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MODELAGEMMATEMÁTICA DE MIGRAÇÃO DE FINOS EM MEIOS POROSOS FERNANDO DIOGO DE SIQUEIRA UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF MACAÉ - RJ MAIO - 2014

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MODELAGEM MATEMÁTICA DE MIGRAÇÃO DE FINOS EM MEIOSPOROSOS

FERNANDO DIOGO DE SIQUEIRA

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF

MACAÉ - RJ

MAIO - 2014

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MODELAGEM MATEMÁTICA DE MIGRAÇÃO DE FINOS EM MEIOSPOROSOS

FERNANDO DIOGO DE SIQUEIRA

Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecno-logia da Universidade Estadual do Norte Flumi-nense, como parte das exigências para obtenção dotítulo de Doutor em Engenharia de Reservatório ede Exploração de Petróleo.

Orientador: Prof. Alexandre Sérvulo Lima Vaz JúniorCo-Orientador: Prof. Pavel Bedrikovetsky

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF

MACAÉ - RJ

MAIO - 2014

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MODELAGEM MATEMÁTICA DE MIGRAÇÃO DE FINOS EM MEIOSPOROSOS

FERNANDO DIOGO DE SIQUEIRA

Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecno-logia da Universidade Estadual do Norte Flumi-nense, como parte das exigências para obtenção dotítulo de Doutor em Engenharia de Reservatório ede Exploração de Petróleo.

Aprovada em 28 de Maio de 2014.

BANCA EXAMINADORA

Dr. André Leibsohn Martins, D. Sc. (PETROBRAS/CENPES)

Dr. Paulo Dore Fernandes, D. Sc. (PETROBRAS/CENPES)

Prof. Dr. Viatcheslav Ivanovich Priimenko, Ph. D. (UENF/CCT/LENEP)

Prof. Dr. Alexandre Sérvulo Lima Vaz Júnior, D. Sc. (UENF/CCT/LENEP) - Orientador

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à minha Familia

ii

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AGRADECIMENTOS

À minha família, por ter me estimulado a seguir em frente e me apoiado sempre.

Ao Prof. Pavel Bedrikovetsky, que mais do que me orientar, me ensinou o significado da pesquisa

científica. Ao Prof. Alexandre Sérvulo, por me orientar nessa caminhada.

À ANP pela concessão da bolsa do programa de recursos humanos MCT-ANP-PRH20 durante o

Doutorado. Ao Programa de Doutorado Sanduíche no Exterior, pela bolsa para estágio em Adelaide,

Austrália, por sete meses.

Ao LENEP, por oferecer a infraestrutura necessária para a realização deste trabalho.

Aos meus colegas Grazione Souza, Leandro Puerari, Stephanie, Jack, Yulong Yang, entre tantos

outros pelo companherismo.

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SUMÁRIO

LISTA DE TABELAS vii

LISTA DE FIGURAS viii

SIMBOLOGIA xvi

RESUMO xix

ABSTRACT xxi

1. INTRODUÇÃO 1

1.1 Escopo do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Organização do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 5

2.1 Filtração Profunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Modelos Contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Modelos Estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Injeção de Água de Baixa Salinidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.1 Inchamento de Argilominerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.2 Migração de Finos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.3 Efeitos da injeção de água de baixa salinidade na saturação de óleo residual . 65

3. LIBERAÇÃO DE PARTÍCULAS OCASIONADA PELA ALTERNÂNCIA DE VELO-

CIDADE DURANTE O TRANSPORTE DE SUSPENSÕES EM MEIOS POROSOS 76

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

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3.2 Modelo matemático para transporte de suspensões com liberação de partículas . . . . 78

3.3 Modelo analítico para injeção de suspensões em vazões alternadas . . . . . . . . . . 83

3.3.1 Solução exata para o problema das concentrações . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3.2 Estrutura da solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3.3 Cálculo do diferencial de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.4 Testes de laboratório e ajuste de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4.1 Descrição do teste de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.4.2 Ajuste do modelo matemático aos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4. MIGRAÇÃO LENTA DE PARTÍCULAS LIBERADAS SOBRE A SUPERFÍCIE DE

MEIOS POROSOS 103

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2 Descrição da liberação e transporte de finos - introdução da função de retenção máxima109

4.3 Equações básicas para liberação e transporte de coloides em meios porosos . . . . . 116

4.4 Solução analítica para fluxo unidimensional de suspensão com liberação de partículas

e exclusão pelo tamanho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.4.1 Solução exata durante a primeira velocidade de injeção, U =U1 . . . . . . . 118

4.4.2 Solução exata para U =Un em caso de estabilização de impedância na injeção

de velocidade U =Un−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.5 Determinação dos parâmetros do modelo a partir de experimentos . . . . . . . . . . 124

4.6 Discussão dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5. COMPARAÇÃO DA TEORIA DE MIGRAÇÃO LENTA DE FINOS COM TESTES

COM PONTOS DE PRESSÃO INTERMEDIÁRIOS 131

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.2 Física da mobilização, migração e captura de finos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.3 Testes de laboratório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.3.1 Equipamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.3.2 Meio poroso e fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.3.3 Metodologia dos testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

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5.4 Resultados laboratoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.5 Solução exata para o modelo de liberação e migração de finos com velocidade cres-

cente e constante por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.6 Comparação entre os dados experimentais e o ajuste de dados . . . . . . . . . . . . . 145

5.7 Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6. CONCLUSÕES 150

6.1 Conclusões para o capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.2 Conclusões do Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.3 Conclusões do Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6.4 Conclusões Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Trabalhos Publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Trabalhos Submetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8. RECOMENDAÇÕES 153

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 154

APÊNDICE A. FORÇAS ATUANTES SOBRE A PARTÍCULA NA SUPERFÍCIE DO

GRÃO 167

A.1 Força de arraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A.2 Força de Elevação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

A.3 Força Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

A.4 Forças Eletrostáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

A.5 Balanço de Torques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

APÊNDICE B. DETERMINAÇÃO DA RAZÃO DE BRAÇOS DE ALAVANCA A PAR-

TIR DA DEFORMAÇÃO DE CONTATO DA PARTÍCULA 170

vi

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Resumo das expressões de caracterização do meio poroso através do modelo de tubo

com restrição. Adaptado de Chan et al. (2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Tabela 2: Problemas típicos causados por argilominerais autigênicos. . . . . . . . . . . . . . 49

Tabela 3: Resultados dos testes de migração de finos em condições de laboratório reportados

em (BYRNE; WAGGONER, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Tabela 4: Resultados dos testes de migração de finos em condições de produção reportados

em (BYRNE; WAGGONER, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Tabela 5: Resumo dos resultados de Morrow et al. (1998), adaptados desta mesma referência. 66

Tabela 6: Mecanismos de associação entre grupos funcionais orgânicos e minerais presentes

no solo (adaptado de Sposito (apud LAGER et al., 2006)). . . . . . . . . . . . . . . 71

Tabela 7: Equações para as concentrações em suspensão e retida durante a injeção de suspen-

são a vazões alternadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Tabela 8: Equações para a concentração retida média para diferentes estágios da injeção. . . . 94

Tabela 9: Dados do teste e resultados da caracterização do sistema de adesão-liberação nas

duas vazões de teste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Tabela 10: Valores dos coeficientes de filtração e dano à formação para os testes BS013 e

BS012 (OCHI; VERNOUX, 1998). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Tabela 11: Valores de fator de vagarosidade, concentrações de partículas liberadas e tempos

de estabilização obtidos do ajustes dos testes BS012 e BS013 (OCHI; VERNOUX,

1998). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Tabela 12: Condições gerais de água e testemunho para o teste 12. . . . . . . . . . . . . . . . 135

Tabela 13: Tempos de estabilização para diferentes testes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Tabela 14: Valores dos parâmetros obtidos a partir do ajuste do teste 12. . . . . . . . . . . . . 145

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Esquema de injeção de água de baixa qualidade/salinidade em reservatórios de pe-

tróleo (Vaz Júnior, 2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Figura 2: Esquema geométrico do elemento unitário e do envelope de fluido que o envolve,

conforme utilizado no trabalho de Ramarao et al. (1994). As linhas de fluxo estão

grafadas como setas (RAMARAO et al., 1994). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Figura 3: Influência do diâmetro das partículas (eixo horizontal) na eficiência de filtração

(eixo vertical). A linha cheia representa a soma da eficiência do mecanismo Brow-

niano com a eficiência da composição dos mecanismos de interceptação e impac-

tação. A curva tracejada é a soma das eficiências dos mecanismos Browniano e de

interceptação direta. Os círculos cheios representam os resultados da simulação.

Extraído de Ramarao et al. (1994). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Figura 4: Empacotamento cúbico de esferas. Retirado de Vitthal e Sharma (1992). . . . . . . 12

Figura 5: Outros tipos de empacotamento utilizados nas simulações de Vitthal e Sharma (1992):

(a) empacotamento cúbico centrado no corpo (BCC), (b) empacotamento cúbico

centrado na face (FCC) e (c) empacotamento hexagonal fechado, aqui mostrado

com algumas partículas menores depositadas. Extraído de Vitthal e Sharma (1992). 13

Figura 6: As formas de tubo com restrição utilizadas em (CHANG et al., 2003): a) restrição

parabólica, b) restrição sinusoidal e c) restrição hiperbólica. Retirado de Chang et

al. (2003). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Figura 7: Tipos de depósitos estudados por Frey et al. (1999). Em círculo, depósitos de inva-

são de garganta. Os depósitos de invasão de poro são observados no topo dos grãos.

O fluxo se dá de cima para baixo (FREY et al., 1999). . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Figura 8: Elemento de Meio Poroso (adaptado de Herzig et al. (1970)). . . . . . . . . . . . . 16

Figura 9: Ajuste de histórico e previsão de impedância para poços utilizando o modelo clás-

sico de perda de injetividade. A impedância é grafada no eixo vertical. No eixo

horizontal está o tempo em volumes porosos injetados. O meio poroso de referência

para o cálculo deste tempo se estende do raio do poço até o raio externo. Retirado

de Bedrikovetsky et al. (2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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Figura 10: Simulação de perfis de deposição de partícula contra dados experimentais. Fração

volumétrica de partículas capturadas na rocha no eixo vertical. No eixo horizontal

tem-se a profundidade de invasão em milímetros. As curvas com marcadores são

os dados experimentais, conforme mensurados por microscópio eletrônico de varre-

dura (SEM) ou tomografia de difração de raios x (synchrotron). Retirado de Boek

et al. (2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Figura 11: Esquema da partícula na iminência de ser liberada, mostrando as forças atuantes

sobre ela. Retirado de Siqueira (2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 12: Exemplo de cálculo de concentração máxima retida em função da velocidade de

fluxo no meio poroso realizado por Bedrikovetsky et al. (2011a) (extraído dessa

mesma referência). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 13: Teste laboratorial (losangos) ajustado pela teoria proposta (curva suave). A quanti-

dade J no eixo vertical pode ser encarada como a razão de permeabilidade kmed/k0,

com kmed sendo a permeabilidade média do meio poroso. Extraído de Bedrikovetsky

et al. (2011a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 14: Previsão de dano à formação em geometria radial usando a teoria de Siqueira (2010),

Bedrikovetsky et al. (2011a). Neste caso, a quantidade J do eixo vertical é encarada

como a razão entre ∆P/∆P0, onde ∆P é o diferencial de pressão do poço e da formação

e ∆P0 é esse mesmo diferencial no início da injeção. Extraído de Siqueira (2010). . 31

Figura 15: Modelo geométrico de meio poroso como um conjunto de capilares paralelos alter-

nados por câmaras de mistura. a) Corte do meio poroso ao longo da direção do fluxo

e b) corte em direção ortogonal ao fluxo Bedrikovetsky (2008). . . . . . . . . . . . 32

Figura 16: Esquema de uma câmara de mistura (BEDRIKOVETSKY, 2008). . . . . . . . . . 32

Figura 17: Retenção de partículas na entrada do poro devido à exclusão pelo tamanho e dentro

dele através de captura elétrica (BEDRIKOVETSKY, 2008). . . . . . . . . . . . . 33

Figura 18: Esquema da geometria da secção transversal ortogonal ao fluxo no meio poroso.

Retirado de Bedrikovetsky (2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 19: Rede triangular utilizada nas simulações de Chan et al. (2005). . . . . . . . . . . . 37

Figura 20: Janela de controle das simulações de Chan et al. (2005). Retirado de Chan et al.

(2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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Figura 21: Curvas teóricas de razão de permeabilidade em função do tempo e permeabilidade

inicial (k/k0) para os dois tipos de curva de interação DLVO. Curva cheia: intera-

ção DLVO com mínimo secundário e considerando movimento Browniano. Curva

tracejada: interação DLVO com mínimo secundário sem movimento Browniano.

Curva traço-e-ponto: interação DLVO sem mínimo secundário e com movimento

Browniano. Curva pontilhada: interação DLVO sem mínimo secundário e sem mo-

vimento Browniano (CHAN et al., 2005). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 22: Redes de percolação utilizadas em (CHANG; CHAN, 2006): a) rede quadrada mo-

dificada e b) rede em colmeia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 23: As três configurações de ligação de poro possíveis, em termos de seleção de ligação

de saída da partícula: (a) ambas as ligações de saída estão bloqueadas, (b) uma

ligação bloqueada e (c) nenhuma ligação bloqueada. Adaptado de Lee e Koplik

(2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Figura 24: Difratogramas de raio X para teste de inchamento de argila de amostras de mont-

morilonita com cátions Ca+2 em solução de Cloreto de Cálcio em diferentes con-

centrações. Notar que a posição do pico dos difratogramas praticamente coincide

em diferentes concentrações, evidenciando aparente insensibilidade à concentração

da solução (extraído de Zhou et al. (1996)). Razão entre volume de solução e vo-

lume de argilominerais presentes nela Wwater/Wclay = 5. No eixo horizontal, temos

o ângulo da medição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 25: Difratogramas de raios X para amostra com cátions intercamada Na+ imersa em

solução de NaCl à diversas concentrações. Notar que a posição dos picos muda

conforme a concentração de cloreto de sódio, evidenciando a sensibilidade do in-

chamento à essa variável (extraído de Zhou et al. (1996)). Razão entre volume de

solução e volume de argilominerais presentes nela Wwater/Wclay = 5. No eixo hori-

zontal, temos o ângulo da medição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 26: Diagrama de inchamento de montmorilonita no espaço composicional NaCl/CaCl2(extraído de Zhou et al. (1996)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 27: Esquema do micromodelo utilizado por Muecke (1979) para observar o movimento

de finos no meio poroso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 28: Conteúdo mineralógico médio das partículas de finos presentes em cinco formações

da Costa do Golfo dos Estados Unidos (retirado de Muecke (1979)). . . . . . . . . 50

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Figura 29: Concepção do meio poroso como conjunto de capilares paralelos temponáveis e

não-tamponáveis. Nos primeiros, ocorre a formação de pontes (depósitos de tam-

ponamento) e nos outros ocorrem depósitos de superfície (extraído de Gruesbeck e

Collins (1982)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 30: Influência da salinidade no dano à formação, demonstrando o conceito de concen-

tração crítica de sal. A amostra é um arenito Berea, com 1 polegada de diâmetro e

1 polegada de comprimento. A vazão de injeção é de 100 cm3/h (adaptado de Khilar

e Fogler (1983)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 31: Influência da direção do fluxo no dano à formação. SF - Água salgada injetada para

frente, SR - Água salgada na direção reversa, FF - Água doce (pouco salina) injetada

para frente, FR - Água doce na direção reversa (adaptado de Khilar e Fogler (1983)). 54

Figura 32: Influência da taxa de variação de salinidade, a) Taxa de variação de 0,125 h−1

(abaixo do valor crítico), b) Taxa de variação de 1,316 h−1 (acima do valor crí-

tico). Círculos representam razão de permeabilidade enquanto triângulos represen-

tam concentraçoes em suspensão no efluente. A taxa crítica de variação de salini-

dade nestas amostras na velocidade de fluxo superficial (25,6 cm/h) desses dois testes

é de 0,40 h−1 (adaptado de Khilar et al. (1983)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 33: Teste típico de migração de finos por injeção de água de baixa salinidade em arenito

Berea reportado em (VALDYA; FOGLER, 1992). (a) Dados de pH do efluente e

razão de permeabilidades. A linha tracejada corresponde ao início da injeção de

água doce. Os triângulos se referem ao pH do efluente. Os círculos correspondem

a razão entre permeabilidade atual e inicial k/k0. (b) Dados de pH e condutivi-

dade elétrica normalizada. Os quadrados correspondem à condutividade elétrica

enquanto os círculos correpondem ao pH. Neste conjunto de dados, foi subtraído o

período de injeção anterior ao de injeção da água doce. Retirado de Valdya e Fogler

(1992). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 34: Potenciais Zeta medidos em caulinita em função do pH, para diversos cátions. Re-

tirado de Valdya e Fogler (1992). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 35: Gráfico de potencial de interação em função da distância de separação para várias

condições de pH. Retirado de Valdya e Fogler (1992). . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 36: Ajuste do modelo apresentado em (VALDYA; FOGLER, 1992) para um teste de

redução brusca de salinidade. Retirado de Valdya e Fogler (1992). . . . . . . . . . 61

xi

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Figura 37: Aplicação do modelo modificado de liberação de partículas para cálculo do perfil de

deposição de finos. a) Gráfico da quantidade máxima de finos retida (equação 144),

em linha tracejada e o perfil de deposição por exclusão pelo tamanho em função da

velocidade, em linha cheia. Notar que esse perfil é gerado pela diferença entre σa0 e

σa (U). b) Construção do perfil de deposição em função da distância radial do poço. 63

Figura 38: Histórico de vazão de óleo pelo tempo em anos, comparando o tratamento sem ácido

fluobórico (MATRIX RMA) e o tratamento com ácido fluobórico (FLUOBORIC

ACID). Retirado de Colmenares et al. (1997). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 39: Efeito da Salinidade da Água na Saturação de Óleo Residual para uma amostra do

Talude Norte do Alasca, adaptado de Patil et al. (2008). . . . . . . . . . . . . . . . 67

Figura 40: Comparação entre a saturação residual de amostra com água de salinidade próxima

a do reservatório e água de lago, adaptado de Patil et al. (2008). . . . . . . . . . . . 67

Figura 41: Sequência do teste de injeção de traçador (adaptada de Seccombe et al. (2008)). . . 68

Figura 42: Teste de injeção de traçador idealizado. As concentrações estão fora de escala (adap-

tado de Seccombe et al. (2008)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Figura 43: Resultados do teste de injeção de traçador para três poços (adaptado de Seccombe

et al. (2008)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Figura 44: Gráfico de recuperação adicional pela injeção de água pouco salina contra con-

centração de caulinita, evidênciando forte correlação (adaptado de Seccombe et al.

(2008)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Figura 45: Mecanismos suscetíveis à troca de cátions durante a injeção de água pouco salina:

(a) Troca de Cátion, (b) Ponte de Cátion, (c) Ligação Direta e (d) Ponte de Água. . 71

Figura 46: Partículas excluídas por tamanho e aderidas as paredes dos poros durante o fluxo de

suspensões em meios porosos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Figura 47: Concentração máxima retida σcr versus velocidade U para 3 valores da constante de

Hamaker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Figura 48: Forma da função de retenção máxima versus velocidade e salinidade calculadas a

partir de testes de Lever e Dawe (1984). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Figura 49: Histórico de injeção sequencial de suspensão à velocidades U1, U2 e U1. a) Regime

de fluxo de três velocidades; b) Concentração do efluente; c) Histórico de diferencial

de pressão; d) Variação de impedância durante o teste. . . . . . . . . . . . . . . . . 85

xii

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Figura 50: Fluxo de suspensão com duas mudanças de vazão nos momentos tD1e tD2; a) Mo-

vimentação das frentes de concentração no plano (xD, tD), b) Perfis de retenção nos

momentos tD1, tD2 e t1, t2 . . . t8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Figura 51: Dados experimentais de impedância para o teste de vazões alternadas (BEDRIKO-

VETSKY et al., 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Figura 52: Dados obtidos a partir do ajuste de dados: a) Comparação da impedância medida

com a ajustada; b) Concentração do efluente prevista (não medida no teste). . . . . 99

Figura 53: Estudo de sensibilidade da impedância com respeito à a) coeficiente de dano à for-

mação β , b) coeficiente de filtração λ ′, c) concentração máxima de retenção σcr (U2). 102

Figura 54: Variação temporal dos parâmetros medidos e calculados durante os testes com ve-

locidades escalonadas (constante por partes) durante o teste BS012 (OCHI; VER-

NOUX, 1998): a) declínio de permeabilidade com o tempo (em volumes porosos);

b) aumento de velocidade com o tempo; c) decréscimo do raio das partículas mobi-

lizadas com o aumento de velocidades; d) Fator de vagarosidade. . . . . . . . . . . 104

Figura 55: Variação temporal dos parâmetros medidos e calculados durante os testes com ve-

locidades escalonadas (constante por partes) durante o teste BS013 (OCHI; VER-

NOUX, 1998): a) declínio de permeabilidade com o tempo (em volumes porosos);

b) aumento de velocidade com o tempo; c) decréscimo do raio das partículas mobi-

lizadas com o aumento de velocidades; d) Fator de vagarosidade. . . . . . . . . . . 105

Figura 56: Liberação e exclusão por tamanho de partículas de finos causam o declínio de per-

meabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Figura 57: Grandes e finas “folhas” de caulinita tampona as gargantas de poro: a) Imagem de

microscópio eletrônico de varredura dos “livros” de caulinita na superfície do grão;

b) esquema para a liberação e exclusão pelo tamanho. . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Figura 58: A distribuição de partículas de tamanhos diferentes em mono-camada na superfície

do grão e as forças atuantes sobre ela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Figura 59: A distribuição de partículas de tamanhos diferentes em mono-camada na superfície

do grão e as forças atuantes sobre ela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Figura 60: Forma da função de retenção máxima para as partículas de finos aderidas em mo-

nocamada na superfície dos grãos: a) distribuição log-normal com mesmo coefici-

ente de variação (CV) e diferentes tamanhos médios de partícula; b) distribuição

log-normal com mesmo tamanho médio de partícula e diferentes coeficientes de va-

riação; c) esquema sobre a determinação da quantidade de finos liberada a partir da

curva de função de retenção máxima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

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Figura 61: Permeabilidade estabilizada em função da velocidade: a) BS012 e b) BS013. . . . . 114

Figura 62: Ajuste do diferencial de pressão ao longo do testemunho pelo modelo matemático

para os testes: a) BS012 e b) BS013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Figura 63: Solução do problema de migração de finos em velocidades elevadas: a) trajetória

das frentes e linhas características no plano (X ,T ); b) perfis de concentração em

suspensão em três momentos distintos; c) perfis de concentração retida em três mo-

mentos distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Figura 64: Históricos de concentração de efluente C, concentração retida Sse diferencial de

pressão adimensional J ao longo do testemunho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Figura 65: Forma da função de retenção crítica σcr (U) para os testes BS012 (figura a) e BS013

(figura b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Figura 66: Histograma dos finos móveis para os testes BS012 (a) e BS013 (b). . . . . . . . . . 128

Figura 67: Esquema dos equipamentos de laboratório utilizados nos testes de migração de finos

em meios porosos: 1-fluido injetado, 2-bomba, 3-coreholder com testemunho, 4-

fluido produzido; 5,6,7-transdutores de pressão, 8-sistema de aquisição de dados,

9-Computador com LabView, 10-bomba manual para manutenção de pressão de

confinamento, 11-manometro, 12-16-válvula de controle. . . . . . . . . . . . . . . 134

Figura 68: Equipamentos utilizados nos testes de migração de finos em meios porosos. . . . . 135

Figura 69: Análise dos efluentes líquidos: a) medidas de condutividade; b) finos residuais sub-

metidos à análise de difração de raios-X após evaporação de água produzida. . . . . 138

Figura 70: Distribuição por tamanho dos finos produzidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Figura 71: Resultados da análise de difração de raios-X dos finos oriundos do fluido produzido. 139

Figura 72: Dados laboratoriais do teste 12: a) histórico de impedância; b) diferenciais de pres-

são ao longo do testemunho e de suas seções em função dos volumes porosos inje-

tados (VPI). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Figura 73: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a

vazão de 10 mL/min. Medidas referentes ao teste 12. . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Figura 74: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a

vazão de 20 mL/min. Medidas referentes ao teste 12. . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Figura 75: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a

vazão de 30 mL/min. Medidas referentes ao teste 12. . . . . . . . . . . . . . . . . 143

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Figura 76: Permeabilidade estabilizada em função da velocidade de fluxo para o teste 12, con-

forme obtida a partir dos dados de diferencial de pressão ao longo do testemunho e

de suas secções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Figura 77: Tempos de estabilização de permeabilidade em função da velocidade para 16 testes. 144

Figura 78: Ajuste de dados de impedância para o teste 12. Quadrados: dados experimentais

para todo o testemunho. Círculos: dados referentes a impedância medida entre a

face de injeção e um ponto distante desta por 2.9 cm (total - seção 3). Curvas azuis:

ajuste do modelo. Curva vermelha tracejada: velocidade de fluxo. . . . . . . . . . 146

Figura 79: Curva de retenção máxima reconstituída a partir do teste 12. . . . . . . . . . . . . 146

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SIMBOLOGIA

Alfabeto Latinoa Parametro da expresão kp (σp)

A Área de seção transversal, m2

A132 Constante de Hamaker, J

A Aceleração aleatória, m/s2

b Raio do envelope de fluido, m

B Coeficiente de captura de partículas

B Fator volume de formação, m3 condições reservatóriom3 condições padrão

c Concentração de partículas em suspensões

cs Fator de correção de Cunningham

d Profundidade a partir de uma superfície de referência (Datum), m

Dm Coeficiente de difusão molecular do sal, m2/s

D Constante dielétrica do meio

f Fração de capilares tamponáveis

F Força, N

Fn Força normal à parede do poro, N

g Aceleração da gravidade, m/s2

H Altura do canal

H(y) Função passo unitário de heavside

h Separação entre rocha e partícula, m

k Permeabilidade absoluta, mD

kdet Coeficiente de liberação de partículas

kmed Permeabilidade média, mD

kr Permeabilidade relativa

Kd Coeficiente de distribuição do componente sal entre a fase aquosa e a rocha

m Massa, Kg

mJ Coeficiente da reta ângular da reta de Impedância

n Densidade de capilares por área de seção transversal, m−2

P Pressão, Pa

Pcow Pressão capilar entre óleo e água, Pa

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q Vazão volumétrica do poço, m3/s

qc Termo de sumidouro/fonte de sal por unidade de volume da formação, Kg/m3

rs Raio de partícula, m

R Coeficiente de liberação de partículas

Rv Termo da Equação de Langevin referente à Aceleração Aleatória, m/s

Rim Fator de recuperação durante a embebição espontânea

Rw f Fator de recuperação durante a injeção de água

S Saturação

STC Condições padrão (standart)

t Tempo, s

T SD Teor total de sólidos dissolvidos

v Velocidade da partícula, m/s

V Volume, m3 ou Módulo do vetor velocidade, m/s

VLVA Potencial de Interação de London - van der Waals, J

VDLR Potencial de Dupla Camada Elétrica, J

VBR Potencial de Born, J

V Velocidade Darcy (aparente), m/s

u Densidade volumétrica de fluxo (unidimensional), m/s

u Vetor velocidade do fluido, m/s

x Posição do eixo cartesiano x

x Vetor posição

Xc Fração de massa do componente sal na fase aquosa

Xw Fração de massa do componente água na fase aquosa

zi Valência do íon

Z Separação normalizada entre partícula e rocha

Alfabeto Grego

α Constante empírica

β Coeficiente de dano à formação, Constante empírica

βc f Coeficiente de fricção, 1/s

χ Coeficiente da força de elevação

ψ Potencial eletrostático de superfície, V

δ ,δ (t) Constante empírica, Função delta de Dirac (Função impulso)

∆x Espessura de seção transversal, m

∆t Intervalo de tempo, s

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ε Constante empírica

ε0 Permissividade do espaço livre (vácuo), C2/N.m2

φ Porosidade efetiva

γ Tensão interfacial entre óleo e água, N/m

η Constante empírica

λ ′ Função/Coeficiente de filtração, 1/m

λ Coeficiente de filtração adimensional

µ Viscosidade, Pa.s

ω Coeficiente da força de arraste

ρ Massa específica, kg/m3

σ Concentração de partículas depositadas

σLJ Diâmetro de colisão de Lennard-Jones, m

ρdg Massa específica do gás dissolvido no óleo em condições de reservatório, kg/m3

ρo Massa específica do óleo, excluso o gás dissolvido, em condições de reservatório, kg/m3

τ Tortuosidade do meio poroso

Subscritosa Aderido ao poro

c f Arraste do fluido

cr Crítica (Máxima)

D Adimensional

e Elétrica

e f luente Mensurado no líquido efluente da injeção

ext Externa

HiSal Alta salinidade

i Inicial ou original

l Elevação hidrodinâmica

LoSal Baixa salinidade

np Não-tamponável

o Óleo

or Óleo residual

p Tamponável

r Aleatório

R Grãos da rocha/meio poroso

w Água

β Fase β

xviii

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RESUMO

A migração de finos é uma das maiores causas de dano à formação na produção de óleo e gás.

Este fenômeno foi considerado “responsável” pelo declínio de produtividade em reservatórios mal

consolidados, com alto teor de argilominerais e/ou de óleo pesado. Além disso, é comprovado que

a migração de finos é a principal causa de declínio de injetividade durante a injeção de água de

composição distinta daquela da água conata. Também foi demonstrado que o aumeno do varrido e da

recuperação final durante a injeção de água inteligente (smart waterflooding) em arenitos é devido a

mobilização, migração e exclusão por tamanho dos finos naturais do reservatório.

Diversas tecnologias de prevenção, mitigação e remoção de dano à formação relacionado a migra-

ção de finos foram desenvolvidas indústria petrolífera moderna. Em contrapartida, muitos métodos

de aproveitamento de migração de finos para melhoria da recuperação de óleo e gás foram propostos

e publicados. A decisão de implementação dos métodos mencionados acima é baseada em modelos

matemáticos robustos e confiáveis que utilizam dados de laboratório. No entanto, o modelo atual para

migração de finos em meios porosos possui muitas falhas: o modelo exibe reposta com atraso para

a mudança abrupta de velocidade e composição de fluido, enquanto diversos trabalhos laboratoriais

mostram resposta instantânea; a adesão de finos é descrita pela teoria fundamental de filtração pro-

funda, equanto o modelo de liberação é descrito pelas equações fenomenológicas de cinética linear

com coeficientes empíricos que não podem ser previstos teoricamente.

Portanto, o problema de criação de um modelo matemático de migração de finos em meios poro-

sos baseado em dados de laboratório que seja robusto e confiável é um problema importante para a

teoria de fluxo em meios porosos, com aplicações básicas na prática de engenharia de reservatórios.

A tese apresentada contém uma introdução da função de retenção máxima para a modelagem da

liberação de finos. Métodos teóricos de predição baseados em física na micro-escala e de determi-

nação laboratorial para a função de retenção máxima foram desenvolvidos. O tratamento de dados

laboratoriais e a comparação com as previsões teóricas exibem excelente concordância, o que valida

o modelo de liberação baseado na função de retenção máxima. Também se concluí que a função de

retenção máxima é uma propriedade fundamental do meio poroso e da suspensão em fluxo.

Esta tese contém a descoberta de que uma fração significativa dos finos mobilizados deslocam-se

ao longo da superfície da matriz porosa com velocidade que é significativamente menor que a do fluido

que a transporta. Esta descoberta também foi implementada no modelo matemático e foi confirmada

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com clareza na comparação com experimentos laboratoriais. O desenvolvimento e validação do novo

modelo matemático baseado nas noções de função máxima de retenção e velocidade de deslocamento

é a principal realização da tese apresentada.

Palavras chave: Suspensões; Colóides; Liberação de Partículas; DLVO; Migração de Finos;

Filtração; Escoamento em Meio Poroso; Suspensão; Transporte de Fluidos com Sólidos

xx

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ABSTRACT

Fines migration is one of the major causes for formation damage in oil and gas production. This

phenomenon has been found for being “responsible” for productivity decline in low consolidated,

high clay content or heavy oil reservoirs. Besides, fine migration has proven to be the main rea-

son for injectivity decline during injection of water with composition that differs from the connate

water composision. Also, the increase of sweep efficency and final recovery during so-called smart

waterflooding in sandstones is due to mobilisation, migration and straining of natural reservoir fines.

Numerous tecnologies for prevention, mitigation and removal of the fines-migration-related for-

mation damage have been developed in the modern petroleum industry. On the contrary, several

methods to take advantageof fines migration for improvement of oil and gas recovery have been

recently proposed and widely published. The decision making of implementation of the above men-

tioned tecnologies is based on reliable robust laboratory-based mathematical models. However, the

current mathematical model for fines migration in porous media has several shortcomings: the model

exhibits the delayed response to abrupt change in velocity and carrier fluid composition, while nu-

merous laboratory works exhibit the instant response; fines attachment is described by a fundamental

deep-bed filtration theory, while the detachment model is described by the phenomenological equa-

tions of linear kinetics with empircal coefficients that cannot be predicted theoretically.

Therefore the problem of creation of a valid and robust laboratory-based mathematical model of

fines migration in porous media is an important problem for theory of flow in porous media with basic

applications in practical reservoir engineering.

The presented thesis contains an introduction of the so-called maximum retention function that

models the fines detachment. Both theorethical method for maximum retention function prediction

from microscale physics and for its determination from the laboratory tests have been developed.

Treatment of the laboratory data and comparison with the theoretical prediction exhibts excellent

agreement, which validates the detachment model based on maximum retention function. It is also

concluded that the maximum retention funcion is a fundamental property of porous media and flowing

suspension.

This thesis contains a finding that the significant fraction of mobilized fines drift along the porous

matrix surface with velocity that is significantly lower that the carrier fluid velocity. This finding

was also implemented into the mathematical model and was clearly confimed by comparison with

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laboratory experiments. The development and validation of a new mathematical model based on the

notions of maximum retention function and drift velocity is the main achievement of the presented

thesis.

