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MODELAGEM MATEMÁTICA DE MIGRAÇÃO DE FINOS EM MEIOSPOROSOS
FERNANDO DIOGO DE SIQUEIRA
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF
MACAÉ - RJ
MAIO - 2014
MODELAGEM MATEMÁTICA DE MIGRAÇÃO DE FINOS EM MEIOSPOROSOS
FERNANDO DIOGO DE SIQUEIRA
Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecno-logia da Universidade Estadual do Norte Flumi-nense, como parte das exigências para obtenção dotítulo de Doutor em Engenharia de Reservatório ede Exploração de Petróleo.
Orientador: Prof. Alexandre Sérvulo Lima Vaz JúniorCo-Orientador: Prof. Pavel Bedrikovetsky
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF
MACAÉ - RJ
MAIO - 2014
MODELAGEM MATEMÁTICA DE MIGRAÇÃO DE FINOS EM MEIOSPOROSOS
FERNANDO DIOGO DE SIQUEIRA
Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecno-logia da Universidade Estadual do Norte Flumi-nense, como parte das exigências para obtenção dotítulo de Doutor em Engenharia de Reservatório ede Exploração de Petróleo.
Aprovada em 28 de Maio de 2014.
BANCA EXAMINADORA
Dr. André Leibsohn Martins, D. Sc. (PETROBRAS/CENPES)
Dr. Paulo Dore Fernandes, D. Sc. (PETROBRAS/CENPES)
Prof. Dr. Viatcheslav Ivanovich Priimenko, Ph. D. (UENF/CCT/LENEP)
Prof. Dr. Alexandre Sérvulo Lima Vaz Júnior, D. Sc. (UENF/CCT/LENEP) - Orientador
à minha Familia
ii
AGRADECIMENTOS
À minha família, por ter me estimulado a seguir em frente e me apoiado sempre.
Ao Prof. Pavel Bedrikovetsky, que mais do que me orientar, me ensinou o significado da pesquisa
científica. Ao Prof. Alexandre Sérvulo, por me orientar nessa caminhada.
À ANP pela concessão da bolsa do programa de recursos humanos MCT-ANP-PRH20 durante o
Doutorado. Ao Programa de Doutorado Sanduíche no Exterior, pela bolsa para estágio em Adelaide,
Austrália, por sete meses.
Ao LENEP, por oferecer a infraestrutura necessária para a realização deste trabalho.
Aos meus colegas Grazione Souza, Leandro Puerari, Stephanie, Jack, Yulong Yang, entre tantos
outros pelo companherismo.
SUMÁRIO
LISTA DE TABELAS vii
LISTA DE FIGURAS viii
SIMBOLOGIA xvi
RESUMO xix
ABSTRACT xxi
1. INTRODUÇÃO 1
1.1 Escopo do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Organização do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5
2.1 Filtração Profunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Modelos Contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Modelos Estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Injeção de Água de Baixa Salinidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1 Inchamento de Argilominerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.2 Migração de Finos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.3 Efeitos da injeção de água de baixa salinidade na saturação de óleo residual . 65
3. LIBERAÇÃO DE PARTÍCULAS OCASIONADA PELA ALTERNÂNCIA DE VELO-
CIDADE DURANTE O TRANSPORTE DE SUSPENSÕES EM MEIOS POROSOS 76
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Modelo matemático para transporte de suspensões com liberação de partículas . . . . 78
3.3 Modelo analítico para injeção de suspensões em vazões alternadas . . . . . . . . . . 83
3.3.1 Solução exata para o problema das concentrações . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.2 Estrutura da solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3.3 Cálculo do diferencial de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4 Testes de laboratório e ajuste de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.1 Descrição do teste de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.2 Ajuste do modelo matemático aos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4. MIGRAÇÃO LENTA DE PARTÍCULAS LIBERADAS SOBRE A SUPERFÍCIE DE
MEIOS POROSOS 103
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 Descrição da liberação e transporte de finos - introdução da função de retenção máxima109
4.3 Equações básicas para liberação e transporte de coloides em meios porosos . . . . . 116
4.4 Solução analítica para fluxo unidimensional de suspensão com liberação de partículas
e exclusão pelo tamanho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.1 Solução exata durante a primeira velocidade de injeção, U =U1 . . . . . . . 118
4.4.2 Solução exata para U =Un em caso de estabilização de impedância na injeção
de velocidade U =Un−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5 Determinação dos parâmetros do modelo a partir de experimentos . . . . . . . . . . 124
4.6 Discussão dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5. COMPARAÇÃO DA TEORIA DE MIGRAÇÃO LENTA DE FINOS COM TESTES
COM PONTOS DE PRESSÃO INTERMEDIÁRIOS 131
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 Física da mobilização, migração e captura de finos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3 Testes de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.1 Equipamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.2 Meio poroso e fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.3 Metodologia dos testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
v
5.4 Resultados laboratoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5 Solução exata para o modelo de liberação e migração de finos com velocidade cres-
cente e constante por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.6 Comparação entre os dados experimentais e o ajuste de dados . . . . . . . . . . . . . 145
5.7 Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6. CONCLUSÕES 150
6.1 Conclusões para o capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.2 Conclusões do Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3 Conclusões do Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.4 Conclusões Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Trabalhos Publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Trabalhos Submetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8. RECOMENDAÇÕES 153
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 154
APÊNDICE A. FORÇAS ATUANTES SOBRE A PARTÍCULA NA SUPERFÍCIE DO
GRÃO 167
A.1 Força de arraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.2 Força de Elevação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.3 Força Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.4 Forças Eletrostáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
A.5 Balanço de Torques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
APÊNDICE B. DETERMINAÇÃO DA RAZÃO DE BRAÇOS DE ALAVANCA A PAR-
TIR DA DEFORMAÇÃO DE CONTATO DA PARTÍCULA 170
vi
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Resumo das expressões de caracterização do meio poroso através do modelo de tubo
com restrição. Adaptado de Chan et al. (2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tabela 2: Problemas típicos causados por argilominerais autigênicos. . . . . . . . . . . . . . 49
Tabela 3: Resultados dos testes de migração de finos em condições de laboratório reportados
em (BYRNE; WAGGONER, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Tabela 4: Resultados dos testes de migração de finos em condições de produção reportados
em (BYRNE; WAGGONER, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Tabela 5: Resumo dos resultados de Morrow et al. (1998), adaptados desta mesma referência. 66
Tabela 6: Mecanismos de associação entre grupos funcionais orgânicos e minerais presentes
no solo (adaptado de Sposito (apud LAGER et al., 2006)). . . . . . . . . . . . . . . 71
Tabela 7: Equações para as concentrações em suspensão e retida durante a injeção de suspen-
são a vazões alternadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Tabela 8: Equações para a concentração retida média para diferentes estágios da injeção. . . . 94
Tabela 9: Dados do teste e resultados da caracterização do sistema de adesão-liberação nas
duas vazões de teste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Tabela 10: Valores dos coeficientes de filtração e dano à formação para os testes BS013 e
BS012 (OCHI; VERNOUX, 1998). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Tabela 11: Valores de fator de vagarosidade, concentrações de partículas liberadas e tempos
de estabilização obtidos do ajustes dos testes BS012 e BS013 (OCHI; VERNOUX,
1998). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Tabela 12: Condições gerais de água e testemunho para o teste 12. . . . . . . . . . . . . . . . 135
Tabela 13: Tempos de estabilização para diferentes testes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Tabela 14: Valores dos parâmetros obtidos a partir do ajuste do teste 12. . . . . . . . . . . . . 145
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Esquema de injeção de água de baixa qualidade/salinidade em reservatórios de pe-
tróleo (Vaz Júnior, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Figura 2: Esquema geométrico do elemento unitário e do envelope de fluido que o envolve,
conforme utilizado no trabalho de Ramarao et al. (1994). As linhas de fluxo estão
grafadas como setas (RAMARAO et al., 1994). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Figura 3: Influência do diâmetro das partículas (eixo horizontal) na eficiência de filtração
(eixo vertical). A linha cheia representa a soma da eficiência do mecanismo Brow-
niano com a eficiência da composição dos mecanismos de interceptação e impac-
tação. A curva tracejada é a soma das eficiências dos mecanismos Browniano e de
interceptação direta. Os círculos cheios representam os resultados da simulação.
Extraído de Ramarao et al. (1994). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Figura 4: Empacotamento cúbico de esferas. Retirado de Vitthal e Sharma (1992). . . . . . . 12
Figura 5: Outros tipos de empacotamento utilizados nas simulações de Vitthal e Sharma (1992):
(a) empacotamento cúbico centrado no corpo (BCC), (b) empacotamento cúbico
centrado na face (FCC) e (c) empacotamento hexagonal fechado, aqui mostrado
com algumas partículas menores depositadas. Extraído de Vitthal e Sharma (1992). 13
Figura 6: As formas de tubo com restrição utilizadas em (CHANG et al., 2003): a) restrição
parabólica, b) restrição sinusoidal e c) restrição hiperbólica. Retirado de Chang et
al. (2003). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Figura 7: Tipos de depósitos estudados por Frey et al. (1999). Em círculo, depósitos de inva-
são de garganta. Os depósitos de invasão de poro são observados no topo dos grãos.
O fluxo se dá de cima para baixo (FREY et al., 1999). . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Figura 8: Elemento de Meio Poroso (adaptado de Herzig et al. (1970)). . . . . . . . . . . . . 16
Figura 9: Ajuste de histórico e previsão de impedância para poços utilizando o modelo clás-
sico de perda de injetividade. A impedância é grafada no eixo vertical. No eixo
horizontal está o tempo em volumes porosos injetados. O meio poroso de referência
para o cálculo deste tempo se estende do raio do poço até o raio externo. Retirado
de Bedrikovetsky et al. (2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 10: Simulação de perfis de deposição de partícula contra dados experimentais. Fração
volumétrica de partículas capturadas na rocha no eixo vertical. No eixo horizontal
tem-se a profundidade de invasão em milímetros. As curvas com marcadores são
os dados experimentais, conforme mensurados por microscópio eletrônico de varre-
dura (SEM) ou tomografia de difração de raios x (synchrotron). Retirado de Boek
et al. (2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 11: Esquema da partícula na iminência de ser liberada, mostrando as forças atuantes
sobre ela. Retirado de Siqueira (2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 12: Exemplo de cálculo de concentração máxima retida em função da velocidade de
fluxo no meio poroso realizado por Bedrikovetsky et al. (2011a) (extraído dessa
mesma referência). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Figura 13: Teste laboratorial (losangos) ajustado pela teoria proposta (curva suave). A quanti-
dade J no eixo vertical pode ser encarada como a razão de permeabilidade kmed/k0,
com kmed sendo a permeabilidade média do meio poroso. Extraído de Bedrikovetsky
et al. (2011a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 14: Previsão de dano à formação em geometria radial usando a teoria de Siqueira (2010),
Bedrikovetsky et al. (2011a). Neste caso, a quantidade J do eixo vertical é encarada
como a razão entre ∆P/∆P0, onde ∆P é o diferencial de pressão do poço e da formação
e ∆P0 é esse mesmo diferencial no início da injeção. Extraído de Siqueira (2010). . 31
Figura 15: Modelo geométrico de meio poroso como um conjunto de capilares paralelos alter-
nados por câmaras de mistura. a) Corte do meio poroso ao longo da direção do fluxo
e b) corte em direção ortogonal ao fluxo Bedrikovetsky (2008). . . . . . . . . . . . 32
Figura 16: Esquema de uma câmara de mistura (BEDRIKOVETSKY, 2008). . . . . . . . . . 32
Figura 17: Retenção de partículas na entrada do poro devido à exclusão pelo tamanho e dentro
dele através de captura elétrica (BEDRIKOVETSKY, 2008). . . . . . . . . . . . . 33
Figura 18: Esquema da geometria da secção transversal ortogonal ao fluxo no meio poroso.
Retirado de Bedrikovetsky (2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 19: Rede triangular utilizada nas simulações de Chan et al. (2005). . . . . . . . . . . . 37
Figura 20: Janela de controle das simulações de Chan et al. (2005). Retirado de Chan et al.
(2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ix
Figura 21: Curvas teóricas de razão de permeabilidade em função do tempo e permeabilidade
inicial (k/k0) para os dois tipos de curva de interação DLVO. Curva cheia: intera-
ção DLVO com mínimo secundário e considerando movimento Browniano. Curva
tracejada: interação DLVO com mínimo secundário sem movimento Browniano.
Curva traço-e-ponto: interação DLVO sem mínimo secundário e com movimento
Browniano. Curva pontilhada: interação DLVO sem mínimo secundário e sem mo-
vimento Browniano (CHAN et al., 2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Figura 22: Redes de percolação utilizadas em (CHANG; CHAN, 2006): a) rede quadrada mo-
dificada e b) rede em colmeia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Figura 23: As três configurações de ligação de poro possíveis, em termos de seleção de ligação
de saída da partícula: (a) ambas as ligações de saída estão bloqueadas, (b) uma
ligação bloqueada e (c) nenhuma ligação bloqueada. Adaptado de Lee e Koplik
(2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Figura 24: Difratogramas de raio X para teste de inchamento de argila de amostras de mont-
morilonita com cátions Ca+2 em solução de Cloreto de Cálcio em diferentes con-
centrações. Notar que a posição do pico dos difratogramas praticamente coincide
em diferentes concentrações, evidenciando aparente insensibilidade à concentração
da solução (extraído de Zhou et al. (1996)). Razão entre volume de solução e vo-
lume de argilominerais presentes nela Wwater/Wclay = 5. No eixo horizontal, temos
o ângulo da medição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 25: Difratogramas de raios X para amostra com cátions intercamada Na+ imersa em
solução de NaCl à diversas concentrações. Notar que a posição dos picos muda
conforme a concentração de cloreto de sódio, evidenciando a sensibilidade do in-
chamento à essa variável (extraído de Zhou et al. (1996)). Razão entre volume de
solução e volume de argilominerais presentes nela Wwater/Wclay = 5. No eixo hori-
zontal, temos o ângulo da medição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 26: Diagrama de inchamento de montmorilonita no espaço composicional NaCl/CaCl2(extraído de Zhou et al. (1996)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 27: Esquema do micromodelo utilizado por Muecke (1979) para observar o movimento
de finos no meio poroso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 28: Conteúdo mineralógico médio das partículas de finos presentes em cinco formações
da Costa do Golfo dos Estados Unidos (retirado de Muecke (1979)). . . . . . . . . 50
x
Figura 29: Concepção do meio poroso como conjunto de capilares paralelos temponáveis e
não-tamponáveis. Nos primeiros, ocorre a formação de pontes (depósitos de tam-
ponamento) e nos outros ocorrem depósitos de superfície (extraído de Gruesbeck e
Collins (1982)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 30: Influência da salinidade no dano à formação, demonstrando o conceito de concen-
tração crítica de sal. A amostra é um arenito Berea, com 1 polegada de diâmetro e
1 polegada de comprimento. A vazão de injeção é de 100 cm3/h (adaptado de Khilar
e Fogler (1983)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 31: Influência da direção do fluxo no dano à formação. SF - Água salgada injetada para
frente, SR - Água salgada na direção reversa, FF - Água doce (pouco salina) injetada
para frente, FR - Água doce na direção reversa (adaptado de Khilar e Fogler (1983)). 54
Figura 32: Influência da taxa de variação de salinidade, a) Taxa de variação de 0,125 h−1
(abaixo do valor crítico), b) Taxa de variação de 1,316 h−1 (acima do valor crí-
tico). Círculos representam razão de permeabilidade enquanto triângulos represen-
tam concentraçoes em suspensão no efluente. A taxa crítica de variação de salini-
dade nestas amostras na velocidade de fluxo superficial (25,6 cm/h) desses dois testes
é de 0,40 h−1 (adaptado de Khilar et al. (1983)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 33: Teste típico de migração de finos por injeção de água de baixa salinidade em arenito
Berea reportado em (VALDYA; FOGLER, 1992). (a) Dados de pH do efluente e
razão de permeabilidades. A linha tracejada corresponde ao início da injeção de
água doce. Os triângulos se referem ao pH do efluente. Os círculos correspondem
a razão entre permeabilidade atual e inicial k/k0. (b) Dados de pH e condutivi-
dade elétrica normalizada. Os quadrados correspondem à condutividade elétrica
enquanto os círculos correpondem ao pH. Neste conjunto de dados, foi subtraído o
período de injeção anterior ao de injeção da água doce. Retirado de Valdya e Fogler
(1992). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 34: Potenciais Zeta medidos em caulinita em função do pH, para diversos cátions. Re-
tirado de Valdya e Fogler (1992). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 35: Gráfico de potencial de interação em função da distância de separação para várias
condições de pH. Retirado de Valdya e Fogler (1992). . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Figura 36: Ajuste do modelo apresentado em (VALDYA; FOGLER, 1992) para um teste de
redução brusca de salinidade. Retirado de Valdya e Fogler (1992). . . . . . . . . . 61
xi
Figura 37: Aplicação do modelo modificado de liberação de partículas para cálculo do perfil de
deposição de finos. a) Gráfico da quantidade máxima de finos retida (equação 144),
em linha tracejada e o perfil de deposição por exclusão pelo tamanho em função da
velocidade, em linha cheia. Notar que esse perfil é gerado pela diferença entre σa0 e
σa (U). b) Construção do perfil de deposição em função da distância radial do poço. 63
Figura 38: Histórico de vazão de óleo pelo tempo em anos, comparando o tratamento sem ácido
fluobórico (MATRIX RMA) e o tratamento com ácido fluobórico (FLUOBORIC
ACID). Retirado de Colmenares et al. (1997). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Figura 39: Efeito da Salinidade da Água na Saturação de Óleo Residual para uma amostra do
Talude Norte do Alasca, adaptado de Patil et al. (2008). . . . . . . . . . . . . . . . 67
Figura 40: Comparação entre a saturação residual de amostra com água de salinidade próxima
a do reservatório e água de lago, adaptado de Patil et al. (2008). . . . . . . . . . . . 67
Figura 41: Sequência do teste de injeção de traçador (adaptada de Seccombe et al. (2008)). . . 68
Figura 42: Teste de injeção de traçador idealizado. As concentrações estão fora de escala (adap-
tado de Seccombe et al. (2008)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Figura 43: Resultados do teste de injeção de traçador para três poços (adaptado de Seccombe
et al. (2008)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 44: Gráfico de recuperação adicional pela injeção de água pouco salina contra con-
centração de caulinita, evidênciando forte correlação (adaptado de Seccombe et al.
(2008)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 45: Mecanismos suscetíveis à troca de cátions durante a injeção de água pouco salina:
(a) Troca de Cátion, (b) Ponte de Cátion, (c) Ligação Direta e (d) Ponte de Água. . 71
Figura 46: Partículas excluídas por tamanho e aderidas as paredes dos poros durante o fluxo de
suspensões em meios porosos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Figura 47: Concentração máxima retida σcr versus velocidade U para 3 valores da constante de
Hamaker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Figura 48: Forma da função de retenção máxima versus velocidade e salinidade calculadas a
partir de testes de Lever e Dawe (1984). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Figura 49: Histórico de injeção sequencial de suspensão à velocidades U1, U2 e U1. a) Regime
de fluxo de três velocidades; b) Concentração do efluente; c) Histórico de diferencial
de pressão; d) Variação de impedância durante o teste. . . . . . . . . . . . . . . . . 85
xii
Figura 50: Fluxo de suspensão com duas mudanças de vazão nos momentos tD1e tD2; a) Mo-
vimentação das frentes de concentração no plano (xD, tD), b) Perfis de retenção nos
momentos tD1, tD2 e t1, t2 . . . t8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Figura 51: Dados experimentais de impedância para o teste de vazões alternadas (BEDRIKO-
VETSKY et al., 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Figura 52: Dados obtidos a partir do ajuste de dados: a) Comparação da impedância medida
com a ajustada; b) Concentração do efluente prevista (não medida no teste). . . . . 99
Figura 53: Estudo de sensibilidade da impedância com respeito à a) coeficiente de dano à for-
mação β , b) coeficiente de filtração λ ′, c) concentração máxima de retenção σcr (U2). 102
Figura 54: Variação temporal dos parâmetros medidos e calculados durante os testes com ve-
locidades escalonadas (constante por partes) durante o teste BS012 (OCHI; VER-
NOUX, 1998): a) declínio de permeabilidade com o tempo (em volumes porosos);
b) aumento de velocidade com o tempo; c) decréscimo do raio das partículas mobi-
lizadas com o aumento de velocidades; d) Fator de vagarosidade. . . . . . . . . . . 104
Figura 55: Variação temporal dos parâmetros medidos e calculados durante os testes com ve-
locidades escalonadas (constante por partes) durante o teste BS013 (OCHI; VER-
NOUX, 1998): a) declínio de permeabilidade com o tempo (em volumes porosos);
b) aumento de velocidade com o tempo; c) decréscimo do raio das partículas mobi-
lizadas com o aumento de velocidades; d) Fator de vagarosidade. . . . . . . . . . . 105
Figura 56: Liberação e exclusão por tamanho de partículas de finos causam o declínio de per-
meabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Figura 57: Grandes e finas “folhas” de caulinita tampona as gargantas de poro: a) Imagem de
microscópio eletrônico de varredura dos “livros” de caulinita na superfície do grão;
b) esquema para a liberação e exclusão pelo tamanho. . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Figura 58: A distribuição de partículas de tamanhos diferentes em mono-camada na superfície
do grão e as forças atuantes sobre ela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Figura 59: A distribuição de partículas de tamanhos diferentes em mono-camada na superfície
do grão e as forças atuantes sobre ela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Figura 60: Forma da função de retenção máxima para as partículas de finos aderidas em mo-
nocamada na superfície dos grãos: a) distribuição log-normal com mesmo coefici-
ente de variação (CV) e diferentes tamanhos médios de partícula; b) distribuição
log-normal com mesmo tamanho médio de partícula e diferentes coeficientes de va-
riação; c) esquema sobre a determinação da quantidade de finos liberada a partir da
curva de função de retenção máxima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
xiii
Figura 61: Permeabilidade estabilizada em função da velocidade: a) BS012 e b) BS013. . . . . 114
Figura 62: Ajuste do diferencial de pressão ao longo do testemunho pelo modelo matemático
para os testes: a) BS012 e b) BS013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Figura 63: Solução do problema de migração de finos em velocidades elevadas: a) trajetória
das frentes e linhas características no plano (X ,T ); b) perfis de concentração em
suspensão em três momentos distintos; c) perfis de concentração retida em três mo-
mentos distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Figura 64: Históricos de concentração de efluente C, concentração retida Sse diferencial de
pressão adimensional J ao longo do testemunho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Figura 65: Forma da função de retenção crítica σcr (U) para os testes BS012 (figura a) e BS013
(figura b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Figura 66: Histograma dos finos móveis para os testes BS012 (a) e BS013 (b). . . . . . . . . . 128
Figura 67: Esquema dos equipamentos de laboratório utilizados nos testes de migração de finos
em meios porosos: 1-fluido injetado, 2-bomba, 3-coreholder com testemunho, 4-
fluido produzido; 5,6,7-transdutores de pressão, 8-sistema de aquisição de dados,
9-Computador com LabView, 10-bomba manual para manutenção de pressão de
confinamento, 11-manometro, 12-16-válvula de controle. . . . . . . . . . . . . . . 134
Figura 68: Equipamentos utilizados nos testes de migração de finos em meios porosos. . . . . 135
Figura 69: Análise dos efluentes líquidos: a) medidas de condutividade; b) finos residuais sub-
metidos à análise de difração de raios-X após evaporação de água produzida. . . . . 138
Figura 70: Distribuição por tamanho dos finos produzidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Figura 71: Resultados da análise de difração de raios-X dos finos oriundos do fluido produzido. 139
Figura 72: Dados laboratoriais do teste 12: a) histórico de impedância; b) diferenciais de pres-
são ao longo do testemunho e de suas seções em função dos volumes porosos inje-
tados (VPI). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Figura 73: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a
vazão de 10 mL/min. Medidas referentes ao teste 12. . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Figura 74: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a
vazão de 20 mL/min. Medidas referentes ao teste 12. . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Figura 75: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a
vazão de 30 mL/min. Medidas referentes ao teste 12. . . . . . . . . . . . . . . . . 143
xiv
Figura 76: Permeabilidade estabilizada em função da velocidade de fluxo para o teste 12, con-
forme obtida a partir dos dados de diferencial de pressão ao longo do testemunho e
de suas secções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Figura 77: Tempos de estabilização de permeabilidade em função da velocidade para 16 testes. 144
Figura 78: Ajuste de dados de impedância para o teste 12. Quadrados: dados experimentais
para todo o testemunho. Círculos: dados referentes a impedância medida entre a
face de injeção e um ponto distante desta por 2.9 cm (total - seção 3). Curvas azuis:
ajuste do modelo. Curva vermelha tracejada: velocidade de fluxo. . . . . . . . . . 146
Figura 79: Curva de retenção máxima reconstituída a partir do teste 12. . . . . . . . . . . . . 146
xv
SIMBOLOGIA
Alfabeto Latinoa Parametro da expresão kp (σp)
A Área de seção transversal, m2
A132 Constante de Hamaker, J
A Aceleração aleatória, m/s2
b Raio do envelope de fluido, m
B Coeficiente de captura de partículas
B Fator volume de formação, m3 condições reservatóriom3 condições padrão
c Concentração de partículas em suspensões
cs Fator de correção de Cunningham
d Profundidade a partir de uma superfície de referência (Datum), m
Dm Coeficiente de difusão molecular do sal, m2/s
D Constante dielétrica do meio
f Fração de capilares tamponáveis
F Força, N
Fn Força normal à parede do poro, N
g Aceleração da gravidade, m/s2
H Altura do canal
H(y) Função passo unitário de heavside
h Separação entre rocha e partícula, m
k Permeabilidade absoluta, mD
kdet Coeficiente de liberação de partículas
kmed Permeabilidade média, mD
kr Permeabilidade relativa
Kd Coeficiente de distribuição do componente sal entre a fase aquosa e a rocha
m Massa, Kg
mJ Coeficiente da reta ângular da reta de Impedância
n Densidade de capilares por área de seção transversal, m−2
P Pressão, Pa
Pcow Pressão capilar entre óleo e água, Pa
q Vazão volumétrica do poço, m3/s
qc Termo de sumidouro/fonte de sal por unidade de volume da formação, Kg/m3
rs Raio de partícula, m
R Coeficiente de liberação de partículas
Rv Termo da Equação de Langevin referente à Aceleração Aleatória, m/s
Rim Fator de recuperação durante a embebição espontânea
Rw f Fator de recuperação durante a injeção de água
S Saturação
STC Condições padrão (standart)
t Tempo, s
T SD Teor total de sólidos dissolvidos
v Velocidade da partícula, m/s
V Volume, m3 ou Módulo do vetor velocidade, m/s
VLVA Potencial de Interação de London - van der Waals, J
VDLR Potencial de Dupla Camada Elétrica, J
VBR Potencial de Born, J
V Velocidade Darcy (aparente), m/s
u Densidade volumétrica de fluxo (unidimensional), m/s
u Vetor velocidade do fluido, m/s
x Posição do eixo cartesiano x
x Vetor posição
Xc Fração de massa do componente sal na fase aquosa
Xw Fração de massa do componente água na fase aquosa
zi Valência do íon
Z Separação normalizada entre partícula e rocha
Alfabeto Grego
α Constante empírica
β Coeficiente de dano à formação, Constante empírica
βc f Coeficiente de fricção, 1/s
χ Coeficiente da força de elevação
ψ Potencial eletrostático de superfície, V
δ ,δ (t) Constante empírica, Função delta de Dirac (Função impulso)
∆x Espessura de seção transversal, m
∆t Intervalo de tempo, s
xvii
ε Constante empírica
ε0 Permissividade do espaço livre (vácuo), C2/N.m2
φ Porosidade efetiva
γ Tensão interfacial entre óleo e água, N/m
η Constante empírica
λ ′ Função/Coeficiente de filtração, 1/m
λ Coeficiente de filtração adimensional
µ Viscosidade, Pa.s
ω Coeficiente da força de arraste
ρ Massa específica, kg/m3
σ Concentração de partículas depositadas
σLJ Diâmetro de colisão de Lennard-Jones, m
ρdg Massa específica do gás dissolvido no óleo em condições de reservatório, kg/m3
ρo Massa específica do óleo, excluso o gás dissolvido, em condições de reservatório, kg/m3
τ Tortuosidade do meio poroso
Subscritosa Aderido ao poro
c f Arraste do fluido
cr Crítica (Máxima)
D Adimensional
e Elétrica
e f luente Mensurado no líquido efluente da injeção
ext Externa
HiSal Alta salinidade
i Inicial ou original
l Elevação hidrodinâmica
LoSal Baixa salinidade
np Não-tamponável
o Óleo
or Óleo residual
p Tamponável
r Aleatório
R Grãos da rocha/meio poroso
w Água
β Fase β
xviii
RESUMO
A migração de finos é uma das maiores causas de dano à formação na produção de óleo e gás.
Este fenômeno foi considerado “responsável” pelo declínio de produtividade em reservatórios mal
consolidados, com alto teor de argilominerais e/ou de óleo pesado. Além disso, é comprovado que
a migração de finos é a principal causa de declínio de injetividade durante a injeção de água de
composição distinta daquela da água conata. Também foi demonstrado que o aumeno do varrido e da
recuperação final durante a injeção de água inteligente (smart waterflooding) em arenitos é devido a
mobilização, migração e exclusão por tamanho dos finos naturais do reservatório.
Diversas tecnologias de prevenção, mitigação e remoção de dano à formação relacionado a migra-
ção de finos foram desenvolvidas indústria petrolífera moderna. Em contrapartida, muitos métodos
de aproveitamento de migração de finos para melhoria da recuperação de óleo e gás foram propostos
e publicados. A decisão de implementação dos métodos mencionados acima é baseada em modelos
matemáticos robustos e confiáveis que utilizam dados de laboratório. No entanto, o modelo atual para
migração de finos em meios porosos possui muitas falhas: o modelo exibe reposta com atraso para
a mudança abrupta de velocidade e composição de fluido, enquanto diversos trabalhos laboratoriais
mostram resposta instantânea; a adesão de finos é descrita pela teoria fundamental de filtração pro-
funda, equanto o modelo de liberação é descrito pelas equações fenomenológicas de cinética linear
com coeficientes empíricos que não podem ser previstos teoricamente.
Portanto, o problema de criação de um modelo matemático de migração de finos em meios poro-
sos baseado em dados de laboratório que seja robusto e confiável é um problema importante para a
teoria de fluxo em meios porosos, com aplicações básicas na prática de engenharia de reservatórios.
A tese apresentada contém uma introdução da função de retenção máxima para a modelagem da
liberação de finos. Métodos teóricos de predição baseados em física na micro-escala e de determi-
nação laboratorial para a função de retenção máxima foram desenvolvidos. O tratamento de dados
laboratoriais e a comparação com as previsões teóricas exibem excelente concordância, o que valida
o modelo de liberação baseado na função de retenção máxima. Também se concluí que a função de
retenção máxima é uma propriedade fundamental do meio poroso e da suspensão em fluxo.
Esta tese contém a descoberta de que uma fração significativa dos finos mobilizados deslocam-se
ao longo da superfície da matriz porosa com velocidade que é significativamente menor que a do fluido
que a transporta. Esta descoberta também foi implementada no modelo matemático e foi confirmada
com clareza na comparação com experimentos laboratoriais. O desenvolvimento e validação do novo
modelo matemático baseado nas noções de função máxima de retenção e velocidade de deslocamento
é a principal realização da tese apresentada.
Palavras chave: Suspensões; Colóides; Liberação de Partículas; DLVO; Migração de Finos;
Filtração; Escoamento em Meio Poroso; Suspensão; Transporte de Fluidos com Sólidos
xx
ABSTRACT
Fines migration is one of the major causes for formation damage in oil and gas production. This
phenomenon has been found for being “responsible” for productivity decline in low consolidated,
high clay content or heavy oil reservoirs. Besides, fine migration has proven to be the main rea-
son for injectivity decline during injection of water with composition that differs from the connate
water composision. Also, the increase of sweep efficency and final recovery during so-called smart
waterflooding in sandstones is due to mobilisation, migration and straining of natural reservoir fines.
Numerous tecnologies for prevention, mitigation and removal of the fines-migration-related for-
mation damage have been developed in the modern petroleum industry. On the contrary, several
methods to take advantageof fines migration for improvement of oil and gas recovery have been
recently proposed and widely published. The decision making of implementation of the above men-
tioned tecnologies is based on reliable robust laboratory-based mathematical models. However, the
current mathematical model for fines migration in porous media has several shortcomings: the model
exhibits the delayed response to abrupt change in velocity and carrier fluid composition, while nu-
merous laboratory works exhibit the instant response; fines attachment is described by a fundamental
deep-bed filtration theory, while the detachment model is described by the phenomenological equa-
tions of linear kinetics with empircal coefficients that cannot be predicted theoretically.
Therefore the problem of creation of a valid and robust laboratory-based mathematical model of
fines migration in porous media is an important problem for theory of flow in porous media with basic
applications in practical reservoir engineering.
The presented thesis contains an introduction of the so-called maximum retention function that
models the fines detachment. Both theorethical method for maximum retention function prediction
from microscale physics and for its determination from the laboratory tests have been developed.
Treatment of the laboratory data and comparison with the theoretical prediction exhibts excellent
agreement, which validates the detachment model based on maximum retention function. It is also
concluded that the maximum retention funcion is a fundamental property of porous media and flowing
suspension.
This thesis contains a finding that the significant fraction of mobilized fines drift along the porous
matrix surface with velocity that is significantly lower that the carrier fluid velocity. This finding
was also implemented into the mathematical model and was clearly confimed by comparison with
laboratory experiments. The development and validation of a new mathematical model based on the
notions of maximum retention function and drift velocity is the main achievement of the presented
thesis.
Keywords: Suspension; Colloids; Particle detachment; DLVO; Fines Migration; Filtration; Flow
in Porous Media; Suspension Flow; Fluid Transport with Solids
xxii
1
1. INTRODUÇÃO
1.1 Escopo do problema
O transporte de suspensões e emulsões em meios porosos ocorre em numerosos processos das
engenharias ambiental, química, petrolífera e civil. O fluxo de partículas sólidas e líquidas com
captura e liberação de partículas pela rocha acontece na propagação de vírus, bactérias e gotículas
oleosas em aquíferos, filtragem industrial de líquidos e gases, cromatografia de exclusão por tamanho,
injeção de água do mar/produzida em campos de petróleo, invasão do filtrado na formação durante
a perfuração de poços, migração de finos em reservatórios de petróleo e em aquíferos, entre outros
(ENTOV E MIRZHADZHANZADE, 1990; ELIMELECH et al., 1995; KHILAR E FOGLER, 1998;
CIVAN, 2007; FRIMMEL et al., 2007). A importância desse transporte na indústria do petróleo
advém, via de regra, da redução que a captura de partículas implica a permeabilidade. A redução de
permeabilidade de uma formação produtora de petróleo é chamada de dano à formação. O diagnóstico
preciso da causa do dano à formação é vital para a tomada de decisão sobre o método de remediação
desse dano em poços. A previsão da migração de finos em reservatórios de petróleo é fundamental
para previsão do comportamento da injeção de água de baixa salinidade como método de recuperação
avançada.
A Figura 1 mostra um esquema típico de injeção de água de baixa qualidade/salinidade em um
poço injetor. Por água de baixa qualidade entende-se aquela cuja injeção ocasiona perda de injeti-
vidade, seja pela captura das partículas durante seu transporte ao longo do meio poroso, seja pela
formação e crescimento de reboco externo. Por água de baixa salinidade, entende-se aquela cuja a
concentração dos sais seja menor que a mínima para a mobilização de finos (KHILAR; FOGLER,
1983). A Figura 1 mostra um esquema de injeção dessas águas. Conforme o deslocamento do óleo se
processa, as partículas presentes na água são capturadas. No caso da água de baixa qualidade, ocorre a
captura das partículas em suspensão, enquanto no caso da baixa salinidade as partículas são liberadas
pela matriz do meio poroso e posteriormente capturadas. O que há em comum entre estes dois pro-
cessos é a captura e liberação de partículas no meio poroso. A retenção e liberação de partículas são
muito relevantes também nos processos ambientais, nos quais a concentração das partículas não pode
exceder um valor de segurança. Para a produção de petróleo a alteração de permeabilidade é mais
importante, devido aos seus efeitos na injetividade e produtividade dos poços. A modelagem mate-
mática de filtração profunda levando em conta a liberação e captura de partículas é parte essencial do
planejamento e projeto dos processos acima mencionados.
2
Figura 1: Esquema de injeção de água de baixa qualidade/salinidade em reservatórios de petróleo(Vaz Júnior, 2009).
A abordagem mais comum utilizada para avaliar a migração, retenção e liberação de partículas
em estudos de laboratório e de campo é a equação de balanço de massa das partículas com uma ci-
nética de liberação e captura. A cinética de captura e liberação é dotada de dois componentes: um
termo referente a captura de partículas (sumidouro) e outro refente a liberação (fonte) (SCHIJVEN E
HASSANOZADEH, 2000; LOGAN, 2001; BRADFORD et al., 2003; FOPPEN E SCHIJVEN, 2006;
TUFENKJI, 2007). Nessa abordagem, o termo de captura é proporcional ao fluxo advectivo de par-
tículas (produto da concentração em suspensão com a velocidade); a constante de proporcionalidade
é chamada de coeficiente de filtração. O termo de liberação é proporcional à concentração retida; a
constante de proporcionalidade é chamada de coeficiente da taxa de liberação. Quando se adiciona
a essa abordagem uma equação de micro-nível que permita a previsão do coeficiente de filtração,
obtém-se o que é chamado de teoria clássica da filtração. A teoria avançada para a dependência do
coeficiente de filtração com as interações partícula-grão, partícula-partícula, velocidade de fluxo, di-
fusão Browniana e sedimentação gravitacional já se encontram desenvolvidas (NABZAR et al., 1996;
CHAUVETEAU et al., 1998; TUFENKJI E ELIMELECH, 2004a; ROUSSEAU et al., 2008), mas o
coeficiente de liberação é uma constante empírica determinada por ajuste de dados experimentais.
Outro problema do modelo de liberação-adesão advectivo-difusivo com a cinética de liberação é a
estabilização assintótica da concentração retida e da permeabilidade quando o tempo tende a infinito,
em contraponto com a observação de que a liberação de finos devido a aumento abrupto de gradiente
de pressão ou diminuição súbita de salinidade ocorre quase instantaneamente (KHILAR E FOGLER,
1998; MIRANDA E UNDERDOWN, 1993). Os testes de laboratório com aumento rápido de vazão
mostram resposta instantânea de permeabilidade (OCHI E VERNOUX, 1998).
Há muito foi reconhecido que a liberação de partículas ocorre se o equilíbrio mecânico das par-
tículas retidas no reboco interno não é respeitado (SCHECHTER, 1992; RAHMAN et al., 1994;
3
CIVAN, 2007; BRADFORD; TORKZABAN, 2008). As forças, atuantes na partícula alocada sobre
o reboco interno, são: eletrostática, de arraste, de elevação e gravitacional. Alguns autores conside-
ram um balanço de forças entre a força de arraste, atuante na partícula pelo fluido em movimento no
entorno, e a força de fricção com um coeficiente de Coulomb empírico (CIVAN, 2007). Outra abor-
dagem incluí o balanço de momento das forças (JIAO E SHARMA, 1994; FREITAS E SHARMA,
2001). As duas abordagens são equivalentes.
Ainda sim, a equação de advecção-difusão com cinética de liberação-captura não reflete o equi-
líbrio mecânico da partícula, não havendo relação entre o termo de liberação e este equilíbrio. Um
modelo matemático em macro-escala para o transporte de suspensões em meios porosos com libera-
ção de partículas devido a perturbação no equilíbrio mecânico da partícula não se encontra disponível
na literatura.
1.2 Objetivos
O objetivo principal deste trabalho é desenvolver e validar um modelo matemático de mobilização
e migração de finos em arenitos levando em consideração observações laboratoriais de mobilização
instantânea de finos e velocidade baixa de deslocamento de finos perto das paredes de poro. Os
objetivos específicos da tese são:
1. Desenvolver um modelo matemático com função de retenção máxima para deposição em mo-
nocamadas e policamadas, com distribuição de finos sobre tamanho.
2. Obter solução analítica para mobilização de finos durante da alteração de velocidade.
3. Validar a concepção de função de retenção máxima pela comparação entre modelo analítico e
dados experimentais.
4. Analisar os dados de transporte de finos recentemente mobilizados e avaliar a velocidade de
deslocamento.
5. Introduzir a velocidade de deslocamento diferenciada das partículas no modelo matemático de
migração de finos e validar este modelo pela comparação com dados experimentais.
