a 60% dos

graus de liberdade utilizados na anlise pelo Mtodo das Tiras Finitas Spline eram

necessrios ao utilizar o MEFS, para obter resultados com preciso similar.

2.2.4 Mtodo dos Modos Admissveis

O Mtodo dos Modos Admissveis (MMA) baseia-se na idia apresentada

por Craig (1981) de que o campo de deslocamentos pode ser escrito como a

combinao linear de funes representando modos admissveis de vibrao. O

MMA para anlise de vibraes livres de barras, vigas e prticos proposto por

Engels (1992) e, Ganesan e Engels (1992) consiste em descrever o campo de

deslocamentos de um elemento genrico por:

( ) )()( MAIMMA uuu += (2.5)

onde uI e uMA so os campos de deslocamentos de interface e dos modos

admissveis, respectivamente. A interface definida como o conjunto de pontos,

curvas e superfcies que a estrutura tem em comum com a sua vizinhana. Os

modos admissveis devem ser linearmente independentes, suficientemente

diferenciveis e satisfazer as condies de contorno geomtricas.

O primeiro termo da equao (2.5) corresponde a um deslocamento esttico

devido ao deslocamento da interface, e pode ser determinado por um sistema de

coordenadas nodais utilizando o vetor de modos estticos de interface S, o vetor de

deslocamentos nodais ou de interface qI e a coordenada local do elemento , como na equao:

( ) ( ) IqS TIu = (2.6)

Os modos estticos de interface devem ser escolhidos de tal forma a capturar com

preciso a deformao esttica causada pelos deslocamentos fsicos dados pelo

50

vetor de deslocamentos da interface. O modo esttico jS correspondente ao

deslocamento nodal jIq definido como a deformao esttica do elemento para

1 =jIq e 0 =iIq para todo ji . Verifica-se que as funes de forma do MEF convencional so idnticas aos modos estticos de interface, ou seja, o vetor de

modos estticos corresponde ao vetor de funes de forma do MEF e os

deslocamentos de interface aos deslocamentos nodais do elemento.

O segundo termo do campo de deslocamentos MAu representa o restante do

deslocamento total MMAu medido em relao a Iu por um observador absoluto. Logo,

o campo de deslocamentos dos modos admissveis MAu se anula na interface do

elemento e pode ser expresso como uma combinao linear de modos admissveis

restritos na interface, atravs da equao:

( ) ( ) q MAu = (2.7)

onde o vetor de modos admissveis e q o vetor de coeficientes ou

coordenadas generalizadas.

Existem muitos conjuntos de modos admissveis que podem ser utilizados,

entre eles destacam-se os modos de vibrao normais restritos, que so obtidos da

soluo analtica da vibrao livre do elemento com todos os deslocamentos de

interface restritos. De fato, a nica restrio para os modos admissveis que sejam

formados por funes que se anulem na interface do elemento.

Substituindo as equaes (2.6) e (2.7) em (2.5) obtm-se:

( ) ( ) ( ) qqS I TMMAu += (2.8)

Portanto, o campo de deslocamentos passa a ser escrito como uma combinao

linear de dois conjuntos de modos admissveis: modos estticos e modos

admissveis restritos na interface. Segundo Engels (1992) e, Ganesan e Engels

(1992), esta representao do campo de deslocamentos completa no sentido de

que qualquer grau de preciso teoricamente possvel desde que se acrescentem

51

diferentes modos admissveis restritos na interface em quantidade suficiente.

O MMA apresenta trs importantes vantagens: possui alta taxa de

convergncia, em princpio nenhuma subdiviso dos elementos base necessria e

o modelo gerado hierrquico.