Keywords: Suspension; Colloids; Particle detachment; DLVO; Fines Migration; Filtration; Flow

in Porous Media; Suspension Flow; Fluid Transport with Solids

xxii

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1

1. INTRODUÇÃO

1.1 Escopo do problema

O transporte de suspensões e emulsões em meios porosos ocorre em numerosos processos das

engenharias ambiental, química, petrolífera e civil. O fluxo de partículas sólidas e líquidas com

captura e liberação de partículas pela rocha acontece na propagação de vírus, bactérias e gotículas

oleosas em aquíferos, filtragem industrial de líquidos e gases, cromatografia de exclusão por tamanho,

injeção de água do mar/produzida em campos de petróleo, invasão do filtrado na formação durante

a perfuração de poços, migração de finos em reservatórios de petróleo e em aquíferos, entre outros

(ENTOV E MIRZHADZHANZADE, 1990; ELIMELECH et al., 1995; KHILAR E FOGLER, 1998;

CIVAN, 2007; FRIMMEL et al., 2007). A importância desse transporte na indústria do petróleo

advém, via de regra, da redução que a captura de partículas implica a permeabilidade. A redução de

permeabilidade de uma formação produtora de petróleo é chamada de dano à formação. O diagnóstico

preciso da causa do dano à formação é vital para a tomada de decisão sobre o método de remediação

desse dano em poços. A previsão da migração de finos em reservatórios de petróleo é fundamental

para previsão do comportamento da injeção de água de baixa salinidade como método de recuperação

avançada.

A Figura 1 mostra um esquema típico de injeção de água de baixa qualidade/salinidade em um

poço injetor. Por água de baixa qualidade entende-se aquela cuja injeção ocasiona perda de injeti-

vidade, seja pela captura das partículas durante seu transporte ao longo do meio poroso, seja pela

formação e crescimento de reboco externo. Por água de baixa salinidade, entende-se aquela cuja a

concentração dos sais seja menor que a mínima para a mobilização de finos (KHILAR; FOGLER,

1983). A Figura 1 mostra um esquema de injeção dessas águas. Conforme o deslocamento do óleo se

processa, as partículas presentes na água são capturadas. No caso da água de baixa qualidade, ocorre a

captura das partículas em suspensão, enquanto no caso da baixa salinidade as partículas são liberadas

pela matriz do meio poroso e posteriormente capturadas. O que há em comum entre estes dois pro-

cessos é a captura e liberação de partículas no meio poroso. A retenção e liberação de partículas são

muito relevantes também nos processos ambientais, nos quais a concentração das partículas não pode

exceder um valor de segurança. Para a produção de petróleo a alteração de permeabilidade é mais

importante, devido aos seus efeitos na injetividade e produtividade dos poços. A modelagem mate-

mática de filtração profunda levando em conta a liberação e captura de partículas é parte essencial do

planejamento e projeto dos processos acima mencionados.

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2

Figura 1: Esquema de injeção de água de baixa qualidade/salinidade em reservatórios de petróleo(Vaz Júnior, 2009).

A abordagem mais comum utilizada para avaliar a migração, retenção e liberação de partículas

em estudos de laboratório e de campo é a equação de balanço de massa das partículas com uma ci-

nética de liberação e captura. A cinética de captura e liberação é dotada de dois componentes: um

termo referente a captura de partículas (sumidouro) e outro refente a liberação (fonte) (SCHIJVEN E

HASSANOZADEH, 2000; LOGAN, 2001; BRADFORD et al., 2003; FOPPEN E SCHIJVEN, 2006;

TUFENKJI, 2007). Nessa abordagem, o termo de captura é proporcional ao fluxo advectivo de par-

tículas (produto da concentração em suspensão com a velocidade); a constante de proporcionalidade

é chamada de coeficiente de filtração. O termo de liberação é proporcional à concentração retida; a

constante de proporcionalidade é chamada de coeficiente da taxa de liberação. Quando se adiciona

a essa abordagem uma equação de micro-nível que permita a previsão do coeficiente de filtração,

obtém-se o que é chamado de teoria clássica da filtração. A teoria avançada para a dependência do

coeficiente de filtração com as interações partícula-grão, partícula-partícula, velocidade de fluxo, di-

fusão Browniana e sedimentação gravitacional já se encontram desenvolvidas (NABZAR et al., 1996;

CHAUVETEAU et al., 1998; TUFENKJI E ELIMELECH, 2004a; ROUSSEAU et al., 2008), mas o

coeficiente de liberação é uma constante empírica determinada por ajuste de dados experimentais.

Outro problema do modelo de liberação-adesão advectivo-difusivo com a cinética de liberação é a

estabilização assintótica da concentração retida e da permeabilidade quando o tempo tende a infinito,

em contraponto com a observação de que a liberação de finos devido a aumento abrupto de gradiente

de pressão ou diminuição súbita de salinidade ocorre quase instantaneamente (KHILAR E FOGLER,

1998; MIRANDA E UNDERDOWN, 1993). Os testes de laboratório com aumento rápido de vazão

mostram resposta instantânea de permeabilidade (OCHI E VERNOUX, 1998).

Há muito foi reconhecido que a liberação de partículas ocorre se o equilíbrio mecânico das par-

tículas retidas no reboco interno não é respeitado (SCHECHTER, 1992; RAHMAN et al., 1994;

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CIVAN, 2007; BRADFORD; TORKZABAN, 2008). As forças, atuantes na partícula alocada sobre

o reboco interno, são: eletrostática, de arraste, de elevação e gravitacional. Alguns autores conside-

ram um balanço de forças entre a força de arraste, atuante na partícula pelo fluido em movimento no

entorno, e a força de fricção com um coeficiente de Coulomb empírico (CIVAN, 2007). Outra abor-

dagem incluí o balanço de momento das forças (JIAO E SHARMA, 1994; FREITAS E SHARMA,

2001). As duas abordagens são equivalentes.

Ainda sim, a equação de advecção-difusão com cinética de liberação-captura não reflete o equi-

líbrio mecânico da partícula, não havendo relação entre o termo de liberação e este equilíbrio. Um

modelo matemático em macro-escala para o transporte de suspensões em meios porosos com libera-

ção de partículas devido a perturbação no equilíbrio mecânico da partícula não se encontra disponível

na literatura.

1.2 Objetivos

O objetivo principal deste trabalho é desenvolver e validar um modelo matemático de mobilização

e migração de finos em arenitos levando em consideração observações laboratoriais de mobilização

instantânea de finos e velocidade baixa de deslocamento de finos perto das paredes de poro. Os

objetivos específicos da tese são:

1. Desenvolver um modelo matemático com função de retenção máxima para deposição em mo-

nocamadas e policamadas, com distribuição de finos sobre tamanho.

2. Obter solução analítica para mobilização de finos durante da alteração de velocidade.

3. Validar a concepção de função de retenção máxima pela comparação entre modelo analítico e

dados experimentais.

4. Analisar os dados de transporte de finos recentemente mobilizados e avaliar a velocidade de

deslocamento.

5. Introduzir a velocidade de deslocamento diferenciada das partículas no modelo matemático de

migração de finos e validar este modelo pela comparação com dados experimentais.

1.3 Organização do Texto

No Capítulo 2 será feita uma breve revisão bibliográfica sobre a filtração profunda e a injeção de

água de baixa salinidade. No Capítulo 3, será descrita a aplicação da função de retenção máxima para

explicar os testes laboratoriais em filtração profunda realizados com vazões alternadas. No Capítulo

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4, será feita a inclusão da velocidade de deslocamento dos finos no modelo apresentado no Capítulo

3, bem como será discutido como construir a função máxima de retenção para uma distribuição de

partículas em monocamada. Esses resultados serão, então, comparados com os dados experimentais

de testes disponíveis na literatura. No Capítulo 5, será feita uma análise de testes de longa duração

de migração de finos por aumento de velocidade. Nestes teste, é possível observar a estabilização

da permeabilidade e o comportamento da pressão em pontos intermediários. Esta análise mostrará

como estes dados corroboram a concepção de velocidades diferentes para fluido e partículas quando

do transporte de suspensões/coloides em meios porosos.

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2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Este capítulo é dedicado à revisão bibliográfica de duas áreas fundamentais para a compreensão

deste trabalho: a filtração profunda e a injeção de água de baixa salinidade. Nesses dois fenômenos,

será dado enfoque para os processos que ocorrem em arenitos, haja vista os objetivos da tese. A seção

2.1 tratara dos modelos de filtração profunda, enquanto a seção 2.2 é dedicada a injeção de água de

baixa salinidade.

2.1 Filtração Profunda

Nesta seção, será realizada uma exposição sobre os modelos de filtração profunda. Para melhor

entender esses modelos, adotar-se-á a classificação concebida por Sahimi et al. (1990). Esta classi-

ficação divide os modelos de filtração profunda em dois grandes grupos: os modelos contínuos e os

modelos estatísticos. A seguir, será realizada uma breve exposição dos modelos contínuos, seguindo-

se então uma exposição sobre os modelos estatísticos.

2.1.1 Modelos Contínuos

Modelos de Análise de Trajetória

Segundo Sahimi et al. (1990) estes modelos se caracterizam pela divisão do meio poroso em

unidades fundamentais de deposição, ou coletores. Essas unidades podem assumir qualquer forma,

mas de maneira geral são cilíndricas ou esféricas. Uma vez definida a forma desse coletor, o fluxo

em sua vizinhança é determinado. A determinação desse fluxo, por sua vez, possibilita o cálculo

das trajetórias descritas pelas partículas, a partir das forças atuantes sobre elas. De maneira geral, é

possível incluir todas as forças DLVO atuantes sobre as partículas, mas a força difusiva browniana

geralmente não é incluída, pois é estocástica enquanto a equação do movimento das partículas é

puramente determinística. A captura de partículas é modelada a partir das trajetórias que levam a

partícula a colidir com o coletor. Nesses modelos, é geralmente assumido que não há exclusão pelo

tamanho, ou seja, a retenção de partículas se dá apenas por sua colisão com os coletores.

Ramarao et al. (1994) estudaram a eficiência de captura de aerosóis em um meio fibroso. Os me-

canismos contemplados são o movimento Browniano, a impactação inercial e a interceptação direta.

A impactação inercial ocorre quando a inércia da partícula modifica sua trajetória o suficiente para

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que ocorra seu encontro com o meio filtrante. A modelagem desses autores se baseia na equação de

Langevin. Cada partícula de aerosol em movimento no meio poroso tem sua trajetória ao redor do

elemento filtrante determinada pela ação de três forças distintas: a força de arraste do fluido Fc f , uma

força externa Fext e uma força aleatória Fr, conforme a equação abaixo:

mdvdt

= Fc f +Fext +Fr, (1)

em que m é a massa da partícula, v é o vetor velocidade da partícula e t é o tempo. A força aleatória Fr

é formulada para representar o efeito combinado das numerosas colisões das moléculas do fluido com

a partícula, que são a causa do movimento Browniano. Essa força pode ser escrita como o produto

da massa da partícula e uma aceleração Browniana aleatória A(t). Ramarao et al. (1994) consideram

que este vetor é independente da velocidade da partícula. Também consideram que A(t) varia mais

rapidamente que as variações na velocidade. Como representação desta função, os autores utilizam

um processo de ruído branco Gaussiano, devido a duas de suas propriedades: A(t) tem média zero e

sua autocorrelação é a função impulso. Esses fatos são representados respectivamente pelas equações:

〈A(t)〉= 0, (2)

〈A(t)A(t + τ)〉= Kδ (t− τ) . (3)

A força de arraste hidrodinâmico é calculada usando:

Fc f = mβc f (u−v) , (4)

em que u é a velocidade do fluido (ao redor do elemento filtrante) e βc f é um coeficiente de fricção.

Com o uso da lei de Stokes, βc f é dado pela relação:

βc f =6πµrs

csm, (5)

na qual rs é o raio da partícula, µ é a viscosidade do fluido e cs é o fator de correção de Cunningham.

A equação (1) permite solução analítica caso a velocidade do fluido, o fator βc f e a força externa

sejam constantes, dada por:

v = v0e−βc f t +u(

1− e−βc f t)+

Fext

mβc f

(1− e−βc f t

)+Rv (t) , (6)

em que v0 é a velocidade no tempo t = 0 e Rv é dado por:

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Rv (t) =t∫

0

eβc f (ζ−t)A(ζ )dζ . (7)

Substituindo x = dv/dt em (6) e integrando, obtêm-se a trajetória da partícula como:

x = x0 +v0

βc f

(1− e−βc f t

)+u[

t− 1βc f

(1− e−βc f t

)]+

Fext

mβc f

[t− 1

βc f

(1− e−βc f t

)]+Rr (t) , (8)

em que x é o vetor posição da partícula, x0 é a posição da partícula no tempo t = 0 e Rr (t) vem dado

por:

Rr (t) =t∫

0

n∫0

eβc f ζ A(ζ )dζ

e−βc f ndn. (9)

Rr (t) e Rv (t) são duas variáveis aleatórias de uma distribuição Gaussiana bivariada (CHAN-

DRASEKHAR, 1943 apud RAMARAO et al., 1994). Os componentes dessas duas variáveis podem

ser calculados por:

[Rvi

Rri

]=

[σvi 0

σvri/σvi

(σ2

ri− σ2vri/σ2

vi

)1/2

][ni

mi

], (10)

σ2vi =

qβc f

(1− e−2βc f t

), (11)

σ2ri =

qβc f

(2βc f t−3+4e−βc f t− e−2βc f t

), (12)

σvri =q

βc f

(1− e−βc f t

)2, (13)

q =βc f kBT

m, (14)

em que kB é a constante de Boltzmann e nie mi são dois números normalmente distribuídos. Sejam Ni

e Mi dois números aleatórios entre 0 e 1. nie mi podem ser encontrados pela seguinte relação:

Ai =1√2π

∫ ai

−∞

e−ζ 2/2dζ , (15)

na qual Ai = Ni ou Mi e ai = ni ou mi.

As simulações que Ramarao et al. (1994) realizaram não atendiam as condições prescritas para

a equação (8). Todavia, essa equação foi utilizada nas simulações. Para isso, dividiu-se o tempo de

simulação em intervalos menores de tempo, aproximou-se os termos variáveis da equação (1) nesses

intervalos por uma média e utilizou-se (8) neles, substituindo-se t por ∆t , que é a variação de tempo

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dos intervalos. O elemento filtrante utilizado nesse trabalho tinha formato de cilindro infinito de raio

r f , disposto transversalmente ao fluxo. O fluxo foi representado pelo campo de fluxo de Kuwabara.

O fluxo ao redor do elemento foi modelado como um envelope cilíndrico de raio b, como mostra a

Figura 2. O raio desse envelope é calculado por:

b = R f (1−φ)−1/2 , (16)

em que φ é a porosidade do meio.

Figura 2: Esquema geométrico do elemento unitário e do envelope de fluido que o envolve, con-forme utilizado no trabalho de Ramarao et al. (1994). As linhas de fluxo estão grafadas como setas(RAMARAO et al., 1994).

A função de fluxo utilizada pelos autores vem dada por (KUWABARA, 1959 apud RAMARAO

et al., 1994):

Ψ =usrsenθ

2Ku

[ln(

rr f

)2

− (1−α)+(r f

r

)(1− α

2

)+(

α

2

)( rr f

)2], (17)

em que:

r2 = x2 + y2, (18)

θ = arctg(y/x) , (19)

α = 1−φ , (20)

Ku =−(1/2) lnα +α−α2/4− 3/4, (21)

nas quais us é a velocidade superficial e α (= 1−φ) é a densidade do empacotamento.

A habilidade da fibra reter partículas é caracterizada no trabalho de Ramarao et al. (1994) de

duas formas. A eficiência do coletor unitário (unit collector efficiency), η , e o fluxo de partículas por

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unidade de fibra Fpart , estão relacionados pela expressão:

η =Fpart

2πbusc0, (22)

onde c0 é a concentração do fluido à montante. Alternativamente, é possível caracterizar a eficiência

do coletor em termos de um fluxo adimensional. Esse fluxo vem dado pela normalização de Fpart por(2πr f

)usc0. Essa normalização da origem a definição da eficiência de uma única fibra (single fiber

efficiency), η , pela expressão:

η =Fpart

2πr f usc0. (23)

É fácil mostrar que ambas definições estão relacionadas por um fator constante:

η = η (1−φ)1/2 . (24)

O princípio de simulação desses autores é o monitoramento das trajetórias das partículas simu-

ladas. Os passos envolvidos neste processo são (TIEN, 1989 apud RAMARAO et al., 1994): (a)

identificação do domínio espacial pelo qual as partículas trafegam, (b) especificação do campo fluxo

em torno das superfícies coletoras, (c) determinação das velocidades e posições iniciais das partícu-

las conforme fluem passando pelos coletores e (d) determinação das trajetórias das partículas. Neste

trabalho, o domínio espacial é o envelope cilíndrico de fluido em torno de uma fibra posicionada

transversalmente à direção do fluxo. Devido à geometria do problema, é suficiente considerar apenas

a metade da célula básica. O campo de fluxo adotado foi o de Kuwabara. Finalmente, a determinação

das trajetórias das partículas é feita pela integração da equação de Langevin baseando-se nas equações

(6) e (8).

No tocante à posição inicial das partículas, sua determinação se dá pela distância do centro da

célula, no envelope do fluido. Em coordenadas cartesianas cuja origem é o centro do coletor, as

coordenadas desse ponto inicial são:

−x =(b2− y2

0)1/2

, (25)

y = y0. (26)

A bidimensionalidade do fluxo permite assumir que as partículas entrantes estão distribuídas

aleatoriamente sobre o segmento de linha em x =−b estendendo-se de y = 0 até y = b. Assim sendo,

é possível designar a posição inicial de N partículas gerando uma sequência de números aleatórios

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0 < ni < 1, i = 1,2, ...,N. Esta sequência define y0 através da relação:

y0 = nib. (27)

Assume-se também que as partículas Brownianas estão inicialmente em equilíbrio térmico com

o fluido. Por isso, a velocidade inicial da partícula é igual à do fluido acrescida de um componente

randômico devido à agitação térmica. As velocidades das partículas podem então ser consideradas

como distribuídas segundo a distribuição de Maxwell:

v0 = u0 +v′0, (28)

em que u0 é a velocidade do fluido em r0 e v′0 é uma variável aleatória Gaussiana com:

⟨v′0⟩= 0, (29)

⟨v′0v′0

⟩= 3βc f

kBTm

1. (30)

na qual 1 é o vetor cujos componentes são todos unitários.

O esquema numérico de cálculo de trajetórias, baseado nas equações (6) e (8) é enunciado por:

vx,i+1 = vx,ie−βc f ∆t +uxi

m

(1− e−βc f ∆t

)+Rvx , (31)

vy,i+1 = vy,ie−βc f ∆t +uxi

m

(1− e−βc f ∆t

)+Rvy , (32)

xi+1 = xi +vxi

βc f

(1− e−βc f ∆t

)+

uxi

m

[∆t− 1

βc f

(1− e−βc f ∆t

)]+Rrx , (33)

yi+1 = yi +vyi

βc f

(1− e−βc f ∆t

)+

uyi

m

[∆t− 1

βc f

(1− e−βc f ∆t

)]+Rry, (34)

na qual Rvx , Rvy , Rrx e Rry são variáveis aleatórias dadas pela equação (10) e o subscrito i denota os

valores em t = i∆t. Os possíveis destinos das partículas são ou o impacto no coletor (captura) ou a

saída do envelope do fluido. A condição de captura é:

x2i + y2

i ≤(r f + rs

)2. (35)

O cálculo da eficiência de captura é realizado da seguinte forma: sejam N partículas entrantes no

envelope de fluido, das quais Nc delas são capturadas. A eficiência do coletor unitário vem dada então

por:

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〈η〉= 〈Nc〉N

, (36)

em que 〈 〉 denota o valor médio em um grande número de tentativas. 〈η〉 pode ser obtida pela relação

(24).

As simulações realizadas demonstraram que a inclusão do movimento Browniano age sinerge-

ticamente com os outros mecanismos, aumentando a eficiência de filtragem para além do esperado

pela simples soma das eficiências desses mecanismos com o movimento Browniano, como mostra a

Figura 3. Esse efeito foi observado mais especificamente nos tamanhos intermediários de partícula.

Uma possível explicação ao fenômeno, segundo os autores, é a seguinte: existe a possibilidade da

inércia das partículas ocasionar um aumento na concentração de partículas na parte frontal do coletor

cilíndrico ou esférico, denominado de enriquecimento inercial. Como consequência disso, ocorre o

aumento da força impelidora. Esse aumento acarreta então um aumento de fluxo de partículas, que se

traduz em termos de eficiência do coletor.

Figura 3: Influência do diâmetro das partículas (eixo horizontal) na eficiência de filtração (eixo ver-tical). A linha cheia representa a soma da eficiência do mecanismo Browniano com a eficiência dacomposição dos mecanismos de interceptação e impactação. A curva tracejada é a soma das efi-ciências dos mecanismos Browniano e de interceptação direta. Os círculos cheios representam osresultados da simulação. Extraído de Ramarao et al. (1994).

Vitthal e Sharma (1992) realizaram um estudo de filtração profunda e formação de reboco ex-

terno utilizando um modelo de Dinâmica Stokesiana. Foram contemplados por esses modelo três

mecanismos de captura de partículas: deposição de superfície, quando a partícula é atraída por forças

eletrostáticas e depositada na superfície do grão; exclusão pelo tamanho, quando a partícula encontra

uma abertura entre os grãos do meio poroso que é menor do que ela; e formação de pontes, quando

as partículas começam a ser capturadas sobre aquelas que se depositaram anteriormente. Os autores

fazem uma clara distinção deste último mecanismo e o mecanismo por eles denominado de exclusão

hidrodinâmica multipartícula, que ocorre quando muitas partículas tentam passar simultaneamente

por um único poro, ficando ai retidas.

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No tocante à modelagem do movimento das partículas, os autores utilizam a equação de Langevin

acoplada, incluindo efeito Browiano, forças oriundas dos potenciais DLVO e arraste hidrodinâmico.

Para modelar a deposição de partículas, Vitthal e Sharma (1992) conceberam, em suas simulações

numéricas, um meio poroso formado por esferas de mesmo raio, dispostas em empacotamento cúbico,

como mostra a Figura 4. A dimensão deste empacotamento era de 8 x 8 x 8 esferas. O movimento

das partículas foi modelado da seguinte forma: uma partícula era posicionada no centro e acima do

arranjo de esferas. Procedia-se então com a simulação do movimento desta partícula até que esta fosse

capturada ou deixasse o meio poroso. Caso ela fosse capturada, ela se tornaria parte do meio poroso.

Então se posicionava outra partícula no centro e acima do meio poroso e assim sucessivamente até

que a meta de número de partículas a serem simuladas fosse alcançada.

Figura 4: Empacotamento cúbico de esferas. Retirado de Vitthal e Sharma (1992).

Usando este modelo, Vitthal e Sharma (1992) afirmaram que existe grande efeito das partículas

depositadas na trajetória das partículas ainda em suspensão, já que modificam as linhas de fluxo. Essa

modificação das linhas de fluxo acarreta no carreamento das partículas para caminhos mais livres

ao movimento das partículas. Esse efeito, segundo os autores, não pode ser desprezado. O modelo

também mostrou que a deposição ocorre primeiramente próxima às constrições ao fluxo. Mostrou

também que o tamanho relativo das partículas muda significativamente as características da depo-

sição. Neste sentido, mostrou que partículas grandes (razão entre partícula e grão igual a 0,3) são

depositadas por formação de pontes e exclusão de tamanho nas gargantas de poro logo nas primei-

ras camadas de grãos do meio poroso, enquanto partículas menores se depositam mais uniformente

ao longo do meio poroso. Para testar a flexibilidade do método proposto, esses autores realizaram

simulações com outros 3 tipos de arranjos de esferas: o cúbico centrado no corpo (body centered

cubic, BCC), o cúbico centrado na face (face centered cubic, FCC) e o fechado hexagonal (hexagonal

closed packing, HCP). Esses arranjos se encontram grafados nas Figuras 5.a, 5.b e 5.c, respectiva-

mente. Desses arranjos, o BCC foi aquele que exibiu maior grau de captura de partículas. Essa maior

eficiência se explica pela maior tortuosidade deste meio poroso. Finalmente, o modelo demonstrou

que o módulo da velocidade não afeta significativamente a eficiência de filtração do meio poroso.

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Todavia, quando existe um componente de fluxo tangente ao meio poroso, existe maior deposição em

comparação ao caso modelado na sua ausência.

(a) (b)

(c)

Figura 5: Outros tipos de empacotamento utilizados nas simulações de Vitthal e Sharma (1992): (a)empacotamento cúbico centrado no corpo (BCC), (b) empacotamento cúbico centrado na face (FCC)e (c) empacotamento hexagonal fechado, aqui mostrado com algumas partículas menores depositadas.Extraído de Vitthal e Sharma (1992).

Chang et al. (2003) realizaram um estudo sobre a predição da deposição de partículas Browni-

anas em meios porosos usando o modelo de tubo com restrição. As formas de tubo adotadas por

esses autores foram três: restrição em forma parabólica, em forma sinusoidal e em forma hiperbólica.

A Figura 6 mostra essas restrições. Também foi examinado o efeito do tipo de curva de interação

DLVO na deposição das partículas. Os resultados das simulações desses autores mostraram que, caso

a curva de energia DLVO mostre um máximo e um mínimo secundário, a eficiência de captura da

geometria sinusoidal é superior as outras, e a geometria parabólica é a menos eficiente. Todavia,

quando a curva DLVO não possuía barreira energética, foi a geometria parabólica a mais eficiente, e

a geometria sinusoidal a menos eficiente. Este trabalho também realizou comparações entre as pre-

dições e dados experimentais. Embora não consiga explicar estes dados satisfatoriamente, o modelo

nele apresentado representa uma melhoria sobre o modelo convectivo-difusivo exposto em (PRIEVE;

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RUCKENSTEINN, 1974 apud CHANG et al., 2003).

(a) (b)

(c)

Figura 6: As formas de tubo com restrição utilizadas em (CHANG et al., 2003): a) restrição parabó-lica, b) restrição sinusoidal e c) restrição hiperbólica. Retirado de Chang et al. (2003).

Frey et al. (1999) realizaram um estudo sobre o transporte e a captura de partículas não-Brownianas

quando essas partículas estão sujeitas principalmente a efeitos hidrodinâmicos e inerciais pequenos.

Este estudo consistiu de uma parte experimental e de uma parte teórica. Na parte experimental, foram

construídos diversos micromodelos transparentes de canais interconectados em rede. A rede possuía

dimensões de 66 x 121 mm contendo 15000 dutos com sete classes de largura (de 0,1 a 0,6 mm) dis-

tribuídos de maneira log-normal. A distância entre dois sítios dessas redes era de aproximadamente

1 mm. A orientação desses canais com relação ao fluxo também foi variada, para poder mensurar

o efeito da anisotropia nos micromodelos. As partículas utilizadas eram de Rilsan, com tamanho de

30 µm. Os depósitos formados pela injeção de suspensão foram observados nas cantos dos grãos.

Foi constatado que a orientação desses depósitos era dependente da vazão e da anisotropia do campo

de fluxo. Na parte teórica, foi desenvolvido um modelo de análise de trajetória em um meio poroso

constituído de um arranjo duplamente periódico de grãos retangulares. Esse arranjo foi escolhido

por simular de maneira fiel os micromodelos construídos para a parte experimental deste trabalho. O

modelo numérico resultante foi aplicado para localizar os depósitos de partículas e determinar a efici-

ência de captura nos grãos para um intervalo de número de Stokes pequeno. A influência da razão de

aspecto dos grãos e da anisotropia do campo de fluxo nessa eficiência também foi estudada. Os resul-

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tados deste modelo foram interpretados em termos de forma local dos depósitos e suas localizações,

sendo estas previsões comparáveis aos depósitos observados experimentalmente. Essas duas formas

de depósito são correspondentes a dois mecanismos de captura. Um deles, chamado de “depósito de

invasão de poro”, leva a depósitos que se desenvolvem a partir do topo do grão a jusante, crescendo

até o grão a montante. O outro, denominado de “depósito de invasão de garganta”, se dá nos canais

estreitos e bloqueiam essas gargantas. A Figura 7 ilustra os dois tipos de depósitos.

Figura 7: Tipos de depósitos estudados por Frey et al. (1999). Em círculo, depósitos de invasão degarganta. Os depósitos de invasão de poro são observados no topo dos grãos. O fluxo se dá de cimapara baixo (FREY et al., 1999).

Modelos Fenomenológicos

Para Sahimi et al. (1990), as características básicas deste tipo de modelagem são a modelagem

macroscópica utilizando equações de conservação contínuas e desconsideram os detalhes exatos da

morfologia do espaço poroso. Essas equações utilizam uma relação entre a taxa de retenção de partí-

culas, a concentração em suspensão e um coeficiente de filtração.

Modelo fenomenológico de filtração profunda exposto em Herzig et al. (1970) para a injeção

de água, acrescido de uma equação que descreve a redução da permeabilidade com a quantidade de

partículas retidas. O modelo de Herzig et al. (1970) se baseia na formulação de duas equações: a

equação do balanço de massa e a cinética de captura. As premissas desse modelo são:

1. Não há agregação de partículas.

2. A difusão é considerada desprezível.

3. A água e as partículas são incompressíveis e seus volumes são aditivos na suspensão (lei de

Amagat).

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4. O fluido é Newtoniano, com viscosidade independente da concentração da suspensão.

Todas as hipóteses mostradas são honradas caso a concentração de partículas em suspensão seja pe-

quena.

Para facilitar a dedução da equação de balanço de massa, considere um meio poroso unidimen-

sional com área de seção transversal variável A(x), saturado por apenas um fluido, no qual se deseja

injetar uma determinada suspensão, que será filtrada. A conservação da massa postula que:

{Tx. de Acumulação de Partículas}= {Fluxo de Partículas Entrando}−{Fluxo de Partículas Saindo} .

Seja c a concentração da suspensão (em vol. de partículas/vol. da suspensão), σ a concentração

de partículas retidas (em vol. de partículas/vol. do meio poroso), Vx a velocidade Darcy da suspensão

na direção do eixo x e φ a porosidade efetiva do meio poroso (ver Figura 8). Considere também que

uma seção transversal de espessura ∆x e área A(x) é observada por um intervalo de tempo ∆t. Com

essas definições, traduz-se o princípio da conservação de massa em linguagem matemática como:

∆xA(x)[(φc+σ)t+∆t− (φc+σ)t

]∆t

= (AVxc)x− (AVxc)x+∆x ,

na qual t é tempo. Rearranjando obtém-se:

A(x)[(φc+σ)t+∆t− (φc+σ)t

]∆t

=(AVxc)x− (AVxc)x+∆x

∆x.

No limite quando tanto ∆x quanto ∆t tendem a zero:

A(x)∂

∂ t[φc+σ ]+

∂x[A(x)Vxc] = 0. (37)

É possível estender a dedução apresentada para a equação (37) em mais de uma dimensão, obtendo-se

(BARENBLATT et al., 1990):

Figura 8: Elemento de Meio Poroso (adaptado de Herzig et al. (1970)).

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∂ t(φc+σ)+∇ · (Vc) = 0, (38)

na qual V representa o vetor velocidade Darcy.

A outra equação do modelo de Herzig et al. (1970) é a cinética de captura e liberação de partículas.

Esta equação é empírica e vem dada por:

∂σ

∂ t= λ

′ (σ)V c− kdet (V )σ , (39)

na qual λ ′ (σ) é a função de filtração, V é o módulo da velocidade Darcy V e kdet (V ) representa o

coeficiente de liberação das partículas. Para o caso especial onde λ ′ (σ) := constante, λ ′ é denomi-

nado de coeficiente de filtração. Caso a deposição seja pequena, é possível assumir que o coeficiente

de filtração é constante. Fisicamente, isto significa que o número de possíveis sítios de deposição é

muito maior em comparação com as partículas que podem depositar no meio poroso durante o tempo

da injeção, de tal forma que a quantidade sítios de deposição permanece praticamente a mesma. Outra

forma comum para a função λ ′ (σ) é a linear. Como descrito, kdet é determinado a partir de testes

laboratoriais e está relacionado à liberação das partículas. Para facilitar a exposição do modelo feno-

menológico de filtração profunda, o termo referente a liberação na equação (39) será tomado como

zero, sem perda de generalidade.

Pode-se avaliar a migração, retenção e liberação de coloides tanto em laboratório quanto em

escala de campo, a partir de uma equação de balanço de massa, com termo de sumidouro modelando

a retenção e um termo de fonte para considerar a liberação (LOGAN, 2001; FOPPEN; SCHIJVEN,

2006; FRIMMEL et al., 2007). O termo de captura é proporcional ao fluxo advectivo da partícula,

sendo a constante de proporcionalidade chamada de coeficiente de filtração. O termo de liberação é

proporcional a concentração de partículas retidas, com seu respectivo coeficiente denominado de taxa

de liberação. A teoria avançada da dependência do coeficiente de filtração com a difusão Browniana,

sedimentação gravitacional e velocidade da suspensão já se encontra desenvolvida em Tufenkji e

Elimelech (2004a), enquanto o coeficiente de liberação é determinado, na maioria dos casos, a partir

de dados experimentais. A determinação experimental dessa constante é uma limitação deste modelo.

Outra limitação do modelo com cinética de liberação de partículas é a estabilização assintótica

da concentração retida (e por conseguinte da permeabilidade) com o tempo, o que contradiz a obser-

vações feitas em migração de finos devido ao incremento no diferencial de pressão ou sob mudança

na salinidade, que mostram estabilização praticamente instantânea (KHILAR; FOGLER, 1998; MI-

RANDA; UNDERDOWN, 1993). Testes em testemunhos mostram incremento imediato de permea-

bilidade após aumento abrupto da vazão (FURTADO et al., 2005).

