VERIFICAÇÃO NO ESTADIO I E II E NA

RUPTURA DE SEÇÕES EM CONCRETO PROTENDIDO

José Inácio de Souza Leão Ávila

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕ~

GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.).

Aprovada por:

ênjkmin Ernãníâz Presidente

Fernando Luiz L.B. Carneiro

c ____ :----c ___ _ Carlos Henrique Holck

I

if Yosi-il.ki&Nagato

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL OUTUBRO DE 1977

ii

a meus Pais

iii

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Benjamin Ernani Diaz pela orientação e de

dicação, bem como pela indicação do tema.

Ao Prof. Fernando Luiz Lobo Barbosa Carneiro pelos

ensinamentos ministrados.

Aos demais professores da COPPE, que diretamente ou

indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.

à Helena Santos de Oliveira pelo excelente traba­

lho datilográfico.

A Universidade Federal de Pernambuco pela ajuda fi

nanceira.

Ao Eng9 Luis Carlos Paes Barreto Barbosa pelas in­

formações fornecidas.

iv

SUMÁRIO

Neste trabalho desenvolveu-se um programa automáti

co para verificações de tensões e dos estados limites Últimos

de ruptura e fadiga de uma seção em concreto protendido com pos­

tensão submetida à flexão composta reta.

O programa permite a análise de seçoes em qualquer

idade da estrutura com a aplicação da protensão e da injeção de

argamassa em diversas fases.

Foi levada em consideração a nao linearidade dos

materiais, sendo utilizados os diagramas tensão-deformação do con

ereto e dos aços propostos nas recomendações do CEB-FIP/1970.

A verificação a ruptura ê realizada calculando-se

um Índice de segurança da seção em relação as solicitações de

carater permanente ou variável.

São feitos tambêm,alguns comentários sobre as par­

ticularidades das curvas de interação dos esforços Últimos.

V

ABSTRACT

In this work a computer program has been developed

for analysis of the working stresses, the ultimate limit state and

the ultimate fadigue state of a post-tensioned concrete

subjected to a bending moment and normal force.

section

The program allows the analysis of sections for

any age of the structure, as well as for applications of the pre­

stressing operations and duct injections in various stages.

It was taken into consideration the non-linearity,

of the materials using the stress-elongation relations for the con­

crete and the steel proposed in the CEB-FIP codes from 1970.

The ultimate limit analysis is dane computing the

safety índex of the section in relation to the design forces due

to permanent and variable loads.

Some peculiarities about the interaction diagrams

for the ultimate limit forces are discussed.

vi

ÍNDICE

I - INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.

II - VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS DE UTILIZAÇÃO ................. 4.

2.1 - Considerações Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.

2.2 - Concreto na Fase da Utilização .................. 5.

2.2.1 - Determinação de c ...................... 9.

2.2.2 - Módulo de Deformação do Concreto ........ 13.

2.3 - Aços ............................................ 13.

2.3.1 - Aços para as Armaduras Ordinárias ...... 13.

2.3.2 - Aços para as Armaduras de Protensão ..... 16.

2.4 - Equações de Equilíbrio na Seção ................. 16.

2.5 - Método Iterativo de Newton-Raphson .............. 24.

2.5.1 - Roteiro do Processo Iterativo ...•....... 25.

III - VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA ........ 30.

3.1 - Curvas de Interação entre Multe .N 1 t ......... 30 . .. U

3.2 - Critério de Segurança ........................... 31.

3.2.1.- Índice de Segurança ..................... 32.

3.2.2 - Solicitações ............................ 32.

3.2.3 - Esforços Resistentes ....•............... 33.

3.3 - Configuração de Deformação Limite no Estado Limi-te Ül timo de Ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.

3.4 - Critério para Escolha da Variável 39.

3.5 - Definição dos Sub-Domínios de a para cada Região 39.

3.6 - Regiões Definidas pelo Tipo de Ruptura 40.

3.7 Descrição da Função ~ = ~ (a) ................. 43.

3.8 - Determinação do Índice de Segurança ............. 45. 3.8.1 - Processo Iterativo ...................... 45.

3.9 - Casos Particulares da Curva de Iteração ......... 50.

3.9.1 - Índices de Segurança ..................... 54.

3.10- Comentários ..................................... 56.

vii

IV - FADIGA ................................................ 57.

4.1 - Considerações Iniciais ......•...... , ....... ; ..•. 57.

4. 2 - Resistência a Fadiga do Concreto (CEB/76) ....... 58.

4.3 - Resistência a Fadiga das Armaduras de Protensão . 60.

V - PROGRAMA AUTOMÁTICO . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.

5.1 - Introdução .....................................• 64.

5.2 - Programa Principal ....•.....••........•......... 65.

5.3 - Subrotinas Utilizadas .....•.......•..•...•.•.... 73.

5. 3.1 - Subrotina LEITU ...............•..•...... 73.

5. 3. 2 - Subrotina AREA . . . . . . . • . . . . . . . • • . • • . . . . . . 7 5.

5.3.3 - Subrotina AÇO ........................... 76.

5.3.4 - Subrotina ESF ........................... 76.

5.3.5 - Subrotina PITER ............•..•......... 77.

5.3.6 - Subrotina PTER ..................•....•.. 78.

5.3.7 - Subrotina DELTA ......................... 80.

5.3.8 - Subrotina ALF ................••....•.... 80.

5. 3. 9 - Subrotina ARC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 O.

5.3.10- Subrotina TENT .....•...........•......•. 81.

5.3.11- Subrotina DDIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 .

VI - CONCLUSÕES E SUGESTÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.

APtNDICE I -,SEÇÃO .. T COM QUATRO ELEMENTOS TENSORES .•...... 86.

BIBLIOGRAFIA ................................................ 89.

LISTAGEM DO PROGRAMA ..•..........•..................••...... 91.

1

I - INTRODUÇÃO

O objetivo deste trabalho é desenvolver um progra-

ma automático, utilizando a linguagem FORTRAN, com a finalidade

de efetuar verificações em urna seção transversal, de urna peça em

concreto pretendido com aderência posterior e pós-tensão, para

qualquer idade da citada peça.

As variações de deformações decorrentes do compor­

tamento reológico dos materiais, não são calculadas internamente

pelo programa, entretanto, é possível considerá-las, introduzindo

seus efeitos por meio de coeficientes de perdas de pretensão.

O programa permite analisar a seção em todos os es

tágios que ocorrem durante a sua execução até a sua utilização em

serviço, podendo ser analisadas pretensões e injeções de argamas­

sa em qualquer fase.

Nas verificações realizadas sem que se tenha apli- ·

do a injeção em alguns ou mesmo em todos os elementos tensores, e

descontada da área da seção a área do furo da bainha dos elernen -

tos não aderentes.

Em todas as verificações (na fase de utilização e

na ruptura) supõe-se válidas as seguintes hipóteses.

1 - As seções permanecem planas apos a deformação (hipótese de Bernouilli-Navier).

2 ~ Há perfeita aderência entre o concreto e as armaduras ar dinárias.

3 - Há perfeita aderência entre o concreto e as armaduras de pretensão, inclusive nas armaduras já tracionadas e que

não se tenha injetado argamassa nos seus condutos.

4 - A direção da força de pretensão aplicada em cada elemen­

to tensor é perpendicular ao plano definido pela seçao.

2

5 - O plano de flexão coincide com um dos eixos

de inércia da seçao.

principais

No segundo Capítulo eJplica~se o desenvolvimento

teórico utilizado na determinação das deformações (para a fase de

utilização) em dois pontos da seção, no qual foram utilizadas as

equações básicas da Teoria das Estruturas.

a) Equações de·equilÍbrio dos esforços

b) Equações de compatibilidade

c) Equações constitutivas dos materiais

No capítulo seguinte estuda-se a segurança de uma

seçao para as solicitações, determinando-se um coeficiente dado

pela relação entre a capacidade resistente e as solicitações, de

tal modo que os esforços resistentes tenham a mesma excentricida­

de e os mesmos sentidos das solicitações.

O projeto das recomendações do ,:CEB publicado em

1976 (ver [15[), apresenta um método para verificações do estado

limite Último de fadiga em que se analisa o concreto e o aço indi

vidualmente. No quarto capítulo são mostradas as fórmulas deduzi

das dos diagramas indicados pelo citado projeto e

um programa automático.

~ . necessar1os em

Finalmente no Último capítulo é explicado o progr~

ma desenvolvido, cuja listagem encontra-se no fim do mesmo.

As notações utilizadas são explicadas a medida que

vao surgindo na explanação teórica.

A título de ilustração é mostrada na Figura I uma

curva de interação de uma seção em T com um elemento tensor.

3

As verificações a ruptura efetuadas com armaduras

de protensão tracionadas e não aderidas, tem um carater aproxima­

do, já que a suposição feita na hipótese 3) pode acarretar valo­

res bastante diferentes dos reais, pois o deslizamento das armadu

ras não aderidas em relação a seção é relativamente grande. En­

tretanto, nas verificações das tensões de serviço, em virtude das

pequenas deformações ocorridas nesta fase e do atrito que impede

parcialmente parcialmente o deslizamento das armaduras, pode-se

supor com grande precisão que a deformação da armadura é igual a

deformação ocorrida na seção ao nível do centro de gravidade da

armadura.

Em vista do processo adotado para o cálculo dos

pré-alongamentos, o programa já leva em conta as perdas de prote~

são motivadas pelos encurtamentos elásticos do concreto nas fases

de protensão.

4

TI - VERIFICAÇÃO DOS ESTADOS DE UTILIZAÇÃO

2.1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Uma peça de concreto pretendido está sujeita a

dois sistemas de forças: o pré-esforço interno, introduzido por

meio de armaduras tracionadas antes de sua aderência ao concreto

e as solicitações atuantes, de tal forma que as tensões de tração

provocadas pelo carregamento externo, são reduzidas pelas tensões

de compressão aplicadas pelo pré-esforço.

Em geral, os esforços, as deformações e os desloca

mentas, sao calculados separadamente e superpostos, admitindo-se

portanto, um comportamento linear dos materiais utilizados. Entre

tanto, não se pode supor sempre a proporcionalidade entre as soll

citações e seus efeitos, principalmente quando os materiais

estão solicitados com tensões muito altas, pois conforme

sabemos, as relações tensões-deformações

soes, lineares.

- -nao sao para estas ten-

Assim, na análise de tais peças deve-se recorrer a

hipóteses mais próximas da realidade, que considerem o comporta­

mento não linear dos citados materiais.

Neste Capítulo, será estudada uma forma para se

efetuar as verificações necessárias na fase de utilização, de uma

seçao em concreto protendido, levando-se em conta o citado compo~

tamento.

Para que seja possível efetuar tais verificações,

supomos conhecida a seçao, a distribuição das armaduras ordinárias

e de protensão, bem como os esforços solicitantes atuantes na me~

ma. A seção, a distribuição das armaduras e as forças de proten­

sao devem ser simétricas em relação ao plano de flexão da peça.

s

Portanto, as Únicas incógnitas do problema sao as

deformações em dois pontos de seção, cuja determinação, recai na

resolução de um sistema de equações não lineares, sendo necessa­

rio então, recorrer a um método iterativo para solucionar-se o

problema, já que, nem sempre se consegue explicitar as incógnitas

de problemas não lineares.

2.2 - CONCRETO NA FASE DA UTILIZAÇÃO

Os concretos usados em estruturas de concreto pro­

tendido, diferem-se em geral, dos de concreto armado, pela sua al

ta resistência pois a sua utilização oferece várias vantagens. En

tre elas encontra-se o menor custo proporcionado pela redução do

peso próprio da estrutura.

Os fundamentos nos quais se baseiam os dimensiona­

mentos e as verificações de peças de concreto pro tendido ,estão apoi~

dos em uma característica destes concretos de elevada resistên­

cia: o diagrama tensão-deformação, para compressão, apresenta um

trecho inicial com comportamento próximo do linear, de tal forma,

que se pode admitir com bastante exatidão a lei de Hooke.

A medida que as tensões crescem verifica-se que

as deformações são maiores que as deformações calculadas elastic~

mente, originando nos diagramas citados um trecho curvo onde nao

há mais proporcionalidade entre tensões e deformações. A aplica­

çao da lei de Hooke neste trecho poderá acarretar valores teóri -

cos bastante diferentes dos reais.

O limite entre os citados trechos nao e, em geral,

perfeitamente definido, entretanto, valores de tensão entre 50%

e 70% de resistência característica, determinada estatisticamente,

pode ser considerada como tensão máxima para utilização de hipót~

6

se linear.

(íc (<O)

fcck

"e max = flt:

are tg Ec

Ec (<O)

FIGURA 2.1 - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO A COMPRESSÃO

Assim, para tensões abaixo deste limite, podemos

trabalhar com diagramas lineares a compressao. No trecho de tra­

ção os diagramas serão diferentes de acordo com a probabilidade

do aparecimento de fissuras.

<ic (<O)

1T e max

Ec (<O)

FIGURA 2.2a) - ESTADIO I

<ic (-<O)

ll"c max

ore tg Ec

Ec <<Ol

FIGURA 2.2b) - ESTADIO II

7

O primeiro (Estádio I) é utilizado quando existe

uma pequena probabilidade de que não ocorra fissuração na seçao

e nas classes de verificação (CEB/70) que permitem

tração limitadas.

tensões de

A equação constitutiva para este tipo de diagrama

e

(2 .1)

qualquer que seja o valor de Ec

Para solicitações mais elevadas, onde a probabili­

dade da formação de fissuras é maior, usa-se o diagrama mostrado

na Figura (2.2 b).

Nestes, as tensões de tração sao desprezadas e suas

equaçoes constitutivas sao:

a = O c (2.2)

(2.3)

Nos casos em que seja necessário considerar a pla~

ticidade do concreto a tração, pode se utilizar o diagrama mostrado

na Figura 2.3.

Nas equaçoes (2.1), (2.2) e (2.3) e

sao respectivamente a tensão, a deformação e o módulo de deforma­

çao do concreto.

8

Ec (c::O)

FIGURA 2.3 - DIAGRAMA DO CONCRETO CONSIDERANDO A PLASTICIDADE À

TRAÇÃO

E - deformação máxima do concreto na zona tracionada ctm

Ea limite da deformação de tração calculada linearmente

c - coeficiente de plasticidade

O coeficiente de plasticidade é determinado consid~

rando-se que a tensão máxima de tração (o ) , calculada no Está cin -

dia I e provocada pelo momento de fissuração (Mfis) de uma seçao

retangular sem armadura, seja igual a "resistência a flexão apa -

rente" (f ) do concreto, isto é ct flexão aparente

o = fct flexão cin aparente

(2.4)

9

Esta resistência é admitida pelo CEB como sendo

1. 6 vezes maior que a resistência a tração pura (fctk) , ou seja:

fct flexão = 1.6 fctk aparente

2.2.1 - Determinação de c

( 2. 5)

Seja uma seçao retangular de concreto com largura

b e altura H, submetida a ação do momento de fissuração (supo~

to tracionando o bordo inferior) e de uma força normal nula.

H

mente, e

1

-·-·-·-·-

fctk

FIGURA 2.4 - SEÇÃO RETANGULAR SUBMETIDA AO MOMENTO DE FISSURAÇÃO EN = O

s

A tensão o no bordo inferior calculada linear cin

(J c. lll

M •6 + _s_

bH 2 ( 2. 6)

10

onde, substituindo-se Ns e Ms por O e Mfis , encontra-se:

(J c. 1n

= Mfis.6

bH 2 e z. 7)

Assim, utilizando as equaçoes (2.4), (2.5) e (2.7),

deduz-se o momento, que teoricamente produz fissuras na peça de

concreto.

1. 6 f x b. H2

ctk 6

(2. 8)

O valor de c e determinado considerando-se qua­

tro equaçoes, derivadas de duas condições de equilíbrio e duas con

dições geométricas, as quais sao:

a) Condições de Equilíbrio

a.l) Momento_em_Relação_a_Linha_Neutra

1. 6 . fctk . b H2

fctk . H2 . b 1 2

= 3 Hl + 6 Za

fctk ab 2 (+l)a + a+ fctk b (c-l)a 2 3 2

a.2) Força_Normal

fctk ab 2 + fctk b (c-l)a

b) Condições Geométricas

b .1)

b. 2)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

11

Substituindo-se então, (2.11), em (2.9) e (2.10) e

simplificando, encontra-se:

e

1. 6 H2 = -6- H2 (-c- + 2 6/2

H = H2 f(c)

1

12c 2

(2.13a)

(2 .13b)

(2.14a)

(2.14b)

g(c) e f(c) sao funções que dependem apenas de c.

Levando agora, (2.13b) e (2.14b) em (2.12), pode-

se escrever:

(2.15a)

Chega-se assim a uma equaçao ,

F(c) = O , cujas rai

zes sao os coeficientes de plasticidade, os quais conforme pode­

se verificar, independem de fctk e das dimensões da seção.

Uma modificação no diagrama de tensão - deformação

do concreto no Estádio I com plasticidade à tração possibilitou

determinar com o auxílio da subrotina PITER (Ver Cap. 5) uma das

raízes de F(c) =O.