1.3 Organização do Texto
No Capítulo 2 será feita uma breve revisão bibliográfica sobre a filtração profunda e a injeção de
água de baixa salinidade. No Capítulo 3, será descrita a aplicação da função de retenção máxima para
explicar os testes laboratoriais em filtração profunda realizados com vazões alternadas. No Capítulo
4
4, será feita a inclusão da velocidade de deslocamento dos finos no modelo apresentado no Capítulo
3, bem como será discutido como construir a função máxima de retenção para uma distribuição de
partículas em monocamada. Esses resultados serão, então, comparados com os dados experimentais
de testes disponíveis na literatura. No Capítulo 5, será feita uma análise de testes de longa duração
de migração de finos por aumento de velocidade. Nestes teste, é possível observar a estabilização
da permeabilidade e o comportamento da pressão em pontos intermediários. Esta análise mostrará
como estes dados corroboram a concepção de velocidades diferentes para fluido e partículas quando
do transporte de suspensões/coloides em meios porosos.
5
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Este capítulo é dedicado à revisão bibliográfica de duas áreas fundamentais para a compreensão
deste trabalho: a filtração profunda e a injeção de água de baixa salinidade. Nesses dois fenômenos,
será dado enfoque para os processos que ocorrem em arenitos, haja vista os objetivos da tese. A seção
2.1 tratara dos modelos de filtração profunda, enquanto a seção 2.2 é dedicada a injeção de água de
baixa salinidade.
2.1 Filtração Profunda
Nesta seção, será realizada uma exposição sobre os modelos de filtração profunda. Para melhor
entender esses modelos, adotar-se-á a classificação concebida por Sahimi et al. (1990). Esta classi-
ficação divide os modelos de filtração profunda em dois grandes grupos: os modelos contínuos e os
modelos estatísticos. A seguir, será realizada uma breve exposição dos modelos contínuos, seguindo-
se então uma exposição sobre os modelos estatísticos.
2.1.1 Modelos Contínuos
Modelos de Análise de Trajetória
Segundo Sahimi et al. (1990) estes modelos se caracterizam pela divisão do meio poroso em
unidades fundamentais de deposição, ou coletores. Essas unidades podem assumir qualquer forma,
mas de maneira geral são cilíndricas ou esféricas. Uma vez definida a forma desse coletor, o fluxo
em sua vizinhança é determinado. A determinação desse fluxo, por sua vez, possibilita o cálculo
das trajetórias descritas pelas partículas, a partir das forças atuantes sobre elas. De maneira geral, é
possível incluir todas as forças DLVO atuantes sobre as partículas, mas a força difusiva browniana
geralmente não é incluída, pois é estocástica enquanto a equação do movimento das partículas é
puramente determinística. A captura de partículas é modelada a partir das trajetórias que levam a
partícula a colidir com o coletor. Nesses modelos, é geralmente assumido que não há exclusão pelo
tamanho, ou seja, a retenção de partículas se dá apenas por sua colisão com os coletores.
Ramarao et al. (1994) estudaram a eficiência de captura de aerosóis em um meio fibroso. Os me-
canismos contemplados são o movimento Browniano, a impactação inercial e a interceptação direta.
A impactação inercial ocorre quando a inércia da partícula modifica sua trajetória o suficiente para
6
que ocorra seu encontro com o meio filtrante. A modelagem desses autores se baseia na equação de
Langevin. Cada partícula de aerosol em movimento no meio poroso tem sua trajetória ao redor do
elemento filtrante determinada pela ação de três forças distintas: a força de arraste do fluido Fc f , uma
força externa Fext e uma força aleatória Fr, conforme a equação abaixo:
mdvdt
= Fc f +Fext +Fr, (1)
em que m é a massa da partícula, v é o vetor velocidade da partícula e t é o tempo. A força aleatória Fr
é formulada para representar o efeito combinado das numerosas colisões das moléculas do fluido com
a partícula, que são a causa do movimento Browniano. Essa força pode ser escrita como o produto
da massa da partícula e uma aceleração Browniana aleatória A(t). Ramarao et al. (1994) consideram
que este vetor é independente da velocidade da partícula. Também consideram que A(t) varia mais
rapidamente que as variações na velocidade. Como representação desta função, os autores utilizam
um processo de ruído branco Gaussiano, devido a duas de suas propriedades: A(t) tem média zero e
sua autocorrelação é a função impulso. Esses fatos são representados respectivamente pelas equações:
〈A(t)〉= 0, (2)
〈A(t)A(t + τ)〉= Kδ (t− τ) . (3)
A força de arraste hidrodinâmico é calculada usando:
Fc f = mβc f (u−v) , (4)
em que u é a velocidade do fluido (ao redor do elemento filtrante) e βc f é um coeficiente de fricção.
Com o uso da lei de Stokes, βc f é dado pela relação:
βc f =6πµrs
csm, (5)
na qual rs é o raio da partícula, µ é a viscosidade do fluido e cs é o fator de correção de Cunningham.
A equação (1) permite solução analítica caso a velocidade do fluido, o fator βc f e a força externa
sejam constantes, dada por:
v = v0e−βc f t +u(
1− e−βc f t)+
Fext
mβc f
(1− e−βc f t
)+Rv (t) , (6)
em que v0 é a velocidade no tempo t = 0 e Rv é dado por:
7
Rv (t) =t∫
0
eβc f (ζ−t)A(ζ )dζ . (7)
Substituindo x = dv/dt em (6) e integrando, obtêm-se a trajetória da partícula como:
x = x0 +v0
βc f
(1− e−βc f t
)+u[
t− 1βc f
(1− e−βc f t
)]+
Fext
mβc f
[t− 1
βc f
(1− e−βc f t
)]+Rr (t) , (8)
em que x é o vetor posição da partícula, x0 é a posição da partícula no tempo t = 0 e Rr (t) vem dado
por:
Rr (t) =t∫
0
n∫0
eβc f ζ A(ζ )dζ
e−βc f ndn. (9)
Rr (t) e Rv (t) são duas variáveis aleatórias de uma distribuição Gaussiana bivariada (CHAN-
DRASEKHAR, 1943 apud RAMARAO et al., 1994). Os componentes dessas duas variáveis podem
ser calculados por:
[Rvi
Rri
]=
[σvi 0
σvri/σvi
(σ2
ri− σ2vri/σ2
vi
)1/2
][ni
mi
], (10)
σ2vi =
qβc f
(1− e−2βc f t
), (11)
σ2ri =
qβc f
(2βc f t−3+4e−βc f t− e−2βc f t
), (12)
σvri =q
βc f
(1− e−βc f t
)2, (13)
q =βc f kBT
m, (14)
em que kB é a constante de Boltzmann e nie mi são dois números normalmente distribuídos. Sejam Ni
e Mi dois números aleatórios entre 0 e 1. nie mi podem ser encontrados pela seguinte relação:
Ai =1√2π
∫ ai
−∞
e−ζ 2/2dζ , (15)
na qual Ai = Ni ou Mi e ai = ni ou mi.
As simulações que Ramarao et al. (1994) realizaram não atendiam as condições prescritas para
a equação (8). Todavia, essa equação foi utilizada nas simulações. Para isso, dividiu-se o tempo de
simulação em intervalos menores de tempo, aproximou-se os termos variáveis da equação (1) nesses
intervalos por uma média e utilizou-se (8) neles, substituindo-se t por ∆t , que é a variação de tempo
8
dos intervalos. O elemento filtrante utilizado nesse trabalho tinha formato de cilindro infinito de raio
r f , disposto transversalmente ao fluxo. O fluxo foi representado pelo campo de fluxo de Kuwabara.
O fluxo ao redor do elemento foi modelado como um envelope cilíndrico de raio b, como mostra a
Figura 2. O raio desse envelope é calculado por:
b = R f (1−φ)−1/2 , (16)
em que φ é a porosidade do meio.
Figura 2: Esquema geométrico do elemento unitário e do envelope de fluido que o envolve, con-forme utilizado no trabalho de Ramarao et al. (1994). As linhas de fluxo estão grafadas como setas(RAMARAO et al., 1994).
A função de fluxo utilizada pelos autores vem dada por (KUWABARA, 1959 apud RAMARAO
et al., 1994):
Ψ =usrsenθ
2Ku
[ln(
rr f
)2
− (1−α)+(r f
r
)(1− α
2
)+(
α
2
)( rr f
)2], (17)
em que:
r2 = x2 + y2, (18)
θ = arctg(y/x) , (19)
α = 1−φ , (20)
Ku =−(1/2) lnα +α−α2/4− 3/4, (21)
nas quais us é a velocidade superficial e α (= 1−φ) é a densidade do empacotamento.
A habilidade da fibra reter partículas é caracterizada no trabalho de Ramarao et al. (1994) de
duas formas. A eficiência do coletor unitário (unit collector efficiency), η , e o fluxo de partículas por
9
unidade de fibra Fpart , estão relacionados pela expressão:
η =Fpart
2πbusc0, (22)
onde c0 é a concentração do fluido à montante. Alternativamente, é possível caracterizar a eficiência
do coletor em termos de um fluxo adimensional. Esse fluxo vem dado pela normalização de Fpart por(2πr f
)usc0. Essa normalização da origem a definição da eficiência de uma única fibra (single fiber
efficiency), η , pela expressão:
η =Fpart
2πr f usc0. (23)
É fácil mostrar que ambas definições estão relacionadas por um fator constante:
η = η (1−φ)1/2 . (24)
O princípio de simulação desses autores é o monitoramento das trajetórias das partículas simu-
ladas. Os passos envolvidos neste processo são (TIEN, 1989 apud RAMARAO et al., 1994): (a)
identificação do domínio espacial pelo qual as partículas trafegam, (b) especificação do campo fluxo
em torno das superfícies coletoras, (c) determinação das velocidades e posições iniciais das partícu-
las conforme fluem passando pelos coletores e (d) determinação das trajetórias das partículas. Neste
trabalho, o domínio espacial é o envelope cilíndrico de fluido em torno de uma fibra posicionada
transversalmente à direção do fluxo. Devido à geometria do problema, é suficiente considerar apenas
a metade da célula básica. O campo de fluxo adotado foi o de Kuwabara. Finalmente, a determinação
das trajetórias das partículas é feita pela integração da equação de Langevin baseando-se nas equações
(6) e (8).
No tocante à posição inicial das partículas, sua determinação se dá pela distância do centro da
célula, no envelope do fluido. Em coordenadas cartesianas cuja origem é o centro do coletor, as
coordenadas desse ponto inicial são:
−x =(b2− y2
0)1/2
, (25)
y = y0. (26)
A bidimensionalidade do fluxo permite assumir que as partículas entrantes estão distribuídas
aleatoriamente sobre o segmento de linha em x =−b estendendo-se de y = 0 até y = b. Assim sendo,
é possível designar a posição inicial de N partículas gerando uma sequência de números aleatórios
10
0 < ni < 1, i = 1,2, ...,N. Esta sequência define y0 através da relação:
y0 = nib. (27)
Assume-se também que as partículas Brownianas estão inicialmente em equilíbrio térmico com
o fluido. Por isso, a velocidade inicial da partícula é igual à do fluido acrescida de um componente
randômico devido à agitação térmica. As velocidades das partículas podem então ser consideradas
como distribuídas segundo a distribuição de Maxwell:
v0 = u0 +v′0, (28)
em que u0 é a velocidade do fluido em r0 e v′0 é uma variável aleatória Gaussiana com:
⟨v′0⟩= 0, (29)
⟨v′0v′0
⟩= 3βc f
kBTm
1. (30)
na qual 1 é o vetor cujos componentes são todos unitários.
O esquema numérico de cálculo de trajetórias, baseado nas equações (6) e (8) é enunciado por:
vx,i+1 = vx,ie−βc f ∆t +uxi
m
(1− e−βc f ∆t
)+Rvx , (31)
vy,i+1 = vy,ie−βc f ∆t +uxi
m
(1− e−βc f ∆t
)+Rvy , (32)
xi+1 = xi +vxi
βc f
(1− e−βc f ∆t
)+
uxi
m
[∆t− 1
βc f
(1− e−βc f ∆t
)]+Rrx , (33)
yi+1 = yi +vyi
βc f
(1− e−βc f ∆t
)+
uyi
m
[∆t− 1
βc f
(1− e−βc f ∆t
)]+Rry, (34)
na qual Rvx , Rvy , Rrx e Rry são variáveis aleatórias dadas pela equação (10) e o subscrito i denota os
valores em t = i∆t. Os possíveis destinos das partículas são ou o impacto no coletor (captura) ou a
saída do envelope do fluido. A condição de captura é:
x2i + y2
i ≤(r f + rs
)2. (35)
O cálculo da eficiência de captura é realizado da seguinte forma: sejam N partículas entrantes no
envelope de fluido, das quais Nc delas são capturadas. A eficiência do coletor unitário vem dada então
por:
11
〈η〉= 〈Nc〉N
, (36)
em que 〈 〉 denota o valor médio em um grande número de tentativas. 〈η〉 pode ser obtida pela relação
(24).
As simulações realizadas demonstraram que a inclusão do movimento Browniano age sinerge-
ticamente com os outros mecanismos, aumentando a eficiência de filtragem para além do esperado
pela simples soma das eficiências desses mecanismos com o movimento Browniano, como mostra a
Figura 3. Esse efeito foi observado mais especificamente nos tamanhos intermediários de partícula.
Uma possível explicação ao fenômeno, segundo os autores, é a seguinte: existe a possibilidade da
inércia das partículas ocasionar um aumento na concentração de partículas na parte frontal do coletor
cilíndrico ou esférico, denominado de enriquecimento inercial. Como consequência disso, ocorre o
aumento da força impelidora. Esse aumento acarreta então um aumento de fluxo de partículas, que se
traduz em termos de eficiência do coletor.
Figura 3: Influência do diâmetro das partículas (eixo horizontal) na eficiência de filtração (eixo ver-tical). A linha cheia representa a soma da eficiência do mecanismo Browniano com a eficiência dacomposição dos mecanismos de interceptação e impactação. A curva tracejada é a soma das efi-ciências dos mecanismos Browniano e de interceptação direta. Os círculos cheios representam osresultados da simulação. Extraído de Ramarao et al. (1994).
Vitthal e Sharma (1992) realizaram um estudo de filtração profunda e formação de reboco ex-
terno utilizando um modelo de Dinâmica Stokesiana. Foram contemplados por esses modelo três
mecanismos de captura de partículas: deposição de superfície, quando a partícula é atraída por forças
eletrostáticas e depositada na superfície do grão; exclusão pelo tamanho, quando a partícula encontra
uma abertura entre os grãos do meio poroso que é menor do que ela; e formação de pontes, quando
as partículas começam a ser capturadas sobre aquelas que se depositaram anteriormente. Os autores
fazem uma clara distinção deste último mecanismo e o mecanismo por eles denominado de exclusão
hidrodinâmica multipartícula, que ocorre quando muitas partículas tentam passar simultaneamente
por um único poro, ficando ai retidas.
12
No tocante à modelagem do movimento das partículas, os autores utilizam a equação de Langevin
acoplada, incluindo efeito Browiano, forças oriundas dos potenciais DLVO e arraste hidrodinâmico.
Para modelar a deposição de partículas, Vitthal e Sharma (1992) conceberam, em suas simulações
numéricas, um meio poroso formado por esferas de mesmo raio, dispostas em empacotamento cúbico,
como mostra a Figura 4. A dimensão deste empacotamento era de 8 x 8 x 8 esferas. O movimento
das partículas foi modelado da seguinte forma: uma partícula era posicionada no centro e acima do
arranjo de esferas. Procedia-se então com a simulação do movimento desta partícula até que esta fosse
capturada ou deixasse o meio poroso. Caso ela fosse capturada, ela se tornaria parte do meio poroso.
Então se posicionava outra partícula no centro e acima do meio poroso e assim sucessivamente até
que a meta de número de partículas a serem simuladas fosse alcançada.
Figura 4: Empacotamento cúbico de esferas. Retirado de Vitthal e Sharma (1992).
Usando este modelo, Vitthal e Sharma (1992) afirmaram que existe grande efeito das partículas
depositadas na trajetória das partículas ainda em suspensão, já que modificam as linhas de fluxo. Essa
modificação das linhas de fluxo acarreta no carreamento das partículas para caminhos mais livres
ao movimento das partículas. Esse efeito, segundo os autores, não pode ser desprezado. O modelo
também mostrou que a deposição ocorre primeiramente próxima às constrições ao fluxo. Mostrou
também que o tamanho relativo das partículas muda significativamente as características da depo-
sição. Neste sentido, mostrou que partículas grandes (razão entre partícula e grão igual a 0,3) são
depositadas por formação de pontes e exclusão de tamanho nas gargantas de poro logo nas primei-
ras camadas de grãos do meio poroso, enquanto partículas menores se depositam mais uniformente
ao longo do meio poroso. Para testar a flexibilidade do método proposto, esses autores realizaram
simulações com outros 3 tipos de arranjos de esferas: o cúbico centrado no corpo (body centered
cubic, BCC), o cúbico centrado na face (face centered cubic, FCC) e o fechado hexagonal (hexagonal
closed packing, HCP). Esses arranjos se encontram grafados nas Figuras 5.a, 5.b e 5.c, respectiva-
mente. Desses arranjos, o BCC foi aquele que exibiu maior grau de captura de partículas. Essa maior
eficiência se explica pela maior tortuosidade deste meio poroso. Finalmente, o modelo demonstrou
que o módulo da velocidade não afeta significativamente a eficiência de filtração do meio poroso.
13
Todavia, quando existe um componente de fluxo tangente ao meio poroso, existe maior deposição em
comparação ao caso modelado na sua ausência.
(a) (b)
(c)
Figura 5: Outros tipos de empacotamento utilizados nas simulações de Vitthal e Sharma (1992): (a)empacotamento cúbico centrado no corpo (BCC), (b) empacotamento cúbico centrado na face (FCC)e (c) empacotamento hexagonal fechado, aqui mostrado com algumas partículas menores depositadas.Extraído de Vitthal e Sharma (1992).
Chang et al. (2003) realizaram um estudo sobre a predição da deposição de partículas Browni-
anas em meios porosos usando o modelo de tubo com restrição. As formas de tubo adotadas por
esses autores foram três: restrição em forma parabólica, em forma sinusoidal e em forma hiperbólica.
A Figura 6 mostra essas restrições. Também foi examinado o efeito do tipo de curva de interação
DLVO na deposição das partículas. Os resultados das simulações desses autores mostraram que, caso
a curva de energia DLVO mostre um máximo e um mínimo secundário, a eficiência de captura da
geometria sinusoidal é superior as outras, e a geometria parabólica é a menos eficiente. Todavia,
quando a curva DLVO não possuía barreira energética, foi a geometria parabólica a mais eficiente, e
a geometria sinusoidal a menos eficiente. Este trabalho também realizou comparações entre as pre-
dições e dados experimentais. Embora não consiga explicar estes dados satisfatoriamente, o modelo
nele apresentado representa uma melhoria sobre o modelo convectivo-difusivo exposto em (PRIEVE;
14
RUCKENSTEINN, 1974 apud CHANG et al., 2003).
(a) (b)
(c)
Figura 6: As formas de tubo com restrição utilizadas em (CHANG et al., 2003): a) restrição parabó-lica, b) restrição sinusoidal e c) restrição hiperbólica. Retirado de Chang et al. (2003).
Frey et al. (1999) realizaram um estudo sobre o transporte e a captura de partículas não-Brownianas
quando essas partículas estão sujeitas principalmente a efeitos hidrodinâmicos e inerciais pequenos.
Este estudo consistiu de uma parte experimental e de uma parte teórica. Na parte experimental, foram
construídos diversos micromodelos transparentes de canais interconectados em rede. A rede possuía
dimensões de 66 x 121 mm contendo 15000 dutos com sete classes de largura (de 0,1 a 0,6 mm) dis-
tribuídos de maneira log-normal. A distância entre dois sítios dessas redes era de aproximadamente
1 mm. A orientação desses canais com relação ao fluxo também foi variada, para poder mensurar
o efeito da anisotropia nos micromodelos. As partículas utilizadas eram de Rilsan, com tamanho de
30 µm. Os depósitos formados pela injeção de suspensão foram observados nas cantos dos grãos.
Foi constatado que a orientação desses depósitos era dependente da vazão e da anisotropia do campo
de fluxo. Na parte teórica, foi desenvolvido um modelo de análise de trajetória em um meio poroso
constituído de um arranjo duplamente periódico de grãos retangulares. Esse arranjo foi escolhido
por simular de maneira fiel os micromodelos construídos para a parte experimental deste trabalho. O
modelo numérico resultante foi aplicado para localizar os depósitos de partículas e determinar a efici-
ência de captura nos grãos para um intervalo de número de Stokes pequeno. A influência da razão de
aspecto dos grãos e da anisotropia do campo de fluxo nessa eficiência também foi estudada. Os resul-
15
tados deste modelo foram interpretados em termos de forma local dos depósitos e suas localizações,
sendo estas previsões comparáveis aos depósitos observados experimentalmente. Essas duas formas
de depósito são correspondentes a dois mecanismos de captura. Um deles, chamado de “depósito de
invasão de poro”, leva a depósitos que se desenvolvem a partir do topo do grão a jusante, crescendo
até o grão a montante. O outro, denominado de “depósito de invasão de garganta”, se dá nos canais
estreitos e bloqueiam essas gargantas. A Figura 7 ilustra os dois tipos de depósitos.
Figura 7: Tipos de depósitos estudados por Frey et al. (1999). Em círculo, depósitos de invasão degarganta. Os depósitos de invasão de poro são observados no topo dos grãos. O fluxo se dá de cimapara baixo (FREY et al., 1999).
Modelos Fenomenológicos
Para Sahimi et al. (1990), as características básicas deste tipo de modelagem são a modelagem
macroscópica utilizando equações de conservação contínuas e desconsideram os detalhes exatos da
morfologia do espaço poroso. Essas equações utilizam uma relação entre a taxa de retenção de partí-
culas, a concentração em suspensão e um coeficiente de filtração.
Modelo fenomenológico de filtração profunda exposto em Herzig et al. (1970) para a injeção
de água, acrescido de uma equação que descreve a redução da permeabilidade com a quantidade de
partículas retidas. O modelo de Herzig et al. (1970) se baseia na formulação de duas equações: a
equação do balanço de massa e a cinética de captura. As premissas desse modelo são:
1. Não há agregação de partículas.
2. A difusão é considerada desprezível.
3. A água e as partículas são incompressíveis e seus volumes são aditivos na suspensão (lei de
Amagat).
16
4. O fluido é Newtoniano, com viscosidade independente da concentração da suspensão.
Todas as hipóteses mostradas são honradas caso a concentração de partículas em suspensão seja pe-
quena.
Para facilitar a dedução da equação de balanço de massa, considere um meio poroso unidimen-
sional com área de seção transversal variável A(x), saturado por apenas um fluido, no qual se deseja
injetar uma determinada suspensão, que será filtrada. A conservação da massa postula que:
{Tx. de Acumulação de Partículas}= {Fluxo de Partículas Entrando}−{Fluxo de Partículas Saindo} .
Seja c a concentração da suspensão (em vol. de partículas/vol. da suspensão), σ a concentração
de partículas retidas (em vol. de partículas/vol. do meio poroso), Vx a velocidade Darcy da suspensão
na direção do eixo x e φ a porosidade efetiva do meio poroso (ver Figura 8). Considere também que
uma seção transversal de espessura ∆x e área A(x) é observada por um intervalo de tempo ∆t. Com
essas definições, traduz-se o princípio da conservação de massa em linguagem matemática como:
∆xA(x)[(φc+σ)t+∆t− (φc+σ)t
]∆t
= (AVxc)x− (AVxc)x+∆x ,
na qual t é tempo. Rearranjando obtém-se:
A(x)[(φc+σ)t+∆t− (φc+σ)t
]∆t
=(AVxc)x− (AVxc)x+∆x
∆x.
No limite quando tanto ∆x quanto ∆t tendem a zero:
A(x)∂
∂ t[φc+σ ]+
∂
∂x[A(x)Vxc] = 0. (37)
É possível estender a dedução apresentada para a equação (37) em mais de uma dimensão, obtendo-se
(BARENBLATT et al., 1990):
Figura 8: Elemento de Meio Poroso (adaptado de Herzig et al. (1970)).
17
∂
∂ t(φc+σ)+∇ · (Vc) = 0, (38)
na qual V representa o vetor velocidade Darcy.
A outra equação do modelo de Herzig et al. (1970) é a cinética de captura e liberação de partículas.
Esta equação é empírica e vem dada por:
∂σ
∂ t= λ
′ (σ)V c− kdet (V )σ , (39)
na qual λ ′ (σ) é a função de filtração, V é o módulo da velocidade Darcy V e kdet (V ) representa o
coeficiente de liberação das partículas. Para o caso especial onde λ ′ (σ) := constante, λ ′ é denomi-
nado de coeficiente de filtração. Caso a deposição seja pequena, é possível assumir que o coeficiente
de filtração é constante. Fisicamente, isto significa que o número de possíveis sítios de deposição é
muito maior em comparação com as partículas que podem depositar no meio poroso durante o tempo
da injeção, de tal forma que a quantidade sítios de deposição permanece praticamente a mesma. Outra
forma comum para a função λ ′ (σ) é a linear. Como descrito, kdet é determinado a partir de testes
laboratoriais e está relacionado à liberação das partículas. Para facilitar a exposição do modelo feno-
menológico de filtração profunda, o termo referente a liberação na equação (39) será tomado como
zero, sem perda de generalidade.
Pode-se avaliar a migração, retenção e liberação de coloides tanto em laboratório quanto em
escala de campo, a partir de uma equação de balanço de massa, com termo de sumidouro modelando
a retenção e um termo de fonte para considerar a liberação (LOGAN, 2001; FOPPEN; SCHIJVEN,
2006; FRIMMEL et al., 2007). O termo de captura é proporcional ao fluxo advectivo da partícula,
sendo a constante de proporcionalidade chamada de coeficiente de filtração. O termo de liberação é
proporcional a concentração de partículas retidas, com seu respectivo coeficiente denominado de taxa
de liberação. A teoria avançada da dependência do coeficiente de filtração com a difusão Browniana,
sedimentação gravitacional e velocidade da suspensão já se encontra desenvolvida em Tufenkji e
Elimelech (2004a), enquanto o coeficiente de liberação é determinado, na maioria dos casos, a partir
de dados experimentais. A determinação experimental dessa constante é uma limitação deste modelo.
Outra limitação do modelo com cinética de liberação de partículas é a estabilização assintótica
da concentração retida (e por conseguinte da permeabilidade) com o tempo, o que contradiz a obser-
vações feitas em migração de finos devido ao incremento no diferencial de pressão ou sob mudança
na salinidade, que mostram estabilização praticamente instantânea (KHILAR; FOGLER, 1998; MI-
RANDA; UNDERDOWN, 1993). Testes em testemunhos mostram incremento imediato de permea-
bilidade após aumento abrupto da vazão (FURTADO et al., 2005).
Há muito foi reconhecido que a liberação de partículas ocorre se o equilíbrio mecânico da par-
tícula retida no reboco interno não é satisfeito. As forças atuantes nessa partícula são eletrostáticas,
18
de arraste, de elevação e gravitacionais. Alguns autores consideram o balanço de forças entre a
força de arraste, gerada pelo fluxo do fluido, e a força de fricção com um coeficiente de Coulomb
empírico (CIVAN, 2007). Outra abordagem considera o momento dessas forças (JIAO; SHARMA,
1994; FREITAS; SHARMA, 2001). Ainda que ambas as abordagens sejam equivalentes, a equação
advectiva-difusiva com termo cinético de liberação não reflete o equilíbrio mecânico da partícula, já
que esse termo não é afetado pelo equilíbrio em questão.
O modelo fenomenológico de filtração profunda clássico consiste de duas equações: o balanço
de massa das partículas e a cinética de captura (HERZIG et al., 1970; PAYATAKES et al., 1974).
Esse modelo requer a determinação de um coeficiente, o coeficiente de filtração, referente à taxa de
subtração das partículas do fluido pelo meio poroso. Em verdade, essa taxa pode variar conforme
a concentração das partículas retidas, e nesse caso trata-se da função de filtração ao invés de um
coeficiente. Diversas formas dessa função se encontram propostas na literatura, e com algumas delas
o sistema de equações resultante admite solução analítica. A forma mais adequada dessa função para
um determinado processo, depende dos mecanismos de captura nele atuantes (HERZIG et al., 1970;
KUHNEN et al., 2000).
A modo mais tradicional para a obtenção da função/coeficiente de filtração é a regressão dos
dados de concentração da suspensão/solução coloidal à jusante do testemunho em função do tempo
(curva de breakthrough) (SOO et al., 1986; PANG; SHARMA, 1997; BOLSTER et al., 1998; FOP-
PEN et al., 2005; FOPPEN; SCHIJVEN, 2006). De fato, a solução deste problema inverso é bem
posta, ou seja, existe, é única e é estável com respeito à pequenas variações dos dados de entrada
(ALVAREZ et al., 2006). A partir da solução desse problema inverso é possível construir o perfil de
retenção das partículas.
Recentemente, uma série de trabalhos foram publicados expondo divergências entre os perfis
de retenção de partículas previstos a partir da solução do problema inverso e aqueles medidos experi-
mentalmente (BRADFORD et al., 2002, 2003, 2004; BRADFORD; BETTAHAR, 2006; TUFENKJI;
ELIMELECH, 2004b; AL-ABDUWANI et al., 2004; AL-ABDUWANI, 2005). Similarmente, alguns
testes exibem tempos de breakthrough (isto é, o tempo que as partículas injetadas levam para atingir
a face oposta do testemunho) entre 0,4 e 100 volumes porosos injetados, o que é muito diferente
do tempo de breakthrough previsto no modelo fenomenológico de um volume poroso (HARVEY;
GARABEDIAN, 1991; ROQUE et al., 1995; KRETZSCHMAR et al., 1997; CHAUVETEAU et al.,
1998; CAMESANO et al., 1999; VEERAPEN et al., 2001; MASSEI et al., 2002). Tempos me-
nores de breakthrough podem ser explicados pela introdução da dependência da porosidade com a
concentração de partículas retidas (CORAPCIOGLU; CHOI, 1996). Embora possua as contradições
apresentadas, existe validade e aplicabilidade prática para modelo fenomenológico para transporte de
suspensões em meios porosos, sendo possível usá-lo como base para formular possíveis generaliza-
ções.
19
De fato, a captura de partículas, seja por exclusão pelo tamanho, seja por forças elétricas, é in-
fluenciada de maneira profunda pela geometria dos poros e das partículas, ou seja, varia com o meio
poroso e a suspensão presentes no processo de transporte. Como as descrições e previsões do modelo
fenomenológico se referem a médias ou totais, não é possível discriminar quantidades a partir de suas
características microscópicas. Muitos estudos têm sido propostos para considerar variações locais na
eficiência da captura (ELIMELECH et al., 1995; KHILAR; FOGLER, 1998). A função de distribui-
ção de densidade de carga superficial foi ajustada conforme os dados experimentais (BAYGENTS et
al., 1998; SIMONI et al., 1998; BOLSTER et al., 1998, 1999). Em particular, a distribuição bimo-
dal ajusta com precisão considerável diversos dados simultâneos de perfil de retenção e concentração
de efluente nos quais o modelo clássico falha (TUFENKJI et al., 2003; TUFENKJI; ELIMELECH,
2005).
Segundo Herzig et al. (1970) existem cinco tipos de mecanismos de captura (chamados por essa
referência de “processos de captura”):
1. Sedimentação: Caso as partículas apresentem massa específica distinta a do fluido que as man-
tém em suspensão, elas se tornam suscetíveis à ação da gravidade e não possuem mais a mesma
velocidade que o fluido, podendo ir de encontro ao meio filtrante por sedimentação, onde são
capturadas.
2. Inércia: Devido ao peso aparente do fluido, as partículas podem se desviar das linhas de fluxo
quando nelas ocorre uma mudança abrupta. Não podendo acompanhar essa linhas, a partícula
pode entrar em contato com os grãos do meio poroso.
3. Efeitos Hidrodinâmicos: Devido a não uniformidade do campo de cisalhamento e a não esfe-
ricidade das partículas, alguns efeitos hidrodinâmicos podem ocorrer, ocasionando migração
lateral das partículas suspensas, com possível encontro delas com os grãos.
4. Interceptação Direta: Ainda que a partícula e o fluido possuam a mesma massa específica,
as partículas, devido ao seu tamanho, podem não serem capazes de acompanhar as menores
tortuosidades das linhas de fluxo do fluido carreador e por isso elas colidem com as paredes
das áreas convergentes dos poros. Este mecanismo é comumente denominado de exclusão pelo
tamanho.
5. Difusão por Movimento Browniano: As partículas se difundem e pode acessar áreas que não
são usualmente irrigadas pela suspensão, e ficam aí retidas. Para que o movimento Browniano
seja importante, Kim e Karrila (2005) afirmam que o tamanho da partícula deve ser menor que
0,1 micrômetros.
Em muitas situações, é possível divisar mais de um mecanismo de deposição de partículas. Seja
~σ o vetor cujos componentes i = 1,2,3, ...,n representam as concentrações retidas pelos mecanismos
20
i= 1,2,3, ...,n. Para cada um desses mecanismos, existe uma função λi (~σ), a partir da qual é expressa
a cinética de captura de cada mecanismo i como:
∂σi
∂ t= λ
′i (~σ)V c. (40)
É possível solucionar o sistema (37) e (40) (ou (38) e (40)) a partir da aglutinação de todos os meca-
nismos de captura em um único, conforme descrito em Guedes et al. (2006).
Embora o transporte de partículas em meios porosos interesse a diversos processos (por exemplo,
a dispersão de contaminantes em aquíferos), muitas vezes a indústria petrolífera requer uma previ-
são sobre o deterioramento da permeabilidade, normalmente expressa em termos de pressão. Para
preencher esta lacuna, utiliza-se a lei de Darcy modificada (BARENBLATT et al., 1990):
V =−k0k (~σ)
µ∇p, (41)
na qual k0 é a permeabilidade inicial, µ é a viscosidade do fluido, P é a pressão no fluido e k (~σ) é a
redução percentual da permeabilidade em função da deposição. Em problemas unidimensionais nos
quais x denota a posição em uma geometria linear ou radial, é possível reescrever (41) como:
Vx =−k0k (σ)
µ
∂ p∂x
. (42)
Para a função k (σ) é usual adotar:
k (σ) =1
1+βσ. (43)
na qual β é o coeficiente de dano a formação, considerado constante. O coeficiente β é determinado
de maneira empírica e depende das características das partículas retidas e do meio poroso. É possível
estender (43) para considerar a deposição por múltiplos mecanismos de deposição da seguinte forma:
k (~σ) =1
1+∑ni=1 βiσi
. (44)
Uma aplicação deste conjunto de equações é encontrado na teoria clássica da perda de injetivi-
dade (BEDRIKOVETSKY et al., 2001; ALTOÉ et al., 2004; AL-ABDUWANI, 2005). Nessa teoria,
a perda de injetividade em poços é dividida, basicamente, em três períodos: a filtração profunda, a
formação de reboco externo e a estabilização do reboco externo. A modelagem da previsão de in-
jetividade pode ser realizada tanto a partir de dados de laboratório (injeção em testemunhos) quanto
a partir de ajuste de histórico em poços. A seguir, sera exposta a modelagem da filtração profunda
nessas duas geometrias de fluxo.
21
As equações de filtração profunda em testemunhos podem ser obtidas das equações (37), (39),
(42) e (43) como:
∂
∂ t(φc+σ)+V
∂c∂x
= 0, (45)
∂σ
∂ t= λ
′V c, (46)
U =k0
µ (1+βσ)
∂ p∂x
. (47)
Na equação (46), λ ′ é constante. Sujeito às seguintes condições iniciais e de contorno:
c(x = 0, t) = c0, (48)
c(x, t = 0) = σ (x, t = 0) = 0. (49)
Para facilitar o tratamento da solução do problema, é proposta a seguinte adimensionalização:
xD =xL
; tD =VtφL
; C =cc0 ; S =
σ
φc0 , λ = λ′L (50)
em que L é o comprimento do testemunho e tD é a razão do volume injetado acumulado pelo volume
do espaço poroso do testemunho. Essa unidade de medida é chamada de volumes porosos injetados,
e pode ser definida em diversas geometrias. Além dessas adimensionalizações, definimos o conceito
de impedância, que é a resistência a injeção, como:
J =∆p(tD)
∆p(tD = 0), (51)
em que ∆p(t) é o diferencial de pressão no testemunho em função do tempo. A definição de impe-
dância da equação (51) só é valida quando a vazão de injeção no testemunho é constante. Pode-se
mostrar que a equação (51) é equivalente a razão k0/kmed (t), que é independente da vazão. Uma outra
quantidade importante é a injetividade, que é o inverso da impedância. Manipulando-se a equação
(47), é possível demonstrar que:
J (tD) = 1+βφc0
1∫0
SdxD. (52)
Substituindo as equações (50) nas equações (53) e (46) e nas condições (48) e (49), obtêm-se:
22
∂C∂ tD
+∂C∂xD
=− ∂S∂ tD
, (53)
∂S∂ tD
= λC, (54)
C (0, tD) = 1, (55)
C (xD,0) = S (xD,0) = 0. (56)
O sistema de equações (53)-(56) admite solução analítica, dada por:
C =
0, xD > tD
e−λxD , xD ≤ tD, (57)
S =
0, xD > tD
λ (tD− xD)e−λxD, xD ≤ tD. (58)
A solução analítica em S permite calcular explicitamente a impedância, a partir da equação (52). A
impedância para tempos adimensionais maiores que 1 é dada por:
J (tD) = 1−δ +mJtD, (59)
na qual δ e m vem dados respectivamente por:
δ = βc0φ
(e−λ +
1− e−λ
λ
), (60)
mJ = βc0φ
(1− e−λ
). (61)
Bedrikovetsky et al. (2001) mostraram que a constante δ é muito pequena (da ordem de 10−4) sendo
desprezível. Assim sendo, a impedância medida experimentalmente possui apenas um grau de liber-
dade, não permitindo a determinação simultânea de λ ′ e β . É possível quantificar as constantes λ ′ e β
através de dois procedimentos: a mensuração da concentração no efluente e a medição do diferencial
de pressão pelo testemunho ou a medição de pressão não somente nas extremidades do testemunho,
mas também em algum ponto intermediário (BEDRIKOVETSKY et al., 2001). Caso a concentração
na saída seja medida, é possível encontrar λ ′ a partir da equação (57):
λ′ = L−1 ln
(ce f luente
c0
), (62)
em que ce f luente é a concentração medida na saída do testemunho. Com λ ′ calculado pela equação
(62), é possível ajustar a equação (59) e obter β a partir do valor de mJ . Se for adotada a abordagem do
23
ponto intermediário, então é possível calcular a impedância relativa ao trecho entre a face de injeção
até o ponto intermediário Jα , na posição xD = αJ , pela fórmula (59) substituindo-se J por Jα e mJ
por:
mα = βc0φ
(1− e−λαJ
), (63)
e considerando δ = 0. As equações (59) e (63) formam um sistema de duas equações em duas
incógnitas, cuja solução são os valores de λ e β .
O sistema de equações de filtração profunda para poços vem dado por:
φ∂c∂ t
+q
2πrh∂c∂ r
=−∂σ
∂ t, (64)
∂σ
∂ t= cU (r)λ
′, (65)
U =− k0
µ (1+βσ)
∂ p∂ r
, (66)
c(rw, t) = c0, (67)
c(r,0) = σ (r,0) = 0, (68)
em que q é a vazão volumétrica do poço, h é a espessura do meio poroso onde a água será injetada,
rw é o raio do poço e re é o raio externo. A vazão na geometria radial depende do raio:
U (r) =q
2πrh. (69)
A impedância para este sistema é definida da mesma maneira que na geometria linear (testemunho)
pela equação (51). A solução deste sistema de equações é dada por:
c(r, t) =
0, t < φπhq
(r2− r2
w),
c0e−λ ′(r−rw), t ≥ φπhq
(r2− r2
w) , (70)
σ (r, t) =
0, t < φπhq
(r2− r2
w),
c0qλ ′
2πhr
[t− φπh
q
(r2− r2
w)]
e−λ ′(r−rw), t ≥ φπhq
(r2− r2
w) . (71)
As equações (71) e (51) permitem calcular a impedância explicitamente:
J (t) = 1+mJqt
φπ (r2e − r2
w)h, (72)
24
mJ =βφc0 (λ
′re)2
ln(re/rw)
[1
λ ′rw+ eλ ′rwei
(λ′rw)]
, (73)
em que ei(x) é a função exponencial integral:
ei(x) =∞∫
x
e−y
ydy. (74)
A determinação das constantes λ ′ e β é feita a partir do ajuste de histórico do poço. Como equação
extra, introduz-se o conhecimento do tempo de transição, que é o instante no qual a filtração profunda
termina e a formação do reboco externo começa:
λ′ =
2rw
rec0
(φπ(r2
e − r2w)
hqttr
)(β
95
)−2,44
, (75)
na qual ttr é o tempo de transição. Este tempo é medido a partir da observação do comportamento da
impedância do poço com o tempo. O instante no qual há uma mudança abrupta na inclinação da reta
de impedância é considerado como o tempo de transição. Mais detalhes podem ser encontrados em
Bedrikovetsky et al. (2005). A Figura 9 mostra um desses ajustes de histórico. O tempo de transição é
um pouco menor que 0,0006 volumes porosos. O período da filtração profunda é todo aquele anterior
a esse tempo.