Engels (1992) apresentou os elementos do MMA para barras e vigas de

Euler-Bernoulli utilizando modos de vibrao normais analticos como modos

admissveis. Tambm foram discutidas as formas de obter elementos para barras

em toro e prticos planos e espaciais utilizando o MMA. O mtodo foi aplicado na

anlise de vibrao livre de uma barra livre-livre, uma viga de Euler-Bernoulli

simplesmente apoiada e um prtico plano. As tabelas 2.2 e 2.3 apresentam o

nmero de frequncias com uma preciso de p% ou melhor em relao s solues

analticas, em funo do nmero de graus de liberdade (ngl), com a utilizao do

MMA e do MEF convencional implementado no software MSC/NASTRAN para

anlise da barra e da viga. Os resultados obtidos mostram que as frequncias

naturais obtidas pelo MMA so mais precisas que as obtidas pelo refinamento h do

MEF convencional com um nmero maior de graus de liberdade.

TABELA 2.2 NMERO DE FREQUNCIAS COM UMA PRECISO p% OU MELHOR BARRA

LIVRE-LIVRE ngl 6 16 26 36 51 p % MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF

1 3 1 12 3 22 4 34 6 49 8 5 4 2 14 6 24 9 34 13 49 18 10 4 3 14 8 24 13 34 18 49 26

FONTE: ENGELS (1992)

TABELA 2.3 NMERO DE FREQUNCIAS COM UMA PRECISO p% OU MELHOR VIGA

SIMPLESMENTE APOIADA ngl 4 10 16 20 26 p % MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF MMA MEF

1 2 1 8 3 14 5 18 6 24 8 5 2 1 8 4 14 7 18 9 24 12 10 2 1 8 4 14 7 18 9 24 12

FONTE: ENGELS (1992)

Ganesan e Engels (1992) desenvolveram elementos de viga de Euler-

Bernoulli para o MMA utilizando dois diferentes tipos de modos admissveis restritos

52

na interface: modos de vibrao livre de viga bi-engastada (modos normais) e

funes trigonomtricas. A figura 2.1 mostra o desempenho destas duas

formulaes do MMA e do MEF convencional na anlise de uma viga simplesmente

apoiada.

FIGURA 2.1 NMERO DE FREQUNCIAS CONVERGINDO COM PRECISO MNIMA DE 1% -

VIGA SIMPLESMENTE APOIADA FONTE: GANESAN E ENGELS (1992)

2.2.5 Mtodo Composto e Mtodo do Modo Componente

Outro mtodo para anlise de vibraes, denominado Mtodo Composto

(MC) (Composite Element Method), foi apresentado por Zeng (1998a, b e c). Este

mtodo basicamente uma combinao da versatilidade do MEF com a alta

preciso das solues analticas. O MC obtido utilizando o elemento convencional

do MEF, com o conjunto de funes de forma enriquecido pela adio de funes

no polinomiais relacionadas s solues analticas do problema.

Os novos graus de liberdade relacionados s funes enriquecedoras no

tm significado fsico direto e foram denominados graus de liberdade c por Zeng

(1998b). O MC pode ser refinado atravs do aumento de elementos da malha

(refinamento h) ou atravs do aumento da base de funes de forma. O refinamento

hierrquico obtido pelo aumento do nmero das funes analticas na soluo

aproximada foi denominado refinamento c por Zeng (1998a e b).

Zeng (1998a e b) desenvolveu elementos de barra, viga de Euler-Bernoulli e

53

prtico utilizando esta tcnica para anlise de vibraes livres. Shi e Zeng (2000)

desenvolveram o elemento composto para vibrao de placa fina elstica. Machado

et al. (2002) apresentam elementos compostos para vigas de Euler-Bernoulli, vigas

de Timoshenko e placas de Mindlin.

Alm do MC, outro mtodo, denominado Mtodo do Modo Componente,

apresentado por Weaver Junior e Loh (1985), utiliza solues analticas na funo

de interpolao de deslocamentos. O Mtodo do Modo Componente utiliza, na

funo de interpolao de deslocamentos laterais do elemento, as solues

analticas do problema de vibrao livre de uma viga bi-rotulada, com o objetivo de

incluir o efeito dos modos locais de vibrao na anlise dinmica de trelias.

No MC, o campo de deslocamentos descrito pela combinao de funes

de forma polinomiais de elementos finitos, baseados nos valores nodais, e funes

de forma obtidas das solues analticas. As funes analticas utilizadas so

obti

00-21 (1)

Documents