O diagrama (Fig. 2.5) utilizado com esta finalida-

de,

12

are tg !Ecl

ec !<01

FIGURA 2.5 - DIAGRAMA UTILIZADO PARA DETERMINAR O COEFICIENTE DE

PLASTICIDADE

resultou nas seguintes equaçoes constitutivas:

o = E c c (2.16a)

(2.16b)

ram N = O s

Os esforços solicitantes fornecidos.como dados, fo

e Ms = Mfis .

Os exemplos testados resultaram em um valor

c igual a 2,223.

para

Portanto, conhecido o coeficiente de plasticidade,

as equaçoes constitutivas para o concreto, considerando sua plas­

ticidade ã tração, podem ser escritas como:

(J = o e

E e

13

~ctk

~ < E < 2,223

e

EC > 2,223

2.2.2 - Módulo de Deformação do Concreto

(2.17)

(2 .18)

•

(2 .19)

O módulo de deformação (Ec) para a fase de utili

zaçao e o módulo secante, cujo valor ê 10% menor que o módulo ta~

gente na origem, o qual ê determinado em função da resistência ca

racterística pela fórmula:

'~---~ Ec = 44095 /fcck + 80 (Ec e fcck em

(2.20)

2.3 - AÇOS

2.3.1 - Aços para as Armaduras Ordinárias

Os aços utilizados nas armaduras ordinárias apre -

sentam dois tipos de diagramas tensão-deformação.

a) Aços Naturais

Tem um patamar de escoamento onde a passagem da fa

se elástica para a fase plástica ê bem definida.

fy

f y/os

-fy

Ts -fy

14

DIAGRAMA CARACTERISTICO

DIAGRAMA DE CÁLCULO --- - ----

FIGURA 2.6 - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO PARA OS AÇOS NATURAIS

fy - tensão de escoamento

Es - módulo de elasticidade (= 2,1 x 10 7 tf/m2

)

Estes diagramas podem ser representados pelas se­

guintes equaçoes:

a = - fy E < f y/Es (2.21) s s -

f -2 ªs = E E d< ES < (2. 22)

s s E Es s

f a = f -1. < E (2.23)

s y E s s

b) Aços Deformados a Frio

Tem um trecho linear seguido de um elasto-plastico

15

sem patamar de escoamento .definido. A tensão de escoamento (fyo,2)

ê convencionada como sendo a que produz uma deformação permanente

de 2 °!ao •

/ -----

fy0,2 /

'//

0,7 fy 0,2 1----"f 1 /,

0,7 fy 0,2 /

~s

/ ore tg CE5 l

-1----1 -0,7 fy 0.2 /"1{5

·/~ _ __.-0,7 fy 0,2 /,

/1 / .

./' -fy 0,2

DIAGRAMA CARACTERISTICO

/ --- - DIAGRAMA DE CÁLCULO

Es C%ol

FIGURA 2.7 - DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO PARA OS AÇOS DEFORMADOS A

FRIO

As relações constitutivas para este tipo de aço

sao:

a ªs s + 0,823 (f o. 7) 5 ªs > O, 7 f (2. 23) ES =

Es - yü,2 y0,2

ªs O, 7 f < O, 7 f (2.24) ES =

Es - y0,2 < ªs y0,2

ES = bl - 0,823 c.rJ - 0,7} 5 ªs < - 0,7 f yü,2 Es Es

(2.25)

16

O módulo de elasticidade também

2.1 X 10 7 tf/m 2 •

e _)Jgúal ,_a

2.3.2 - Para as Armaduras de Protensão

Os aços utilizados nos elementos tensores 'difere111

dos anteriores por possuírem elevada resistência (fy0 , 2) o

diagrama tensão-deformação considerado neste trabalho para estas

armaduras é o da Fig. 2.7.

O módulo de elasticidade depende do tipo da armadu

ra:

Fios Redondos ou Ovais

Cordoalhas

E = 2 05 x 10 7 tf/m 2 s ,

E = 1.95 x 10 7 tf/m 2

s

2.4 - EQUAÇOES DE EQUILfBRIO NA SEÇÃO

Em uma seção qualquer de uma estrutura, submetida a

solicitações externas, surgem esforços internos

equilíbrio estático da mesma.

necessários ao

Consideremos então, uma seçao de forma qualquer

composta de armaduras de protensão e armaduras ordinárias sob a

ação dos esforços externos: Ms - momento fletor e Ns

normal.

força

O sentido positivo de ambos sera considerado como

mostrado na Figura 2.7.

17

y Esn úsn

€52

Ys kol

'é 2 -----e

H

Ms

Ns

eil<O) Ys )

Ai 1 úp,

+ A ly·(>O)

-..:. e in Cl1n

FIGURA 2.8 - SEÇÃO GEN~RICA DE UMA PEÇA DE CONCRETO PROTENDIDO

H - altura da seçao

vs distância do centro de gravidade da seçao a extremidade su perior da mesma

A. - area transversal da armadura ordinária 1 Sl

A. - area transversal da armadura de protensão i pi

distãncia do centro de gravidade de armadura ordinária

ao centro de gravidade da seção.

l

t. excentricidade da força de protensão da armadura i em re l

lação do centro de gravidade da seção (positiva quando es-

tá abaixo do eixo XX).

Esn deformação da extremidade superior da seçao

E. in deformação da extremidade inferior da seçao

E deformação da armadura ordinária i Sl

€pi deformação da armadura de pretensão i

0 cm - tensão no concreto na extremidade superior

o - tensão no cin concreto na extremidade inferior

18

o . s]. - tensão na armadura ordinária ].

o pi - tensão na armadura de pro tensão i

P. ].

força.· na armadura de pro tensão i

T . s ]. força, na armadura ordinária ].

A convençao de sinais adotada para as deformações,

tensões e forças será positiva para tração e negativa para com-

pressão.

Os eixos XX e XY mostrados na Figura 2.8 sao

os eixos principais de inércia e o plano vertical que passa pelo

eixo YY coincide com o plano de flexão. De forma que, sendo a

equação de compatibilidade de deformações linear ao longo da altu

ra da seção, pode-se definir a posição que esta assume apos a

flexão, conhecendo a deformação de dois pontos nao coincidentes

da interseção do plano de flexão com o plano definido pela seçao

(plano de deformação), pois os referidos planos são ortogonais en

tre si.

Assim, pode:~se determinar a deformação em qualquer

outro ponto da seção e obter os correspondentes esforços internos.

Escolheu-se então, as deformações dos pontos A e

B, situados respectivamente nas extremidade superior e inferior

da interseção do plano vertical com o plano de seção, para repre­

sentar as incógnitas do problema.

As condições de equilíbrio estático requerem que

os esforços internos (MR - momento fletor e NR - força normal)

sejam iguais aos esforços MS e NS, e pelo fato de 50 serem

considerados esforços que produzam tensões normais e com a condi­

ção das mesmas serem simétricas em relação ao eixo YY ,necessit~

19

se apenas verificar duas equaçoes de equilíbrio:

a) Equilíbrio de forças normais

(2.26)

b) Equilíbrio de momentos em relação ao eixo XX

(2.27)

Onde, MR e NR sao os esforços resultantes das

contribuições do concreto e das armaduras, cujas equações consti­

tutivas não são afetadas de coeficientes de segurança (neste ~apf

tulo estudam-se somente os estados de utilização). Pode-se então

escrever:

NAP ,: pi + J vs

-H+vs b(y) • cr(y) • dy +

n ,: T .

Sl. (2. 28)

i=l i=l

vs NAP ,:

i=l p. J!, •

l. l. + ÍH+vs b(y) cr(y) y dy +

n ,: (2.29)

i=l

Nestas equaçoes NAP e o numero de armaduras de

protensão e n o número de níveis de armaduras ordinárias.

NAP As parcelas ,: p_ e

i=l l.

çoes dos elementos tensores obtidos em

NAP ,: P. J!,. sao as contribui­

i=l l. l.

função da deformação Ep_· . l.

A equação que relaciona a força P­i

com esta de-

formação e:

P-(E!) = l. l.

(2.30)

20

Onde, a tensão ºP. é determinada em função da de ].

formação E' P. ].

por uma das equações (2.23), (2.24) e (2.25).

sº P. ].

a)

A referida deformação é composta de duas parcelas,

e sp. , cujos significados sao mostrados a seguir: ].

s 0 - e o alongamento unitário p. inicial (pré-alongamento)

].

da armadura de protensão. Este alongamento não perm~

nece constante ao longo do tempo, pois os fenômenos re~

lógicos dos materiais, fazem com que ocorra, em geral,

uma diminuição do seu valor.

A forma com se dá a variação com o tempo, nao sera con­

siderada neste trabalho.

b) Ep_ - é a deformação que ocorre na armadura, quando a seçao e ].

solicitada por esforços externos, sendo obtida por meio

das equações de compatibilidade.

Quando há aderência das armaduras ao concreto, es­

ta deformação é igual a deformação da seçao ao nível do centro de

gravidade da armadura considerada, ou seja:

(2.31)

Na determinação de s para a protensão sem ade-pi

rência, nao se pode utilizar a equaçao de compatibilidade de de­

formações (2.31), porque uma variação de deformação local se dis­

tribui ao longo de toda a armadura. A sua obtenção é feita consi

derando-se a compatibilidade de deslocamentos, o qué torna o pro­

blema mais complexo, pois necessita-se uma análise estrutural da peça.

As penúltimas parcelas das equações (2. 28) e (2.29)

21

representam as contribuições do concreto aos esforços resistentes ,

as quais são obtidas por integração de forças atuantes em

elementares.

At

.x r y

~ '

bi

bi+ 1

VS

X t -----t

b(y~

y

--t

Ejn crin

FIGURA 2.9 - ESFORÇOS NO CONCRETO

Assim, temos:

e J dC = / b(y) crc(y) dy = Área de

Concreto

- f y dC =! b(y) crc(y) y dy - Área de

Concreto

areas

Me

e

(2.33)

(2.34)

A resolução explicita destas integrais para qual­

quer tipo de seção requer muito trabalho, principalmente quando a

22

mesma é de forma complexa. Além disso, nao seria conveniente in­

troduzir as fórmulas explicitadas em um programa automático, pois

necessitaria uma grande quantidade de tipos de seção e também li­

mitar-se-ia o mesmo à apenas estes tipos de seçao. Recorrendo a

métodos aproximados de integração numérica, é possível generali­

zar o programa de forma a que, possa ser utilizado para verifica-

ções de seções com forma qualquer, des·de que esta

caem relação ao eixo YY

seja simétri

Assim, dividiu-se a seçao em n faixas, de altu­

ras iguais e paralelas ao eixo XX (Figura 2.8a), onde a sua lar

gura é admitida como a b. + b ..

média das larguras superior e inferior

lSU l ln) (b. = e a altura 1 2 igual a altura total da seçao

dividida pelo número de faixas. (1'1 = H/n)

Com isto as integrais (2.33) e (2.34) transformam-

se em:

n Yi+l e = ,:

bi/ cr(y) dy i=l

Y· l

(2.35)

n f Yi+l M = ,: b. cr(y) y dy c i=l l

Y· l

(2.36)

Y. e y sao, respectivamente, as l i+l distâncias

do bordo superior da seçao ã extremidade superior e inferior da

faixa i

Conforme foi visto anteriormente, no Estádio I e

II a relação tensão deformação é linear e, sendo as equações de

compatibilidade de deformações lineares,conclue-se que as varia­

ções de tensões ao longo da altura da seção, são também lineares.

23

Portanto, as integrais das equaçoes (2.35) e (2.36), que sao fun­

çoes lineares do módulo de elasticidade, sao facilmente explicit~

das; logo,pode-se escrever:

e =

e

1 e

n ,:

i=l b. /::,

1 =

2

n í

i=l

n í

i=l b.

1 . /::, .

Onde, o produto b. • /:i • E 1 c

Y· 1

(2.37)

(2.38)

e a rigidez da faixa

y. e a distância do ponto de aplicação da força normal 1

resistente nesta faixa, ao eixo XX

E e determinada por: c m. 1

E· ) (i - 0.5)/n 1n

n

(2.39)

T. e í T. y. sao as contri 51 i=l 51 1

buições das

n As parcelas í

i=l armaduras ordinárias aos esforços resistentes. E,

igualmente as demais ,são obtidas considerando-se as equações cons

titutivas do aço utilizado.

maçao E . e: 51

A equaçao que relaciona a força T . 51

com a defor-

(2.40)

Considerando-se o centro de gravidade da armadura

i na linha média da faixa genérica i e supondo-a aderente ao

24

concreto, pode-se dizer que a deformação

çao -E . cm1 isto é, E . Cml

E • Sl

e igual a deforma-

Uma outra maneira de se referir ã área das armadu-

ras, e através de sua percentagem

xa i , ou seja:

(w.) l

em relação a área da fai

w. 1

A.•o.(E.) Cl 51 51

(2. 41)

Os esforços resistentes sao, portanto, funções das

deformações dos pontos A e B , de forma que pode-se escrever :

A determinação das deformações e E. ln

(2.42)

(2.43)

recai

na resolução de um sistema não linear e para isto, utilizou-se o

método iterativo de Newton-Raphson de aproximações sucessivas.

2.5 - M~TODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON

Este consiste em desenvolver as funções NR(E sn

Ein) e MR(Esn , Ein) em série de Taylor e em torno de um pon-

to conhecido cujas coordenadas são E. ) 1n e, desprezando

os termos de ordem maior que l, resolver repetidamente um sistema

de equações lineares, até que as diferenças absolutas entre NR

sejam menores que um valor fixado.

Desta forma,tem-se:

25

. .3NR(i: i:. ) + . sn in aNR(i: , i:. )

+ sn m oEsn d E.

lil

• b. E- = N. in l

b. E- = M. lil l

(2.44)

(2.45)

i:. ) e MR(i:. in in E- ) sao respectivamente os valo in

res das funções (2.42) e (2.43) nos pontos de coordenadas (Esn'

Éin) ; oNR/ºEsn , oNR/ºEin , aMR/"Esn e aMR/3Ein sao as deriva

das parciais das citadas funções nestes pontos; b. Esn e

as diferenciais finitas das variáveis e M. l

e N. l

são os valores das funções (2.42) e (2.43) correspondentes asco-

ordenadas C i: + e,. sn E- +/:,.E.). in in

2.5.1 - Roteiro do Processo Iterativo

a) Para iniciar o processo iterativo escolhe-se arbitrariamente

Ein , ou seja, fi-valores iniciais para as variáveis e

xa-se uma posição qualquer para o plano de deformação (ver Fi-

gura 2.10a).

r L 1-------')'

1Esu 1 _ A Ê5u

1 Esu~1

I I I I I I I I l

I I I I I I I I

a) b) cl FIGURA 2 .10 - POSIÇÕES DO PLANO DE DEFORMAÇÃO EM UM CICLO ITERATIVO

26

b) Conhecidos as coordenadas e Ein , pode-se determinar as

c)

deformações em qualquer ponto da seção e consequentemente, os

esforços internos N1 e M1 correspondentes a esta posição.

Compara-se então, Nl e Ml com os esforços externos NS e

Ms Quando as diferenças absolutas entre Nl e NS e Ml

Ms sao menores que a precisão desejada, pode-se dizer que, a

posição do plano definido pelas deformações e E. in

termina o equilíbrio dos esforços na seção e o processo

de­

está

encerrado. Caso uma destas diferenças não seja verificada, pass~

se ao item seguinte com a finalidade de determinar novos valo-

res para as coordenadas e E . ln

d) Incrementa-se a deformação superior (Êsn) em 6 Esn (ver Fi-

gura 2.10b) mantendo-se constante Ê. (6 E. = O) , calculando in ln

se em seguida, os esforços resistentes M2 e N2 correspon-

dentes as deformações ( e: + 6 e: e:. ) sn sn ' in Pode-se assim,com

os valores conhecidos (N1 , ~, 6 Esn, 6 Ein, N2 , M2) de­

terminar as derivadas parciais no ponto de coordenadas (e:sn ,

Ein) , ou seja:

aNR(e:sn e:in) aNR(e:sn ' Ê. )

Nl + 6 + in . o = N . Esn dE- 2 3Esn ln

(2.46)

aMR(e:sn e:. ) aMR(e:sn Ê. ) Ml

in I!, in o = Mz + . E + .

a E sn sn d E: • in (2.47)

Explicitando as derivadas, tem-se:

(2.48)

27

E. ) 1n = (2.49)

c1 e c2 sao as tangentes mostradas nas Figuras

2.lla e 2.llb.

M,

êsu €su

FIGURA 2.11 - DERIVADAS PARCIAIS DE NR e MR EM RELAÇAO.A Esn

Igualmente, determina-se as derivadas parciais em relação a

E- incrementando-se agora, a deformação inferior de b E. 1n 1n

e mantendo-se constante Esn . Assim, chega-se a

oNR(csn • e. ) N3 - Nl C3

1n = = 0€. il Ein 1n (2.50)

aMR(i:sn i:. l M3 - Ml C4

1n = = oEin il Ein

(2.51)

Neste caso, N3 e M3 sao os esforços resistentes

correspondentes as deformações e E. + b i:. · C3 1n 1n' e

28

sao as tangentes mostradas nas Figuras 2.12a e 2.12b.