Figura 9: Ajuste de histórico e previsão de impedância para poços utilizando o modelo clássico deperda de injetividade. A impedância é grafada no eixo vertical. No eixo horizontal está o tempo emvolumes porosos injetados. O meio poroso de referência para o cálculo deste tempo se estende doraio do poço até o raio externo. Retirado de Bedrikovetsky et al. (2005).
Uma outra aplicação de uma modelagem semelhante a apresentada aqui foi utilizada para quanti-
ficação do efeito da invasão de sólidos na permeabilidade durante a perfuração (BOEK et al., 2012).
Neste estudo, foi realizada uma comparação pelos perfis de deposição obtidos por modelagem e expe-
25
rimentalmente. A medição experimental destes perfis foi realizada por tomografia de difração de raios
x (synchrotron energy-dispersive X-ray diffraction tomography, EDD-T) e microscopia eletrônica de
varredura (scanning electron microscopy - energy-dispersive spectroscopy, SEM-EDS). Essa compa-
ração mostrou boa concordância do modelo (Figura 10). A permeabilidade modelada pelos autores
também mostrou concordância satisfatória. Simulações com posterior fluxo reverso também foram
realizadas. Quando era incluída a erosão das partículas nessas simulações, os autores observaram um
pico no perfil de pressão. Esse pico, segundo eles, pode ser correlacionado com a pressão de início
de fluxo, demonstrando que a filtração profunda pode ter alguma influência sobre esta pressão.
Figura 10: Simulação de perfis de deposição de partícula contra dados experimentais. Fração volumé-trica de partículas capturadas na rocha no eixo vertical. No eixo horizontal tem-se a profundidade deinvasão em milímetros. As curvas com marcadores são os dados experimentais, conforme mensuradospor microscópio eletrônico de varredura (SEM) ou tomografia de difração de raios x (synchrotron).Retirado de Boek et al. (2012).
Uma alternativa para a modelagem de liberação de partículas dada por (39) é exposta em Siqueira
(2010), Bedrikovetsky et al. (2011a, 2007a, 2007b, 2012) e Bedrikovetsky et al. (2010). A base do
modelo desses autores é o fato de que existe uma quantidade bem definida de partículas que pode
ser retida pelo meio poroso. Essa quantidade é determinada pelo balanço de torques atuantes numa
partícula depositada. Esses torques são oriundos de 3 forças: a força eletrostática, a força de arraste,
a força de elevação. A força gravitacional, embora presente, não exerce influência apreciável para os
tamanhos de partícula considerados por esses autores, pois as partículas foram consideradas menores
que 10 µm.
A força eletrostática tem origem nas interações DLVO entre partícula e parede do poro. Seu
cálculo foi realizado a partir do negativo da diferenciação, com respeito à distância, do potencial de
interação total, VT . O potencial de interação total, por sua vez, é a soma de três potenciais distintos:
potencial atrativo de London - van-der-Waals, o potencial de dupla camada elétrica e o potencial
repulsivo de Born. Vale destacar que, embora o potencial de Born não seja estritamente oriundo da
26
teoria DLVO, é muito utilizado em conjunto com ela, por impedir o contato direto entre as superfícies.
Outra observação é a de que o potencial de dupla camada pode ser tanto repulsivo quanto atrativo, a
depender do fato das cargas da partícula e da parede do poro possuírem cargas de mesmo sinal ou de
sinal oposto, respectivamente. Como geralmente essas cargas possuem o mesmo sinal, este potencial
é considerado quase sempre na literatura como explicitamente repulsivo. Para o cálculo do potencial
de London - van-der-Waals, foi utilizada a seguinte fórmula:
VLVA =A132
6
[2(1+Z)Z (2+Z)
+ ln(
Z2+Z
)], (76)
na qual Z = h/rs, h é a distância de separação entre a rocha e a partícula, rs é o raio da partícula e A132
é a constante de Hamaker da interação entre meio 1 (partícula) com o meio 2 (rocha) imersos no meio
3 (água). Para o potencial de dupla camada elétrica, foi utilizada a seguinte expressão:
VDLR =ε0Drs
4
[2ψ01ψ02 ln
(1+ exp(−κh)1− exp(−κh)
)−(ψ
201 +ψ
202)
ln(1− exp(−2κh))], (77)
na qual ε0 é a permissividade do espaço livre (vácuo), D é a constante dielétrica, ψ01 e ψ02 são os
potenciais da partícula e do meio poroso, e κ é o inverso do comprimento de Debye, que é dependente
da salinidade do meio em questão. Para soluções aquosas de eletrólitos simétricos sob temperatura
normal, é possível empregar a seguinte fórmula para seu cálculo:
κ = 2,32.109√(
∑Cmiz2i), (78)
em que Cmi é a concentração molar do composto iônico (em mols/L), zi é a valência do íon do eletrólito
e κ está em m-1. O cálculo do potencial de Born adotado pelos autores utilizou a seguinte expressão:
VBR =A132
7560
(σLJ
rs
)6[
8+Z
(2+Z)7
], (79)
onde σLJ é o diâmetro atômico de colisão no potencial de Lennard-Jones. A força elétrica adotada
por esses autores foi a máxima força atrativa possível, pois desconsideram a inércia da partícula no
tocante à sua liberação do meio poroso. Em outras palavras:
Fe = maxh
{∂VT
∂h
}. (80)
Na expressão anterior, a força elétrica é considerada atrativa quando positiva.
Siqueira (2010), Bedrikovetsky et al. (2011a, 2007a, 2007b, 2012) e Bedrikovetsky et al. (2010)
consideraram, em seu balanço, a presença de forças hidrodinâmicas. Uma dessas forças é a força de
arraste, paralela às linhas de fluxo no meio poroso e no mesmo sentido, cuja intensidade é dada pela
27
expressão:
Fc f =ωπµr2
sU ′
H, (81)
na qual ω é um coeficiente empírico no intervalo [10;60], µ é a viscosidade, rs é o raio da partícula, U ′
é a velocidade média numa dada secção transversal e H é a altura do canal. A outra força considerada
no trabalho desses autores é a de elevação, que é perpendicular ao fluxo e com sentido para o meio do
canal. Sua intensidade foi calculada por:
Fl = χr3s
√ρµU ′3
H3 , (82)
na qual H é a altura do canal e χ é o coeficiente de elevação, dado por 89,5 segundo Kang et al.
(2004), enquanto Altmann e Ripperger (1997) estima um valor de 1190.
Para poder estimar a quantidade máxima de partículas retidas num meio poroso, os autores então
formularam matematicamente o balanço de torques. Para tal, idealizaram o meio poroso como um
conjunto de capilares com altura de canal H e densidade de capilares por área de seção transversal
n. A partir da permeabilidade original e da porosidade do meio poroso, é possível calcular esses
parâmetros a partir das seguintes expressões:
H =√
8πk0φ
,
n = φ 2
8πk0
. (83)
Finalmente, a formulação do balanço de torques é realizada considerando-se que a liberação da par-
tícula é feita pelo rolamento da partícula sobre aquelas dispostas abaixo dela, como mostra a Figura
11.
Figura 11: Esquema da partícula na iminência de ser liberada, mostrando as forças atuantes sobre ela.Retirado de Siqueira (2010).
Por hipótese, todas as partículas tem o mesmo tamanho, o que permite concluir que a situação
limite, quando os torques são igualados, é descrita pela equação:
28
Fn =√
3Fc f , (84)
em que Fn é a força normal resultante Fn = Fe−Fl . A partir deste equacionamento, conclui-se que a
quantidade máxima de partículas que pode ser retida pelo meio poroso σcr é dada por:
Fe−χr3s
√√√√√ ρµU3
φ 3(
H√
1− σcrφ(1−φc)
)3 −√
3ωπµr2sU
φH√
1− σcrφ(1−φc)
= 0, (85)
na qual φc é a porosidade do reboco interno, ou seja, é a porosidade do depósito de partículas no meio
poroso. Se apenas a velocidade for variável no processo em questão, é possível escrever σcr como
(BEDRIKOVETSKY et al., 2011a, 2012):
σcr (U) =
σcr0
[1−(
UUm
)2], U ≤Um
0, U >Um
, (86)
em que σcr0 representa o máximo teórico de deposição em um meio poroso, σcr0 = φ (1−φc) e Um é
a velocidade a partir da qual não há mais deposição de partículas por efeito eletrostático. A Figura 12
mostra uma curva calculada a partir da equação 85.
Figura 12: Exemplo de cálculo de concentração máxima retida em função da velocidade de fluxo nomeio poroso realizado por Bedrikovetsky et al. (2011a) (extraído dessa mesma referência).
A determinação da concentração máxima de partículas retidas no meio poroso como função da
velocidade e dos parâmetros elétricos da rocha e das partículas da suspensão permite reformular a
equação (39) da seguinte forma: se a quantidade de partículas capturadas for menor que a máxima,
então a cinética de captura é igual aquela descrita pela equação (39). Do contrário, a concentração
retida é igual a concentração máxima. Matematicamente:
29
∂σ
∂ t= λ
′cU, σ < σcr (U) , (87)
σ = σcr (U,Fe) caso contrário.
A modificação da cinética de captura conforme indicado pela equação (87) implica no fim da filtração
profunda em um tempo finito de injeção. Em termos de permeabilidade média em função do tempo
numa injeção em testemunho, por exemplo, essa modificação implica em três momentos distintos:
decrescimento linear de permeabilidade, seguido de estabilização gradual e, por fim, a estabilização
total da permeabilidade.
Um caso bastante interessante para análise é o aquele no qual ocorre alteração de vazão durante
a injeção em um testemunho. Num testemunho, a velocidade macroscópica (Darcy) do fluxo é cons-
tante em relação à coordenada espacial. Considere uma injeção de suspensão em um testemunho na
qual a concentração máxima de partículas retidas tenha sido alcançada em todo o testemunho, com on-
sequente estabilização da permeabilidade. Considere então uma diminuição na vazão. Mantendo-se
as características físico-químicas da suspensão injetada, a concentração máxima de partículas retidas
deve aumentar (ver equação (86)). Esse aumento implica na possibilidade de deposição de mais par-
tículas, segundo a equação (87). Essa deposição além da quantidade depositada antes da mudança
representa uma diminuição progressiva da permeabilidade, até a sua estabilização num novo valor
correspondente a concentração máxima retida dessa vazão mais baixa.
Todavia, se neste mesmo cenário, aumenta-se a vazão ao invés de diminui-la, então a equação
(87) prevê a liberação de parte das partículas previamente retidas, uma vez que o contrário violaria
tal igualdade. Pelo princípio de conservação de massa, essa quantidade de partículas deve entrar em
suspensão, sendo produzida caso não haja captura por exclusão pelo tamanho. A permeabilidade
aumentará instantaneamente, já que a quantidade de partículas depositadas diminuiu. De fato, esse
comportamento é observado nos testes laboratoriais utilizados em Siqueira (2010), Bedrikovetsky et
al. (2011a, 2007a, 2007b, 2012) e Bedrikovetsky et al. (2010).
A partir da modificação exposta na equação (87), é possível resolver o sistema de equações
de filtração profunda para geometria linear analiticamente e o sistema em geometria radial semi-
analiticamente. A Figura 13 mostra um ajuste de dados de laboratório utilizando esta modelagem. A
Figura 14 mostra uma previsão típica para um poço.
30
Figura 13: Teste laboratorial (losangos) ajustado pela teoria proposta (curva suave). A quantidadeJ no eixo vertical pode ser encarada como a razão de permeabilidade kmed/k0, com kmed sendo apermeabilidade média do meio poroso. Extraído de Bedrikovetsky et al. (2011a).
2.1.2 Modelos Estatísticos
Modelos Estocásticos
Sahimi et al. (1990) caracterizam estes modelos como um estágio intermediário entre os modelos
fenomenológicos e os modelos de análise de trajetória, em termos de nível de detalhe microscópico.
É comum que, nesses modelos, as partículas ou os poros sejam distribuídos estatisticamente segundo
algum parâmetro, como o tamanho ou a forma. Sharma e Yortsos (1987a, 1987b, 1987c) deduziram as
equações básicas de balanço de particulado no transporte de suspensões em meios porosos. O modelo
leva em consideração a variação nas distribuições de poro e partículas nos diversos mecanismos de
captura. É assumido que o todo o espaço poroso é acessível para partículas e que a população de
partículas se move com a velocidade média do fluido que a carreia.
O efeito do número de coordenação da rede de poros é investigado em Chen et al. (2003). O
número de coordenação é a quantidade de poros vizinhos conectados a um poro. Por exemplo, para a
rede triangular bidimensional este número é 6. Sharma e Yortsos (1987c) afirmam que o número de
coordenação típico de um meio poroso consolidado varia entre 6 e 14. Neste trabalho, é obtida a solu-
ção completa do modelo do balanço de populações descrito em Sharma e Yortsos (1987c) para a rede
quadrada e para capilares paralelos infinitos (números de coordenação 4 e infinito, respectivamente).
Esta solução é obtida aplicando-se o princípio da colocação ortogonal e o método pseudo-espectral
baseado no polinômio de Chebyshev. Também são realizadas comparações entre a solução obtida por
este procedimento com dados experimentais.
A introdução dos fatores de redução ao fluxo e à acessibilidade na equação do balanço de po-
pulações é apresentada em Santos e Bedrikovetsky (2006). Em Bedrikovetsky (2008) é incluída a
estocagem de partículas em poros não-conectados e a variação na porosidade. Para ilustrar o tipo de
31
Figura 14: Previsão de dano à formação em geometria radial usando a teoria de Siqueira (2010),Bedrikovetsky et al. (2011a). Neste caso, a quantidade J do eixo vertical é encarada como a razãoentre ∆P/∆P0, onde ∆P é o diferencial de pressão do poço e da formação e ∆P0 é esse mesmo diferencialno início da injeção. Extraído de Siqueira (2010).
modelagem envolvida quando se fala de modelagem estocástica, enunciar-se-á este último modelo
aqui.
Antes de expor o modelo de Bedrikovetsky (2008), faz-se necessário definir alguns conceitos. A
distribuição de concentração superficial de poros H (rp,x, t) é definida pelo número de poros Hdrp
com tamanhos no intervalo [rp,rp +drp] que atravessam uma seção transversal unitária. Esta distri-
buição é utilizada para determinação de fluxos e de porosidades. A partir dessa definição, é possível
inferir que a concentração total de poros pode ser obtida por:
h(x, t) =∞∫
0
H (rp,x, t)drp, (88)
em que x é a coordenada espacial e t a coordenada temporal. A concentração volumétrica de poros
Hv (rp,x, t), que é utilizada para a taxa de captura de partículas, é definida pelo número de poros Hvdrp
com tamanhos entre rp e rp +drp por unidade de volume de rocha. As distribuições de concentração
superficial e volumétrica de poros estão relacionadas por:
Hv =Hl, (89)
na qual l é o parâmetro de comprimento de referência do meio poroso. Este parâmetro é da ordem de
magnitude do comprimento médio dos poros.
Para construção da modelagem proposta, Bedrikovetsky (2008) idealizou o meio poroso como
uma sequência de capilares paralelos e câmaras de mistura (Figura 15). Esses capilares tem compri-
mento igual à l . As partículas, portanto, viajam em capilares acessíveis (maiores) que elas. Como
cada capilar possui um tamanho diferente, passam através deles as partículas de diâmetros médios
32
possivelmente diferentes. Porém, quando essas partículas chegam na câmara de mistura, a distribui-
ção de tamanhos se homogeniza novamente, ou seja, cada porção da câmara de mistura tem a mesma
distribuição de partículas por tamanho. A consequência prática desta consideração é que todos os
capilares aos quais a câmara de mistura se liga tem a mesma distribuição de partículas que por ele
devem passar.
Figura 15: Modelo geométrico de meio poroso como um conjunto de capilares paralelos alternadospor câmaras de mistura. a) Corte do meio poroso ao longo da direção do fluxo e b) corte em direçãoortogonal ao fluxo Bedrikovetsky (2008).
Essa modelagem considera dois processos de captura de partículas: a captura por exclusão pelo
tamanho e captura elétrica. A captura por exclusão pelo tamanho ocorre na entrada dos poros pe-
quenos, quando da chegada de partículas grandes (Figura 16). Então, a secção transversal de entrada
de cada feixe de capilares paralelos age como uma peneira, pela qual partículas grandes não entram
em poros pequenos e são capturados nas saídas das câmaras (entrada dos capilares). Considera-se
que a captura elétrica ocorre dentro dos capilares (Figura 17). O volume das câmaras é considerado
desprezível frente ao volume dos capilares.
Figura 16: Esquema de uma câmara de mistura (BEDRIKOVETSKY, 2008).
A porosidade é definida como a superfície total de poro da secção transversal em relação à secção
33
Figura 17: Retenção de partículas na entrada do poro devido à exclusão pelo tamanho e dentro deleatravés de captura elétrica (BEDRIKOVETSKY, 2008).
transversal da rocha:
φ =
∞∫0
s1 (rp)H (rp,x, t)drp, (90)
em que s1 (rp) é a área secção transversal de um único poro. Para um feixe de capilares paralelos com
câmaras de mistura, s1 = πr2p. Para cada tamanho de partícula (raio rs) existem poros pelos quais a
partícula pode transitar (poros acessíveis) e poros inacessíveis:
φ = φa +φna, (91)
em que φa é a porosidade acessível e φna a porosidade inacessível. Também é definido em Bedriko-
vetsky (2008) o fator de acessibilidade de um (único) poro. Este conceito é ilustrado pela Figura 18.
Este fator, representado por χ , depende dos raios da partícula e do poro. Como χ é adimensional e
dependente apenas dos raios rs e rp, essa quantidade deve depender apenas da seguinte variável:
j = rs/rp, (92)
na qual j é chamado de jamming ratio (razão de bloqueio). A secção transversal acessível de um poro
é igual à χs1.
Com esses conceitos em mente, é sensato postular que as partículas de tamanho rs serão transpor-
tadas através de poros acessíveis e excluídas por seu tamanho nos poros inacessíveis. A depender da
tamanho e da forma da partícula e do poro, pode ocorrer bloqueio parcial ou total do poro. Ambas as
possibilidades estão expostas na Figura 18. Existe um valor j0 mínimo de j para o qual todos os poros
são inacessíveis, ou seja, χ ( j) = 0 para todo j > j0. Esse valor j0 é chamado de razão de bloqueio
crítica. Para um feixe de capilares cilíndricos paralelos com câmaras de mistura e com partículas
esféricas, o fator de acessibilidade χ é dado por:
34
Figura 18: Esquema da geometria da secção transversal ortogonal ao fluxo no meio poroso. Retiradode Bedrikovetsky (2008).
χ ( j) =
0, j > 1,
(1− j)2 , j < 1.(93)
A partir da definição de χ e do modelo de capilares alternados por câmaras de mistura, é possível
expressar as porosidades acessível e inacessível como:
φa =
∞∫0
s1 (rp)χ (rs/rp)H (rp,x, t)drp, (94)
φna =
∞∫0
s1 (rp)(1−χ)H (rp,x, t)drp. (95)
Bedrikovetsky (2008) afirma que é possível, a partir da equação (95), dividir a porosidade inacessível
em duas partes: no volume inacessível em poros onde χ = 0 e no volume perto das paredes dos poros
acessíveis,
φna =
rs/j0∫0
s1 (rp)H (rp,x, t)drp +
∞∫rs/j0
s1 (rp)(1−χ)H (rp,x, t)drp, (96)
respectivamente.
Para cada poro, assume-se a presença de um fluxo do tipo Poiseuille:
35
q(rp) =−k1 (rp)
µ
∂P∂x
, (97)
em que P é a pressão. Para poros cilíndricos, k1 (rp) = πr4p/8. A velocidade superficial (Darcy) da
suspensão é calculada por:
U =
∞∫0
q(rp)H (rp,x, t)drp, (98)
na qual U é a velocidade Darcy da suspensão. Por comparação com a lei de Darcy, é possível concluir
que:
k [H] =
∞∫0
k1 (rp)H (rp,x, t)drp, (99)
na qual os colchetes representam dependência funcional e k é a permeabilidade do meio poroso. A
velocidade da suspensão pode ser dividida em acessível e inacessível, ou U =Una +Ua.
Também é introduzida nesta modelagem o fluxo qc (rs,rp) em um único poro que transporta uma
partícula de tamanho rs, ou seja, fluxo de fluido através da fração de poros acessíveis. A fração υ ,
definida pela relação:
qa (rp,rs) = υq(rp) , (100)
é denominada fator de redução de fluxo de um (único) poro. Como depende apenas de rs e rp e é
adimensional, pode ser expressa em termos da razão de bloqueio j. A Figura 17 mostra o comporta-
mento do fluxo em um poro acessível. A partícula, transportada pelo fluxo acessível υq, passa pela
garganta de poro (saindo da câmara de mistura) e adentra o capilar. A partir do perfil de velocidades
dentro de um capilar cilíndrico, é possível estimar υ através de:
υ ( j) =
0, j > 1
(1− j)2 (1+2 j− j2) , j < 1. (101)
Assim como o fator de acessibilidade χ , o fator de redução de fluxo υ também possui uma razão de
bloqueio crítica j0, a partir da qual υ = 0. Tanto χquanto υ tem o mesmo valor de razão de bloqueio
crítica j0.
Com esses conceitos, Bedrikovetsky (2008) enunciou o sistema de equações de filtração pro-
funda da seguinte forma: seja C (rs,x, t) a distribuição da concentração de partículas em suspensão
por tamanho de partículas, Σ(rs,x, t) a distribuição da concentração de partículas retidas por tama-
nho de partículas. Primeiramente, enuncia-se a velocidade Darcy por poros acessíveis Ua através da
36
expressão:
Ua =
∞∫0
υ (rs/rp)q(rp)H (rp)drp. (102)
A partir da definição dessa quantidade, define-se um sistema fechado de três equações: a primeira, o
balanço de massa de partículas de tamanho rs:
φa∂
∂ t[C (rs,x, t)]+
∂
∂x[C (rs,x, t)Ua] =−
∂Σ(rs,x, t)∂ t
, (103)
e a segunda, a cinética de captura de partículas de tamanho rs:
∂Σ(rs,x, t)∂ t
=UC (rs,x, t)
lk
∞∫0
[1−υ (rs/rp)+υ pa]k1 (rp)H (rp)drp, (104)
em que pa é a probabilidade condicional de captura elétrica da partícula dado que ela efetivamente
entrou num poro menor que ela. A terceira, que é a cinética de bloqueio dos poros, vem dada por:
∂H (rp,x, t)∂ t
=−k1 (rp)
kUH (rp)
∞∫0
[1−υ (rs/rp)+υ pa]C (rs,x, t)drs. (105)
Para a obtenção das quantidades totais de partículas depositadas e em suspensão, basta proceder com
a integração das respectivas distribuições com respeito ao tamanho das partículas, no intervalo [0;∞):
c(x, t) =∞∫
0
C (rs,x, t)drs,
σ (x, t) =∞∫
0
Σ(rs,x, t)drs.
A partir dessa modelagem, Bedrikovetsky (2008) concluiu que ela explica os tempos de che-
gada de partículas na saída diferentes de um volume poroso injetado observados em alguns dados
experimentais. Todavia, esta modelagem não explica o desvio encontrado nos perfis de deposição de
partícula medidos experimentalmente com aqueles da teoria clássica fenomenológica, pois o modelo
proposto também não ajusta essas medidas.
Shapiro e Bedrikovetsky (2010) expõem um modelo semi-microscópico estocástico de filtração
de suspensões polidispersas em meios porosos cujos poros são distribuídos por tamanho e compri-
mento. Também discutem a solução numérica do sistema resultante. Os autores salientam que, além
do termo dispersivo no espaço, as equações por eles desenvolvidas também possuem um termo de
dispersão temporal. A presença desse termo adiciona um carácter elíptico ao sistema de equações. A
37
solução desse sistema de equações mostra perfis de deposição hipergeométricos, como reportado em
alguns dados experimentais. Este comportamento é atribuído pelos autores à dispersão temporal.
Modelos de Rede
Sahimi et al. (1990) definem esta classe de modelos como aqueles nos quais o meio poroso é
dividido como uma rede de poros interconectados. A linguagem desses modelos é a da Teoria da
Percolação. Em teoria da percolação (SAHIMI, 1994), o meio é dividido em sítios e ligações. De
cada sítio partem algumas ligações. O número de ligações que parte dos sítios é chamado de número
de coordenação. De maneira geral, existem as redes de percolação de sítio, de ligação e mistas (ou
de sítio e de ligação). A escolha do tipo de rede a ser empregado depende do problema. Na teoria da
percolação clássica, cada ligação (e/ou sítio) tem uma probabilidade de estar aberto ou fechado. Para a
filtração profunda, considera-se geralmente que os sítios são os poros, as ligações as gargantas de poro
e a denominação de fechado ou aberto significa ter ou não partículas depositadas respectivamente.
Chan et al. (2005) investigaram as alterações da permeabilidade sob diferentes curvas de energias
de interação DLVO em partículas com movimento Browniano. Para tal, os autores se utilizaram de
uma rede triangular e do método de simulação da dinâmica Browniana. As ligações entre os sítios
dessa rede foram modeladas por tubos com restrição sinusoidal. A Figura 19 mostra um exemplo da
rede triangular utilizada no trabalho. O método exposto neste trabalho também leva em consideração
a distribuição das partículas e poros por tamanho, sendo focado na distribuição de Rayleigh:
fp(r′)= 2r′ exp
(−r′2
), (106)
em que fp é a densidade da distribuição de poros e r′ é o raio adimensional de poros. A equação
Figura 19: Rede triangular utilizada nas simulações de Chan et al. (2005).
38
(106) satisfaz a seguinte relação: ∫∞
02r′ exp
(−r′2
)dr′ = 1. (107)
Esta distribuição é então imposta para as ligações através de:
∫ r′1
02r exp
(−(r′)2)
dr′ = 1− exp(−(r′1)2), (108)
r′1 =r f
rmedio=√−ln(1−ai), (109)
em que ai é um número aleatório no intervalo ]0,1[ e rmedio é o raio médio dos poros. As partículas
são distribuídas de uma maneira semelhante.
Neste trabalho, o critério de escolha para definir por qual ligação a partícula deverá seguir quando
chegar em um sítio é estocástico. A probabilidade de escolha de uma ligação é proporcional ao fluxo
que passa por ela. Os mecanismos de captura de partículas considerados neste trabalho foram a
captura por exclusão por tamanho e a captura por deposição direta (elétrica). A exclusão por tamanho
ocorre quando uma partícula encontra uma ligação entre sítios que é menor do que ela. Quando isso
ocorre, a transmissibilidade dessa ligação é reduzida à zero. A captura por deposição direta ocorre
quando a partícula, ao passar por uma ligação, intercepta a parede da ligação (poro).
A geometria das ligações, que simula a geometria do meio poroso, é caracterizada por Chan et al.
(2005) através de células de tubo com restrições. Esses tubos são caracterizados por 3 parâmetros: a
altura h, o diâmetro máximo dmax e o diâmetro da restrição dc. A Tabela 1 apresenta fórmulas para
a determinação dessas quantidades. Para um coletor esférico de diâmetro d f , essas quantidades vem
dadas por:
rc =dc
2=
12〈dc〉⟨d f⟩d f , (110)
rmax =dmax
2=
12
φ (1− swi)⟨
d3f
⟩(1−φ)〈d3
c 〉
1/3
d f , (111)
nas quais swi é a saturação irredutível do meio poroso, φ é a porosidade do meio,⟨d f⟩
é o diâmetro
médio do coletor esférico, 〈dc〉 é o diâmetro médio das restrições dos poros,⟨
d3f
⟩é a média do cubo
dos diâmetros dos coletores e⟨d3
c⟩
é a média do cubo das restrições.
A geometria de restrição sinusoidal é utilizada neste trabalho (FEDKIW; NEWMAN, 1977 apud
CHAN et al., 2005). A janela de controle utilizada nas simulações é exposta na Figura 20. As
expressões para o raio da parede correspondentes a essa estrutura geométrica é:
39
Tabela 1: Resumo das expressões de caracterização do meio poroso através do modelo de tubo comrestrição. Adaptado de Chan et al. (2005).
Quantidade Expressão
Comprimento de periodicidade, l f
[π
6(1−φ)
]1/3 ⟨d f⟩
Número de células unitárias por unidade, Nc6φ(1−swi)
π〈d3c〉
[〈dc〉−φ〈d3
c〉φ(1−swi)〈d3
c〉
]2/3
Altura, h d f
Diâmetro mínimo, dc〈dc〉〈d f 〉d f
Diâmetro máximo, dmax
[φ(1−swi)
⟨d3
f
⟩(1−φ)〈d3
c〉
]1/3
dc
rw =rc + rmax
2
[1+(
rmax− rc
rmax + rc
)cos(
2πzl f
)], (112)
para 0 < zl f< 1. As equações de fluxo utilizadas estão expostas em Tien (apud CHAN et al., 2005).
Figura 20: Janela de controle das simulações de Chan et al. (2005). Retirado de Chan et al. (2005).
Similarmente ao trabalho de Ramarao et al. (1994) entre outros, é adotado o método de simulação
Browniana juntamente com o princípio de análise de trajetória para a simulação do processo de depo-
sição de partículas no trabalho de Chan et al. (2005). Foi assumido que uma posição inicial (rin,θin)
é designada a cada partícula na entrada de uma ligação por um gerador de números aleatórios. Note
que a posição de entrada das partículas está localizada em 0 < rin < r0 e 0 < θ < 2π . A distância
radial r0 é:
r0 =12(dmax−dp) . (113)
A interpretação dessa limitação é o posicionamento realístico da partícula, levando em conta a apro-
ximação finita da partícula da parede do poro, devido ao seu raio. O movimento das partículas pela
40
integração da equação de Langevin. A velocidade das partículas é representada por:
V ={[
V0e−βc f t +U(
1− e−βc f t)]
F2 (H)+Rv (t)+
+1
βc f
(FLO +FDL
ms
)(1− e−βc f t
)}F1 (H)F2 (H)F3 (H) (114)
com Rv dado por:
Rv (t) =∫ t
0eβc f (ζ−t)A(ζ )dζ , (115)
em que V0 é a velocidade inicial da partícula, ms é a massa da partícula, U é o vetor de velocidade
do fluido, βc f é o coeficiente de fricção por unidade de massa da partícula e F1 (H), F2 (H) e F3 (H)
são os fatores de retardo do vetor normal, da força de arraste e do vetor de cisalhamento, respectiva-
mente. Substituindo dZ/dt por V com a condição inicial Z = Z0 em t = 0, a equação da trajetória das
partículas pode ser expressa como:
Z = Z0 +
{V0
βc f
(1− e−βc f t
)+U
[t− 1
βc f
(1− e−βc f t
)]}F1 (H)F2 (H)F3 (H)+
+
{Rr (t)+
(FLO +FDL
βc f ms
)(t +
e−βc f t
βc f− 1
βc f
)}F1 (H)F2 (H)F3 (H) , (116)
Rr (t) =∫ t
0
[∫ n
0eβc f ζ A(ζ )dζ
]e−βc f ndn (117)
em que A(t) representa um processo de ruído branco Gaussiano. Mais detalhes podem ser encontra-
dos em Ramarao et al. (1994). Nas equações (114) e (116), FLO e FDL são as forças de van der Waals
e de repulsão eletrostática respectivamente. Essas forças são oriundas das interações entre a partícula
e a superfície do coletor e vem dadas por:
FLO = ∇VLVA, FDL = ∇VDLR, (118)
com as seguintes relações (potenciais VLVA e VDLR em unidades de kBT , onde T é a temperatura
absoluta):
VLVA =−NLVA
[2(H +1)H (H +2)
+ lnH− ln(H +2)], (119)
VDLR = NE1
{NE2ln
[1+ exp(−X)
1− exp(−X)
]+ ln [1− exp(−2X)]
}. (120)
Portanto a força vem dada por:
41
FLVA =− 2A3rs
[1
(H2 +2H)2
], (121)
FDLR =2kBT
rsNE1
(NDLe−NDLH){NE2− e−NDLH
1− e−2NDLH
}, (122)
em que:
H =hs
rs, NLVA =
A132
6kBT,
NDLR = κrs , X = NDLH,
NE1 =υrs(ϕ2
1 +ϕ22)
4kBT, NE2 =
2(ϕ1/ϕ2)
1+(ϕ1/ϕ2)2 .
Nessas equações, hs é a menor distância de separação entre a partícula e a superfície do coletor, A é a
constante de Hamaker, kB é a constante de Boltzmann, T é a temperatura absoluta, κ é o recíproco da
espessura da dupla camada elétrica, υ é a constante dielétrica do fluido, e ϕ1 e ϕ2 são os potenciais
das superfícies da partícula e do coletor, respectivamente. A soma desses potenciais forma o potencial
total de interação DLVO.
A cada passo de tempo da simulação, verifica-se se a distância da partícula com a parede do poro
do qual se aproxima é menor que o diâmetro da partícula. Se isto ocorre, a partícula é capturada.
Quando essa captura se dá na ligação da rede, o aumento do diferencial de pressão é calculado pelos
autores por:
∆ps =12µrsU0
r2f0
[1−(
1− rs
r f0
)2]2
K1, (123)
em que:
K1 =
1− 2r2s
3r2f0
−0,20217(
rsr f0
)5
1−2,1050 rsr f0
+2,0865(
rsr f0
)3 −1,7068(
rs
r f0
)5
+0,72603(
rs
r f0
)6
, (124)
na qual U0 é a velocidade do fluido na linha central e r f0 é o raio inicial da ligação. O diferencial total
de pressão através da ligação é:
∆ptotal = ∆ptube +∆ps, (125)
em que ∆ptube é calculado pela expressão:
42
∆ptube =16µl fU0
r2fnew
, (126)
em que r fnew esta relacionado à r f0 por:
1r4
fnew
=1
r4f0
+0,75r4
f0
N
∑i=0
rsi
l f
[1−(
1− rsi
r f0
)2]2
K1, (127)
na qual l f é o comprimento de periodicidade e N é o número total de partículas capturadas. Caso r fnew
atinja um valor inferior à 3,0〈rs〉, a ligação é considerada bloqueada pela captura de partículas.
A equação que Chan et al. (2005) utilizaram para estimar a permeabilidade da i-ésima ligação em
função das partículas depositadas é:
Ki =φ 3
i⟨d f⟩2
180(1−φi)2 , (128)
na qual φi é a porosidade da i-ésima ligação, que é calculada por:
φi =VfiVfi0
φ0 =r2
fi,new
r fi0φ0, (129)
em que Vfi = πr2fil fi e φ0 é a porosidade inicial da i-ésima ligação. Se existem NL ligações na rede,
então a permeabilidade total do filtro de comprimento L é:
K =∑
NLi=1 Ki
NL. (130)
A definição de volumes porosos de fluido injetado é dada por:
p.v.=Uintφ0L
=CinVf
Vs, (131)
em que:
Vf =NL
∑i=1
πr2fil fi, (132)
Vs =NL
∑i=1
43
πr3sm,i, (133)
nas quais Uin é a velocidade de influxo, Cin é a taxa de entrada de partículas (concentração numérica
por unidade de tempo) e rsm,i é o raio médio das partículas entrando no meio poroso no capilar i.
Para compreender o efeito do movimento Browniano na captura de partículas, Chan et al. (2005)
realizaram simulações de filtração profunda utilizando duas curvas de interação DLVO, uma com
43
barreira energética (presença de mínimo secundário) e outra sem barreira energética. A Figura 21
mostra uma dessas simulações, comparando as diferenças entre os dois tipos de curvas com e sem o
efeito Browniano. A comparação entre as razões de permeabilidade da Figura 21 para as curvas de
interação DLVO com mínimo secundário mostram que a inclusão do movimento Browniano reduz a
permeabilidade do meio poroso. A explicação dada pelos autores à fenômeno é a seguinte: a dificul-
dade imposta pela barreira energética à deposição, aliada a capacidade do movimento Browniano de
aumentar a penetração das partículas no meio poroso, aumenta a probabilidade de captura de partícu-
las em poros pequenos. O aumento desta probabilidade causará maior dano do que o esperado para o
caso sem movimento Browniano.
Figura 21: Curvas teóricas de razão de permeabilidade em função do tempo e permeabilidade inicial(k/k0) para os dois tipos de curva de interação DLVO. Curva cheia: interação DLVO com mínimosecundário e considerando movimento Browniano. Curva tracejada: interação DLVO com mínimosecundário sem movimento Browniano. Curva traço-e-ponto: interação DLVO sem mínimo secundá-rio e com movimento Browniano. Curva pontilhada: interação DLVO sem mínimo secundário e semmovimento Browniano (CHAN et al., 2005).
Já para a interação DLVO sem mínimo secundário, a Figura 21 mostra o comportamento oposto.
Isto é explicado pelos autores justamente pelo fato de que esse tipo de curva de interação favorece a
deposição direta, e o movimento Browniano dispersa as partículas sobre as ligações da rede, ocasio-
nando uma menor taxa de redução de permeabilidade para a simulação com movimento Browniano.
Chan et al. (2005) realizaram uma comparação de simulações desse modelo com dados experimentais.
Essa comparação mostra que o modelo desenvolvido pelos autores, embora contenha menor erro que o
modelo convectivo-difusivo (PRIEVE; RUCKENSTEINN, 1974 apud CHAN et al., 2005), ainda não
explica completamente a deposição de partículas em determinadas situações, mais especificamente, a
baixas forças iônicas.
Chang e Chan (2006) estendem o trabalho de Chan et al. (2005) e realizam uma comparação
44
entre três tipos de redes de percolação (quadrada modificada, triangular e colmeia), utilizando dois
tipos de curvas de interação DLVO, também através da simulação dinâmica Browniana. Este trabalho
mostra que a rede em colmeia possui a maior eficiência de filtração. Mostra também que, no caso de
condição desfavorável à deposição, a rede triangular apresenta menor discrepância experimental que
o modelo convectivo-difusivo. A Figura 22 mostra as redes quadrada modificada e em colmeia.
(a)
(b)
Figura 22: Redes de percolação utilizadas em (CHANG; CHAN, 2006): a) rede quadrada modificadae b) rede em colmeia.
Lee e Koplik (2001) realizaram simulações numéricas em vários tipos de rede para fluxo no meio
poroso. O mecanismo de captura considerado é o de exclusão pelo tamanho, e esse autor considera
também um mecanismo de liberação denominado relançamento, que ocorre consiste na liberação de
uma partícula previamente capturada pela passagem de outra que ainda se encontra em suspensão
(GHINDAGLIA et al., 1996 apud LEE; KOPLIK, 2001). Nessas simulações, os autores utilizaram
uma rede cuja configuração é simular aquela da Figura 22.a, que é a de uma rede quadrada modificada.
Consideraram também que as partículas possuem um único tamanho definido, mas as ligações são
distribuídas por tamanho. Realizaram simulações em dois tipos de autômatos celulares, onde as
partículas se movem num campo de fluxo fixo e em uma rede mais complexa, onde as partículas
podem interagir com o campo de fluxo. Para os autômatos, a possibilidade de relançamento foi
descartada. A captura das partículas, em todas as redes, ocorre quando uma partícula encontra uma
ligação menor que ela.
Os autômatos possuem dois conjuntos de regras simplificadas de movimentação de partículas no
tocante a seleção das ligações. A Figura 23 mostra as possíveis situações da partícula quando chega
45
a um poro (sítio), oriunda de uma das ligações da esquerda (o fluxo se da da esquerda para direita).
Caso uma das ligações esteja fechada, a partícula prosseguirá pela outra ligação. Se ambas as ligações
estiverem fechadas, a partícula bloqueia o poro, e nenhuma partícula poderá mais entrar nele. Quando
ambas as duas ligações estiverem abertas, Lee e Koplik (2001) consideraram duas possibilidades, cada
uma considerada como um tipo diferente de automato.
(a) (b) (c)
Figura 23: As três configurações de ligação de poro possíveis, em termos de seleção de ligação desaída da partícula: (a) ambas as ligações de saída estão bloqueadas, (b) uma ligação bloqueada e (c)nenhuma ligação bloqueada. Adaptado de Lee e Koplik (2001).
Para o caso da regra de sem mistura, a partícula que entra pela ligação 1 da Figura 23.c sairá
sempre pela ligação 3. Caso a partícula entre no poro pela ligação 2, a partícula sairá pela ligação 4.
Para o caso da regra de mistura completa, a ligação de origem da partícula não influência a escolha
da ligação de saída, que é escolhida aleatoriamente entre uma das duas, cada qual com igual probabi-
lidade. A regra de sem mistura é mais adequada a modelagem de partículas que não estão sujeitas à
difusão significativa (partículas grandes). A regra de mistura completa, por sua vez, é mais adequada
para partículas sujeitas à difusão (partículas pequenas em movimento Browniano, por exemplo).