Há muito foi reconhecido que a liberação de partículas ocorre se o equilíbrio mecânico da par-

tícula retida no reboco interno não é satisfeito. As forças atuantes nessa partícula são eletrostáticas,

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de arraste, de elevação e gravitacionais. Alguns autores consideram o balanço de forças entre a

força de arraste, gerada pelo fluxo do fluido, e a força de fricção com um coeficiente de Coulomb

empírico (CIVAN, 2007). Outra abordagem considera o momento dessas forças (JIAO; SHARMA,

1994; FREITAS; SHARMA, 2001). Ainda que ambas as abordagens sejam equivalentes, a equação

advectiva-difusiva com termo cinético de liberação não reflete o equilíbrio mecânico da partícula, já

que esse termo não é afetado pelo equilíbrio em questão.

O modelo fenomenológico de filtração profunda clássico consiste de duas equações: o balanço

de massa das partículas e a cinética de captura (HERZIG et al., 1970; PAYATAKES et al., 1974).

Esse modelo requer a determinação de um coeficiente, o coeficiente de filtração, referente à taxa de

subtração das partículas do fluido pelo meio poroso. Em verdade, essa taxa pode variar conforme

a concentração das partículas retidas, e nesse caso trata-se da função de filtração ao invés de um

coeficiente. Diversas formas dessa função se encontram propostas na literatura, e com algumas delas

o sistema de equações resultante admite solução analítica. A forma mais adequada dessa função para

um determinado processo, depende dos mecanismos de captura nele atuantes (HERZIG et al., 1970;

KUHNEN et al., 2000).

A modo mais tradicional para a obtenção da função/coeficiente de filtração é a regressão dos

dados de concentração da suspensão/solução coloidal à jusante do testemunho em função do tempo

(curva de breakthrough) (SOO et al., 1986; PANG; SHARMA, 1997; BOLSTER et al., 1998; FOP-

PEN et al., 2005; FOPPEN; SCHIJVEN, 2006). De fato, a solução deste problema inverso é bem

posta, ou seja, existe, é única e é estável com respeito à pequenas variações dos dados de entrada

(ALVAREZ et al., 2006). A partir da solução desse problema inverso é possível construir o perfil de

retenção das partículas.

Recentemente, uma série de trabalhos foram publicados expondo divergências entre os perfis

de retenção de partículas previstos a partir da solução do problema inverso e aqueles medidos experi-

mentalmente (BRADFORD et al., 2002, 2003, 2004; BRADFORD; BETTAHAR, 2006; TUFENKJI;

ELIMELECH, 2004b; AL-ABDUWANI et al., 2004; AL-ABDUWANI, 2005). Similarmente, alguns

testes exibem tempos de breakthrough (isto é, o tempo que as partículas injetadas levam para atingir

a face oposta do testemunho) entre 0,4 e 100 volumes porosos injetados, o que é muito diferente

do tempo de breakthrough previsto no modelo fenomenológico de um volume poroso (HARVEY;

GARABEDIAN, 1991; ROQUE et al., 1995; KRETZSCHMAR et al., 1997; CHAUVETEAU et al.,

1998; CAMESANO et al., 1999; VEERAPEN et al., 2001; MASSEI et al., 2002). Tempos me-

nores de breakthrough podem ser explicados pela introdução da dependência da porosidade com a

concentração de partículas retidas (CORAPCIOGLU; CHOI, 1996). Embora possua as contradições

apresentadas, existe validade e aplicabilidade prática para modelo fenomenológico para transporte de

suspensões em meios porosos, sendo possível usá-lo como base para formular possíveis generaliza-

ções.

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De fato, a captura de partículas, seja por exclusão pelo tamanho, seja por forças elétricas, é in-

fluenciada de maneira profunda pela geometria dos poros e das partículas, ou seja, varia com o meio

poroso e a suspensão presentes no processo de transporte. Como as descrições e previsões do modelo

fenomenológico se referem a médias ou totais, não é possível discriminar quantidades a partir de suas

características microscópicas. Muitos estudos têm sido propostos para considerar variações locais na

eficiência da captura (ELIMELECH et al., 1995; KHILAR; FOGLER, 1998). A função de distribui-

ção de densidade de carga superficial foi ajustada conforme os dados experimentais (BAYGENTS et

al., 1998; SIMONI et al., 1998; BOLSTER et al., 1998, 1999). Em particular, a distribuição bimo-

dal ajusta com precisão considerável diversos dados simultâneos de perfil de retenção e concentração

de efluente nos quais o modelo clássico falha (TUFENKJI et al., 2003; TUFENKJI; ELIMELECH,

2005).

Segundo Herzig et al. (1970) existem cinco tipos de mecanismos de captura (chamados por essa

referência de “processos de captura”):

1. Sedimentação: Caso as partículas apresentem massa específica distinta a do fluido que as man-

tém em suspensão, elas se tornam suscetíveis à ação da gravidade e não possuem mais a mesma

velocidade que o fluido, podendo ir de encontro ao meio filtrante por sedimentação, onde são

capturadas.

2. Inércia: Devido ao peso aparente do fluido, as partículas podem se desviar das linhas de fluxo

quando nelas ocorre uma mudança abrupta. Não podendo acompanhar essa linhas, a partícula

pode entrar em contato com os grãos do meio poroso.

3. Efeitos Hidrodinâmicos: Devido a não uniformidade do campo de cisalhamento e a não esfe-

ricidade das partículas, alguns efeitos hidrodinâmicos podem ocorrer, ocasionando migração

lateral das partículas suspensas, com possível encontro delas com os grãos.

4. Interceptação Direta: Ainda que a partícula e o fluido possuam a mesma massa específica,

as partículas, devido ao seu tamanho, podem não serem capazes de acompanhar as menores

tortuosidades das linhas de fluxo do fluido carreador e por isso elas colidem com as paredes

das áreas convergentes dos poros. Este mecanismo é comumente denominado de exclusão pelo

tamanho.

5. Difusão por Movimento Browniano: As partículas se difundem e pode acessar áreas que não

são usualmente irrigadas pela suspensão, e ficam aí retidas. Para que o movimento Browniano

seja importante, Kim e Karrila (2005) afirmam que o tamanho da partícula deve ser menor que

0,1 micrômetros.

Em muitas situações, é possível divisar mais de um mecanismo de deposição de partículas. Seja

~σ o vetor cujos componentes i = 1,2,3, ...,n representam as concentrações retidas pelos mecanismos

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i= 1,2,3, ...,n. Para cada um desses mecanismos, existe uma função λi (~σ), a partir da qual é expressa

a cinética de captura de cada mecanismo i como:

∂σi

∂ t= λ

′i (~σ)V c. (40)

É possível solucionar o sistema (37) e (40) (ou (38) e (40)) a partir da aglutinação de todos os meca-

nismos de captura em um único, conforme descrito em Guedes et al. (2006).

Embora o transporte de partículas em meios porosos interesse a diversos processos (por exemplo,

a dispersão de contaminantes em aquíferos), muitas vezes a indústria petrolífera requer uma previ-

são sobre o deterioramento da permeabilidade, normalmente expressa em termos de pressão. Para

preencher esta lacuna, utiliza-se a lei de Darcy modificada (BARENBLATT et al., 1990):

V =−k0k (~σ)

µ∇p, (41)

na qual k0 é a permeabilidade inicial, µ é a viscosidade do fluido, P é a pressão no fluido e k (~σ) é a

redução percentual da permeabilidade em função da deposição. Em problemas unidimensionais nos

quais x denota a posição em uma geometria linear ou radial, é possível reescrever (41) como:

Vx =−k0k (σ)

µ

∂ p∂x

. (42)

Para a função k (σ) é usual adotar:

k (σ) =1

1+βσ. (43)

na qual β é o coeficiente de dano a formação, considerado constante. O coeficiente β é determinado

de maneira empírica e depende das características das partículas retidas e do meio poroso. É possível

estender (43) para considerar a deposição por múltiplos mecanismos de deposição da seguinte forma:

k (~σ) =1

1+∑ni=1 βiσi

. (44)

Uma aplicação deste conjunto de equações é encontrado na teoria clássica da perda de injetivi-

dade (BEDRIKOVETSKY et al., 2001; ALTOÉ et al., 2004; AL-ABDUWANI, 2005). Nessa teoria,

a perda de injetividade em poços é dividida, basicamente, em três períodos: a filtração profunda, a

formação de reboco externo e a estabilização do reboco externo. A modelagem da previsão de in-

jetividade pode ser realizada tanto a partir de dados de laboratório (injeção em testemunhos) quanto

a partir de ajuste de histórico em poços. A seguir, sera exposta a modelagem da filtração profunda

nessas duas geometrias de fluxo.

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As equações de filtração profunda em testemunhos podem ser obtidas das equações (37), (39),

(42) e (43) como:

∂ t(φc+σ)+V

∂c∂x

= 0, (45)

∂σ

∂ t= λ

′V c, (46)

U =k0

µ (1+βσ)

∂ p∂x

. (47)

Na equação (46), λ ′ é constante. Sujeito às seguintes condições iniciais e de contorno:

c(x = 0, t) = c0, (48)

c(x, t = 0) = σ (x, t = 0) = 0. (49)

Para facilitar o tratamento da solução do problema, é proposta a seguinte adimensionalização:

xD =xL

; tD =VtφL

; C =cc0 ; S =

σ

φc0 , λ = λ′L (50)

em que L é o comprimento do testemunho e tD é a razão do volume injetado acumulado pelo volume

do espaço poroso do testemunho. Essa unidade de medida é chamada de volumes porosos injetados,

e pode ser definida em diversas geometrias. Além dessas adimensionalizações, definimos o conceito

de impedância, que é a resistência a injeção, como:

J =∆p(tD)

∆p(tD = 0), (51)

em que ∆p(t) é o diferencial de pressão no testemunho em função do tempo. A definição de impe-

dância da equação (51) só é valida quando a vazão de injeção no testemunho é constante. Pode-se

mostrar que a equação (51) é equivalente a razão k0/kmed (t), que é independente da vazão. Uma outra

quantidade importante é a injetividade, que é o inverso da impedância. Manipulando-se a equação

(47), é possível demonstrar que:

J (tD) = 1+βφc0

1∫0

SdxD. (52)

Substituindo as equações (50) nas equações (53) e (46) e nas condições (48) e (49), obtêm-se:

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∂C∂ tD

+∂C∂xD

=− ∂S∂ tD

, (53)

∂S∂ tD

= λC, (54)

C (0, tD) = 1, (55)

C (xD,0) = S (xD,0) = 0. (56)

O sistema de equações (53)-(56) admite solução analítica, dada por:

C =

0, xD > tD

e−λxD , xD ≤ tD, (57)

S =

0, xD > tD

λ (tD− xD)e−λxD, xD ≤ tD. (58)

A solução analítica em S permite calcular explicitamente a impedância, a partir da equação (52). A

impedância para tempos adimensionais maiores que 1 é dada por:

J (tD) = 1−δ +mJtD, (59)

na qual δ e m vem dados respectivamente por:

δ = βc0φ

(e−λ +

1− e−λ

λ

), (60)

mJ = βc0φ

(1− e−λ

). (61)

Bedrikovetsky et al. (2001) mostraram que a constante δ é muito pequena (da ordem de 10−4) sendo

desprezível. Assim sendo, a impedância medida experimentalmente possui apenas um grau de liber-

dade, não permitindo a determinação simultânea de λ ′ e β . É possível quantificar as constantes λ ′ e β

através de dois procedimentos: a mensuração da concentração no efluente e a medição do diferencial

de pressão pelo testemunho ou a medição de pressão não somente nas extremidades do testemunho,

mas também em algum ponto intermediário (BEDRIKOVETSKY et al., 2001). Caso a concentração

na saída seja medida, é possível encontrar λ ′ a partir da equação (57):

λ′ = L−1 ln

(ce f luente

c0

), (62)

em que ce f luente é a concentração medida na saída do testemunho. Com λ ′ calculado pela equação

(62), é possível ajustar a equação (59) e obter β a partir do valor de mJ . Se for adotada a abordagem do

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ponto intermediário, então é possível calcular a impedância relativa ao trecho entre a face de injeção

até o ponto intermediário Jα , na posição xD = αJ , pela fórmula (59) substituindo-se J por Jα e mJ

por:

mα = βc0φ

(1− e−λαJ

), (63)

e considerando δ = 0. As equações (59) e (63) formam um sistema de duas equações em duas

incógnitas, cuja solução são os valores de λ e β .

O sistema de equações de filtração profunda para poços vem dado por:

φ∂c∂ t

+q

2πrh∂c∂ r

=−∂σ

∂ t, (64)

∂σ

∂ t= cU (r)λ

′, (65)

U =− k0

µ (1+βσ)

∂ p∂ r

, (66)

c(rw, t) = c0, (67)

c(r,0) = σ (r,0) = 0, (68)

em que q é a vazão volumétrica do poço, h é a espessura do meio poroso onde a água será injetada,

rw é o raio do poço e re é o raio externo. A vazão na geometria radial depende do raio:

U (r) =q

2πrh. (69)

A impedância para este sistema é definida da mesma maneira que na geometria linear (testemunho)

pela equação (51). A solução deste sistema de equações é dada por:

c(r, t) =

0, t < φπhq

(r2− r2

w),

c0e−λ ′(r−rw), t ≥ φπhq

(r2− r2

w) , (70)

σ (r, t) =

0, t < φπhq

(r2− r2

w),

c0qλ ′

2πhr

[t− φπh

q

(r2− r2

w)]

e−λ ′(r−rw), t ≥ φπhq

(r2− r2

w) . (71)

As equações (71) e (51) permitem calcular a impedância explicitamente:

J (t) = 1+mJqt

φπ (r2e − r2

w)h, (72)

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mJ =βφc0 (λ

′re)2

ln(re/rw)

[1

λ ′rw+ eλ ′rwei

(λ′rw)]

, (73)

em que ei(x) é a função exponencial integral:

ei(x) =∞∫

x

e−y

ydy. (74)

A determinação das constantes λ ′ e β é feita a partir do ajuste de histórico do poço. Como equação

extra, introduz-se o conhecimento do tempo de transição, que é o instante no qual a filtração profunda

termina e a formação do reboco externo começa:

λ′ =

2rw

rec0

(φπ(r2

e − r2w)

hqttr

)(β

95

)−2,44

, (75)

na qual ttr é o tempo de transição. Este tempo é medido a partir da observação do comportamento da

impedância do poço com o tempo. O instante no qual há uma mudança abrupta na inclinação da reta

de impedância é considerado como o tempo de transição. Mais detalhes podem ser encontrados em

Bedrikovetsky et al. (2005). A Figura 9 mostra um desses ajustes de histórico. O tempo de transição é

um pouco menor que 0,0006 volumes porosos. O período da filtração profunda é todo aquele anterior

a esse tempo.

Figura 9: Ajuste de histórico e previsão de impedância para poços utilizando o modelo clássico deperda de injetividade. A impedância é grafada no eixo vertical. No eixo horizontal está o tempo emvolumes porosos injetados. O meio poroso de referência para o cálculo deste tempo se estende doraio do poço até o raio externo. Retirado de Bedrikovetsky et al. (2005).

Uma outra aplicação de uma modelagem semelhante a apresentada aqui foi utilizada para quanti-

ficação do efeito da invasão de sólidos na permeabilidade durante a perfuração (BOEK et al., 2012).

Neste estudo, foi realizada uma comparação pelos perfis de deposição obtidos por modelagem e expe-

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rimentalmente. A medição experimental destes perfis foi realizada por tomografia de difração de raios

x (synchrotron energy-dispersive X-ray diffraction tomography, EDD-T) e microscopia eletrônica de

varredura (scanning electron microscopy - energy-dispersive spectroscopy, SEM-EDS). Essa compa-

ração mostrou boa concordância do modelo (Figura 10). A permeabilidade modelada pelos autores

também mostrou concordância satisfatória. Simulações com posterior fluxo reverso também foram

realizadas. Quando era incluída a erosão das partículas nessas simulações, os autores observaram um

pico no perfil de pressão. Esse pico, segundo eles, pode ser correlacionado com a pressão de início

de fluxo, demonstrando que a filtração profunda pode ter alguma influência sobre esta pressão.

Figura 10: Simulação de perfis de deposição de partícula contra dados experimentais. Fração volumé-trica de partículas capturadas na rocha no eixo vertical. No eixo horizontal tem-se a profundidade deinvasão em milímetros. As curvas com marcadores são os dados experimentais, conforme mensuradospor microscópio eletrônico de varredura (SEM) ou tomografia de difração de raios x (synchrotron).Retirado de Boek et al. (2012).

Uma alternativa para a modelagem de liberação de partículas dada por (39) é exposta em Siqueira

(2010), Bedrikovetsky et al. (2011a, 2007a, 2007b, 2012) e Bedrikovetsky et al. (2010). A base do

modelo desses autores é o fato de que existe uma quantidade bem definida de partículas que pode

ser retida pelo meio poroso. Essa quantidade é determinada pelo balanço de torques atuantes numa

partícula depositada. Esses torques são oriundos de 3 forças: a força eletrostática, a força de arraste,

a força de elevação. A força gravitacional, embora presente, não exerce influência apreciável para os

tamanhos de partícula considerados por esses autores, pois as partículas foram consideradas menores

que 10 µm.

A força eletrostática tem origem nas interações DLVO entre partícula e parede do poro. Seu

cálculo foi realizado a partir do negativo da diferenciação, com respeito à distância, do potencial de

interação total, VT . O potencial de interação total, por sua vez, é a soma de três potenciais distintos:

potencial atrativo de London - van-der-Waals, o potencial de dupla camada elétrica e o potencial

repulsivo de Born. Vale destacar que, embora o potencial de Born não seja estritamente oriundo da

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teoria DLVO, é muito utilizado em conjunto com ela, por impedir o contato direto entre as superfícies.

Outra observação é a de que o potencial de dupla camada pode ser tanto repulsivo quanto atrativo, a

depender do fato das cargas da partícula e da parede do poro possuírem cargas de mesmo sinal ou de

sinal oposto, respectivamente. Como geralmente essas cargas possuem o mesmo sinal, este potencial

é considerado quase sempre na literatura como explicitamente repulsivo. Para o cálculo do potencial

de London - van-der-Waals, foi utilizada a seguinte fórmula:

VLVA =A132

6

[2(1+Z)Z (2+Z)

+ ln(

Z2+Z

)], (76)

na qual Z = h/rs, h é a distância de separação entre a rocha e a partícula, rs é o raio da partícula e A132

é a constante de Hamaker da interação entre meio 1 (partícula) com o meio 2 (rocha) imersos no meio

3 (água). Para o potencial de dupla camada elétrica, foi utilizada a seguinte expressão:

VDLR =ε0Drs

4

[2ψ01ψ02 ln

(1+ exp(−κh)1− exp(−κh)

)−(ψ

201 +ψ

202)

ln(1− exp(−2κh))], (77)

na qual ε0 é a permissividade do espaço livre (vácuo), D é a constante dielétrica, ψ01 e ψ02 são os

potenciais da partícula e do meio poroso, e κ é o inverso do comprimento de Debye, que é dependente

da salinidade do meio em questão. Para soluções aquosas de eletrólitos simétricos sob temperatura

normal, é possível empregar a seguinte fórmula para seu cálculo:

κ = 2,32.109√(

∑Cmiz2i), (78)

em que Cmi é a concentração molar do composto iônico (em mols/L), zi é a valência do íon do eletrólito

e κ está em m-1. O cálculo do potencial de Born adotado pelos autores utilizou a seguinte expressão:

VBR =A132

7560

(σLJ

rs

)6[

8+Z

(2+Z)7

], (79)

onde σLJ é o diâmetro atômico de colisão no potencial de Lennard-Jones. A força elétrica adotada

por esses autores foi a máxima força atrativa possível, pois desconsideram a inércia da partícula no

tocante à sua liberação do meio poroso. Em outras palavras:

Fe = maxh

{∂VT

∂h

}. (80)

Na expressão anterior, a força elétrica é considerada atrativa quando positiva.

Siqueira (2010), Bedrikovetsky et al. (2011a, 2007a, 2007b, 2012) e Bedrikovetsky et al. (2010)

consideraram, em seu balanço, a presença de forças hidrodinâmicas. Uma dessas forças é a força de

arraste, paralela às linhas de fluxo no meio poroso e no mesmo sentido, cuja intensidade é dada pela

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expressão:

Fc f =ωπµr2

sU ′

H, (81)

na qual ω é um coeficiente empírico no intervalo [10;60], µ é a viscosidade, rs é o raio da partícula, U ′

é a velocidade média numa dada secção transversal e H é a altura do canal. A outra força considerada

no trabalho desses autores é a de elevação, que é perpendicular ao fluxo e com sentido para o meio do

canal. Sua intensidade foi calculada por:

Fl = χr3s

√ρµU ′3

H3 , (82)

na qual H é a altura do canal e χ é o coeficiente de elevação, dado por 89,5 segundo Kang et al.

(2004), enquanto Altmann e Ripperger (1997) estima um valor de 1190.

Para poder estimar a quantidade máxima de partículas retidas num meio poroso, os autores então

formularam matematicamente o balanço de torques. Para tal, idealizaram o meio poroso como um

conjunto de capilares com altura de canal H e densidade de capilares por área de seção transversal

n. A partir da permeabilidade original e da porosidade do meio poroso, é possível calcular esses

parâmetros a partir das seguintes expressões:

H =√

8πk0φ

,

n = φ 2

8πk0

. (83)

Finalmente, a formulação do balanço de torques é realizada considerando-se que a liberação da par-

tícula é feita pelo rolamento da partícula sobre aquelas dispostas abaixo dela, como mostra a Figura

11.

Figura 11: Esquema da partícula na iminência de ser liberada, mostrando as forças atuantes sobre ela.Retirado de Siqueira (2010).

Por hipótese, todas as partículas tem o mesmo tamanho, o que permite concluir que a situação

limite, quando os torques são igualados, é descrita pela equação:

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Fn =√

3Fc f , (84)

em que Fn é a força normal resultante Fn = Fe−Fl . A partir deste equacionamento, conclui-se que a

quantidade máxima de partículas que pode ser retida pelo meio poroso σcr é dada por:

Fe−χr3s

√√√√√ ρµU3

φ 3(

H√

1− σcrφ(1−φc)

)3 −√

3ωπµr2sU

φH√

1− σcrφ(1−φc)

= 0, (85)

na qual φc é a porosidade do reboco interno, ou seja, é a porosidade do depósito de partículas no meio

poroso. Se apenas a velocidade for variável no processo em questão, é possível escrever σcr como

(BEDRIKOVETSKY et al., 2011a, 2012):

σcr (U) =

σcr0

[1−(

UUm

)2], U ≤Um

0, U >Um

, (86)

em que σcr0 representa o máximo teórico de deposição em um meio poroso, σcr0 = φ (1−φc) e Um é

a velocidade a partir da qual não há mais deposição de partículas por efeito eletrostático. A Figura 12

mostra uma curva calculada a partir da equação 85.

Figura 12: Exemplo de cálculo de concentração máxima retida em função da velocidade de fluxo nomeio poroso realizado por Bedrikovetsky et al. (2011a) (extraído dessa mesma referência).

A determinação da concentração máxima de partículas retidas no meio poroso como função da

velocidade e dos parâmetros elétricos da rocha e das partículas da suspensão permite reformular a

equação (39) da seguinte forma: se a quantidade de partículas capturadas for menor que a máxima,

então a cinética de captura é igual aquela descrita pela equação (39). Do contrário, a concentração

retida é igual a concentração máxima. Matematicamente:

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∂σ

∂ t= λ

′cU, σ < σcr (U) , (87)

σ = σcr (U,Fe) caso contrário.

A modificação da cinética de captura conforme indicado pela equação (87) implica no fim da filtração

profunda em um tempo finito de injeção. Em termos de permeabilidade média em função do tempo

numa injeção em testemunho, por exemplo, essa modificação implica em três momentos distintos:

decrescimento linear de permeabilidade, seguido de estabilização gradual e, por fim, a estabilização

total da permeabilidade.

Um caso bastante interessante para análise é o aquele no qual ocorre alteração de vazão durante

a injeção em um testemunho. Num testemunho, a velocidade macroscópica (Darcy) do fluxo é cons-

tante em relação à coordenada espacial. Considere uma injeção de suspensão em um testemunho na

qual a concentração máxima de partículas retidas tenha sido alcançada em todo o testemunho, com on-

sequente estabilização da permeabilidade. Considere então uma diminuição na vazão. Mantendo-se

as características físico-químicas da suspensão injetada, a concentração máxima de partículas retidas

deve aumentar (ver equação (86)). Esse aumento implica na possibilidade de deposição de mais par-

tículas, segundo a equação (87). Essa deposição além da quantidade depositada antes da mudança

representa uma diminuição progressiva da permeabilidade, até a sua estabilização num novo valor

correspondente a concentração máxima retida dessa vazão mais baixa.

Todavia, se neste mesmo cenário, aumenta-se a vazão ao invés de diminui-la, então a equação

(87) prevê a liberação de parte das partículas previamente retidas, uma vez que o contrário violaria

tal igualdade. Pelo princípio de conservação de massa, essa quantidade de partículas deve entrar em

suspensão, sendo produzida caso não haja captura por exclusão pelo tamanho. A permeabilidade

aumentará instantaneamente, já que a quantidade de partículas depositadas diminuiu. De fato, esse

comportamento é observado nos testes laboratoriais utilizados em Siqueira (2010), Bedrikovetsky et

al. (2011a, 2007a, 2007b, 2012) e Bedrikovetsky et al. (2010).

A partir da modificação exposta na equação (87), é possível resolver o sistema de equações

de filtração profunda para geometria linear analiticamente e o sistema em geometria radial semi-

analiticamente. A Figura 13 mostra um ajuste de dados de laboratório utilizando esta modelagem. A

Figura 14 mostra uma previsão típica para um poço.

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Figura 13: Teste laboratorial (losangos) ajustado pela teoria proposta (curva suave). A quantidadeJ no eixo vertical pode ser encarada como a razão de permeabilidade kmed/k0, com kmed sendo apermeabilidade média do meio poroso. Extraído de Bedrikovetsky et al. (2011a).

2.1.2 Modelos Estatísticos

Modelos Estocásticos

Sahimi et al. (1990) caracterizam estes modelos como um estágio intermediário entre os modelos

fenomenológicos e os modelos de análise de trajetória, em termos de nível de detalhe microscópico.

É comum que, nesses modelos, as partículas ou os poros sejam distribuídos estatisticamente segundo

algum parâmetro, como o tamanho ou a forma. Sharma e Yortsos (1987a, 1987b, 1987c) deduziram as

equações básicas de balanço de particulado no transporte de suspensões em meios porosos. O modelo

leva em consideração a variação nas distribuições de poro e partículas nos diversos mecanismos de

captura. É assumido que o todo o espaço poroso é acessível para partículas e que a população de

partículas se move com a velocidade média do fluido que a carreia.

O efeito do número de coordenação da rede de poros é investigado em Chen et al. (2003). O

número de coordenação é a quantidade de poros vizinhos conectados a um poro. Por exemplo, para a

rede triangular bidimensional este número é 6. Sharma e Yortsos (1987c) afirmam que o número de

coordenação típico de um meio poroso consolidado varia entre 6 e 14. Neste trabalho, é obtida a solu-

ção completa do modelo do balanço de populações descrito em Sharma e Yortsos (1987c) para a rede

quadrada e para capilares paralelos infinitos (números de coordenação 4 e infinito, respectivamente).

Esta solução é obtida aplicando-se o princípio da colocação ortogonal e o método pseudo-espectral

baseado no polinômio de Chebyshev. Também são realizadas comparações entre a solução obtida por

este procedimento com dados experimentais.

A introdução dos fatores de redução ao fluxo e à acessibilidade na equação do balanço de po-

pulações é apresentada em Santos e Bedrikovetsky (2006). Em Bedrikovetsky (2008) é incluída a

estocagem de partículas em poros não-conectados e a variação na porosidade. Para ilustrar o tipo de

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31

Figura 14: Previsão de dano à formação em geometria radial usando a teoria de Siqueira (2010),Bedrikovetsky et al. (2011a). Neste caso, a quantidade J do eixo vertical é encarada como a razãoentre ∆P/∆P0, onde ∆P é o diferencial de pressão do poço e da formação e ∆P0 é esse mesmo diferencialno início da injeção. Extraído de Siqueira (2010).

modelagem envolvida quando se fala de modelagem estocástica, enunciar-se-á este último modelo

aqui.

Antes de expor o modelo de Bedrikovetsky (2008), faz-se necessário definir alguns conceitos. A

distribuição de concentração superficial de poros H (rp,x, t) é definida pelo número de poros Hdrp

com tamanhos no intervalo [rp,rp +drp] que atravessam uma seção transversal unitária. Esta distri-

buição é utilizada para determinação de fluxos e de porosidades. A partir dessa definição, é possível

inferir que a concentração total de poros pode ser obtida por:

h(x, t) =∞∫

0

H (rp,x, t)drp, (88)

em que x é a coordenada espacial e t a coordenada temporal. A concentração volumétrica de poros

Hv (rp,x, t), que é utilizada para a taxa de captura de partículas, é definida pelo número de poros Hvdrp

com tamanhos entre rp e rp +drp por unidade de volume de rocha. As distribuições de concentração

superficial e volumétrica de poros estão relacionadas por:

Hv =Hl, (89)

na qual l é o parâmetro de comprimento de referência do meio poroso. Este parâmetro é da ordem de

magnitude do comprimento médio dos poros.

Para construção da modelagem proposta, Bedrikovetsky (2008) idealizou o meio poroso como

uma sequência de capilares paralelos e câmaras de mistura (Figura 15). Esses capilares tem compri-

mento igual à l . As partículas, portanto, viajam em capilares acessíveis (maiores) que elas. Como

cada capilar possui um tamanho diferente, passam através deles as partículas de diâmetros médios

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possivelmente diferentes. Porém, quando essas partículas chegam na câmara de mistura, a distribui-

ção de tamanhos se homogeniza novamente, ou seja, cada porção da câmara de mistura tem a mesma

distribuição de partículas por tamanho. A consequência prática desta consideração é que todos os

capilares aos quais a câmara de mistura se liga tem a mesma distribuição de partículas que por ele

devem passar.

Figura 15: Modelo geométrico de meio poroso como um conjunto de capilares paralelos alternadospor câmaras de mistura. a) Corte do meio poroso ao longo da direção do fluxo e b) corte em direçãoortogonal ao fluxo Bedrikovetsky (2008).

Essa modelagem considera dois processos de captura de partículas: a captura por exclusão pelo

tamanho e captura elétrica. A captura por exclusão pelo tamanho ocorre na entrada dos poros pe-

quenos, quando da chegada de partículas grandes (Figura 16). Então, a secção transversal de entrada

de cada feixe de capilares paralelos age como uma peneira, pela qual partículas grandes não entram

em poros pequenos e são capturados nas saídas das câmaras (entrada dos capilares). Considera-se

que a captura elétrica ocorre dentro dos capilares (Figura 17). O volume das câmaras é considerado

desprezível frente ao volume dos capilares.

Figura 16: Esquema de uma câmara de mistura (BEDRIKOVETSKY, 2008).

A porosidade é definida como a superfície total de poro da secção transversal em relação à secção

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Figura 17: Retenção de partículas na entrada do poro devido à exclusão pelo tamanho e dentro deleatravés de captura elétrica (BEDRIKOVETSKY, 2008).

transversal da rocha:

φ =

∞∫0

s1 (rp)H (rp,x, t)drp, (90)

em que s1 (rp) é a área secção transversal de um único poro. Para um feixe de capilares paralelos com

câmaras de mistura, s1 = πr2p. Para cada tamanho de partícula (raio rs) existem poros pelos quais a

partícula pode transitar (poros acessíveis) e poros inacessíveis:

φ = φa +φna, (91)

em que φa é a porosidade acessível e φna a porosidade inacessível. Também é definido em Bedriko-

vetsky (2008) o fator de acessibilidade de um (único) poro. Este conceito é ilustrado pela Figura 18.

Este fator, representado por χ , depende dos raios da partícula e do poro. Como χ é adimensional e

dependente apenas dos raios rs e rp, essa quantidade deve depender apenas da seguinte variável:

j = rs/rp, (92)

na qual j é chamado de jamming ratio (razão de bloqueio). A secção transversal acessível de um poro

é igual à χs1.

Com esses conceitos em mente, é sensato postular que as partículas de tamanho rs serão transpor-

tadas através de poros acessíveis e excluídas por seu tamanho nos poros inacessíveis. A depender da

tamanho e da forma da partícula e do poro, pode ocorrer bloqueio parcial ou total do poro. Ambas as

possibilidades estão expostas na Figura 18. Existe um valor j0 mínimo de j para o qual todos os poros

são inacessíveis, ou seja, χ ( j) = 0 para todo j > j0. Esse valor j0 é chamado de razão de bloqueio

crítica. Para um feixe de capilares cilíndricos paralelos com câmaras de mistura e com partículas

esféricas, o fator de acessibilidade χ é dado por:

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34

Figura 18: Esquema da geometria da secção transversal ortogonal ao fluxo no meio poroso. Retiradode Bedrikovetsky (2008).

χ ( j) =

0, j > 1,

(1− j)2 , j < 1.(93)

A partir da definição de χ e do modelo de capilares alternados por câmaras de mistura, é possível

expressar as porosidades acessível e inacessível como:

φa =

∞∫0

s1 (rp)χ (rs/rp)H (rp,x, t)drp, (94)

φna =

∞∫0

s1 (rp)(1−χ)H (rp,x, t)drp. (95)

Bedrikovetsky (2008) afirma que é possível, a partir da equação (95), dividir a porosidade inacessível

em duas partes: no volume inacessível em poros onde χ = 0 e no volume perto das paredes dos poros

acessíveis,

φna =

rs/j0∫0

s1 (rp)H (rp,x, t)drp +

∞∫rs/j0

s1 (rp)(1−χ)H (rp,x, t)drp, (96)

respectivamente.

Para cada poro, assume-se a presença de um fluxo do tipo Poiseuille:

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35

q(rp) =−k1 (rp)

µ

∂P∂x

, (97)

em que P é a pressão. Para poros cilíndricos, k1 (rp) = πr4p/8. A velocidade superficial (Darcy) da

suspensão é calculada por:

U =

∞∫0

q(rp)H (rp,x, t)drp, (98)

na qual U é a velocidade Darcy da suspensão. Por comparação com a lei de Darcy, é possível concluir

que:

k [H] =

∞∫0

k1 (rp)H (rp,x, t)drp, (99)

na qual os colchetes representam dependência funcional e k é a permeabilidade do meio poroso. A

velocidade da suspensão pode ser dividida em acessível e inacessível, ou U =Una +Ua.