FIGURA 2.12 - DERIVADAS PARCIAIS DE NR e MR EM RELAÇÃO À E. 1n

e) Substituindo-se então, M. l

e N. l

respectivamente por MS e

Ns nas equaçoes (2.44) e (2.45), tem-se o sistema linear de

equaçoes:

E. = Ns ln

E- = MS ln

(2.52)

(2. 5 3)

A resolução deste sistema nos dá os incrementas A Esn e A Ein

que adicionados as coordenadas. e E. ln determinam novas

coordenadas,as quais devem ser, teoricamente,mais próxima da

solução que as anteriores. Logo, pode-se escrever.

-i+l Esn (2.54)

-i+l E: •

ln

29

-i :;;; E. + 6 E.

ln ln

O Índice i iridica o numero do ciclo iterativo.

(2.55)

Assim, conhecidas as novas coordenadas, retorna-se

ao item b).

30

III - VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE 0LTIMO DE RUPTURA

3.1 - CURVAS DE INTERAÇÃO ENTRE Mult e Nult

Conforme vimos no capítulo anterior, os esforços

resistentes de uma seção, podem ser obtidos quando conhecemos a

posição que a seçao assume apos a flexão.

Nas verificações para a fase de utilização, deter­

minou-se esta posição em função de duas variáveis, mas para as ve­

rificações na ruptura só necessitamos detenninar uma variável, pois

em virtude das deformações limites, fixadas pelas hipóteses de

ruptura, conhecemos "a priori" a deformação em um nível de seção,

fixados também, pelas referidas hipóteses. O item 3.4 deste capi

tulo refere-se, com mais detalhes, ã variável escolhida para defi­

nir a posição do plano de deformação.

Os esforços resistentes determinados, para uma p~

sição do citado plano, são os esforços Últimos que representam a

capacidade resistente da seção.

Assim, fazendo-se o plano girar em torno das li­

nhas cuja deformação é igual a uma deformação limite, de tal for­

ma, que assuma todas as posiçoes possíveis e, representando em

um gráfico o momento fletor Último (Mult) e a força normal Última

(Nult) correspondentes a cada posição, obtemos uma curva contínua

e fechada, que é a curva de interação entre Mult e Nult .

31

Mult

( compressão) (tração)

Nult

FIGURA 3.1 - CURVA DE INTERAÇÃO Mult-Nult

Esta curva depende de muitos parâmetros e,qualquer

um destes sofrendo uma variação, acarreta uma nova curva. En

tre outros parâmetros, podemos citar a forma de seção, a resistê~

eia do concreto, a percentagem e a distribuição de armaduras ardi

nãrias, bem como a resistência Última e a natureza do aço utiliz~

do, da mesma maneira, para as armaduras de protensão, onde ainda

se pode incluir a força de protensão inicial. Diante disso, con-

clui-se que ê impossível, ter-se uma curva Única para

combinação dos citados parâmetros.

3.2 - CRITSRIO DE SEGURANÇA

qualquer

Os conceitos de segurança adotados pelo CEB, exi­

gem que nas verificações do estado tim Último de ruptura, a ca­

pacidade resistente de uma seção seja comparada com os esforços

solicitantes atuantes na mesma.

32

A verificação da segurança de uma seçao qualquer

em concreto pretendido e em concreto armado, consiste então, em

comprovar se um determinado ponto B , cuJas coordenadas são os

esforços solicitantes (força normal - Nd e momento fletor Md),

é interior a região limitada pela curva.

3.2.1 - Índice de Segurança

Numericamente, a segurança é determinada por meio

Mult Nult de um Índice y dado pelas relações ~~ = ~~ onde

Md Nd Mult e Nult sao as coordenadas do ponto A da Figura 3.1, que

M determinam o mesmo ângulo ~ (= are tg Nult) do ponto B.

0 ult

Os valores de y entre O e 1 indicam teorica-

mente, que a seção não resiste aos esforços solicitantes e, para

y > 1 , temos uma grande probabilidade que não ocorra a ruptura.

o Índice de segurança não é constante ao lon

godo tempo pois, os fenômenos reolÓgicos, influem consideravel­

mente no concreto pretendido, fazendo com que, a curva de intera­

çao para cada seção, varie com o tempo.

3.2.2. - Solicitações

As solicitações atuantes em uma seçao, devem ser

obtidas multiplicando-se as solicitações características por coe­

ficientes de majoração, variáveis em função da natureza da solici

tação.

Deste modo, temos:

+ • • • + + ••• (3.1)

+ • • • + + ••• e 3. 2)

I

33

onde MK. l

nado tipo

e NK. l

sao os valores característicos para um determt

de solicitação e y f. l

o respectivo coeficiente de se-

gurança. Para maiores esclarecimentos ver l 13 I, l 14 I e l 15 I

3.2.3 - Esforços Resistentes

São obtidos por meio das contribuições do concreto

e das armaduras, utilizando-se as equações constitutivas de cálcu

lo dos materiais, ou seja:

NAP n n Yi+l NR = l: p. + l: Tsi + l: bi f ºcCY) dy (3. 3)

i=l l

i=l i=l Y· l

e

NAP n n Yi+l MR = l: p. . ,Q,i + i:: Tsi .

Ysi + i:: bi f ºcCY) y dy i=l

l i=l i=l

Y· l (3.4)

Estas equaçoes sao semelhantes as equaçoes (2.28)

e (2.29) .

3.2.3.1 - Equações Constitutivas do Concreto

O diagrama tensão deformação do concreto para o e~

tado limite Último de ruptura, leva em consideração a não linea­

ridade física do mesmo que, para tensões próximas da resistência

Última torna-se bastante acentuada.

0,85 fcck

ls'c

o

34

fc (oe:O)

- - - - -__;------,

- 2,0 -3,5 Ec (0/oo)

FIGURA 3.2 - DIAGRAMA PARABOLA-RETÂNGULO - (CEB/70)

As equações.constitutivas para este diagrama sao

= 0.85

= o

- 1) E c 0 > E c > - 2 °/oo

(Ec nesta equaçao está multiplicada por 1000)

fcck a = - 0.85

c - 2 °/oo > E > - 3. 5 °/oo c

(3.5)

e 3. 6)

e 3. 7)

O coeficiente de redução 0,85, deve-se ao "efeito

Rüsch", que considera a redução da resistência do concreto quando

as tensões são elevadas e mantidas por períodos de tempo prolong~

dos.

O coeficiente de minoração yc leva em conta as

diferentes incertezas da resistência do concreto, na determinação

35

da resistência Última da peça. Quando o concreto e rigorosamen­

te dosado em oficina, usa-se para yc o valor 1.4, entretanto,

quando o mesmo é fabricado na própria obra, sem um controle rig~

roso, faz-se yc = 1.5. (Ver 1131 , 1141 e 1151).

A contribuição do concreto e obtida, conforme as

equaçoes (3.3) e (3.4), pelo somatório da contribuição de cada

faixa individualmente. A variação de tensões em uma faixa i

qualquer pode ser considerada linear, entretanto, as tensões nas

extremidades das faixas devem ser calculadas por meio das equa­

ções (3.5), (3.6) e (3.7).

0,85 fcck ~

, foixo(D ,

?

FIGURA 3.3 - TENSÕES NO CONCRETO EM UMA FAIXA i

3.2.3.2 - Equações Constitutivas dos Aços

Os diagramas tensão-deformação das armaduras sao

obtidos dos diagramas característicos (Fig. 2.6) ,

dade paralela a reta tangente à origem igual a 1

cálculo mostrado na Figura 2.6).

por uma afini­

(diagrama de

O coeficiente de minoração ys recomendado

CEB e igual a 1.15.

pelo

36

Numericamente, podemos escrever:

a) Aços_Naturais

o = E s s

() s =

b) Aços_Deformados_a_Frio

() s ()

0,823 ( s ES = +

Ys . E Ys s

() s ES = E s

E

f

Es

E

Ys f

YK

0,7

Ys

f

> YK

E s . Ys s

fy YK < '< K . Ys ES Es Ys

f

< YK -s E . Ys s

O, 7 f

o, 7) 5 -Ys .

f O, 7 f YK

< < YK

E Es s Ys E c

YK <

Es

f 1 ° s 1 1 ° s 1

0,7

0.823 • y s

o. 7) 5 .. YK

(y • E = + -s Ys . E f Ys E s s YK s

3.3 - CONFIGURAÇÃO DE DEFORMAÇÃO LIMITE NO ESTADO LIMITE

DE RUPTURA

( 3. 8)

(3.9)

(3.10)

ES

(3.11)

(3.12)

> E s

( 3. 13)

ÚLTIMO

Admite-se que uma seçao esgotou sua capacidade r~

sistente, quando a deformação de uma linha da seção e igual a uma

das deformações limites representadas graficamente na Figura 3.4.

A fixação destas deformações resulta das seguintes

considerações:

37

1 - Nas seçoes com pequenas percentagens de armadura as solicita­

ções produzem deformações plásticas excessivas, que levam o

concreto existente nas proximidades das citadas armaduras, a

fissurar-se de forma prejudicial a segurança da peça estrutu­

ral. Assim, limita-se estas deformações em 10~00 , onde se su

poe a ocorrência de 10 fissuras com 1 mm de abertura em um

trecho da peça de comprimento igual a 1 rn. As solicitações

que provocam este tipo de ruptura correspondem as trações com

pequena· excentricidade e flexão com forças normais pequenas.

2 - Quando a percentagem de armadura é elevada o colapso da estr~

tura se dá por urna deformação plástica do concreto igual a - 3. 5 °!ao Este tipo de ruptura ocorre com solicitações·. tais

que, a linha neutra está sempre dentro da seção,

nesta, regiões comprimidas e regiões tracionadas.

originando

3 - Para as solicitações de cornpressao simples ou com pequena ex­

centricidade, o estado limite de ruptura, ocorre também por

plastificação do concreto comprimido. Nos casos de compres­

são uniforme a deformação limite é igual a - 2 °!ao , enquanto

que, para compressões não uniformes, e deformação de - 2 ºho é fixada em dois pontos interior a seção conforme a posição da linha neutra em relação a seçao. Para solicitações em que

a linha neutra está abaixo da seção, o ponto com a deformação citada, encontra-se a urna distância do bordo superior igual a 3/7 da altura (Ponto F da Fig. 3.4). O segundo ponto que cor­

responde as solicitações em que a linha neutra está acima da seção, encontra-se a igual distância do bordo inferior (ponto E da Fig. 3.4).

38

f 10 %-o-------j"-' - -3,5 º/oa-t

~----r----------=,_I ____ H __ G t (3, 3/7 H

(3a

H llH i,H

1 3/7 H

+-------10 °/oo ----------<"-" • ..i· j

FIGURA 3.4 - CONFIGURAÇOES DE DEFORMAÇOES LIMITES PARA A RUPTURA

H.o 1 - distância da armadura superior mais próxima da extremidade

superior, ã extremidade inferior (O~ o1 ~ 1)

H.o distância de armadura inferior mais próxima da extremidade

inferior, ã extremidade superior (O< o< 1) .

Os pontos A e J da Figura 3.4 correspondem a

deformações limites de tração igual a 10 °loo , G e D a uma de­

formação no concreto, em compressão, igual a - 3. 5 °loo e E e

F referem-se a Última hipótese.

Portanto, conclue-se que a posição da seçao, cor -

respondente ao esgotamento da capacidade resistente, fica perfei­

tamente definida, determinando-se a deformação de mais um ponto da

interseção do plano de flexão com o plano de deformação, ou seja,

39

o problema de verificação a ruptura de uma seçao, envolve apenas

uma variável.

3.4 - CRIT~RIO PARA ESCOLHA D.A VARIÁVEL

Observando-se a Figura 3.4, ve-se que uma reta ge­

nérica de deformação limite, partindo de uma posição inicial, por

exemplo, a posição vertical definida por AJ pode·. girar

cada região definida pelo ângulo B-(i = l,.;.,8) l

em torno

em

do

ponto conhecido da mesma (A, G , F , E , D , J) e voltar a p~

sição inicial, de tal forma que a soma das variações angulares

(B1 + B2 + B3 + B4 + B5 + B6 + B7 + B8) medidas no sentido horá­

rio, ê igual a 360°

Assim, uma variável que melhor representa a varia­

çao da posiçao dos planos limites da deformação e. uma variável

cíclica com período igual a 360°. Escolheu-se então, a variável

a com período acima citado e intervalo de definição igual a

[o,36oºJ

3.5 - DEFINIÇÃO DOS SUB-DOMfNIOS DE a PARA CADA REGIÃO

O domínio de a foi dividido em oito sub-domínios

diferentes, um para cada região, de forma que, esta fica definida

pelo tipo de ruptura e por seu sub-domínio. E, uma reta de defor

mação limite qualquer da região, pela variável a e pela deform~

ção limite do ponto fixado em função da hipótese de ruptura.

O critério para a divisão do domínio de a nos

sub-domínios indicados no quadro 1, baseou-se no fato de que, a

variação de 1fl com a não é constante para todas regiões, apre -

sentando em algumas, variações bem maiores que nas demais. Assim,

40

fixou-se pequenos intervalos para as regiões que tem pequenas va­

riações.

Esta divisão pode nao corresponder a melhor distri

buição dos sub-domínios com a variação mas, nos vários exem-

plos testados apresentou resultados bastante satisfatórios.

3.6 - REGIÕES DEFINIDAS PELO TIPO DE RUPTURA

Será feita apenas a descrição da região l, as de­

mais por raciocínios análogos não apresentam dificuldades e serao

resumidas no quadro 1.

H 6H

J

--l'----E,u ---K--5° T

I

lª --"'-------- IÕº/oo·--------1

--,I<.-------- E;n ~

FIGURA 3.5 - REGIÃO 1

41

s1 - ângulo formado pelas retas AJ e AI , que limitam a região 1 .

10 Si= arctangente ôH (3.14)

S - ângulo formado pelas retas AJ e AT . A reta AT repre­

senta a posição genérica da seçao, apos a deformação, defini

da por um valor conhecido (a0

) da variável a . Este âng~

lo é utilizado como variável auxiliar na determinação das de

formações nos bordos superior e inferior da seção. ~ propo~

cional ao ângulo Si e a a0

, ou seja:

las fórmulas

(3.15)

As deformações e E. 1.n

sao determinadas pe-

Esn = 10 - o • H • tang(S) (3.16)

Ein = 10 + (1 - o) H tang (S) e 3 .1 7)

As retas de deformação giram em torno do ponto A

cuja deformação é igual a 10 %o .

Os esforços resistentes Gltimos sao constituidos

apenas das contribuições das armaduras, porque só há na seção de­

formações de tração, consequentemente a contribuição do concreto

é nula.

O intervalo de a para esta região e [oº , s0 Jo~

de, a= oº (reta AJ) corresponde à tração uniforme e a= sº (r~

ta AI) a tensões nulas na extremidade superior da seção.

PON1D EM 1DR INTERVALO NO 00-REGIÃO QUAL O DA VARIA- B- B Esn E·

ÇÃO DE a l. ill PLANO GIRA

1 A oº 5º 10 ª· B1 10 - o H tg B 1 O + (1 - o) H tg B are .tg (°67H) - . ' 5

2 A 5° 60° (13. 5) - B Ci. - 5 Bz 10 - o H tg(B + B1) 10 + (1 - o) H tg (B + B

1) are tg O, H .

' 1 55

3 G 60°,160° (13. 5) - B4 a- 60

B3 - 3.5 - 3. 5 + I-1 tg{ B1 + Sz - B ) are tg O• H IÕO ..

4 160°, 180° are tg c3;/) a-160 3 B) 4 F . B4 - 2 - - H tg (S - - 2 + 7 H tg(B4

- B) 20 7 4

130º, zooº are tg e\/) a-180 - 2 + { H tg(B) 3 (B) 5 E 20

. B5 - 2 + 7 H tg

6 D 200º,300º t (13.5) - B5 a-ZOO . B6 - 3. 5 + H tg (B4 + B) - 3.5 are g 88 lÕÕ 1·

7 J 300°,355° t (13. 5) - Bg a-300 . B7 10 + (1 - o1) H tg(B8 +· S7 - B) 10 - H o

1 tg (B

8 + B

7 - B) are g O •H 55 1

8 J 355°, 360° 10 a-355 Bg . 10 + (1 - º1) H tg CB3 - S) 10 - H o1 tg (B8 - B) are tg(0 H) 5 •

1

Q U A D R O 1

43

3. 7 - DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO <p = (p(a)

Pode-se afirmar assim, que conseguiu-se

de relacionar a variável a com o ângulo~ = are tang

terminado por uma combinação qualquer de MR e NR.

uma forma M

(~) de NR

Esta função pode ser descrita da seguinte maneira:

e h · d 1 d t d d ~ · 1 oº , 36o 01 - on eci o um va ar a0 para a en ro o om1n10

verifica-se em qual das regiões o plano de deformação represen­

tado por a0 está contido. Definida a região, calcula-se o

ângulo S proporcionalmente a relação entre a diferença de a0

e o menor a da região, e a variação máxima de a na região.

sendo o coeficiente de proporcionalidade o ângulo B. • Determinado o 1

ângulo B , pode-se encontrar as deformações em qualquer ponto

seçao e consequentemente os esforços internos Últimos. Por meio

destes conhece-se, então o ângulo ~ acima referido. (Ver flu­xograma).