Lee e Koplik (2001) demonstraram que os automatas construídos por essas duas regras se com-
portam de maneira bem diferente. O regime permanente da versão com mistura completo exibe um
limite de percolação bastante definido do estado aberto para o fechado, ou seja, existe uma proporção
mínima de canais tamponáveis em relação à sua totalidade para que o meio poroso tenha uma eficiên-
cia de filtração não nula no limite assintótico de tempo infinito. Para valores menores dessa proporção,
o meio poroso é completamente ineficiente para tempos suficientemente grandes. Por outro lado, o
automato com a regra de sem mistura não exibe este comportamento, o que é mais condizente com o
processo de filtração profunda segundo os autores.
O modelo de rede exposto por Lee e Koplik (2001) seguiu uma regra análoga que a regra de sem
mistura no que tange a escolha da ligação por onde a partícula passaria. Todavia, os autores conside-
raram a possibilidade da partícula tomar a outra ligação, caso o fluxo por ela fosse maior. A decisão,
neste caso, seria randômica, com probabilidade proporcional ao fluxo pelas ligações. Todavia, se o
46
fluxo fosse maior pela ligação que, segundo a regra de sem mistura, seria automaticamente escolhida,
então a partícula sempre seguiria por esse caminho. Os resultados para as simulações dessa rede fo-
ram comparáveis às do automato e a de dados experimentais em termos qualitativos. Os autores não
dispunham de poder computacional suficiente para comparações quantitativas.
2.2 Injeção de Água de Baixa Salinidade
Nesta seção será realizada uma breve exposição sobre o estado da arte de três temas relacionados
à injeção de água de baixa salinidade: o inchamento de argilominerais (seção 2.2.1), a migração de
finos (seção 2.2.2) e a mudança de molhabilidade de arenitos (seção 2.2.3) devido a essa injeção.
2.2.1 Inchamento de Argilominerais
Embora não seja o objetivo primário desta tese, é importante notar determinados fatos sobre o
inchamento de argilominerais quando da sua exposição à água de baixa salinidade. O inchamento
de argilominerais consiste do aumento de volume de uma amostra de argilomineral ocasionado pela
exposição desta amostra a uma solução salina que não esta em equilíbrio com ela.
Em Norrish (apud ZHOU et al., 1996) são definidos dois tipos de inchamento de argilomineral:
o cristalino e o osmótico. No inchamento cristalino, existe uma limitação no espaçamento do eixo
cristalográfico “d” que limita o aumento de volume da amostra. Norrish (apud ZHOU et al., 1996)
sugerem que nesse tipo de inchamento, as moléculas de água são estruturadas em camadas em torno
dos cátions intercamada do argilomineral, quando ocorre a inibição da amostra pela presença de
cátions di- e tri-valentes na solução. De maneira geral, a expansão dessa amostra é menor que aquela
apresentada no inchamento osmótico, e essa expansão é muito pouco sensível à concentração do
cátion em solução. A Figura 24 ilustra esse tipo de inchamento num teste de medição de raios X
numa amostra de montmorilonita com cátions Ca+2 intercamada em solução de CaCl2 à diversas
concentrações. A quantificação do inchamento através da difratometria de raio X é possível porque
o espaçamento no eixo “d” medido por essa técnica está diretamente relacionado com a expansão do
mineral em nível macroscópico.
Já no inchamento osmótico, o aumento de volume da amostra é bastante acentuado e muito sen-
sível à concentração de cátions presentes na solução. A Figura 25 exibe um teste semelhante ao
realizado pela Figura 24 com amostras de montmorilonita da mesma fonte, com a diferença que neste
caso, as amostras tinham cátions intercamada Na+ e solução de cloreto de sódio. A partir deste re-
sultado, Zhou et al. (1996) concluem que há um aumento significativo do volume com a redução da
concentração da solução.
47
Figura 24: Difratogramas de raio X para teste de inchamento de argila de amostras de montmorilonitacom cátions Ca+2 em solução de Cloreto de Cálcio em diferentes concentrações. Notar que a posiçãodo pico dos difratogramas praticamente coincide em diferentes concentrações, evidenciando aparenteinsensibilidade à concentração da solução (extraído de Zhou et al. (1996)). Razão entre volume desolução e volume de argilominerais presentes nela Wwater/Wclay = 5. No eixo horizontal, temos oângulo da medição.
Figura 25: Difratogramas de raios X para amostra com cátions intercamada Na+ imersa em soluçãode NaCl à diversas concentrações. Notar que a posição dos picos muda conforme a concentração decloreto de sódio, evidenciando a sensibilidade do inchamento à essa variável (extraído de Zhou et al.(1996)). Razão entre volume de solução e volume de argilominerais presentes nela Wwater/Wclay = 5.No eixo horizontal, temos o ângulo da medição.
Todavia, não é comum que os fluidos presentes ou injetados em reservatórios sejam mono-iônicos,
e sim misturas com mais de um tipo de cátion e aniôn. Para melhorar a compreensão do fenômeno do
inchamento de argilas nessas condições, Zhou et al. (1996) imergiram amostras de argilominerais em
48
soluções di-iônicas em diferentes proporções entre os cátions e à diferentes forças iônicas, as quais
foram examinadas em difração de raio X para quantificar o inchamento. Foi possível observar que,
para o sistema de cátions Ca+2/Na+, existe uma proporção mínima [Ca+2]/[Na+], que é função da força
iônica, a partir da qual o inchamento é cristalino e o dano à formação é minimizado (ver Figura 26).
Além disso, Zhou et al. (1996) afirmam que a natureza dos ânions em solução não afeta o fenômeno
de inchamento de argilas, mas, a estrutura composicional do argilomineral tem influência importante
nesse fenômeno.
Figura 26: Diagrama de inchamento de montmorilonita no espaço composicional NaCl/CaCl2 (ex-traído de Zhou et al. (1996)).
Os argilominerais são minerais formados pela composição de camadas octaédricas e tetraédricas.
Essas composições são unidas umas as outras através de íons intercamada, formando a amostra do
mineral como um todo. Os dois grupos mais susceptíveis ao inchamento são o da esmectita e da
vermiculita (ZHOU et al., 1996). Alguns grupos de argilominerais são susceptíveis à migração, e
outros ainda são susceptíveis à ambos modos de dano. Civan (2007) classifica os argilominerais em
3 grupos básicos: grupo das caulinitas, grupo das esmectitas (ou montmorilonitas) e grupo das ilitas.
Existem diversos argilominerais formados pela combinação desses três grupos básicos, com camadas
mistas. A Tabela 2, retirada de Ezzat (apud CIVAN, 2007), relaciona os tipos de dano a formação
mais expressivos para cada grupo e para os argilominerais de camada mixta.
49
Tabela 2: Problemas típicos causados por argilominerais autigênicos.
Mineral Área de Superfície (m2/g) Problema mais expressivo
Caulinita 20 Parte-se, migra e se concentra nas
gargantas de poro, causando
plugueamento severo e perda de
permeabilidade.
Clorita 100 Extremamente sensível à ácidos e águas
oxigenadas. Precipitará Fe(OH)3
gelatinoso que não passará pelas
gargantas de poro.
Ilita 100 Tampona gargantas de poro com outros
finos mobilizados. Lixiviação do
potássio a tornará expansível.
Esmectita 700 Sensível à água, 100% expansível. Causa
perda de microporosidade e
permeabilidade.
Camada mixta 100-700 Parte-se em agregados, fazendo pontes
no poros, reduzindo a permeabilidade.
2.2.2 Migração de Finos
O processo de mobilização, migração e captura de finos é uma variante da filtração profunda, a
medida que neste processo as partículas são liberadas in-situ, ao invés de serem injetadas. Analoga-
mente, a migração de finos também tem o potencial de redução de condutividade hidráulica, levando
ao dano à formação. A definição exata de finos na literatura é controversa, e por esse motivo, adotar-
se-á a definição exposta em Byrne e Waggoner (2009): fino é todo componente sólido de uma rocha
que pode se mover dentro ou através dos poros dessa rocha.
Hewitt (1963) propõe uma série de testes para identificar se uma determinada formação é sensível
(isto é, susceptível à dano) à injeção de água doce. Para este autor, a formação pode ser classificada
como insensível à água, sensível à água devido ao inchamento de argilas e sensível à água devido ao
tamponamento dos poros por partículas. Essa classificação é obtida através da reunião de testes de
permeabilidade à diferentes salinidades, identificação de raio X dos minerais em grãos menores que
16 mícrons, exame microscópico de lâminas petrográficas e testagem direta de inchamento de argilas
para o caso de fluxo monofásico.
Muecke (1979) realizou a observação direta da mobilização e captura de finos em um micromo-
delo físico (ver Figura 27). A partir da análise mineralógica de partículas finas de rochas de formações
50
da Costa do Golfo dos Estados Unidos, este trabalho estabeleceu que nem todas as partículas de finos
são de argilominerais (Figura 28). Foi observado nos experimentos de fluxo monofásico no micromo-
delo da Figura 27 que os finos se movem dentro do meio poroso até formarem pontes nas gargantas
dos poros. Essa pontes, porém, podem ser perturbadas por variações de pressão ou reversões de
fluxo. Além disso, concluiu que a molhabilidade das partículas tem importante influência no pro-
cesso de mobilização de finos, uma vez que os finos só se movimentam caso a fase que lhes molhe
esteja fluindo. Ainda mais, o fluxo simultâneo de óleo e água tende a mobilizar os finos, pois a água é
móvel o suficiente para carrear os finos e o fluxo simultâneo das duas fases gera distúrbios de pressão
que tendem a desestabilizar as pontes de finos. Foi possível para Muecke observar que, quando o
fluxo de água se dá com a saturação de óleo residual, rapidamente ocorre uma condição de equilíbrio
de pontes de finos na qual praticamente não há finos móveis, desde que a velocidade desse fluxo seja
constante. Finalmente, foi observado por Muecke que a injeção de solventes mútuos ou surfactantes
mobilizam finos que estejam retidos devido à forças capilares e de molhabilidade.
Figura 27: Esquema do micromodelo utilizado por Muecke (1979) para observar o movimento definos no meio poroso.
Figura 28: Conteúdo mineralógico médio das partículas de finos presentes em cinco formações daCosta do Golfo dos Estados Unidos (retirado de Muecke (1979)).
51
Gruesbeck e Collins (1982) realizaram uma série de experimentos a partir dos quais construíram
uma teoria fenomenológica para a mobilização e deposição de finos no caso da liberação mecânica
(por velocidade elevada de fluxo). Uma das importantes observações reportadas nesse trabalho é
a existência de uma velocidade crítica, abaixo da qual não ocorre mobilização de finos aderidos à
matriz e acima da qual os finos são liberados e sua taxa de liberação é linearmente proporcional à
diferença entre a velocidade de fluxo e a velocidade crítica. Para formular sua teoria, Gruesbeck e
Collins (1982) admitiu que existem dois eventos no meio poroso: a liberação de finos do arcabouço
da rocha e sua captura pelo meio poroso. A captura dos finos foi pelos autores subdividida em de-
posição em superfície e deposição por plugueamento, como ilustrado na Figura 29. Assim sendo, foi
admitido que o meio poroso podia ser concebido como um conjunto de capilares paralelos que eram
subdivididos entre tamponáveis e não-tamponáveis, a depender do tamanho das gargantas de poros e
das características dos finos mobilizados, bem como da sua concentração no fluido em movimento.
Além disso, só é considerado dano a deposição por pluguemento (exclusão pelo tamanho).
Figura 29: Concepção do meio poroso como conjunto de capilares paralelos temponáveis e não-tamponáveis. Nos primeiros, ocorre a formação de pontes (depósitos de tamponamento) e nos outrosocorrem depósitos de superfície (extraído de Gruesbeck e Collins (1982)).
As bases do modelo de Gruesbeck e Collins (1982) são as mesmas da filtração profunda (HERZIG
et al., 1970). Para uma suspensão em fluxo linear unidimensional com secção transversal constante,
baixas concentrações de partículas depositadas e em suspensão e porosidade assumida constante e
igual à inicial φi, Gruesbeck e Collins (1982) utilizou a seguinte equação de balanço de massa de
partículas:
52
φi∂c∂ t
=−Vx∂c∂x−φi
∂σ
∂ t. (134)
Para modelar a cinética de captura de partículas, o meio poroso em questão é dividido em capilares
paralelos pertencentes a dois grupos: capilares tamponáveis e capilares não-tamponáveis. Assim, todo
volume elementar do meio poroso possui uma fração de f caminhos tamponáveis e 1− f caminhos
não-tamponáveis. Definimos então up como a densidade de fluxo volumétrico de fluido escoando por
caminhos tamponáveis e unp como a densidade de fluxo volumétrico de fluido escoando em caminhos
não plugueáveis, perfazendo uma densidade total de fluxo:
Vx = f up +(1− f )unp. (135)
A partir da definição de up e unp, definimos as frações volumétricas σp e σnp, dos respectivos vo-
lumes porosos f φi e (1− f )φi, preenchidos por depósitos de tamponamento e de não-tamponamento.
Do ponto de vista do sistema de captura de partículas, deve-se enunciar agora as cinéticas de captura
e liberação de ambos os tipos de depósitos σp e σnp.
Para σnp, a série de experimentos de Gruesbeck e Collins (1982) permitiu que este autor formu-
lasse a seguinte cinética:
∂σnp
∂ t=−α (unp−uc)σnpH(unp−uc)+ εc, (136)
na qual uc é a velocidade crítica do meio poroso, α e ε são constantes empíricas e H(y) é a função
passo unitário de Heavside:
H(y) =
1, y≥ 0
0, y < 0. (137)
Para σp, é esperado que ocorra um efeito bola de neve, pois a deposição por tamponamento
tende a reduzir gradativamente o raio efetivo dos poros tamponáveis, o que implicaria num aumento
progressivo da captura. Por esse motivo, Gruesbeck e Collins (1982) postularam que a cinética de
captura de σp deve ter a seguinte forma:
∂σp
∂ t= (δ +ησp)upc, (138)
na qual δ e η são constantes empíricas.
Para completar a teoria exposta, é mister utilizar a lei de Darcy para descrever a divisão do fluxo
em termos das permeabilidades kp (σp) e knp (σnp) referentes aos capilares paralelos tamponáveis e
53
não tamponáveis respectivamente. Neste sentido:
up
Vx=
kp (σp)
kp (σp)+ knp (σnp). (139)
Para relacionar as permeabilidades com a deposição, Gruesbeck e Collins (1982) utilizaram as
seguintes relações empíricas:
kp = kpi exp(−aσ
4p), (140)
knp =knpi
1+βσnp. (141)
Nas equações (140) e (141), kpi, knpi, β e a são constantes fenomenológicas.
Khilar e Fogler (1983) aprofundaram os estudos sobre a influência da salinidade no processo de
liberação de finos. A Figura 30 demonstra a influência da salinidade no processo de dano à formação
em uma amostra de arenito Berea no decorrer de um teste em laboratório. É possível observar que só
existe dano significativo a partir da redução da salinidade abaixo de um determinado valor limite. Este
comportamento foi observado pelos autores de maneira sistemática, o que lhes permitiu formular o
conceito de concentração crítica de sal, ou seja, a concentração mínima de sal necessária para manter-
se a rocha sem dano. Assim, abaixo desta concentração, não ocorre liberação de finos passíveis
de captura pelo meio poroso. Esta concentração pode depender de uma série de fatores, como a
mineralogia das partículas, velocidade de fluxo, tipo do sal da solução injetada e da água de formação
e temperatura. Nesta tese, exceto quando afirmado em contrário, água de baixa salinidade é aquela
que possui concentração salina abaixo da concentração crítica de sal.
Figura 30: Influência da salinidade no dano à formação, demonstrando o conceito de concentraçãocrítica de sal. A amostra é um arenito Berea, com 1 polegada de diâmetro e 1 polegada de compri-mento. A vazão de injeção é de 100 cm3/h (adaptado de Khilar e Fogler (1983)).
54
Além disso, Khilar e Fogler (1983) também reportam claramente que a direção do fluxo no meio
poroso, bem como a duração desse fluxo, influi de maneira significativa no dano total sofrido pela
rocha. A Figura 31 mostra que é possível recuperar parcialmente a permeabilidade original da rocha,
embora apenas por um determinado período de tempo, revertendo-se a direção do fluxo no meio po-
roso. Este comportamento é explicado por eles devido à desestabilização das pontes de finos presas
nas gargantas de poros. A reversão no fluxo alivia as forças de arraste que mantém as partículas presas
às gargantas de poro, causando o ganho instantâneo de condutividade hidráulica. Mas, comforme es-
sas partículas são carreadas na direção oposta ao fluxo, elas poderão eventualmente encontrar outras
gargantas pelas quais não poderam passar, gradualmente reduzindo a permeabilidade (ver Figura 31,
no intervalo [60,80] do eixo dos volumes porosos). Para tornar o ganho de permeabilidade gerado
pela reversão de fluxo permanente, essa reversão deve ser realizada com água salgada (alta salinidade).
Dessa forma, as partículas que anteriormente estavam presas pelas pontes serão liberadas e recaptu-
radas na superfície dos poros (ver Figura 31, intervalos [100,140] e [170,200]). Finalmente, Khilar e
Fogler (1983) sugerem um modelo matemático empírico para previsão da queda de permeabilidade
baseado na divisão do meio poroso em uma série de segmentos analizados independentemente no que
concerne a liberação e captura de finos.
Figura 31: Influência da direção do fluxo no dano à formação. SF - Água salgada injetada para frente,SR - Água salgada na direção reversa, FF - Água doce (pouco salina) injetada para frente, FR - Águadoce na direção reversa (adaptado de Khilar e Fogler (1983)).
Em Khilar et al. (1983) é estabelicido que não apenas a concentração de sal da água injetada é
importante mas sim como se da a variação dessa quantidade no decorrer da injeção. Em outras pala-
vras, além de existir uma concentração crítica de sal, existe uma taxa crítica de variação da salinidade,
abaixo da qual a rocha retém sua permeabilidade praticamente inalterada. Nesse trabalho, a taxa de
variação de salinidade foi medida como a razão entre a vazão volumétrica de injeção e o volume do
misturador. A explicação dada para este fenômeno é que a mudança mais abrupta de salinidade causa
a liberação de partículas durante um intervalo de tempo relativamente mais curto. Como a concen-
55
tração dessas partículas é alta, a probabilidade de formarem pontes e pluguearem poros também é
alta e a redução de permeabilidade é drástica. Quando a taxa de variação de salinidade é menor, a
liberação de partículas é mais gradual e a concentração delas no fluido também é menor, reduzindo a
probabilidade da formação de pontes com consequente preservação da permeabilidade da amostra. A
Figura 32.a mostra um caso onde a taxa crítica de variação da salinidade não foi excedida e a Figura
32.b é o seu contraponto.
(a)
(b)
Figura 32: Influência da taxa de variação de salinidade, a) Taxa de variação de 0,125 h−1 (abaixo dovalor crítico), b) Taxa de variação de 1,316 h−1 (acima do valor crítico). Círculos representam razãode permeabilidade enquanto triângulos representam concentraçoes em suspensão no efluente. A taxacrítica de variação de salinidade nestas amostras na velocidade de fluxo superficial (25,6 cm/h) dessesdois testes é de 0,40 h−1 (adaptado de Khilar et al. (1983)).
Gabriel e Inamdar (1983) realizaram uma série de testes laboratoriais com o fito de compreender
e evitar a migração de finos. Esses autores classificaram a liberação de finos segundo a sua causa
em dois mecanismos distintos: o mecanismo mecânico e o químico. O mecanismo mecânico se da
quando o fluxo no meio poroso tem energia (em termos de velocidade) suficiente para deslocar as par-
56
tículas aderidas na superfície dos poroso e carreá-las no fluxo, possivelmente até o momento no qual
essas partículas encontrem uma garganta de poro pela qual não podem passar. O mecanismo químico
de migração de finos é caracterizado pelo dano repentino logo após a diminuição da salinidade da
água injetada, atribuida a sensibilidade de alguns argilominerais a essas soluções menos salinas. Ao
contrário de Khilar e Fogler (1983) porém, Gabriel e Inamdar (1983) afirmam que não se pode definir
uma salinidade mínima absoluta abaixo da qual ocorrerá dano, e que o fator preponderante do dano
nessas situações é a taxa na qual essa salinidade é diminuida. Em outras palavras, o dano à formação
por mecanismo químico pode ser amenizado ou mesmo evitado caso a salinidade da água injetada seja
alterada de maneira mais gradual. Gabriel e Inamdar (1983) atribui a liberação de finos pela redução
de salinidade pela expansão da dupla camada elétrica que essa redução causa. Com base nesse fato,
os autores sugerem duas maneiras de evitar o dano por mecanismo químico: manter a salinidade da
solução em um nível compatível com a salinidade da água de formação ou diminuir a força repulsiva
da nuvem catiônica pela troca dos cátions relacionados à dupla camada por outros de valência mais
alta. Naquela época, a indústria havia desenvolvido alguns tratamentos a base de sais inorgânicos e
ôrganicos para estabilizar argilominerais que corresponderiam a essa segunda possibilidade. De fato,
Gabriel e Inamdar (1983) testa uma solução de polímero catiônico e reporta o seu sucesso quanto
ao mecanismo químico, embora demonstre também que tal abordagem não funciona contra o dano
pelo mecanismo mecânico. Com respeito a esse mecanismo, os autores observaram que a velocidade
crítica superficial para os arenitos Berea de 150 md é de 0,007 cm/s.
Sharma e Yortsos (1986) formularam um modelo matemático estocástico, utilizando a teoria da
percolação, com base em um coeficiente de liberação (R) e outro de captura (B). Esses coeficientes,
por sua vez, estão relacionados à vazão, a quantidade de finos disponíveis para liberação e a distribui-
ção de tamanhos de poros do meio poroso. Para valores relativamente altos de B, o modelo mostra a
existência de 3 regiões no meio poroso: uma zona danificada, uma zona intermediária moderadamente
danificada e uma zona inalterada (não danificada). Conforme aumenta-se R, a zona intermediária di-
minui em extensão. A localização dessas zonas é calculada explicitamente como função do tempo e
dos parâmetros do processo. Segundo essa abordagem, a permeabilidade é sensível à coordenação da
rede de poros-gargantas e ao tamanho das partículas. Embora seja possível obter resultados simples
para determinados processos simples sob a premissa de apenas um tamanho de partícula liberada pelo
meio poroso, soluções mais gerais são intratáveis do ponto de vista analítico.
Leone e Scott (1988) classificaram os mecanismos de dano à formação por interação rocha/fluido
em 3 classes distintas: migração mecânica de finos, sensibilidade à água e tranformações geoquími-
cas. Embora as duas primeiras classes reconhecidas por esses autores sejam equivalentes as 2 classes
reconhecidas por Gabriel e Inamdar (1983), eles expandem o dano devido à sensibilidade à água para
os casos onde ocorre liberação de finos após o aumento de salinidade, definido esse mecanismo a
partir da alteração de composição e/ou força iônica da água injetada em relação à água de formação.
O mecanismo de transformação geoquímica ocorre quando o fluido induz a dissolução, precipitação
57
ou outra reação química liberando finos como subproduto (como é o caso da dissolução de cimento
carbonático pela injeção de CO2). O trabalho de Leone e Scott (1988) objetivava, a partir da análise
de uma série de testes de laboratório, caracterizar as diferentes regiões de um reservatório com res-
peito da liberação de finos. Este trabalho também reconhece que não só alterações de salinidade, mas
também de pH, exercem influência significativa na migração de finos, e sugere que em determinada
região do reservatório por ele estudado (Região M), o dano pode ser controlado diminuindo-se o pH
da água de injeção.
Sarkar e Sharma (1990) realizaram testes laboratoriais com o fito de avaliar a influência do fluxo
bifásico na liberação e captura de finos em meios porosos. Esse estudo mostra que a presença de óleo
mineral apolar reduz o dano causado a rocha devido ao fluxo de água doce (nessas condições, a razão
de permeabilidade k/k0 foi de 1/50 nos testes, enquanto os testes monofásicos mostram uma razão de
1/1000). Esse resultado é obtido tanto quando esse óleo é deslocado pela água doce, quanto quando
este óleo se encontra na saturação residual e água salina (simulando a da formação) é deslocada pela
água doce. Outra bateria de testes demonstrou que, sob as mesmas condições dos testes de óleo
apolar, óleo crú polar mostrou o mesmo dano, exceto quando o testemunho foi saturado inicialmente
com óleo crú. Nestes casos, a razão de permeabilidade foi de 2/3 e a taxa de dano diminuiu.
Outra conclusão importante de Sarkar e Sharma (1990) é que devido as baixas concentrações de
partículas em suspensão e a flutuações localizadas de pressão devido a instabilidades capilares, as
pontes de partículas formadas em fluxo bifásico são instáveis em altos gradientes de pressão. Quando
ocorre o processo de cura (“aging”) do testemunho com óleo crú polar a 700C por 40 dias antes
dos testes, a permeabilidade não diminui em fluxo contínuo, embora diminua caso aja uma pausa no
fluxo. Nestes casos, a razão de permeabilidade obtida esta em torno de 1/15. Isto indica liberação
lenta de finos para tais testemunhos, o que os autores atribuem à uma condição de molhabilidade mista
gerada pelo processo de cura. Além disso, Sarkar e Sharma (1990) estabeleceram, em condições de
fluxo fracionário constante, que a permeabilidade declina gradualmente com o aumento do fluxo
fracionário à água e que ambas as permeabilidades efetivas à água e ao óleo decrescem na mesma
proporção, indicando que ocorre a redistribuição de fluidos dentro dos poros para manter gradientes
de pressão iguais nas fases óleo e água.
Valdya e Fogler (1992) estudaram a influência do pH e da troca iônica para a migração de finos.
Por troca iônica entenda-se a substituição de um íon na estrutura cristalina de um mineral constituinte
da rocha por outro presente no fluido que a percola. Para isto, estes pesquisadores realizaram testes de
injeção de água doce em arenitos Berea, medindo permeabilidade, pH do efluente e de condutividade
elétrica. A medição da condutividade elétrica teve por objetivo quantificar a salinidade do efluente. A
Figura 33 mostra essas medições para testes típicos.
A partir destes testes, estes pesquisadores concluiram que as condições de baixa salinidade e/ou
alto pH de fluido são prejudiciais à formação por causarem a migração de finos, e que ambos esses
58
(a)
(b)
Figura 33: Teste típico de migração de finos por injeção de água de baixa salinidade em arenito Bereareportado em (VALDYA; FOGLER, 1992). (a) Dados de pH do efluente e razão de permeabilidades.A linha tracejada corresponde ao início da injeção de água doce. Os triângulos se referem ao pH doefluente. Os círculos correspondem a razão entre permeabilidade atual e inicial k/k0. (b) Dados de pHe condutividade elétrica normalizada. Os quadrados correspondem à condutividade elétrica enquantoos círculos correpondem ao pH. Neste conjunto de dados, foi subtraído o período de injeção anteriorao de injeção da água doce. Retirado de Valdya e Fogler (1992).
fatores podem estar relacionados ao fenômeno de troca iônica (mais especificamente catiônica) e que
por isso precisam ser levados em conta em conjunto. Esse efeito correlato se deve ao fato de os
arenitos, compostos por argilominerais entre outros, agirem como trocadores de cátions e trocam Na+
por H+. Durante a injeção de água de baixa salinidade num testemunho originalmente saturado por
água de alta salinidade (com respeito ao NaCl), existe uma troca entre o Na+ adsorvido nos minerais
da rocha com o H+ presente no fluido. Essa troca gera um excesso de ânions OH-, aumentando o pH
do fluido. Esse aumento por sua vez, tende a diminuir o potencial zeta das superfícies dos minerais
da rocha (Figura 34), o que aumenta a força repulsiva entre os grãos/finos constituintes dessa rocha
tendo em vista a teoria DLVO (Figura 35).
59
Figura 34: Potenciais Zeta medidos em caulinita em função do pH, para diversos cátions. Retirado deValdya e Fogler (1992).
Figura 35: Gráfico de potencial de interação em função da distância de separação para várias condi-ções de pH. Retirado de Valdya e Fogler (1992).
Valdya e Fogler (1992) formularam um modelo matemático que permite a previsão da troca iônica
de Na+ por H+ e vice-versa em meios porosos. A adsorção reversível de Na+ num sítio mineral M
pode ser escrita como:
MH+Na+ MNa+H+. (142)
Esta reação química possui constante de equilíbrio k1.
A adsorção de ânions também pode ocorrer, mas em menor escala e apenas em pH baixos
(QUIRK, 1960 apud VALDYA; FOGLER, 1992). Por isso, Valdya e Fogler (1992) deprezaram este
efeito e, invocando a conservação total de sítios de troca iônica, deduziram a seguinte isoterma de
troca para o sódio adsorvido, nNa:
60
nNa
Ct=
KI (Na+)(OH−
)1+KI (Na+)
(OH−
) , (143)
na qual, KI = k1/Kw, Kw = produto iônico da água e Ct = MNa+MH, que é o número total de sítios
minerais para troca catiônica (ou a capacidade de troca catiônica CEC, expressa em miliequivalentes
por grama de arenito). Segundo os autores, a equação (143) é muito similar a isoterma de Langmuir,
exceto pelo fato de que a quantidade de sódio adsorvido é também função do pH. Portanto, conforme
o pH da solução aumente ou se torne mais alcalino, a quantidade de sódio adsorvida aumenta, em
acordo com o comportamento observado por esses autores.
A modelagem matemática desses autores trata o arenito como um meio contínuo, uniforme e
homogêneo. A dispersão lateral na direção radial é desprezada. Além disso, a dispersividade axial
é simulada a partir de células de mistura em série. Também foram contemplados efeitos de capa-
citância. Este efeito pode ser simulado assumindo que as regiões isoladas do fluxo se comunicam
com aquelas afetadas por ele a partir de um processo difusivo. Essa comunicação é caracterizada por
um coeficiente total de massa. As equações obtidas a partir de tal modelagem levam a um sistema
não-linear, que não será exposto aqui. A Figura 36 mostra um ajuste desse modelo à um teste. Nesse
teste, a salinidade foi bruscamente diminuida e então o pH do efluente foi medido. A partir desse
modelo, também é possivel prever o comportamento do pH para uma mudança gradual de salinidade.
Byrne e Waggoner (2009) realizaram testes de migração de finos em reservatórios de gás de alta
temperatura da Bacia de Malay, no sudeste da Ásia. Os testes foram conduzidos com duas especifi-
cações: em condições mais próximas às de laboratório (200C, 1000 psi de pressão de confinamento
e 2000 psi de pressão de poro) e em condições mais próximas das condições de produção (1500C,
1000 psi de pressão de confinamento e 8000 psi de pressão de poro). Para evitar possíveis efeitos
oriundos do gás e não da redução da permeabilidade da formação, as permeabilidades eram sempre
medidas na mesma velocidade de referência, isto é, após o incremento de vazão, retornava-se a vazão
de referência e nela se realizavam as medidas de permeabilidade. Um resumo dos resultados destes
testes são apresentados nas Tabelas 3 e 4. A partir desses testes foi possível observar que a migra-
ção de finos para as condições mais próximas as de produção foi em geral mais severa do que aquela
ocorrida em condições de laboratório. Além disso, através de microscopia eletrônica de varredura, foi
possível verificar que houve mobilização de caulinita, e que a deposição das partículas desse mineral
é a principal causa de perda de permeabilidade para essas amostras nesses testes.
Bedrikovetsky et al. (2011b) modelam o fator de película de poços produtores afetados pela mi-
gração de finos. Para tal, esses autores utilizam o modelo de liberação de partículas modificado
exposto em (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a; SIQUEIRA, 2010; BEDRIKOVETSKY et al., 2012).
Este modelo de liberação se baseia no equilíbrio de torques atuantes sobre uma partícula de fino de-
positada no meio poroso. Como consequência disto, existe uma determinada quantidade de finos que
61
Figura 36: Ajuste do modelo apresentado em (VALDYA; FOGLER, 1992) para um teste de reduçãobrusca de salinidade. Retirado de Valdya e Fogler (1992).
ficará retida no meio poroso, enquanto outra parte será liberada. A quantidade máxima de finos retida
esta relacionada à velocidade, e somente a ela em caso de água com composição constante. A equação
que modela a quantidade máxima de finos retida com a velocidade é:
σa (U) =
σ0
[1−(
UUm
)2], U ≤Um
0, U >Um
, (144)
onde σa é a quantidade de finos pressa a parede do poro por forças elétricas, Um é a velocidade a partir
da qual não pode haver mais finos presos a parede do poro e σ0 é o valor máximo de finos que o meio
poroso suporta. Esse valor máximo depende apenas da geometria do meio poroso e dos finos.
Considerando, também, que todas as partículas liberadas são aproximadamente do mesmo tama-
nho da garganta de poro, Bedrikovetsky et al. (2011b) assumem que todas as partículas liberadas são
instantaneamente capturadas por exlcusão pelo tamanho. Usando essas considerações, os autores con-
seguem calcular um perfil de deposição de finos por exclusão pelo tamanho. Esse perfil é calculado
considerando que existe uma quantidade de finos σa0 originalmente presente na rocha. Como o fluxo
é radial em poços, a velocidade é função do raio, existe um raio r0 limite a partir do qual os finos não
serão mais móveis. Do raio do poço até este raio limite, considera-se que a diferença σa0−σa (U (r))
é liberada pelo meio poroso, podendo migrar. Porém, como é assumido que as partículas de finos são
62
Tabela 3: Resultados dos testes de migração de finos em condições de laboratório reportados em(BYRNE; WAGGONER, 2009).
Amostra F2 F3 F9Profundidade do Testemunho, ft 8214,80 8222,30 9201,60
kg,ref, mD 170 24,9 1,39Vazão de Gás 1, ml/min 42 27 16
kg,1, mD 180 24,7 1,36Vazão de Gás 2, ml/min 83 58 23
kg,2, mD 171 19,6 1,34Vazão de Gás 3, ml/min 165 72 36
kg,3, mD 165 19,2 1,35Vazão de Gás 4, ml/min 330 236 45
kg,4, mD 160 20,7 1,37Vazão de Gás 5, ml/min 463 470 89
kg,5, mD 163 20,6 1,36kg,5/kg,ref 0,959 0,825 0,978
Tabela 4: Resultados dos testes de migração de finos em condições de produção reportados em(BYRNE; WAGGONER, 2009).
Amostra S2A S8A S9APermeabilidade efetiva base ao nitrogênio
humidificado em mD.167 56,2 1,41
Permeabilidade Efetiva ao gás após vazão de10 ml/min em mD (% variação da base).
164 (-1,79%) 51,9 (-7,65%) 1,44 (+2,12%)
Permeabilidade Efetiva ao gás após vazão de50 ml/min em mD (% variação da base).
159 (-4,79%) 50,2 (-10,7%) 1,48 (+4,96%)
Permeabilidade Efetiva ao gás após vazão de100 ml/min em mD (% variação da base).
154 (-7,78%) 48,5 (-13,7%) 1,52 (+7,80%)
Permeabilidade Efetiva ao gás após vazão de200 ml/min em mD (% variação da base).
149 (-10,8%) 41,8 (-25,6%) 1,59 (+12,8%)
Permeabilidade Efetiva ao gás após vazão de500 ml/min em mD (% variação da base).
148 (-11,4%) 36,6 (-34,9%) 1,61 (+14,2%)
do mesmo tamanho que as gargantas de poro, esses finos percorrem apenas a distância até a primeira
garganta, onde são capturados. Macroscopicamente, esta distância é desprezível, e por isso se con-
sidera que os finos capturados são todos instantaneamente capturados. A Figura 37 ilustra esta linha
de raciocínio. A partir do perfil de deposição de partículas por exclusão pelo tamanho, os autores
calculam explicitamente o fator de película associado à esse dano, mostrando que esse fator aumenta
com a vazão e com a quantidade inicialmente disponível de finos no reservatório.
Bedrikovetsky et al. (2011c) derivam equações para a modelagem da liberação, migração e cap-
tura dos finos por exclusão pelo tamanho. Essa captura, segundo os autores, é responsável pela
redução da permeabilidade da rocha durante a produção de alguns campos de petróleo. O sistema de
equações desenvolvido por esses autores inclui uma cinética de captura de partículas. A quantidade de
finos liberados para a captura por exclusão pelo tamanho nesse modelo é calculada a partir do modelo
63
(a)
(b)
Figura 37: Aplicação do modelo modificado de liberação de partículas para cálculo do perfil dedeposição de finos. a) Gráfico da quantidade máxima de finos retida (equação 144), em linha tracejadae o perfil de deposição por exclusão pelo tamanho em função da velocidade, em linha cheia. Notarque esse perfil é gerado pela diferença entre σa0 e σa (U). b) Construção do perfil de deposição emfunção da distância radial do poço.
de liberação de partículas modificado exposto em (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a; SIQUEIRA,
2010; BEDRIKOVETSKY et al., 2012). Esse sistema é resolvido para o caso de poço produtor no
regime quase-estacionário, com gradual acumulação de partículas capturadas por exlusão pelo tama-
nho. Essa solução analítica mostra que o fator de película (“skin”) aumenta linearmente com o tempo
e com a quantidade de finos produzida pelo reservatório.
Em (ZEINIJAHROMI et al., 2011b) é descrito um sistema de equações para descrever a mobili-
zação de finos para fluxo unifásicos e bifásicos. Este sistema é baseado no modelo de liberação de
partículas descrito em (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a; SIQUEIRA, 2010; BEDRIKOVETSKY
et al., 2012). Este sistema então é aproximado, para escalas grandes (de campo), por um modelo
de injeção de polímero. Essa aproximação permitiu então o uso do software Eclipse “black-oil” para
simular uma injeção de água de baixa salinidade, onde a migração induzida de finos e o dano à perme-
abilidade proveem um método relativamente simples para controle de mobilidade durante a injeção.
Essa modelagem mostrou que a perda de permeabilidade causada pela migração de finos na zona var-
64
rida pela água pode melhorar o desempenho da injeção de água por atraso do aparecimento de água
injetada nos poços e por redução na fração de água produzida em relação ao volume produzido total
(“water-cut”). Nesse sentido, para o caso simulado pelos autores, o fator de recuperação do campo
em termos de volumes porosos injetados para a injeção de água de baixa salinidade era maior do que
para a água de salinidade habitual, embora o fator de recuperação em relação ao tempo real fosse o
mesmo. Isso se explica pela redução nas vazões ocasionadas pela migração de finos.
Zeinijahromi et al. (2012) propõem uma modelagem para migração de finos para fluxo mono-
fásico de gás na saturação de água residual. Este modelo se baseia no conceito de capacidade de
estocagem (BEDRIKOVETSKY et al., 2012, 2011a). O conceito de capacidade de estocagem pre-
coniza que, para quaisquer condições hidrodinâmicas e eletrostáticas de micro escala bem definidas
em um meio poroso, existe uma concentração máxima de partículas retidas correspondente. Todavia
Bedrikovetsky et al. (2012, 2011a) não levam em consideração a possibilidade de retenção de partí-
culas por exclusão pelo tamanho. Neste sentido, Zeinijahromi et al. (2012) modificam este conceito,
considerando-o válido apenas para as partículas aderidas eletricamente ao corpo do poro, e não para
aquelas partículas capturadas nas gargantas de poro por exclusão pelo tamanho. Além dessa modifi-
cação, o modelo proposto em Zeinijahromi et al. (2012) também leva em conta o fluxo não-Darcy em
meios porosos, bem como as mudanças de saturação de água irredutível devido à velocidade. Neste
paper também é desenvolvida a solução analítica para poços em regime pseudo-permanente.
Musharova et al. (2012) realizaram testes de laboratório com formações de arenito e folhelho em
3 temperaturas distintas para suas amostras: 74, 200 e 300oF. Estes autores concluíram que a tem-
peratura tem efeito bastante pronunciado na liberação de finos quando estes finos são argilominerais,
de maneira a agravar o problema de migração de finos com o aumento deste parâmetro. Também foi
constatado que a principal causa deste efeito, segundo a teoria DLVO, é o aumento da força repulsiva
gerada pela dupla camada elétrica. Por fim, os autores deste trabalho recomendam composições de
fluidos com o fito de promover a estabilização dos argilominerais.
Além de ocorrer nas formações produtoras de petróleo, a migração de finos também pode ocorrer
dentro dos propantes usados nas completações (SMART et al., 1991; GIDLEY et al., 1995; NGUYEN
et al., 2005). Esse tipo de migração de finos não é o alvo da tese pretendida e por isso não será
abordado nesta monografia.