Também é introduzida nesta modelagem o fluxo qc (rs,rp) em um único poro que transporta uma

partícula de tamanho rs, ou seja, fluxo de fluido através da fração de poros acessíveis. A fração υ ,

definida pela relação:

qa (rp,rs) = υq(rp) , (100)

é denominada fator de redução de fluxo de um (único) poro. Como depende apenas de rs e rp e é

adimensional, pode ser expressa em termos da razão de bloqueio j. A Figura 17 mostra o comporta-

mento do fluxo em um poro acessível. A partícula, transportada pelo fluxo acessível υq, passa pela

garganta de poro (saindo da câmara de mistura) e adentra o capilar. A partir do perfil de velocidades

dentro de um capilar cilíndrico, é possível estimar υ através de:

υ ( j) =

0, j > 1

(1− j)2 (1+2 j− j2) , j < 1. (101)

Assim como o fator de acessibilidade χ , o fator de redução de fluxo υ também possui uma razão de

bloqueio crítica j0, a partir da qual υ = 0. Tanto χquanto υ tem o mesmo valor de razão de bloqueio

crítica j0.

Com esses conceitos, Bedrikovetsky (2008) enunciou o sistema de equações de filtração pro-

funda da seguinte forma: seja C (rs,x, t) a distribuição da concentração de partículas em suspensão

por tamanho de partículas, Σ(rs,x, t) a distribuição da concentração de partículas retidas por tama-

nho de partículas. Primeiramente, enuncia-se a velocidade Darcy por poros acessíveis Ua através da

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expressão:

Ua =

∞∫0

υ (rs/rp)q(rp)H (rp)drp. (102)

A partir da definição dessa quantidade, define-se um sistema fechado de três equações: a primeira, o

balanço de massa de partículas de tamanho rs:

φa∂

∂ t[C (rs,x, t)]+

∂x[C (rs,x, t)Ua] =−

∂Σ(rs,x, t)∂ t

, (103)

e a segunda, a cinética de captura de partículas de tamanho rs:

∂Σ(rs,x, t)∂ t

=UC (rs,x, t)

lk

∞∫0

[1−υ (rs/rp)+υ pa]k1 (rp)H (rp)drp, (104)

em que pa é a probabilidade condicional de captura elétrica da partícula dado que ela efetivamente

entrou num poro menor que ela. A terceira, que é a cinética de bloqueio dos poros, vem dada por:

∂H (rp,x, t)∂ t

=−k1 (rp)

kUH (rp)

∞∫0

[1−υ (rs/rp)+υ pa]C (rs,x, t)drs. (105)

Para a obtenção das quantidades totais de partículas depositadas e em suspensão, basta proceder com

a integração das respectivas distribuições com respeito ao tamanho das partículas, no intervalo [0;∞):

c(x, t) =∞∫

0

C (rs,x, t)drs,

σ (x, t) =∞∫

0

Σ(rs,x, t)drs.

A partir dessa modelagem, Bedrikovetsky (2008) concluiu que ela explica os tempos de che-

gada de partículas na saída diferentes de um volume poroso injetado observados em alguns dados

experimentais. Todavia, esta modelagem não explica o desvio encontrado nos perfis de deposição de

partícula medidos experimentalmente com aqueles da teoria clássica fenomenológica, pois o modelo

proposto também não ajusta essas medidas.

Shapiro e Bedrikovetsky (2010) expõem um modelo semi-microscópico estocástico de filtração

de suspensões polidispersas em meios porosos cujos poros são distribuídos por tamanho e compri-

mento. Também discutem a solução numérica do sistema resultante. Os autores salientam que, além

do termo dispersivo no espaço, as equações por eles desenvolvidas também possuem um termo de

dispersão temporal. A presença desse termo adiciona um carácter elíptico ao sistema de equações. A

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37

solução desse sistema de equações mostra perfis de deposição hipergeométricos, como reportado em

alguns dados experimentais. Este comportamento é atribuído pelos autores à dispersão temporal.

Modelos de Rede

Sahimi et al. (1990) definem esta classe de modelos como aqueles nos quais o meio poroso é

dividido como uma rede de poros interconectados. A linguagem desses modelos é a da Teoria da

Percolação. Em teoria da percolação (SAHIMI, 1994), o meio é dividido em sítios e ligações. De

cada sítio partem algumas ligações. O número de ligações que parte dos sítios é chamado de número

de coordenação. De maneira geral, existem as redes de percolação de sítio, de ligação e mistas (ou

de sítio e de ligação). A escolha do tipo de rede a ser empregado depende do problema. Na teoria da

percolação clássica, cada ligação (e/ou sítio) tem uma probabilidade de estar aberto ou fechado. Para a

filtração profunda, considera-se geralmente que os sítios são os poros, as ligações as gargantas de poro

e a denominação de fechado ou aberto significa ter ou não partículas depositadas respectivamente.

Chan et al. (2005) investigaram as alterações da permeabilidade sob diferentes curvas de energias

de interação DLVO em partículas com movimento Browniano. Para tal, os autores se utilizaram de

uma rede triangular e do método de simulação da dinâmica Browniana. As ligações entre os sítios

dessa rede foram modeladas por tubos com restrição sinusoidal. A Figura 19 mostra um exemplo da

rede triangular utilizada no trabalho. O método exposto neste trabalho também leva em consideração

a distribuição das partículas e poros por tamanho, sendo focado na distribuição de Rayleigh:

fp(r′)= 2r′ exp

(−r′2

), (106)

em que fp é a densidade da distribuição de poros e r′ é o raio adimensional de poros. A equação

Figura 19: Rede triangular utilizada nas simulações de Chan et al. (2005).

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38

(106) satisfaz a seguinte relação: ∫∞

02r′ exp

(−r′2

)dr′ = 1. (107)

Esta distribuição é então imposta para as ligações através de:

∫ r′1

02r exp

(−(r′)2)

dr′ = 1− exp(−(r′1)2), (108)

r′1 =r f

rmedio=√−ln(1−ai), (109)

em que ai é um número aleatório no intervalo ]0,1[ e rmedio é o raio médio dos poros. As partículas

são distribuídas de uma maneira semelhante.

Neste trabalho, o critério de escolha para definir por qual ligação a partícula deverá seguir quando

chegar em um sítio é estocástico. A probabilidade de escolha de uma ligação é proporcional ao fluxo

que passa por ela. Os mecanismos de captura de partículas considerados neste trabalho foram a

captura por exclusão por tamanho e a captura por deposição direta (elétrica). A exclusão por tamanho

ocorre quando uma partícula encontra uma ligação entre sítios que é menor do que ela. Quando isso

ocorre, a transmissibilidade dessa ligação é reduzida à zero. A captura por deposição direta ocorre

quando a partícula, ao passar por uma ligação, intercepta a parede da ligação (poro).

A geometria das ligações, que simula a geometria do meio poroso, é caracterizada por Chan et al.

(2005) através de células de tubo com restrições. Esses tubos são caracterizados por 3 parâmetros: a

altura h, o diâmetro máximo dmax e o diâmetro da restrição dc. A Tabela 1 apresenta fórmulas para

a determinação dessas quantidades. Para um coletor esférico de diâmetro d f , essas quantidades vem

dadas por:

rc =dc

2=

12〈dc〉⟨d f⟩d f , (110)

rmax =dmax

2=

12

φ (1− swi)⟨

d3f

⟩(1−φ)〈d3

c 〉

1/3

d f , (111)

nas quais swi é a saturação irredutível do meio poroso, φ é a porosidade do meio,⟨d f⟩

é o diâmetro

médio do coletor esférico, 〈dc〉 é o diâmetro médio das restrições dos poros,⟨

d3f

⟩é a média do cubo

dos diâmetros dos coletores e⟨d3

c⟩

é a média do cubo das restrições.

A geometria de restrição sinusoidal é utilizada neste trabalho (FEDKIW; NEWMAN, 1977 apud

CHAN et al., 2005). A janela de controle utilizada nas simulações é exposta na Figura 20. As

expressões para o raio da parede correspondentes a essa estrutura geométrica é:

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39

Tabela 1: Resumo das expressões de caracterização do meio poroso através do modelo de tubo comrestrição. Adaptado de Chan et al. (2005).

Quantidade Expressão

Comprimento de periodicidade, l f

6(1−φ)

]1/3 ⟨d f⟩

Número de células unitárias por unidade, Nc6φ(1−swi)

π〈d3c〉

[〈dc〉−φ〈d3

c〉φ(1−swi)〈d3

c〉

]2/3

Altura, h d f

Diâmetro mínimo, dc〈dc〉〈d f 〉d f

Diâmetro máximo, dmax

[φ(1−swi)

⟨d3

f

⟩(1−φ)〈d3

c〉

]1/3

dc

rw =rc + rmax

2

[1+(

rmax− rc

rmax + rc

)cos(

2πzl f

)], (112)

para 0 < zl f< 1. As equações de fluxo utilizadas estão expostas em Tien (apud CHAN et al., 2005).

Figura 20: Janela de controle das simulações de Chan et al. (2005). Retirado de Chan et al. (2005).

Similarmente ao trabalho de Ramarao et al. (1994) entre outros, é adotado o método de simulação

Browniana juntamente com o princípio de análise de trajetória para a simulação do processo de depo-

sição de partículas no trabalho de Chan et al. (2005). Foi assumido que uma posição inicial (rin,θin)

é designada a cada partícula na entrada de uma ligação por um gerador de números aleatórios. Note

que a posição de entrada das partículas está localizada em 0 < rin < r0 e 0 < θ < 2π . A distância

radial r0 é:

r0 =12(dmax−dp) . (113)

A interpretação dessa limitação é o posicionamento realístico da partícula, levando em conta a apro-

ximação finita da partícula da parede do poro, devido ao seu raio. O movimento das partículas pela

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40

integração da equação de Langevin. A velocidade das partículas é representada por:

V ={[

V0e−βc f t +U(

1− e−βc f t)]

F2 (H)+Rv (t)+

+1

βc f

(FLO +FDL

ms

)(1− e−βc f t

)}F1 (H)F2 (H)F3 (H) (114)

com Rv dado por:

Rv (t) =∫ t

0eβc f (ζ−t)A(ζ )dζ , (115)

em que V0 é a velocidade inicial da partícula, ms é a massa da partícula, U é o vetor de velocidade

do fluido, βc f é o coeficiente de fricção por unidade de massa da partícula e F1 (H), F2 (H) e F3 (H)

são os fatores de retardo do vetor normal, da força de arraste e do vetor de cisalhamento, respectiva-

mente. Substituindo dZ/dt por V com a condição inicial Z = Z0 em t = 0, a equação da trajetória das

partículas pode ser expressa como:

Z = Z0 +

{V0

βc f

(1− e−βc f t

)+U

[t− 1

βc f

(1− e−βc f t

)]}F1 (H)F2 (H)F3 (H)+

+

{Rr (t)+

(FLO +FDL

βc f ms

)(t +

e−βc f t

βc f− 1

βc f

)}F1 (H)F2 (H)F3 (H) , (116)

Rr (t) =∫ t

0

[∫ n

0eβc f ζ A(ζ )dζ

]e−βc f ndn (117)

em que A(t) representa um processo de ruído branco Gaussiano. Mais detalhes podem ser encontra-

dos em Ramarao et al. (1994). Nas equações (114) e (116), FLO e FDL são as forças de van der Waals

e de repulsão eletrostática respectivamente. Essas forças são oriundas das interações entre a partícula

e a superfície do coletor e vem dadas por:

FLO = ∇VLVA, FDL = ∇VDLR, (118)

com as seguintes relações (potenciais VLVA e VDLR em unidades de kBT , onde T é a temperatura

absoluta):

VLVA =−NLVA

[2(H +1)H (H +2)

+ lnH− ln(H +2)], (119)

VDLR = NE1

{NE2ln

[1+ exp(−X)

1− exp(−X)

]+ ln [1− exp(−2X)]

}. (120)

Portanto a força vem dada por:

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41

FLVA =− 2A3rs

[1

(H2 +2H)2

], (121)

FDLR =2kBT

rsNE1

(NDLe−NDLH){NE2− e−NDLH

1− e−2NDLH

}, (122)

em que:

H =hs

rs, NLVA =

A132

6kBT,

NDLR = κrs , X = NDLH,

NE1 =υrs(ϕ2

1 +ϕ22)

4kBT, NE2 =

2(ϕ1/ϕ2)

1+(ϕ1/ϕ2)2 .

Nessas equações, hs é a menor distância de separação entre a partícula e a superfície do coletor, A é a

constante de Hamaker, kB é a constante de Boltzmann, T é a temperatura absoluta, κ é o recíproco da

espessura da dupla camada elétrica, υ é a constante dielétrica do fluido, e ϕ1 e ϕ2 são os potenciais

das superfícies da partícula e do coletor, respectivamente. A soma desses potenciais forma o potencial

total de interação DLVO.

A cada passo de tempo da simulação, verifica-se se a distância da partícula com a parede do poro

do qual se aproxima é menor que o diâmetro da partícula. Se isto ocorre, a partícula é capturada.

Quando essa captura se dá na ligação da rede, o aumento do diferencial de pressão é calculado pelos

autores por:

∆ps =12µrsU0

r2f0

[1−(

1− rs

r f0

)2]2

K1, (123)

em que:

K1 =

1− 2r2s

3r2f0

−0,20217(

rsr f0

)5

1−2,1050 rsr f0

+2,0865(

rsr f0

)3 −1,7068(

rs

r f0

)5

+0,72603(

rs

r f0

)6

, (124)

na qual U0 é a velocidade do fluido na linha central e r f0 é o raio inicial da ligação. O diferencial total

de pressão através da ligação é:

∆ptotal = ∆ptube +∆ps, (125)

em que ∆ptube é calculado pela expressão:

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42

∆ptube =16µl fU0

r2fnew

, (126)

em que r fnew esta relacionado à r f0 por:

1r4

fnew

=1

r4f0

+0,75r4

f0

N

∑i=0

rsi

l f

[1−(

1− rsi

r f0

)2]2

K1, (127)

na qual l f é o comprimento de periodicidade e N é o número total de partículas capturadas. Caso r fnew

atinja um valor inferior à 3,0〈rs〉, a ligação é considerada bloqueada pela captura de partículas.

A equação que Chan et al. (2005) utilizaram para estimar a permeabilidade da i-ésima ligação em

função das partículas depositadas é:

Ki =φ 3

i⟨d f⟩2

180(1−φi)2 , (128)

na qual φi é a porosidade da i-ésima ligação, que é calculada por:

φi =VfiVfi0

φ0 =r2

fi,new

r fi0φ0, (129)

em que Vfi = πr2fil fi e φ0 é a porosidade inicial da i-ésima ligação. Se existem NL ligações na rede,

então a permeabilidade total do filtro de comprimento L é:

K =∑

NLi=1 Ki

NL. (130)

A definição de volumes porosos de fluido injetado é dada por:

p.v.=Uintφ0L

=CinVf

Vs, (131)

em que:

Vf =NL

∑i=1

πr2fil fi, (132)

Vs =NL

∑i=1

43

πr3sm,i, (133)

nas quais Uin é a velocidade de influxo, Cin é a taxa de entrada de partículas (concentração numérica

por unidade de tempo) e rsm,i é o raio médio das partículas entrando no meio poroso no capilar i.

Para compreender o efeito do movimento Browniano na captura de partículas, Chan et al. (2005)

realizaram simulações de filtração profunda utilizando duas curvas de interação DLVO, uma com

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43

barreira energética (presença de mínimo secundário) e outra sem barreira energética. A Figura 21

mostra uma dessas simulações, comparando as diferenças entre os dois tipos de curvas com e sem o

efeito Browniano. A comparação entre as razões de permeabilidade da Figura 21 para as curvas de

interação DLVO com mínimo secundário mostram que a inclusão do movimento Browniano reduz a

permeabilidade do meio poroso. A explicação dada pelos autores à fenômeno é a seguinte: a dificul-

dade imposta pela barreira energética à deposição, aliada a capacidade do movimento Browniano de

aumentar a penetração das partículas no meio poroso, aumenta a probabilidade de captura de partícu-

las em poros pequenos. O aumento desta probabilidade causará maior dano do que o esperado para o

caso sem movimento Browniano.

Figura 21: Curvas teóricas de razão de permeabilidade em função do tempo e permeabilidade inicial(k/k0) para os dois tipos de curva de interação DLVO. Curva cheia: interação DLVO com mínimosecundário e considerando movimento Browniano. Curva tracejada: interação DLVO com mínimosecundário sem movimento Browniano. Curva traço-e-ponto: interação DLVO sem mínimo secundá-rio e com movimento Browniano. Curva pontilhada: interação DLVO sem mínimo secundário e semmovimento Browniano (CHAN et al., 2005).

Já para a interação DLVO sem mínimo secundário, a Figura 21 mostra o comportamento oposto.

Isto é explicado pelos autores justamente pelo fato de que esse tipo de curva de interação favorece a

deposição direta, e o movimento Browniano dispersa as partículas sobre as ligações da rede, ocasio-

nando uma menor taxa de redução de permeabilidade para a simulação com movimento Browniano.

Chan et al. (2005) realizaram uma comparação de simulações desse modelo com dados experimentais.

Essa comparação mostra que o modelo desenvolvido pelos autores, embora contenha menor erro que o

modelo convectivo-difusivo (PRIEVE; RUCKENSTEINN, 1974 apud CHAN et al., 2005), ainda não

explica completamente a deposição de partículas em determinadas situações, mais especificamente, a

baixas forças iônicas.

Chang e Chan (2006) estendem o trabalho de Chan et al. (2005) e realizam uma comparação

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44

entre três tipos de redes de percolação (quadrada modificada, triangular e colmeia), utilizando dois

tipos de curvas de interação DLVO, também através da simulação dinâmica Browniana. Este trabalho

mostra que a rede em colmeia possui a maior eficiência de filtração. Mostra também que, no caso de

condição desfavorável à deposição, a rede triangular apresenta menor discrepância experimental que

o modelo convectivo-difusivo. A Figura 22 mostra as redes quadrada modificada e em colmeia.

(a)

(b)

Figura 22: Redes de percolação utilizadas em (CHANG; CHAN, 2006): a) rede quadrada modificadae b) rede em colmeia.

Lee e Koplik (2001) realizaram simulações numéricas em vários tipos de rede para fluxo no meio

poroso. O mecanismo de captura considerado é o de exclusão pelo tamanho, e esse autor considera

também um mecanismo de liberação denominado relançamento, que ocorre consiste na liberação de

uma partícula previamente capturada pela passagem de outra que ainda se encontra em suspensão

(GHINDAGLIA et al., 1996 apud LEE; KOPLIK, 2001). Nessas simulações, os autores utilizaram

uma rede cuja configuração é simular aquela da Figura 22.a, que é a de uma rede quadrada modificada.

Consideraram também que as partículas possuem um único tamanho definido, mas as ligações são

distribuídas por tamanho. Realizaram simulações em dois tipos de autômatos celulares, onde as

partículas se movem num campo de fluxo fixo e em uma rede mais complexa, onde as partículas

podem interagir com o campo de fluxo. Para os autômatos, a possibilidade de relançamento foi

descartada. A captura das partículas, em todas as redes, ocorre quando uma partícula encontra uma

ligação menor que ela.

Os autômatos possuem dois conjuntos de regras simplificadas de movimentação de partículas no

tocante a seleção das ligações. A Figura 23 mostra as possíveis situações da partícula quando chega

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a um poro (sítio), oriunda de uma das ligações da esquerda (o fluxo se da da esquerda para direita).

Caso uma das ligações esteja fechada, a partícula prosseguirá pela outra ligação. Se ambas as ligações

estiverem fechadas, a partícula bloqueia o poro, e nenhuma partícula poderá mais entrar nele. Quando

ambas as duas ligações estiverem abertas, Lee e Koplik (2001) consideraram duas possibilidades, cada

uma considerada como um tipo diferente de automato.

(a) (b) (c)

Figura 23: As três configurações de ligação de poro possíveis, em termos de seleção de ligação desaída da partícula: (a) ambas as ligações de saída estão bloqueadas, (b) uma ligação bloqueada e (c)nenhuma ligação bloqueada. Adaptado de Lee e Koplik (2001).

Para o caso da regra de sem mistura, a partícula que entra pela ligação 1 da Figura 23.c sairá

sempre pela ligação 3. Caso a partícula entre no poro pela ligação 2, a partícula sairá pela ligação 4.

Para o caso da regra de mistura completa, a ligação de origem da partícula não influência a escolha

da ligação de saída, que é escolhida aleatoriamente entre uma das duas, cada qual com igual probabi-

lidade. A regra de sem mistura é mais adequada a modelagem de partículas que não estão sujeitas à

difusão significativa (partículas grandes). A regra de mistura completa, por sua vez, é mais adequada

para partículas sujeitas à difusão (partículas pequenas em movimento Browniano, por exemplo).

Lee e Koplik (2001) demonstraram que os automatas construídos por essas duas regras se com-

portam de maneira bem diferente. O regime permanente da versão com mistura completo exibe um

limite de percolação bastante definido do estado aberto para o fechado, ou seja, existe uma proporção

mínima de canais tamponáveis em relação à sua totalidade para que o meio poroso tenha uma eficiên-

cia de filtração não nula no limite assintótico de tempo infinito. Para valores menores dessa proporção,

o meio poroso é completamente ineficiente para tempos suficientemente grandes. Por outro lado, o

automato com a regra de sem mistura não exibe este comportamento, o que é mais condizente com o

processo de filtração profunda segundo os autores.

O modelo de rede exposto por Lee e Koplik (2001) seguiu uma regra análoga que a regra de sem

mistura no que tange a escolha da ligação por onde a partícula passaria. Todavia, os autores conside-

raram a possibilidade da partícula tomar a outra ligação, caso o fluxo por ela fosse maior. A decisão,

neste caso, seria randômica, com probabilidade proporcional ao fluxo pelas ligações. Todavia, se o

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fluxo fosse maior pela ligação que, segundo a regra de sem mistura, seria automaticamente escolhida,

então a partícula sempre seguiria por esse caminho. Os resultados para as simulações dessa rede fo-

ram comparáveis às do automato e a de dados experimentais em termos qualitativos. Os autores não

dispunham de poder computacional suficiente para comparações quantitativas.

2.2 Injeção de Água de Baixa Salinidade

Nesta seção será realizada uma breve exposição sobre o estado da arte de três temas relacionados

à injeção de água de baixa salinidade: o inchamento de argilominerais (seção 2.2.1), a migração de

finos (seção 2.2.2) e a mudança de molhabilidade de arenitos (seção 2.2.3) devido a essa injeção.

2.2.1 Inchamento de Argilominerais

Embora não seja o objetivo primário desta tese, é importante notar determinados fatos sobre o

inchamento de argilominerais quando da sua exposição à água de baixa salinidade. O inchamento

de argilominerais consiste do aumento de volume de uma amostra de argilomineral ocasionado pela

exposição desta amostra a uma solução salina que não esta em equilíbrio com ela.

Em Norrish (apud ZHOU et al., 1996) são definidos dois tipos de inchamento de argilomineral:

o cristalino e o osmótico. No inchamento cristalino, existe uma limitação no espaçamento do eixo

cristalográfico “d” que limita o aumento de volume da amostra. Norrish (apud ZHOU et al., 1996)

sugerem que nesse tipo de inchamento, as moléculas de água são estruturadas em camadas em torno

dos cátions intercamada do argilomineral, quando ocorre a inibição da amostra pela presença de

cátions di- e tri-valentes na solução. De maneira geral, a expansão dessa amostra é menor que aquela

apresentada no inchamento osmótico, e essa expansão é muito pouco sensível à concentração do

cátion em solução. A Figura 24 ilustra esse tipo de inchamento num teste de medição de raios X

numa amostra de montmorilonita com cátions Ca+2 intercamada em solução de CaCl2 à diversas

concentrações. A quantificação do inchamento através da difratometria de raio X é possível porque

o espaçamento no eixo “d” medido por essa técnica está diretamente relacionado com a expansão do

mineral em nível macroscópico.

Já no inchamento osmótico, o aumento de volume da amostra é bastante acentuado e muito sen-

sível à concentração de cátions presentes na solução. A Figura 25 exibe um teste semelhante ao

realizado pela Figura 24 com amostras de montmorilonita da mesma fonte, com a diferença que neste

caso, as amostras tinham cátions intercamada Na+ e solução de cloreto de sódio. A partir deste re-

sultado, Zhou et al. (1996) concluem que há um aumento significativo do volume com a redução da

concentração da solução.

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47

Figura 24: Difratogramas de raio X para teste de inchamento de argila de amostras de montmorilonitacom cátions Ca+2 em solução de Cloreto de Cálcio em diferentes concentrações. Notar que a posiçãodo pico dos difratogramas praticamente coincide em diferentes concentrações, evidenciando aparenteinsensibilidade à concentração da solução (extraído de Zhou et al. (1996)). Razão entre volume desolução e volume de argilominerais presentes nela Wwater/Wclay = 5. No eixo horizontal, temos oângulo da medição.

Figura 25: Difratogramas de raios X para amostra com cátions intercamada Na+ imersa em soluçãode NaCl à diversas concentrações. Notar que a posição dos picos muda conforme a concentração decloreto de sódio, evidenciando a sensibilidade do inchamento à essa variável (extraído de Zhou et al.(1996)). Razão entre volume de solução e volume de argilominerais presentes nela Wwater/Wclay = 5.No eixo horizontal, temos o ângulo da medição.

Todavia, não é comum que os fluidos presentes ou injetados em reservatórios sejam mono-iônicos,

e sim misturas com mais de um tipo de cátion e aniôn. Para melhorar a compreensão do fenômeno do

inchamento de argilas nessas condições, Zhou et al. (1996) imergiram amostras de argilominerais em

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48

soluções di-iônicas em diferentes proporções entre os cátions e à diferentes forças iônicas, as quais

foram examinadas em difração de raio X para quantificar o inchamento. Foi possível observar que,

para o sistema de cátions Ca+2/Na+, existe uma proporção mínima [Ca+2]/[Na+], que é função da força

iônica, a partir da qual o inchamento é cristalino e o dano à formação é minimizado (ver Figura 26).

Além disso, Zhou et al. (1996) afirmam que a natureza dos ânions em solução não afeta o fenômeno

de inchamento de argilas, mas, a estrutura composicional do argilomineral tem influência importante

nesse fenômeno.

Figura 26: Diagrama de inchamento de montmorilonita no espaço composicional NaCl/CaCl2 (ex-traído de Zhou et al. (1996)).

Os argilominerais são minerais formados pela composição de camadas octaédricas e tetraédricas.

Essas composições são unidas umas as outras através de íons intercamada, formando a amostra do

mineral como um todo. Os dois grupos mais susceptíveis ao inchamento são o da esmectita e da

vermiculita (ZHOU et al., 1996). Alguns grupos de argilominerais são susceptíveis à migração, e

outros ainda são susceptíveis à ambos modos de dano. Civan (2007) classifica os argilominerais em

3 grupos básicos: grupo das caulinitas, grupo das esmectitas (ou montmorilonitas) e grupo das ilitas.

Existem diversos argilominerais formados pela combinação desses três grupos básicos, com camadas

mistas. A Tabela 2, retirada de Ezzat (apud CIVAN, 2007), relaciona os tipos de dano a formação

mais expressivos para cada grupo e para os argilominerais de camada mixta.

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49

Tabela 2: Problemas típicos causados por argilominerais autigênicos.

Mineral Área de Superfície (m2/g) Problema mais expressivo

Caulinita 20 Parte-se, migra e se concentra nas

gargantas de poro, causando

plugueamento severo e perda de

permeabilidade.

Clorita 100 Extremamente sensível à ácidos e águas

oxigenadas. Precipitará Fe(OH)3

gelatinoso que não passará pelas

gargantas de poro.

Ilita 100 Tampona gargantas de poro com outros

finos mobilizados. Lixiviação do

potássio a tornará expansível.

Esmectita 700 Sensível à água, 100% expansível. Causa

perda de microporosidade e

permeabilidade.

Camada mixta 100-700 Parte-se em agregados, fazendo pontes

no poros, reduzindo a permeabilidade.

2.2.2 Migração de Finos

O processo de mobilização, migração e captura de finos é uma variante da filtração profunda, a

medida que neste processo as partículas são liberadas in-situ, ao invés de serem injetadas. Analoga-

mente, a migração de finos também tem o potencial de redução de condutividade hidráulica, levando

ao dano à formação. A definição exata de finos na literatura é controversa, e por esse motivo, adotar-

se-á a definição exposta em Byrne e Waggoner (2009): fino é todo componente sólido de uma rocha

que pode se mover dentro ou através dos poros dessa rocha.

Hewitt (1963) propõe uma série de testes para identificar se uma determinada formação é sensível

(isto é, susceptível à dano) à injeção de água doce. Para este autor, a formação pode ser classificada

como insensível à água, sensível à água devido ao inchamento de argilas e sensível à água devido ao

tamponamento dos poros por partículas. Essa classificação é obtida através da reunião de testes de

permeabilidade à diferentes salinidades, identificação de raio X dos minerais em grãos menores que

16 mícrons, exame microscópico de lâminas petrográficas e testagem direta de inchamento de argilas

para o caso de fluxo monofásico.

Muecke (1979) realizou a observação direta da mobilização e captura de finos em um micromo-

delo físico (ver Figura 27). A partir da análise mineralógica de partículas finas de rochas de formações

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50

da Costa do Golfo dos Estados Unidos, este trabalho estabeleceu que nem todas as partículas de finos

são de argilominerais (Figura 28). Foi observado nos experimentos de fluxo monofásico no micromo-

delo da Figura 27 que os finos se movem dentro do meio poroso até formarem pontes nas gargantas

dos poros. Essa pontes, porém, podem ser perturbadas por variações de pressão ou reversões de

fluxo. Além disso, concluiu que a molhabilidade das partículas tem importante influência no pro-

cesso de mobilização de finos, uma vez que os finos só se movimentam caso a fase que lhes molhe

esteja fluindo. Ainda mais, o fluxo simultâneo de óleo e água tende a mobilizar os finos, pois a água é

móvel o suficiente para carrear os finos e o fluxo simultâneo das duas fases gera distúrbios de pressão

que tendem a desestabilizar as pontes de finos. Foi possível para Muecke observar que, quando o

fluxo de água se dá com a saturação de óleo residual, rapidamente ocorre uma condição de equilíbrio

de pontes de finos na qual praticamente não há finos móveis, desde que a velocidade desse fluxo seja

constante. Finalmente, foi observado por Muecke que a injeção de solventes mútuos ou surfactantes

mobilizam finos que estejam retidos devido à forças capilares e de molhabilidade.

Figura 27: Esquema do micromodelo utilizado por Muecke (1979) para observar o movimento definos no meio poroso.

Figura 28: Conteúdo mineralógico médio das partículas de finos presentes em cinco formações daCosta do Golfo dos Estados Unidos (retirado de Muecke (1979)).

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51

Gruesbeck e Collins (1982) realizaram uma série de experimentos a partir dos quais construíram

uma teoria fenomenológica para a mobilização e deposição de finos no caso da liberação mecânica

(por velocidade elevada de fluxo). Uma das importantes observações reportadas nesse trabalho é

a existência de uma velocidade crítica, abaixo da qual não ocorre mobilização de finos aderidos à

matriz e acima da qual os finos são liberados e sua taxa de liberação é linearmente proporcional à

diferença entre a velocidade de fluxo e a velocidade crítica. Para formular sua teoria, Gruesbeck e

Collins (1982) admitiu que existem dois eventos no meio poroso: a liberação de finos do arcabouço

da rocha e sua captura pelo meio poroso. A captura dos finos foi pelos autores subdividida em de-

posição em superfície e deposição por plugueamento, como ilustrado na Figura 29. Assim sendo, foi

admitido que o meio poroso podia ser concebido como um conjunto de capilares paralelos que eram

subdivididos entre tamponáveis e não-tamponáveis, a depender do tamanho das gargantas de poros e

das características dos finos mobilizados, bem como da sua concentração no fluido em movimento.

Além disso, só é considerado dano a deposição por pluguemento (exclusão pelo tamanho).

Figura 29: Concepção do meio poroso como conjunto de capilares paralelos temponáveis e não-tamponáveis. Nos primeiros, ocorre a formação de pontes (depósitos de tamponamento) e nos outrosocorrem depósitos de superfície (extraído de Gruesbeck e Collins (1982)).

As bases do modelo de Gruesbeck e Collins (1982) são as mesmas da filtração profunda (HERZIG

et al., 1970). Para uma suspensão em fluxo linear unidimensional com secção transversal constante,

baixas concentrações de partículas depositadas e em suspensão e porosidade assumida constante e

igual à inicial φi, Gruesbeck e Collins (1982) utilizou a seguinte equação de balanço de massa de

partículas:

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φi∂c∂ t

=−Vx∂c∂x−φi

∂σ

∂ t. (134)

Para modelar a cinética de captura de partículas, o meio poroso em questão é dividido em capilares

paralelos pertencentes a dois grupos: capilares tamponáveis e capilares não-tamponáveis. Assim, todo

volume elementar do meio poroso possui uma fração de f caminhos tamponáveis e 1− f caminhos

não-tamponáveis. Definimos então up como a densidade de fluxo volumétrico de fluido escoando por

caminhos tamponáveis e unp como a densidade de fluxo volumétrico de fluido escoando em caminhos

não plugueáveis, perfazendo uma densidade total de fluxo:

Vx = f up +(1− f )unp. (135)

A partir da definição de up e unp, definimos as frações volumétricas σp e σnp, dos respectivos vo-

lumes porosos f φi e (1− f )φi, preenchidos por depósitos de tamponamento e de não-tamponamento.

Do ponto de vista do sistema de captura de partículas, deve-se enunciar agora as cinéticas de captura

e liberação de ambos os tipos de depósitos σp e σnp.

