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Álgebra Linear 2- 2008/2 Gabarito do Segundo Exame Primeira questão (2 pontos): é uma rotação de em torno do eixo ortogonal ao plano , seguida de reflexão em relação ao mesmo plano. Encontre . Resolução: Uma base para o plano é . Aplicando o processo de Gram-Schmidt a esta base, encontramos a base ortonormal Um vetor unitário e normal ao plano é . A base é ortonormal e a matriz de nesta base é (a menos da escolha do sentido de rotação – note que há duas respostas possíveis para esta questão) A matriz de na base canônica será , onde base canônica. Como as bases e são ambas ortonormais, a matriz mudança de base de uma para a outra é ortogonal, sendo sua inversa, portanto, igual a sua transposta. Assim, Efetuando a multiplicação matricial, obtemos

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Álgebra Linear 2- 2008/2

Gabarito do Segundo Exame

Primeira questão (2 pontos): é uma rotação de em torno do eixo

ortogonal ao plano , seguida de reflexão em relação ao mesmo plano.

Encontre .

Resolução: Uma base para o plano é . Aplicando o processo de

Gram-Schmidt a esta base, encontramos a base ortonormal

Um vetor unitário e normal ao plano é . A base

é ortonormal e a matriz de nesta base é (a menos da escolha do

sentido de rotação – note que há duas respostas possíveis para esta questão)

A matriz de na base canônica será , onde base canônica. Como as

bases e são ambas ortonormais, a matriz mudança de base de uma para a outra é

ortogonal, sendo sua inversa, portanto, igual a sua transposta. Assim,

Efetuando a multiplicação matricial, obtemos

Segunda questão (2 pontos): Seja o subespaço de gerado pelos vetores

e . Encontre uma base para , o complementar ortogonal

de . Encontre as projeções ortogonais e sobre e , respectivamente.

Resolução: corresponde aos vetores que estão no espaço solução do

sistema

que tem três variáveis livres. Uma base para é

Aplicando o processo de Gram-Schmidt à base de dada, obtemos a base ortonormal

Como , obtemos

Como , obtemos

Terceira questão (2 pontos): Seja dado por

.

Mostre que é positivo e encontre sua raiz quadrada (positiva).

Resolução: A matriz de na base canônica é simétrica. Como a base canônica é

ortonormal no produto interno usual, é auto-adjunto. Para verificar que é positivo,

basta calcular seus autovalores. O polinômio característico de é

Os autovalores de são e . Como os autovalores de são todos

positivos, é positivo. Outra forma de verificar que é positivo: se ,

Se é base ortonormal de autovetores de , a matriz de sua raiz quadrada nesta

base será dada pela matriz diagonal cujas entradas são as raízes quadradas dos

autovalores de correspondentes. A matriz de na base canônica será

, onde base canônica. Como e são ambas ortonormais, é a

transposta de .

Autovetores: para o autovalor , obtemos o autovetor . Para o

autovalor , obtemos o autovetor . Concluímos que

Assim, .

Quarta questão (3 pontos): Definimos um novo produto interno em , que

denotamos por , de forma que a base

seja ortonormal com relação a .

(a) Encontre a matriz de na base canônica.

(b) Determine a expressão para o quadrado da norma de neste produto

interno.

(c) Calcule o cosseno do ângulo entre e neste produto interno.

Resolução: (a) Denotemos por a matriz dada, e por a base canônica de , e por

a matriz de na base canônica. Matricialmente, o produto interno

será dado por

será, portanto, . A partir de

, obtemos

Portanto, a matriz procurada será

(b)

(c) No produto interno dado, , e

O cosseno procurado é, portanto,

Quinta questão (3 pontos): Considere o operador dado por

)

Com relação ao produto interno definido na questão anterior,

(a) Mostre que é auto-adjunto.

(b) Encontre uma base ortonormal de autovetores de , e determine a matriz de

nesta base.

Resolução: (a) Chamemos a base ortonormal dada na questão anterior, e a base

canônica. A matriz de na base é , que é igual a

Como a matriz de é simétrica na base ortonormal , é um operador auto-adjunto.

(b) O polinômio característico de é

Os autovalores de são , e . Para estes autovalores, obtemos

respectivamente os autovetores , e .

Como é auto-adjunto, auto-espaços associados a autovalores distintos são

ortogonais. Portanto, os autovetores encontrados são ortogonais no produto interno considerado. Para obter base ortonormal de autovetores, calculamos a norma de cada um dos autovetores encontrados usando o resultado do item (b) da questão anterior. Obtemos

Assim, uma base ortonormal de autovetores de será

e a matriz de nesta base é