Existem diversos relatos de dano a formação ocasionado por migração de finos e inchamento de
argilas em campos de petróleo. Em Rogers et al. (1998) é citado o exemplo de um campo no qual os
testes de pressão em poços demonstravam fatores de película crescentes. Para melhor poder remediar
este dano à formação, a solução ácida recomendada para o tratamento, composta de 10% HCl/1.5%
HF, foi utilizada em um testemunho. Este teste resultou em perda de 74% de permeabilidade, atribuída
às interações dos aditivos presentes na solução ácida com finos presentes na formação, bem como a
precipitação de géis de sílica devido a reação do HCl com zeólitas presentes na formação. Com estes
65
resultados, foi identificado que o tratamento ideal consistia de uma solução de 10% de ácido cítrico e
1,5% HF, sem outros aditivos exceto pelo inibidor de corrosão. Esta formulação foi aplicada em cinco
poços do campo em questão, com sucesso, melhorando o índice de produtividade de 4,78 BOPD/psi
para 12,73 BOPD/psi.
Ezeukwu et al. (1998) realizou um estudo comparativo entre agentes de controle de finos (argi-
lominerais) orgânicos e inorgânicos em um campo offshore da Nigéria. A metodologia de trabalho
deste estudo se baseava na realização do tratamento ácido e posterior aplicação do agente de controle
em um poço com contenção de areia. Quando era necessário intervir neste poço novamente, repetia-
se o procedimento de tratamento mas o agente de controle aplicado agora era de natureza diferente
daquela aplicada no tratamento anterior. Os resultados dessa metodologia mostraram que, naquele
cenário específico, os sistemas de controle de finos inorgânicos possuíam desempenho superior. Este
sistema inorgânico era composto basicamente por ácido fluobórico (HBF4).
O uso de ácido fluobórico também foi empregado em um campo na Venezuela (COLMENARES
et al., 1997). Nesta aplicação em particular, foi observado que o desempenho desse ácido como agente
de controle, quando aplicado após um pré-tratamento com ácido clorídrico e fluorídrico, é muito mais
eficiente que um tratamento que se apoia somente nestes dois últimos ácidos (Figura 38).
Figura 38: Histórico de vazão de óleo pelo tempo em anos, comparando o tratamento sem ácidofluobórico (MATRIX RMA) e o tratamento com ácido fluobórico (FLUOBORIC ACID). Retirado deColmenares et al. (1997).
2.2.3 Efeitos da injeção de água de baixa salinidade na saturação de óleo resi-dual
Evidências de modificação de molhabilidade devido à injeção de água de salinidade reduzida
em arenitos são observadas tanto em escala de laboratório (MORROW et al., 1998; PATIL et al.,
2008; ZHANG et al., 2007; BOUSSOUR et al., 2009; ALOTAIBI et al., 2010) quanto em escala de
campo (ROBERTSON, 2007; LAGER et al., 2008; WEBB et al., 2004). Em Morrow et al. (1998)
66
são exibidos diversos testes de laboratórios com diversas composições de água injetada e em diversas
condições de temperatura de cura (“aging”), tanto em testes de embebição espontânea como em testes
de injeção de água. Neste trabalho, entende-se por cura o processo de saturação parcial da amostra
de rocha por óleo crú, seguido de sua imersão nesse mesmo fluido por um determinado período,
em muitos casos com temperaturas superiores à ambiente, com o fito de modificar a molhabilidade
da rocha de um estado mais molhável à água para um menos molhável a este fluido. Estes testes,
realizados em arenito Berea, mostram inequivocamente a tendência de maiores fatores de recuperação
com a injeção de água com menor salinidade. A Tabela 5, retirada dessa mesma referência, resume os
resultados obtidos nesse trabalho. Nesta tabela, Rim se refere aos fatores de recuperação obtidos nos
testes de embebição espontânea, enquanto Rw f são os fatores relativos aos testes de injeção de água.
Tabela 5: Resumo dos resultados de Morrow et al. (1998), adaptados desta mesma referência.
Condições Rim Rw f
Tempo de Cura (aumento) Diminui AumentaTemperatura de Cura (aumento) Diminui AumentaValência do Cátion (aumento) Diminui AumentaConcentração do Sal (redução) Aumenta Aumenta
Temperatura do Deslocamento/Fluxo (aumento) Aumenta AumentaFração de Componentes Leves do Óleo Crú (aumento) Diminui Aumenta
Segundo Patil et al. (2008), a injeção de água de menor salinidade no Talude Norte do Alasca
(Alaska North Slope) se apresenta como um possível processo de recuperação avançada de petróleo.
Uma das principais motivações desse trabalho é a pronta disponibilidade de água de baixíssima salini-
dade presente em um lago próximo. Nesse trabalho experimental com testes de laboratório, os autores
demonstram que existe redução significativa de saturação de óleo residual conforme se reduz a sali-
nidade da água de injeção, medida neste trabalho pelo teor total de sólidos dissolvidos T SD, tanto em
testemunhos chamados por eles de “novos” (isto é, que não passaram pelo processo de cura/“aging”)
quanto os curados (“aged”). A Figura 39 apresenta um comparativo entre as saturações de óleo resi-
dual em diversas salinidades para uma mesma amostra (testemunho “E” da referência) quando curada
e quando não curada. A Figura 40 compara a saturação de óleo residual obtida a partir de um deslo-
camento por água de salinidade próxima a do reservatório, que é de 22.000 ppm (em termos de T SD)
com a saturação obtida na mesma amostra (testemunho “H” da referência) pela injeção de água do
lago (que tem salinidade T SD de 50 à 60 ppm).
Em Seccombe et al. (2008) são expostos testes laboratoriais e testes de injeção em poços com o
uso de traçadores químicos (“Single Well Chemical Tracer Test”) no campo de Endicott localizado
no Talude Norte do Alasca. A sequência do teste de injeção de traçador químico foi (Figura 41):
1. Injetar um banco de água marcada com traçador reativo primário (1% de etil acetato) e um outro
traçador inerte secundário.
67
Figura 39: Efeito da Salinidade da Água na Saturação de Óleo Residual para uma amostra do TaludeNorte do Alasca, adaptado de Patil et al. (2008).
Figura 40: Comparação entre a saturação residual de amostra com água de salinidade próxima a doreservatório e água de lago, adaptado de Patil et al. (2008).
2. Deslocar o banco de 10 à 25 ft dentro do reservatório pela injeção de água com um traçador
inerte e sem traçador reativo.
3. Fechar o poço por um período de um à dez dias, a depender da temperatura do reservatório.
Durante o fechamento, uma porção do éster reage com a água do reservatório e forma álcool
etílico, o traçador secundário, conforme a seguinte equação
CH3COOCH2CH3 +H2O CH3CH2OH+CH3COOH, (145)
onde o Etil Acetato (EtAc) reage com a água formando álcool etílico (EtOH) e ácido acético,
em equilíbrio químico. Esse traçador secundário é solúvel apenas em água. O fechamento bem
planejado é aquele no qual há formação suficiente de traçador secundário para medição acurada
de sua concentração no período de produção (“flow-back”). A conversão típica de etil acetato
(éster) para etanol varia entre 10% a 50%.
68
4. Finalmente, produzir a partir do poço, coletar amostras e medir as concentrações dos traçadores.
(a) (b)
(c) (d)
(e)
Figura 41: Sequência do teste de injeção de traçador (adaptada de Seccombe et al. (2008)).
No começo da produção, o éster remanescente e o traçador secundário (álcool) estão localizados
de 10 à 15 ft de distância radial do poço. No decorrer da produção, o éster restante e o álcool se
separam. O particionamento do éster entre óleo e água atrasa o retorno dessa substância. O traçador
69
secundário (álcool) é 100% solúvel em água e flui de volta para o poço na mesma velocidade que a
água. A separação entre esses dois traçadores é utilizada no cálculo da saturação de óleo residual.
Quanto maior a separação entre esses traçadores, maior é a saturação de óleo residual. A Figura
42 mostra um teste idealizado de injeção de traçador. A Figura 43 compara as saturações de óleo
residual observadas de alguns testes de injeção de traçador para 3 poços, nos quais cada poço foi
submetido a dois testes: um quando a água possuía alta salinidade seguido de um quando a água
possuía baixa salinidade. Essa Figura mostra claramente o decremento da saturação residual de óleo.
Além disso, foi observado que o ganho no fator de recuperação era maior quando o conteúdo de
caulinita (um argilomineral) também era maior (Figura 44). Esse ganho foi medido pela seguinte
equação:
AdRec =Sor,HiSal−Sor,LoSal
Soi−Sor,LoSal. (146)
Na Figura 44, o poço 2-62 apresenta um menor ganho de recuperação do que o esperado. Esse
comportamento é explicado pelo fato de que a água de injeção empregada foi mais fria do que aquela
utilizada nos outros testes.
Figura 42: Teste de injeção de traçador idealizado. As concentrações estão fora de escala (adaptadode Seccombe et al. (2008))
Em Webb et al. (2004), é descrito um teste de campo para quantificar a recuperação adicional
possível através da redução da salinidade da água de injeção. O procedimento do teste, chamado
de “Log-Inject-Log” (Perfilar-Injetar-Perfilar), consiste basicamente de injetar, em um poço produtor
de óleo e em velocidade de reservatório, um banco de água de alta salinidade, até que a saturação
lida pela ferramenta de perfilagem PNC (pulsed neutron capture) não se modifique. Então, passa-
se a injetar água de salinidade intermediária até estabilização das saturações lidas por perfilagem e
finalmente injeta-se água de baixa salinidade até que a saturação medida pela ferramenta de PNC
não se modifique. A partir destes dados, Webb et al. (2004) mostram que, mesmo com a incerteza
associada a perfilagem, é possível afirmar que há ganho concreto em termos redução de saturação de
70
Figura 43: Resultados do teste de injeção de traçador para três poços (adaptado de Seccombe et al.(2008)).
Figura 44: Gráfico de recuperação adicional pela injeção de água pouco salina contra concentraçãode caulinita, evidênciando forte correlação (adaptado de Seccombe et al. (2008)).
óleo residual com a injeção de água de baixa salinidade.
A explicação mais aceita para a alteração de molhabilidade pela injeção de água de baixa salini-
dade em reservatórios clásticos é o mecanismo de troca iônica multicomponente entre a água injetada
e os minerais (principalmente os argilominerais) presentes na rocha (LAGER et al., 2006; LEE et
al., 2010; SORBIE; COLLINS, 2010). De acordo com a teoria DLVO extendida, Amarson e Keil
(apud LAGER et al., 2006) e Sposito (apud LAGER et al., 2006), existem 8 mecanismos diferentes
de adsorção de matéria orgânica em argilominerais (Tabela 6), dos quais 4 são bastante suscetíveis à
troca iônica multicomponente cátions durante a injeção de água de baixa salinidade: troca de cátion,
ligação direta (também denominado troca de ligante) e pontes de água e ponte de cátion (Figura 45).
Adsorção por troca de cátion ocorre quando moléculas contendo nitrogênio quaternizado ou anel
heterocíclico substitui cátions metálicos inicialmente ligados à superfície do argilomineral. Ligação
direta, como o próprio nome diz, se refere a formação de uma ligação entre um cátion multivalente
e um grupo carboxilato. Essas ligações são mais fortes que pontes de cátion e troca de cátion e
71
Tabela 6: Mecanismos de associação entre grupos funcionais orgânicos e minerais presentes no solo(adaptado de Sposito (apud LAGER et al., 2006)).
Mecanismo Grupo Funcional Orgânico EnvolvidoTroca de Cátion Amina, anel NH, N heterocíclico (anel aromático)
Protonação Amina, N heterocíclico, Carbonila, CarboxilatoTroca de Ânion CarboxilatoPonte de Água Amina, Carboxilato, Carbonila, OH alcoólica
Ponte de Cátion Carboxilato, Amina, Carbonila, OH alcólicaTroca de Ligante Carboxilato
Ligação de Hidrogênio Amina, Carbonila, Carboxila, OH fenólicaInteração de van der Walls Unidades Orgânicas Descarregadas
(a) (b) (c) (d)
Figura 45: Mecanismos suscetíveis à troca de cátions durante a injeção de água pouco salina: (a)Troca de Cátion, (b) Ponte de Cátion, (c) Ligação Direta e (d) Ponte de Água.
levam à liberação de complexos organo-metálicos (RCOO-M; onde M representa o cátion multiva-
lente). Ponte de cátion é um mecanismo fraco de adsorção entre um grupo funcional polar e cátions
substituíveis na superfície do argilomineral. Ocasionalmente, se o cátion for fortemente solvatado
(por exemplo, Mg2+), ponte de água pode ocorrer. Essa ponte envolve a complexação entre a molé-
cula de água solvatando o cátion substituível e o grupo funcional polar da molécula orgânica. Em
diversos estudos citados em Kia; Amarson e Keil; Hedges e Hare; Henrichs e Sugai (apud LAGER et
al., 2006), é demonstrado que interações de van der Walls, troca de ligante (ligação direta) e ponte de
cátion são os mecanismos dominantes de adsorção.
Em superfícies molháveis à óleo, cátions multivalentes na superfície dos argilominerais irão ligar-
se à compostos polares presentes na fase oleosa (resinas e asfaltenos) formando complexos organo-
metálicos. Tais complexos provocam a molhabilidade à óleo em reservatórios de petróleo (RUES-
72
LATTEN et al., 1994 apud LAGER et al., 2006). Alguns compostos orgânicos serão adsorvidos
diretamente à superfície do mineral, deslocando os cátions mais voláteis presentes na superfície do
argilomineral, aumentando a molhabilidade dessa superfície ao óleo. Durante a injeção de água de
baixa salinidade, troca iônica a multicomponente ocorrerá, removendo compostos orgânicos pola-
res e complexos organo-metálicos das superfícies e substituindo-os por cátions não complexados. A
dessorção dos compostos polares da superfície dos argilominerais aumentaria a molhabilidade dessa
superfície à água, resultando em maior recuperação de óleo.
Em Jerauld et al. (2006) são expostas as seguintes observações a respeito da injeção de água de
baixa salinidade:
• Deve existir alguma saturação de água inicial - se não houver água conata nenhum ganho em
recuperação é conseguido.
• Óleo bruto é requerido, em outras palavras, não há benefício caso óleo refinado (depolarizado)
esteja no meio poroso.
• Comparação entre as recuperações com a injeção de água de baixa salinidade e alta salinidade
em testemunhos acidificados ou queimados (“fired”) são similares. Como o processo de acidi-
ficação e “firing” inativam os argilominerais, fica clara a influência destes no fenômeno.
• O efeito de mudança de molhabilidade só tinha sido observado, até onde ia o conhecimento do
autor, em reservatórios clásticos.
• Em alguns casos, mudanças no pH ocorrem e são atribuídas às interações químicas entre água
de injeção e a água original do reservatório. Em outros casos porém, se pH já iniciar baixo,
pouca mudança ocorre nesta variável e ela não atinge os níveis associados nem a mudanças de
molhabilidade nem aqueles associados aos mecanismos de baixa tensão interfacial da injeção
cáustica (“caustic flooding”).
Essa mesma referência, que versa sobre a modelagem numérica do processo de recuperação de
óleo por injeção de água de baixa salinidade, indica que este fenômeno pode ser incorporando à
simulação convencional de injeção de água, com as seguintes alterações:
1. Os sais (cátions e ânions) são modelados como um único componente adicional na fase aquosa.
A densidade e viscosidade são dependentes da salinidade.
2. A permeabilidade relativa e a pressão capilar estão em função também da salinidade.
• Esta dependência desaparece à baixas e altas salinidades.
73
• As curvas de permeabilidade relativa à alta e baixas salinidades são os dados de entrada
da simulação. Quaisquer saturações intermediárias serão interpoladas.
• A saturação de óleo residual em função da salinidade também é um dado de entrada, de
natureza tabular, para permitir melhor definição desta dependência.
3. Porções da água conata são marcados como inacessíveis para demonstrar o impacto do banco
de água conata no processo.
4. A histerese na curva de permeabilidade relativa da água entre os processos da embebição e da
drenagem secundária deve ser inclusa para modelar precisamente o desenvolvimento do banco
de óleo.
5. A dispersão dentro da fase aquosa também é importante.
Ainda sobre modelagem, Seccombe et al. (2008) afirma que é necessário considerar a dispersão
de íons para o planejamento de injeção em banco de água de baixa salinidade. Isso é demonstrado
para o campo de Edincott, onde foi calculado um tamanho de banco ideal de 40%.
Em Wu e Bai (2009), a injeção de água de baixa salinidade é modelada através de uma modifi-
cação do simulador típico black-oil pela introdução da conservação de massa de sal (NaCl). Nessa
modelagem, o sal encontra-se dissolvido na fase aquosa ou adsorvido na rocha. Os líquidos são en-
contrados apenas em suas respectivas fases (ou seja, não há óleo na água, água no óleo nem qualquer
líquido no gás). Quanto ao gás, pode ocorrer tanto na fase óleo quanto na fase gás em condições de
reservatório. Para as velocidades de cada fase, será utilizada a lei de Darcy. O sistema é considerado
isotérmico. As equações fundamentais para essa modelagem são:
∂
∂ t
{φ
(Soρdg +Sgρg
)}=−∇ ·
(ρdgVo +ρgVg
)+qg, (147)
∂
∂ t(φSwXwρw) =−∇ · (XwρwVw)+qw, (148)
∂
∂ t(φSoρo) =−∇ · (ρoVo)+qo, (149)
∂
∂ t[φSwXcρw +(1−φ)ρRρwXcKd] =−∇ · (XcρwVw +ρwSwφτDm∇Xc)+qc. (150)
A velocidade Darcy da fase β é definida por:
74
Vβ =−kkrβ
µβ
(∇pβ −ρβ g∇d
). (151)
Nas equações (147)-(151), ρβ é a massa específica da fase β em condições de reservatório, ρo é a
massa específica do óleo, excluído o gás dissolvido, em condições de reservatório, ρdg é a massa
específica do gás dissolvido na fase óleo em condições de reservatório, φ é a porosidade efetiva da
formação, µβ é a viscosidade da fase β , Sβ é a saturação da fase β , Pβ é a pressão na fase β , Xc
é a fração mássica de sal na fase água, Xw é a fração mássica de água na fase água, ρR é a massa
específica dos grãos da rocha, Kd é o coeficiente de distribuição do sal entre a fase água e a rocha, Dm
é o coeficiente de difusão molecular do sal na fase água, τ é a tortuosidade do meio poroso, qc é um
termo de sumidouro/fonte de sal por unidade de volume da formação, qβ é o termo de sumidouro/fonte
da fase β por unidade de volume da formação, g é a aceleração da gravidade, k é a permeabilidade
absoluta da formação, krβ é a permeabilidade relativa da fase β e d é a profundidade com relação a
uma superfície de referência (Datum).
Para fechar o sistema de equações (147)-(151), são necessárias algumas relações constitutivas:
Xc +Xw = 1, (152)
po− pw = pcow (Sw,So,Xc) , (153)
pcow =γ (Xc)cos(θ (Xc))
(γ cosθ)iPi
cow (Sw,So) , (154)
µw = µw (Xc) , (155)
krw = krw (Sw,Xc) , (156)
kro = kro (Sw,Sg,Xc) , (157)
krg = krg (Sg,Xc) , (158)
ρw =[ρw (Xc)]STC
Bw(159)
nas quais γ é a tensão interfacial entre as fases óleo-água, Bβ é o Fator Volume de Formação referente a
75
fase β , Pcow é a pressão capilar entre a fase óleo e água, (γ cosθ)i é o produto da tensão interfacial e do
cosseno do ângulo de contato avaliados na salinidade da água original do reservatório, Picow é a pressão
capilar óleo-água nas condições de salinidade da água original do reservatório. As outras relações
constitutivas faltantes são as mesmas da modelagem black-oil original e por isso foram omitidas.
Esse modelo pode ser estendido para reservatórios fraturados.
76
3. LIBERAÇÃO DE PARTÍCULAS
OCASIONADA PELA ALTERNÂNCIA DE
VELOCIDADE DURANTE O
TRANSPORTE DE SUSPENSÕES EM
MEIOS POROSOS
3.1 Introdução
O transporte de emulsões e suspensões em meios porosos com captura e liberação de partículas é
essencial em diversas tecnologias das áreas química, ambiental e petrolífera. Ocorre em processos de
filtragem industrial, cromatografia de exclusão pelo tamanho, produção de água em poços artesianos,
descarte de resíduos industriais, remediação de aquíferos, contaminação de aquíferos por vírus e
bactérias, migração de finos em reservatórios mal consolidados e/ou com alto teor de argilominerais,
injeção de água de baixa qualidade em reservatórios entre outros (MAYS; HUNT, 2005; LEFEVRE
et al., 2007; JU et al., 2007; CHUPIN et al., 2008; KOCAEFE et al., 2009; ZHOU et al., 2009;
MASSOUDIEH; GINN, 2010; WONG; METTANANDA, 2010; GITIS et al., 2010; RICHARDS;
NERETNIEKS, 2010; NOUBACTEP; CARE, 2010). O projeto e a previsão de comportamento dos
processos tecnológicos mencionados é baseada em modelagem matemática.
O modelo clássico de filtração profunda assume cinéticas de primeira ordem para a captura e
liberação de partículas (SCHIJVEN; HASSANOZADEH, 2000; BAILEY et al., 2000; BRADFORD
et al., 2003; FRIMMEL et al., 2007; LIN et al., 2009; CIVAN, 2007, 2010; MASSOUDIEH; GINN,
2010; GITIS et al., 2010; GRAVELLE et al., 2011). Nesta modelagem, assume-se que a taxa de libe-
ração é proporcional à diferença entre o valor atual e o valor crítico de algum parâmetro (velocidade,
concentrações, etc.). Para a cinética de captura, uma teoria detalhada, em termos de parâmetros na
escala de poro, já se encontra desenvolvida (NABZAR et al., 1996; CHAUVETEAU et al., 1998;
ROUSSEAU et al., 2008; TUFENKJI; ELIMELECH, 2004a). Porém, para a cinética de liberação as
constantes são, em geral, determinadas empiricamente a partir do ajuste de dados de concentração do
efluente (FRIMMEL et al., 2007).
77
Outra limitação desta modelagem é a predição assintótica de concentração retida (e consequente-
mente, permeabilidade) quando o tempo tende ao infinito. Na literatura (KHILAR; FOGLER, 1998;
MIRANDA; UNDERDOWN, 1993) é observada a liberação quase instantânea de finos, seja por au-
mento repentino do gradiente de pressão, seja por alteração da salinidade do fluido percolante. Testes
de laboratório com aumento abrupto de vazão mostram uma resposta abrupta imediata de permeabi-
lidade (LEVER; DAWE, 1984; OCHI; VERNOUX, 1998), em contraponto ao modelo quase linear
clássico de filtração, que prevê resposta suave assintótica, com demora.
Outro aspecto não abordado na modelagem clássica é o equilíbrio mecânico das partículas retidas.
A liberação de partículas das paredes de poro é regida pela falha na condição de equilíbrio mecânico
dessas partículas (RAHMAN et al., 1994; BERGENDAHL; GRASSO, 2000; BRADFORD; TORK-
ZABAN, 2008). Este equilíbrio é determinado pelo balanço de momentos das forças eletrostáticas,
de arraste, de elevação e gravitacionais atuantes em uma partícula solitária sobre o grão do meio po-
roso ou na superfície do reboco interno (FREITAS; SHARMA, 2001; CIVAN, 2007). Não obstante,
a cinética de liberação proposta no modelo clássico não tem relação com este equilíbrio, não sendo
afetada por essas forças. Mesmo modelos recentes de filtração profunda com camadas migrantes de
partículas, capturadas no mínimo secundário de energia (LI et al., 2006; YUAN; SHAPIRO, 2011b)
não consideram as forças atuantes sobre as partículas retidas.
As características das partículas e dos poros não são homogêneas por todo o meio poroso, mas
encontram-se distribuídas estocasticamente por ele. Portanto, existe distribuição estatística das forças
no meio poroso, e a apreciação deste efeito requer modelagem detalhada na escala do poro (PAYATA-
KES et al., 1973, 1974), encontrando-se na literatura abordagens baseadas em balanço de populações
(SHARMA; YORTSOS, 1987c, 1987b, 1987a; BEDRIKOVETSKY, 2008), equações do tipo “ran-
dom walk” (CORTIS et al., 2006; SHAPIRO, 2007; LIN et al., 2009; YUAN; SHAPIRO, 2011b) e
simulação direta em escala de poro (BRADFORD et al., 2009). Ainda sim, os modelos de balanço
de populações e de “random walk”, bem como os modelos fenomenológicos de larga escala, usam a
cinética de liberação com coeficientes empíricos e não levam em conta as forças atuantes sobre uma
partícula individual.
Bedrikovetsky et al. (2011a) propuseram um modelo no qual a cinética de liberação de partículas
é substituída pela função de retenção máxima (crítica). Segundo este modelo, a captura de partículas
ocorre enquanto a quantidade de partículas retidas for menor que o valor máximo; caso contrário,
essa quantidade é igual ao máximo. Esta concentração crítica, que é função da velocidade e das
características físico-químicas da solução percolante, é determinada pelo balanço de torque da partí-
cula na superfície do reboco interno. A modelagem proposta pelos autores possui solução analítica
para o caso de injeção contínua de suspensão. Esta solução foi ajustada a dados experimentais, mos-
trando boa correlação. Porém, é importante observar que estes dados experimentais também podem
ser ajustados pelo modelo clássico de filtração profunda com função de filtração decrescente, ou seja,
78
conforme a concentração retida aumenta, a função de filtração diminui.
Neste trabalho, o modelo proposto em Bedrikovetsky et al. (2011a) foi aplicado na investigação
da resposta to sistema de captura-liberação para o caso de velocidades alternadas durante a injeção
de suspensão particulada com vazão constante por partes (com respeito ao tempo). O sistema de
equações permite solução analítica explícita. Testes de laboratório mostram resposta instantânea da
pressão para alternância de vazões. O modelo mostra boa correlação com os dados de laboratório, o
que valida o modelo modificado para liberação de partículas durante o transporte de suspensões em
meios porosos.
A estrutura deste capítulo é a seguinte: na seção (3.2) o sistema de equações para a liberação
de partículas durante o transporte de suspensões em meios porosos é descrito, contendo a função de
retenção máxima. Na seção (3.3) apresenta-se a solução analítica do sistema de equações para injeção
de suspensões com liberação de partículas para vazões constantes por partes. A descrição dos testes
de laboratório, juntamente com o ajuste do modelo, são apresentados na seção (3.4).
3.2 Modelo matemático para transporte de suspensões com libe-ração de partículas
A Figura 46 ilustra o modelo que inclui a função de retenção máxima, que rege a liberação
das partículas aderidas, a cinética de captura de partículas por exclusão pelo tamanho e a lei de
conservação de massa para as partículas retidas e em suspensão. A principal hipótese do modelo
para transporte de suspensões em meios porosos com liberação de partículas é a existência de em
uma função de retenção máxima (crítica), relacionando o valor máximo da concentração retida com
a velocidade de fluxo σ = σcr (U).
Na escala do poro, o relacionamento entre o valor máximo da concentração de partículas retidas
e velocidade de fluxo segue do balanço de torques das forças de arraste, elevação, gravidade e eletros-
tática; atuantes na partícula aderida à superfície sólida (Figura 46). Esse relacionamento é válido para
o caso onde o torque total das forças favoráveis à liberação (arraste e elevação) é igual ao máximo
valor do torque das forças eletrostática e gravitacional, favoráveis à manutenção da partícula sobre a
superfície. Bedrikovetsky et al. (2011a) deduzem detalhadamente a função de retenção máxima para
o caso de poros cilíndricos, incluindo as expressões das forças envolvidas. A expressão encontrada
por eles foi:
σcr (U) = σ0
[1−(
UUm
)2], (160)
na qual σ0 é a concentração retida capturada a partir de uma suspensão estacionária. Para velocidades
superiores à Um, as forças de arraste e elevação impedem adesão de qualquer partícula na superfície
da matriz do meio poroso, ou seja, a velocidade Um é a velocidade máxima de deposição. Um depende
79
Figura 46: Partículas excluídas por tamanho e aderidas as paredes dos poros durante o fluxo desuspensões em meios porosos.
de constantes eletrostáticas e dos raios de partícula e poro. A Figura 47 mostra um exemplo de curva
de retenção máxima calculada usando a equação (160) e os seguintes valores para as constantes:
constante de Hamaker A132 = 10−20 J, potenciais eletrostáticos para superfície e grão ψ01 =−30 mV
e ψ02 =−50 mV respectivamente, os coeficientes das forças de arraste e elevação ω = 43 e χ = 1193,
porosidade do reboco φ = 0,4. Como as forças de arraste e elevação são funções monotonicamente
crescentes da velocidade, a concentração máxima retida decresce com o aumento da velocidade de
fluxo. As linhas tracejadas e pontilhadas correspondem a constantes de Hamaker iguais a 1,2x10−20 J
e 0,5x10−20 J, respectivamente. As forças de adesão não conseguem manter uma partícula solitária
na superfície da rocha em velocidades superiores à Um, o que significa que acima dessa velocidade a
concentração retida por adesão é nula.
A velocidade adimensional corresponde ao número de erosão, definido por:
σ = σcr (ε) ,ε =µr2
s |U |√k0φFn
, (161)
onde Fn é a força normal, ou seja, a resultante entre as forças de elevação, gravidade e eletrostática
(máxima). A força eletrostática é uma força de interação grão-partícula para o caso de deposição
mono camada na superfície da matriz; a força eletrostática é determinada pela interação partícula-
partícula em caso de deposição multicamada; a equação (161) é válida para ambos os casos descritos
acima. A força de adesão deve ser incluída no balanço de torques para descrever a liberação de
partículas na presença de água conata em campos de gás e óleo, nos quais os finos são mobilizados
perto do poços de altas vazões de produção. A pressão capilar entre gotículas oleosas e água determina
a forma da curva (161) para retenção e mobilização de gotas de óleo durante a reinjeção de água
produzida.
80
Figura 47: Concentração máxima retida σcr versus velocidade U para 3 valores da constante deHamaker.
A concentração máxima retida é função da velocidade (forças de arraste e elevação) e também
da salinidade da água, seu pH e da temperatura (devido às forças eletrostáticas). A definição do
número de erosão (161) em conjunto com as expressões para forças permite recalcular a dependência
σ = σcr (ε) em termos de salinidade e velocidade. A forma da função σcr (ε), conforme obtida a
partir de dados experimentais em Lever e Dawe (1984), Khilar e Fogler (1998), Bergendahl e Grasso
(2000), Bradford e Torkzaban (2008), Torkzaban et al. (2010), é a mesma que aquela exposta na
Figura 47.
Num experimento realizado por Lever e Dawe (1984), o testemunho de um arenito com permea-
bilidade de 140 mD foi submetido à teste com soluções de salinidade decrescente. O decréscimo de
salinidade foi realizado de maneira escalonada, de 3% até água destilada. Com o decréscimo em sa-
linidade de 3% para 0,125%, foi observado um declínio aproximadamente linear em permeabilidade
com o volume acumulado injetado de água. As alterações abruptas de salinidade no teste foram acom-
panhadas por um decréscimo instantâneo de permeabilidade e aparecimento de partículas suspensas
no fluido produzido. Com 0.05% de NaCl, 0.025% de NaCl e água destilada, quedas muito maiores
de permeabilidade foram observadas. Ao final, a permeabilidade foi reduzida a 12 mD. As injeções
de água com salinidade constante foram realizadas até a estabilização da permeabilidade, o que cor-
responde a distribuições uniformes de concentração retida ao longo do testemunho (haja vista que
k = k (σ)). A concentração de partículas excluídas pelo tamanho é igual a concentração de partículas
liberadas menos a concentração de partículas produzidas. A conversão de permeabilidade em con-
centração retida foi feita utilizando a definição do coeficiente de dano à formação β : k0/k(σ)= 1+βσ
(PANG; SHARMA, 1997; BEDRIKOVETSKY et al., 2001). O valor típico β = 160 foi escolhido. A
81
Figura 48 mostra 8 pontos experimentais conforme obtidos de 8 valores de permeabilidade estabiliza-
dos. O nono ponto na mais alta velocidade U >Um tem σcr = 0. A curva σcr (ε), obtida utilizando o
raio de poro médio da rocha, ajustou adequadamente os nove pontos experimentais para a velocidade
U = 10−6 m/s, constante de Hamaker A132 = 0,9x10−20 J, tamanho de partícula 1 µm, coeficientes de
arraste e elevação ω = 24 e χ = 649, respectivamente. A Figura 48 mostra a concentração máxima
retida em função da velocidade (abscissa inferior) e em função da concentração de NaCl (abcissa
superior), calculadas a partir do teste de laboratório com decréscimo escalonado de salinidade.
Figura 48: Forma da função de retenção máxima versus velocidade e salinidade calculadas a partir detestes de Lever e Dawe (1984).
Aguda diminuição de concentração retida perto da velocidade máxima (salinidade mínima) na
Figure 48 explica o fenômeno de “choque de salinidade” (KHILAR; FOGLER, 1998), onde a maior
parte dos finos é liberada quando a concentração de sal injetado é reduzida além de um valor limite.
Nos casos onde o torque total das forças de adesão prevalece sobre o torque das forças de arraste
e elevação, ocorre a retenção de partículas. A captura das partículas ocorre se a concentração retida é
menor que o seu valor máximo. A taxa de captura é regida pela equação clássica de filtração profunda
(HERZIG et al., 1970):
σ < σcr (ε) :∂σ
∂ t= λ
′ (σ)cU. (162)
Caso contrário, a equação (161) é válida.
Outras hipóteses incluem: partícula pequena se comparada com os poros (não há formação de re-
boco externo), pequenas concentrações de injeção (densidade e viscosidade da suspensão constantes),
não há difusão e a suspensão é considerada incompressível.
O balanço de massa para partículas suspensas e retidas considera a redução da porosidade ocasi-
onada pelas partículas retidas:
82
∂
∂ t((φ −σ)c+σ)+U
∂c∂x
= 0, (163)
na qual a acessibilidade e os fatores de redução de fluxo são ignorados (PANFILOV et al., 2008;
ILINA et al., 2008; BEDRIKOVETSKY, 2008) devido à não ocorrência de exclusão pelo tamanho.
O sistema de equações (161)-(163) com a equação (161) ou (162) sendo satisfeita determina duas
incógnitas, que são as concentrações em suspensão e retida. A pressão de poro é determinada pela
Lei de Darcy modificada para considerar o dano à permeabilidade devido à retenção de partículas
(PANG; SHARMA, 1997; MAYS; HUNT, 2005):
U =−k (σ)
µ
∂ p∂x
, k (σ) = k0 (1+β (σ)σ)−1 . (164)
A introdução das seguintes variáveis adimensionais:
xD =xL, tD =
1φL
t∫0
U(t ′)
dt ′,C =cc0 , S =
σ
φc0 , λ = λ′L, P =
kpµLU
, (165)
permite reescrever as equações (161)-(164) como:
∂
∂ tD
[(1− c0S
)C+S
]+
∂C∂xD
= 0, (166)
S < Scr (ε) :∂S∂ tD
= λ (S)C, (167)
S = Scr (ε) , (168)
1 =− 1(1+βφc0S)
∂P∂x
. (169)
O sistema adimensional (166)-(169) contém 3 funções empíricas fenomenológicas: a função
de retenção máxima Scr (ε), e os coeficientes de filtração λ (σ) e de dano à formação β (σ). A
introdução do tempo adimensional tD, expresso como o volume acumulado de fluido injetado, permite
a enunciação do fluxo de água como unitário.
Uma vez que as equações (166)-(168) são independentes da pressão, a equação (169) desacopla
do sistema de equações. Assim, resolve-se primeiro o sistema (166)-(168) em termos de C e S e
depois integra-se a equação (169) com esse resultado.
A condição de contorno para a injeção de suspensão a uma dada concentração de partículas c0 é:
83
C (0, tD) = 1. (170)
As condições iniciais correspondem às seguintes concentrações em suspensão e retida:
C (xD,0) =Ci (xD) ,S (xD,0) = Si (xD) . (171)
Nas coordenadas xD onde a concentração retida é menor que o valor crítico, Si (xD)< Scr (ε), as
concentrações retida e em suspensão permanecem as mesmas no primeiro momento tD = +0 após o
início da injeção. Assim, se o estado inicial é “subsaturado” para a velocidade de fluxo aplicada, água
limpa (sem partículas) não perturba as partículas inicialmente depositadas. Se em algum ponto xD
a concentração retida “saturada” para a velocidade de fluxo em questão é menor que a concentração
retida inicial, Si (xD)> Scr (ε), o excesso de concentração retida é instantaneamente deslocado, sendo
carreado pelo fluido. As condições iniciais em tD =+0 seguem da continuidade do balanço de massa
através da fronteira temporal tD = 0.
(1− c0Si
)Ci (xD)+Si (xD) =
(1− c0Scr (ε)
)C (xD, tD +0)+Scr (ε) . (172)
O balanço de massa (172) permite formular as condições iniciais em tD = +0 correspondentes
ao estado inicial do meio poroso (171), sendo consistentes com o modelo de adesão-liberação de
partículas (166)-(168):
S (xD,+0) =
Si (xD) , Si (xD)< Scr (ε)
Scr (ε) , Si (xD)> Scr (ε), (173)
C (xD,+0) =
Ci (xD) , Si (xD)< Scr (ε)
(1−c0Si(xD))Ci(xD,0)+Si(xD)−Scr(ε)
1−c0Scr(ε), Si (xD)> Scr (ε)
. (174)
3.3 Modelo analítico para injeção de suspensões em vazões alter-nadas
Nesta seção, a injeção de suspensão com vazão U (t) constante por partes é discutida. O processo
é descrito pelo sistema de equações (166)-(169) apresentado na seção anterior. O problema unidi-
mensional de fluxo à vazões alternadas admite solução analítica (seção 3.3.1). Um modelo analítico é
obtido considerando-se constantes a porosidade e o coeficiente de filtração, conforme discutido ante-
riormente em Bedrikovetsky et al. (2011a). A estrutura do padrão de fluxo e seus fenômenos físicos
84
adjacentes são descritos na seção 3.3.2. A seção 3.3.3 apresenta os cálculos de diferencial de pressão
ao longo do testemunho durante a injeção da suspensão.
3.3.1 Solução exata para o problema das concentrações
Considere uma injeção de suspensão realizada com uma velocidade de fluxo U1 durante o tempo
tD < tD1 e com velocidade U2 quando tD1 < tD < tD2 (Figura 49.a). As velocidades U1e U2 corres-
pondem aos números de erosão ε1 e ε2. As trajetórias das frentes de concentração no plano (xD, tD)
decorrentes da injeção à vazões alternadas de suspensão são exibidas na Figura 50.a.
A injeção é realizada em um meio poroso inicialmente limpo. Por isso, as concentrações em
suspensão e retida iniciais (equações 171) são identicamente nulas.
Para tD < tD1, a solução do problema de condições iniciais e de contorno (170, 171) com valores
iniciais iguais a zero já se encontra disponível na literatura (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a). Por
isso, será dada apenas uma breve descrição dessa solução, que rege o comportamento do sistema nas
regiões I, II e III.
Assumindo-se que a porosidade é constante, o balanço de massa (equação (166)) pode ser escrito
como:
∂
∂ tD(C+S)+
∂C∂xD
= 0. (175)
Isolando-se a concentração em suspensão na equação (167), substituindo na equação (175) e inte-
grando com respeito a tD e levando-se em conta as condições iniciais identicamente nulas, é possível
escrever∂S∂ tD
+∂S
∂xD=−λS. (176)
A partir da cinética (167) e das condições de contorno (170) segue que a concentração retida na face
de injeção da amostra é:
S (0, tD) = λ tD. (177)
Em suma, o problema (166)-(168),(170),(171) nas incógnitas C e S foi reformulado em outro
apenas na incógnita S (equações (171),(176),(177)). Mais adiante, a solução S (xD, tD) deste problema
será obtida a partir do método das características. Ambas as concentrações (C e S) são nulas adiante
da frente de concentração xD > tD, ou seja, na zona 0.
85
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 49: Histórico de injeção sequencial de suspensão à velocidades U1, U2 e U1. a) Regime defluxo de três velocidades; b) Concentração do efluente; c) Histórico de diferencial de pressão; d)Variação de impedância durante o teste.
86
(a)
(b)
Figura 50: Fluxo de suspensão com duas mudanças de vazão nos momentos tD1e tD2; a) Movimen-tação das frentes de concentração no plano (xD, tD), b) Perfis de retenção nos momentos tD1, tD2 et1, t2 . . . t8.
As equações (175) e (176) tem a seguinte forma característica:
dtDdxD
= 1,dS
dxD=−λS,
dCdxD
=−λC, (178)
as quais, levando-se em conta as condições de contorno (171),(177); permitem escrever a solução na
zona I (ver Tabela 7).
87
Tabela 7: Equações para as concentrações em suspensão e retida durante a injeção de suspensão avazões alternadas.