Para σnp, a série de experimentos de Gruesbeck e Collins (1982) permitiu que este autor formu-

lasse a seguinte cinética:

∂σnp

∂ t=−α (unp−uc)σnpH(unp−uc)+ εc, (136)

na qual uc é a velocidade crítica do meio poroso, α e ε são constantes empíricas e H(y) é a função

passo unitário de Heavside:

H(y) =

1, y≥ 0

0, y < 0. (137)

Para σp, é esperado que ocorra um efeito bola de neve, pois a deposição por tamponamento

tende a reduzir gradativamente o raio efetivo dos poros tamponáveis, o que implicaria num aumento

progressivo da captura. Por esse motivo, Gruesbeck e Collins (1982) postularam que a cinética de

captura de σp deve ter a seguinte forma:

∂σp

∂ t= (δ +ησp)upc, (138)

na qual δ e η são constantes empíricas.

Para completar a teoria exposta, é mister utilizar a lei de Darcy para descrever a divisão do fluxo

em termos das permeabilidades kp (σp) e knp (σnp) referentes aos capilares paralelos tamponáveis e

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não tamponáveis respectivamente. Neste sentido:

up

Vx=

kp (σp)

kp (σp)+ knp (σnp). (139)

Para relacionar as permeabilidades com a deposição, Gruesbeck e Collins (1982) utilizaram as

seguintes relações empíricas:

kp = kpi exp(−aσ

4p), (140)

knp =knpi

1+βσnp. (141)

Nas equações (140) e (141), kpi, knpi, β e a são constantes fenomenológicas.

Khilar e Fogler (1983) aprofundaram os estudos sobre a influência da salinidade no processo de

liberação de finos. A Figura 30 demonstra a influência da salinidade no processo de dano à formação

em uma amostra de arenito Berea no decorrer de um teste em laboratório. É possível observar que só

existe dano significativo a partir da redução da salinidade abaixo de um determinado valor limite. Este

comportamento foi observado pelos autores de maneira sistemática, o que lhes permitiu formular o

conceito de concentração crítica de sal, ou seja, a concentração mínima de sal necessária para manter-

se a rocha sem dano. Assim, abaixo desta concentração, não ocorre liberação de finos passíveis

de captura pelo meio poroso. Esta concentração pode depender de uma série de fatores, como a

mineralogia das partículas, velocidade de fluxo, tipo do sal da solução injetada e da água de formação

e temperatura. Nesta tese, exceto quando afirmado em contrário, água de baixa salinidade é aquela

que possui concentração salina abaixo da concentração crítica de sal.

Figura 30: Influência da salinidade no dano à formação, demonstrando o conceito de concentraçãocrítica de sal. A amostra é um arenito Berea, com 1 polegada de diâmetro e 1 polegada de compri-mento. A vazão de injeção é de 100 cm3/h (adaptado de Khilar e Fogler (1983)).

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Além disso, Khilar e Fogler (1983) também reportam claramente que a direção do fluxo no meio

poroso, bem como a duração desse fluxo, influi de maneira significativa no dano total sofrido pela

rocha. A Figura 31 mostra que é possível recuperar parcialmente a permeabilidade original da rocha,

embora apenas por um determinado período de tempo, revertendo-se a direção do fluxo no meio po-

roso. Este comportamento é explicado por eles devido à desestabilização das pontes de finos presas

nas gargantas de poros. A reversão no fluxo alivia as forças de arraste que mantém as partículas presas

às gargantas de poro, causando o ganho instantâneo de condutividade hidráulica. Mas, comforme es-

sas partículas são carreadas na direção oposta ao fluxo, elas poderão eventualmente encontrar outras

gargantas pelas quais não poderam passar, gradualmente reduzindo a permeabilidade (ver Figura 31,

no intervalo [60,80] do eixo dos volumes porosos). Para tornar o ganho de permeabilidade gerado

pela reversão de fluxo permanente, essa reversão deve ser realizada com água salgada (alta salinidade).

Dessa forma, as partículas que anteriormente estavam presas pelas pontes serão liberadas e recaptu-

radas na superfície dos poros (ver Figura 31, intervalos [100,140] e [170,200]). Finalmente, Khilar e

Fogler (1983) sugerem um modelo matemático empírico para previsão da queda de permeabilidade

baseado na divisão do meio poroso em uma série de segmentos analizados independentemente no que

concerne a liberação e captura de finos.

Figura 31: Influência da direção do fluxo no dano à formação. SF - Água salgada injetada para frente,SR - Água salgada na direção reversa, FF - Água doce (pouco salina) injetada para frente, FR - Águadoce na direção reversa (adaptado de Khilar e Fogler (1983)).

Em Khilar et al. (1983) é estabelicido que não apenas a concentração de sal da água injetada é

importante mas sim como se da a variação dessa quantidade no decorrer da injeção. Em outras pala-

vras, além de existir uma concentração crítica de sal, existe uma taxa crítica de variação da salinidade,

abaixo da qual a rocha retém sua permeabilidade praticamente inalterada. Nesse trabalho, a taxa de

variação de salinidade foi medida como a razão entre a vazão volumétrica de injeção e o volume do

misturador. A explicação dada para este fenômeno é que a mudança mais abrupta de salinidade causa

a liberação de partículas durante um intervalo de tempo relativamente mais curto. Como a concen-

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tração dessas partículas é alta, a probabilidade de formarem pontes e pluguearem poros também é

alta e a redução de permeabilidade é drástica. Quando a taxa de variação de salinidade é menor, a

liberação de partículas é mais gradual e a concentração delas no fluido também é menor, reduzindo a

probabilidade da formação de pontes com consequente preservação da permeabilidade da amostra. A

Figura 32.a mostra um caso onde a taxa crítica de variação da salinidade não foi excedida e a Figura

32.b é o seu contraponto.

(a)

(b)

Figura 32: Influência da taxa de variação de salinidade, a) Taxa de variação de 0,125 h−1 (abaixo dovalor crítico), b) Taxa de variação de 1,316 h−1 (acima do valor crítico). Círculos representam razãode permeabilidade enquanto triângulos representam concentraçoes em suspensão no efluente. A taxacrítica de variação de salinidade nestas amostras na velocidade de fluxo superficial (25,6 cm/h) dessesdois testes é de 0,40 h−1 (adaptado de Khilar et al. (1983)).

Gabriel e Inamdar (1983) realizaram uma série de testes laboratoriais com o fito de compreender

e evitar a migração de finos. Esses autores classificaram a liberação de finos segundo a sua causa

em dois mecanismos distintos: o mecanismo mecânico e o químico. O mecanismo mecânico se da

quando o fluxo no meio poroso tem energia (em termos de velocidade) suficiente para deslocar as par-

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tículas aderidas na superfície dos poroso e carreá-las no fluxo, possivelmente até o momento no qual

essas partículas encontrem uma garganta de poro pela qual não podem passar. O mecanismo químico

de migração de finos é caracterizado pelo dano repentino logo após a diminuição da salinidade da

água injetada, atribuida a sensibilidade de alguns argilominerais a essas soluções menos salinas. Ao

contrário de Khilar e Fogler (1983) porém, Gabriel e Inamdar (1983) afirmam que não se pode definir

uma salinidade mínima absoluta abaixo da qual ocorrerá dano, e que o fator preponderante do dano

nessas situações é a taxa na qual essa salinidade é diminuida. Em outras palavras, o dano à formação

por mecanismo químico pode ser amenizado ou mesmo evitado caso a salinidade da água injetada seja

alterada de maneira mais gradual. Gabriel e Inamdar (1983) atribui a liberação de finos pela redução

de salinidade pela expansão da dupla camada elétrica que essa redução causa. Com base nesse fato,

os autores sugerem duas maneiras de evitar o dano por mecanismo químico: manter a salinidade da

solução em um nível compatível com a salinidade da água de formação ou diminuir a força repulsiva

da nuvem catiônica pela troca dos cátions relacionados à dupla camada por outros de valência mais

alta. Naquela época, a indústria havia desenvolvido alguns tratamentos a base de sais inorgânicos e

ôrganicos para estabilizar argilominerais que corresponderiam a essa segunda possibilidade. De fato,

Gabriel e Inamdar (1983) testa uma solução de polímero catiônico e reporta o seu sucesso quanto

ao mecanismo químico, embora demonstre também que tal abordagem não funciona contra o dano

pelo mecanismo mecânico. Com respeito a esse mecanismo, os autores observaram que a velocidade

crítica superficial para os arenitos Berea de 150 md é de 0,007 cm/s.

Sharma e Yortsos (1986) formularam um modelo matemático estocástico, utilizando a teoria da

percolação, com base em um coeficiente de liberação (R) e outro de captura (B). Esses coeficientes,

por sua vez, estão relacionados à vazão, a quantidade de finos disponíveis para liberação e a distribui-

ção de tamanhos de poros do meio poroso. Para valores relativamente altos de B, o modelo mostra a

existência de 3 regiões no meio poroso: uma zona danificada, uma zona intermediária moderadamente

danificada e uma zona inalterada (não danificada). Conforme aumenta-se R, a zona intermediária di-

minui em extensão. A localização dessas zonas é calculada explicitamente como função do tempo e

dos parâmetros do processo. Segundo essa abordagem, a permeabilidade é sensível à coordenação da

rede de poros-gargantas e ao tamanho das partículas. Embora seja possível obter resultados simples

para determinados processos simples sob a premissa de apenas um tamanho de partícula liberada pelo

meio poroso, soluções mais gerais são intratáveis do ponto de vista analítico.

Leone e Scott (1988) classificaram os mecanismos de dano à formação por interação rocha/fluido

em 3 classes distintas: migração mecânica de finos, sensibilidade à água e tranformações geoquími-

cas. Embora as duas primeiras classes reconhecidas por esses autores sejam equivalentes as 2 classes

reconhecidas por Gabriel e Inamdar (1983), eles expandem o dano devido à sensibilidade à água para

os casos onde ocorre liberação de finos após o aumento de salinidade, definido esse mecanismo a

partir da alteração de composição e/ou força iônica da água injetada em relação à água de formação.

O mecanismo de transformação geoquímica ocorre quando o fluido induz a dissolução, precipitação

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ou outra reação química liberando finos como subproduto (como é o caso da dissolução de cimento

carbonático pela injeção de CO2). O trabalho de Leone e Scott (1988) objetivava, a partir da análise

de uma série de testes de laboratório, caracterizar as diferentes regiões de um reservatório com res-

peito da liberação de finos. Este trabalho também reconhece que não só alterações de salinidade, mas

também de pH, exercem influência significativa na migração de finos, e sugere que em determinada

região do reservatório por ele estudado (Região M), o dano pode ser controlado diminuindo-se o pH

da água de injeção.

Sarkar e Sharma (1990) realizaram testes laboratoriais com o fito de avaliar a influência do fluxo

bifásico na liberação e captura de finos em meios porosos. Esse estudo mostra que a presença de óleo

mineral apolar reduz o dano causado a rocha devido ao fluxo de água doce (nessas condições, a razão

de permeabilidade k/k0 foi de 1/50 nos testes, enquanto os testes monofásicos mostram uma razão de

1/1000). Esse resultado é obtido tanto quando esse óleo é deslocado pela água doce, quanto quando

este óleo se encontra na saturação residual e água salina (simulando a da formação) é deslocada pela

água doce. Outra bateria de testes demonstrou que, sob as mesmas condições dos testes de óleo

apolar, óleo crú polar mostrou o mesmo dano, exceto quando o testemunho foi saturado inicialmente

com óleo crú. Nestes casos, a razão de permeabilidade foi de 2/3 e a taxa de dano diminuiu.

Outra conclusão importante de Sarkar e Sharma (1990) é que devido as baixas concentrações de

partículas em suspensão e a flutuações localizadas de pressão devido a instabilidades capilares, as

pontes de partículas formadas em fluxo bifásico são instáveis em altos gradientes de pressão. Quando

ocorre o processo de cura (“aging”) do testemunho com óleo crú polar a 700C por 40 dias antes

dos testes, a permeabilidade não diminui em fluxo contínuo, embora diminua caso aja uma pausa no

fluxo. Nestes casos, a razão de permeabilidade obtida esta em torno de 1/15. Isto indica liberação

lenta de finos para tais testemunhos, o que os autores atribuem à uma condição de molhabilidade mista

gerada pelo processo de cura. Além disso, Sarkar e Sharma (1990) estabeleceram, em condições de

fluxo fracionário constante, que a permeabilidade declina gradualmente com o aumento do fluxo

fracionário à água e que ambas as permeabilidades efetivas à água e ao óleo decrescem na mesma

proporção, indicando que ocorre a redistribuição de fluidos dentro dos poros para manter gradientes

de pressão iguais nas fases óleo e água.

Valdya e Fogler (1992) estudaram a influência do pH e da troca iônica para a migração de finos.

Por troca iônica entenda-se a substituição de um íon na estrutura cristalina de um mineral constituinte

da rocha por outro presente no fluido que a percola. Para isto, estes pesquisadores realizaram testes de

injeção de água doce em arenitos Berea, medindo permeabilidade, pH do efluente e de condutividade

elétrica. A medição da condutividade elétrica teve por objetivo quantificar a salinidade do efluente. A

Figura 33 mostra essas medições para testes típicos.

A partir destes testes, estes pesquisadores concluiram que as condições de baixa salinidade e/ou

alto pH de fluido são prejudiciais à formação por causarem a migração de finos, e que ambos esses

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(a)

(b)

Figura 33: Teste típico de migração de finos por injeção de água de baixa salinidade em arenito Bereareportado em (VALDYA; FOGLER, 1992). (a) Dados de pH do efluente e razão de permeabilidades.A linha tracejada corresponde ao início da injeção de água doce. Os triângulos se referem ao pH doefluente. Os círculos correspondem a razão entre permeabilidade atual e inicial k/k0. (b) Dados de pHe condutividade elétrica normalizada. Os quadrados correspondem à condutividade elétrica enquantoos círculos correpondem ao pH. Neste conjunto de dados, foi subtraído o período de injeção anteriorao de injeção da água doce. Retirado de Valdya e Fogler (1992).

fatores podem estar relacionados ao fenômeno de troca iônica (mais especificamente catiônica) e que

por isso precisam ser levados em conta em conjunto. Esse efeito correlato se deve ao fato de os

arenitos, compostos por argilominerais entre outros, agirem como trocadores de cátions e trocam Na+

por H+. Durante a injeção de água de baixa salinidade num testemunho originalmente saturado por

água de alta salinidade (com respeito ao NaCl), existe uma troca entre o Na+ adsorvido nos minerais

da rocha com o H+ presente no fluido. Essa troca gera um excesso de ânions OH-, aumentando o pH

do fluido. Esse aumento por sua vez, tende a diminuir o potencial zeta das superfícies dos minerais

da rocha (Figura 34), o que aumenta a força repulsiva entre os grãos/finos constituintes dessa rocha

tendo em vista a teoria DLVO (Figura 35).

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Figura 34: Potenciais Zeta medidos em caulinita em função do pH, para diversos cátions. Retirado deValdya e Fogler (1992).

Figura 35: Gráfico de potencial de interação em função da distância de separação para várias condi-ções de pH. Retirado de Valdya e Fogler (1992).

Valdya e Fogler (1992) formularam um modelo matemático que permite a previsão da troca iônica

de Na+ por H+ e vice-versa em meios porosos. A adsorção reversível de Na+ num sítio mineral M

pode ser escrita como:

MH+Na+ MNa+H+. (142)

Esta reação química possui constante de equilíbrio k1.

A adsorção de ânions também pode ocorrer, mas em menor escala e apenas em pH baixos

(QUIRK, 1960 apud VALDYA; FOGLER, 1992). Por isso, Valdya e Fogler (1992) deprezaram este

efeito e, invocando a conservação total de sítios de troca iônica, deduziram a seguinte isoterma de

troca para o sódio adsorvido, nNa:

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nNa

Ct=

KI (Na+)(OH−

)1+KI (Na+)

(OH−

) , (143)

na qual, KI = k1/Kw, Kw = produto iônico da água e Ct = MNa+MH, que é o número total de sítios

minerais para troca catiônica (ou a capacidade de troca catiônica CEC, expressa em miliequivalentes

por grama de arenito). Segundo os autores, a equação (143) é muito similar a isoterma de Langmuir,

exceto pelo fato de que a quantidade de sódio adsorvido é também função do pH. Portanto, conforme

o pH da solução aumente ou se torne mais alcalino, a quantidade de sódio adsorvida aumenta, em

acordo com o comportamento observado por esses autores.

A modelagem matemática desses autores trata o arenito como um meio contínuo, uniforme e

homogêneo. A dispersão lateral na direção radial é desprezada. Além disso, a dispersividade axial

é simulada a partir de células de mistura em série. Também foram contemplados efeitos de capa-

citância. Este efeito pode ser simulado assumindo que as regiões isoladas do fluxo se comunicam

com aquelas afetadas por ele a partir de um processo difusivo. Essa comunicação é caracterizada por

um coeficiente total de massa. As equações obtidas a partir de tal modelagem levam a um sistema

não-linear, que não será exposto aqui. A Figura 36 mostra um ajuste desse modelo à um teste. Nesse

teste, a salinidade foi bruscamente diminuida e então o pH do efluente foi medido. A partir desse

modelo, também é possivel prever o comportamento do pH para uma mudança gradual de salinidade.

Byrne e Waggoner (2009) realizaram testes de migração de finos em reservatórios de gás de alta

temperatura da Bacia de Malay, no sudeste da Ásia. Os testes foram conduzidos com duas especifi-

cações: em condições mais próximas às de laboratório (200C, 1000 psi de pressão de confinamento

e 2000 psi de pressão de poro) e em condições mais próximas das condições de produção (1500C,

1000 psi de pressão de confinamento e 8000 psi de pressão de poro). Para evitar possíveis efeitos

oriundos do gás e não da redução da permeabilidade da formação, as permeabilidades eram sempre

medidas na mesma velocidade de referência, isto é, após o incremento de vazão, retornava-se a vazão

de referência e nela se realizavam as medidas de permeabilidade. Um resumo dos resultados destes

testes são apresentados nas Tabelas 3 e 4. A partir desses testes foi possível observar que a migra-

ção de finos para as condições mais próximas as de produção foi em geral mais severa do que aquela

ocorrida em condições de laboratório. Além disso, através de microscopia eletrônica de varredura, foi

possível verificar que houve mobilização de caulinita, e que a deposição das partículas desse mineral

é a principal causa de perda de permeabilidade para essas amostras nesses testes.

Bedrikovetsky et al. (2011b) modelam o fator de película de poços produtores afetados pela mi-

gração de finos. Para tal, esses autores utilizam o modelo de liberação de partículas modificado

exposto em (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a; SIQUEIRA, 2010; BEDRIKOVETSKY et al., 2012).

Este modelo de liberação se baseia no equilíbrio de torques atuantes sobre uma partícula de fino de-

positada no meio poroso. Como consequência disto, existe uma determinada quantidade de finos que

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Figura 36: Ajuste do modelo apresentado em (VALDYA; FOGLER, 1992) para um teste de reduçãobrusca de salinidade. Retirado de Valdya e Fogler (1992).

ficará retida no meio poroso, enquanto outra parte será liberada. A quantidade máxima de finos retida

esta relacionada à velocidade, e somente a ela em caso de água com composição constante. A equação

que modela a quantidade máxima de finos retida com a velocidade é:

σa (U) =

σ0

[1−(

UUm

)2], U ≤Um

0, U >Um

, (144)

onde σa é a quantidade de finos pressa a parede do poro por forças elétricas, Um é a velocidade a partir

da qual não pode haver mais finos presos a parede do poro e σ0 é o valor máximo de finos que o meio

poroso suporta. Esse valor máximo depende apenas da geometria do meio poroso e dos finos.

Considerando, também, que todas as partículas liberadas são aproximadamente do mesmo tama-

nho da garganta de poro, Bedrikovetsky et al. (2011b) assumem que todas as partículas liberadas são

instantaneamente capturadas por exlcusão pelo tamanho. Usando essas considerações, os autores con-

seguem calcular um perfil de deposição de finos por exclusão pelo tamanho. Esse perfil é calculado

considerando que existe uma quantidade de finos σa0 originalmente presente na rocha. Como o fluxo

é radial em poços, a velocidade é função do raio, existe um raio r0 limite a partir do qual os finos não

serão mais móveis. Do raio do poço até este raio limite, considera-se que a diferença σa0−σa (U (r))

é liberada pelo meio poroso, podendo migrar. Porém, como é assumido que as partículas de finos são

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Tabela 3: Resultados dos testes de migração de finos em condições de laboratório reportados em(BYRNE; WAGGONER, 2009).

Amostra F2 F3 F9Profundidade do Testemunho, ft 8214,80 8222,30 9201,60

kg,ref, mD 170 24,9 1,39Vazão de Gás 1, ml/min 42 27 16

kg,1, mD 180 24,7 1,36Vazão de Gás 2, ml/min 83 58 23

kg,2, mD 171 19,6 1,34Vazão de Gás 3, ml/min 165 72 36

kg,3, mD 165 19,2 1,35Vazão de Gás 4, ml/min 330 236 45

kg,4, mD 160 20,7 1,37Vazão de Gás 5, ml/min 463 470 89

kg,5, mD 163 20,6 1,36kg,5/kg,ref 0,959 0,825 0,978

Tabela 4: Resultados dos testes de migração de finos em condições de produção reportados em(BYRNE; WAGGONER, 2009).

Amostra S2A S8A S9APermeabilidade efetiva base ao nitrogênio

humidificado em mD.167 56,2 1,41

Permeabilidade Efetiva ao gás após vazão de10 ml/min em mD (% variação da base).

164 (-1,79%) 51,9 (-7,65%) 1,44 (+2,12%)

Permeabilidade Efetiva ao gás após vazão de50 ml/min em mD (% variação da base).

159 (-4,79%) 50,2 (-10,7%) 1,48 (+4,96%)

Permeabilidade Efetiva ao gás após vazão de100 ml/min em mD (% variação da base).

154 (-7,78%) 48,5 (-13,7%) 1,52 (+7,80%)

Permeabilidade Efetiva ao gás após vazão de200 ml/min em mD (% variação da base).

149 (-10,8%) 41,8 (-25,6%) 1,59 (+12,8%)

Permeabilidade Efetiva ao gás após vazão de500 ml/min em mD (% variação da base).

148 (-11,4%) 36,6 (-34,9%) 1,61 (+14,2%)

do mesmo tamanho que as gargantas de poro, esses finos percorrem apenas a distância até a primeira

garganta, onde são capturados. Macroscopicamente, esta distância é desprezível, e por isso se con-

sidera que os finos capturados são todos instantaneamente capturados. A Figura 37 ilustra esta linha

de raciocínio. A partir do perfil de deposição de partículas por exclusão pelo tamanho, os autores

calculam explicitamente o fator de película associado à esse dano, mostrando que esse fator aumenta

com a vazão e com a quantidade inicialmente disponível de finos no reservatório.

Bedrikovetsky et al. (2011c) derivam equações para a modelagem da liberação, migração e cap-

tura dos finos por exclusão pelo tamanho. Essa captura, segundo os autores, é responsável pela

redução da permeabilidade da rocha durante a produção de alguns campos de petróleo. O sistema de

equações desenvolvido por esses autores inclui uma cinética de captura de partículas. A quantidade de

finos liberados para a captura por exclusão pelo tamanho nesse modelo é calculada a partir do modelo

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(a)

(b)

Figura 37: Aplicação do modelo modificado de liberação de partículas para cálculo do perfil dedeposição de finos. a) Gráfico da quantidade máxima de finos retida (equação 144), em linha tracejadae o perfil de deposição por exclusão pelo tamanho em função da velocidade, em linha cheia. Notarque esse perfil é gerado pela diferença entre σa0 e σa (U). b) Construção do perfil de deposição emfunção da distância radial do poço.

de liberação de partículas modificado exposto em (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a; SIQUEIRA,

2010; BEDRIKOVETSKY et al., 2012). Esse sistema é resolvido para o caso de poço produtor no

regime quase-estacionário, com gradual acumulação de partículas capturadas por exlusão pelo tama-

nho. Essa solução analítica mostra que o fator de película (“skin”) aumenta linearmente com o tempo

e com a quantidade de finos produzida pelo reservatório.

Em (ZEINIJAHROMI et al., 2011b) é descrito um sistema de equações para descrever a mobili-

zação de finos para fluxo unifásicos e bifásicos. Este sistema é baseado no modelo de liberação de

partículas descrito em (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a; SIQUEIRA, 2010; BEDRIKOVETSKY

et al., 2012). Este sistema então é aproximado, para escalas grandes (de campo), por um modelo

de injeção de polímero. Essa aproximação permitiu então o uso do software Eclipse “black-oil” para

simular uma injeção de água de baixa salinidade, onde a migração induzida de finos e o dano à perme-

abilidade proveem um método relativamente simples para controle de mobilidade durante a injeção.

Essa modelagem mostrou que a perda de permeabilidade causada pela migração de finos na zona var-

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rida pela água pode melhorar o desempenho da injeção de água por atraso do aparecimento de água

injetada nos poços e por redução na fração de água produzida em relação ao volume produzido total

(“water-cut”). Nesse sentido, para o caso simulado pelos autores, o fator de recuperação do campo

em termos de volumes porosos injetados para a injeção de água de baixa salinidade era maior do que

para a água de salinidade habitual, embora o fator de recuperação em relação ao tempo real fosse o

mesmo. Isso se explica pela redução nas vazões ocasionadas pela migração de finos.

Zeinijahromi et al. (2012) propõem uma modelagem para migração de finos para fluxo mono-

fásico de gás na saturação de água residual. Este modelo se baseia no conceito de capacidade de

estocagem (BEDRIKOVETSKY et al., 2012, 2011a). O conceito de capacidade de estocagem pre-

coniza que, para quaisquer condições hidrodinâmicas e eletrostáticas de micro escala bem definidas

em um meio poroso, existe uma concentração máxima de partículas retidas correspondente. Todavia

Bedrikovetsky et al. (2012, 2011a) não levam em consideração a possibilidade de retenção de partí-

culas por exclusão pelo tamanho. Neste sentido, Zeinijahromi et al. (2012) modificam este conceito,

considerando-o válido apenas para as partículas aderidas eletricamente ao corpo do poro, e não para

aquelas partículas capturadas nas gargantas de poro por exclusão pelo tamanho. Além dessa modifi-

cação, o modelo proposto em Zeinijahromi et al. (2012) também leva em conta o fluxo não-Darcy em

meios porosos, bem como as mudanças de saturação de água irredutível devido à velocidade. Neste

paper também é desenvolvida a solução analítica para poços em regime pseudo-permanente.

Musharova et al. (2012) realizaram testes de laboratório com formações de arenito e folhelho em

3 temperaturas distintas para suas amostras: 74, 200 e 300oF. Estes autores concluíram que a tem-

peratura tem efeito bastante pronunciado na liberação de finos quando estes finos são argilominerais,

de maneira a agravar o problema de migração de finos com o aumento deste parâmetro. Também foi

constatado que a principal causa deste efeito, segundo a teoria DLVO, é o aumento da força repulsiva

gerada pela dupla camada elétrica. Por fim, os autores deste trabalho recomendam composições de

fluidos com o fito de promover a estabilização dos argilominerais.

Além de ocorrer nas formações produtoras de petróleo, a migração de finos também pode ocorrer

dentro dos propantes usados nas completações (SMART et al., 1991; GIDLEY et al., 1995; NGUYEN

et al., 2005). Esse tipo de migração de finos não é o alvo da tese pretendida e por isso não será

abordado nesta monografia.

Existem diversos relatos de dano a formação ocasionado por migração de finos e inchamento de

argilas em campos de petróleo. Em Rogers et al. (1998) é citado o exemplo de um campo no qual os

testes de pressão em poços demonstravam fatores de película crescentes. Para melhor poder remediar

este dano à formação, a solução ácida recomendada para o tratamento, composta de 10% HCl/1.5%

HF, foi utilizada em um testemunho. Este teste resultou em perda de 74% de permeabilidade, atribuída

às interações dos aditivos presentes na solução ácida com finos presentes na formação, bem como a

precipitação de géis de sílica devido a reação do HCl com zeólitas presentes na formação. Com estes

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resultados, foi identificado que o tratamento ideal consistia de uma solução de 10% de ácido cítrico e

1,5% HF, sem outros aditivos exceto pelo inibidor de corrosão. Esta formulação foi aplicada em cinco

poços do campo em questão, com sucesso, melhorando o índice de produtividade de 4,78 BOPD/psi

para 12,73 BOPD/psi.

Ezeukwu et al. (1998) realizou um estudo comparativo entre agentes de controle de finos (argi-

lominerais) orgânicos e inorgânicos em um campo offshore da Nigéria. A metodologia de trabalho

deste estudo se baseava na realização do tratamento ácido e posterior aplicação do agente de controle

em um poço com contenção de areia. Quando era necessário intervir neste poço novamente, repetia-

se o procedimento de tratamento mas o agente de controle aplicado agora era de natureza diferente

daquela aplicada no tratamento anterior. Os resultados dessa metodologia mostraram que, naquele

cenário específico, os sistemas de controle de finos inorgânicos possuíam desempenho superior. Este

sistema inorgânico era composto basicamente por ácido fluobórico (HBF4).

O uso de ácido fluobórico também foi empregado em um campo na Venezuela (COLMENARES

et al., 1997). Nesta aplicação em particular, foi observado que o desempenho desse ácido como agente

de controle, quando aplicado após um pré-tratamento com ácido clorídrico e fluorídrico, é muito mais

eficiente que um tratamento que se apoia somente nestes dois últimos ácidos (Figura 38).

Figura 38: Histórico de vazão de óleo pelo tempo em anos, comparando o tratamento sem ácidofluobórico (MATRIX RMA) e o tratamento com ácido fluobórico (FLUOBORIC ACID). Retirado deColmenares et al. (1997).

2.2.3 Efeitos da injeção de água de baixa salinidade na saturação de óleo resi-dual

Evidências de modificação de molhabilidade devido à injeção de água de salinidade reduzida

em arenitos são observadas tanto em escala de laboratório (MORROW et al., 1998; PATIL et al.,

2008; ZHANG et al., 2007; BOUSSOUR et al., 2009; ALOTAIBI et al., 2010) quanto em escala de

campo (ROBERTSON, 2007; LAGER et al., 2008; WEBB et al., 2004). Em Morrow et al. (1998)

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são exibidos diversos testes de laboratórios com diversas composições de água injetada e em diversas

condições de temperatura de cura (“aging”), tanto em testes de embebição espontânea como em testes

de injeção de água. Neste trabalho, entende-se por cura o processo de saturação parcial da amostra

de rocha por óleo crú, seguido de sua imersão nesse mesmo fluido por um determinado período,

em muitos casos com temperaturas superiores à ambiente, com o fito de modificar a molhabilidade

da rocha de um estado mais molhável à água para um menos molhável a este fluido. Estes testes,

realizados em arenito Berea, mostram inequivocamente a tendência de maiores fatores de recuperação

com a injeção de água com menor salinidade. A Tabela 5, retirada dessa mesma referência, resume os

resultados obtidos nesse trabalho. Nesta tabela, Rim se refere aos fatores de recuperação obtidos nos

testes de embebição espontânea, enquanto Rw f são os fatores relativos aos testes de injeção de água.

Tabela 5: Resumo dos resultados de Morrow et al. (1998), adaptados desta mesma referência.

Condições Rim Rw f

Tempo de Cura (aumento) Diminui AumentaTemperatura de Cura (aumento) Diminui AumentaValência do Cátion (aumento) Diminui AumentaConcentração do Sal (redução) Aumenta Aumenta

Temperatura do Deslocamento/Fluxo (aumento) Aumenta AumentaFração de Componentes Leves do Óleo Crú (aumento) Diminui Aumenta

Segundo Patil et al. (2008), a injeção de água de menor salinidade no Talude Norte do Alasca

(Alaska North Slope) se apresenta como um possível processo de recuperação avançada de petróleo.

Uma das principais motivações desse trabalho é a pronta disponibilidade de água de baixíssima salini-

dade presente em um lago próximo. Nesse trabalho experimental com testes de laboratório, os autores

demonstram que existe redução significativa de saturação de óleo residual conforme se reduz a sali-

nidade da água de injeção, medida neste trabalho pelo teor total de sólidos dissolvidos T SD, tanto em

testemunhos chamados por eles de “novos” (isto é, que não passaram pelo processo de cura/“aging”)

quanto os curados (“aged”). A Figura 39 apresenta um comparativo entre as saturações de óleo resi-

dual em diversas salinidades para uma mesma amostra (testemunho “E” da referência) quando curada

e quando não curada. A Figura 40 compara a saturação de óleo residual obtida a partir de um deslo-

camento por água de salinidade próxima a do reservatório, que é de 22.000 ppm (em termos de T SD)

com a saturação obtida na mesma amostra (testemunho “H” da referência) pela injeção de água do

lago (que tem salinidade T SD de 50 à 60 ppm).

Em Seccombe et al. (2008) são expostos testes laboratoriais e testes de injeção em poços com o

uso de traçadores químicos (“Single Well Chemical Tracer Test”) no campo de Endicott localizado

no Talude Norte do Alasca. A sequência do teste de injeção de traçador químico foi (Figura 41):

1. Injetar um banco de água marcada com traçador reativo primário (1% de etil acetato) e um outro

traçador inerte secundário.

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Figura 39: Efeito da Salinidade da Água na Saturação de Óleo Residual para uma amostra do TaludeNorte do Alasca, adaptado de Patil et al. (2008).

Figura 40: Comparação entre a saturação residual de amostra com água de salinidade próxima a doreservatório e água de lago, adaptado de Patil et al. (2008).

2. Deslocar o banco de 10 à 25 ft dentro do reservatório pela injeção de água com um traçador

inerte e sem traçador reativo.

3. Fechar o poço por um período de um à dez dias, a depender da temperatura do reservatório.

Durante o fechamento, uma porção do éster reage com a água do reservatório e forma álcool

etílico, o traçador secundário, conforme a seguinte equação

CH3COOCH2CH3 +H2O CH3CH2OH+CH3COOH, (145)

onde o Etil Acetato (EtAc) reage com a água formando álcool etílico (EtOH) e ácido acético,

em equilíbrio químico. Esse traçador secundário é solúvel apenas em água. O fechamento bem

planejado é aquele no qual há formação suficiente de traçador secundário para medição acurada

de sua concentração no período de produção (“flow-back”). A conversão típica de etil acetato

(éster) para etanol varia entre 10% a 50%.