Portanto, (p = ~(a) representa o relacionamento

matemático que associa a configuração de deformações limites e a

curva de interação, para uma determinada seção em uma idade qual­

quer da peça.

44

VERIFICAÇÃO DE QUAL O l SUB-DOMfNIO QUE CONTEM a0

B = B cs. ' ªo) l

I 1

Esn = E (B) sn

E- = E- (B) 1 lll lll

l EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE

- -E = E (Esn ' E. )

lll

1

t EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS DO CONCRETO E DAS ARMADURAS

a = a(s)

1 ESFORÇOS RESISTENTES

FORÇA NORMAL DE CADA MATERIAL MOMENTO FLETOR DE CA DA MATERIAL

l 1~ ·M

are . R

= tg -NR

1

1

FLUXOGRAMA DA FUNÇÃO '\J = lf' (a)

45

3.8 - DETERMINAÇÃO DO !NDICE DE SEGURANÇA

do Índice de

Diante do que foi visto, conclui-se que o cálculo

segurança de uma seção, consiste em obter ova

lorde a , tal que os correspondentes esforços internos Últimos

tenham o mesmo ãngulo fo das solicitações

ja, deve ser verificada a igualdade:

are tang M e-ª-) = are tang Nd

que também pode ser escrita na forma:

(3.18)

(3.19)

A utilização de métodos diretos para a resolução

da equaçao (3.19) é praticamente impossível, em virtude, da com­

plexidade e não linearidade da mesma, pois ela envolve nao so

funções trigonométricas como também, relações constitutivas nao

lineares. Assim, a solução deve ser encontrada através de tenta

tivas.

Escolheu-se então, o método iterativo de Newton­

Raphson, de aproximações sucessivas.

3.8.1 - Processo Iterativo

Desenvolvendo a função '\J = q:, (a) em· série de

Taylor e em torno de um ponto·conhecido a , encontra-se: o

(3.20)

onde, os termos das diferenciais de ordem maior que 1 foram des-

prezados.

duas vezes.

46

Em um ciclo iterativo a equaçao (3.20)

Na primeira, determina-se a derivada ~

ê utilizada

no ponto

supondo que a função ~ (a) ê linear, ou seja, fixa-se um

valor (6 a0

) para a diferencial 6a, obtendo-se com a abcissa

a + 6a a ordenada rn. = Q Q yl ~cão+ ôao), assim,

da equação 3.20:

pode-se explicitar

a Única incógnita (dq,J ) dal­

ªo

+ 6 a ) o

(3. 21)

Pelo fato da função Cf (a) nao ser linear, a deri­

vada e determinada de forma aproximada.

Na segunda, substitui-se por lf'o (= are

com !j_ determinada

ªº -pela equaçao:

em (3.21) encontra-se a diferencial

6a = (3. 22)

Esta diferencial ê somada à abcissa conhecida de-

terminando-se então, um novo ponto (ã + ôa) mais próximo da so o

lução final que o anterior, logo, pode-se escrever:

a o. 1

= a + 6a 0 i+l

O Índice i indica o número do ciclo iterativo. O processo iterativo consta então, de:

(3. 23)

a) Fixa-se inicialmente um valor para a0

Deve-se sempre ten-

tar iniciar o processo com um valor que seja próximo da solu­

çao final, porque desta forma reduz-se bastante o número de

ciclos.

47

b) Determinam-se os esforços Últimos correspondentes a a0

e, ve­

rifica-se se, a diferença entre ~o e o ângulo ~ dos esfor­

ços Últimos é menor que a precisão desejada. Quando isto ocor

re o processo está encerrado e pode-se então, calcular o coe­

ficiente de segurança; em caso contrário tenta-se obter um no­

vo valor para a0

, conforme é mostrado nos itens seguintes.

c) Incrementa-se a0

em 6a0

e obtem-se a derivada através da da equação (3.21).

d) Com a equação (3.22) encontra-se a diferencial 6a0

e em se­

guida o novo valor de a0

, com o qual retorna-se ao item b).

Graficamente, o processo pode ser visto na curva

de interação da seguinte forma:

'T-4~ I _

r. 40( o

1

1 t 4 <I are. 1

ong

1

+--- 4oeo--+

O(.

FIGURA 3.6 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UM CICLO ITERATIVO

Na configuração de deformações limites, tem-se

48

L G

f J.

1

1 H &. H

1 6H

1

l 1

FIGURA 3. 7 - POSIÇÕES DO PLANO DE DEFORMAÇÃO EM UM CICLO ITERATIVO

Uma das condições de convergência do processo, re­

quer que a função seja contínua, Entretanto,a formulação desen­

volvida para Cp = ~(a) resultou em uma função descontínua.

A descontinuidade na curva , - a (ver Fig. 3.9)

corresponde na curva de interação ao ponto de coordenadas (+ NR 0) ,

(ver Fig. 3.8), porque para NR > O , ~ tende para O rad quag

do o momento positivo tende a se anular e tende para Zrr rad quag

do o momento negativo aproxima-se de zero (ver ítem 5.3.4).

Mult

A l+No,o> t M - O; <j)-0 rad

R

1 Nult

MR-0 i tp--21Trad

FIGURA 3.8 - PONTO DE DESCONTINUIDADE

49

A abcissa de um gráfico <f> -a para a qual ocor-

re a descontinuidade pão é préviamente conhecida já que a posição

do plano de deformação correspondente aos esforços Últimos (+_,NR,O)

nao e.a mesma para todos os casos que surgem na prática,sendo tam

bém, variável com o tempo.

2 1T

o

"\rad) __ _.....,,...,,p'( oC)

-­.---- -- ----- - - :1 J 2TT

iJ ------1-i;t«

q," (O<)

FIGURA 3. 9 - CURVA q, - a

Para tornar o processo aplicável, foi

cx(graus)

necessário

utilizar duas funções q,' (a) e tp" (a) , dependentes de <íl (a) e

que tornassem contínuos, dentro do domínio de a os dois tre-

chos descontínuos indicados na Figura 3.9 por uma linha cheia ori

ginados da função (p (a) .

A diferença entre q;' (a) e f> '·' (a) e, para qual-

quer valor de a, igual a 2IT Elas sao definidas por:

<p' (a) = <p(a) (3.25)

50

'f'' (a) = Zll a = ªd (3.26)

<p'(a) = ~ e a) + Zll Cl > ªd (3.27)

e

(p"(a) = <p(a) - 2]] Cl < ªd (3. 28)

q," (a) = o Cl = ªd (3.29)

q," (a) ~ <j, (a) a > ªd (3.30)

3.9 - CASOS PARTICULARES DA CURVA DE INTERAÇÃO

Nas seções capazes de não suportar por siso as for

ças de protensão iniciais e sem esforços externos, a origem do

sistema de referência da curva de interação não é um ponto inte -

rior a região definida pela curva, isto é uma seção de uma estru­

tura isostática pode atingir o estado limite Último de ruptura,

quando submetida apenas a solicitação de protensão.

As curvas de interação que apresentam estas partic~

laridades originam curvas ~ - a contínuas (Fig. 3.10) ou com

dois pontos de discontinuidade (Fig. 3.11), onde a característi­

ca principal destas curvas é a nao unicidade do valor de a cor-

respondente ao ângulo <f'o definido pelas solicitações, ou seja,

pode haver duas posições para o plano de deformação cujos esfor -

ços Últimos produzem o mesmo ângulo ~o

51

cpcrad)

-------------------1 -------------- ------1

.Pmin. 1---~----------------

1

1

1

1

1

1

1

360º O<. (graus)

FIGURA 3.10 - CURVA ~ - a CONTÍNUA

fira d J

21T --==--~~=-------~-~ 1

1 1

1 I 1 ----------- -T-----1---1 1 : 1 I 1 1 I 1

1 1 1 1

: 1

cp mox.

<Pmin.

-:------r o< 8 o<. tgraua)

FIGURA 3.11 - CURVA ~ - a COM DOIS PONTOS DE DESCONTINUIDADE

52

A curva de interação correspondente a Fig· ... :3:10,

tem o aspecto mostrado na Fig. 3.12 onde se observa que não há po~

to comum à curva e o semi-eixo positivo das forças normais, logo

o gráfico~ - a nao apresenta discontinuidade; variando o ângulo

~ (a) entre dois valores <f>min e epmax tais que:

O < <n . < fn < (o < 2 rr Tmm - -r - , max

Mult

NiJlt

- - -·--·---

FIGURA 3 • 12 - CURVA DE INTERAÇÃO SEM PONTO COMUM COM O EIXO O - Nult

A curva de interação associada à Fig. 3.11, cruza

o semi-eixo positivo das forças normais em dois pontos que corres

pondem a ªA e ªB mostrado na Fig. 3.11 e tem o seguinte aspe~

to:

53

t.1 ult

Nult

F

FIGURA 3.13 - CURVA DE INTERAÇÃO COM DOIS PONTOS COMUNS À CURVA E

AO EIXO POSITIVO O - Nult

O ângulo (p(a) e definido neste caso em dois in-

tervalos (O rn ) ' "'min e (<fmax 2TI) • Esta curva é representatl

va das seções projetadas para resistir apenas as forças normais

de tração com excentricidade nula ou muito pequena, onde a perce~

tagem de armadura de protensão é muito elevada.

Devido ao fato de não haver mais unicidade na posl

çao do plano de deformação, não é possível aplicar métodos itera­

tivos na determinação de a , além disso existem solicitações pa­

ra as quais não há nenhuma posição do plano e ainda, solicitações

que correspondem a apenas uma Única posição deste plano.

E de se ressaltar que quando sao desprezadas as

tensões de tração no concreto nas seções com apenas um nível de

54

armadura, verifica-se que a curva de interação apresenta um tre­

cho de variação linear, onde os pontos deste trecho correspondem

aos valores de ~a contidos nos intervalos (Oº~ 5°) e (355°, 360°),

para os quais a seção tem apenas alongamentos de tração, de modo

que os esfofços Últimos coincidem com os esforços resultantes da

contribuição das armaduras de protensão (ou ordinária no concreto

armado). Consequentemente tem-se infinitos valores para a que

originam o mesmo ângulo q, já que neste caso particular (um Úni

co nível), os pontos citados situam-se sobre uma reta cuja incli­

naçao ê definida pela excentricidade. Em um diagrama~ - a a

curva representativa da função ~(a) e, nos intervalos citados,

dois segmentos paralelos ao eixo "dos a(s)". Assim, para evitar

que ocorresse este problema na determinação de a , supos-se que

o concreto absorve pequenas tens6e~ de tração (ver Cap. V),de tal

modo que o erro máximo introduzido na força normal e igual a

5. Ac(tf) , desprezível diante dos esforços do concreto e das ar

maduras.

3.9.1 - !ndices de Segurança

As sol ic i taç6es que produzem o ângulo <p O

contido

no(s) intervalo(s) que define(m) o domínio da função (i:, (a) , tem

dois Índices de segurança em relação aos esforços Últimos da

seçao, deste modo para se saber se um determinado ponto de coord~

nadas (NS , M5) e interior a curva ê necessário conhecer os

dois valores destes Índices que sao obtidos em função da dis

tância do ponto (NS MS) a origem da seguinte forma:

a) Em relação ao ponto B (ver Fig. 3 .12 e 3 .13)

Ys B

55

b) Em relação ao ponto D (ver Fig. 3.12 e 3.13)

Ys D

Assim, para um mesmo ãngulo Cj>

(3.31)

(3.32)

os Índices

de segurança variam conforme é mostrado na Fig. 3.14, onde no ei­

xo horizontal está representada a distância de cada ponto a ori -

geme no vertical os Índices de segurança.

INDICE DE SEGURANÇA

ROMPE---

o D e B A

FIGURA 3.14 - VARIAÇÃO DOS ÍNDICES DE

MO ÂNGULO Cf

DISTANCIA A ORIGEM

SEGURANÇA PARA UM MES-

56

Todos os pontos situados entre os pontos B e D

da Fig. 3.13, estão no interior da curva de interação e na Fig.

3.14 se ve que os respectivos índices são maiores que l; os

pontos entre O e D e aqueles cuja distância a origem e maior

que a distância OB levam a seção a ruptura, tendo

maior que 1 e o outro menor que este valor

3.10 - COMENTÁRIOS

um Índice

Os esforços Últimos das armaduras de pretensão cor

respondem, para os pré-alongamentos usados na prática, a pontos

cujas abcissas são positivas (força normal de tração), enquanto

que os esforços do concreto correspondem sempre a pontos de abcis

sas negativas (força normal, de compressão), consequentemente a

curva de interação concreto+ armadura de protenção apresenta po~

tos internos a curva do concreto. No concreto armado o trecho in

terno à curva do concreto só ocorre nas seçoes com um Único nível

de armadura, sendo este trecho bastante reduzido quando comparado

com as curvas do concreto pretendido. Ainda referindo-se ao con­

creto armado, um dos pontos comuns'às curvas concreto + armadura

e só concreto é facilmente identificado: corresponde à deformação

limite que separa os domínios 3 e 4a indicados nas recomendações

do CEB/70, sendo independentes da percentagem de armadura ordiná­

ria, enquanto que o outro ponto depende da área da armadura exis­

tente.

No concreto pretendido estes pontos sao dificeis

de serem identificados, pois dependem de muitas variáveis.

57

IV - FADIGA

4.1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A fadiga não constitue sempre um critério de cálc~

lo determinante porque, habitualmente, as variações do carregame~

to são muito pequenas e pouco numerosas. Entretanto, quando as cargas

relativamente elevadas são repetidas muitas vezes (como em pontes

ferroviárias, pontes rolantes, etc.), não se deve deixar de fa­

zer uma verificação do estado limite Último de fadiga.

Nas peças de concreto protendido, sob a açao das

cargas de serviço que não provoquem a fissuração da mesma, pode­

se afirmar que há pouca ·:possibilidade de falha por fadiga nas ar

maduras de protensão, isto deve-se às pequenas variações de ten­

sões provocadas pelas cargas acidentais. Para cargas superiores

que originem fiss.uras, as variações de tensões assumem valores ele

vados que aumentam a probabilidade de se atingir o estado limite

Último citado anteriormente.

De modo que, as tensões para este tipo de verifica

çao devem ser calculadas, admitindo-se que o concreto não resiste

à tração, ou seja, utilizando-se as equaçoes constitutivas do con

ereto para o Estádio II .

O projeto para as recomendações do CEB(l976) apre­

senta um método de verificação para a fadiga onde, são estudados

individualmente o concreto e o aço sob a ação de cargas alterna-

das. Mostra o referido projeto que, para as tensões - . maximas

fadiga destes materiais são funções do número de ciclos (n) e das

tensões mínimas correspondentes a uma ação quase permanente.

58

4. 2 - RESIST~NCIA A FADIGA DO CONCRETO (CEB/76)

A determinação desta resistência deve ser feita

utilizando os diagramas de Wohler e Goodman (Fig. 4.1) e (Fig. 4.2)

respectivamente.

fln

flo

o

O"cmax 1 ~fad/fcck

A ----

1 ---- __ ,_ -- -~...___ 1

1

1

1

500 n. 2 X 106

n : NÚMERO DE CICLOS

.FIGURA 4.1 - DIAGRAMA DE WOHLER PARA O CONCRETO

/3

@n = '6 fad crmax/fcck

------ -D~--~~) -f-0,2 1

-~- -- -- -- /

/ /

·/ 1/ /;

/1 / 1

/ .

1

1

1

1

1

1

1

1

-1'.---------'-.,.,---FL-----1------ ~fad <rc mim/ fcc k

FIGURA 4.2 - DIAGRAMA DE GOODMAN PARA O CONCRETO

59

Nestes diagramas:

n representa o numero de ciclos. Segundo o projeto citado,

n deve ser maior que 500 pois, para valores menores não há

necessidade de verificar a fadiga do concreto:

é a relação entre y • (J fad max (para n = 2 x 10 6 e ten -

sao mínima nula) e a resistência característica a compres­

sao (fcck). A resistência característica a fadiga (yfad •

• o ) deve ser determinada experimentalmente. Entretan-max

to,na ausência de ensaios pode-se tomar o valor 0,6 fcck.

Designa-se ª por resistência relativa a fadiga. "o.

8n e a resistência relativa para n r 2 x 10 6 com tensão infe

rior igual a zero. e determinada pela equaçao da reta que

passa pelos pontos A e B da Figura 4.1.

1 - 8 8n = 8 + O ( 2 X 10 6

- n) O 2 X 10 6 - 1

'(4 .1)

F é o valor máximo da relação entre a ºcmin x Yfad e a resis

tência característica do concreto, determinada estaticamen-

te. (ver Figura 4.2).

F = e 4. z)

yfad e o coeficiente de minoração do concreto a fadiga igual a

yc (ver Cap. III, ítem 3.2.3.1).

a . corresponde a tensão mínima de comprensao produzida .por uma c mm

solicitação qualquer.

60

é a tensão máxima de compressao.

À representa a relação entre uma tensão mínima genérica multi

plicada pelo coeficiente de minoração ã fadiga e, a resis -

tência característica a compressão.