Zona Concentração em suspensão C (xD, tD) Concentração retida S (xD, tD)
0 0 0
I exp(−λxD) λ (tD− xD)exp(−λxD)
II exp{−λ
[− tD
Scr1+ xD
(1+ 1
Scr1
)]−1}
Scr1 exp{−λ
[− tD
Scr1+ xD
(1+ 1
Scr1
)]}III 1 Scr1
IV exp [−λ (tD− tD1)] Scr1 +1− exp [−λ (tD− tD1)]
V exp(−λxD) Scr1 +1+[λ (tD− tD1− xD)−1]exp(−λxD)
VI exp
[λ
(tD−tD1
Scr2−Scr1−xD
)−1
1− 1Scr2−Scr1
]1+Scr1− (1+Scr1−Scr2)exp
[−
1+λ
(xD−
tD−tD1Scr2−Scr1
)1− 1
Scr2−Scr1
]VII 1 Scr2
VIII Scr2−Scr1 +1 Scr1
IX 1 Scr1
A erosão do reboco interno começa quando a concentração retida atinge o valor Scr (ε1) = Scr1.
No instante tDc1 = Scr1/λ , a concentração retida na face de injeção (xD = 0) atinge o valor crítico.
A partir deste instante aparece uma frente de erosão xcr1 = xcr1 (tD), que separa as zonas II e III. A
concentração retida ao longo e atrás da frente de erosão é igual ao valor crítico correspondente Scr1.
Com isso e a equação (167) em mente, é possível calcular a trajetória e velocidade da frente de erosão:
xcr1 (tD) =tD− Scr1/λ
Scr1 +1, (179)
ou
tcr1 (xD) = (Scr1 +1)xD + Scr1/λ . (180)
No instante tD1 a velocidade é reduzida de U1 para U2. A escala temporal (dimensional) foi
modificada. Porém, a velocidade adimensional da água permanece unitária devido à definição do
tempo adimensional tD (equação (165)). A condição inicial para S e C é composta pelos valores
dessas concentrações na região III (equações (175) e (176)):
tD = tD1 : C = 1,S = Scr1. (181)
A condição de contorno (170), referente à concentração em suspensão, permanece a mesma. A con-
dição de contorno para a concentração retida S, que segue da equação (167), é:
S (0, tD) = Scr1 +λ (tD− tD1) . (182)
88
Para encontrar a solução na zona IV, onde a velocidade de fluxo é U2, substitui-se a expressão
para C, como obtida a partir da equação (167), no balanço de massa (175). A integração com relação
ao tempo desta expressão, levando-se em conta as novas condições iniciais (181), permite escrever:
∂S∂ tD
+∂S
∂xD= λ (1+Scr1−S) . (183)
A parametrização das linhas características na zona IV pelo tempo tD resulta na seguinte forma carac-
terística para as equações (175) e (183):
dCdtD
=−λC,dSdtD
= λ (1+Scr1−S) ,dxD
dtD= 1. (184)
A integração da equação diferencial ordinária (184) considerando a condição inicial (181) resulta nas
distribuições das concentrações na zona IV (ver Tabela 7). A solução é independente de xD, sendo
função apenas de tD.
A frente de água xD = tD− tD1 com velocidade unitária separa as zonas IV e V.
Escolhendo-se a coordenada xD como parâmetro sobre as linhas características da zona V, obtém-
se a seguinte forma característica para as equações (175) e (183):
dCdxD
=−λC,dS
dxD= λ (1+Scr1−S) ,
dtDdxD
= 1, (185)
A integração das equações diferenciais ordinárias (185) com as condições de fronteira (170) e (177)
resulta nas concentrações em suspensão e retida para a zona V. A solução para concentração em
suspensão C depende da coordenada linear xD apenas e é de regime permanente.
A concentração retida na face de injeção S (0, tD) aumenta de acordo com a equação (182), até
atingir o valor limite determinado pela função de retenção crítica (168), Scr2. O instante tcr2 no qual
esse valor limite é atingido e a erosão começa na face de injeção pode ser expresso a partir da condição
de fronteira (182) como:
tcr2 (0) = tD1 +Scr2−Scr1
λ. (186)
A Figura 50.a mostra a segunda frente de erosão xcr2 (tD) e a linha característica que começa no ponto
(0, tcr2). Sobre esta frente, a concentração retida é igual ao valor limite:
S (xcr2 (tD) , tD) = Scr2. (187)
Como a captura de partículas não ocorre atrás da frente de erosão:
89
S (xD, tD) = Scr2,C (xD, tD) = 1. (188)
A frente de erosão xcr = xcr (tD) separa as zonas VI e VII.
Para calcular a trajetória de frente de erosão, diferencia-se a condição (187) ao longo da frente de
erosão por tD:
∂S∂ tD
+dxcr2
dtD
∂S∂xD
= 0. (189)
A equação (189) contém três incógnitas: as duas derivadas parciais de S sobre a frente de erosão e
a velocidade dessa frente. A equação (183) também possuiu essas duas derivadas como incógnitas
sobre essa mesma frente.
É necessário estabelecer uma condição sobre a continuidade do fluxo de partículas sobre a frente
de erosão xcr = xcr (tD) (LANDAU; LIFSHITZ, 1987):
C+ (1−D)−S+D =C− (1−D)−S−D, (190)
na qual D representa a velocidade da frente. Da equação (167) é possível concluir que a concentração
retida S é sempre contínua. Portanto, S+ = Scr2 sobre a frente de erosão, e a condição (190) pode ser
reescrita como:
(C+−C−
)(1−D) = 0, (191)
que é satisfeita em dois casos: ou a frente tem velocidade unitária (D = 1) ou C é uma função contí-
nua. Como a velocidade da frente de erosão é menor que a unidade, a concentração em suspensão é
contínua. Portanto, C = 1 sobre a frente de erosão, o que permite calcular a derivada temporal de S a
partir da equação (167):
∂S∂ tD
= λ . (192)
Usando a equação (192) nas equações (183) e (189), obtém-se os valores da derivada espacial de S
sobre a frente de erosão e a velocidade desta frente:
∂S∂xD
= λ (Scr1−Scr2) ,dxcr
dtd=
1Scr2−Scr1
. (193)
Com a inclusão da condição (186), é possível integrar (193) e obter:
xcr2 =tD− tD1
Scr2−Scr1− 1
λ, (194)
90
tcr2 = tD1 +(Scr2−Scr1)
(xD +
1λ
). (195)
A segunda frente de erosão, dada pelas equações (194) e (195), é a fronteira móvel traseira da zona
VI.
Para encontrar as concentrações na zona VI, é importante notar que sobre a frente de erosão,
S = Scr2, pois dessa forma é possível utilizar a frente de erosão como fronteira para a equação (185).
A equação para as características que cruzam o ponto (xcr2, tcr2) é:
xD− xcr2 = tD− tcr2. (196)
Expressando as coordenadas da interseção (xcr2, tcr2) em termos de (xD, tD) com auxílio das equações
(195) e (196), obtém-se:
tcr2 =tD− xD− 1
λ− tD1
Scr2−Scr1
1− 1Scr2−Scr1
,xcr2 =
tD−tD1−xDScr2−Scr1
− 1λ
1− 1Scr2−Scr1
. (197)
Integrando a equação das características (185) com a condição de contorno (187) e a expressão (197)
para o ponto coordenado onde a condição de fronteira é imposta, obtém-se as concentrações na zona
VI (Tabela 7). A expressão para a concentração em suspensão na zona VI é obtida através da equação
(167) para a cinética de captura baseando-se na concentração retida, já conhecida.
Não ocorre captura de partículas atrás da frente de erosão (região VII), por isso C (xD, tD) = 1 e
S (xD, tD) = Scr2. No instante tD2 a velocidade é aumentada de U2 para U1. A lei de conservação de
massa (175) é satisfeita ao longo da linha tD = tD2, que corresponde a uma descontinuidade na solução
C (xD, tD) ,S (xD, tD) sobre essa linha. A concentração crítica de retenção decresce abruptamente até
o valor Scr1. A concentração em suspensão correspondente após a mobilização da partícula pode ser
encontrada a partir do balanço de massa correspondente a lei de conservação (175):
1+Scr1 =C (xD, tD2 +0)+Scr2. (198)
O excesso de partículas retidas Scr2−Scr1 é instantaneamente removido da concentração retida para a
suspensa (ver equações (172)-(174)). Esta remoção determina a condição inicial para a concentração
em suspensão:
C (xD, tD2) = Scr2−Scr1 +1. (199)
Como não há retenção de partículas nas zonas VIII e IX, a concentração retida é constante nessas
regiões e S (xD, tD) = Scr1. A concentração suspensa permanece constante na região VIII. A equação
(175) permite concluir que a concentração em suspensão na zona IX é igual à unidade.
91
3.3.2 Estrutura da solução
Nesta seção será feita uma análise do modelo analítico desenvolvido na seção anterior, descrevendo-
se os fenômenos físicos nele contidos. Os tempos de referência t1, t2 . . . t8 foram escolhidos em di-
ferentes estágios do processo de deslocamento (Figura 50.a); os perfis típicos de partículas retidas
nesses momentos são expostos na Figura 50.b. O histórico de concentração do efluente é exposto na
Figura 49.b.
Como a injeção é realizada em uma amostra inicialmente limpa, ambas as concentrações são
identicamente nulas na zona 0 a frente da frente de perturbação de concentração que se move com
velocidade unitária. A concentração do efluente é zero até a produção do primeiro volume poroso
(Figura 49.b). Atrás da frente de concentração, a concentração em suspensão já se encontra em
regime permanente na zona I. Isto ocorre porque para cada partícula “nova” que entra numa secção
transversal qualquer do sistema, outra esta sendo imediatamente capturada. Isto também implica em
um aumento gradual da concentração retida.
A concentração do efluente permanece constante até o instante tDc1 +1, que corresponde ao mo-
vimento de cada partícula através do testemunho com igual probabilidade de captura por unidade de
comprimento. A concentração retida diminui ao longo do testemunho, conforme mostra a Figura
50.b, sendo nula à frente da frente de concentração. Mais precisamente, essa concentração aumenta
com o tempo (para qualquer coordenada xD fixa) e diminui com a distância da face de injeção (para
qualquer tempo tD fixo). A título de exemplo, tal situação é esquematizada nos tempos t1 e t2 da
Figura 50.b.
No instante tDc1, a concentração retida atinge o valor crítica Scr1 na face de injeção da amostra.
A frente de erosão tcr1 (xD) começa a se mover em direção à jusante do meio poroso. A filtração
profunda com captura de partículas ocorre a frente da frente de erosão (zona II). A concentração em
suspensão diminuiu da unidade na frente de erosão com perfil exponencial típico, e a concentração
retida continua crescente. A concentração retida possui valor máximo Scr1 atrás da frente de erosão
(ver perfil S = Scr1 atrás da frente de erosão no instante t3). Cada partícula move-se a partir da frente
de erosão até a saída do testemunho com probabilidade de captura por unidade de comprimento
constante. Como a distância entre a frente de erosão e a saída do testemunho diminui com o tempo,
a concentração do efluente aumenta monotonicamente com o tempo, de exp(−λ ) no instante tDc1 +
1 até a unidade no instante tcr1 (xD), correspondente a chegada da frente de erosão até a saída do
testemunho.
A ausência de captura de partículas na zona III determina que a concentração em suspensão seja
igual à unidade. Ambas as concentrações permanecem constantes após a passagem da frente de erosão
pelo testemunho. Os torques das forças de adesão prevalecem sobre os de liberação nas zonas I e II,
então a filtração profunda ocorre a frente da frente de erosão. O equilíbrio de torques é atingido na
92
frente de erosão e é mantido atrás da dessa frente na zona III.
No instante tD1, a vazão de injeção decresce abruptamente para o valor U2 (Figura 49.a). A con-
centração de retenção crítica instantaneamente aumenta para o valor Scr2, o sistema se torna “subsa-
turado” e a filtração profunda recomeça em todo testemunho. As concentrações “iniciais” no instante
tD = tD1 (C = 1,S = Scr1) são “herdadas” da zona III da vazão anterior. A frente da frente de concen-
tração (zona IV), a suspensão de concentração uniforme C = 1 é filtrada pelo meio poroso homogêneo
com coeficiente de filtração constante, de forma que a concentração suspensa é independente da co-
ordenada xD, diminuindo com o tempo devido a captura de partículas.
A concentração em suspensão atrás da frente de concentração é determinada pelo movimento
da partícula da face de injeção até o ponto xD com probabilidade constante de captura de partículas.
Portanto, a distribuição da concentração em suspensão na zona V está em regime estacionário. A
concentração retida na zona V aumenta gradualmente. O perfil de retenção no momento t4 diminui e
se torna constante na zona IV. No instante t5, quando a zona IV já desapareceu, o perfil de S diminui
ao longo de todo o testemunho. A concentração retida na face de injeção atinge seu valor máximo Scr2
no instante tDc2, aparecendo então uma segunda frente de erosão, que se move em direção à saída do
testemunho. Esta frente separa a zona de erosão VII, onde os valores limite Scr2 e C = 1 são mantidos
(ver perfis do instante t6), da zona de filtração profunda VI. Em algum instante a segunda frente de
erosão atinge a saída do testemunho, e a zona de erosão abrange todo o testemunho.
No instante tD1 quando a velocidade é abruptamente diminuída, as forças de elevação e arraste di-
minuem também, de forma que as forças eletrostática e gravitacional pressionam as partículas retidas
em direção aos grãos ou à superfície do reboco interno. A captura de partículas é reiniciada e continua
até que o balanço de torques seja restabelecido na segunda frente de erosão. A . A velocidade de fluxo
é novamente modificada para o valor U1 no momento tD2 (Figura 50.a). Disso resulta uma diminuição
instantânea de concentração máxima retida, e o excesso de partículas retidas ∆Scr = Scr2−Scr1 é ins-
tantaneamente liberado na suspensão. Por isso, a concentração em suspensão se torna igual à 1+∆Scr
(Figuras 50.b e 49.b). O valor Scr1 para concentração retida é mantido por todo fluxo com velocidade
U1 (perfis de S nos momentos t7 e t8), e não ocorre retenção de partículas. O fluxo advectivo de
suspensão ocorre à frente da frente de concentração com concentração em suspensão C = 1+∆Scr na
zona VIII e atrás dessa frente na zona IX C = 1. Este efeito também pode ser apreciado no histórico
de concentração no efluente (Figura 49.b).
O aumento súbito das forças de arraste e elevação ocorre no instante tD2, o que impede as forças
gravitacional e eletrostática de manterem todas as partículas retidas no grão ou na superfície do reboco
interno. As forças de arraste e elevação instantaneamente varrem o excesso de partículas retidas ao
longo do testemunho até o valor de equilíbrio Scr1. O balanço é mantido durante o período tD >
tD2, assim a concentração retida permanece constante, e a suspensão enriquecida é deslocada pela
suspensão injetada como num deslocamento pistão. A forma típica da curva de concentração do
93
efluente, exposta na Figura 49.b, é útil na interpretação de testes laboratoriais em fluxo de suspensões
em meios porosos.
3.3.3 Cálculo do diferencial de pressão
Se faz necessário calcular a evolução do diferencial de pressão adimensional (impedância). Desta
seção em diante, é assumido que o coeficiente de dano à formação é constante. A impedância, que é
o diferencial de pressão imposto no testemunho, vem dada pela seguinte fórmula em caso de variação
de velocidades:
J (tD) =∆p(tD)U (tD)
U (0)∆p(0)
. (200)
A permeabilidade média do testemunho no instante tD pode ser escrita a partir da impedância comok0/J(tD).
Tornando explícito o gradiente de pressão na lei de Darcy (169) e integrando na coordenada xD
de zero a um, obtém-se:
J (tD) = 1+βφc01∫
0
S (xD, tD)dxD. (201)
A concentração retida média presente na equação (201) para impedância foi calculada a partir da
solução exata (Tabela 7) e é exposta na Tabela 8 para doze intervalos de tempo.
O diferencial de pressão e a impedância crescem de maneira não linear com o tempo antes da
produção das primeiras partículas porque a zona danificada atrás da frente de concentração expande-
se durante esse período. O instante de produção tD = 1 é muito pequeno se comparado com o tempo
de erosão tDc1 para o caso em questão, de forma que o crescimento não linear não fica aparente nas
Figuras 49.c e 49.d. Após tD = 1 e antes do início da erosão (instante t2), a integração de (201),
levando-se em conta o perfil de retenção, torna possível escrever:
1≤ tD < tDc :1∫
0
S (xD, tD)dxD = tD [1− exp(−λ )]+1λ[(λ +1)exp(−λ )−1] . (202)
O termo
βφc0 exp(−λ )(1+ 1/λ)− 1/λ � 1, (203)
é muito menor que a unidade (BEDRIKOVETSKY et al., 2001), o que permite simplificar a equação
(202). O resultado dessa simplificação é exposto na terceira linha da Tabela 8 e corresponde a um
94
crescimento linear do diferencial de pressão e impedância (Figuras 49.c e 49.d respectivamente).
Tabela 8: Equações para a concentração retida média para diferentes estágios da injeção.
Intervalo de tempo∫ 1
0 S (xD, tD)dxD
tD ∈ [0,1] tD + 1λ[exp(−λ tD)−1]
tD ∈ [1, tDc1] (1− exp(−λ )) tD
tD ∈ [tDc1, tDc1 +1]
Scr1
{tD−tDc1(1+Scr1)
+ 1λ
exp(
λtD
Scr1−1)∗
∗[(
exp[−λ
(tD−tDc11+Scr1
)]− exp [−λ (tD− tDc1)]
)]}+
+tD (exp [−λ (tD− tDc1)]− exp(−λ ))
tD ∈ [tDc1 +1, tDc1 +1+Scr1]Scr1
{1λ
exp(
λtD
Scr1−1)∗
∗[exp(−λ
tD−tDc11+Scr1
)− exp(−λ )
]+ tD−tDc1
1+Scr1
}tD ∈ [tDc1 +1+Scr1, tD1] Scr1
tD ∈ [tD1, tD1 +1]1+Scr1 + tD− tD1− 1
λ+
+( 1
λ+1)
exp [−λ (tD− tD1)]
tD ∈ [tD1 +1, tDc2] Scr1 +1+(1− exp(−λ )) tD
tD ∈ [tDc2, tDc2 +1]
(1+Scr1)(1− tD− tDc2)+Scr2tD−tDc2
Scr2−Scr1+
+(tD− tD1− 1
λ
)[exp [−λ (tD− tDc2)]− exp(−λ )]+
+(1+Scr1)(
tD− tDc2− tD−tDc2Scr2−Scr1
)+
+ (1+Scr1−Scr2)2
λ (Scr2−Scr1)exp(
λ (tD−tD1)−Scr2+Scr1Scr2−Scr1−1
)∗
∗[exp[−λ (tD−tDc2)Scr2−Scr1−1
]− exp
[−λ (tD−tDc2)(Scr2−Scr1)
Scr2−Scr1−1
]]
tD ∈ [tDc2 +1, tDc2 +Scr2−Scr1]
Scr2tD−tDc2
Scr2−Scr1+(1+Scr1)
(1− tD−tDc2
Scr2−Scr1
)+
+ (1+Scr1−Scr2)2
λ (Scr2−Scr1)exp(
λ (tD−tD1)−Scr2+Scr1Scr2−Scr1−1
)∗
∗[exp[− λ (tD−tDc2)
Scr2−Scr1−1
]− exp
[−λ (Scr2−Scr1)Scr2−Scr1−1
]]tD ∈ [tDc2 +Scr2−Scr1, tD2] Scr2
tD ∈ [tD2, tD2 +1] Scr1
tD ∈ [tD2 +1,∞) Scr1
Após o começo da erosão, a expressão para a concentração retida média é apresentada na quarta
linha da Tabela 8. Três termos correspondem à retenção total neste período: a zona de erosão III
e as zona de captura de partículas II e I a frente da frente de erosão. O diferencial de pressão e a
impedância exibem crescimento não linear neste período. Após o momento tDc1 +1, o terceiro termo
da expressão para a concentração retida média desaparece (ver equação da quinta linha da Tabela 8).
A impedância se torna constante após a erosão ocorrer em todo o testemunho (a qualquer instante
posterior à tDc1 +1+Scr1 e anterior à tD1, sexta linha da Tabela 8).
Após o início da injeção com velocidade U2 e antes da saída das primeiras partículas injetadas
95
sob essa velocidade (instante t4), a concentração retida média ao longo do testemunho é calculada ao
longo das zonas V e IV (Tabela 8, sétima linha). Este estágio dura apenas um volume poroso injetado,
de maneira similar ao que ocorre no primeiro volume poroso. A diferença é que neste caso existe uma
concentração à frente da frente de concentração, o que acarreta em aumento da concentração retida
ao longo de todo testemunho. O crescimento do diferencial de pressão e da impedância não é linear.
Para o período de tempo tD1+1< tD < tDc2 (o instante t5, antes da liberação de partículas começar
na face de injeção do testemunho, pertence a este período), a concentração retida média é calculada
usando a solução da zona V:
1∫0
S (xD, tD)dxD = 1+Scr1 +
(tD− tD1−
1λ
)(1− exp(−λ )) . (204)
Desprezando-se o mesmo termo presente nas equações (202) e (203), é possível simplificar a equação
anterior e obter um crescimento linear para essa média, conforme apresentado na oitava linha da
Tabela 8. A linearidade desse resultado é transferida para o crescimento do diferencial de pressão e
da impedância, conforme ilustrado pelas Figuras 49.c e 49.d, respectivamente.
Para momentos enquanto a liberação de partículas ocorre mas a frente tD− tDc2 = xD ainda não
atingiu a saída do testemunho (tD ∈ ]tDc2, tDc2 +1[), a expressão para a concentração retida média é
obtida integrando-se ao longo das zonas VII, VI e V (nona linha da Tabela 8).
Para os tempos tDc2 +1 < tD < tDst2, após a saída da primeira partícula erodida até a chegada da
frente de erosão ao final do testemunho (instante t6), a expressão para a concentração retida média,
conforme obtida por integração sobre as zonas VII e VI, é exposta a décima linha.
Após a liberação das partículas em todo o testemunho durante a injeção com velocidade U2 (pe-
ríodo tDst2 < tD < tD2), a concentração retida média é igual à concentração retida máxima S = Scr2
(Tabela 8, décima primeira linha). Como esta concentração é constante no tempo, o diferencial de
pressão e a impedância são constantes nesse período. Após a troca de velocidade de U2 de volta para
U1, a concentração retida diminui instantaneamente para Scr1, permanecendo constante para todos os
tempos após a troca (instantes t7 e t8).
O comportamento típico do diferencial de pressão e da impedância com o tempo possui basi-
camente as seguintes feições: crescimento linear durante a filtração profunda clássica, estabilização
quando o testemunho já foi completamente erodido e mudança instantânea após um aumento súbito
de vazão. Essas feições são úteis na interpretação dos testes laboratoriais de injeção de suspensões
em meios porosos.
96
3.4 Testes de laboratório e ajuste de dados
Nesta seção os testes de injeção de suspensão a duas vazões alternadas serão descritos. Os di-
ferenciais de pressão são interpretados usando o modelo analítico desenvolvido na seção 3.3.3. O
ajuste deste modelo aos dados experimentais permite obter seus parâmetros, mais precisamente, os
coeficientes de filtração e dano à formação e os dois valores da função de retenção máxima nas duas
velocidades de fluxo.
3.4.1 Descrição do teste de laboratório
O teste de laboratório a ser ajustado pela teoria proposta foi realizado em um arenito tomado
do campo A (Bacia de Campos). Neste teste, foi injetada uma suspensão que consistia de água de
injeção com tratamento deficiente, com o objetivo de estimar o declínio de injetividade em poços. A
porosidade e permeabilidade medidas neste testemunho foram de 0,3 e 1040 mD, respectivamente.
O testemunho foi encapsulado em silicone, sem pressão de confinamento. O teste foi realizado
em condições padrão desse tipo de procedimento. A concentração de partículas na suspensão injetada
c0 foi 500ppm. A água injetada e da formação foram modeladas por solução de alta salinidade com
sais de cloro. A concentração do ânion Cl−foi de 90.000 ppm. A concentração dos cátions foi de
31.000 ppm para o Na+e 22.000 ppm para o Ca+ ; e havia outros metais presentes: K+, Mg2+, Sr2+,
e Ba2+. A salinidade total da solução foi de 148.000 ppm. O pH da solução era 6,78, sua densidade
1,1 g/cm3 e sua viscosidade dinâmica 1,27 cP. A viscosidade dinâmica do óleo foi de 3.42 cP. A água
injetada era idêntica à da formação.
Para evitar o efeito de migração de finos nos testes, foi injetada água de formação no testemunho
até a estabilização da permeabilidade. Então, foi injetado óleo no testemunho até que a estabilidade
da permeabilidade para o óleo fosse atingida, ou seja, até a saturação da água ser reduzida aquela
correspondente à água conata. Em seguida, o óleo foi deslocado por água do mar filtrada até a
estabilização da permeabilidade à água (estabelecimento da saturação de óleo residual). Só então a
injeção de suspensão foi iniciada. A vazão de injeção foi alternada entre 1 e 20 mL/min ao longo da
injeção (daqui por diante, estas vazões serão referidas como vazões baixa e alta, respectivamente). O
diferencial de pressão imposto à amostra foi medido durante o teste; os dados brutos desta medida
são mostrados na Figura 51.
97
Figura 51: Dados experimentais de impedância para o teste de vazões alternadas (BEDRIKO-VETSKY et al., 2012).
3.4.2 Ajuste do modelo matemático aos dados
Antes do ajuste do modelo aos dados propriamente dito, será feita uma análise da curva de di-
ferencial de pressão em termos da retenção de partículas e do consequente dano à permeabilidade
por ela causado. Os dados brutos de diferencial de pressão expostos na Figura 51 mostram que a
impedância aumenta vagarosamente durante a vazão alta; crescimento rápido de impedância sendo
observado na vazão baixa. Após a troca de vazões da baixa para a alta, a impedância cai abrup-
tamente. Após qualquer número de alternâncias com vazão alta, a impedância volta para a mesma
curva de crescimento lento.
Este comportamento da impedância pode ser interpretado como resultado de dois mecanismos
simultâneos de captura (NABZAR et al., 1996; CHAUVETEAU et al., 1998; ROUSSEAU et al.,
2008; GUEDES et al., 2009; GITIS et al., 2010). O mecanismo mais forte é fortemente dependente da
velocidade enquanto o mais fraco é independente desse parâmetro. Portanto, o mecanismo de captura
dominante é atribuído à adesão e o mais lento à exclusão pelo tamanho (Figura 46) - de acordo com a
equação (160), a adesão é altamente dependente da velocidade ; a exclusão pelo tamanho de partículas
sólidas em rochas indeformáveis é determinada pela razão entre os tamanho de partícula e poro e não
depende da velocidade.
A concentração baixa de partículas retidas resulta em condições constantes de captura de par-
tículas durante a acumulação dos depósitos, ou seja, os coeficientes de filtração e dano à formação
permanecem constantes (HERZIG et al., 1970). A impedância em função do tempo é linear para
coeficientes de filtração e dano à formação constantes. A crescimento lento de impedância da Figura
51 pode ser aproximado por uma linha reta, o que corrobora a afirmação de que o crescimento de
98
impedância lento e independente da velocidade ocorre devido a uma fraca exclusão por tamanho.
Será assumido neste trabalho que o aumento de impedância é função linear das concentrações
retidas por adesão e exclusão pelo tamanho
k0
k (σ ,σs)= 1+βσ +βsσs. (205)
Assim, a equação para impedância (200) segue da lei de Darcy modificada para considerar o dano à
permeabilidade (equações (168) e (205)):
J (tD) = 1+βφc01∫
0
S (xD, tD)dxD +βsφc01∫
0
Ss (xD, tD)dxD. (206)
Assumindo que a exclusão pelo tamanho é independente da adesão de partículas e que o coeficiente
de filtração profunda é constante também para o mecanismo de exclusão pelo tamanho, o terceiro
termo da equação (206) é uma função linear do tempo (como a impedância da zona I, terceira linha
da Tabela 8):
βsφc01∫
0
Ss (xD, tD)dxD = βSφc0(
1− e−λs)
tD. (207)
Como segue da equação (206), a curva de impedância para adesão de partículas pode ser calculada
subtraindo-se a função linear (207) da impedância total. O resultado desta subtração é apresentado na
Figura 52.a.
O diferencial de pressão na Figura 52.a não muda durante a injeção à alta vazão. Isto significa
que nenhuma captura de partícula ocorre e σcr2 = 0. A matriz não pode manter partículas aderidas
nesta velocidade alta, ou seja, o torque total gerado pelas forças de arraste e de elevação excede àquele
imposto pelas forças eletrostática máxima e gravitacional.
A captura de partículas com dano à permeabilidade ocorre durante a injeção de vazão baixa. A
vazão baixa é trocada pela vazão alta antes da estabilização durante 4 ciclos, então o método para
determinação dos coeficientes de filtração e dano à formação juntamente com valor da concentração
retida máxima para dados obtidos à vazão constante (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a) não pode ser
utilizado para ajuste deste conjunto de dados. Por isso, foi aplicado um processo de otimização para
ajuste do modelo.
O modelo analítico desenvolvido na seção 3.3.1 assume estabilização antes da troca de vazões,
o que não ocorre para o teste em questão - a Figura 52.a mostra que as vazões foram trocadas antes
da curva de impedância atingir os platôs horizontais. Ainda sim, o modelo assume uma remoção
instantânea de partículas em excesso após um aumento abrupto de velocidade, e a análise dos dados
brutos revela valor nulo para a concentração de partículas aderidas durante a injeção rápida. Portanto,
as condições “iniciais” nos instantes tD1 e tD2 são válidas para as condições do teste, o que permite
99
usar as equações da quarta e quinta linhas da Tabela 8 durante a injeção de baixa velocidade para
explicar os dados do teste.
(a)
(b)
Figura 52: Dados obtidos a partir do ajuste de dados: a) Comparação da impedância medida com aajustada; b) Concentração do efluente prevista (não medida no teste).
Os resultados do ajuste - coeficientes λ , β e σcr2 como obtida por optimização - são mostrados na
Tabela 9. Os valores obtidos para os coeficientes de filtração e dano à formação então dentro da faixa
esperada (PANG; SHARMA, 1997; BEDRIKOVETSKY et al., 2001). O ponto (U2,σc2) na Figura
47 está localizado na curva cheia que corresponde aos valores das constantes eletrostáticas que foram
apresentados na seção 3.2. Estes valores são típicos de rochas e águas usadas no teste (KHILAR;
FOGLER, 1998; HUNTER, 2001). O valor para a velocidade máxima na qual partículas ainda podem
100
ser aderidas à rocha Um = 0,00158 m/s é inferior a U2, de modo que o ponto que corresponde à vazão
alta situa-se na linha σ = 0.
Tabela 9: Dados do teste e resultados da caracterização do sistema de adesão-liberação nas duasvazões de teste.
φ (%)k0
(mD)β λ ′ (1/m)
Ponto(U0,φ (1−φc))
U0 = 0;φc = 0,1
Ponto 2(U,σcr) obtido
do ajuste
Ponto 1(U,σcr) obtido
do ajuste
30,0 1040 2000 30 (0;0,27) (0,00155;0,008125) (0,031;0)
O tamanho médio de poro, calculado por (AMIX et al., 1964),
rp = 5√
k/φ , (208)
para os valores de permeabilidade e porosidade da amostra e usados no teste (Tabela 9) é de 9,3 µm.
O tamanho de partícula não foi monitorado durante o teste. A curva cheia para a função máxima
de retenção na Figura 47, que corresponde ao ponto experimental para a velocidade U1 = 0,00155
m/s, foi calculada para tamanho de partícula rs = 2,07 µm. O valor correspondente da razão de
tamponamento rs/rp = 0,22 sugere que a exclusão pelo tamanho não é o principal mecanismo de
captura e sustenta a hipótese de que os danos à permeabilidade ocorrem devido principalmente à
adesão de partículas.
A concentração no efluente é estimada usando os valores obtidos de coeficiente de filtração e
valores máximos de concentração retida na solução analítica (segunda coluna da Tabela 8), para as
condições do teste. O histórico de concentração no efluente assim obtido está representado na Figura
52.b.
Intervalos típicos de variação de concentração excedem em muito um volume poroso. Por isso, as
variações de concentração durante os deslocamentos tipo pistão na ausência de captura de partículas
não aparecem. Concentração do efluente durante a vazão alta é igual à concentração injetada, o que
é explicado pela ausência de partículas retidas. Em contraponto, a concentração do efluente é menor
do que a de injeção durante a vazão baixa, devido à captura de partículas. Quando a concentração do
efluente se mantém constante na baixa vazão ocorre crescimento linear de impedância, com captura de
partículas em todas as secções transversais do meio poroso. O crescimento não-linear de impedância,
por outro lado, corresponde à propagação da frente de erosão e a captura de partículas apenas adiante
dessa frente. Por essa razão esse tipo de progressão de impedância acompanha um crescimento da
concentração no efluente, uma vez que a captura de partículas diminui neste cenário.
A mudança da vazão baixa para a alta causa a liberação instantânea de partículas; essas partículas
aparecem no efluente após um volume poroso, o que não é notado em gráficos cuja escala temporal
101
é em dezenas de volumes porosos. Por isso, o aparecimento dessas partículas no efluente parece ser
instantâneo.
A Figura 52.a mostra que o modelo está em uma boa concordância com os resultados experi-
mentais. No entanto, algum desvio dos resultados de modelagem de dados experimentais observa-se
durante a primeira vazão. Durante a injeção desta primeira vazão as partículas entram em poros
sem saída, espaços intra-grãos finos e zonas estagnadas. O preenchimento do espaço poroso começa
quando todas essas superfícies côncavas são preenchidas. As partículas depositadas nessas super-
fícies não podem ser removidas pela forças de arraste mesmo na vazão alta. Assim, as partículas
em suspensão durante a injeção na vazão baixa pela segunda, terceira e quarta vez são aderidas nas
superfícies convexas dos grãos, quando os poros não-conectados já foram preenchidos na primeira
vazão baixa. As partículas depositadas sobre as superfícies convexas geram maior resistência hidráu-
lica do que aquelas retida nos poros não-conectados. Portanto, o coeficiente de dano à formação da
primeiro vazão baixa é menor do que os das vazões baixas seguintes. No modelo analítico derivado
na seção 3.3.3, o coeficiente de dano à formação β é assumido como sendo constante. Para o melhor
ajustar os dados, o seu valor foi determinado a partir da condição de desvio mínimo dos resultados
de modelagem de dados experimentais durante todo o período de injeção. Portanto, o coeficiente de
dano à formação verdadeiro durante a primeira vazão é menor do que o coeficiente de dano à forma-
ção médio. Isso explica por que a curva experimental impedância está localizado abaixo da curva de
modelagem durante a primeira vazão.
Os resultados do estudo de sensibilidade da impedância em relação ao coeficiente de dano à for-
mação, o coeficiente de filtração e concentração máxima retida para vazão baixa são mostrados nas
Figuras 53.a, 53.b e 53.c, respectivamente. Quanto maior é a concentração máxima retida σcr (U2),
maior é a concentração das partículas mobilizadas removidas para a suspensão na vazão alta. Quanto
maior é o coeficiente de filtração λ ′, maior é a fracção de partículas em suspensão capturadas pela
rocha. Quanto maior é o coeficiente de danos de formação β , maior é diferencial de pressão acres-
centado pelas partículas retidas. Portanto, o aumento de σcr (U2), λ ′ e β resulta em aumento da
impedância. O parâmetro mais sensível é o coeficiente de dano à formação uma vez que a impedância
incremental é proporcional à β (ver equação (201)). A sensibilidade da impedância para σcr (U2) é
da mesma ordem de grandeza que aquela para β . O parâmetro menos influente é o coeficiente de
filtração.
102
(a)
(b)
(c)
Figura 53: Estudo de sensibilidade da impedância com respeito à a) coeficiente de dano à formaçãoβ , b) coeficiente de filtração λ ′, c) concentração máxima de retenção σcr (U2).
103
4. MIGRAÇÃO LENTA DE PARTÍCULAS
LIBERADAS SOBRE A SUPERFÍCIE DE
MEIOS POROSOS
4.1 Introdução
Migração de finos com consequente redução de permeabilidade é um fenômeno de dano à forma-
ção frequente em diversas atividades: exploração de água, descarte de dejetos industriais em aquífe-
ros, armazenamento de água doce em reservatórios subterrâneos de água e em produção de petróleo.
As características particulares da migração dos finos em rochas reservatório são a mobilização de
partículas aderidas, captura dessas partículas pela rocha e o declínio de permeabilidade com conse-
quente redução de produtividade. A migração de finos é bastante notória por seu efeito deletério na
produtividade e injetividade de poços.
Foi observado o declínio de permeabilidade durante testes de laboratório com velocidade cres-
cente e constante por partes em diversos estudos laboratoriais. As Figuras 54.a e 55.a mostram curvas
de permeabilidade decrescente típicas para esses estudos. Efeitos similares ocorrem durante a dimi-
nuição constante por partes da salinidade da água injetada no testemunho. Este fenômeno é atribuído
à mobilização de partículas de finos aderidos, sua migração e posterior captura nas gargantas de poro,
resultando em declínio de permeabilidade. A Figura 56 mostra um esquema para as concentrações
aderida, suspensa e excluída por tamanho no espaço poroso. A liberação de finos recobrindo as su-
perfícies dos grãos ocasiona aumentos insignificantes de permeabilidade e porosidade enquanto a
exclusão por tamanho em gargantas de poro finas ocasiona redução significativa da permeabilidade,
pois tampona os caminhos condutivos do meio poroso. Argilominerais presentes no reservatório são
a principal fonte de partículas de finos móveis. A Figura 57.a mostra um cristal de caulinita, com suas
finas folhas, na superfície de um grão. A liberação dessas folhas acaba por obstruir os poros (Figura
57.b).
104
a)
b)
c)
d)
Figura 54: Variação temporal dos parâmetros medidos e calculados durante os testes com velocidadesescalonadas (constante por partes) durante o teste BS012 (OCHI; VERNOUX, 1998): a) declínio depermeabilidade com o tempo (em volumes porosos); b) aumento de velocidade com o tempo; c) de-créscimo do raio das partículas mobilizadas com o aumento de velocidades; d) Fator de vagarosidade.
105
a)
b)
c)
d)
Figura 55: Variação temporal dos parâmetros medidos e calculados durante os testes com velocidadesescalonadas (constante por partes) durante o teste BS013 (OCHI; VERNOUX, 1998): a) declínio depermeabilidade com o tempo (em volumes porosos); b) aumento de velocidade com o tempo; c) de-créscimo do raio das partículas mobilizadas com o aumento de velocidades; d) Fator de vagarosidade.
106
Figura 56: Liberação e exclusão por tamanho de partículas de finos causam o declínio de permeabili-dade.
(a)
(b)
Figura 57: Grandes e finas “folhas” de caulinita tampona as gargantas de poro: a) Imagem de mi-croscópio eletrônico de varredura dos “livros” de caulinita na superfície do grão; b) esquema para aliberação e exclusão pelo tamanho.
A teoria clássica de filtração profunda com liberação de partículas inclui a equação do balanço de
massa para partículas suspensas, aderidas e excluídas pelo tamanho:
∂
∂ t[φc+σa +σs]+U
∂c∂x
= 0, (209)
na qual c, σa e σs são as concentrações em suspensão, aderida e excluída pelo tamanho e U é a
velocidade do fluido.
107
A cinética de captura/liberação das partículas aderidas é dada pela equação de relaxação linear
abaixo:
∂σa
∂ t= λacU− kdetσa, (210)
na qual λa é o coeficiente de filtração para as partículas aderidas e kdet é o coeficiente de liberação
(TUFENKJI, 2007; TORKZABAN et al., 2007, 2010). Para exclusão pelo tamanho irreversível dos
finos nas gargantas de poro pequenas, assume-se que a cinética linear de captura também se aplica.
Neste sentido, a taxa de captura é proporcional ao fluxo das partículas suspensas:
∂σs
∂ t= λscU, (211)
na qual λs é o coeficiente de filtração das partículas por exclusão pelo tamanho. Nas equações (210) e
(162), os coeficientes de filtração foram considerados constantes porque considerou-se que o processo
de liberação e captura de partículas não é severo o bastante para modificar o meio poroso a tal ponto
de afetar a si mesmo. Em outras palavras, a liberação e captura de partículas é relativamente pequena.
A lei de Darcy modificada para considerar o dano à permeabilidade devido tanto às partículas
aderidas quanto às excluídas pelo tamanho vem dada por:
U =− k0
µ (1+βsσs +βaσa)
∂ p∂x
, (212)
na qual k0 é a permeabilidade inicial, µ é a viscosidade e p é a pressão. Os coeficientes de dano à
formação βs e βa mostram como a permeabilidade diminui com o aumento das concentrações retidas
σs e σa.