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4. Finalmente, produzir a partir do poço, coletar amostras e medir as concentrações dos traçadores.

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 41: Sequência do teste de injeção de traçador (adaptada de Seccombe et al. (2008)).

No começo da produção, o éster remanescente e o traçador secundário (álcool) estão localizados

de 10 à 15 ft de distância radial do poço. No decorrer da produção, o éster restante e o álcool se

separam. O particionamento do éster entre óleo e água atrasa o retorno dessa substância. O traçador

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secundário (álcool) é 100% solúvel em água e flui de volta para o poço na mesma velocidade que a

água. A separação entre esses dois traçadores é utilizada no cálculo da saturação de óleo residual.

Quanto maior a separação entre esses traçadores, maior é a saturação de óleo residual. A Figura

42 mostra um teste idealizado de injeção de traçador. A Figura 43 compara as saturações de óleo

residual observadas de alguns testes de injeção de traçador para 3 poços, nos quais cada poço foi

submetido a dois testes: um quando a água possuía alta salinidade seguido de um quando a água

possuía baixa salinidade. Essa Figura mostra claramente o decremento da saturação residual de óleo.

Além disso, foi observado que o ganho no fator de recuperação era maior quando o conteúdo de

caulinita (um argilomineral) também era maior (Figura 44). Esse ganho foi medido pela seguinte

equação:

AdRec =Sor,HiSal−Sor,LoSal

Soi−Sor,LoSal. (146)

Na Figura 44, o poço 2-62 apresenta um menor ganho de recuperação do que o esperado. Esse

comportamento é explicado pelo fato de que a água de injeção empregada foi mais fria do que aquela

utilizada nos outros testes.

Figura 42: Teste de injeção de traçador idealizado. As concentrações estão fora de escala (adaptadode Seccombe et al. (2008))

Em Webb et al. (2004), é descrito um teste de campo para quantificar a recuperação adicional

possível através da redução da salinidade da água de injeção. O procedimento do teste, chamado

de “Log-Inject-Log” (Perfilar-Injetar-Perfilar), consiste basicamente de injetar, em um poço produtor

de óleo e em velocidade de reservatório, um banco de água de alta salinidade, até que a saturação

lida pela ferramenta de perfilagem PNC (pulsed neutron capture) não se modifique. Então, passa-

se a injetar água de salinidade intermediária até estabilização das saturações lidas por perfilagem e

finalmente injeta-se água de baixa salinidade até que a saturação medida pela ferramenta de PNC

não se modifique. A partir destes dados, Webb et al. (2004) mostram que, mesmo com a incerteza

associada a perfilagem, é possível afirmar que há ganho concreto em termos redução de saturação de

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Figura 43: Resultados do teste de injeção de traçador para três poços (adaptado de Seccombe et al.(2008)).

Figura 44: Gráfico de recuperação adicional pela injeção de água pouco salina contra concentraçãode caulinita, evidênciando forte correlação (adaptado de Seccombe et al. (2008)).

óleo residual com a injeção de água de baixa salinidade.

A explicação mais aceita para a alteração de molhabilidade pela injeção de água de baixa salini-

dade em reservatórios clásticos é o mecanismo de troca iônica multicomponente entre a água injetada

e os minerais (principalmente os argilominerais) presentes na rocha (LAGER et al., 2006; LEE et

al., 2010; SORBIE; COLLINS, 2010). De acordo com a teoria DLVO extendida, Amarson e Keil

(apud LAGER et al., 2006) e Sposito (apud LAGER et al., 2006), existem 8 mecanismos diferentes

de adsorção de matéria orgânica em argilominerais (Tabela 6), dos quais 4 são bastante suscetíveis à

troca iônica multicomponente cátions durante a injeção de água de baixa salinidade: troca de cátion,

ligação direta (também denominado troca de ligante) e pontes de água e ponte de cátion (Figura 45).

Adsorção por troca de cátion ocorre quando moléculas contendo nitrogênio quaternizado ou anel

heterocíclico substitui cátions metálicos inicialmente ligados à superfície do argilomineral. Ligação

direta, como o próprio nome diz, se refere a formação de uma ligação entre um cátion multivalente

e um grupo carboxilato. Essas ligações são mais fortes que pontes de cátion e troca de cátion e

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Tabela 6: Mecanismos de associação entre grupos funcionais orgânicos e minerais presentes no solo(adaptado de Sposito (apud LAGER et al., 2006)).

Mecanismo Grupo Funcional Orgânico EnvolvidoTroca de Cátion Amina, anel NH, N heterocíclico (anel aromático)

Protonação Amina, N heterocíclico, Carbonila, CarboxilatoTroca de Ânion CarboxilatoPonte de Água Amina, Carboxilato, Carbonila, OH alcoólica

Ponte de Cátion Carboxilato, Amina, Carbonila, OH alcólicaTroca de Ligante Carboxilato

Ligação de Hidrogênio Amina, Carbonila, Carboxila, OH fenólicaInteração de van der Walls Unidades Orgânicas Descarregadas

(a) (b) (c) (d)

Figura 45: Mecanismos suscetíveis à troca de cátions durante a injeção de água pouco salina: (a)Troca de Cátion, (b) Ponte de Cátion, (c) Ligação Direta e (d) Ponte de Água.

levam à liberação de complexos organo-metálicos (RCOO-M; onde M representa o cátion multiva-

lente). Ponte de cátion é um mecanismo fraco de adsorção entre um grupo funcional polar e cátions

substituíveis na superfície do argilomineral. Ocasionalmente, se o cátion for fortemente solvatado

(por exemplo, Mg2+), ponte de água pode ocorrer. Essa ponte envolve a complexação entre a molé-

cula de água solvatando o cátion substituível e o grupo funcional polar da molécula orgânica. Em

diversos estudos citados em Kia; Amarson e Keil; Hedges e Hare; Henrichs e Sugai (apud LAGER et

al., 2006), é demonstrado que interações de van der Walls, troca de ligante (ligação direta) e ponte de

cátion são os mecanismos dominantes de adsorção.

Em superfícies molháveis à óleo, cátions multivalentes na superfície dos argilominerais irão ligar-

se à compostos polares presentes na fase oleosa (resinas e asfaltenos) formando complexos organo-

metálicos. Tais complexos provocam a molhabilidade à óleo em reservatórios de petróleo (RUES-

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LATTEN et al., 1994 apud LAGER et al., 2006). Alguns compostos orgânicos serão adsorvidos

diretamente à superfície do mineral, deslocando os cátions mais voláteis presentes na superfície do

argilomineral, aumentando a molhabilidade dessa superfície ao óleo. Durante a injeção de água de

baixa salinidade, troca iônica a multicomponente ocorrerá, removendo compostos orgânicos pola-

res e complexos organo-metálicos das superfícies e substituindo-os por cátions não complexados. A

dessorção dos compostos polares da superfície dos argilominerais aumentaria a molhabilidade dessa

superfície à água, resultando em maior recuperação de óleo.

Em Jerauld et al. (2006) são expostas as seguintes observações a respeito da injeção de água de

baixa salinidade:

• Deve existir alguma saturação de água inicial - se não houver água conata nenhum ganho em

recuperação é conseguido.

• Óleo bruto é requerido, em outras palavras, não há benefício caso óleo refinado (depolarizado)

esteja no meio poroso.

• Comparação entre as recuperações com a injeção de água de baixa salinidade e alta salinidade

em testemunhos acidificados ou queimados (“fired”) são similares. Como o processo de acidi-

ficação e “firing” inativam os argilominerais, fica clara a influência destes no fenômeno.

• O efeito de mudança de molhabilidade só tinha sido observado, até onde ia o conhecimento do

autor, em reservatórios clásticos.

• Em alguns casos, mudanças no pH ocorrem e são atribuídas às interações químicas entre água

de injeção e a água original do reservatório. Em outros casos porém, se pH já iniciar baixo,

pouca mudança ocorre nesta variável e ela não atinge os níveis associados nem a mudanças de

molhabilidade nem aqueles associados aos mecanismos de baixa tensão interfacial da injeção

cáustica (“caustic flooding”).

Essa mesma referência, que versa sobre a modelagem numérica do processo de recuperação de

óleo por injeção de água de baixa salinidade, indica que este fenômeno pode ser incorporando à

simulação convencional de injeção de água, com as seguintes alterações:

1. Os sais (cátions e ânions) são modelados como um único componente adicional na fase aquosa.

A densidade e viscosidade são dependentes da salinidade.

2. A permeabilidade relativa e a pressão capilar estão em função também da salinidade.

• Esta dependência desaparece à baixas e altas salinidades.

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• As curvas de permeabilidade relativa à alta e baixas salinidades são os dados de entrada

da simulação. Quaisquer saturações intermediárias serão interpoladas.

• A saturação de óleo residual em função da salinidade também é um dado de entrada, de

natureza tabular, para permitir melhor definição desta dependência.

3. Porções da água conata são marcados como inacessíveis para demonstrar o impacto do banco

de água conata no processo.

4. A histerese na curva de permeabilidade relativa da água entre os processos da embebição e da

drenagem secundária deve ser inclusa para modelar precisamente o desenvolvimento do banco

de óleo.

5. A dispersão dentro da fase aquosa também é importante.

Ainda sobre modelagem, Seccombe et al. (2008) afirma que é necessário considerar a dispersão

de íons para o planejamento de injeção em banco de água de baixa salinidade. Isso é demonstrado

para o campo de Edincott, onde foi calculado um tamanho de banco ideal de 40%.

Em Wu e Bai (2009), a injeção de água de baixa salinidade é modelada através de uma modifi-

cação do simulador típico black-oil pela introdução da conservação de massa de sal (NaCl). Nessa

modelagem, o sal encontra-se dissolvido na fase aquosa ou adsorvido na rocha. Os líquidos são en-

contrados apenas em suas respectivas fases (ou seja, não há óleo na água, água no óleo nem qualquer

líquido no gás). Quanto ao gás, pode ocorrer tanto na fase óleo quanto na fase gás em condições de

reservatório. Para as velocidades de cada fase, será utilizada a lei de Darcy. O sistema é considerado

isotérmico. As equações fundamentais para essa modelagem são:

∂ t

(Soρdg +Sgρg

)}=−∇ ·

(ρdgVo +ρgVg

)+qg, (147)

∂ t(φSwXwρw) =−∇ · (XwρwVw)+qw, (148)

∂ t(φSoρo) =−∇ · (ρoVo)+qo, (149)

∂ t[φSwXcρw +(1−φ)ρRρwXcKd] =−∇ · (XcρwVw +ρwSwφτDm∇Xc)+qc. (150)

A velocidade Darcy da fase β é definida por:

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Vβ =−kkrβ

µβ

(∇pβ −ρβ g∇d

). (151)

Nas equações (147)-(151), ρβ é a massa específica da fase β em condições de reservatório, ρo é a

massa específica do óleo, excluído o gás dissolvido, em condições de reservatório, ρdg é a massa

específica do gás dissolvido na fase óleo em condições de reservatório, φ é a porosidade efetiva da

formação, µβ é a viscosidade da fase β , Sβ é a saturação da fase β , Pβ é a pressão na fase β , Xc

é a fração mássica de sal na fase água, Xw é a fração mássica de água na fase água, ρR é a massa

específica dos grãos da rocha, Kd é o coeficiente de distribuição do sal entre a fase água e a rocha, Dm

é o coeficiente de difusão molecular do sal na fase água, τ é a tortuosidade do meio poroso, qc é um

termo de sumidouro/fonte de sal por unidade de volume da formação, qβ é o termo de sumidouro/fonte

da fase β por unidade de volume da formação, g é a aceleração da gravidade, k é a permeabilidade

absoluta da formação, krβ é a permeabilidade relativa da fase β e d é a profundidade com relação a

uma superfície de referência (Datum).

Para fechar o sistema de equações (147)-(151), são necessárias algumas relações constitutivas:

Xc +Xw = 1, (152)

po− pw = pcow (Sw,So,Xc) , (153)

pcow =γ (Xc)cos(θ (Xc))

(γ cosθ)iPi

cow (Sw,So) , (154)

µw = µw (Xc) , (155)

krw = krw (Sw,Xc) , (156)

kro = kro (Sw,Sg,Xc) , (157)

krg = krg (Sg,Xc) , (158)

ρw =[ρw (Xc)]STC

Bw(159)

nas quais γ é a tensão interfacial entre as fases óleo-água, Bβ é o Fator Volume de Formação referente a

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75

fase β , Pcow é a pressão capilar entre a fase óleo e água, (γ cosθ)i é o produto da tensão interfacial e do

cosseno do ângulo de contato avaliados na salinidade da água original do reservatório, Picow é a pressão

capilar óleo-água nas condições de salinidade da água original do reservatório. As outras relações

constitutivas faltantes são as mesmas da modelagem black-oil original e por isso foram omitidas.

Esse modelo pode ser estendido para reservatórios fraturados.

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76

3. LIBERAÇÃO DE PARTÍCULAS

OCASIONADA PELA ALTERNÂNCIA DE

VELOCIDADE DURANTE O

TRANSPORTE DE SUSPENSÕES EM

MEIOS POROSOS

3.1 Introdução

O transporte de emulsões e suspensões em meios porosos com captura e liberação de partículas é

essencial em diversas tecnologias das áreas química, ambiental e petrolífera. Ocorre em processos de

filtragem industrial, cromatografia de exclusão pelo tamanho, produção de água em poços artesianos,

descarte de resíduos industriais, remediação de aquíferos, contaminação de aquíferos por vírus e

bactérias, migração de finos em reservatórios mal consolidados e/ou com alto teor de argilominerais,

injeção de água de baixa qualidade em reservatórios entre outros (MAYS; HUNT, 2005; LEFEVRE

et al., 2007; JU et al., 2007; CHUPIN et al., 2008; KOCAEFE et al., 2009; ZHOU et al., 2009;

MASSOUDIEH; GINN, 2010; WONG; METTANANDA, 2010; GITIS et al., 2010; RICHARDS;

NERETNIEKS, 2010; NOUBACTEP; CARE, 2010). O projeto e a previsão de comportamento dos

processos tecnológicos mencionados é baseada em modelagem matemática.

O modelo clássico de filtração profunda assume cinéticas de primeira ordem para a captura e

liberação de partículas (SCHIJVEN; HASSANOZADEH, 2000; BAILEY et al., 2000; BRADFORD

et al., 2003; FRIMMEL et al., 2007; LIN et al., 2009; CIVAN, 2007, 2010; MASSOUDIEH; GINN,

2010; GITIS et al., 2010; GRAVELLE et al., 2011). Nesta modelagem, assume-se que a taxa de libe-

ração é proporcional à diferença entre o valor atual e o valor crítico de algum parâmetro (velocidade,

concentrações, etc.). Para a cinética de captura, uma teoria detalhada, em termos de parâmetros na

escala de poro, já se encontra desenvolvida (NABZAR et al., 1996; CHAUVETEAU et al., 1998;

ROUSSEAU et al., 2008; TUFENKJI; ELIMELECH, 2004a). Porém, para a cinética de liberação as

constantes são, em geral, determinadas empiricamente a partir do ajuste de dados de concentração do

efluente (FRIMMEL et al., 2007).

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Outra limitação desta modelagem é a predição assintótica de concentração retida (e consequente-

mente, permeabilidade) quando o tempo tende ao infinito. Na literatura (KHILAR; FOGLER, 1998;

MIRANDA; UNDERDOWN, 1993) é observada a liberação quase instantânea de finos, seja por au-

mento repentino do gradiente de pressão, seja por alteração da salinidade do fluido percolante. Testes

de laboratório com aumento abrupto de vazão mostram uma resposta abrupta imediata de permeabi-

lidade (LEVER; DAWE, 1984; OCHI; VERNOUX, 1998), em contraponto ao modelo quase linear

clássico de filtração, que prevê resposta suave assintótica, com demora.

Outro aspecto não abordado na modelagem clássica é o equilíbrio mecânico das partículas retidas.

A liberação de partículas das paredes de poro é regida pela falha na condição de equilíbrio mecânico

dessas partículas (RAHMAN et al., 1994; BERGENDAHL; GRASSO, 2000; BRADFORD; TORK-

ZABAN, 2008). Este equilíbrio é determinado pelo balanço de momentos das forças eletrostáticas,

de arraste, de elevação e gravitacionais atuantes em uma partícula solitária sobre o grão do meio po-

roso ou na superfície do reboco interno (FREITAS; SHARMA, 2001; CIVAN, 2007). Não obstante,

a cinética de liberação proposta no modelo clássico não tem relação com este equilíbrio, não sendo

afetada por essas forças. Mesmo modelos recentes de filtração profunda com camadas migrantes de

partículas, capturadas no mínimo secundário de energia (LI et al., 2006; YUAN; SHAPIRO, 2011b)

não consideram as forças atuantes sobre as partículas retidas.

As características das partículas e dos poros não são homogêneas por todo o meio poroso, mas

encontram-se distribuídas estocasticamente por ele. Portanto, existe distribuição estatística das forças

no meio poroso, e a apreciação deste efeito requer modelagem detalhada na escala do poro (PAYATA-

KES et al., 1973, 1974), encontrando-se na literatura abordagens baseadas em balanço de populações

(SHARMA; YORTSOS, 1987c, 1987b, 1987a; BEDRIKOVETSKY, 2008), equações do tipo “ran-

dom walk” (CORTIS et al., 2006; SHAPIRO, 2007; LIN et al., 2009; YUAN; SHAPIRO, 2011b) e

simulação direta em escala de poro (BRADFORD et al., 2009). Ainda sim, os modelos de balanço

de populações e de “random walk”, bem como os modelos fenomenológicos de larga escala, usam a

cinética de liberação com coeficientes empíricos e não levam em conta as forças atuantes sobre uma

partícula individual.

Bedrikovetsky et al. (2011a) propuseram um modelo no qual a cinética de liberação de partículas

é substituída pela função de retenção máxima (crítica). Segundo este modelo, a captura de partículas

ocorre enquanto a quantidade de partículas retidas for menor que o valor máximo; caso contrário,

essa quantidade é igual ao máximo. Esta concentração crítica, que é função da velocidade e das

características físico-químicas da solução percolante, é determinada pelo balanço de torque da partí-

cula na superfície do reboco interno. A modelagem proposta pelos autores possui solução analítica

para o caso de injeção contínua de suspensão. Esta solução foi ajustada a dados experimentais, mos-

trando boa correlação. Porém, é importante observar que estes dados experimentais também podem

ser ajustados pelo modelo clássico de filtração profunda com função de filtração decrescente, ou seja,

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78

conforme a concentração retida aumenta, a função de filtração diminui.

Neste trabalho, o modelo proposto em Bedrikovetsky et al. (2011a) foi aplicado na investigação

da resposta to sistema de captura-liberação para o caso de velocidades alternadas durante a injeção

de suspensão particulada com vazão constante por partes (com respeito ao tempo). O sistema de

equações permite solução analítica explícita. Testes de laboratório mostram resposta instantânea da

pressão para alternância de vazões. O modelo mostra boa correlação com os dados de laboratório, o

que valida o modelo modificado para liberação de partículas durante o transporte de suspensões em

meios porosos.

A estrutura deste capítulo é a seguinte: na seção (3.2) o sistema de equações para a liberação

de partículas durante o transporte de suspensões em meios porosos é descrito, contendo a função de

retenção máxima. Na seção (3.3) apresenta-se a solução analítica do sistema de equações para injeção

de suspensões com liberação de partículas para vazões constantes por partes. A descrição dos testes

de laboratório, juntamente com o ajuste do modelo, são apresentados na seção (3.4).

3.2 Modelo matemático para transporte de suspensões com libe-ração de partículas

A Figura 46 ilustra o modelo que inclui a função de retenção máxima, que rege a liberação

das partículas aderidas, a cinética de captura de partículas por exclusão pelo tamanho e a lei de

conservação de massa para as partículas retidas e em suspensão. A principal hipótese do modelo

para transporte de suspensões em meios porosos com liberação de partículas é a existência de em

uma função de retenção máxima (crítica), relacionando o valor máximo da concentração retida com

a velocidade de fluxo σ = σcr (U).

Na escala do poro, o relacionamento entre o valor máximo da concentração de partículas retidas

e velocidade de fluxo segue do balanço de torques das forças de arraste, elevação, gravidade e eletros-

tática; atuantes na partícula aderida à superfície sólida (Figura 46). Esse relacionamento é válido para

o caso onde o torque total das forças favoráveis à liberação (arraste e elevação) é igual ao máximo

valor do torque das forças eletrostática e gravitacional, favoráveis à manutenção da partícula sobre a

superfície. Bedrikovetsky et al. (2011a) deduzem detalhadamente a função de retenção máxima para

o caso de poros cilíndricos, incluindo as expressões das forças envolvidas. A expressão encontrada

por eles foi:

σcr (U) = σ0

[1−(

UUm

)2], (160)

na qual σ0 é a concentração retida capturada a partir de uma suspensão estacionária. Para velocidades

superiores à Um, as forças de arraste e elevação impedem adesão de qualquer partícula na superfície

da matriz do meio poroso, ou seja, a velocidade Um é a velocidade máxima de deposição. Um depende

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79

Figura 46: Partículas excluídas por tamanho e aderidas as paredes dos poros durante o fluxo desuspensões em meios porosos.

de constantes eletrostáticas e dos raios de partícula e poro. A Figura 47 mostra um exemplo de curva

de retenção máxima calculada usando a equação (160) e os seguintes valores para as constantes:

constante de Hamaker A132 = 10−20 J, potenciais eletrostáticos para superfície e grão ψ01 =−30 mV

e ψ02 =−50 mV respectivamente, os coeficientes das forças de arraste e elevação ω = 43 e χ = 1193,

porosidade do reboco φ = 0,4. Como as forças de arraste e elevação são funções monotonicamente

crescentes da velocidade, a concentração máxima retida decresce com o aumento da velocidade de

fluxo. As linhas tracejadas e pontilhadas correspondem a constantes de Hamaker iguais a 1,2x10−20 J

e 0,5x10−20 J, respectivamente. As forças de adesão não conseguem manter uma partícula solitária

na superfície da rocha em velocidades superiores à Um, o que significa que acima dessa velocidade a

concentração retida por adesão é nula.

A velocidade adimensional corresponde ao número de erosão, definido por:

σ = σcr (ε) ,ε =µr2

s |U |√k0φFn

, (161)

onde Fn é a força normal, ou seja, a resultante entre as forças de elevação, gravidade e eletrostática

(máxima). A força eletrostática é uma força de interação grão-partícula para o caso de deposição

mono camada na superfície da matriz; a força eletrostática é determinada pela interação partícula-

partícula em caso de deposição multicamada; a equação (161) é válida para ambos os casos descritos

acima. A força de adesão deve ser incluída no balanço de torques para descrever a liberação de

partículas na presença de água conata em campos de gás e óleo, nos quais os finos são mobilizados

perto do poços de altas vazões de produção. A pressão capilar entre gotículas oleosas e água determina

a forma da curva (161) para retenção e mobilização de gotas de óleo durante a reinjeção de água

produzida.

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80

Figura 47: Concentração máxima retida σcr versus velocidade U para 3 valores da constante deHamaker.

A concentração máxima retida é função da velocidade (forças de arraste e elevação) e também

da salinidade da água, seu pH e da temperatura (devido às forças eletrostáticas). A definição do

número de erosão (161) em conjunto com as expressões para forças permite recalcular a dependência

σ = σcr (ε) em termos de salinidade e velocidade. A forma da função σcr (ε), conforme obtida a

partir de dados experimentais em Lever e Dawe (1984), Khilar e Fogler (1998), Bergendahl e Grasso

(2000), Bradford e Torkzaban (2008), Torkzaban et al. (2010), é a mesma que aquela exposta na

Figura 47.

Num experimento realizado por Lever e Dawe (1984), o testemunho de um arenito com permea-

bilidade de 140 mD foi submetido à teste com soluções de salinidade decrescente. O decréscimo de

salinidade foi realizado de maneira escalonada, de 3% até água destilada. Com o decréscimo em sa-

linidade de 3% para 0,125%, foi observado um declínio aproximadamente linear em permeabilidade

com o volume acumulado injetado de água. As alterações abruptas de salinidade no teste foram acom-

panhadas por um decréscimo instantâneo de permeabilidade e aparecimento de partículas suspensas

no fluido produzido. Com 0.05% de NaCl, 0.025% de NaCl e água destilada, quedas muito maiores

de permeabilidade foram observadas. Ao final, a permeabilidade foi reduzida a 12 mD. As injeções

de água com salinidade constante foram realizadas até a estabilização da permeabilidade, o que cor-

responde a distribuições uniformes de concentração retida ao longo do testemunho (haja vista que

k = k (σ)). A concentração de partículas excluídas pelo tamanho é igual a concentração de partículas

liberadas menos a concentração de partículas produzidas. A conversão de permeabilidade em con-

centração retida foi feita utilizando a definição do coeficiente de dano à formação β : k0/k(σ)= 1+βσ

(PANG; SHARMA, 1997; BEDRIKOVETSKY et al., 2001). O valor típico β = 160 foi escolhido. A

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81

Figura 48 mostra 8 pontos experimentais conforme obtidos de 8 valores de permeabilidade estabiliza-

dos. O nono ponto na mais alta velocidade U >Um tem σcr = 0. A curva σcr (ε), obtida utilizando o

raio de poro médio da rocha, ajustou adequadamente os nove pontos experimentais para a velocidade

U = 10−6 m/s, constante de Hamaker A132 = 0,9x10−20 J, tamanho de partícula 1 µm, coeficientes de

arraste e elevação ω = 24 e χ = 649, respectivamente. A Figura 48 mostra a concentração máxima

retida em função da velocidade (abscissa inferior) e em função da concentração de NaCl (abcissa

superior), calculadas a partir do teste de laboratório com decréscimo escalonado de salinidade.

Figura 48: Forma da função de retenção máxima versus velocidade e salinidade calculadas a partir detestes de Lever e Dawe (1984).

Aguda diminuição de concentração retida perto da velocidade máxima (salinidade mínima) na

Figure 48 explica o fenômeno de “choque de salinidade” (KHILAR; FOGLER, 1998), onde a maior

parte dos finos é liberada quando a concentração de sal injetado é reduzida além de um valor limite.

Nos casos onde o torque total das forças de adesão prevalece sobre o torque das forças de arraste

e elevação, ocorre a retenção de partículas. A captura das partículas ocorre se a concentração retida é

menor que o seu valor máximo. A taxa de captura é regida pela equação clássica de filtração profunda

(HERZIG et al., 1970):

σ < σcr (ε) :∂σ

∂ t= λ

′ (σ)cU. (162)

Caso contrário, a equação (161) é válida.

Outras hipóteses incluem: partícula pequena se comparada com os poros (não há formação de re-

boco externo), pequenas concentrações de injeção (densidade e viscosidade da suspensão constantes),

não há difusão e a suspensão é considerada incompressível.

O balanço de massa para partículas suspensas e retidas considera a redução da porosidade ocasi-

onada pelas partículas retidas:

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82

∂ t((φ −σ)c+σ)+U

∂c∂x

= 0, (163)

na qual a acessibilidade e os fatores de redução de fluxo são ignorados (PANFILOV et al., 2008;

ILINA et al., 2008; BEDRIKOVETSKY, 2008) devido à não ocorrência de exclusão pelo tamanho.

O sistema de equações (161)-(163) com a equação (161) ou (162) sendo satisfeita determina duas

incógnitas, que são as concentrações em suspensão e retida. A pressão de poro é determinada pela

Lei de Darcy modificada para considerar o dano à permeabilidade devido à retenção de partículas

(PANG; SHARMA, 1997; MAYS; HUNT, 2005):

U =−k (σ)

µ

∂ p∂x

, k (σ) = k0 (1+β (σ)σ)−1 . (164)

A introdução das seguintes variáveis adimensionais:

xD =xL, tD =

1φL

t∫0

U(t ′)

dt ′,C =cc0 , S =

σ

φc0 , λ = λ′L, P =

kpµLU

, (165)

permite reescrever as equações (161)-(164) como:

∂ tD

[(1− c0S

)C+S

]+

∂C∂xD

= 0, (166)

S < Scr (ε) :∂S∂ tD

= λ (S)C, (167)

S = Scr (ε) , (168)

1 =− 1(1+βφc0S)

∂P∂x

. (169)

O sistema adimensional (166)-(169) contém 3 funções empíricas fenomenológicas: a função

de retenção máxima Scr (ε), e os coeficientes de filtração λ (σ) e de dano à formação β (σ). A

introdução do tempo adimensional tD, expresso como o volume acumulado de fluido injetado, permite

a enunciação do fluxo de água como unitário.

Uma vez que as equações (166)-(168) são independentes da pressão, a equação (169) desacopla

do sistema de equações. Assim, resolve-se primeiro o sistema (166)-(168) em termos de C e S e

depois integra-se a equação (169) com esse resultado.

A condição de contorno para a injeção de suspensão a uma dada concentração de partículas c0 é:

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83

C (0, tD) = 1. (170)

As condições iniciais correspondem às seguintes concentrações em suspensão e retida:

C (xD,0) =Ci (xD) ,S (xD,0) = Si (xD) . (171)

Nas coordenadas xD onde a concentração retida é menor que o valor crítico, Si (xD)< Scr (ε), as

concentrações retida e em suspensão permanecem as mesmas no primeiro momento tD = +0 após o

início da injeção. Assim, se o estado inicial é “subsaturado” para a velocidade de fluxo aplicada, água

limpa (sem partículas) não perturba as partículas inicialmente depositadas. Se em algum ponto xD

a concentração retida “saturada” para a velocidade de fluxo em questão é menor que a concentração

retida inicial, Si (xD)> Scr (ε), o excesso de concentração retida é instantaneamente deslocado, sendo

carreado pelo fluido. As condições iniciais em tD =+0 seguem da continuidade do balanço de massa

através da fronteira temporal tD = 0.

(1− c0Si

)Ci (xD)+Si (xD) =

(1− c0Scr (ε)

)C (xD, tD +0)+Scr (ε) . (172)

O balanço de massa (172) permite formular as condições iniciais em tD = +0 correspondentes

ao estado inicial do meio poroso (171), sendo consistentes com o modelo de adesão-liberação de

partículas (166)-(168):

S (xD,+0) =

Si (xD) , Si (xD)< Scr (ε)

Scr (ε) , Si (xD)> Scr (ε), (173)

C (xD,+0) =

Ci (xD) , Si (xD)< Scr (ε)

(1−c0Si(xD))Ci(xD,0)+Si(xD)−Scr(ε)

1−c0Scr(ε), Si (xD)> Scr (ε)

. (174)

3.3 Modelo analítico para injeção de suspensões em vazões alter-nadas

Nesta seção, a injeção de suspensão com vazão U (t) constante por partes é discutida. O processo

é descrito pelo sistema de equações (166)-(169) apresentado na seção anterior. O problema unidi-

mensional de fluxo à vazões alternadas admite solução analítica (seção 3.3.1). Um modelo analítico é

obtido considerando-se constantes a porosidade e o coeficiente de filtração, conforme discutido ante-

riormente em Bedrikovetsky et al. (2011a). A estrutura do padrão de fluxo e seus fenômenos físicos

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84

adjacentes são descritos na seção 3.3.2. A seção 3.3.3 apresenta os cálculos de diferencial de pressão

ao longo do testemunho durante a injeção da suspensão.

3.3.1 Solução exata para o problema das concentrações

Considere uma injeção de suspensão realizada com uma velocidade de fluxo U1 durante o tempo

tD < tD1 e com velocidade U2 quando tD1 < tD < tD2 (Figura 49.a). As velocidades U1e U2 corres-

pondem aos números de erosão ε1 e ε2. As trajetórias das frentes de concentração no plano (xD, tD)

decorrentes da injeção à vazões alternadas de suspensão são exibidas na Figura 50.a.

A injeção é realizada em um meio poroso inicialmente limpo. Por isso, as concentrações em

suspensão e retida iniciais (equações 171) são identicamente nulas.

Para tD < tD1, a solução do problema de condições iniciais e de contorno (170, 171) com valores

iniciais iguais a zero já se encontra disponível na literatura (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a). Por

isso, será dada apenas uma breve descrição dessa solução, que rege o comportamento do sistema nas

regiões I, II e III.

Assumindo-se que a porosidade é constante, o balanço de massa (equação (166)) pode ser escrito

como:

∂ tD(C+S)+

∂C∂xD

= 0. (175)

Isolando-se a concentração em suspensão na equação (167), substituindo na equação (175) e inte-

grando com respeito a tD e levando-se em conta as condições iniciais identicamente nulas, é possível

escrever∂S∂ tD

+∂S

∂xD=−λS. (176)

A partir da cinética (167) e das condições de contorno (170) segue que a concentração retida na face

de injeção da amostra é:

S (0, tD) = λ tD. (177)

Em suma, o problema (166)-(168),(170),(171) nas incógnitas C e S foi reformulado em outro

apenas na incógnita S (equações (171),(176),(177)). Mais adiante, a solução S (xD, tD) deste problema

será obtida a partir do método das características. Ambas as concentrações (C e S) são nulas adiante

da frente de concentração xD > tD, ou seja, na zona 0.

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85

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 49: Histórico de injeção sequencial de suspensão à velocidades U1, U2 e U1. a) Regime defluxo de três velocidades; b) Concentração do efluente; c) Histórico de diferencial de pressão; d)Variação de impedância durante o teste.

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86

(a)

(b)

Figura 50: Fluxo de suspensão com duas mudanças de vazão nos momentos tD1e tD2; a) Movimen-tação das frentes de concentração no plano (xD, tD), b) Perfis de retenção nos momentos tD1, tD2 et1, t2 . . . t8.

As equações (175) e (176) tem a seguinte forma característica:

dtDdxD

= 1,dS

dxD=−λS,

dCdxD

=−λC, (178)

as quais, levando-se em conta as condições de contorno (171),(177); permitem escrever a solução na

zona I (ver Tabela 7).

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87

Tabela 7: Equações para as concentrações em suspensão e retida durante a injeção de suspensão avazões alternadas.

