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Álgebra Linear 2- 2008/2
Gabarito do Segundo Exame
Primeira questão (2 pontos): é uma rotação de em torno do eixo
ortogonal ao plano , seguida de reflexão em relação ao mesmo plano.
Encontre .
Resolução: Uma base para o plano é . Aplicando o processo de
Gram-Schmidt a esta base, encontramos a base ortonormal
Um vetor unitário e normal ao plano é . A base
é ortonormal e a matriz de nesta base é (a menos da escolha do
sentido de rotação – note que há duas respostas possíveis para esta questão)
A matriz de na base canônica será , onde base canônica. Como as
bases e são ambas ortonormais, a matriz mudança de base de uma para a outra é
ortogonal, sendo sua inversa, portanto, igual a sua transposta. Assim,
Efetuando a multiplicação matricial, obtemos
Segunda questão (2 pontos): Seja o subespaço de gerado pelos vetores
e . Encontre uma base para , o complementar ortogonal
de . Encontre as projeções ortogonais e sobre e , respectivamente.
Resolução: corresponde aos vetores que estão no espaço solução do
sistema
que tem três variáveis livres. Uma base para é
Aplicando o processo de Gram-Schmidt à base de dada, obtemos a base ortonormal
Como , obtemos
Como , obtemos
Terceira questão (2 pontos): Seja dado por
.
Mostre que é positivo e encontre sua raiz quadrada (positiva).
Resolução: A matriz de na base canônica é simétrica. Como a base canônica é
ortonormal no produto interno usual, é auto-adjunto. Para verificar que é positivo,
basta calcular seus autovalores. O polinômio característico de é
Os autovalores de são e . Como os autovalores de são todos
positivos, é positivo. Outra forma de verificar que é positivo: se ,
Se é base ortonormal de autovetores de , a matriz de sua raiz quadrada nesta
base será dada pela matriz diagonal cujas entradas são as raízes quadradas dos
autovalores de correspondentes. A matriz de na base canônica será
, onde base canônica. Como e são ambas ortonormais, é a
transposta de .
Autovetores: para o autovalor , obtemos o autovetor . Para o
autovalor , obtemos o autovetor . Concluímos que
Assim, .
Quarta questão (3 pontos): Definimos um novo produto interno em , que
denotamos por , de forma que a base
seja ortonormal com relação a .
(a) Encontre a matriz de na base canônica.
(b) Determine a expressão para o quadrado da norma de neste produto
interno.
(c) Calcule o cosseno do ângulo entre e neste produto interno.
Resolução: (a) Denotemos por a matriz dada, e por a base canônica de , e por
a matriz de na base canônica. Matricialmente, o produto interno
será dado por
será, portanto, . A partir de
, obtemos
Portanto, a matriz procurada será
(b)
(c) No produto interno dado, , e
O cosseno procurado é, portanto,
Quinta questão (3 pontos): Considere o operador dado por
)
Com relação ao produto interno definido na questão anterior,
(a) Mostre que é auto-adjunto.
(b) Encontre uma base ortonormal de autovetores de , e determine a matriz de
nesta base.
Resolução: (a) Chamemos a base ortonormal dada na questão anterior, e a base
canônica. A matriz de na base é , que é igual a
Como a matriz de é simétrica na base ortonormal , é um operador auto-adjunto.
(b) O polinômio característico de é
Os autovalores de são , e . Para estes autovalores, obtemos
respectivamente os autovetores , e .
Como é auto-adjunto, auto-espaços associados a autovalores distintos são
ortogonais. Portanto, os autovetores encontrados são ortogonais no produto interno considerado. Para obter base ortonormal de autovetores, calculamos a norma de cada um dos autovetores encontrados usando o resultado do item (b) da questão anterior. Obtemos
Assim, uma base ortonormal de autovetores de será
e a matriz de nesta base é