O sistema quase-linear de equações diferenciais parciais (209-211) exibe reação com atraso para
a alteração abrupta de vazão, enquanto testes de laboratório mostram resposta instantânea tanto de
permeabilidade quanto de concentração de efluente. Este desacordo entre a modelagem e os dados de
laboratório foram resolvidos no modelo modificado para a liberação de partículas pela introdução da
função de retenção máxima (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a, 2012). É assumido que a cada velo-
cidade U corresponde uma concentração máxima de adesão σcr (U). Se a concentração aderida não
excede seu valor máximo, a adesão de partículas adicionais ocorre conforme a equação de filtração
clássica (211); caso contrário a concentração aderida é a máxima. Esta descrição é contemplada na
seguinte cinética de adesão-liberação:
∂σa
∂ t=
λacU ; σa < σcr (U)
σa = σcr (U). (213)
A função de retenção máxima diminui com o aumento da velocidade. Portanto, o aumento da veloci-
108
dade causa a liberação do excesso das partículas aderidas, de forma que a função de retenção máxima
modela a liberação de partículas de finos.
A função de retenção máxima pode ser calculada teoricamente para a geometria simplificada
de poros cilíndricos com partículas esféricas, usando o balanço de torque das forças de adesão e de
liberação exercidas sobre a partícula (Figura 58):
Fd (U,rs) ld (rs)+Fl (U,rs) ln (rs) = [Fe (rs)+Fg (rs)] ln (rs) , (214)
na qual a letra F representa forças; ls e ln são os braços de alavanca para as forças de arrasto e normal,
respectivamente (Figura 58). A simplificação da complexa geometria do meio poroso para aquela de
partículas esféricas em poros cilíndricos foi escolhida por possuir expressões analíticas para as forças
envolvidas sem afastar-se demasiadamente das condições reais em meios porosos sujeitos a migração
de finos.
Figura 58: A distribuição de partículas de tamanhos diferentes em mono-camada na superfície dogrão e as forças atuantes sobre ela.
A utilização das expressões para as forças de arrasto (equação (256)), de elevação (equação
(259)), eletrostática (equações (261-267)) e gravitacional (equação (260)) na equação de balanço
de torques (214) permite a obtenção da expressão para a função de retenção máxima:
σa = σcr (U) . (215)
A descrição detalhadas dessas forças é realizada no apêndice A. A equação (215) para a função má-
xima de retenção substitui a equação clássica (210), diferenciando-se desta última por não conter
simultaneidade na adesão e liberação. A equação (215) toma o lugar da equação (210) no modelo
matemático para o transporte de suspensões-colóides com adesão e liberação. O modelo modificado
consiste nas quatro equações (209),(211-213) com quatro incógnitas, que são a pressão p e as con-
centrações c, σa e σs. O problema de fluxo unidimensional com adesão e liberação admite solução
exata, permitindo a determinação da função de retenção máxima a partir de testes laboratoriais. A
109
função de retenção máxima determinada teoricamente concorda com aquela medida em laboratório,
validando o modelo de função de retenção máxima como um modelo para liberação de partículas.
Ainda sim, a solução exata apresenta estabilização completa da permeabilidade em um volume po-
roso, enquanto diversos estudos laboratoriais exibem tempos de estabilização de dezenas ou mesmo
centenas de volumes porosos. As Figuras 54.a e 55.a mostram que os tempos de estabilização de
permeabilidade são muito maiores que um volume poroso para todas as velocidades de teste. Por fim,
o modelo modificado permite bom ajuste das permeabilidades estabilizadas mas falha na simulação
dos longos períodos de estabilização.
Diversos trabalhos afirmam que existe uma movimentação lenta de partículas mobilizadas na su-
perfície do meio poroso, juntamente com o movimento mais rápido junto com o fluxo de suspensão,
sendo este fenômeno atribuído à deposição de partículas no mínimo de energia secundário. No en-
tanto, a teoria clássica de filtração profunda em conjunto com o modelo modificado de liberação de
partículas (equações (209),(211-213)) assume que a partícula se move com a mesma velocidade que
o fluido.
Neste capítulo, os períodos longos de estabilização observados em arenitos são explicados pelo
deslocamento lento dos finos mobilizados na superfície do meio poroso. Para tal, o sistema de equa-
ções (209),(211-213) terá seu fluxo advectivo de partículas modificado, de forma que a velocidade
das partículas Us será menor que a do fluido. O sistema assim modificado admite solução exata para
o caso de velocidade crescente e constante por partes. A boa qualidade do ajuste dos dados permite
validação do modelo proposto.
A estrutura deste capítulo é a seguinte. Na seção 4.2, os processos físicos de liberação e transporte
de finos são descritos e será detalhado como a função de retenção máxima se encaixa neste contexto.
A seção 4.3 detalhará as equações básicas do modelo matemático proposto. A seção 4.4 se dedicará
à solução analítica das equações básicas propostas na seção 4.3 para o caso de velocidade crescente e
constante por partes. A seção 4.5 mostrará os resultados do ajuste do modelo proposto aos dados de
laboratório. A 4.6 fará uma discussão sobre os resultados obtidos.
4.2 Descrição da liberação e transporte de finos - introdução dafunção de retenção máxima
O processo de liberação de partículas requer uma descrição de micro escala. Um esquema de
liberação de finos das superfícies de grão (Figuras 56 e 57), causando sua mobilização seguida de
migração é mostrado na Figura 58. A partícula de fino na superfície do grão está submetida à forças
de arraste, de elevação e gravitacional. A Figura 58.a mostra a deformação das partículas elásticas pela
força normal, que é a resultante das forças eletrostática, de elevação e gravitacional. O lado direito da
equação (268) é uma expressão para a força normal multiplicada pelo seu braço de torque. É assumido
110
que, no instante de liberação da partícula, ocorre a rotação dela sobre um ponto do círculo do contato
com o grão. A Figura 58.b mostra outra possibilidade de mobilização, na qual a partícula rotaciona
sobre uma rugosidade da superfície do grão. O braço de alavanca para a força normal é determinado
pelas propriedades elásticas no primeiro caso e pelo tamanho das rugosidades no segundo.
O equilíbrio mecânico das partículas nas paredes dos poros é descrito pelo balanço dos torques
das forças de arrasto, de elevação, eletrostática e gravitacional (equação (214)). O braço de alavanca
para a força normal, ln, é calculada pela teoria de contato de Hertz (detalhes no Apêndice B).
A equação de balanço de torques também pode ser interpretada como o balanço dos componentes
horizontais das forças de arrasto e de fricção. A força de fricção é proporcional à força normal com
coeficiente de proporcionalidade 1/l, denominado coeficiente de fricção. Comparando esta interpre-
tação com a equação 214, conclui-se que o coeficiente 1/l se torna o coeficiente de fricção seco:
l =ldln
= tgϕ. (216)
As equações para as forças envolvidas dependem do raio da partícula, sendo que as forças de
elevação e de arraste dependem também da velocidade de fluxo. Consequentemente, a equação (214)
é uma equação transcendental para a função rs = rs (U) do raio mínimo de mobilização da partícula
para uma dada velocidade de fluxo U . A forma típica da dependência rs (U) conforme obtida pela
solução numérica da equação (268) é mostrada na Figura 59. A solução mostra que quanto maior for
a velocidade tanto menor é a partícula mobilizada, ou seja, rs (U) é uma função monotonicamente
decrescente. Portanto, as partículas mobilizadas tem tamanhos decrescentes em um teste com veloci-
dades crescentes. Seja a distribuição por tamanho de concentração aderida inicial denominada Σa (rs).
Assumindo que as partículas estão aderidas em monocamada na superfície do meio poroso, é possível
escrever:
σcr (U) =
rs(U)∫0
Σa (rs)drs. (217)
Assume-se que as partículas aderidas foram “criadas” pelo algoritmo de quebra (“breakage algo-
rithm”), ou seja, a distribuição log-normal para o tamanho das partículas aderidas Σa (rs) se aplica. A
Figura 60 mostra a função máxima de retenção para diferentes distribuições por tamanho de partículas
aderidas.
111
Figura 59: A distribuição de partículas de tamanhos diferentes em mono-camada na superfície dogrão e as forças atuantes sobre ela.
112
a)
b)
c)
Figura 60: Forma da função de retenção máxima para as partículas de finos aderidas em monoca-mada na superfície dos grãos: a) distribuição log-normal com mesmo coeficiente de variação (CV)e diferentes tamanhos médios de partícula; b) distribuição log-normal com mesmo tamanho médiode partícula e diferentes coeficientes de variação; c) esquema sobre a determinação da quantidade definos liberada a partir da curva de função de retenção máxima.
A equação (215) é a expressão para a função máxima de retenção para partículas aderidas em
monocamada nas paredes dos poros. Bedrikovetsky et al. (2011a) deduziram uma expressão para a
função de retenção máxima para partículas de um determinado tamanho em deposição policamada
em poros cilíndricos. A forma de função de retenção máxima σcr (U) obtida por esses autores é qua-
113
drática. A função de retenção máxima para finos não é convexa (Figura 60). A Figura 60.a mostra
curvas de retenção máxima para três distribuições de finos com o mesmo coeficiente de variância e
diferentes tamanhos médios de partícula. Quanto maior for a partícula, menor é a função de retenção
máxima. Este resultado está de acordo com a afirmação de que o tamanho das partículas mobilizadas
diminui com o aumento de velocidade. A Figura 60.b mostra cálculos de função de retenção máxima
de partículas realizados com distribuições log-normais de mesmo tamanho médio e diferentes coefi-
cientes de variância. Quanto maior for o desvio padrão, menor é a função de retenção máxima em
baixas velocidades. Para velocidade altas, ocorre o oposto: maiores desvios padrão geram maiores
valores de retenção máxima.
O modelo fenomenológico de liberação de finos em meios porosos assume a existência de uma
função máxima de retenção arbitrária (215), ou expressão (213) para a taxa de adesão. Considere a
injeção de fluido isento de partículas a velocidade crescente e constante por partes. A Figura 60.c
mostra que não há liberação de partículas para pequenas velocidades, já que o torque adesivo excede
o torque liberador para todos os tamanhos de partícula presentes na amostra. A flecha horizontal
na Figura 60.c corresponde ao crescimento de velocidade de zero para a velocidade crítica U0 sem
mobilização de partículas, ou seja, a concentração aderida permanece constante. A velocidade crítica
é a velocidade mínima na qual ocorre a primeira aparição de finos no efluente. Esta velocidade é
determinada pela concentração inicial de finos no meio poroso:
σa0 = σcr (U0) . (218)
As partículas com o tamanho máximo são removidas pelo fluxo com velocidade crítica U0. O sub-
sequente aumento de velocidade de fluxo corresponde a um movimento para a direita e para baixo
sobre a curva de retenção máxima. O aumento de velocidade de fluxo de U1 para U2 mobiliza uma
concentração de finos igual a σcr (U1)−σcr (U2). Estes finos entram em suspensão, aumentado sua
concentração em [σcr (U1)−σcr (U2)]/φ . As partículas mobilizadas se deslocam ao longo da super-
fície da rocha com velocidade Us inferior à velocidade do fluido U . Essas partículas migram até
encontrarem um poro cuja garganta é menor do que elas, ocorrendo então o tamponamento dessas
gargantas. A consequência desse tamponamento é a redução da condutividade dos poros e por conse-
guinte da permeabilidade. As Figuras 61.a e 61.b mostram os valores de permeabilidade estabilizada
para diferentes velocidades de fluxo conforme obtidas durante os dois testes expostos nas Figuras 54.a
e 55.a respectivamente.
114
(a) (b)
Figura 61: Permeabilidade estabilizada em função da velocidade: a) BS012 e b) BS013.
A lei de Darcy modificada para considerar a diminuição da permeabilidade devido à adesão e
exclusão de tamanho de partículas mostra que a permeabilidade decresce por um fator de 1+βsσs +
βaσa. A Figura 56 mostra que as partículas aderidas nas paredes da rocha causam dano muito menor
à permeabilidade que aquele ocasionado pelas partículas excluídas por tamanho:
βs� βa, (219)
ou seja a combinação dos processos de liberação de partículas e sua exclusão por tamanho acarreta
no declínio da permeabilidade.
O crescimento do diferencial de pressão (redução de permeabilidade) são mostrados nas Figuras
62.a e 62.b. A variável J é o diferencial de pressão adimensional ao longo do testemunho, normalizado
pelo diferencial de pressão inicial. A aplicação de velocidades Un crescentes acarreta em um aumento
de diferencial de pressão ao longo da amostra de ∆pn−1 para ∆pn, ou equivalentemente, uma redução
de permeabilidade de kn−1 para kn. Portanto, a existência de uma concentração de retenção por adesão
máxima, que é uma função monotonicamente decrescente com a velocidade de fluxo (Figura 60),
explica o declínio de permeabilidade causado pelo aumento de velocidade de fluxo. A Figura 54.a
mostra que a estabilização da permeabilidade ocorre após a injeção de numerosos volumes porosos.
A última partícula mobilizada e transportada pelo fluido pode tanto tamponar uma garganta de poro
quanto chegar ao fim do testemunho. Assumindo que a velocidade do transporte é a mesma do fluido,
estas duas possibilidades ocorrem em um volume poroso injetado. Porém, os tempos de estabilização
de permeabilidade são muito maiores que um (ver Figuras 54.a e 55.a). Esta comparação sugere
que a velocidade de transporte das partículas é muito menor que a do fluido. Yuan e Shapiro (2011b)
sugerem que a partícula desloca-se sobre a superfície da rocha, o que explica a redução de velocidade e
o consequente efeito de atraso de estabilização de permeabilidade. Na próxima seção será introduzido
o modelo matemático para transporte de suspensão/coloide em meios porosos que considera a função
115
de retenção máxima e o deslocamento vagaroso das partículas.
(a)
(b)
Figura 62: Ajuste do diferencial de pressão ao longo do testemunho pelo modelo matemático para ostestes: a) BS012 e b) BS013.
116
4.3 Equações básicas para liberação e transporte de coloides emmeios porosos
A análise física da seção anterior permite formular as seguintes hipóteses para o modelo matemá-
tico de transporte e liberação de partículas em meios porosos:
• Existência da função de retenção máxima para partículas aderidas na rocha em mono/multi-
camada.
• As partículas mobilizadas movem-se com velocidade Us menor que a do fluido U .
• A difusão de partículas de finos é desprezível.
• O fluido é considerado incompressível.
• Concentrações pequenas de partículas suspensas, aderidas e excluídas por tamanho não pertur-
bam o balanço de volume do fluido.
• A viscosidade e densidade da suspensão é considerada igual à do fluido injetado.
• Meio poroso inerte com relação ao fluido injetado.
Neste trabalho também assume-se que todas as partículas deslocam-se perto da superfície da rocha,
com velocidade menor que a do fluido, ou seja, a concentração em suspensão carregada pelo fluxo
é muito menor que aquela que se desloca na superfície da rocha. Outro pressuposto importante é
a injeção em formações areníticas ou meios porosos semelhantes a essas formações, como aqueles
compostos por esferas de vidro.
As hipóteses formuladas acima coincidem com aquelas para o modelo modificado de transporte
de suspensão/coloide com a função de retenção máxima (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a, 2012)
acrescido pela hipótese de deslocamento vagaroso dos finos, com velocidade Us. O sistema de equa-
ções básicas inclui: o balanço de massa das partículas suspensas, aderidas e excluídas por tamanho,
na qual as partículas são transportadas com velocidade reduzida Us,
∂ (φc+σs +σa)
∂ t+Us
∂c∂x
= 0; (220)
a taxa de captura de partículas por exclusão por tamanho, que é proporcional ao fluxo advectivo cUs,
∂σs
∂ t= λ
′ (σs)Usc; (221)
e a taxa de adesão das partículas, que também é proporcional ao fluxo advectivo cUs,
117
∂σa∂ t = λ ′aUsc, σa < σcr (U)
σa = σcr (U), (222)
caso contrário, tem-se concentração máxima de retenção dada pela equação (215). O sistema de qua-
tro equações (212, 220, 221, 222) em quatro incógnitas c, σa, σs e p forma um sistema fechado. É
importante notar que esse sistema inclui a velocidade Us como uma média efetiva. Devido à baixa
concentração de partículas em suspensão e aderidas as paredes das rochas, o efeito da concentra-
ção das partículas sobre essa média pode ser desprezado numa primeira aproximação, retomando a
linearidade das equações diferenciais parciais presentes no sistema (212, 220, 221, 222).
Para adimensionalizar o sistema, definem-se as seguintes variáveis adimensionais:
Sa =σa
σa0,Ss =
σs
σa0,C =
φcσa0
,λa = λ′aL,λs,λs = λ
′sL, tD =
∫ t0 U (y)dy
φL,xD =
xL,αn =
Usn
Un,P =
kpµLU1
;
(223)
na qual Usn são as velocidades das partículas (quando a velocidade do fluido é Un) e αn são os fatores
de atraso. A variável tD é o volume injetado acumulado adimensionalizado. Para o caso de velocidade
constante por partes U (t), a variável tD (t) é uma função linear por partes.
A substituição dos parâmetros adimensionais (223) nas equações básicas (212, 220, 221, 222)
resulta no seguinte sistema adimensional:
∂ (C+Ss +Sa)
∂ tD+αn
∂C∂xD
= 0, (224)
∂Ss
∂ tD= λsαnC, (225)
∂Sa∂ tD
= λaαnC, Sa < Scr (U) ,
Sa = Scr (U) ,(226)
1 =− 11+βsσa0Ss
∂P∂xD
. (227)
O sistema adimensional (224-227) é resolvido para as condições dos testes laboratoriais com
velocidade crescente e constante por partes na próxima seção.
118
4.4 Solução analítica para fluxo unidimensional de suspensão comliberação de partículas e exclusão pelo tamanho
Considere uma injeção de fluido em testemunho com velocidade U1 que é maior que a veloci-
dade crítica, ocasionando migração de finos (σa0 > σcr (U1)). O excedente de partículas aderidas é
instantaneamente liberado para a suspensão, o que caracteriza a condição inicial para c:
t = 0 : c =σa0−σcr (U1)
φ=
∆σ1
φ. (228)
A concentração aderida à rocha permanece constante durante a injeção com velocidade constante. A
concentração em suspensão antes da liberação é considerada nula. A condição de contorno à montante
do testemunho corresponde a injeção de água isenta de partículas:
xD = 0 : c = 0. (229)
A solução analítica para fluxo de suspensão com velocidade constante é análoga àquela obtida em
Bedrikovetsky et al. (2012) para o sistema (209, 211, 212, 213). A concentração aderida Sa é constante
quando a velocidade de fluxo é constante e Sa = Scr (U). Substituindo a equação (225) em (224)
e levando-se em conta a distribuição em regime estacionário de Sa, obtém-se a seguinte equação
hiperbólica de primeira ordem:
∂C∂ tD
+α1∂C∂xD
=−λsα1C, (230)
cuja solução é obtida pelo método das características na próxima seção.
4.4.1 Solução exata durante a primeira velocidade de injeção, U =U1
As condições iniciais e de contorno, quando a velocidade excede a velocidade crítica, seguem da
equação (228):
tD = 0 : C = ∆Sa1 = 1−Scr (U1) ,Ss = 0,Sa = Scr (U1) , (231)
xD = 0 : C = 0. (232)
A velocidade característica presente na equação (230) é igual à α1. A solução C (xD, tD) ao longo das
linhas características é:
119
C (xD, tD) =
0, xD ≤ α1tD,
∆Sa1e−α1λstD, xD > α1tD.(233)
A frente de concentração da água injetada isenta de partículas se propaga na trajetória xD = α1T
(Figura 63.a). A concentração é igual a zero atrás dessa frente. O momento tD = α−11 corresponde à
chegada da “última” partícula de fino liberada na saída do testemunho. As partículas liberadas com
concentração uniforme movem-se com a mesma velocidade, sujeitando-se à captura em poros livres
com a mesma probabilidade. Por isso, o perfil de concentração em suspensão permanece uniforme
durante o injeção.
120
Figura 63: Solução do problema de migração de finos em velocidades elevadas: a) trajetória das fren-tes e linhas características no plano (X ,T ); b) perfis de concentração em suspensão em três momentosdistintos; c) perfis de concentração retida em três momentos distintos.
A concentração retida por exclusão pelo tamanho é obtida a partir da integração, com respeito à
tD, de ambos os lados da equação (225):
121
Ss =
∆Sa1
(1− e−λsxD
), xD < α1tD,
∆Sa1
(1− e−α1λstD
), xD ≥ α1tD.
(234)
Da uniformidade do perfil de concentração em suspensão combinado com o fato de que a velocidade
de todos os finos mobilizados é a mesma, decorre que o perfil do fluxo advectivo de partículas é
uniforme. Portanto, a concentração retida por exclusão pelo tamanho é independente de xD à frente
da frente de concentração. A exclusão por tamanho ocorre para concentração em suspensão não nula.
Portanto, numa dada secção transversal, as partículas excluídas por tamanho acumulam-se enquanto
a frente de concentração não passar por essa secção transversal. Após isso, a concentração retida é
constante naquela secção transversal. Então, pode-se concluir que a concentração retida encontra-se
em regime estacionário atrás da frente de concentração.
A Figura 63.b mostra os perfis de concentração em suspensão nos momentos tD = 0, no momento
tD = Ta antes da chegada da frente de erosão na saída do testemunho e no momento tD = Tb após a
passagem da frente. A concentração inicial é igual a ∆Sa1. O perfil de concentração em suspensão
antes da chegada da frente de erosão ao final do testemunho é zero atrás da frente e constante em frente
dela. A concentração em suspensão torna-se nula após a chegada da frente ao final do testemunho, já
que todas as partículas foram excluídas por tamanho ou produzidas no efluente.
A Figura 63.c mostra três perfis de concentração de partículas retidas por exclusão pelo tamanho
nos instantes 0, Ta e Tb. Não há partículas retidas na rocha antes da mobilização dos finos. A concen-
tração retida cresce com o tempo até a chegada da frente de concentração e permanece constante após
sua passagem. Quanto maior a coordenada xD, por mais tempo a exclusão por tamanho ocorre na sec-
ção transversal correspondente, o que acarreta em maior concentração retida ao final do processo. Por
isso, o perfil de partículas retidas cresce conforme xD cresce. O perfil é uniforme em frente da frente
de concentração pois o fluxo advectivo de partículas é uniforme juntamente com a probabilidade de
captura das partículas.
A Figura 64 mostra que a concentração do efluente diminui com o tempo, já que a distância
percorrida pela partícula até sua chegada ao final do testemunho cresce com o passar do tempo tD. O
coeficiente de filtração λs é igual a probabilidade da partícula ser excluída por tamanho por unidade
de comprimento da trajetória da partícula. Portanto, a quantidade de partículas capturadas aumenta
com o tempo, e a concentração na saída diminui. No momento
tD,st1 =1
α1(235)
todas os finos mobilizados foram produzidos ou retidos nas gargantas de poro, por isso a concentração
em suspensão é nula.
122
Figura 64: Históricos de concentração de efluente C, concentração retida Sse diferencial de pressãoadimensional J ao longo do testemunho.
O efeito do crescimento de diferencial de pressão é melhor avaliado pela impedância, que é a
adimensionalização desse diferencial ao longo do testemunho durante a injeção. Para tal, utiliza-se o
diferencial de pressão inicial para normalização:
J (tD) =∆p(tD)U (0)U (tD)∆p(0)
=∆p(tD)k0
U (tD)µL. (236)
A impedância também pode ser expressa em função da permeabilidade do testemunho:
J (tD) =k0
〈k〉(tD). (237)
Como segue da equação (227), para os intervalos de tempo com velocidade de fluxo constante:
J (tD) =1∫
0
(− ∂ p
∂xD
)dxD = 1+βsσa0
1∫0
Ss (xD, tD)dxD. (238)
Substituindo a solução (234) na equação (237) e integrando com respeito a xD obtêm-se a equação
explícita para o aumento de impedância durante a injeção:
J (tD) = 1+βsσa0∆Sa1
[1− 1
λs−(
1− 1λs−α1tD
)e−α1λstD
], tD < α
−11 , (239)
J = 1+βsσa0∆Sa1
(1− 1
λs+
e−λs
λs
), tD ≥ α
−11 . (240)
O diferencial de pressão ao longo do testemunho aumenta monotonicamente de um para o valor
máximo, atingido quando tD = α−11 , que é o tempo de chegada da “última” partícula ao final do
testemunho (Figura 64). Após isso, o diferencial de pressão torna-se constante enquanto permanecer
a mesma vazão.
123
4.4.2 Solução exata para U = Un em caso de estabilização de impedância nainjeção de velocidade U =Un−1
Considere a mudança de velocidade de fluxo de Un−1 para Un realizada no tempo adimensional
Tn. Esta mudança ocasiona em uma liberação de partículas cuja concentração é ∆σn = σcr (Un−1)−σcr (Un). A condição inicial corresponde a liberação de partículas aderidas na suspensão e a “herança”
da concentração retida por exclusão pelo tamanho da vazão anterior, com velocidade Un−1:
t = tn : c =σcr (Un−1)−σcr (Un)
φ=
∆σn
φ,Ssn (xD) = Ss
(xD,Tn−1 +α
−11). (241)
Em termos das variáveis adimensionais, as condições iniciais são escritas como:
tD = Tn : C = ∆San = Scr (Un−1)−Scr (Un) ,Ssn (xD) = Ss (xD,Tn−0) ,Sa = Scr (Un) . (242)
A condição de contorno (232) continua a mesma. Para construir a função Ssn (xD), utiliza-se a seguinte
fórmula recursiva:
Ssn = Ss(n−1)+∆Sa(n−1)
(1− e−λsxD
). (243)
Mais adiante, será demonstrado como obter esta fórmula a partir da solução das equações diferenciais
parciais básicas (224-227) e das condições de iniciais e de contorno em questão (232, 242, 243).
Novamente se faz necessário resolver o sistema de equações (224-227), com as condições iniciais
e de contorno (232, 242, 243). Esta solução vem dada por:
C =
0, xD < αn (tD−Tn) ,
∆Sane−αnλs(tD−Tn), xD ≥ αn (tD−Tn) ,(244)
Ss−Ssn =
∆San
(1− e−λsxD
), xD < αn (tD−Tn) ,
∆San
[1− e−αnλs(tD−Tn)
], xD ≥ αn (tD−Tn) .
(245)
Esta solução possui essencialmente as mesmas características daquela obtida para o caso U =U1, dis-
pensando portanto uma descrição física mais detalhada. A fórmula recursiva (243) foi obtida a partir
da aplicação da equação (245) para a velocidade Un−1 no tempo Tn. Da hipótese de estabilização,
decorre que xD < αn−1 (Tn−Tn−1) para qualquer xD. Esta condição é exposta na primeira cláusula da
equação (245), sendo igual a equação (243).
O cálculo de impedância é realizado observando-se que a impedância também é “herdada” da
velocidade de fluxo anterior da mesma forma que as partículas capturadas por exclusão por tamanho
124
também o são, sendo possível escrever:
J (tD) = J0n +βsσa0
1∫0
(Ss−Ssn)dxD, (246)
na qual J0n = J (Tn−0). Substituindo a equação (245) na equação (246) obtêm-se:
J (tD) = J0n +βsσa0∆San
[1− 1
λs−(
1− 1λs−αn (tD−Tn)
)e−αnλs(tD−Tn)
], tD < Tn +α
−11 , (247)
J = J0n +βsσa0∆San
(1− 1
λs+
e−λs
λs
), tD ≥ Tn +α
−11 . (248)
4.5 Determinação dos parâmetros do modelo a partir de experi-mentos
Ochi e Vernoux (1998) realizaram testes de laboratório utilizando arenito Berea visando mobili-
zar finos. Alguns testes dizem respeito à mudança abrupta de velocidade, enquanto outros privilegiam
mudanças de salinidade. Destes testes, dois (BS012 e BS013) apresentaram condições de serem ana-
lisados usando o modelo matemático proposto neste capítulo. Estes testes foram realizados segundo
as condições iniciais e de contorno (231, 232): injeção de água isenta de partículas com velocidade
crescente e constante por partes. O diferencial de pressão ao longo do testemunho foi monitorado
durante o teste. O modelo analítico proposto na seção anterior foi utilizado para ajustar os dados de
impedância (equações (239, 240, 247, 248)). O resultados deste ajuste serão expostos nesta seção.
O ajuste de dados de impedância (diferencial de pressão) foi realizado utilizando como parâmetros
o coeficiente de filtração (λs), os produtos σa0βs∆San e os fatores de vagarosidade αn. A determi-
nação dos produtos σa0βs∆San permite a reconstrução da curva de retenção máxima, dadas algumas
premissas.
A razão de se ajustar o produto σa0βs∆San ao invés de ajustar esses parâmetros isoladamente é que
esses parâmetros aparecem sempre como esse produto nas fórmulas de impedância (239, 240, 247,
248). Portanto, não é possível resolver de maneira única qual o valor individual desses parâmetros
tendo por base somente os dados de impedância. Para resolver este impasse, foram lançadas as
seguintes hipóteses:
1. Todos os finos móveis foram produzidos até o final do teste.
2. Todos os finos são caulinitas.
125
3. A porosidade dos testemunhos (não reportada) era de 20%.
4. O conteúdo de caulinita nos testemunhos é igual a média do conteúdo medido por Churcher et
al. (1991) em suas amostras de Berea (~6%).
Todas essa hipóteses permitem assumir que σa0 = 0,048. Como foi assumido que todas as partículas
foram mobilizadas, ∑ni=1 σa0βs∆Sai = σa0βs, o que permite calcular βs porque σa0 é estimado (nesta
equação, n é o número da última vazão). Novamente utilizando a premissa de que todas as partículas
foram mobilizadas, σcr (Un) é igual a zero para a última vazão de todos os testes. Da equação (242)
segue que σcr (Un−1) = σa0∆San. Portanto, é possível reconstruir a curva de retenção máxima “de trás
para frente”, somando-se σa0∆Sai ao valor de σcr (Ui) para encontrar σcr (Ui−1), para i = 3, ...,n. Em
geral, a velocidade crítica de mobilização de finos de uma amostra não é conhecida de maneira exata,
sendo possível porém estimar σcr (U0) = σa0. Este procedimento, no entanto, não é suficiente para
reconstruir a curva porque se a velocidade crítica U0 não é conhecida, não sabemos a qual abcissa
corresponder o valor σa0. O valores de λs, de αn e os produtos σa0βs∆San foram determinados por
ajuste dos dados de impedância pelo método dos mínimos quadrados. A Tabelas 10 e 11 mostram os
resultados obtidos pelo ajuste. A Figura 62 mostra o ajuste de impedância contra os dados experi-
mentais. O ajuste desta curva tem coeficiente de determinação superior a 0,95. A Figura 65 mostra a
curva de concentração retida por adesão máxima reconstruída pelo procedimento exposto nesta seção.
Uma vez que o raio crítico de mobilização de partículas depende da velocidade de fluxo e a função de
retenção máxima depende da velocidade, é possível escrever um relacionamento σcr (rs). Este tipo de
raciocínio permite a construção de histogramas de tamanho de partícula de fino. Estes histogramas
para os testes BS012 e BS013 são expostos na Figura 66.
Tabela 10: Valores dos coeficientes de filtração e dano à formação para os testes BS013 e BS012(OCHI; VERNOUX, 1998).
Parâmetro BS012 BS013
λ 2,2869 3,0069
β 30,9328 22,9161
126
Tabela 11: Valores de fator de vagarosidade, concentrações de partículas liberadas e tempos de esta-bilização obtidos do ajustes dos testes BS012 e BS013 (OCHI; VERNOUX, 1998).
Parâmetro BS012 BS013
α1 0,0020 0,0018
α2 0,0020 0,0018
α3 0,0020 0,0018
α4 0,0020 0,0018
α5 0,0020 -
α6 0,0008 -
α7 0,0008 -
∆σ1 0,0017 0,0206
∆σ2 0,0039 0,0102
∆σ3 0,0045 0,0086
∆σ4 0,0076 0,0086
∆σ5 0,0114 -
∆σ6 0,0114 -
∆σ7 0,0076 -
127
(a)
(b)
Figura 65: Forma da função de retenção crítica σcr (U) para os testes BS012 (figura a) e BS013 (figurab).
128
a)
b)
Figura 66: Histograma dos finos móveis para os testes BS012 (a) e BS013 (b).
4.6 Discussão dos resultados
O modelo matemático com função de retenção máxima para liberação e transporte de partículas
com velocidade igual aquela do fluido exibe tempos de estabilização de um volume poroso. Testes de
laboratório mostram períodos de estabilização entre 10 e 1000 volumes porosos. Essa diferença pode
ser atribuída ao movimento mais lento das partículas quando comparadas com o fluido. A velocidade
das partículas no modelo proposto difere daquela do fluido por um fator da ordem de 10−3 a 10−2.
De maneira geral, uma fração das partículas mobilizadas é carregada pelo fluido e outra parte se
move ao longo da superfície dos grãos com velocidade significativamente menor. Essa fração tem seu
129
valor determinado pela distribuição pelo tamanho dos finos e por suas interações eletrostáticas com a
rocha. O deslocamento da partícula mobilizada próximo da superfície da rocha é uma combinação de
rolamento, deslizamento, liberação temporária no fluido e retorno a superfície devido a colisão com
rugosidades, entre outros fatores.
De acordo com o balanço de torques, para cada velocidade de fluido existe um raio crítico de
partícula, de maneira que todas as partículas maiores que este valor são liberadas rs = rscr (U). Esta
afirmação permite definir a função de retenção máxima de partículas aderidas para o caso monoca-
mada distribuído por tamanho: a concentração aderida para uma dada velocidade é a concentração
inicial de partículas aderidas com tamanho menor que o tamanho crítico. Isto permite calcular a
função de retenção máxima a partir da distribuição dos finos móveis por tamanho, que por sua vez,
possibilita a solução do problema inverso, que é encontrar a distribuição de tamanho dos finos a partir
do conhecimento da função de retenção máxima.
A função de retenção máxima para diferentes tamanhos de partícula de finos aderidos às paredes
de poro em monocamada depende do histograma de finos em função das faixas de raios, das constan-
tes eletrostáticas de interação partícula-rocha e das propriedades elásticas (módulo de Young e razão
de Poisson) da partícula.
Quanto maior for o raio da partícula menor é a função de retenção máxima. Quanto maior for o
coeficiente de variância para a distribuição das partículas por tamanho, menor é a função de retenção
máxima para baixas velocidade e maior é essa função nas altas velocidades.
A função de retenção máxima para adesão de partículas monodispersas em policamadas é con-
vexa, enquanto para adesão em monocamada de partículas polidispersas esta função apresenta-se
côncava em altas velocidades e convexa para baixas velocidades.
O problema unidimensional de fluxo com velocidade crescente e constante por partes e liberação
instantânea de partículas seguida de exclusão por tamanho admite solução analítica exata. A frente
de concentração começa na face de injeção do testemunho, no instante do aumento de velocidade, e
separa a região isenta de partículas atrás da área onde a concentração em suspensão é uniforme.
O bom ajustamento do modelo aos dados de diferencial de pressão obtidos durante o teste com
velocidade crescente e constante por partes valida a modelagem proposta.
A boa concordância entre os dados laboratoriais e as predições do modelo ajustado provê uma
validação apenas preliminar da modelagem proposta. Testes com medidas de perfil de retenção e
histórico de concentração no efluente precisam ser realizados para validar o modelo com velocidade
de deslocamento da partícula diferente daquela do fluido.
Testes de laboratório mais detalhados podem servir para maior validação do modelo. Medidas
de concentração do efluente podem ser comparadas com a solução (233, 244) do problema de fluxo
130
unidimensional. As medidas de perfil de retenção post-mortem podem ser comparadas com as pre-
vistas pelas equações (234, 245). Medidas de distribuição por tamanho das partículas produzidas no
efluente podem ser utilizadas na obtenção da curva de tamanho crítico de liberação rscr (U). A com-
paração entre as curvas rscr (U) obtidas em dois testemunhos similares com a curva teórica validaria
a modelagem matemática proposta.
A teoria apresentada neste capítulo objetiva realizar a previsão do comportamento da migração
de finos em poços e no reservatório como um todo, podendo ser diretamente estendida para simular
o comportamento de poços. Outra possível extensão é a previsão do comportamento da injeção de
água de baixa salinidade como método de recuperação terciário. Em alguns casos, poços horizontais
podem apresentar comportamento de fluxo linear nos períodos iniciais de teste de poço (LEE et al.,
2003), sendo então a aplicação da teoria proposta mais direta, com as devidas modificações para os
cálculos de pressão. A mesma consideração é valida para formações hidraulicamente fraturadas.
131
5. COMPARAÇÃO DA TEORIA DE
MIGRAÇÃO LENTA DE FINOS COM
TESTES COM PONTOS DE PRESSÃO
INTERMEDIÁRIOS
5.1 Introdução
A liberação de finos em reservatórios, sua migração como coloides ou suspensões e sua exclusão
pelo tamanho em poros finos e/ou adesão às paredes de poro ocorre em numerosos processos de
produção de petróleo. As principais características desses processos são a mudança da concentração
em suspensão no fluido e o declínio de permeabilidade. O primeiro desses processos é importante
para o descarte de água em aquíferos, enquanto o segundo é relevante na produtividade e injetividade
de campos de petróleo (CIVAN, 2007; ROUSSEAU et al., 2008; BYRNE; WAGGONER, 2009).
Ambos ocorrem durante a invasão do filtrado de fluido de perfuração (SCHECHTER, 1992; WATSON
et al., 2008), na migração de finos em reservatórios de gás e óleo (SCHEMBRE; KOVSCEK, 2005;
CIVAN, 2007) e na injeção de água de baixa qualidade em campos de petróleo (NABZAR et al., 1996;
PANG; SHARMA, 1997; CHAUVETEAU et al., 1998). O efeito da migração de finos durante a
injeção de água de baixa salinidade em reservatórios de petróleo é objeto de intensa pesquisa (TANG;
MORROW, 1999; MORROW; BUCKLEY, 2011; ZEINIJAHROMI et al., 2011a; YUAN; SHAPIRO,
2011a; HUSSAIN et al., 2013). A redução da permeabilidade durante a migração de finos pode ser
usada para controle de produção de água (ZEINIJAHROMI et al., 2011a). A lista de aplicações de
migração de finos pode ser expandida significativamente.
O consenso no fluxo de finos mobilizados em reservatórios porosos é que os finos coloidais ou as
partículas em suspensão são transportados pelo fluido. Em geral assume se que a velocidade advec-
tiva das partículas é igual a do fluido que as carreia; a estabilização da permeabilidade ocorre após
a chegada da “última” partícula mobilizada na saída do testemunho, ou seja após a injeção de um
volume poroso. Muitos autores mencionam uma estrutura de duas velocidades para o fluxo de sus-
pensões/coloides, onde as partículas podem se mover perto da superfície dos poros com velocidade
significativamente reduzida se comparada com o fluido (YUAN; SHAPIRO, 2010, 2011b). A movi-
132
mentação das partículas próximas das paredes de poros rugosas, conforme modelado pelas equações
de Navier-Stokes, tem velocidade muito inferior àquela da água injetada (SEFRIOUI et al., 2013).
Porém, a grande maioria dos modelos matemáticos assume igualdade da velocidade das partículas e
da água (BRADFORD; TORKZABAN, 2008; BRADFORD et al., 2009).
Diversos testes laboratoriais com velocidade crescente para liberar finos foram realizados, es-
clarecendo os fenômenos de mobilização e exclusão pelo tamanho desse finos (PRIISHOLM et al.,
1987; OCHI; VERNOUX, 1998; KüHN et al., 1998). Uma revisão detalhada desses trabalhos pode
ser encontrada em Tiab et al. (2004) e Civan (2007). No entanto, os períodos de estabilização da per-
meabilidade não podem ser avaliados a partir dos resultados destes testes devido à sua curta duração.
Além disso, o perfil de permeabilidade não pode ser avaliado já que apenas o diferencial de pressão
ao longo de toda amostra foi medido.
Neste capítulo, testes de laboratório com velocidade crescente e constante por partes, com o obje-
tivo de liberar finos do meio poroso, executados até a estabilização da permeabilidade serão expostos.
Foi descoberto que os períodos de estabilização da permeabilidade excedem significativamente um
volume poroso injetado para todos os testes, em contraponto à hipótese de velocidades iguais para
fluido e partículas. Esta demora é atribuída ao transporte lento de finos perto das paredes de poro. O
tempo de estabilização diminui com o aumento da vazão, o que é explicado pelo aumento simultâneo
da força de arraste movendo as partículas ao longo da superfície da rocha.
A estrutura deste capítulo é a seguinte: breve descrição física do transporte de suspensões-
coloides em meios porosos é dada na seção 5.2.Na seção 5.3 apresenta-se os detalhes dos equipa-
mentos usados nos testes, rochas e dos fluidos usados e da metodologia empregada. Os resultados
experimentais são apresentados na seção 5.4. A seção 5.5 estende a solução obtida na seção 4.4 para
sistemas que não atingem a estabilidade de permeabilidade antes da mudança de vazão. A seção 5.6
apresenta os resultados do ajuste dos dados experimentais e o modelo proposto na seção 5.5. As
discussões sobre esses resultados serão realizadas na seção 5.7, onde a demora na estabilização da
permeabilidade é atribuída ao deslocamento lento das partículas sobre a superfície da rocha.