Zona Concentração em suspensão C (xD, tD) Concentração retida S (xD, tD)

0 0 0

I exp(−λxD) λ (tD− xD)exp(−λxD)

II exp{−λ

[− tD

Scr1+ xD

(1+ 1

Scr1

)]−1}

Scr1 exp{−λ

[− tD

Scr1+ xD

(1+ 1

Scr1

)]}III 1 Scr1

IV exp [−λ (tD− tD1)] Scr1 +1− exp [−λ (tD− tD1)]

V exp(−λxD) Scr1 +1+[λ (tD− tD1− xD)−1]exp(−λxD)

VI exp

(tD−tD1

Scr2−Scr1−xD

)−1

1− 1Scr2−Scr1

]1+Scr1− (1+Scr1−Scr2)exp

[−

1+λ

(xD−

tD−tD1Scr2−Scr1

)1− 1

Scr2−Scr1

]VII 1 Scr2

VIII Scr2−Scr1 +1 Scr1

IX 1 Scr1

A erosão do reboco interno começa quando a concentração retida atinge o valor Scr (ε1) = Scr1.

No instante tDc1 = Scr1/λ , a concentração retida na face de injeção (xD = 0) atinge o valor crítico.

A partir deste instante aparece uma frente de erosão xcr1 = xcr1 (tD), que separa as zonas II e III. A

concentração retida ao longo e atrás da frente de erosão é igual ao valor crítico correspondente Scr1.

Com isso e a equação (167) em mente, é possível calcular a trajetória e velocidade da frente de erosão:

xcr1 (tD) =tD− Scr1/λ

Scr1 +1, (179)

ou

tcr1 (xD) = (Scr1 +1)xD + Scr1/λ . (180)

No instante tD1 a velocidade é reduzida de U1 para U2. A escala temporal (dimensional) foi

modificada. Porém, a velocidade adimensional da água permanece unitária devido à definição do

tempo adimensional tD (equação (165)). A condição inicial para S e C é composta pelos valores

dessas concentrações na região III (equações (175) e (176)):

tD = tD1 : C = 1,S = Scr1. (181)

A condição de contorno (170), referente à concentração em suspensão, permanece a mesma. A con-

dição de contorno para a concentração retida S, que segue da equação (167), é:

S (0, tD) = Scr1 +λ (tD− tD1) . (182)

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88

Para encontrar a solução na zona IV, onde a velocidade de fluxo é U2, substitui-se a expressão

para C, como obtida a partir da equação (167), no balanço de massa (175). A integração com relação

ao tempo desta expressão, levando-se em conta as novas condições iniciais (181), permite escrever:

∂S∂ tD

+∂S

∂xD= λ (1+Scr1−S) . (183)

A parametrização das linhas características na zona IV pelo tempo tD resulta na seguinte forma carac-

terística para as equações (175) e (183):

dCdtD

=−λC,dSdtD

= λ (1+Scr1−S) ,dxD

dtD= 1. (184)

A integração da equação diferencial ordinária (184) considerando a condição inicial (181) resulta nas

distribuições das concentrações na zona IV (ver Tabela 7). A solução é independente de xD, sendo

função apenas de tD.

A frente de água xD = tD− tD1 com velocidade unitária separa as zonas IV e V.

Escolhendo-se a coordenada xD como parâmetro sobre as linhas características da zona V, obtém-

se a seguinte forma característica para as equações (175) e (183):

dCdxD

=−λC,dS

dxD= λ (1+Scr1−S) ,

dtDdxD

= 1, (185)

A integração das equações diferenciais ordinárias (185) com as condições de fronteira (170) e (177)

resulta nas concentrações em suspensão e retida para a zona V. A solução para concentração em

suspensão C depende da coordenada linear xD apenas e é de regime permanente.

A concentração retida na face de injeção S (0, tD) aumenta de acordo com a equação (182), até

atingir o valor limite determinado pela função de retenção crítica (168), Scr2. O instante tcr2 no qual

esse valor limite é atingido e a erosão começa na face de injeção pode ser expresso a partir da condição

de fronteira (182) como:

tcr2 (0) = tD1 +Scr2−Scr1

λ. (186)

A Figura 50.a mostra a segunda frente de erosão xcr2 (tD) e a linha característica que começa no ponto

(0, tcr2). Sobre esta frente, a concentração retida é igual ao valor limite:

S (xcr2 (tD) , tD) = Scr2. (187)

Como a captura de partículas não ocorre atrás da frente de erosão:

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89

S (xD, tD) = Scr2,C (xD, tD) = 1. (188)

A frente de erosão xcr = xcr (tD) separa as zonas VI e VII.

Para calcular a trajetória de frente de erosão, diferencia-se a condição (187) ao longo da frente de

erosão por tD:

∂S∂ tD

+dxcr2

dtD

∂S∂xD

= 0. (189)

A equação (189) contém três incógnitas: as duas derivadas parciais de S sobre a frente de erosão e

a velocidade dessa frente. A equação (183) também possuiu essas duas derivadas como incógnitas

sobre essa mesma frente.

É necessário estabelecer uma condição sobre a continuidade do fluxo de partículas sobre a frente

de erosão xcr = xcr (tD) (LANDAU; LIFSHITZ, 1987):

C+ (1−D)−S+D =C− (1−D)−S−D, (190)

na qual D representa a velocidade da frente. Da equação (167) é possível concluir que a concentração

retida S é sempre contínua. Portanto, S+ = Scr2 sobre a frente de erosão, e a condição (190) pode ser

reescrita como:

(C+−C−

)(1−D) = 0, (191)

que é satisfeita em dois casos: ou a frente tem velocidade unitária (D = 1) ou C é uma função contí-

nua. Como a velocidade da frente de erosão é menor que a unidade, a concentração em suspensão é

contínua. Portanto, C = 1 sobre a frente de erosão, o que permite calcular a derivada temporal de S a

partir da equação (167):

∂S∂ tD

= λ . (192)

Usando a equação (192) nas equações (183) e (189), obtém-se os valores da derivada espacial de S

sobre a frente de erosão e a velocidade desta frente:

∂S∂xD

= λ (Scr1−Scr2) ,dxcr

dtd=

1Scr2−Scr1

. (193)

Com a inclusão da condição (186), é possível integrar (193) e obter:

xcr2 =tD− tD1

Scr2−Scr1− 1

λ, (194)

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90

tcr2 = tD1 +(Scr2−Scr1)

(xD +

). (195)

A segunda frente de erosão, dada pelas equações (194) e (195), é a fronteira móvel traseira da zona

VI.

Para encontrar as concentrações na zona VI, é importante notar que sobre a frente de erosão,

S = Scr2, pois dessa forma é possível utilizar a frente de erosão como fronteira para a equação (185).

A equação para as características que cruzam o ponto (xcr2, tcr2) é:

xD− xcr2 = tD− tcr2. (196)

Expressando as coordenadas da interseção (xcr2, tcr2) em termos de (xD, tD) com auxílio das equações

(195) e (196), obtém-se:

tcr2 =tD− xD− 1

λ− tD1

Scr2−Scr1

1− 1Scr2−Scr1

,xcr2 =

tD−tD1−xDScr2−Scr1

− 1λ

1− 1Scr2−Scr1

. (197)

Integrando a equação das características (185) com a condição de contorno (187) e a expressão (197)

para o ponto coordenado onde a condição de fronteira é imposta, obtém-se as concentrações na zona

VI (Tabela 7). A expressão para a concentração em suspensão na zona VI é obtida através da equação

(167) para a cinética de captura baseando-se na concentração retida, já conhecida.

Não ocorre captura de partículas atrás da frente de erosão (região VII), por isso C (xD, tD) = 1 e

S (xD, tD) = Scr2. No instante tD2 a velocidade é aumentada de U2 para U1. A lei de conservação de

massa (175) é satisfeita ao longo da linha tD = tD2, que corresponde a uma descontinuidade na solução

C (xD, tD) ,S (xD, tD) sobre essa linha. A concentração crítica de retenção decresce abruptamente até

o valor Scr1. A concentração em suspensão correspondente após a mobilização da partícula pode ser

encontrada a partir do balanço de massa correspondente a lei de conservação (175):

1+Scr1 =C (xD, tD2 +0)+Scr2. (198)

O excesso de partículas retidas Scr2−Scr1 é instantaneamente removido da concentração retida para a

suspensa (ver equações (172)-(174)). Esta remoção determina a condição inicial para a concentração

em suspensão:

C (xD, tD2) = Scr2−Scr1 +1. (199)

Como não há retenção de partículas nas zonas VIII e IX, a concentração retida é constante nessas

regiões e S (xD, tD) = Scr1. A concentração suspensa permanece constante na região VIII. A equação

(175) permite concluir que a concentração em suspensão na zona IX é igual à unidade.

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91

3.3.2 Estrutura da solução

Nesta seção será feita uma análise do modelo analítico desenvolvido na seção anterior, descrevendo-

se os fenômenos físicos nele contidos. Os tempos de referência t1, t2 . . . t8 foram escolhidos em di-

ferentes estágios do processo de deslocamento (Figura 50.a); os perfis típicos de partículas retidas

nesses momentos são expostos na Figura 50.b. O histórico de concentração do efluente é exposto na

Figura 49.b.

Como a injeção é realizada em uma amostra inicialmente limpa, ambas as concentrações são

identicamente nulas na zona 0 a frente da frente de perturbação de concentração que se move com

velocidade unitária. A concentração do efluente é zero até a produção do primeiro volume poroso

(Figura 49.b). Atrás da frente de concentração, a concentração em suspensão já se encontra em

regime permanente na zona I. Isto ocorre porque para cada partícula “nova” que entra numa secção

transversal qualquer do sistema, outra esta sendo imediatamente capturada. Isto também implica em

um aumento gradual da concentração retida.

A concentração do efluente permanece constante até o instante tDc1 +1, que corresponde ao mo-

vimento de cada partícula através do testemunho com igual probabilidade de captura por unidade de

comprimento. A concentração retida diminui ao longo do testemunho, conforme mostra a Figura

50.b, sendo nula à frente da frente de concentração. Mais precisamente, essa concentração aumenta

com o tempo (para qualquer coordenada xD fixa) e diminui com a distância da face de injeção (para

qualquer tempo tD fixo). A título de exemplo, tal situação é esquematizada nos tempos t1 e t2 da

Figura 50.b.

No instante tDc1, a concentração retida atinge o valor crítica Scr1 na face de injeção da amostra.

A frente de erosão tcr1 (xD) começa a se mover em direção à jusante do meio poroso. A filtração

profunda com captura de partículas ocorre a frente da frente de erosão (zona II). A concentração em

suspensão diminuiu da unidade na frente de erosão com perfil exponencial típico, e a concentração

retida continua crescente. A concentração retida possui valor máximo Scr1 atrás da frente de erosão

(ver perfil S = Scr1 atrás da frente de erosão no instante t3). Cada partícula move-se a partir da frente

de erosão até a saída do testemunho com probabilidade de captura por unidade de comprimento

constante. Como a distância entre a frente de erosão e a saída do testemunho diminui com o tempo,

a concentração do efluente aumenta monotonicamente com o tempo, de exp(−λ ) no instante tDc1 +

1 até a unidade no instante tcr1 (xD), correspondente a chegada da frente de erosão até a saída do

testemunho.

A ausência de captura de partículas na zona III determina que a concentração em suspensão seja

igual à unidade. Ambas as concentrações permanecem constantes após a passagem da frente de erosão

pelo testemunho. Os torques das forças de adesão prevalecem sobre os de liberação nas zonas I e II,

então a filtração profunda ocorre a frente da frente de erosão. O equilíbrio de torques é atingido na

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92

frente de erosão e é mantido atrás da dessa frente na zona III.

No instante tD1, a vazão de injeção decresce abruptamente para o valor U2 (Figura 49.a). A con-

centração de retenção crítica instantaneamente aumenta para o valor Scr2, o sistema se torna “subsa-

turado” e a filtração profunda recomeça em todo testemunho. As concentrações “iniciais” no instante

tD = tD1 (C = 1,S = Scr1) são “herdadas” da zona III da vazão anterior. A frente da frente de concen-

tração (zona IV), a suspensão de concentração uniforme C = 1 é filtrada pelo meio poroso homogêneo

com coeficiente de filtração constante, de forma que a concentração suspensa é independente da co-

ordenada xD, diminuindo com o tempo devido a captura de partículas.

A concentração em suspensão atrás da frente de concentração é determinada pelo movimento

da partícula da face de injeção até o ponto xD com probabilidade constante de captura de partículas.

Portanto, a distribuição da concentração em suspensão na zona V está em regime estacionário. A

concentração retida na zona V aumenta gradualmente. O perfil de retenção no momento t4 diminui e

se torna constante na zona IV. No instante t5, quando a zona IV já desapareceu, o perfil de S diminui

ao longo de todo o testemunho. A concentração retida na face de injeção atinge seu valor máximo Scr2

no instante tDc2, aparecendo então uma segunda frente de erosão, que se move em direção à saída do

testemunho. Esta frente separa a zona de erosão VII, onde os valores limite Scr2 e C = 1 são mantidos

(ver perfis do instante t6), da zona de filtração profunda VI. Em algum instante a segunda frente de

erosão atinge a saída do testemunho, e a zona de erosão abrange todo o testemunho.

No instante tD1 quando a velocidade é abruptamente diminuída, as forças de elevação e arraste di-

minuem também, de forma que as forças eletrostática e gravitacional pressionam as partículas retidas

em direção aos grãos ou à superfície do reboco interno. A captura de partículas é reiniciada e continua

até que o balanço de torques seja restabelecido na segunda frente de erosão. A . A velocidade de fluxo

é novamente modificada para o valor U1 no momento tD2 (Figura 50.a). Disso resulta uma diminuição

instantânea de concentração máxima retida, e o excesso de partículas retidas ∆Scr = Scr2−Scr1 é ins-

tantaneamente liberado na suspensão. Por isso, a concentração em suspensão se torna igual à 1+∆Scr

(Figuras 50.b e 49.b). O valor Scr1 para concentração retida é mantido por todo fluxo com velocidade

U1 (perfis de S nos momentos t7 e t8), e não ocorre retenção de partículas. O fluxo advectivo de

suspensão ocorre à frente da frente de concentração com concentração em suspensão C = 1+∆Scr na

zona VIII e atrás dessa frente na zona IX C = 1. Este efeito também pode ser apreciado no histórico

de concentração no efluente (Figura 49.b).

O aumento súbito das forças de arraste e elevação ocorre no instante tD2, o que impede as forças

gravitacional e eletrostática de manterem todas as partículas retidas no grão ou na superfície do reboco

interno. As forças de arraste e elevação instantaneamente varrem o excesso de partículas retidas ao

longo do testemunho até o valor de equilíbrio Scr1. O balanço é mantido durante o período tD >

tD2, assim a concentração retida permanece constante, e a suspensão enriquecida é deslocada pela

suspensão injetada como num deslocamento pistão. A forma típica da curva de concentração do

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93

efluente, exposta na Figura 49.b, é útil na interpretação de testes laboratoriais em fluxo de suspensões

em meios porosos.

3.3.3 Cálculo do diferencial de pressão

Se faz necessário calcular a evolução do diferencial de pressão adimensional (impedância). Desta

seção em diante, é assumido que o coeficiente de dano à formação é constante. A impedância, que é

o diferencial de pressão imposto no testemunho, vem dada pela seguinte fórmula em caso de variação

de velocidades:

J (tD) =∆p(tD)U (tD)

U (0)∆p(0)

. (200)

A permeabilidade média do testemunho no instante tD pode ser escrita a partir da impedância comok0/J(tD).

Tornando explícito o gradiente de pressão na lei de Darcy (169) e integrando na coordenada xD

de zero a um, obtém-se:

J (tD) = 1+βφc01∫

0

S (xD, tD)dxD. (201)

A concentração retida média presente na equação (201) para impedância foi calculada a partir da

solução exata (Tabela 7) e é exposta na Tabela 8 para doze intervalos de tempo.

O diferencial de pressão e a impedância crescem de maneira não linear com o tempo antes da

produção das primeiras partículas porque a zona danificada atrás da frente de concentração expande-

se durante esse período. O instante de produção tD = 1 é muito pequeno se comparado com o tempo

de erosão tDc1 para o caso em questão, de forma que o crescimento não linear não fica aparente nas

Figuras 49.c e 49.d. Após tD = 1 e antes do início da erosão (instante t2), a integração de (201),

levando-se em conta o perfil de retenção, torna possível escrever:

1≤ tD < tDc :1∫

0

S (xD, tD)dxD = tD [1− exp(−λ )]+1λ[(λ +1)exp(−λ )−1] . (202)

O termo

βφc0 exp(−λ )(1+ 1/λ)− 1/λ � 1, (203)

é muito menor que a unidade (BEDRIKOVETSKY et al., 2001), o que permite simplificar a equação

(202). O resultado dessa simplificação é exposto na terceira linha da Tabela 8 e corresponde a um

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crescimento linear do diferencial de pressão e impedância (Figuras 49.c e 49.d respectivamente).

Tabela 8: Equações para a concentração retida média para diferentes estágios da injeção.

Intervalo de tempo∫ 1

0 S (xD, tD)dxD

tD ∈ [0,1] tD + 1λ[exp(−λ tD)−1]

tD ∈ [1, tDc1] (1− exp(−λ )) tD

tD ∈ [tDc1, tDc1 +1]

Scr1

{tD−tDc1(1+Scr1)

+ 1λ

exp(

λtD

Scr1−1)∗

∗[(

exp[−λ

(tD−tDc11+Scr1

)]− exp [−λ (tD− tDc1)]

)]}+

+tD (exp [−λ (tD− tDc1)]− exp(−λ ))

tD ∈ [tDc1 +1, tDc1 +1+Scr1]Scr1

{1λ

exp(

λtD

Scr1−1)∗

∗[exp(−λ

tD−tDc11+Scr1

)− exp(−λ )

]+ tD−tDc1

1+Scr1

}tD ∈ [tDc1 +1+Scr1, tD1] Scr1

tD ∈ [tD1, tD1 +1]1+Scr1 + tD− tD1− 1

λ+

+( 1

λ+1)

exp [−λ (tD− tD1)]

tD ∈ [tD1 +1, tDc2] Scr1 +1+(1− exp(−λ )) tD

tD ∈ [tDc2, tDc2 +1]

(1+Scr1)(1− tD− tDc2)+Scr2tD−tDc2

Scr2−Scr1+

+(tD− tD1− 1

λ

)[exp [−λ (tD− tDc2)]− exp(−λ )]+

+(1+Scr1)(

tD− tDc2− tD−tDc2Scr2−Scr1

)+

+ (1+Scr1−Scr2)2

λ (Scr2−Scr1)exp(

λ (tD−tD1)−Scr2+Scr1Scr2−Scr1−1

)∗

∗[exp[−λ (tD−tDc2)Scr2−Scr1−1

]− exp

[−λ (tD−tDc2)(Scr2−Scr1)

Scr2−Scr1−1

]]

tD ∈ [tDc2 +1, tDc2 +Scr2−Scr1]

Scr2tD−tDc2

Scr2−Scr1+(1+Scr1)

(1− tD−tDc2

Scr2−Scr1

)+

+ (1+Scr1−Scr2)2

λ (Scr2−Scr1)exp(

λ (tD−tD1)−Scr2+Scr1Scr2−Scr1−1

)∗

∗[exp[− λ (tD−tDc2)

Scr2−Scr1−1

]− exp

[−λ (Scr2−Scr1)Scr2−Scr1−1

]]tD ∈ [tDc2 +Scr2−Scr1, tD2] Scr2

tD ∈ [tD2, tD2 +1] Scr1

tD ∈ [tD2 +1,∞) Scr1

Após o começo da erosão, a expressão para a concentração retida média é apresentada na quarta

linha da Tabela 8. Três termos correspondem à retenção total neste período: a zona de erosão III

e as zona de captura de partículas II e I a frente da frente de erosão. O diferencial de pressão e a

impedância exibem crescimento não linear neste período. Após o momento tDc1 +1, o terceiro termo

da expressão para a concentração retida média desaparece (ver equação da quinta linha da Tabela 8).

A impedância se torna constante após a erosão ocorrer em todo o testemunho (a qualquer instante

posterior à tDc1 +1+Scr1 e anterior à tD1, sexta linha da Tabela 8).

Após o início da injeção com velocidade U2 e antes da saída das primeiras partículas injetadas

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sob essa velocidade (instante t4), a concentração retida média ao longo do testemunho é calculada ao

longo das zonas V e IV (Tabela 8, sétima linha). Este estágio dura apenas um volume poroso injetado,

de maneira similar ao que ocorre no primeiro volume poroso. A diferença é que neste caso existe uma

concentração à frente da frente de concentração, o que acarreta em aumento da concentração retida

ao longo de todo testemunho. O crescimento do diferencial de pressão e da impedância não é linear.

Para o período de tempo tD1+1< tD < tDc2 (o instante t5, antes da liberação de partículas começar

na face de injeção do testemunho, pertence a este período), a concentração retida média é calculada

usando a solução da zona V:

1∫0

S (xD, tD)dxD = 1+Scr1 +

(tD− tD1−

)(1− exp(−λ )) . (204)

Desprezando-se o mesmo termo presente nas equações (202) e (203), é possível simplificar a equação

anterior e obter um crescimento linear para essa média, conforme apresentado na oitava linha da

Tabela 8. A linearidade desse resultado é transferida para o crescimento do diferencial de pressão e

da impedância, conforme ilustrado pelas Figuras 49.c e 49.d, respectivamente.

Para momentos enquanto a liberação de partículas ocorre mas a frente tD− tDc2 = xD ainda não

atingiu a saída do testemunho (tD ∈ ]tDc2, tDc2 +1[), a expressão para a concentração retida média é

obtida integrando-se ao longo das zonas VII, VI e V (nona linha da Tabela 8).

Para os tempos tDc2 +1 < tD < tDst2, após a saída da primeira partícula erodida até a chegada da

frente de erosão ao final do testemunho (instante t6), a expressão para a concentração retida média,

conforme obtida por integração sobre as zonas VII e VI, é exposta a décima linha.

Após a liberação das partículas em todo o testemunho durante a injeção com velocidade U2 (pe-

ríodo tDst2 < tD < tD2), a concentração retida média é igual à concentração retida máxima S = Scr2

(Tabela 8, décima primeira linha). Como esta concentração é constante no tempo, o diferencial de

pressão e a impedância são constantes nesse período. Após a troca de velocidade de U2 de volta para

U1, a concentração retida diminui instantaneamente para Scr1, permanecendo constante para todos os

tempos após a troca (instantes t7 e t8).

O comportamento típico do diferencial de pressão e da impedância com o tempo possui basi-

camente as seguintes feições: crescimento linear durante a filtração profunda clássica, estabilização

quando o testemunho já foi completamente erodido e mudança instantânea após um aumento súbito

de vazão. Essas feições são úteis na interpretação dos testes laboratoriais de injeção de suspensões

em meios porosos.

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96

3.4 Testes de laboratório e ajuste de dados

Nesta seção os testes de injeção de suspensão a duas vazões alternadas serão descritos. Os di-

ferenciais de pressão são interpretados usando o modelo analítico desenvolvido na seção 3.3.3. O

ajuste deste modelo aos dados experimentais permite obter seus parâmetros, mais precisamente, os

coeficientes de filtração e dano à formação e os dois valores da função de retenção máxima nas duas

velocidades de fluxo.

3.4.1 Descrição do teste de laboratório

O teste de laboratório a ser ajustado pela teoria proposta foi realizado em um arenito tomado

do campo A (Bacia de Campos). Neste teste, foi injetada uma suspensão que consistia de água de

injeção com tratamento deficiente, com o objetivo de estimar o declínio de injetividade em poços. A

porosidade e permeabilidade medidas neste testemunho foram de 0,3 e 1040 mD, respectivamente.

O testemunho foi encapsulado em silicone, sem pressão de confinamento. O teste foi realizado

em condições padrão desse tipo de procedimento. A concentração de partículas na suspensão injetada

c0 foi 500ppm. A água injetada e da formação foram modeladas por solução de alta salinidade com

sais de cloro. A concentração do ânion Cl−foi de 90.000 ppm. A concentração dos cátions foi de

31.000 ppm para o Na+e 22.000 ppm para o Ca+ ; e havia outros metais presentes: K+, Mg2+, Sr2+,

e Ba2+. A salinidade total da solução foi de 148.000 ppm. O pH da solução era 6,78, sua densidade

1,1 g/cm3 e sua viscosidade dinâmica 1,27 cP. A viscosidade dinâmica do óleo foi de 3.42 cP. A água

injetada era idêntica à da formação.

Para evitar o efeito de migração de finos nos testes, foi injetada água de formação no testemunho

até a estabilização da permeabilidade. Então, foi injetado óleo no testemunho até que a estabilidade

da permeabilidade para o óleo fosse atingida, ou seja, até a saturação da água ser reduzida aquela

correspondente à água conata. Em seguida, o óleo foi deslocado por água do mar filtrada até a

estabilização da permeabilidade à água (estabelecimento da saturação de óleo residual). Só então a

injeção de suspensão foi iniciada. A vazão de injeção foi alternada entre 1 e 20 mL/min ao longo da

injeção (daqui por diante, estas vazões serão referidas como vazões baixa e alta, respectivamente). O

diferencial de pressão imposto à amostra foi medido durante o teste; os dados brutos desta medida

são mostrados na Figura 51.

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97

Figura 51: Dados experimentais de impedância para o teste de vazões alternadas (BEDRIKO-VETSKY et al., 2012).

3.4.2 Ajuste do modelo matemático aos dados

Antes do ajuste do modelo aos dados propriamente dito, será feita uma análise da curva de di-

ferencial de pressão em termos da retenção de partículas e do consequente dano à permeabilidade

por ela causado. Os dados brutos de diferencial de pressão expostos na Figura 51 mostram que a

impedância aumenta vagarosamente durante a vazão alta; crescimento rápido de impedância sendo

observado na vazão baixa. Após a troca de vazões da baixa para a alta, a impedância cai abrup-

tamente. Após qualquer número de alternâncias com vazão alta, a impedância volta para a mesma

curva de crescimento lento.

Este comportamento da impedância pode ser interpretado como resultado de dois mecanismos

simultâneos de captura (NABZAR et al., 1996; CHAUVETEAU et al., 1998; ROUSSEAU et al.,

2008; GUEDES et al., 2009; GITIS et al., 2010). O mecanismo mais forte é fortemente dependente da

velocidade enquanto o mais fraco é independente desse parâmetro. Portanto, o mecanismo de captura

dominante é atribuído à adesão e o mais lento à exclusão pelo tamanho (Figura 46) - de acordo com a

equação (160), a adesão é altamente dependente da velocidade ; a exclusão pelo tamanho de partículas

sólidas em rochas indeformáveis é determinada pela razão entre os tamanho de partícula e poro e não

depende da velocidade.

A concentração baixa de partículas retidas resulta em condições constantes de captura de par-

tículas durante a acumulação dos depósitos, ou seja, os coeficientes de filtração e dano à formação

permanecem constantes (HERZIG et al., 1970). A impedância em função do tempo é linear para

coeficientes de filtração e dano à formação constantes. A crescimento lento de impedância da Figura

51 pode ser aproximado por uma linha reta, o que corrobora a afirmação de que o crescimento de

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impedância lento e independente da velocidade ocorre devido a uma fraca exclusão por tamanho.

Será assumido neste trabalho que o aumento de impedância é função linear das concentrações

retidas por adesão e exclusão pelo tamanho

k0

k (σ ,σs)= 1+βσ +βsσs. (205)

Assim, a equação para impedância (200) segue da lei de Darcy modificada para considerar o dano à

permeabilidade (equações (168) e (205)):

J (tD) = 1+βφc01∫

0

S (xD, tD)dxD +βsφc01∫

0

Ss (xD, tD)dxD. (206)

Assumindo que a exclusão pelo tamanho é independente da adesão de partículas e que o coeficiente

de filtração profunda é constante também para o mecanismo de exclusão pelo tamanho, o terceiro

termo da equação (206) é uma função linear do tempo (como a impedância da zona I, terceira linha

da Tabela 8):

βsφc01∫

0

Ss (xD, tD)dxD = βSφc0(

1− e−λs)

tD. (207)

Como segue da equação (206), a curva de impedância para adesão de partículas pode ser calculada

subtraindo-se a função linear (207) da impedância total. O resultado desta subtração é apresentado na

Figura 52.a.

O diferencial de pressão na Figura 52.a não muda durante a injeção à alta vazão. Isto significa

que nenhuma captura de partícula ocorre e σcr2 = 0. A matriz não pode manter partículas aderidas

nesta velocidade alta, ou seja, o torque total gerado pelas forças de arraste e de elevação excede àquele

imposto pelas forças eletrostática máxima e gravitacional.

A captura de partículas com dano à permeabilidade ocorre durante a injeção de vazão baixa. A

vazão baixa é trocada pela vazão alta antes da estabilização durante 4 ciclos, então o método para

determinação dos coeficientes de filtração e dano à formação juntamente com valor da concentração

retida máxima para dados obtidos à vazão constante (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a) não pode ser

utilizado para ajuste deste conjunto de dados. Por isso, foi aplicado um processo de otimização para

ajuste do modelo.

O modelo analítico desenvolvido na seção 3.3.1 assume estabilização antes da troca de vazões,

o que não ocorre para o teste em questão - a Figura 52.a mostra que as vazões foram trocadas antes

da curva de impedância atingir os platôs horizontais. Ainda sim, o modelo assume uma remoção

instantânea de partículas em excesso após um aumento abrupto de velocidade, e a análise dos dados

brutos revela valor nulo para a concentração de partículas aderidas durante a injeção rápida. Portanto,

as condições “iniciais” nos instantes tD1 e tD2 são válidas para as condições do teste, o que permite

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usar as equações da quarta e quinta linhas da Tabela 8 durante a injeção de baixa velocidade para

explicar os dados do teste.

(a)

(b)

Figura 52: Dados obtidos a partir do ajuste de dados: a) Comparação da impedância medida com aajustada; b) Concentração do efluente prevista (não medida no teste).

Os resultados do ajuste - coeficientes λ , β e σcr2 como obtida por optimização - são mostrados na

Tabela 9. Os valores obtidos para os coeficientes de filtração e dano à formação então dentro da faixa

esperada (PANG; SHARMA, 1997; BEDRIKOVETSKY et al., 2001). O ponto (U2,σc2) na Figura

47 está localizado na curva cheia que corresponde aos valores das constantes eletrostáticas que foram

apresentados na seção 3.2. Estes valores são típicos de rochas e águas usadas no teste (KHILAR;

FOGLER, 1998; HUNTER, 2001). O valor para a velocidade máxima na qual partículas ainda podem

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100

ser aderidas à rocha Um = 0,00158 m/s é inferior a U2, de modo que o ponto que corresponde à vazão

alta situa-se na linha σ = 0.

Tabela 9: Dados do teste e resultados da caracterização do sistema de adesão-liberação nas duasvazões de teste.

φ (%)k0

(mD)β λ ′ (1/m)

Ponto(U0,φ (1−φc))

U0 = 0;φc = 0,1

Ponto 2(U,σcr) obtido

do ajuste

Ponto 1(U,σcr) obtido

do ajuste

30,0 1040 2000 30 (0;0,27) (0,00155;0,008125) (0,031;0)

O tamanho médio de poro, calculado por (AMIX et al., 1964),

rp = 5√

k/φ , (208)

para os valores de permeabilidade e porosidade da amostra e usados no teste (Tabela 9) é de 9,3 µm.

O tamanho de partícula não foi monitorado durante o teste. A curva cheia para a função máxima

de retenção na Figura 47, que corresponde ao ponto experimental para a velocidade U1 = 0,00155

m/s, foi calculada para tamanho de partícula rs = 2,07 µm. O valor correspondente da razão de

tamponamento rs/rp = 0,22 sugere que a exclusão pelo tamanho não é o principal mecanismo de

captura e sustenta a hipótese de que os danos à permeabilidade ocorrem devido principalmente à

adesão de partículas.

A concentração no efluente é estimada usando os valores obtidos de coeficiente de filtração e

valores máximos de concentração retida na solução analítica (segunda coluna da Tabela 8), para as

condições do teste. O histórico de concentração no efluente assim obtido está representado na Figura

52.b.

Intervalos típicos de variação de concentração excedem em muito um volume poroso. Por isso, as

variações de concentração durante os deslocamentos tipo pistão na ausência de captura de partículas

não aparecem. Concentração do efluente durante a vazão alta é igual à concentração injetada, o que

é explicado pela ausência de partículas retidas. Em contraponto, a concentração do efluente é menor

do que a de injeção durante a vazão baixa, devido à captura de partículas. Quando a concentração do

efluente se mantém constante na baixa vazão ocorre crescimento linear de impedância, com captura de

partículas em todas as secções transversais do meio poroso. O crescimento não-linear de impedância,

por outro lado, corresponde à propagação da frente de erosão e a captura de partículas apenas adiante

dessa frente. Por essa razão esse tipo de progressão de impedância acompanha um crescimento da

concentração no efluente, uma vez que a captura de partículas diminui neste cenário.

A mudança da vazão baixa para a alta causa a liberação instantânea de partículas; essas partículas

aparecem no efluente após um volume poroso, o que não é notado em gráficos cuja escala temporal

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é em dezenas de volumes porosos. Por isso, o aparecimento dessas partículas no efluente parece ser

instantâneo.

A Figura 52.a mostra que o modelo está em uma boa concordância com os resultados experi-

mentais. No entanto, algum desvio dos resultados de modelagem de dados experimentais observa-se

durante a primeira vazão. Durante a injeção desta primeira vazão as partículas entram em poros

sem saída, espaços intra-grãos finos e zonas estagnadas. O preenchimento do espaço poroso começa

quando todas essas superfícies côncavas são preenchidas. As partículas depositadas nessas super-

fícies não podem ser removidas pela forças de arraste mesmo na vazão alta. Assim, as partículas

em suspensão durante a injeção na vazão baixa pela segunda, terceira e quarta vez são aderidas nas

superfícies convexas dos grãos, quando os poros não-conectados já foram preenchidos na primeira

vazão baixa. As partículas depositadas sobre as superfícies convexas geram maior resistência hidráu-

lica do que aquelas retida nos poros não-conectados. Portanto, o coeficiente de dano à formação da

primeiro vazão baixa é menor do que os das vazões baixas seguintes. No modelo analítico derivado

na seção 3.3.3, o coeficiente de dano à formação β é assumido como sendo constante. Para o melhor

ajustar os dados, o seu valor foi determinado a partir da condição de desvio mínimo dos resultados

de modelagem de dados experimentais durante todo o período de injeção. Portanto, o coeficiente de

dano à formação verdadeiro durante a primeira vazão é menor do que o coeficiente de dano à forma-

ção médio. Isso explica por que a curva experimental impedância está localizado abaixo da curva de

modelagem durante a primeira vazão.