À = a . c m1n

fcck • Yfad (4. 2a)

13 resistência relativa a fadir.a do concreto. IÕ determinada

pela equação da reta que passa pelos pontos C e D do

diagrama de Goodmann

13 = 1 - (1 - 13) l.Z - À (4.3) n 1. 2

A tensão máxima de ruptura (compressão), para uma

tensão inferior qualquer e um número de ciclos fixado, é obtida

multiplicando-se a resistência relativa ã fadiga pela resistência

característica (fcck) dividida pelo coeficiente de minoração.

0 max = 13 •

A verificação do estado limite Último de

no concreto, consiste em comparar esta tensão máxima de

e 4. 4)

fadiga,

ruptura

com a tensão máxima originada pelas ações externas atuantes na se

çao.

4.3 - RESISTENCIA A FADIGA DAS ARMADURAS DE PROTENSÃO

A determinação da resistência a fadiga destas arma

duras e feita também, com a utilização do diagrama de Wolher e

61

Goodman referentes aos aços.

li un

~ ' B

li crn o

104 n 2 X 10

6 N

FIGURA 4.3 - DIAGRAMA DE WOLHER PARA O AÇO DE PROTENSAO

>f fad cr max

fuk ---------;r fyk

e /~ 1

-------- / D j

8 ,,Y /

1 1

1 1

1 / 1 1

1

1 1 , 1 1

,,( 1

1 1

/ 1

1 1

1

1 1 fi 1 1 r 1

1 / 1 1 1

1 1 llun / 1 1

, 1 1 1 1 l ~fad Cimim. 0,6 fylt E fyk fuk

FIGURA 4.4. - DIAGRAMA DE GOODMAN PARA O AÇO DE PROTENSAO

62

Nestes diagramas:

fyk e a tensão de escoamento dos aços;

variação característica à fadiga das tensoes, determinada

para um numero de ciclos igual a 2 10 6 tensão ~

X e minima

qualquer entre o e 0,6 f yk Na ausência de ensaios po-

de-se utilizar um dos valores dados abaixo:

a) 20000 tf/m 2 para armaduras de pro tensão com nervuras;

b) 25000 tf/m 2 para armaduras de pro tensão sem nervuras.

Yfad e o coeficiente de minoração a fadiga dos aços igual a 1,15

f uk representa a tensão de ruptura do aço utilizado

a max tensão máxima devida as solicitações

corresponde tensão ~ devida solicitações 0 min a minima as

No diagrama da Figura 4.3, obtem-se a variação a

fadiga das tensões (Ãon) para um numero de ciclos diferente

de 2 x 10 6 • Segundo o projeto do CEB, n deve ser maior que

10' , porque para valores menores, não há necessidade de verifi­

car a fadiga nas armaduras de protensão.

Analiticamente, encontra-se ÃOn por meio das equ~

çoes:

fyk - Ãêin = fyk - (n - 1 O') •

2 X 10 6 - 10"

10•

n > 2 X 10 6

< n < 2 X 10 6

e 4. 5)

e 4. 6)

63

O valor Yf d ( o - o - ) correspondente a uma a max min ten-

sao mínima qualquer, pode ser determinada no diagrama de Goodman

(ver Fig. 4.4), em função da variação.de tensão li (J n

obtida,

conforme o valor de n , por uma das equações (4.4) e (4.5)

0 max

Observando a Figura 4.4 pode-se escrever:

E < Y fad 0 min < fyk ( 4. 7)

flL~ - 0.6 fyk - /ion

fuk - 0.6 fyk

º· 6 fyk < Yfad 0 min < E ( 4. 8)

0 max = Yfad • 0 min + li 0 n O< Yfad 0 min < 0 · 6 fyk (4.9)

A verificação do estado limite Último de fadiga e

feita comparando-se resistência a fadiga, deduzida de uma das equa­

ções (4.7), (4.8) ou (4.9), com a tensão máxima, correspondente a

solicitação, multiplicada pelo coeficiente de minoração.

64

V - PROGRAMA AUTOMÁTICO

5.1 - INTRODUÇÃO

Utilizando toda a teoria mostrada nos capítulos a~

teriores, foi desenvolvido um programa automático, para verifica­

ções de seções com forma qualquer, em concreto protendido com po~

tensão e aderência posterior.

A lógica do mesmo foi esquematizada de forma a ser

possível qualquer verificação em diferentes idades da obra.

A partir da aplicação da força de protensão inicial

no primeiro elemento tensor a ser tracionado, até sua utilização

em serviço, uma peça em C.P. apresenta diversas fases durante a

sua exec~ção, bem como, diferentes planos de execução

de serem adotados no projeto da mesma.

possíveis

Durante a fase de cálculo, o projetista é levadd a

adotar, em função das dificuldades e do grande trabalho requerido

nesta fase, determinados planos que nem sempre conduzem a uma uti

lização econômica dos materiais e a uma maior segurança na estru­

tura.

A característica reolÓgica dos materiais faz com

que, na fase de utilização, à cada plano escolhido corresponda um

comportamento diferente, de modo que, analizando-se uma seção qual

quer da peça, em diversos planos e em um mesmo intervalo de tempo,

obtém-se diferentes coeficientes de segurança. E, faz também com

que, nas verificações efetuadas em diferentes idades seia necessa

rio o conhecimento da "história" da execuçao da obra desde ·o seu

início até a data em que se quer realizar a verificação.

Este programa, embora não seja completo, traz uma

65

ajuda no estudo destas opçoes e permite um conhecimento maior so­

bre a situação real das peças ao longo do tempo.

5.2 - PROGRAMA PRINCIPAL

Inicialmente é chamada a subrotina LEITU onde, sao

lidos todos os parâmetros constantes da seçao.

Em seguida, por meio da subrotina AREA sao calcu-

ladas as areas dos furos das bainhas e retiradas da área total,

antes porém, são obtidos esta Última área, o centro de gravidade

e o momento de inércia de seção (suposta constituida de um Único

material).

Com a finalidade de reduzir o numero de iterações da subro ~

tina PITER determinam-se para as deformações do primeiro ciclo itera tiva as

provenientes das forças de protensão iniciais. Estas deformações

sao calculadas pelas fórmulas da teoria linear, com intuito de cib

ter uma solução inicial próxima da solução final.

~ definido no programa um vetor (IORD) que armaze­

na as ordens de execução fornecidas como dados de entrada. Estas

ordens de execução de tarefas de processamento, são dadas através

de números inteiros que variam de 1 a 10, onde cada numero

associado a uma rotina, conforme é explicado a seguir.

a) Protensão_{IORD{Il_=_l

está

Ao ser dado o numero 1 a variavel IORD(I) o progr~

ma desvia-se para a rotina dita de protensão, onde são lidos os

numeras de armaduras a serem tracionadas em uma fase qualquer e

os seus respectivos números, os quais são fornecidos segundo a or

dem em que as mesmas serão.colocados em tração.

Para cada armadura é calculado o ·pré-alongamento

66

correspondente, considerando-se a força inicial como força aplic~

da a seçao e os esforços permanentes existentes na epoca. Em vir

tude do programa não calcular as perdas de protensão devido ao

atrito e a acomodação dos cones de ancoragem, a força inicial for

necida deve ser a existente na seção após estas perdas. Ela e

tratada como força externa apenas para o cálculo do pré-alongame~

to porque, depois que este é determinado o programa utiliza-oco­

mo deformação imposta à armadura (ver Cap. II).

Aqui são lidos o numero de armaduras onde serao· efe

tuadas as injeções de argamassa na fase considerada e os seus res

pectivos numeras.

Através da subrotina AREA, sao calculadas as áreas

dos furos das bainhas destas armaduras e adicionadas à area de

concreto.

c) Aumento_das_Solicitações_Permanentes_{IORD{Il_=_3l

Durante as diversas fases de execução da obra, as

solicitações decorrentes das cargas permanentes variam a medida

que estas fases vão ocorrendo.

As variações dos esforços permanentes sao lidas e

adicionadas aos esforços existentes (o programa inicia com esfor­

ços nulos), quando é dado o comando acima.

d) Verificação_a_Ru2tura_A2enas_com_S0licitações_Decorrentes ___ de

Carregamentos_Permanentes_{IORD{Il_=_4l

A verificação do estado limite Último e feita con­

siderando-se a teoria mostrada no Capítulo 4 .

67

e) Y~!!! !~ê:'..~Q-ª§;S _ Ten~ões _com_ Sol ic i taç:õ es _Permanentes_ (IORDJ)) =SJ

Calcula simultaneamente as tensões no concreto e

nas armaduras, utilizando os diagramas do concreto no Estadia I

Estadia II e Estadia I com plasticidade à tração.

f) Verificaç:ão ___ RuEtura_com_Solicitaç:ões_Permanentes_e_Variáveis

.!JQE~ .C !l _: _22

O momento fletor e a força normal variáveis sao li

dos e adicionados aos esforços permanentes.

g) Verificaç:ão_das_Tensões_com_Solicitaç:ões_Permanentes_e __ Variá-

Y~!~_.(!QE~.(!l_:_Zl

Idem ao item e),lendo antes,as solicitações variá­

veis e adicionando-as às permanentes.

h) Verificaç:ão_a_Fadiga_e_do_Estado_Limite __ Ültimo __ de ___ RuEtura

.C!QE~.C!l_:_ªl

E feita simultaneamente a verificação a fadiga e

a ruptura das combinações máximas e mínimas das solicitações per­

manentes e variáveis.

A primeira verificação (fadiga) e realizada com a

teoria mostrada no Capítulo 4 .

Esta verificação, no concreto, foi limitado a ape­

nas dois pontos da seção: os bordos superior e inferior. Quando a

tensão em um destes pontos e positiva (tração), ela é substituida

por uma tensão nula. Isto pode ser justificada pelo fato de que,

estando a seção fissurada_, os efeitos da fadiga só serão

quando a fibra voltar a ser novamente comprimida.

sentidos

68

i) Coeficientes_de_Perda_de_Protensio_{I0RD{Il_=_9l

As perdas de protensio decorrentes dos efeitos de

fluência, retraçio e relaxaçio do aço devem ser calculadas separ~

damente e fornecidos como percentagens do pré-alongamento.

Para as verificações em idades diferentes as per -

centagens das perdas ocorridas até esta idade devem ser referidas

aos pré-alongamentos existentes na idade considerada.

j) Fim_de_Execu~io_{I0RD{Il_=_l0l

Quando a variável IORD(I) toma o valor 10 é exe

cutada a operaçio de término do programa. De forma que, este co­

mando é obrigatório sempre que o programa for utilizado.

Se ao término da execuçao de 40 comandos o progra-

ma nao foi desviado para o item j) , e lido novamente, outro

cartio contendo no máximo 40 comandos. f

até que se ordene o fim da execuçio.

assim sucessivamente

f de se notar que todos os esforços solicitantes

de cargas permanentes, devam ser dados com seus valores caracte -

rísticos (ou nominais). O programa multiplicará os esforços per­

manentes por coeficientes de majoraçio de cargas internamente no

cálculo dos estados limites Últimos.

Internamente os esforços de protensio nao serao mul

tiplicados por nenhum coeficiente de segurança no cálculo do esta

do limite Último de ruptura.

Os esforços variáveis para as verificações em ser­

viço deveria ser dados com seus valores característicos (ou nomi­

nais). Entretando, para as verificações no estado limite Último

de ruptura eles devem ser dados com seus valores de cálculo.

69

DIAGRAMA SIMPLIFICADO DO PROGRAMA PRINCIPAL

~ CALL LEITU

LEITURA E DEFINIÇÃO DOS PARÃMETROS CONSTANTES

l CARACTER!STICAS GEOMeTRICAS DA

SEÇÃO, CÁLCULO DAS

DEFORMAÇÕES INICIAIS PARA A 1

SUBROTINA PITER 1

l r CALL AREA

lDIMINUIR DA SEÇÃO TOTAL os FUROS DAS BAINHAS

r@ 1 LEITURA DOS COMANDOS DE EXECUÇÃO

1 IORD(KK) , KK = 1,40

1 I = 1,40

1 GO TO ( a. , S , y , 6 , T , À , p , µ , l/J , F;) I ORD ( I )

--------------------------------------------------------------

B

e

À

µ

-<-

IORD(I)

= 4

= 6

= 8

= 10

= 2 IORD(I)

= 3

= 5

= 7

= 9

= 1 a.

y

T

p

l/J

1 1 1 -----------------------·----------------------------------------

70

@ PROTEN§ÃO EM UMA ETAPA QUALQUER

t LEITURA DE NC E NNC(I) , I = l,NC

CÁLCULO DO PRE-ALONGAMENTO

1 Q)

®

l INJECÃO DAS ARMADURAS ANTERIOR­MENTE PROTENDIDAS

1 LEITURA DE NC E NNC(I) , I = 1 , NC 1

1 CALL AREA

FECHAR OS FUROS DAS

BAINHAS DAS .ARMADURAS

INDICADAS POR NNC

1 Q)

(j) AUMEN1D DOS ESFORÇOS PERMANENTES

l LEITURA DE ]lv[, E DNL

1 DM -<-- Jlvl + ]lv[,

IN -<-- DN + DNL

t Q)

@

l VERIFICAÇÃO A RUPTURA SÕ COM CARGAS PERMANENTES

I CALL PTER (WJ , DN)

1

71

VERIFICAÇÃO DE TENSÕES PARA ESFOR -ÇOS PERMANENTES

CALL PITER (ESTÁDIO II)

CALL PITER (ESTÁDIO I)

VERIFICAÇÃO A RUPTURA PARA ESFOR­ÇOS PERMANENTES E VARIÁVEIS

1 LER ESFORÇOS VARIÁVEIS 1

l Th\11, = DM + MON. VARIÁVEL

DNL = DN + ESF. NORMAL VARIÁVEL

l CALL PTER (DML , DNL)

1 G)

@

t VERIFICAÇÃO DE TENSÕES CDM ESFOR -ÇOS PERMANENTES E VARIÁVEIS

LER ESFORÇOS VARIÁVEIS

l 1 DML = IM + MJN. VARIÁVEL

1 DNL = DN + ESF. NORt\lAL VARIÁVEL

. l . CALL PITER (ESTÃDIO II)

CALL PITER (ESTÁDIO I)

l G)

72

@ VERIFICAÇÃO A FADIGA E RUPTURA

l LER ESFORÇOS VARIÁVEIS PARA

O CARREGAMENTO 1 a)

l DML=IM+MJN. VARIÁVEL

DNL = DN + ESF. NORMAL VARI~VEL

l 1

CALL PTER e~

CALL PITER (ESTÁDIO II)

CÁLCULO DAS TENSÕES EM CADA ARMADURA DE

1

PROTENSÃO E NO CONCRETO d)

REPETIR DE a) AT.tl d)

PARA O CARREGAMENTO 2

VERIFICAÇÃO A FADIGA EM CADA

ARMADURA DE PROTENSÃO JÁ TRACIONADA

VERIFICAÇÃO A FADIGA DO CONCRETO 1

)E-

@

l COEFICIENTES DE PERDAS DE PROTEN­SÃO

LEITURA DOS COEFICIENTES

I REDUÇÃO DO PRli-ALONGAMENTO SÕ DAS

ARMADURAS JÁ TRACIONADAS

lJ--~

< o

73

(Q FÍJTl de execuçao

l CALL EXIT

5.3 - SUBROTINAS UTILIZADAS

5.3.1 - Subrotina LEITU

Nesta subrotina sao lidos todos os parâmetros ne­

cessários as verificações.

Com a finalidade de reduzir o numero de cartões uti

lizados para definir as larguras de cada faixa e das percentagens

de armaduras ordinárias, devide-se a seção em retangulos (Figura

5.1) compostos de faixas sucessivas iguais, devendo ser fornecido

o número de retângulos e para cada um deles, o número de faixas e a

re spec tiva largura. Igualmente ê feito para as percentagens . de ª!.

madura· ordinária, fornecendo-se o número de percentagens diferentes, bem

como para cada cada percentagem o número de faixas sucessivas que à con­

tem e o seu respectivo valor.

Por exemplo, na seçao mostrada na Figura 5.1, o nu

mero de retângulos ê igual a 3 e o número de percentagens igual a

4.

bl

b3

.

FIGURA 5.1

' o segundo

74

b,, 1

1 w,

w2

---2- f---- ._ b 2-: ~ - Ws --f--

f--

3

b 3 J.

a) b)

SEÇÃO TRANSVERSAL DIVIDIDA EM RETÂNGULOS E EM PERCENTAGENS DE ARMADURAS IGUAIS

o primeiro retangulo tem nl faixas com largura

nz com bz e o terceiro n3 faixas e largura

(ver fig. 5.la) A soma nl + nz + n3 deve ser igual a 100,

que corresponde ao numero de faixas fixadas no programa.

Em relação as armaduras (Fig. 5 .1 b) tem-se m1 fai

xas com percentagem w1 , m2 com com e o Último

m4 com w4 , também a soma m1 + m2 + m3 + m4 deve ser igual a

100

São definidas ainda,a altura da seçao, as resistên

cias caracteristicas do materiais, o m6dulo de .elasticidade das

armaduras de protensão, o número total de elementos tensores com

as respectivas áreas transversais, forças iniciais, diâmetro das

75

bainhas e excentricidades das armaduras.