5.2 Física da mobilização, migração e captura de finos
SeguindoMuecke (1979), Sharma e Yortsos (1987a), Chauveteau et al. (1998), Bergendahl e
Grasso (2000), Freitas e Sharma (2001), Byrne et al. (2010), Bradford et al. (2011), Bedrikovetsky et
al. (2011a, 2012), será feita uma breve descrição dos principais fatores físicos determinantes para a
migração de finos e consequente declínio de permeabilidade em meios porosos. A liberação de finos,
sua migração e sua captura são mostrados na Figura 46. As partículas mobilizadas de finos são reti-
das por exclusão pelo tamanho caso suas dimensões excedam às do poro. Finos que interceptam um
grão podem acabar aderidos nele, caso existam vagas para adesão na superfície desse grão. As forças
133
exercidas sobre uma partícula solitária aderida ao grão estão expostas na Figura 11. A partícula na
superfície do grão ou no topo do reboco interno formado pelas outras partículas aderidas está sujeita a
forças eletrostáticas, de arraste, de elevação e gravitacionais. A partícula permanece aderida se o tor-
que das forças eletrostáticas e gravitacionais (torque adesivo) excede o torque das forças de arraste e
de elevação (torque liberador). Caso contrário, a partícula deixa a superfície do grão. O equilíbrio de
torques é a condição de equilíbrio mecânico da partícula. A força eletrostática depende da distância
de separação, tendo seu valor máximo em alguma distância de separação. Para dados valores de força
de arraste, de elevação e eletrostática, a mobilização da partícula é controlada pelo valor máximo da
força eletrostática atrativa. Se o torque adesivo exceder o torque liberador, a distância de separação é
determinada pelo balanço de torque nos dados valores de forças de arraste, de elevação e eletrostática.
Do critério de balanço de torques segue que no equilíbrio mecânico existe uma concentração máxima
de partículas retidas que é uma função da velocidade do fluido, salinidade, pH, temperatura, etc. A
liberação de partículas devido à velocidade, pH ou aumento de temperatura ou diminuição de salini-
dade é descrito pela diminuição da função de retenção máxima. O aumento de velocidade implica
em um aumento nas forças de arraste e de elevação, aumentando o torque liberador e eventualmente
liberando a partícula (MIRANDA; UNDERDOWN, 1993; OCHI; VERNOUX, 1998; BRADFORD
et al., 2011). A redução da salinidade da água decresce a força eletrostática com consequente decrés-
cimo do torque adesivo, o que tende a mobilizar finos (LEVER; DAWE, 1984; SARKAR; SHARMA,
1990; VALDYA; FOGLER, 1992; KHILAR; FOGLER, 1998; CIVAN, 2010). O aumento de tempe-
ratura e pH também causa enfraquecimento da força eletrostática com consequente mobilização de
finos (VALDYA; FOGLER, 1992; CIVAN, 2010).
A teoria clássica de filtração profunda introduz a velocidade crítica como a velocidade mínima
para a ocorrência de mobilização de finos (MIRANDA; UNDERDOWN, 1993). A salinidade crítica
é o limite de salinidade abaixo da qual os finos são levantados (KHILAR; FOGLER, 1998). A taxa
de liberação de finos é proporcional à diferença entre os valores atuais e limites de velocidade, sali-
nidade, pH, etc. Os coeficientes de proporcionalidade correspondem a tempos de relaxação, que são
empíricos e obtidos por ajuste de dados. O modelo exibe demora na resposta da permeabilidade à
mudança abrupta dos parâmetros, enquanto diversos estudos laboratoriais mostram resposta instan-
tânea da permeabilidade (LEVER; DAWE, 1984; OCHI; VERNOUX, 1998; BEDRIKOVETSKY et
al., 2012). O modelo acima mencionado de função de retenção máxima não possui esta contradição.
Se a partícula em migração intercepta um grão e o torque adesivo excede o torque liberador, a
partícula adere a esse grão. O mecanismo de exclusão pelo tamanho também pode ocorrer. Outro
possível mecanismo é a difusão para poros não-conectados, onde a partícula pode permanecer inaces-
sível ao fluxo nos poros conectados. Na próxima seção apresenta-se a metodologia e os equipamentos
usados nos testes de migração de finos ocasionada pelo aumento de velocidade de fluxo.
134
5.3 Testes de laboratório
Nesta seção serão descritos os equipamentos utilizados (seção 5.3.1), as características do fluido
e meio poroso empregados (seção 5.3.2) e a metodologia dos testes em diferentes velocidade (seção
5.3.3) a serem utilizados neste capítulo. Mais detalhes podem ser encontrados em Oliveira (2013),
uma vez que a realização prática desses testes foi realizada por essa autora. A contribuição do autor
desta tese foi o planejamento dos testes e sua análise do ponto de vista teórico.
5.3.1 Equipamentos
O esquema dos equipamentos de laboratório com especificações para todos os elementos chave
é mostrado na Figura 67. A Figura 68 é uma foto desses equipamentos. O fluido injetado era posto
no becker 1 e então injetado por uma bomba Jasco modelo PU-2087 em regime de vazão constante.
O “coreholder” Mantec (Labconte) com dois orifícios intermediários para medida de pressão era
controlado pelas válvulas 14 e 15. A pressão de confinamento no “coreholder” era provida por uma
bomba manual Fluke 10, sendo monitorada por um manômetro 11. Os transdutores de pressão 5,6 e
7 mediam o diferencial de pressão ao longo do testemunho, entre a entrada e o segundo orifício e ao
longo da primeira seção do testemunho, respectivamente. Os transdutores Yokogawa foram calibrados
para medir a pressão de poros de zero até 500 psi. O sistema de aquisição de dados 8 digitalizava
as medidas dos três transdutores e as transferia para o computador 8. Os dados eram então tratados
pelo software LabView instalado no computador. O efluente era coletado no becker 4 para medida de
resistividade elétrica, pH, concentração de efluente e de distribuição de tamanho dos finos.
Figura 67: Esquema dos equipamentos de laboratório utilizados nos testes de migração de finos emmeios porosos: 1-fluido injetado, 2-bomba, 3-coreholder com testemunho, 4-fluido produzido; 5,6,7-transdutores de pressão, 8-sistema de aquisição de dados, 9-Computador com LabView, 10-bombamanual para manutenção de pressão de confinamento, 11-manometro, 12-16-válvula de controle.
135
Figura 68: Equipamentos utilizados nos testes de migração de finos em meios porosos.
5.3.2 Meio poroso e fluido
Testes foram realizados em 16 amostras de arenito Berea com velocidades alternadas. Algumas
propriedades da amostra e do fluido injetado são exibidas na Tabela 12. A Tabela 13 mostra a permea-
bilidade inicial e salinidade da solução para os 16 testes. As amostras 8-20 e 21-24 foram serradas de
dois blocos diferentes. As permeabilidades no primeiro bloco são menores que aquelas do segundo
bloco. Os testemunhos tem diâmetro determinado pelas dimensões do “coreholder” - 0.038 m. O
comprimento da amostra varia entre 0.044 e 0.072 m. Água ultrapura Milli-Q tipo 1 foi utilizada na
preparação das soluções de cloreto de sódio. Estas soluções foram filtradas em um filtro de 0,22 µm.
Tabela 12: Condições gerais de água e testemunho para o teste 12.
Parâmetro Teste 12
Salinidade 10 g/L NaCl
pH 6.4
Comprimento total do testemunho 7.2 cm
Comprimento dos pontos intermediários 0.7 cm e 2.9 cm
Porosidade 19%
Área de secção transversal 11.53 cm2
Viscosidade da solução 1.0 cP
Permeabilidade inicial 58 mD
136
Tabela 13: Tempos de estabilização para diferentes testes.
No. Testek0
(mD)
Q
(mL/min)
Duração
(VPI)
Tempo de
Estabilização (VPI)
Salinidade
(g/L)
kst
(mD)
8 57
10 303 20 10 40
20 595 16 10 36
30 585 20 10 32
9 70
10 281 16 10 61
20 623 14 10 55
30 706 18 10 50
10 44
10 200 16 6 38
20 505 15 6 33
30 778 20 6 31
11 30
10 18 16 10 30
20 469 20 10 27
30 710 14 10 26
12 58
10 91 25 10 31
20 361 17 10 26
30 455 30 10 24
13 61
10 127 11 30 42
20 752 19 30 35
30 563 22 30 32
14 44,910 146 14 30 40
20 628 17 30 34
15 56
10 123 14 10 46
20 451 23 10 38
30 485 15 10 34
16 50
10 129 14 6 39
20 420 20 6 33
30 527 20 6 30
18 60
10 133 27 6 43
20 599 23 6 35
30 803 18 6 34
19 71
10 146 23 6 45
20 595 25 6 36
30 627 19 6 31
20 75 10 120 12 10 32
137
Tabela 13: Tempos de estabilização para diferentes testes (continuação).
No. Testek0
(mD)
Q
(mL/min)
Duração
(VPI)
Tempo de
Estabilização (VPI)
Salinidade
(g/L)
kst
(mD)
21 270
10 72 19 10 173
20 306 18 10 155
40 421 21 10 122
48 450 23 10 118
22 109
5 44 13 10 106
10 97 18 10 84
15 213 12 10 71
20 198 10 10 67
25 367 11 10 59
30 1278 12 10 56
23 247
10 86 11 3 180
20 258 12 3 148
40 441 12 3 113
24 250
10 77 10 10 188
20 317 21 10 148
40 300 13 10 111
48 310 20 10 102
5.3.3 Metodologia dos testes
Para determinar a porosidade, as amostras secas foram pesadas, saturadas com solução de salini-
dade conhecida em uma câmara de vácuo e pesadas novamente. Então as amostras foram submetidas
a fluxo em baixa velocidade com vazões variando de 0,5 até 2,0 mL/min para determinar a permea-
bilidade inicial. Em seguida, os testemunhos foram submetidos às vazões de teste, uma após a outra
(Tabela 13). A primeira vazão sempre foi de 1 mL/min durante o curto período onde a permeabilidade
permaneceu constante. A pressão na entrada, saída e em dois pontos intermediários do testemunho
foram medidas durante as injeções (ver o esquema da Figura 67). Medidas de pressão nos pontos
intermediários proveram mais informação para o ajuste de modelos matemáticos e também permitem
a estimativa do perfil de permeabilidade (BEDRIKOVETSKY et al., 2001). A salinidade do fluido
produzido foi determinada a partir da condutividade elétrica (Figura 69.a). O pH do fluido produzido
também foi medido.
138
(a) (b)
Figura 69: Análise dos efluentes líquidos: a) medidas de condutividade; b) finos residuais submetidosà análise de difração de raios-X após evaporação de água produzida.
As concentrações dos efluentes com finos foram pequenas demais para serem medidas com pre-
cisão razoável. Por isso, os finos foram removidos da amostra com alta concentração no efluente
após a injeção de três vazões de água de baixa salinidade (0,5 g/L). A Figura 69.a mostra a suspen-
são efluente semi transparente assim obtida, com turbidez significativa. A distribuição por tamanho
das partículas nesta suspensão foi medida por um analisador de partículas CILAS 1180 (Figura 70).
Então a água produzida foi evaporada para extraírem-se os finos (Figura 69.b). A mineralogia dessas
partículas foi determinada por análise de difração de raios-X (Figura 71).
Figura 70: Distribuição por tamanho dos finos produzidos.
139
Figura 71: Resultados da análise de difração de raios-X dos finos oriundos do fluido produzido.
Os dados de laboratório obtidos são apresentados na próxima seção.
5.4 Resultados laboratoriais
A distribuição por tamanho das partículas conforme obtidas a partir da suspensão efluente (Figura
69.a) é apresentada na Figura 70. Os cortes de diâmetro correspondentes à 10%, 50% e 90% são 0,38
µm; 1,35 µm e 5,03 µm; respectivamente. O tamanho médio foi de 2,14 µm. A permeabilidade
inicial k0 foi de 247 mD e a porosidade φ = 0,20. O tamanho médio de poro é estimado por Dp =
10√
k0/φ = 11,1 µm (AMIX et al., 1964). De acordo com a “regra de ouro da filtração”, as partículas
com diâmetro inferior a Dp/7 são transportadas sem sofrerem captura enquanto aquelas superiores àDp/3 são capturadas após migrarem por uma distância desprezível quando comparada com o tamanho
do testemunho, não aparecendo no efluente, com as partículas de tamanho intermediário a esses dois
sofrendo filtração profunda (OORT; VELSEN J. F. G., 1993). A distribuição por tamanho dos finos
exposta na Figura 70 mostra que uma fração significativa dos finos tem diâmetro menor que Dp/7 =
1,6 µm; a fração de partículas com diâmetro superior à Dp/3 = 3,7 µm é significativamente menor que
um. A razão de bloqueio entre os tamanhos médios de poro e de partícula no efluente 11,2/2,14=5,1
é típica de filtração profunda (BRADFORD; TORKZABAN, 2008; BRADFORD et al., 2009, 2011).
O resíduo seco da suspensão produzida evaporada (Figura 69.b) foi submetido a análise por di-
fração de raios-X. Os resultados da análise qualitativa são exibidos na Figura 71. Além dos cristais
de sal, o resíduo contém as folhas de caulinita e partículas de quartzo oriundas do arenito. A presença
do sal é atribuída à solução injetada. O refinamento dos dados mostra que essa amostra consiste em
140
cristais de 79% NaCl, 18% caulinita e 3% quartzo (porcentagens em massa).
Os resultados das medidas são mostrados nas Figuras 72, 73, 74 e 75. As vazões 10, 20 e 30
mL/min foram utilizadas no teste 12. A variável adimensional impedância foi utilizada para descrever
a permeabilidade média das diferentes secções do testemunho:
J (tD) =∆p(tD)q(tD)
q(0)∆p(0)
=k0
k (tD); ∆p(tD) = p(0, tD)− p(L, tD) , (249)
na qual p é a pressão, q é a vazão, ∆p corresponde a diferença entre os valores de pressão à jusante
e a vazante. A impedância é a razão entre as permeabilidades inicial e atual. O histórico de impe-
dância J (tD) para todo o testemunho e suas secções é apresentado na Figura 72.a. O diferencial de
pressão para todo o testemunho e suas secções é apresentado na Figura 72.b. As Figuras 73,74 e 75
correspondem a um zoom a partir do começo da injeção de cada vazão.
Se faz necessário definir um critério para o tempo de estabilização de diferencial de pressão
(permeabilidade). O intervalo de tempo típico entre 2 medidas é de 0.5 VPI para as vazões utilizadas
nos testes. A precisão das medidas de pressão é de 0.5 psi. O sistema é considerado estabilizado se
o diferencial de pressão não aumenta mais. O seguinte critério foi então utilizado - o aumento do
diferencial de pressão dividido pelo tempo entre 2 medidas seguidas não deve exceder 0.5/0.5 psi. Os
tempos de estabilização tDst , J (tDst) = Jst são apresentados na quinta coluna da Tabela 13. A coluna
sete exibe a permeabilidade estabilizada conforme calculada a partir da impedância estabilizada. Os
gráficos de permeabilidade em função da velocidade para o teste 12 são mostrados na Figura 76. Os
tempos de estabilização em função da velocidade para o teste 12 estão expostos na Figura 77.
141
a)
b)
Figura 72: Dados laboratoriais do teste 12: a) histórico de impedância; b) diferenciais de pressão aolongo do testemunho e de suas seções em função dos volumes porosos injetados (VPI).
142
Figura 73: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a vazãode 10 mL/min. Medidas referentes ao teste 12.
Figura 74: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a vazãode 20 mL/min. Medidas referentes ao teste 12.
143
Figura 75: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a vazãode 30 mL/min. Medidas referentes ao teste 12.
Figura 76: Permeabilidade estabilizada em função da velocidade de fluxo para o teste 12, conformeobtida a partir dos dados de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas secções.
144
Figura 77: Tempos de estabilização de permeabilidade em função da velocidade para 16 testes.
5.5 Solução exata para o modelo de liberação e migração de finoscom velocidade crescente e constante por partes
No capítulo anterior, seção 4.4, foi discutida detalhadamente a solução analítica da modelagem
proposta para os casos onde ocorre estabilização completa em cada vazão. Porém, nem sempre esta
condição é verificada em testes laboratoriais. Utilizando-se o método das características, é possível
desenvolver uma solução que considere essa possibilidade. Além disso, não foi mencionada a pos-
sibilidade de medição de pressão em pontos intermediários. Os coeficientes de filtração e dano à
formação também podem ser diferentes para cada vazão imposta. A solução completa do sistema
exposto na 4.4, com essas modificações, vem dada por:
C (xD, tD) =
0, xD < αn (tD−Tn) ,
e−αnλn(tD−Tn) [Cn (xD−αn (tD−Tn))+∆San] , xD ≥ αn (tD−Tn) ,(250)
Ss−Ssn =
∆San
(1− e−λnxD
)+λne−λnxD
∫ xD0 eλnuC(n−1) (u)du, xD < αn (tD−Tn) ,
∆San
[1− e−λnαn(tD−Tn)
]+λne−λnxD
∫ xDxD−αn(tD−Tn)
eλnuC(n−1) (u)du, xD ≥ αn (tD−Tn) ,
(251)
145
Jω (tD) = J0n +βnσa0
ω∫0
(Ss−Ssn)dxD. (252)
O termo Cn é referente a concentração em suspensão herdada. Seu cálculo depende das posições das
frentes de concentração geradas antes da vazão em questão, [Xwn] j:
[Xwn] j =j
∑k=1
αn−k(T(n−k+1)−T(n−k)
), j < n. (253)
Uma vez calculadas essas posições, é possível expressar Cn como:
Cn =
xD≥[Xwn] j
∑j=1
Wn− j+1(T(n− j+2)
) n
∏k=n− j+2
e−αnλ (Tk+1−Tk), (254)
Wn (tD) = ∆Sane−αnλn(tD−Tn). (255)
É importante ressaltar que as equações (251) e (252) foram calculadas numericamente, devido à forma
pouco prática da equação (254).
5.6 Comparação entre os dados experimentais e o ajuste de da-dos
O modelo analítico proposto na seção anterior foi ajustados para os testes de velocidade apresen-
tados neste capítulo, em geral com resultados satisfatórios. Nesta tese, ênfase será dada para o ajuste
de dados do teste 12, que seguiu os mesmos procedimentos descritos na seção 4.5, exceto no que diz
respeito aos coeficientes de filtração e dano à formação. Estes coeficientes também foram obtidos via
otimização, um valor para cada vazão. A mudança de procedimento para obter os valores dos βn’s
causou a modificação esperada nos procedimentos de obtenção de σcr (U). A Tabela 14 mostra os
resultados deste ajuste.As Figuras 78 e 79 mostram os resultados do ajuste do modelo proposto aos
dados do teste 12. O coeficiente de determinação (R2) para este ajuste foi de 0,8617; indicando bom
ajuste.
Tabela 14: Valores dos parâmetros obtidos a partir do ajuste do teste 12.
Vazão λn βn ∆San αn
10 ml/min 29,3601 36,0322 0,554228 0,0119593
20 ml/min 22,6503 29,2664 0,277841 0,00299511
30 ml/min 19,4552 26,0446 0,167931 0,00285602
146
Figura 78: Ajuste de dados de impedância para o teste 12. Quadrados: dados experimentais para todoo testemunho. Círculos: dados referentes a impedância medida entre a face de injeção e um pontodistante desta por 2.9 cm (total - seção 3). Curvas azuis: ajuste do modelo. Curva vermelha tracejada:velocidade de fluxo.
Figura 79: Curva de retenção máxima reconstituída a partir do teste 12.
147
5.7 Discussões
A distribuição por tamanho dos finos produzidos está em concordância qualitativa com a regra
1/3-1/7 de filtração. Isto corresponde à possibilidade das partículas mobilizadas de migrarem ao
longo do testemunho e serem produzidas no efluente, permitindo atribuir o aumento do diferencial
de pressão durante o fluxo de vazão constante ao tamponamento de poros pelas partículas de finos
mobilizadas.
Numerosos estudos de laboratório indicam presença simultânea de argilominerais e outras partí-
culas de arenito no resíduo da água produzida e evaporada (LEVER; DAWE, 1984; KHILAR; FO-
GLER, 1998). A análise de difração de raios-X dos finos no resíduo apresentada na Figura 71 também
mostra a presença de caulinita e quartzo.
As curvas de impedância mostradas na Figura 72.a indicam resposta quase instantânea para a
alteração abrupta de permeabilidade, o que significa que a liberação de partículas ocorre durante
tempos que são muito menores que os tempos de fluxo. A 72.b mostra o diferencial de pressão ao
longo do testemunho, sua terceira secção e entre as seções 2 e 3. As Figuras 73,74 e 75 exibem zooms
para cada começo de injeção à vazão constante. O diferencial de pressão aumenta gradualmente
durante cada injeção à vazão constante, tanto para as secções quanto para o testemunho inteiro. A
redução gradual de permeabilidade é explicada pela migração de finos e sua captura.
Os valores estabilizados de permeabilidade para todo o testemunho e suas secções são mostrados
na Figura 76. Quanto mais alta a velocidade de fluxo menor é a permeabilidade. Isto é explicado pela
acumulação de partículas nas gargantas de poro oriundas da mobilização de finos realizada por cada
aumento de velocidade.
A Figura 72.a mostra que a curva de impedância para a terceira secção da amostra está acima
daquela para a secção entre a segunda e a terceira; e a impedância da amostra inteira é a menor
de todas. Consequentemente, a permeabilidade média de todo o testemunho é maior que aquela da
secção entre a segunda e a terceira; a permeabilidade da terceira secção é a menor delas. O mesmo
relacionamento é revelado na Figura 76: ela mostra a permeabilidade estabilizada da amostra e de suas
secções após a injeção prolongada. Este fenômeno admite a seguinte explicação: os finos mobilizados
movem-se no testemunho com uma determinada velocidade. Esta é a velocidade da frente de água
limpa movendo-se da face de injeção a partir do começo da injeção. A exclusão por tamanho das
partículas causando a redução da permeabilidade acontece à frente desta frente, os finos suspensos
estão ausentes atrás dela. Quanto maior a distância entre a face de injeção e um ponto no testemunho,
maior é o período no qual ocorre neste ponto ocorre captura de partículas e menor é a permeabilidade
final dele. O perfil da permeabilidade final ao longo do testemunho é dados por uma curva de declínio.
É conveniente discutir também os tempos de estabilização e suas implicações sobre as velocidades
148
dos finos. É assumido que os finos são liberados por uma troca de vazão abrupta durante um período
de tempo que é muito menor que o tempo de referência para o fluxo na amostra. Por isso, a frente de
concentração da água limpa injetada move-se com a velocidade da água a partir da face de injeção no
começo da aplicação de vazão. A espessura da frente difusiva é muito menor do que o comprimento
do testemunho. A exclusão pelo tamanho dos finos mobilizados pára quando a frente de concentração
atinge o fim do testemunho, ou seja, após um volume poroso injetado. A hipótese de que as partículas
mobilizadas são transportadas pelo fluido resulta em um tempo de estabilização de um volume poroso.
Porém, os tempos de estabilização observados excedem em muito um volume poroso (Tabela 13).
Isto mostra que as partículas mobilizadas deslocam-se com velocidade muito menor que a do fluido.
Este deslocamento pode ser concebido como a resultante de diferentes movimentações microscópicas
como rolamento sobre a superfície da rocha ou deslizamento sobre segmentos da parede de poro
(YUAN; SHAPIRO, 2011b). A partícula pode ser mobilizada e mover-se com o fluido até encontrar
uma rugosidade, podendo deixá-la ou permanecer aderida. A faixa de tempos de transição em VPI,
que é igual à razão entre as velocidades de fluido e de deslocamento da partícula variam entre 10 e 27
(Tabela 13).
A Figura 77 mostra os tempos de estabilização em função da velocidade de fluido para as con-
dições de todos os testes. A curva superior corresponde a testemunhos com permeabilidade mais
alta que foram serrados do segundo bloco (testes 21-24, Tabela 13). A curva inferior corresponde a
testemunhos com permeabilidade mais baixa que foram serrados do primeiro bloco de rochas (testes
8-20). Não é esperado que os pontos se localizem exatamente sobre a mesma curva, já que os tempos
de transição para esses pontos foram calculados a partir de testes em amostras diferentes. Porém, as
curvas apresentam a seguinte tendência: quanto mais alta é a velocidade do fluido, menor é o tempo
de transição ou, maior é a velocidade de deslocamento da partícula. Isto é explicado pela proporcio-
nalidade entre a velocidade de fluxo e a força de arraste exercida sobre as partículas na superfície do
meio poroso.
Durante a injeção de suspensões em meios porosos, o tempo de produção da água injetada (“bre-
akthrough”) varia em torno de um VPI. Pequenos desvios da unidade são explicados pela acessibi-
lidade dos poros a partículas de tamanho finito (ILINA et al., 2008) ou por efeitos concomitantes
de captura e difusão de partículas (ALTOÉ et al., 2006). Disso é possível concluir que partículas
injetadas movem-se com a velocidade do fluido. Em contrapartida, para as condições dos testes de la-
boratório apresentadas neste capítulo, as partículas liberadas movem-se lentamente perto das paredes
de poro. Ainda sim, não é possível excluir a possibilidade de ocorrência de liberação de partículas
para as partes mais rápidas do fluxo, resultando em transporte mais rápido das partículas. Isto pode
ocorrer em altas velocidades de fluxo e requer maior investigação laboratorial.
Mesmo com a clara tendência de crescimento de impedância na escala de tempo dos períodos de
teste, numerosos saltos localizados para baixo na curva J (tD) são observados. O maior desses saltos
149
é observado quando da troca de vazão 1 mL/min para 10 mL/min (Figura 73). Isto pode ser explicado
pela formação de pontes por várias partículas na entradas das gargantas de poro e sua destruição
durante mudanças localizadas de fluxo e desvios devido ao tamponamento dos poros.
150
6. CONCLUSÕES
Neste capítulo, serão abordadas as principais conclusões deste trabalho. Primeiro, serão apre-
sentados as conclusões depreendidas de cada capítulo. Após, serão feitas as conclusões finais. É
importante observar que a modelagem de migração de finos introduzida no capítulo 4 é específica
para arenitos.
6.1 Conclusões para o capítulo 3
O modelo analítico para o transporte de suspensão com liberação de partículas em caso de alter-
nância de velocidade de fluxo e a comparação entre os dados de laboratório e a modelagem proposta
permitem concluir o seguinte:
1. A permuta abrupta da vazão baixa de injeção de suspensão para alta resulta na liberação ime-
diata das partículas retidas, o que corresponde a um aumento da permeabilidade instantâneo
durante o teste. As partículas libertadas são varridas da rocha durante uma um volume poroso,
o que fica exposto por um aumento súbito da concentração do efluente. Além disso, a retenção
de partículas e declínio de permeabilidade não ocorrem.
2. Comutação da vazão alta para baixa resulta em gradual retenção de partículas e declínio de
permeabilidade até que a concentração máxima retida é atingida em todo testemunho.
3. O aumento e redução sequenciais de vazão com retorno à mesma vazão inicial resulta em res-
tauração da permeabilidade da amostra nesta vazão.
4. As afirmações acima estão de acordo com o principal pressuposto do modelo de que a concen-
tração máxima retida é uma função da velocidade de fluxo. Boa concordância entre os dados
laboratoriais e a modelagem proposta valida o modelo de transporte suspensão modificado com
a adição da função de concentração máxima retida para a descrição da liberação de partículas.
6.2 Conclusões do Capítulo 4
A modelagem analítica da liberação de finos com velocidade crescente e constante por partes
durante injeção em arenitos Berea e sua comparação com os resultados dos testes de laboratório
permitem extrair as seguintes conclusões:
151
1. Períodos longos de estabilização de permeabilidade podem ser explicados pela movimentação
lenta (em comparação com o fluido) das partículas sobre ou próximo das superfícies de poro.
2. O tamanho crítico das partículas liberadas diminui com o aumento da velocidade.
3. A função máxima de retenção para finos distribuídos por tamanho e aderidos nas paredes de
poro em monocamada é expressa através da distribuição por tamanho das partícula aderidas e
da curva de tamanho crítico para liberação por uma equação explícita. Esta função de retenção
máxima é igual à concentração acumulada das partículas menores que aquelas mobilizadas pelo
fluxo com uma dada velocidade U .
4. Quanto maior for o tamanho dos finos, maior é a função de retenção crítica. Quanto maior for o
coeficiente de variância dos tamanhos de partícula, maior é a função de retenção máxima para
altas velocidades e menor é esta função para velocidades baixas.
5. A distribuição de tamanho das partículas de finos mobilizáveis pode ser determinada a partir
da função de retenção máxima e da curva de tamanho crítico de liberação obtidas de testes
laboratoriais.
6. A comparação entre as curvas de diferencial de pressão de dois testes laboratoriais e os dados
da modelagem exibem ajuste com coeficiente de determinação superior á 0.98, o que valida o
modelo proposto.
6.3 Conclusões do Capítulo 5
Testes de laboratório com velocidade crescente e escalonada em arenitos Berea, nos quais o dife-
rencial de pressão foi medido, permitem concluir que:
1. Testes de laboratório exibem resposta quase instantânea de permeabilidade à mudança abrupta
de vazão, sugerindo que a mobilização de finos é instantânea.
2. Os tempos de estabilização excedem em muito um volume poroso, o que sugere que os finos
migram com velocidade significativamente menor que a água que os suporta.
3. Quanto maior for a velocidade tanto menor é o tempo de estabilização, o que é explicado
pela proporcionalidade entre a velocidade e a força de arraste movendo partículas mobilizadas
próximos às paredes de poro.
4. A permeabilidade post-mortem diminui ao longo do testemunho, já que pontos remotos dele
são expostos à partículas por mais tempo, aumentando assim a concentração retida.
152
6.4 Conclusões Finais
Os conceitos de estocagem de partículas (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a) e de retardo de mi-
gração das partículas em filtração profunda (YUAN E SHAPIRO, 2011b) são bem fundamentados na
literatura. Todavia, na literatura não existe nenhuma modelagem que considere-os simultaneamente.
Com isso em mente, conclui-se que:
1. O modelo matemático aqui apresentado, contemplando tanto o conceito de capacidade de es-
tocagem quanto o retardo na velocidade dos finos, explica a migração de finos de maneira
satisfatória.
2. A modelagem apresentada é geral, sendo apresentada com equações básicas. Isto implica na
possibilidade de extensão do modelo para outros cenários (geometria radial, simulação de re-
servatórios, entre outros).
3. Pelas mesmas razões já apresentadas, a teoria proposta é adequada para a previsão do com-
portamento de injeção de água de baixa salinidade quando empregada como um método de
recuperação avançada.
A importância desta tese para a indústria do petróleo provêm de sua capacidade de prever o dano à
formação tanto para o poço injetor de água de baixa qualidade como para os poços sujeitos à migração
de finos. Além disso, a teoria proposta possibilita a simulação da injeção de água de baixa salinidade
como método de recuperação avançada.
Trabalhos Publicados
BEDRIKOVETSKY, P., ZEINIJAHROMI, A., SIQUEIRA, F.D., FURTADO, C.A., SOUZA,
A.L.S. (2012) Particle Detachment Under Velocity Alternation During Suspension Transport in Po-
rous Media. Transport in Porous Media. 91 (1): 173-197.
Trabalhos Submetidos
OLIVEIRA, M., VAZ, A., SIQUEIRA, F., YANG, Y., YOU, Z., BEDRIKOVETSKY, P. (2013)
Slow migration of mobilized fines during flow in reservoir rocks: laboratory study. Journal of Petro-
leum Science and Engineering.
SIQUEIRA, F.D., YANG, Y., VAZ, A., YOU, Z., BEDRIKOVETSKY, P. (2014) Slow migration
of detached particles over rock surface in porous media. Journal of Hydrology.
153
8. RECOMENDAÇÕES
1. Desenvolver modelo analítico semelhante ao modelo proposto para alteração de velocidade que
contemple o caso de alteração de salinidade ou pH.
2. Outra importante área do desenvolvimento de teoria é caso bifásico, onde soluções básicas
deveriam ser deduzidas. A obra deve incluir obtenção de soluções analíticas e sua comparação
com dados laboratoriais.
3. Desenvolver as soluções do modelo proposto em geometria radial e outras, visando aplicação
em dados de poços. Caso a teoria para o caso bifásico esteja disponível, desenvolver a solução
radial para este caso também.
4. Adaptar o modelo proposto para o caso de formações de carbonato, tendo em vista possíveis
aplicações para o pré-sal. Este caso difere significativamente dos arenitos devido a reatividade
do meio poroso em relação ao fluido injetado.
5. Toda a modelagem proposta foi escrita a partir de equações unidimensionais. Expandir a mode-
lagem para duas e/ou três dimensões, mostrando que de fato se reduzem as equações propostas
para o caso unidimensional.
6. Verificar o efeito das concentrações de partícula na velocidade de deslocamento dos finos Us,
tendo em vista a não-linearidade das equações resultantes e as diferentes soluções analíticas
que delas depreendem.
7. Na literatura, é detalhada a influência que os estados de tensão das rochas têm sobre as pro-
priedades do reservatório (porosidade, permeabilidade, saturação de óleo, entre outras). De
semelhante maneira, a aplicação de campos eletromagnéticos pode causar alterações em tais
parâmetros. No entanto, em termos de migração de finos, não há literatura disponível. Haja
vista que a migração de finos é causada pelo desequilíbrio mecânico das partículas e que exis-
tem forças elétricas envolvidas nesse balanço, seria interessante estudar os efeitos das tensões
(propriedades elásticas) e da aplicação desses campos na migração de finos.
154
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167
APÊNDICE A. FORÇAS ATUANTES
SOBRE A PARTÍCULA NA SUPERFÍCIE
DO GRÃO
A Figura 58 mostra a partícula de fino aderida à parede do poro. A partícula na superfície da
rocha está submetida às forças de arraste, de elevação, eletrostática e gravitacional. A Figura 58.a
corresponde ao caso de força eletrostática atrativa e partícula deformável. A Figura 58.b mostra uma
partícula não-deformável presa numa rugosidade da superfície da rocha. As forças eletrostática e
gravitacional tendem a aderir as partículas à superfície, enquanto as forças de arraste e de elevação
tedem a remove-las. As expressões utilizadas para estas forças serão expressas abaixo.
A.1 Força de arraste
A expressão para a força de arraste atuante sobre uma partícula em uma superfície plana é obtida
a partir da solução assintótica das equações de Navier-Stokes deduzidas por O’Neil (1968), sendo
muito utilizada na modelagem de adesão e liberação de partículas em meios porosos (SCHECHTER,
1992; BRADFORD; TORKZABAN, 2008; TORKZABAN et al., 2007; BERGENDAHL; GRASSO,
2000; BEDRIKOVETSKY et al., 2011a; ALTMANN; RIPPERGER, 1997):
Fd = ωπµrs ut |H−rs, (256)
na qual µ é a viscosidade, rs é o raio da partícula, H é metade do comprimento do canal, ut |H−rsé
a velocidade tangencial do fluido no centro da partícula e o fator de arraste ω é igual à 6 ∗ 1,7. O
caso ω = 6 corresponde a formúla de Stokes para a partícula em fluxo uniforme e sem interferência
de fronteiras (LANDAU; LIFSHITZ, 1987). Para os fluxos Hele-Shaw em uma fenda e Poiseuille
em um tubo, as velocidades de fluxo no centro da partícula situada na parede de poro vem dadas
respectivamente por:
168
ut |H−rs=
3rsuH
, (257)
ut |rp−rs=
3rsqπr3
p. (258)
Nas expressões anteriores, u representa a velocidade média através da fenda e q é a vazão imposto
num poro de raio rp.
A.2 Força de Elevação
A força de elevação exercida pelo fluido numa partícula esférica sobre uma superfície plana vem
dada por (SAFFMANN, 1965, 1968; AKHATOV et al., 2008):
Fl = χ
√ρµ(rs ut |H−rs
)3, (259)
na qual o coeficiente de elevação χ vem dado por 81,2 por Kang et al. (2004), enquanto Altmann e
Ripperger (1997) utilizaram-no igual à 0,761; ρ é a densidade do fluido. Expressões similares foram
utilizadas por Akhatov et al. (2008). As referências acima basearam-se em Saffmann (1965, 1968).
A.3 Força Gravitacional
Neste trabalho, por força gravitacional se entende a força resultante entre a força gravitacional
propriamente dita e o empuxo. Esta resultante pode ser escrita como:
Fg =43
∆ρgr3s , (260)
na qual ∆ρ é a diferença entre as massas específicas da partícula e do fluido.
A.4 Forças Eletrostáticas
A força eletrostática total é a derivada da energia potencial total:
Fe =−∂V∂h
, (261)
na qual a eneregia total é a soma dos potenciais de London-van-der-Waals, de dupla camada elétrica
e de Born. O conjunto desses potenciais resulta naquilo que é conhecido como teoria DLVO (DER-
JAGIN; LANDAU, 1941; GREGORY, 1981; ELIMELECH et al., 1995; KHILAR; FOGLER, 1998;
169
ISRAELACHVILI, 2006):
VLVA =−A132
6
[2(1+Z)Z (2+Z)
+ ln(
Z2+Z
)]; Z =
hrs, (262)
VDLR =ε0Drs
4
[2ψ01ψ02 ln
(1+ exp(−κh)1− exp(−κh)
)−(ψ
201 +ψ
202)
ln(1− exp(−2κh))], (263)
VBR =A132
7560
(σLJ
rs
)6[
8+Z
(2+Z)7 +6−Z
Z7
], (264)
V =VLVA +VDLR +VBR, (265)
na quais A132 é a constante de Hamaker, h é a separação entre as superfícies sendo Z seu valor adi-
mensional, ε0 é a permissividade do espaço livre, D é a constante dielétrica do meio, ψ01 e ψ02 são
os potenciais de superfície das partículas e grãos (coletores), respectivamente, σLJ é o diâmetro de
colisão atômica no potencial de Lennard-Jones (LANDAU; LIFSHITZ, 1980). O inverso do compri-
mento de Debye κ pode ser escrito como:
κ =
√e2 ∑viz2
iε0DkBT
, (266)
na qual kB é a constante de Boltzmann, vi é a concentração do i-ésimo íon em solução (longe da
influência das superfícies) definida como número de íons por unidade de volume, zi é a valência do
i-ésimo íon e e é o valor absoluto da carga do elétron e≈ 1,6.10−19C.
Para soluções aquosas em temperatura ambiente (25 oC), a equação (266) simplifica para:
κ = 0,73.108√
∑Cmiz2i , (267)
na qual Cmi é a concentração molar do i-ésimo íon em mol/m3 (ELIMELECH et al., 1995).
A.5 Balanço de Torques
A partir das expressões (256)-(267), é possível expressar o critério para o tamanho crítico de
liberação como o seguinte balanço de torques:
Fd (U,rs) ld (rs) = [Fe (rs)−Fl (U,rs)+Fg (rs)] ln (rs) . (268)
Nessa equação, ld e ln representam, respectivamente, o braço de alavanca para as forças de arrasto e
resultante normal.
170
APÊNDICE B. DETERMINAÇÃO DA
RAZÃO DE BRAÇOS DE ALAVANCA A
PARTIR DA DEFORMAÇÃO DE
CONTATO DA PARTÍCULA
Seguindo os trabalhos de Schechter (1992), Bradford e Torkzaban (2008), Torkzaban et al. (2007),
Bedrikovetsky et al. (2011a), a os braços de alavanca presentes na equação 268 serão determinados
pela deformação elástica da partícula na superfície causada pela força resultante normal. A soma
algébrica das forças eletrostática, de elevação e gravitacional deforma a partícula e cria uma área
que tangencia o contato partícula-grão. É assumido que a partícula roda sobre a fronteira da área
deformada no momento de sua liberação, de sorte que o braço de alavanca para a força normal é igual
ao raio da área de contato gerada pela deformação. A Figura 60.a apresenta a partícula deformada
pela força de adesão e mostra como uma partícula gira no momento da mobilização. A teoria de Hertz
apresenta, com fórmula explicita, para o raio da área de contato que é igual ao braço de alavanca ln.
Essa expressão foi originalmente deduzida por Derjagin e Landau (1941) para o caso de partícula
deformada por força eletrostática e foi utilizada para partículas coloidais aderiadas as paredes de uma
superfície sólida (SCHECHTER, 1992; BRADFORD; TORKZABAN, 2008; TORKZABAN et al.,
2007; BEDRIKOVETSKY et al., 2011a):
ln =3
√(Fe−Fl +Fg)rs
K, ld =
√r2
s − l2n , (269)
nas quais, K é o módulo de Young composto, que depende das razões de Poisson νi e os módulos de
Young Ei da partícula e do grão:
K ≡ 4
3(
1−ν21
E1+
1−ν22
E2
) , (270)
na qual o subscritos 1 e 2 correspondem a partícula e ao grão respectivamente.