Para as verificações a fadiga devem ser dados o nu

mero de ciclos, a variação admissível de tensões (n = 2 x 10 6 e

ºmin < O. 6 f ) nas armaduras de protensão e a resistência - yk

relativa do concreto. Todos os demais dados necessários e nao ci

tados aqui, estão indicados no manual de entrada de dados.

5.3.2 - Subrotina AREA

Esta subrotina retira ou adiciona a areados fu­

ros das bainhas, calculando uma largura equivalente para o tre­

do da bainha contido na faixa i .

y

+.._ __ ..... I FAIXA

FIGURA 5.2

D - diâmetro da bainha

(5.1)

b. = b. - (- l)IN l l

A. ; X 100 e 5. 2)

5.3.3 - Subrotina AÇO

IN = O

IN = 1

76

retira A. l

adiciona Ai

Por meio desta, obtem-se as tensões nas armaduras

ordinárias e da protensão em função da respectiva deformação.

A natureza das armaduras ordinárias são diferença­

das pela variável TIPOA.

TIPOA = 1 - aço natural

TIPOA = 2 - aço deformado a frio

O tipo previsto de armadura de protensão estão

limitadas ao aço deformado a frio.

As tensões neste tipo de aço sao determinadas em

função da deformação, utilizando o método iterativo de

Raphson, com uma aproximação igual a

5.3.4 - Subrotina ESF

Newton-

Calcula as contribuições das armaduras e do concre

to. Os diagramas do concreto são identificados, segundo o

de verificação por duas variáveis.

IND = O e INDl = 1

IND = O e INDl = O

IND = 1 e INDl = O

ESTÁDIO III (Ruptura)

ESTÁDIO II

ESTÁDIO I

IND = 1 e INDl = 1 - ESTÁDIO I com plasticidade a tração

tipo

77

Nos diagramas identificados por IND = O , que nao

consideram tensões de tração foi introduzida uma modificação: qlJa!!

do as deformações são maiores que zero, as tensões corresponden­

tes assumem o valor

= 500 X

A finalidade desta modificação é evitar que duran­

te o processo iterativo, dois ciclos sucessivos em que só há defor

mações de tração no concreto, originem contribuições do mesmo nu­

las, fazendo com que, a convergência seja muito demorada ou em al

guns casos, a mesma nao se dê.

Os erros introduzidos nao resultaram em valores que

alterassem o resultado final, já que os máximos erros

dos foram percentualmente da ordem de 1% .

5.3.5 - Subrotina PITER

observa-

~ utilizada para as verificações na fase de servi­

ço e emprega o método iterativo descrito no Capítulo III. O in-

cremento das variáveis /:, E. 1n foi tornado igual a

0,025 %o e as deformações iniciais sao as citadas anteriormente:

A precisão admitida para os esforços

calculados no programa é igual a

-3 1 -3 10 1 esforço + 10

resultantes

Estes dados mostraram-se suficientemente aceitá-

veis, com a convergência ocorrendo sempre com 3 ou 4 ciclos. No

estádio I sem plasticidade obteve-se, na maioria dos exemplos, a

78

solução final com apenas uma iteração.

5.3.6 - Subrotina PTER

Esta subrotina determina o coeficiente de seguran­

ça para os esforços solicitantes, obtendo os esforços internos que

tem o mesmo ângulo <fo das solicitações.

Emprega a formulação teórica do Capítulo IV. Con-

forme vimos neste Capítulo, para que o processo iterativo seja

aplicado é necessário o conhecimento da abcissa ªd. Entretanto,

em um programa automático não é possível determinar com absoluta

certeza um ponto qualquer, porque, devido as aproximações este se~

pre está afetado de um erro de precisão. Assim, determinou=se um

pequeno subintervalo do domínio de a, tal que a. < ªd < a. 1 · l 1+

Conhecido este subintervalo aplicamos o processo

iterativo simultaneamente as duas funções <r' (a) e q,"(a) , onde

a variável a na segunda função é substituída por uma outra va­

riável (8) semelhante a ela.

q,' (a) e 'i'" (8) sao internamente definidas em fun

çao do sub intervalo da seguinte forma:

e

t'Ca) =tj>(a) a< a. l

q,' (a) = <p(a) a > a- e e l

q! (a) = q,(a) + 2JI a> a. l

c;,"(8) = <p(8) - ZTI

'/ó"(8) = f(8) - 2ll

q,"(8) = (p (8)

8 > a-1

e

e

8 < a. l

e

{ rad) IP' ,p"

79

-----------21T

TI

,i>'(O()

1 ,i>"(el

-0-+---------------;:;;~~;;--;-----;3~eo;;-;0;--~oe(grau)

8{grau)

e seu valor

FIGURA 5.3

O incremento finito de a

inicial determinado por ~ TO

e 8

180 X-]]-

e igual a o.osº,

Antes de iniciar o processo iterativo, sao defini­

dos os valores de o1 e o (Fig. 3.4), que determinam os níveis

da seção em que se pode permitir uma deformação de tração no con­

creto igual a 10 %o •

Em geral.toma-se estes níveis coincidindo com o

centro de gravidade das armaduras superior e inferior mais afasta

das do eixo XX, entretanto, nem sempre se tem armaduras na zona

de compressão. E, como não ê fixado em normas e regulamentos qual

deve ser o nível adotado, deixamos a critério do usuário definir

os mesmos. Quando o 1 e o não são fornecidos como dados de entra

da, o programa define-os da seguinte maneira:

80

a) Se há armaduras de protensão acima e abaixo do eixo XX, os ní­

veis adotados coincidem com o centro de gravidade das armadu­

ras mais afastadas do referido eixo.

b) Quando só há armaduras de protensão em uma das regiões (separ~

das na seçao pelo eixo XX) o nível referente a região que tem

armadura coincide com centro de gravidade da armadura mais afa~

tada do eixo XX e, o da região que nao contem armadura é defi-

nido na extremidade da seção. eº ou º 1 = 1 i

c) Se não há armadura de protensão (concreto armado) ou, as mes­

mas são centradas, os níveis são definidos nas extremidades da

seçao ( 8 = 8 = 1) 1

5.3.7 - Subrotina DELTA

Define o intervalo (ai , ªi+l) variandd a com

incrementos de 3,6° , desde oº até um valor que produza um ang~

lo ~ menor ou igual a '<'i+l menos 4 rad(Fig. 5.3), ou seja

"' - rn > 4 rad ri Ti+l

Os valores 3.6° e 4 rad foram obtidos, analisand~

se alguns gráficos ~ - a com a finalidade de encontrar os valo

res que melhor se adaptassem ao problema.

5.3.8 - Subrotina ALF

Por meio desta subrotina sao conhecidas as deforma

çoes e E-1n para um valor genérico das variáveis a ou e.

5.3.9 - Função ARC

Esta função determina o ângulo

çao qualquer de MR e NR

para uma combina

Este ângulo e medido no sentido anti-horário a PªE

tir do semi-eixo positivo da força normal.

81

5.3.10 - Subrotina TENT

Esta subrotina determina os valores de a que co!

respondem as duas posições do plano de deformação cujos esforços

Últimos tem o mesmo ângulo ~o das solicitações.

Ela ê chamada pela subrotina PTER quando a função

tp (a) e contínua; os valores de 'fmax e 'i'min são fornecidos co

mo parâmetros de entrada sendo determinados pela subrotina DELTA.

5.3.11 - Subrotina DDIS

Quando a função q,(a) apresenta dois pontos de

discontinuidade, esta subrotina ê chamada pela subrotina PTER e

determina os dois valores de a que tem o mesmo ângulo (i,0

das

solicitações, isto ê, as duas posições do plano de deformação que

originam esforços Últimos, tais que q; (a) ;; 'fo , imprimindo os

respectivos coeficientes de segurança.

Para valores de rn fora dos intervalos (O ,,, ) • ' •min

e (~max, Zn) , ê impressa uma mensagem de que a seção atinge o

estado limite Último de ruptura e não tem sentido o cálculo do

coeficiente de segurança, após isto retorna a execução ao progra­

ma principal.

NÚMERO DE CARTÕES

1

1

NPIC

NPIA

82

MANUAL DE ENTRADA DE DADOS

VARIÁVEIS

- Número de retângulos da seçao

faixas sucessivas iguais

com

- Número de percentagens diferentes de

armadura ordinária.

FORMATO

H - Altura da seçao 2IS.;ZF10.0.

EA - Módulo de elasticidade da armadura

NAP

IMPRE

FCCK

FCTK

TIPOA

. '" de protensao

- Número de armaduras de protensão

- indica a impressão ou nao, das ten-

soes nas armaduras ordinárias e de

pro tensão

= O nao imprime

= 1 imprime

- Resistência característica do con­

creto a compressao

- Resistência característica do con­

creto a tração

- Indica a natureza do aço para as ar -maduras ordinárias

- TIPOA = 1 - aço natural - TIPOA = 2 - aço deformado a frio

FYO - Resistência característica da arma-

dura ordinária

FYP - Resistência característica das arma

duras de protensão

- Coeficiente de segurança do concre­

to

GM - Coeficiente de segurança para car-gas permanentes

ZIS

ZFlO.O, IS,4Fl0.0

83

NÚMERO DE VARIÁVEIS FORMATO CARTÕES

1 DSIGl - Variação de tensão característica a fadiga para as armaduras de pretensão.

REP - Número de ciclo

BO - P.esistência relativa a fadiga do concreto para REP = 2 X 10 6 tensão

~

e mJ.nima

nula 4Fl0.0

FUK - Tensão de ruptura das armaduras de

pro tensão

NPIC IND - Número de retângulos iguais em cada

figura IS,FlO.O

B (I) - Largura dos retângulos da Figura I

NPIA IND - Número de faixas sucessivas com a

mesma percentagem (Wi) IS,FlO.O

W(I) - Percentagem de armadura ordinária

1 DEL - Define o nivel inferior da seçao em

que admite-se o alongamento de tra-

çao igual a 1 O 0/oo . ZFl0.3,

DELI Idem para o nível superior IS -KK o indica ~ defi - = '

que os nJ.veis sao -nidos internamente

= 1' DELI e DEL sao fornecidos como

dados de entrada

1 IORD(I) - Armazena as ordens de execuçao 40I2

IORD (I) = 1

1 NC - Número de armaduras pro tendidas em IS uma fase qualquer

84

NÚMERO DE VARIÁVEIS FORMATO CARTOES

1 ou mais NNC(I) - Número das armaduras de pro tensão 20I 3 cartões.

IORD(I) = 2

1 NC - Número de armaduras que serao aderi-IS

das ao concreto nesta fase

1 ou mais NNC (I) - Número das armaduras injetadas nesta cartões fase

20I3

IORD(I) = 3

1 DML - Aumento do momento fletor permanente 2Fl0.0

DNL - Aumento da força normal permanente

IORD(I) = 6 e IORD(I) =· 7 *

1 DML - Momento fletor devido as solicita -2Fl0. O . -çoes variaveis

- ---~---·- DNL·---~-Poi~a ri6i~a1·aiiia6·~~-~6Ii~iii~õ~s- ---~----·-

. -varia veis

IORD(I) = 8

1 DMl - Momento fletor devido as açoes va -riáveis para o 19 carregamento

DNl - Força normal para o 1º carregamento 4Fl0.0

DM2 - Momento fletor par.a o 2º carregame!!c to

DN2 - Força normal para o 2º carregamento

IORD(I) = 9

1 ou mais COF(I) - Coeficiente de perda de pro tensão da 16F5.0 cartões armadura

* Para IORD(I) 6 as solicitações sao de cálculo Para IORD(I) = 7 as solicitações sao características ou nominais

85

VI - CONCLUSÕES E SUGESTÕES

Utilizando-se as equaçoes básicas da Teoria das Es

truturas e com o auxílio de métodos iterativos, conseguiu-se de­

terminar os esforços no concreto e nas armaduras de pretensão e

ordinária e verificar a segurança de uma seção com forma qualquer

e simétrica em relação ao plano de flexão, sem recorrer a fórmu­

las nos Estádios I, II e III com uma mesma lógica de programação.

Para um melhor conhecimento do comportamento real

das peças em concreto pretendido deve-se descontar os furos das

bainhas, nas verificações realizadas nas fases em que só atuem na

seçao o peso próprio e a pretensão, quando os dutos de pretensão

não foram ainda preenchidos pela argamassa de injeção.

Mostrou-se que as verificações a fadiga podem ser

feitas desprezando-se as tensões de tração no concreto, ou

no Estádio II,. sem grandes dificuldades.

seja

Para desenvolvimentos futuros, sugere-se as segui~

tes estudos:

a) Considerar os efeitos dos fenômenos reolÓgicos do concreto nas

diferentes verificações.

b) Preparar um programa mais geral, de modo a poder analisar se­

ções compostas de concreto com diferentes idades.

c) Estudar a influência da relaxação do aço conjuntamente com os

fenômenos reolÓgicos do concreto.

86

APílNDICE I

SEÇÃO T COM QUATRO ELEMENTOS TENSORES

1,20

4--

:1 0,15 1

1

1 0,59

C.G 1 -r-+ -r-1,35 1

1 0,70

1

1

~ n,os 0,05 0,05

HISTÕRICO DA SEÇÃO

1 - Esforços permanentes iniciais

e Ms ; 60 , o tfm

2 - Protensão dos elementos tensores 1 e 2

3 - Coeficientes de perdas de protensão; 0,96

4 - Aumento dos esforços permanentes

Ns; 5,0 tf Ms ; 80,0 tfm

5 - Verificação de tensões

6 - Protensão dos elementos 3 e 4

7 - Injeção de argamassa em todos os elementos

87

8 - Coeficientes de perdas de protensão

9 - Verificação de

10- Verificação do

elementos 1 e 2 = 0,95

elementos 3 e 4 = 0,94

tensões

estado 1 imite Último de ruptura

11- Verificação do estado limite Último de fadiga e ruptura para

as seguintes combinações de

10,0 tf

b) Ns = - 10,0 tf

solicitações

e

e

Ms = 160,00 tfm

O, O tfm

No Quadro 2 estão indicadas as tensões calculadas

no Estidio I sem plasticidade, pelas f6rmulas da teoria linear e

pelo programa, para os esforços Ns = - 10 tf e M = 220,0 ;tfm s

TEORIA LINEAR PROGRAMA o +o +o TENSAO g D q

o ºg ºq o +o +o 0 g+oo+ 0 a ºg+p+q p p g q

SUPERIOR 375,91 - 639,53 - 393,62 - 657,24 - 652,14 1,0078

INFERIOR - 1343, 43 945,05 5 08, 09 109, 71 86,32 1,2710

p, g e q referem-se respectivamente, à solicitação de proten­

sao, permanente e variiveis.

88

tj 1, 20

-t 0,15

1 0,5942

Li-_J Mult 0,85

+- -e-i 0,504-

400

soo 60°

160° Oº

200 Nult

- 100

- 200

300° - soo

FIGURAI - CURVA DE INTERAÇÃO DE UMA SEÇÃO "T" COM UM ÚNICO NÍVEL DE

ARMADURA

89

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2 - LEONHARDT, F. - "Hormigon Pretensado" - Madrid, 1971

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Janeiro, 1974

Rio de

91

SLJBROLITINE LEITU(DSIG ,REP,BN,FUK,FURO,NNC,KK,DEL,DELI) C*****************A***t~t**************************************** ·Jr~*A·*** C SllHRUTINA PARA LEITURA DOS DADOS INICIAIS e************ j * * * * * ·*· * * * * * * * * • * * * * * *· * * * * * * * * * ** * * * * ** * * * * * * * * * * * * * *-******

COMMON R(lOll),W(100),fX(~O),AS(SOl,PR0(50l,EO,tA,NNI (50),GC ,T(1UO)

CÜMMUN Fc,H,VS,NAp,GA,lMpRE, DEF05,DEF01,FCCK,fcTK,fYO,fYp ,TIPOA

COMMON PRE(SO),GM INTFGER TIPOA DIMFNSION f!JRO(l J,NNC(ll WR!Tt(5,9000)

9000 FORMAT('l',l//////,25X,76('*'J,l,25X, '•',74X, '*',l,25X,'• CUOROE

INACAO DOS PROGRAMAS DE POS GRADUACAO fM tNGENIIARTA - C O P P E *

2 CIVIL

3-

',!,?'>X, '•',74X, '•',/,2':iX, '*',19X, 1 PROGRAM.A. DE FNGF.NHARIA

E S T R U TU R r, S 1 , 1 4 X , • • • , /, 2 5 X , • * • , 7 4 X, • * • , / , 2 5 X, • • TFSE Df '!E:STRAD

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12~ DA=Ds-cns-D1l•Cr-.S)/JOO. CALL ACO(TIPUA,EO,GA,DA,Tlll,FYOI

1 CO>JTINUE WRITECS,5545)1!,T(ll,l+l,TCI+ll,It2,T(I+21,I+3,T(lt31,1=1,1

UP,IJ) 3545 FORMAT(l(!OX,4(]5,SX, '•',F13.5,2X,'** 'Ili

•'RlTf: (5, 3342) 33U2 FORMAT(//,2nX, 'T[NSOES E OfFORMACO[S NAS ARMADURAS DE PROTE

'iSAO',/ 1/,lllX,'ARMADURA • TF.NSAO * DF.FORMACAO',l

DO 5 T=t ,NAP I F ( N t, 1 ( l ) l 3 , 3 , l 3 3

1,5 DA=pRíl(l)+DS-(VS+EX(Ill•CoS-D[)/H+PRE(I) CALL AC0(2,fA,GA,DA,EX1,~YP) ,; RI TE ( 5, 5 5 4 1 l l , f X 1 , D A

33Ul FORMAT(IUX,15,SX, '*',Fll.2,2X,'*',E12.5J 3 CONTINUE 2 CWJTINUf. lll'i "ETURN

END SUBROUTIN~ DELTACRETA!,BETA2,BtTA3,DlTAG,BETAS,RETAb,BfTA7,

BETA8,D IEL,DELl,ALFA!,K,EXEX,FMI,fMA,ALfA?J

******* C SUBROTINA QUE CALCULA O PONTO DE DESCONTINUIDADE DO DIAGRAMA ALF4CilU C TETA)•BETA C***************~****************~*********************•*********

COMMON R(lOU),~(lOO),EX(SOl,AS(SU),PRO(SUl,EO,EA,NNl(SOl,GC ,T(JIJII)

,TrPOA C0MM0N EC,H,VS,NAp,GA,IMPRE, DEfOS,DEFOl,FCCK,fCTK,FYD,fYP

COMMON PRECSOJ,GM I'ITEGER TI POA. DT'1ENS10N A(~) P0:0.001•CFXEX+1 .J CALL ESF(n,1,10,111,cN,CM,CNA,CMA,CNP,CMP,CNC,CMC) E X 1 =ARC (CM, e:·,)

FMA=EX1 PI l :f X 1

A 1 =O, A2=0.,

K=I DO 2 1=1,,60 ALFA:I

101

CALI. ALF(RtTAI ,Bf.TA2,RETA3,RFTAG,BtTA5,BtTA6,B[TA7,BE.TA8,AL FA,l)EL,

lDELl,H,!lS,D!l CALL ESF(0,1,DS,Dl,CN,CM,CNA,CMA,CNP,CMP,CNC,CMC) f.X2:ARC (CM, CN) DIF:A8S(EX!-tX2) l F ( F '1 A -E X? ) 1 O ':i , 1 O 6, 1 O 6

105 FMA=EX2 Al=ALFA G(l TO 108

1U6 IF(FMI-FX2)J08,IU7,107 107 FMI=EX2

A2=ALFA lo/1 IF(DIF-U.)2.100,100 100 K=K+l

AIK)=ALFA ? E.Xl=EX2

IF(K-2)101 1 lU2,103 lU? ALFAt=A(2J-I

f,ETllRl,I 103 ALFA!=AC21-t.

ALFA2=A(3)-l. Rf TIIR!IJ

101 DO I I=l,?ú ALFA=Al+.n~•I•c-11••1 CALL ALF(BfTA\,RETA2,BETA3,BETAa,eETA5,BtTAb,8ETA7,RtTA8,AL

f-A,DEL, 1 DEL1,rl,DS,D1)

CALL c'SF(0, 1,DS,DJ ,CN,CM,ci.A,UIA,CNP,CMP,CrJC,CMCl E X 1 : A. ll C ( C t1 , C N ) lF(FMA-fX1)2UU,205,205

?OU f'1A=EXI GOTO 1

?05 ALFA:A2+.0S•l•C-!)•*I CALL ALF(R[TA!,BfTA?,BETA3,ílETAG,RtTA5,B[TA6,BFTA7,BfTA8,AL

FA,OEL, l DEL!,H,DS,Oll

CALL FSF(0,1,DS,Dl,CN,CM,CNA,[MA,CNP,CMP,CNC,CMC) EXl:ARCCCM,CN) I•(FMI-EXl)l,l,?U6

206 Pll=EX! 1 CO'HlNUE

RFTURN u,10 SUBROUT!NE DD!S(DM,DN,ALFA\,ALFA?,Dl,B2,íl3,BG,íl~,B6,R7,B8,D

EL,DEL! 1 )

CONMON B(lOO),W(IOO),EX(50),AS(SO),PR0(5U),EO,tA,NNI (501,GC ,[(100)

,TIPOA COMMON EC,H,VS,NAP,GA,IMPRE, DEfDS,DfFOI,FCCK,FCTK,FYO,FYP

COMMON PRE(SO),GM PJTFGER TIPOA lll~trJSION CSM(2),A(?)

EXEX=ARC(DM,DN) PO=O.OO!•([XEX+l.) IF(D~)lil0,!00,!111

100 wRITE(<;,1000)

102

10 110 FORMAT(//,2UX, 'A SECAO RUMPf E NAO TlM SENTIDO CALCULAR O C URf-TCTf::

INTE Df StGURANCA',//) RfTURN

\OI IF(DMl!02,I02,l08 liJ2 LL=I

Al.FA=Al.f-A l LM=l

\03 ALFA=ALFA-1/LL*l•!l••LM CALL ALF(81,82,R1,8Q,8S,B6,R7,BA,Alf-A,OEL,DEL1,H,DS,DI) CALL ES~(0,1,DS,DI,CN,CM,CNA,l:MA,CNP,CMP,CNC,CMC) [Xl=ARC(CM,CNl TOL=AAS(EX!-EXEX) I F ( TO 1 .. • P D ) l O 4, l O 4, l O 5

lO'i IF(EX1-EXEX)l06.106,l0.5 106 ALFA=ALFA+! ILL* (•I) ••I.M

LL=LL.+1 GOTO 105

104 CS~(LM):SART(CM*•2+CN••2) A ( L M ) = A L r· A LM=LM+I IF(LM-2)107,107,119

IU7 LL=I Alr A=ALFA?.+ 1. GO TO !fl.3

ltlll CALL ESf (0,\,10,llJ,CN,CM,CNA,CMA,CNP,CMP,CNC,CMC) ALFA2:ALFA2+1 rF<rx1-rxEx1109,109,110

Joq L=II GOTO 111

110 L=l 1 1 1 u. = !

L"= 1 AI.F A=O.

11? ALFA=ALFA-t;LL*C-1,)**l.M l F ( A U A -A L F .A 1 ) 1 2 IJ , 1 ? ! , 121

121 IF[ALFA-ALFA2J112,120,l?O 1?<1 CALL AL~ (8i,S2,BJ,84,R5,B6,B7,88,ALFA,DEL,Dtl1,H,DS,Dl)

CALL ESF(ll,1,DS,DJ,CN,C"l,CNA,CMA,CNP,CMf>,CNC,CMC) EX!=ARCCC'~,CN) TOL:ABSCEX!-tXEX) I F ( T íl l. -P D l 1 ? 2, 1 2 2 , 1 1 5

113 IF(FX\-FXEX)IIO,llG,11~ I\~ K=v

GO TO ! \ 7 115 K=l 117 !F(L-KJ1 lb,I 12,116 1 lb ALFA=ALFAt!/LL*(•l)**LM

U.=L.l+ 1 K=L

103

GOTO 112 122 IF(LM-2)118,119,119 118 CS~CLMJ:SQRT(CM••2+CN**2)

A(LM)=ALFA Ll·i=l.M+ 1 LL: 1 ALFA=360, GOTO 112

119 EXl=SílRT(OM••?tDN••?J JF(CSM(ll•CSM(2)1123,124,124

123 c=EX!ICSM(ll CSM(ll=C CM(zl=CS'1(;_,J/[Xl GOTO )?5

124 C:EXl/CS~ll?l CSM(2)=C cs~c11=cs~c1J1Ex1

125 DO? K=l,2 RRITt(5,lOO?)CSM(K)

10112 FORMAT(//,311X,63('•'l,;,3t)X, •• COE F l C l F N T f D E S E G U

1 R - N C A :•,[12.4,' *',/,30X,63C•••J) CALL. ALF(B1,B2,B3,B4,B5,B6,B7,B8,A(KJ,DEL,DEL1,H,DS,DIJ ~RJTE(5,IOOSJDS,D1

\0115 f'DR'1A.T(//,20X, 'D F F O R !-1 A C O f S D O C O N C R F. T O' ,11.22x

1, 'SUPERIOR =',[I0.4,3X, 'INFERIOR :',EI0,4,//) IF(IMPREll45,145,4000

aono wRITE(5,3344l 3 3 4 4 F (1 R ,'1 A T (/, 2 n X. 1 TE IJ s o 1: s tj As AR M /\ () u r, As o R DINAR IA s ' • 11 • 1 o X, li ( 1 N

, DO Rt IT. • TfNSAO •• ',),/)

DO 1 I=l,llill T(IJ:O, IF(W(J))l2b,i,126

126 DA=DS-IOS-DrJ•C[·.SJ/)OQ, CALL ACO(TIPOA,EO,GA,DA,T(l),FYO)

l Cfl'HlNUE ~RlT~C5,3343)CI,T(ll,T+l,TII+!l,I+2,T(I+2l,I+3,1Cl1>),I=l,l

Otl,4) 33Q5 FORMAT(1 (IUX,4([5,SX, '•',Fll,,,2X, '•• 'Jl)

,·IR I TE ( 5, 3 '14?.) 3342 fÜRMA1(//,2!1X, 'TENSOES E DEFORHACOES NAS ARMADURAS DE pROTE

:"iSAU', I 1/,lO,:,'ARMAf1URA • TENSA() * DEFORMACAO',J DO, T=l,NAp IF(NN!(T)J3,3,113

115 UA=pRD(Il+DS-(VS+EXCIJJ•IDS·OTl/11+pREII) CALL ACOC?,F.A,GA,DA,EXl,FYP) ,rn I TE ( 5, 3 341 l J, F X 1, DA

13QI FORMAT(\OX,15,~X, '•',Fll,2,2X, '*',[12.SJ 3 CO•;T!NtJF 2 CONT!NUF. 1 ~':i RfTllflN

104

E ND SUBROl'TINE PTER(Dfs,DN,DF.L,D~Ll,l<(K.1

C****************.**'*******'*******************j*****~*•******** ******* C SUbROTINA Qlll:. CALCULA POR IT[RACAO AS DEf-ORMACUtS NO fSTADO LIM ITF. C ULTIMO RE RUPTURA C*****************~***************************•*************~*~** ***j,***

CONMUN R(JOn),W(1001,F.X(SOl,AS(501,PRO(:,U),tO,tA,NNl (~01,GC ,TC100)

CO!MÜN t:C,H,1/S,NA.p,GA,IMPRI::., DEFlJS,DF.Fül,f-CCK,F-CTK,f-YU,f-YP ,TyPOA

l 11 ll J 113 2 ü IJ l

l 4?. ?.OOt)

COMMQN PRF.CSO),GH !NTF.GFR TIPOA GA=l.15 JJ:\ IF(DM) l1J2, 140,142 JF(D~)142, 14,, 142 ~RITE C:i,2001) FORMA T C //, ?llX ' t:SFORCOS F.XTERNOS NULOS',//) GO TO 145 rtf<J TE (:,,20Uil)D>1,DN FORMATCl,lüX,'VERirlCACAO A RUPTURA',/,ltJX,'tSf-ORCOS *** MO

•,1.=',Fl 10.4,?.X,'tSF. 'JORMAL =',Fl0,4,/)

EXEX:/q{CCOM,DN) PO=O.DUl•EXfX+0,001 IF(KK)50D0,~00U,87

5000 C:O,

A = O ' L=I M=l Dil t 1:1,NAP IF(NN!CI))l,1,81

RI IF(FX(])J90,90,91 <10 L=2

rr· (A-EX C I l J 1, 1, 82 H2 A=[X(I)

GO Tll 1 ql M=2

IF(EXCIJ-CJt,1,83 8, C=EXCI) 1 cor·n piuE

DEL=l. llfl.1=1, Gíl T0(8S,R41L

84 DELl:1.-cvs+AJ/H B5 GO TU(87,86JM 8ó OFL=(VS+C)/H

C *** CALCULO DOS ANGLIL.OS fH: TAS [M FUNCAO llA POS!CAO DAS .ARMADURA s

87 BETAl=ATAN(IO./CH•DELl) 8ETA4=ATANC~.~/Hl

105

BETAA:ATAN(\0,/(H•OfLIJ) BfTA2=ATAN(l3.S/(H*DELll•AfTA1 BETA3=ATAN(13.S/(H*OEL)J•BETA4 ElF f A':,:l,E T A4 ílETA6:ATAN(13.S/(H•DELll)·B~TA4 BETA 7: ATA N ( l 3 • S / ( '1 *DE L 1 ) ) • 8 ETA 8

C *** CALCULO DO PONTO DE DfSCONTINIODADE CALL DELTA(BfTAl,AETA?,BETA3,BETA4,BETA':,,BfTA6,HtTA7,BETAB,

DEL,DEL 11,ALFAl,K,EX[X,F~I,FMA,ALFA2)

IF(K-2)7':i,71,69 7':, CALL TENl(ílFTA1,BfTA2,BETA3,BETA4,BE1A5,BETA6,BETA7,BfTA8,D

.··l,l)N,D[

IL,DELl,r"Ml.FMAJ Rt.TURN

b9 CALI. DDIS(OM,DN,ALFAl,ALFA2,BETAl,EltlA2,B[TA3,BtTA4,BETA':i,B ETAb,BI:.

1TA7,BETA8,DFL,DELIJ RETURN

71 ALFA:fXEX*':,7,29S17951 TEJA:ALFA

C *** INICIO DU pROCESSO ITERATIVO 10n CALL ALF(BETA1,B[TA2,R[JAl,BEtAª,B[JA5,ílETA6,BETA7,BErAR,AL

FA,DEL, lOELl,H,DS,DII

C A 1. l. [ S F ( O , 1 , D S, D I , C N, CM, C NA , CM A, C N P, CMP, C N C , CM C J EXJ:ARC(CM,CN) ]F(ALfA-ALfA1)102,1U2,l111

101 IF(CM)[112,l112,l0~ 103 EX1:b.2A31ílS2+EXl 111? Dif:ARS(Extx-Fxl)

!F(DIF·POI 1?9, 129, 1117 107 CALL ALFIB[TA1,AfTA2,H[TAl,BETA4,8ElA5,BtTAb,HtTA7,8ETAR,T[

TA,OEL, 1DfL1,H,0S,DIJ

CALL ESF(O,!,OS,OJ,CN,CM,CNA,CMA,CNP,CHP,CNC,CMCI EX3=ARC(CM,CN) IF(TETA-ALFA1)104,104,10S

105 IF(CM)lil4,I06,l/lb 1ua EX3:EX3-6,2R3t853 !Oh DIF=A8SCEXEX•EX3J

IFIDIF·PDl!29,!29,108 10~ AlfA=ALFA+u.us

TfTA:T(TA+ü,ü'i JJ=JJ+! I F C J J • 1 n O J l 11 'J , 1 il 'J, 1 , O

13u WRITtl5,1ounl 1onu FORMAT(/,10(•••), •PIUMERO DE ITERACOES MAIOR DUE !Ou•,;)

GOTO 145 lú'l IFCALFA-360,) 111,111, t 10 1\11 ALFA:ALrA·360.

CO TU 109 111 JF(TETA-360,)1 l?, 112,113 113 TfTA:TfTA-360.

106

c;o TO 111 1 1 ? C A L. I. A L F (B [ TA 1 , 8 E T A? , 8 E TA 3 , 13 r· T A a , BE l AS , R E. T A 6 , H t. T A 7 , fl E TA 8 , TE

TA,DEt., 1DFLJ,H,DS,DIJ

C,\LI. FSf-(0, l,DS,DI,UJ,CM!,CNA,CMA,CNP,U!P,CNC,CMC) t:XIJ:ARC (CM] ,C'•) CALL ALF(HETA!,H[TA2,BETA3,HtTAIJ,8ETAS,13t.TA6,Ht.TA7,Ht.TAA,AL

FA,DEI., 1Df1 .. l,H,DS,DI)

CALL ESF(0,1,DS,DJ,CN,CM,CNA,CMA,CNP,CMP,CNC,CMCJ EX;>:ARC(CM,CN) JF(ALFA-ALfAl)llS,115,114

114 IF(CM)ll~,116, 116 116 EX2:EX2+6.28318S3 !IS If-(TtTA-ALFAl)llB,118,117 117 JFCCM1)118,l19,ll9 118 EXa=EXa-6.283\855 119 ALfA:ALFA+(fXfX-lXl)/(EX?•EX1l*.U5•.U5

TET~=TE.TA+(FXtX-t:X3l/(t:X4-EX~l•.os-.os G <l T IJ 1 O O

C *** CALCULO DA COt:F[Clt.Nlf Dt. SfGLIRANCA 12Q CSM=SQRT(CM••2+CN••2l1SQRT(DH**2+DN••2)

,iRlTl:. CS, 1tl9íl)CS"1 10911 H1R'IATU/,3oX,6sl'*'),l,3oX,'• COE F I C J t N T F D t

S E c; U 1 R ANC A =•,[12,ü,• *',/,30X,63(•••l)

ftRlTt.(5, lílUS)DS,DI 10115 FORMAT(//,211X,'D E FORMA C O t S D O C O N CP F TO'

,ll,2?x J, 'SUPERIOR =',flü.4,3x, '!NFFRIOR =',ttu.4,//)

Ir· ( 1 MPRf) 1 ü'i, 145,4000 4000 ~RITt(S,J544) ,344 FORMATU,?oX,'TF'JSOES NAS ARt1ADURr,S ORDINARJAS',/1,JUX,IJ('N

• úO RF. IT. • TFNSAO •• ',),/) nRJTE(S,334,III,TCJl,J+\,TCltl l,1+2,T(I+2l,I+3,TCI+5),J=l,l

00,IJ) 330~ F0RMAT(1 (!UX,íl(J5,~X, '•',f!3.3,2X,'•• ')ll

"RITE(S,3342) 3302 FOR~4T(ll,20x, 'TENSO[S f D[FORMa(OfS NAS ARMADURAS DE PROTt.

'JSAD',/ l /, l 11 X, • AflMA[)UR 1, • Tf:.NSAO • l)f FORMACAO •,)

DO , l=I, •<AP 1 F I n~, 1 ( T l l 5, 5, 135

133 üA=pRO(IJ•os-cvs+fX(Ill•(DS-Dll/H+PRt(I) CALL ACü(?,fA,GA,DA,t.X!,FYPl ~RITECS,534\)I,EX\,OA

3 3(! 1 F O fl '1 A T ( 1 ü X , J S , "i X , ' • ' , F 1 l • 2 , 2 X , ' * ' , f 1 2 , S l , CO'ITINUI: l 11<; Rf: TIIRN

['ID

e~**~****************~**•**~****~***~*~*•***********************'

S li i3 R OI Jf l N t P 11 f 1, ( I'ID , J N D 1 , M D , t. D , () S , 1) I )

108

DI=D!+IF•(l1C(l)-IJD)-A*(MC(l)•MD))/(A*D-C*f) II=ll+! GOTO 1

102 ~RITEl~,lOUb)CM,MCl,PM,C!,NCI,Pl 1006 FORMAT(//,411X,'E S FORCO S',ll,~2X,'Cíl'lCRt"T0',11X,'ARM, ORO UJ A

1 RI A ' , 1 O X , ' AR M , D E. PR O TE!, S A O ' , /, 2 1 X , ' MO M F N T ü ' , ~ 1 2 , 5, 1 O X , F 1 5 • 5, l ll X, F

)

?17,:1,l,17X,'[-SF, NORMAL',F!2,3,10X,F!':i,3,!0X,Fl7,3,//) CUR=CDI•DS)/rl DCG=(VS•Hl•CUR4DI ~RITE(5, 1D08)CUR,DCG

10013 FOR,'IAT(lOX,'CURVATURA:',[12.4,5X,'DEFORM, DO C, G, :',t:12,4

A=DS*EC/l noo. o=0I•Fc11non, GO T0(4<102,QOD3lL

400? ~RITE(5,53411)DS,A,Dl,D 334Li FORMATC!,tuX,'D E FORMA C O F_ S F f E~: S O F S NO C O N

lC R E T 0',//,30X,'DEFORMACOES • TF.NS0ES',/,20X,'$UP1:R IOR' ,E!

23.5,3X,'•',Fl?,3,/,?.0x,'INFER!OR',t:15 • .3, 3X,'*',F12,.5,//J GOTO 4010

4003 IF(AJ401i4,4004,40U5 -~~~ !F(DJ4006,Qn06,4007

4006 ~RITEC5,53411JOS,A,DT,O GO 10 4010

4005 IF(0)4U08,40UA,aoo9 QOD7 ~RITE(5,10USJ0S,Dl,A 1U05FORMl'1(/,10X,'DEFORMACOES E T[NSAO NO C (J N C

lR E T 0 1 ,1,1ox,,1JEF. SUPERIOR ::•,F.10.), ';>X, 1 DrF. Ií·JFf:..RIOR = ',E!0.3

;,, ':ix,'TENS, SUPERIOR ::',Flü,3,/l GCl TO 4010

4008 ~RIT[(5,1U07)D5,DJ,D l007FORMr,T(/,IUX,'DEFORMACO[S F Tr_NSAO t-,o C L1 N C

1H E T O',l,1.0X,'DfF. SUPERIOR =',t:10.3, SX, 1 D(_f-. JNFERI0f-{ = ',Et0.3

?, ':iX,'TFNS. INFcRJOR ::•,r-10,3,;) GO TO 40111

4009 WHITEl5,50UO)OS,Dl 5 0 11 O FORMA T ( / , l O X, ' D E F O R ,1 A C O E S N O C O N C R 1: T O '

,l,JUX 1, 'StlPEHIOR ::',El0.3,Sx, 'INFERIOR =',EI0,3,//)

4010 IF(IMPRE)4001,40Dl,4UOO 4000 WRITE(S,5344) 1.544 FORMAT(l,20X, 'TENSO[S NAS ARMADURAS ORD(NARJAS',ll,!OX,4{'N

• 00 RE lT, * TfMSAO ** ',),/) wRITEl5,3343llI,TIIl,J+J,T(l+ll,1+2,Tll+2l,1+5,T(I+3l,I=l,1

0/1,4)

109

3343 FORMAT(ll1UX,4(1S,5X, '•',Fll.3,2X, '•• 'li) HRITE(S,334?)

3342 FORMAT(//,20X, 'TENSOES E DEFORMACÜfS NAS ARMADURAS DE PROTE c,SAO', /

1/,JOX,'AR"IADURA * TF.NSAO • DEFORMACAO',/) DO 3 J:J, l!AP !F(NNl (l)) L 3,131

131 DA=PRO([l+DS-(VS+EX(J))o(DS-Dll/H+PRE(!) CALL ACQ(2,EA,GA,DA,EX\,fYP) wRITE(S,5341)1,EXl,DA

3341 FORMAT(lOX,T5,5X,'*',Fll.2,?X,'*',El2.5) 3 corHINUE 4001 RfTIIRN

END C*****************''*************************A******~************

******* C PROGRAMA PRINCIPAL C*********************A************************j***************** *******-

COHMON R[IOOJ,~(lOU),F.X[50),AS(50l,PRO(SU),EO,EA,NNl(501 1 GC ,T(IOO)

CÜMMON Ec,11,vs.~AP,GA,!MpRE, DEFOS,DFrOl,FCCK,FCTK,~YO,FYP ,TIPOA

COMMQN PRE(Sül,GM DATA ro12.1r+o71 l 'Hf:GF.R TI PflA DIMFNS10N NNCC~O),FURO(SQl,AT(QJ,JURDIQO),NN(50l,Cllt(50)

[<*********'**************************************~************** *-****** e * • • b os

- VETOR ONDE SAO ARMAZENADAS AS LARGURAS DOS RETANGUL

e*** w VETOR ONDf SAO ARMAZENADAS AS PERCENTAGFNS Dt ARMAD dRA E e DEPOIS AS APtAS DAS MESMAS e e e o e

**'* NAP •** l'URO *** Ex AO C.

- NUMFRO D[ ARMADURAS DE PROTENSAO - DlAMtTRO DAS BAJNHAS - EXCfNTRlCJDADF OAS ARMADURAS DE PROTFNSAO

e ** * e*** e*** e * * ~ .. e ***

G. DA SECAO AS - ARE.AS DAS ARMADURAS DE PROTFNSAO PRO - FORCA INICIAL E DEPOIS PRE ALONGAMENTO GC - COEFICIENTE DF SfGURANCA DO CONCRETO NNJ(I1=0 • ARMADURA DE PROTENSAO NAO TRACIONADA N~l(ll=l - ARMADURA JA TRACIONADA

E.M RE.LACA

e *** CoEC1l - CoEFJCIENTE DE PFRDAS DE PRoTENSAO DA 1RM1DURA I e *** GA - COE.F!ClE'ITE DE SEGURANCA DA ARMADURA e * *' * TTPOA - TIPO DO ACO UTILIZADO e T1POA =1 - ACO NATURAL e TIPílA=2 - ACO DfFORMADO A FRIO C*********~*A***#;*********************•****j********************* *.,,,,**#;'À'*

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110

C *** DEFORMACOES INICIAIS PARA O PROCESSO ITfRATIVO NA FASE FLAS TICA

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e e*** RETIRAR OS FUROS DAS BAINHAS

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e 97 KK=I

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PROTENSAO

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1005 f0R'!Af(20I3) "R I TE ( 5 , 1 o O 11 ) 1 K , rJ C , C N N C ( I J , I = 1 , N C l

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1tl0S DESíA f'AS!:=•,!5,;,lüX,•NUMf..RO DOS CA!:l0S•,/,3(10X,201':i,/ ) )

C *** CALCULO DD PRE ALONGAMENTO DO ', 1=1,NC •J:r,NC ( l J >'IR l TE C 'i, 'i'i'i':,) N

5555 FORHAT(/,20X, 'CALCULO D O PR E - ALONGAM!: N T O D

1 A ARMADURA ',12,l,l9X,5b(' 0 1 ),/l

~S=PRO(N)•EX(N)tDM PRO ( ,l) =PRO 01 l +DN

111

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6 PRO(N):A*lúílO.IEA+823.*(A/FYP-.7J*•'i DMl=PROCN)tPRE(N)

8 wRITEl5,JOl2)N,Dtll 101? FORMAT(l/,20X,'P R 1: - ALONGAMENTO D A ARMA

D lJ R A l',I-3,' =•,F.t2.S,//l

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e C *** PIJECAO e

1'12 IJ:JJ+l WRITECS, 1009) READ(2, 10ll2JNÇ

1002 FílR'1ATCT'-il R F A() ( 2 , 1 O 0 5 ) ( ,1 N C ( .! ) , l : 1 , N C J CALL ARFA(NC,~,FURO,NNC,EX,H,VS,l)

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1 iJ07 FORMAT ( /, 1 uX, 'AUMF.NTO DOS t Sf0RC0S .S,liJX,

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l'E5F. NORMAL =',FlO.'i,/J GíJ TO 99

',l,!OX,'MOMf.Nlü =',FIO

C ••• VEREflCACAO SO CO"l CARGAS PREMANtNlES e

e e

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1 O<;

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lANUHES',/) 203 CALL PITER(!,O,DM,DN,DS,DI)

CALL PlT!:.R(0,0,0M,DN,05,Dll CALI. PITER(!,1,DM,DN,DS,Dl) GD TO 99

112

C •** VFRIFTCACAO A RUPTURA Df CARGAS PtRMANENTES E VAR!AVE!S 106 ,,RITE.(S,1009)

RFAD(2, I006)DM1 ,D"ll DML=DM*GM+DNI DNL=DN•GM+IJ~l 1 rlRITEl5,10!7)DML,DNL

1017 F0RMATU/,2()X,'VER1FICACAO A RUPTURA ',//,2UX,'MOl4!:.NTO FLU OR =' , F

1 l O • 5, \ O X, ' t S F () R Ç O NORMA 1. = ' , F 1 O • 3, / /J CALL PTER(DML,DNL,DEL,IJFLl,LLJ GOTO qg

107 ~RITE(S,1009) RFAD(2,100oJDMl,DN1 Dr-<L=DMIOMl fJIJL =DN +DN 1 wRITE(S,102\)DML,DNL

1021 r"Oí,MAT(/,IOX,'VERiflCACAD DE T[NSOES',/,IOX, 1 ESr0R[.0S ... M OM.=',F

110.~,2X, 'FSF, "lílR•1/,L =' ,Ft0.41 CALL PlTERCl,0,DML,DNL,OS,DIJ

?lR CALL P[TER(O,O,OML,ONL,DS,Dl) CALL PITER(l,1,DMl.,DNl.,DS,DIJ GOTO 99

108 riRITE(S,1Dü9J REAO ( 2, 1 008) D•I J, DNl, 01"2, DN2

10tl8 FORHAT(UF!U.U) ,JRIT[(':,, 1013)

1013 FORMAT(/,?OX,' V f R T FICA C A O A FADIGA E R u P T U

1 R A 1 ,//)

DNL:Of,;•GM+ONJ D"IL=DM•GM+DMJ CALL PTER(D'1L,DNL,DEL,DEL!,LLl or:L =DN t D\J 1 DML=lJM+DMl CALL PITER(D,0,DML,DNL,AT(l),AT(2)) D'1L=0M*GM+1JM2 lJNL=DN*GM+DN2 CALL PTERCDML,DNL,DEL,DEL1 ,Li l fJML=D'1+ílM2 DNL=DN+[)t!? CALL PITER(O,ll,DML,DNL,AT(3J,AT(4)) DO 2 I=l,NAp IF(NN1(!)12,2,119

JJ9 DP=PRO(I)tAT(1J-(Al(1)-AT(2lJ•(VS+EX(I)l/H+PRf(l) DPl=PRO(lltATC5J-CAT(3)-AT(4))*(VStlX(J))/H+PRt(I) CALL AC0(2,EA,GA,OP,EM,FYPl CALL ACOC2,FA,GA,DP1,EN,FYP) IF(E'1-ENJ120,2,121

120 A=EN viS:tM•l.15 GOTO 122

121 A:F:M v,/S=E.•<* 1. 15

122 IF(Al:lS(wSl-FYP)UOl ,21 ll,?J.O

113

41)1 IF(Al:lS(wSl-,o•é·Yp) 123, 1?3, 124 12> R[N=(WS+OS1Gl/!,15

GOTO 209 12U F=(.4*FYP•DSIGJ*CfLJK-,6•FYP)/(FUK-,b•FYP•0SIG)t.6*FYP

If(Al:lS(wsl-F)207,208,?08 207 Rl~=(IFUK-,6•FYP-DSTGl*(ABS(wSJ-.6*FYPJ/(FUK·.6*FYP)+,6*FYP

+nsrGl/ 11.l'i

GO TO 209 208 RT~=FYP/1,lS 209 ,,,s=ws11.1s

wRITE.15,~00U)A,wS,Ritl,I 50110 FílRMATU,lúX,'TENSAO MAXIMA :',FlO,,,',TtNSAO MlNIMA =',F10

• ·s, ' E !TE~SAO ADlMISSJVfl. :',F!0,3, ' NA ARMADURA',IU,/)

IF(RIN·Al2!0,2,2 ?10 wRITEl5,l020JI 1 O? o FORMA T (/, 1 2 O C ' • ' l , /, 1 O X , ' A VERIFICA C A O A F A l.l I (; A NA O E SATIS

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,,S=·AT(K!l•F(/(\000,*FCCKl*l.5 GOTO 219

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400 Rr~=FCCK•Ct.·CJ.-BNJ•(I.2-~S)ll.21/t,5 wRITE(S,5001 )RJN

5001 FORMAT(l,20X,'TFN$AO AllMISSIVFL NO CONCRFTO : 1 ,éJ0,3,/) IF(RIN-Al220, 10, 10

220 wRITFl5,11Jlll 1011 FORMAJll,120('•'J,l,JOX,' A Vc·R1FrCA(AÜ t, FAD-rGA DO CONCRFT

O •IAO f 1 SATISFtllA•,/,120l•••JJ

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9996 FORMAT(\bFS.Ol 11RlT[(':,,999'i)

114

9995 FOI-HiAlCl,!OX,'COEFICif~ITt:S llE PfRDAS DE PROTENSA0',/1,lOX,' Afl"1ADlJR

IA COEFICI~NTE'l wRITE(5,999aJ(J,C0f(I1,I=l,NAP)

9994 FORMAT(1bX,12,F13,4) DO 7 l=J,t"AP I F ( N'J \ ( I) l 7, /, 14 IJ

\41> PRO(Il=PRO(Il•COE(ll 7 CONTINUE 99 KK=KK+l

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T1~ACA0 290.000

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ARHAílU~A OROIIJARIA *** l4~ílULn DE ELAST[CIOAOE = .z10E+08 RES!iTENCIA CA/?~CTE~ISTICA: 5000.o.o

TIPO O:J ACO: OEFOHM-ADO A FRIO

ARM.AllJRA D~ PROTE~SAO •~• MOOULíl DE ELASTICID~íl~ = .·190E+OJ

TENSAO ílE ESCUAM~NT~ = 12iOOO.OO

TENSAG O[ !WPTl/1?4. = 140::o:).OO

NA v:~IFICACAO A FAíllGA FílRAM USADOS OS S[GlJINTES OAJOS

NUMERO ílE CICLOS= .202'•07

PE~ISTENCIA RELAIIVA uD CITNCRtTO = J.6000

AMfLITUílE OE VAR!ACAO DAS TE~SO[S NAS 4R~AOIJ!~~S = 20000.00

XX(XXXXxx1xixxxxiX(XXXXXXX(XXXXAXX(XXXXXXXXKXXxxxxxxxxxxxxxxxxxx,xxxxxxxxxixxxxxxxxxxxxXX(X~X~A~X~XXXXXXXXXXXXXXXX~XXXX

XXXXXX)XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXAXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX(XXXXXXXXXXXXX~xxxxxxxxxxxxxx~xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

AIJ'iE'lTl 0}5 f'.SF'l'.'RCílS HO~ENTJ = &U.00000 i':SF. NOFiM/..L = º· ºª 000

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXA(XXXxxxxi.~xxxxxxxXXXXXXXAXxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxix~XXXX(XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

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SUPERIO~ -.557E•Ol lNFERIOíl .410E•02

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