Os resultados do estudo de sensibilidade da impedância em relação ao coeficiente de dano à for-

mação, o coeficiente de filtração e concentração máxima retida para vazão baixa são mostrados nas

Figuras 53.a, 53.b e 53.c, respectivamente. Quanto maior é a concentração máxima retida σcr (U2),

maior é a concentração das partículas mobilizadas removidas para a suspensão na vazão alta. Quanto

maior é o coeficiente de filtração λ ′, maior é a fracção de partículas em suspensão capturadas pela

rocha. Quanto maior é o coeficiente de danos de formação β , maior é diferencial de pressão acres-

centado pelas partículas retidas. Portanto, o aumento de σcr (U2), λ ′ e β resulta em aumento da

impedância. O parâmetro mais sensível é o coeficiente de dano à formação uma vez que a impedância

incremental é proporcional à β (ver equação (201)). A sensibilidade da impedância para σcr (U2) é

da mesma ordem de grandeza que aquela para β . O parâmetro menos influente é o coeficiente de

filtração.

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102

(a)

(b)

(c)

Figura 53: Estudo de sensibilidade da impedância com respeito à a) coeficiente de dano à formaçãoβ , b) coeficiente de filtração λ ′, c) concentração máxima de retenção σcr (U2).

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103

4. MIGRAÇÃO LENTA DE PARTÍCULAS

LIBERADAS SOBRE A SUPERFÍCIE DE

MEIOS POROSOS

4.1 Introdução

Migração de finos com consequente redução de permeabilidade é um fenômeno de dano à forma-

ção frequente em diversas atividades: exploração de água, descarte de dejetos industriais em aquífe-

ros, armazenamento de água doce em reservatórios subterrâneos de água e em produção de petróleo.

As características particulares da migração dos finos em rochas reservatório são a mobilização de

partículas aderidas, captura dessas partículas pela rocha e o declínio de permeabilidade com conse-

quente redução de produtividade. A migração de finos é bastante notória por seu efeito deletério na

produtividade e injetividade de poços.

Foi observado o declínio de permeabilidade durante testes de laboratório com velocidade cres-

cente e constante por partes em diversos estudos laboratoriais. As Figuras 54.a e 55.a mostram curvas

de permeabilidade decrescente típicas para esses estudos. Efeitos similares ocorrem durante a dimi-

nuição constante por partes da salinidade da água injetada no testemunho. Este fenômeno é atribuído

à mobilização de partículas de finos aderidos, sua migração e posterior captura nas gargantas de poro,

resultando em declínio de permeabilidade. A Figura 56 mostra um esquema para as concentrações

aderida, suspensa e excluída por tamanho no espaço poroso. A liberação de finos recobrindo as su-

perfícies dos grãos ocasiona aumentos insignificantes de permeabilidade e porosidade enquanto a

exclusão por tamanho em gargantas de poro finas ocasiona redução significativa da permeabilidade,

pois tampona os caminhos condutivos do meio poroso. Argilominerais presentes no reservatório são

a principal fonte de partículas de finos móveis. A Figura 57.a mostra um cristal de caulinita, com suas

finas folhas, na superfície de um grão. A liberação dessas folhas acaba por obstruir os poros (Figura

57.b).

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104

a)

b)

c)

d)

Figura 54: Variação temporal dos parâmetros medidos e calculados durante os testes com velocidadesescalonadas (constante por partes) durante o teste BS012 (OCHI; VERNOUX, 1998): a) declínio depermeabilidade com o tempo (em volumes porosos); b) aumento de velocidade com o tempo; c) de-créscimo do raio das partículas mobilizadas com o aumento de velocidades; d) Fator de vagarosidade.

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105

a)

b)

c)

d)

Figura 55: Variação temporal dos parâmetros medidos e calculados durante os testes com velocidadesescalonadas (constante por partes) durante o teste BS013 (OCHI; VERNOUX, 1998): a) declínio depermeabilidade com o tempo (em volumes porosos); b) aumento de velocidade com o tempo; c) de-créscimo do raio das partículas mobilizadas com o aumento de velocidades; d) Fator de vagarosidade.

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106

Figura 56: Liberação e exclusão por tamanho de partículas de finos causam o declínio de permeabili-dade.

(a)

(b)

Figura 57: Grandes e finas “folhas” de caulinita tampona as gargantas de poro: a) Imagem de mi-croscópio eletrônico de varredura dos “livros” de caulinita na superfície do grão; b) esquema para aliberação e exclusão pelo tamanho.

A teoria clássica de filtração profunda com liberação de partículas inclui a equação do balanço de

massa para partículas suspensas, aderidas e excluídas pelo tamanho:

∂ t[φc+σa +σs]+U

∂c∂x

= 0, (209)

na qual c, σa e σs são as concentrações em suspensão, aderida e excluída pelo tamanho e U é a

velocidade do fluido.

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107

A cinética de captura/liberação das partículas aderidas é dada pela equação de relaxação linear

abaixo:

∂σa

∂ t= λacU− kdetσa, (210)

na qual λa é o coeficiente de filtração para as partículas aderidas e kdet é o coeficiente de liberação

(TUFENKJI, 2007; TORKZABAN et al., 2007, 2010). Para exclusão pelo tamanho irreversível dos

finos nas gargantas de poro pequenas, assume-se que a cinética linear de captura também se aplica.

Neste sentido, a taxa de captura é proporcional ao fluxo das partículas suspensas:

∂σs

∂ t= λscU, (211)

na qual λs é o coeficiente de filtração das partículas por exclusão pelo tamanho. Nas equações (210) e

(162), os coeficientes de filtração foram considerados constantes porque considerou-se que o processo

de liberação e captura de partículas não é severo o bastante para modificar o meio poroso a tal ponto

de afetar a si mesmo. Em outras palavras, a liberação e captura de partículas é relativamente pequena.

A lei de Darcy modificada para considerar o dano à permeabilidade devido tanto às partículas

aderidas quanto às excluídas pelo tamanho vem dada por:

U =− k0

µ (1+βsσs +βaσa)

∂ p∂x

, (212)

na qual k0 é a permeabilidade inicial, µ é a viscosidade e p é a pressão. Os coeficientes de dano à

formação βs e βa mostram como a permeabilidade diminui com o aumento das concentrações retidas

σs e σa.

O sistema quase-linear de equações diferenciais parciais (209-211) exibe reação com atraso para

a alteração abrupta de vazão, enquanto testes de laboratório mostram resposta instantânea tanto de

permeabilidade quanto de concentração de efluente. Este desacordo entre a modelagem e os dados de

laboratório foram resolvidos no modelo modificado para a liberação de partículas pela introdução da

função de retenção máxima (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a, 2012). É assumido que a cada velo-

cidade U corresponde uma concentração máxima de adesão σcr (U). Se a concentração aderida não

excede seu valor máximo, a adesão de partículas adicionais ocorre conforme a equação de filtração

clássica (211); caso contrário a concentração aderida é a máxima. Esta descrição é contemplada na

seguinte cinética de adesão-liberação:

∂σa

∂ t=

λacU ; σa < σcr (U)

σa = σcr (U). (213)

A função de retenção máxima diminui com o aumento da velocidade. Portanto, o aumento da veloci-

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108

dade causa a liberação do excesso das partículas aderidas, de forma que a função de retenção máxima

modela a liberação de partículas de finos.

A função de retenção máxima pode ser calculada teoricamente para a geometria simplificada

de poros cilíndricos com partículas esféricas, usando o balanço de torque das forças de adesão e de

liberação exercidas sobre a partícula (Figura 58):

Fd (U,rs) ld (rs)+Fl (U,rs) ln (rs) = [Fe (rs)+Fg (rs)] ln (rs) , (214)

na qual a letra F representa forças; ls e ln são os braços de alavanca para as forças de arrasto e normal,

respectivamente (Figura 58). A simplificação da complexa geometria do meio poroso para aquela de

partículas esféricas em poros cilíndricos foi escolhida por possuir expressões analíticas para as forças

envolvidas sem afastar-se demasiadamente das condições reais em meios porosos sujeitos a migração

de finos.

Figura 58: A distribuição de partículas de tamanhos diferentes em mono-camada na superfície dogrão e as forças atuantes sobre ela.

A utilização das expressões para as forças de arrasto (equação (256)), de elevação (equação

(259)), eletrostática (equações (261-267)) e gravitacional (equação (260)) na equação de balanço

de torques (214) permite a obtenção da expressão para a função de retenção máxima:

σa = σcr (U) . (215)

A descrição detalhadas dessas forças é realizada no apêndice A. A equação (215) para a função má-

xima de retenção substitui a equação clássica (210), diferenciando-se desta última por não conter

simultaneidade na adesão e liberação. A equação (215) toma o lugar da equação (210) no modelo

matemático para o transporte de suspensões-colóides com adesão e liberação. O modelo modificado

consiste nas quatro equações (209),(211-213) com quatro incógnitas, que são a pressão p e as con-

centrações c, σa e σs. O problema de fluxo unidimensional com adesão e liberação admite solução

exata, permitindo a determinação da função de retenção máxima a partir de testes laboratoriais. A

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109

função de retenção máxima determinada teoricamente concorda com aquela medida em laboratório,

validando o modelo de função de retenção máxima como um modelo para liberação de partículas.

Ainda sim, a solução exata apresenta estabilização completa da permeabilidade em um volume po-

roso, enquanto diversos estudos laboratoriais exibem tempos de estabilização de dezenas ou mesmo

centenas de volumes porosos. As Figuras 54.a e 55.a mostram que os tempos de estabilização de

permeabilidade são muito maiores que um volume poroso para todas as velocidades de teste. Por fim,

o modelo modificado permite bom ajuste das permeabilidades estabilizadas mas falha na simulação

dos longos períodos de estabilização.

Diversos trabalhos afirmam que existe uma movimentação lenta de partículas mobilizadas na su-

perfície do meio poroso, juntamente com o movimento mais rápido junto com o fluxo de suspensão,

sendo este fenômeno atribuído à deposição de partículas no mínimo de energia secundário. No en-

tanto, a teoria clássica de filtração profunda em conjunto com o modelo modificado de liberação de

partículas (equações (209),(211-213)) assume que a partícula se move com a mesma velocidade que

o fluido.

Neste capítulo, os períodos longos de estabilização observados em arenitos são explicados pelo

deslocamento lento dos finos mobilizados na superfície do meio poroso. Para tal, o sistema de equa-

ções (209),(211-213) terá seu fluxo advectivo de partículas modificado, de forma que a velocidade

das partículas Us será menor que a do fluido. O sistema assim modificado admite solução exata para

o caso de velocidade crescente e constante por partes. A boa qualidade do ajuste dos dados permite

validação do modelo proposto.

A estrutura deste capítulo é a seguinte. Na seção 4.2, os processos físicos de liberação e transporte

de finos são descritos e será detalhado como a função de retenção máxima se encaixa neste contexto.

A seção 4.3 detalhará as equações básicas do modelo matemático proposto. A seção 4.4 se dedicará

à solução analítica das equações básicas propostas na seção 4.3 para o caso de velocidade crescente e

constante por partes. A seção 4.5 mostrará os resultados do ajuste do modelo proposto aos dados de

laboratório. A 4.6 fará uma discussão sobre os resultados obtidos.

4.2 Descrição da liberação e transporte de finos - introdução dafunção de retenção máxima

O processo de liberação de partículas requer uma descrição de micro escala. Um esquema de

liberação de finos das superfícies de grão (Figuras 56 e 57), causando sua mobilização seguida de

migração é mostrado na Figura 58. A partícula de fino na superfície do grão está submetida à forças

de arraste, de elevação e gravitacional. A Figura 58.a mostra a deformação das partículas elásticas pela

força normal, que é a resultante das forças eletrostática, de elevação e gravitacional. O lado direito da

equação (268) é uma expressão para a força normal multiplicada pelo seu braço de torque. É assumido

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110

que, no instante de liberação da partícula, ocorre a rotação dela sobre um ponto do círculo do contato

com o grão. A Figura 58.b mostra outra possibilidade de mobilização, na qual a partícula rotaciona

sobre uma rugosidade da superfície do grão. O braço de alavanca para a força normal é determinado

pelas propriedades elásticas no primeiro caso e pelo tamanho das rugosidades no segundo.

O equilíbrio mecânico das partículas nas paredes dos poros é descrito pelo balanço dos torques

das forças de arrasto, de elevação, eletrostática e gravitacional (equação (214)). O braço de alavanca

para a força normal, ln, é calculada pela teoria de contato de Hertz (detalhes no Apêndice B).

A equação de balanço de torques também pode ser interpretada como o balanço dos componentes

horizontais das forças de arrasto e de fricção. A força de fricção é proporcional à força normal com

coeficiente de proporcionalidade 1/l, denominado coeficiente de fricção. Comparando esta interpre-

tação com a equação 214, conclui-se que o coeficiente 1/l se torna o coeficiente de fricção seco:

l =ldln

= tgϕ. (216)

As equações para as forças envolvidas dependem do raio da partícula, sendo que as forças de

elevação e de arraste dependem também da velocidade de fluxo. Consequentemente, a equação (214)

é uma equação transcendental para a função rs = rs (U) do raio mínimo de mobilização da partícula

para uma dada velocidade de fluxo U . A forma típica da dependência rs (U) conforme obtida pela

solução numérica da equação (268) é mostrada na Figura 59. A solução mostra que quanto maior for

a velocidade tanto menor é a partícula mobilizada, ou seja, rs (U) é uma função monotonicamente

decrescente. Portanto, as partículas mobilizadas tem tamanhos decrescentes em um teste com veloci-

dades crescentes. Seja a distribuição por tamanho de concentração aderida inicial denominada Σa (rs).

Assumindo que as partículas estão aderidas em monocamada na superfície do meio poroso, é possível

escrever:

σcr (U) =

rs(U)∫0

Σa (rs)drs. (217)

Assume-se que as partículas aderidas foram “criadas” pelo algoritmo de quebra (“breakage algo-

rithm”), ou seja, a distribuição log-normal para o tamanho das partículas aderidas Σa (rs) se aplica. A

Figura 60 mostra a função máxima de retenção para diferentes distribuições por tamanho de partículas

aderidas.

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111

Figura 59: A distribuição de partículas de tamanhos diferentes em mono-camada na superfície dogrão e as forças atuantes sobre ela.

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112

a)

b)

c)

Figura 60: Forma da função de retenção máxima para as partículas de finos aderidas em monoca-mada na superfície dos grãos: a) distribuição log-normal com mesmo coeficiente de variação (CV)e diferentes tamanhos médios de partícula; b) distribuição log-normal com mesmo tamanho médiode partícula e diferentes coeficientes de variação; c) esquema sobre a determinação da quantidade definos liberada a partir da curva de função de retenção máxima.

A equação (215) é a expressão para a função máxima de retenção para partículas aderidas em

monocamada nas paredes dos poros. Bedrikovetsky et al. (2011a) deduziram uma expressão para a

função de retenção máxima para partículas de um determinado tamanho em deposição policamada

em poros cilíndricos. A forma de função de retenção máxima σcr (U) obtida por esses autores é qua-

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113

drática. A função de retenção máxima para finos não é convexa (Figura 60). A Figura 60.a mostra

curvas de retenção máxima para três distribuições de finos com o mesmo coeficiente de variância e

diferentes tamanhos médios de partícula. Quanto maior for a partícula, menor é a função de retenção

máxima. Este resultado está de acordo com a afirmação de que o tamanho das partículas mobilizadas

diminui com o aumento de velocidade. A Figura 60.b mostra cálculos de função de retenção máxima

de partículas realizados com distribuições log-normais de mesmo tamanho médio e diferentes coefi-

cientes de variância. Quanto maior for o desvio padrão, menor é a função de retenção máxima em

baixas velocidades. Para velocidade altas, ocorre o oposto: maiores desvios padrão geram maiores

valores de retenção máxima.

O modelo fenomenológico de liberação de finos em meios porosos assume a existência de uma

função máxima de retenção arbitrária (215), ou expressão (213) para a taxa de adesão. Considere a

injeção de fluido isento de partículas a velocidade crescente e constante por partes. A Figura 60.c

mostra que não há liberação de partículas para pequenas velocidades, já que o torque adesivo excede

o torque liberador para todos os tamanhos de partícula presentes na amostra. A flecha horizontal

na Figura 60.c corresponde ao crescimento de velocidade de zero para a velocidade crítica U0 sem

mobilização de partículas, ou seja, a concentração aderida permanece constante. A velocidade crítica

é a velocidade mínima na qual ocorre a primeira aparição de finos no efluente. Esta velocidade é

determinada pela concentração inicial de finos no meio poroso:

σa0 = σcr (U0) . (218)

As partículas com o tamanho máximo são removidas pelo fluxo com velocidade crítica U0. O sub-

sequente aumento de velocidade de fluxo corresponde a um movimento para a direita e para baixo

sobre a curva de retenção máxima. O aumento de velocidade de fluxo de U1 para U2 mobiliza uma

concentração de finos igual a σcr (U1)−σcr (U2). Estes finos entram em suspensão, aumentado sua

concentração em [σcr (U1)−σcr (U2)]/φ . As partículas mobilizadas se deslocam ao longo da super-

fície da rocha com velocidade Us inferior à velocidade do fluido U . Essas partículas migram até

encontrarem um poro cuja garganta é menor do que elas, ocorrendo então o tamponamento dessas

gargantas. A consequência desse tamponamento é a redução da condutividade dos poros e por conse-

guinte da permeabilidade. As Figuras 61.a e 61.b mostram os valores de permeabilidade estabilizada

para diferentes velocidades de fluxo conforme obtidas durante os dois testes expostos nas Figuras 54.a

e 55.a respectivamente.

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114

(a) (b)

Figura 61: Permeabilidade estabilizada em função da velocidade: a) BS012 e b) BS013.

A lei de Darcy modificada para considerar a diminuição da permeabilidade devido à adesão e

exclusão de tamanho de partículas mostra que a permeabilidade decresce por um fator de 1+βsσs +

βaσa. A Figura 56 mostra que as partículas aderidas nas paredes da rocha causam dano muito menor

à permeabilidade que aquele ocasionado pelas partículas excluídas por tamanho:

βs� βa, (219)

ou seja a combinação dos processos de liberação de partículas e sua exclusão por tamanho acarreta

no declínio da permeabilidade.

O crescimento do diferencial de pressão (redução de permeabilidade) são mostrados nas Figuras

62.a e 62.b. A variável J é o diferencial de pressão adimensional ao longo do testemunho, normalizado

pelo diferencial de pressão inicial. A aplicação de velocidades Un crescentes acarreta em um aumento

de diferencial de pressão ao longo da amostra de ∆pn−1 para ∆pn, ou equivalentemente, uma redução

de permeabilidade de kn−1 para kn. Portanto, a existência de uma concentração de retenção por adesão

máxima, que é uma função monotonicamente decrescente com a velocidade de fluxo (Figura 60),

explica o declínio de permeabilidade causado pelo aumento de velocidade de fluxo. A Figura 54.a

mostra que a estabilização da permeabilidade ocorre após a injeção de numerosos volumes porosos.

A última partícula mobilizada e transportada pelo fluido pode tanto tamponar uma garganta de poro

quanto chegar ao fim do testemunho. Assumindo que a velocidade do transporte é a mesma do fluido,

estas duas possibilidades ocorrem em um volume poroso injetado. Porém, os tempos de estabilização

de permeabilidade são muito maiores que um (ver Figuras 54.a e 55.a). Esta comparação sugere

que a velocidade de transporte das partículas é muito menor que a do fluido. Yuan e Shapiro (2011b)

sugerem que a partícula desloca-se sobre a superfície da rocha, o que explica a redução de velocidade e

o consequente efeito de atraso de estabilização de permeabilidade. Na próxima seção será introduzido

o modelo matemático para transporte de suspensão/coloide em meios porosos que considera a função

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115

de retenção máxima e o deslocamento vagaroso das partículas.

(a)

(b)

Figura 62: Ajuste do diferencial de pressão ao longo do testemunho pelo modelo matemático para ostestes: a) BS012 e b) BS013.

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116

4.3 Equações básicas para liberação e transporte de coloides emmeios porosos

A análise física da seção anterior permite formular as seguintes hipóteses para o modelo matemá-

tico de transporte e liberação de partículas em meios porosos:

• Existência da função de retenção máxima para partículas aderidas na rocha em mono/multi-

camada.

• As partículas mobilizadas movem-se com velocidade Us menor que a do fluido U .

• A difusão de partículas de finos é desprezível.

• O fluido é considerado incompressível.

• Concentrações pequenas de partículas suspensas, aderidas e excluídas por tamanho não pertur-

bam o balanço de volume do fluido.

• A viscosidade e densidade da suspensão é considerada igual à do fluido injetado.

• Meio poroso inerte com relação ao fluido injetado.

Neste trabalho também assume-se que todas as partículas deslocam-se perto da superfície da rocha,

com velocidade menor que a do fluido, ou seja, a concentração em suspensão carregada pelo fluxo

é muito menor que aquela que se desloca na superfície da rocha. Outro pressuposto importante é

a injeção em formações areníticas ou meios porosos semelhantes a essas formações, como aqueles

compostos por esferas de vidro.

As hipóteses formuladas acima coincidem com aquelas para o modelo modificado de transporte

de suspensão/coloide com a função de retenção máxima (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a, 2012)

acrescido pela hipótese de deslocamento vagaroso dos finos, com velocidade Us. O sistema de equa-

ções básicas inclui: o balanço de massa das partículas suspensas, aderidas e excluídas por tamanho,

na qual as partículas são transportadas com velocidade reduzida Us,

∂ (φc+σs +σa)

∂ t+Us

∂c∂x

= 0; (220)

a taxa de captura de partículas por exclusão por tamanho, que é proporcional ao fluxo advectivo cUs,

∂σs

∂ t= λ

′ (σs)Usc; (221)

e a taxa de adesão das partículas, que também é proporcional ao fluxo advectivo cUs,

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117

∂σa∂ t = λ ′aUsc, σa < σcr (U)

σa = σcr (U), (222)

caso contrário, tem-se concentração máxima de retenção dada pela equação (215). O sistema de qua-

tro equações (212, 220, 221, 222) em quatro incógnitas c, σa, σs e p forma um sistema fechado. É

importante notar que esse sistema inclui a velocidade Us como uma média efetiva. Devido à baixa

concentração de partículas em suspensão e aderidas as paredes das rochas, o efeito da concentra-

ção das partículas sobre essa média pode ser desprezado numa primeira aproximação, retomando a

linearidade das equações diferenciais parciais presentes no sistema (212, 220, 221, 222).

Para adimensionalizar o sistema, definem-se as seguintes variáveis adimensionais:

Sa =σa

σa0,Ss =

σs

σa0,C =

φcσa0

,λa = λ′aL,λs,λs = λ

′sL, tD =

∫ t0 U (y)dy

φL,xD =

xL,αn =

Usn

Un,P =

kpµLU1

;

(223)

na qual Usn são as velocidades das partículas (quando a velocidade do fluido é Un) e αn são os fatores

de atraso. A variável tD é o volume injetado acumulado adimensionalizado. Para o caso de velocidade

constante por partes U (t), a variável tD (t) é uma função linear por partes.

A substituição dos parâmetros adimensionais (223) nas equações básicas (212, 220, 221, 222)

resulta no seguinte sistema adimensional:

∂ (C+Ss +Sa)

∂ tD+αn

∂C∂xD

= 0, (224)

∂Ss

∂ tD= λsαnC, (225)

∂Sa∂ tD

= λaαnC, Sa < Scr (U) ,

Sa = Scr (U) ,(226)

1 =− 11+βsσa0Ss

∂P∂xD

. (227)

O sistema adimensional (224-227) é resolvido para as condições dos testes laboratoriais com

velocidade crescente e constante por partes na próxima seção.

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118

4.4 Solução analítica para fluxo unidimensional de suspensão comliberação de partículas e exclusão pelo tamanho

Considere uma injeção de fluido em testemunho com velocidade U1 que é maior que a veloci-

dade crítica, ocasionando migração de finos (σa0 > σcr (U1)). O excedente de partículas aderidas é

instantaneamente liberado para a suspensão, o que caracteriza a condição inicial para c:

t = 0 : c =σa0−σcr (U1)

φ=

∆σ1

φ. (228)

A concentração aderida à rocha permanece constante durante a injeção com velocidade constante. A

concentração em suspensão antes da liberação é considerada nula. A condição de contorno à montante

do testemunho corresponde a injeção de água isenta de partículas:

xD = 0 : c = 0. (229)

A solução analítica para fluxo de suspensão com velocidade constante é análoga àquela obtida em

Bedrikovetsky et al. (2012) para o sistema (209, 211, 212, 213). A concentração aderida Sa é constante

quando a velocidade de fluxo é constante e Sa = Scr (U). Substituindo a equação (225) em (224)

e levando-se em conta a distribuição em regime estacionário de Sa, obtém-se a seguinte equação

hiperbólica de primeira ordem:

∂C∂ tD

+α1∂C∂xD

=−λsα1C, (230)

cuja solução é obtida pelo método das características na próxima seção.

4.4.1 Solução exata durante a primeira velocidade de injeção, U =U1

As condições iniciais e de contorno, quando a velocidade excede a velocidade crítica, seguem da

equação (228):

tD = 0 : C = ∆Sa1 = 1−Scr (U1) ,Ss = 0,Sa = Scr (U1) , (231)

xD = 0 : C = 0. (232)

A velocidade característica presente na equação (230) é igual à α1. A solução C (xD, tD) ao longo das

linhas características é:

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119

C (xD, tD) =

0, xD ≤ α1tD,

∆Sa1e−α1λstD, xD > α1tD.(233)

A frente de concentração da água injetada isenta de partículas se propaga na trajetória xD = α1T

(Figura 63.a). A concentração é igual a zero atrás dessa frente. O momento tD = α−11 corresponde à

chegada da “última” partícula de fino liberada na saída do testemunho. As partículas liberadas com

concentração uniforme movem-se com a mesma velocidade, sujeitando-se à captura em poros livres

com a mesma probabilidade. Por isso, o perfil de concentração em suspensão permanece uniforme

durante o injeção.

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120

Figura 63: Solução do problema de migração de finos em velocidades elevadas: a) trajetória das fren-tes e linhas características no plano (X ,T ); b) perfis de concentração em suspensão em três momentosdistintos; c) perfis de concentração retida em três momentos distintos.

A concentração retida por exclusão pelo tamanho é obtida a partir da integração, com respeito à

tD, de ambos os lados da equação (225):

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121

Ss =

∆Sa1

(1− e−λsxD

), xD < α1tD,

∆Sa1

(1− e−α1λstD

), xD ≥ α1tD.

(234)

Da uniformidade do perfil de concentração em suspensão combinado com o fato de que a velocidade

de todos os finos mobilizados é a mesma, decorre que o perfil do fluxo advectivo de partículas é

uniforme. Portanto, a concentração retida por exclusão pelo tamanho é independente de xD à frente

da frente de concentração. A exclusão por tamanho ocorre para concentração em suspensão não nula.

Portanto, numa dada secção transversal, as partículas excluídas por tamanho acumulam-se enquanto

a frente de concentração não passar por essa secção transversal. Após isso, a concentração retida é

constante naquela secção transversal. Então, pode-se concluir que a concentração retida encontra-se

em regime estacionário atrás da frente de concentração.

A Figura 63.b mostra os perfis de concentração em suspensão nos momentos tD = 0, no momento

tD = Ta antes da chegada da frente de erosão na saída do testemunho e no momento tD = Tb após a

passagem da frente. A concentração inicial é igual a ∆Sa1. O perfil de concentração em suspensão

antes da chegada da frente de erosão ao final do testemunho é zero atrás da frente e constante em frente

dela. A concentração em suspensão torna-se nula após a chegada da frente ao final do testemunho, já

que todas as partículas foram excluídas por tamanho ou produzidas no efluente.

A Figura 63.c mostra três perfis de concentração de partículas retidas por exclusão pelo tamanho

nos instantes 0, Ta e Tb. Não há partículas retidas na rocha antes da mobilização dos finos. A concen-

tração retida cresce com o tempo até a chegada da frente de concentração e permanece constante após

sua passagem. Quanto maior a coordenada xD, por mais tempo a exclusão por tamanho ocorre na sec-

ção transversal correspondente, o que acarreta em maior concentração retida ao final do processo. Por

isso, o perfil de partículas retidas cresce conforme xD cresce. O perfil é uniforme em frente da frente

de concentração pois o fluxo advectivo de partículas é uniforme juntamente com a probabilidade de

captura das partículas.

A Figura 64 mostra que a concentração do efluente diminui com o tempo, já que a distância

percorrida pela partícula até sua chegada ao final do testemunho cresce com o passar do tempo tD. O

coeficiente de filtração λs é igual a probabilidade da partícula ser excluída por tamanho por unidade

de comprimento da trajetória da partícula. Portanto, a quantidade de partículas capturadas aumenta

com o tempo, e a concentração na saída diminui. No momento

tD,st1 =1

α1(235)

todas os finos mobilizados foram produzidos ou retidos nas gargantas de poro, por isso a concentração

em suspensão é nula.

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122

Figura 64: Históricos de concentração de efluente C, concentração retida Sse diferencial de pressãoadimensional J ao longo do testemunho.

O efeito do crescimento de diferencial de pressão é melhor avaliado pela impedância, que é a

adimensionalização desse diferencial ao longo do testemunho durante a injeção. Para tal, utiliza-se o

diferencial de pressão inicial para normalização:

J (tD) =∆p(tD)U (0)U (tD)∆p(0)

=∆p(tD)k0

U (tD)µL. (236)

A impedância também pode ser expressa em função da permeabilidade do testemunho:

J (tD) =k0

〈k〉(tD). (237)

Como segue da equação (227), para os intervalos de tempo com velocidade de fluxo constante:

J (tD) =1∫

0

(− ∂ p

∂xD

)dxD = 1+βsσa0

1∫0

Ss (xD, tD)dxD. (238)

Substituindo a solução (234) na equação (237) e integrando com respeito a xD obtêm-se a equação

explícita para o aumento de impedância durante a injeção:

J (tD) = 1+βsσa0∆Sa1

[1− 1

λs−(

1− 1λs−α1tD

)e−α1λstD

], tD < α

−11 , (239)

J = 1+βsσa0∆Sa1

(1− 1

λs+

e−λs

λs

), tD ≥ α

−11 . (240)

O diferencial de pressão ao longo do testemunho aumenta monotonicamente de um para o valor

máximo, atingido quando tD = α−11 , que é o tempo de chegada da “última” partícula ao final do

testemunho (Figura 64). Após isso, o diferencial de pressão torna-se constante enquanto permanecer

a mesma vazão.

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123

4.4.2 Solução exata para U = Un em caso de estabilização de impedância nainjeção de velocidade U =Un−1

Considere a mudança de velocidade de fluxo de Un−1 para Un realizada no tempo adimensional

Tn. Esta mudança ocasiona em uma liberação de partículas cuja concentração é ∆σn = σcr (Un−1)−σcr (Un). A condição inicial corresponde a liberação de partículas aderidas na suspensão e a “herança”

da concentração retida por exclusão pelo tamanho da vazão anterior, com velocidade Un−1:

t = tn : c =σcr (Un−1)−σcr (Un)

φ=

∆σn

φ,Ssn (xD) = Ss

(xD,Tn−1 +α

−11). (241)

Em termos das variáveis adimensionais, as condições iniciais são escritas como:

tD = Tn : C = ∆San = Scr (Un−1)−Scr (Un) ,Ssn (xD) = Ss (xD,Tn−0) ,Sa = Scr (Un) . (242)

A condição de contorno (232) continua a mesma. Para construir a função Ssn (xD), utiliza-se a seguinte

fórmula recursiva:

Ssn = Ss(n−1)+∆Sa(n−1)

(1− e−λsxD

). (243)

Mais adiante, será demonstrado como obter esta fórmula a partir da solução das equações diferenciais

parciais básicas (224-227) e das condições de iniciais e de contorno em questão (232, 242, 243).

Novamente se faz necessário resolver o sistema de equações (224-227), com as condições iniciais

e de contorno (232, 242, 243). Esta solução vem dada por:

C =

0, xD < αn (tD−Tn) ,

∆Sane−αnλs(tD−Tn), xD ≥ αn (tD−Tn) ,(244)

Ss−Ssn =

∆San

(1− e−λsxD

), xD < αn (tD−Tn) ,

∆San

[1− e−αnλs(tD−Tn)

], xD ≥ αn (tD−Tn) .

(245)

Esta solução possui essencialmente as mesmas características daquela obtida para o caso U =U1, dis-

pensando portanto uma descrição física mais detalhada. A fórmula recursiva (243) foi obtida a partir

da aplicação da equação (245) para a velocidade Un−1 no tempo Tn. Da hipótese de estabilização,

decorre que xD < αn−1 (Tn−Tn−1) para qualquer xD. Esta condição é exposta na primeira cláusula da

equação (245), sendo igual a equação (243).

O cálculo de impedância é realizado observando-se que a impedância também é “herdada” da

velocidade de fluxo anterior da mesma forma que as partículas capturadas por exclusão por tamanho

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124

também o são, sendo possível escrever:

J (tD) = J0n +βsσa0

1∫0

(Ss−Ssn)dxD, (246)

na qual J0n = J (Tn−0). Substituindo a equação (245) na equação (246) obtêm-se:

J (tD) = J0n +βsσa0∆San

[1− 1

λs−(

1− 1λs−αn (tD−Tn)

)e−αnλs(tD−Tn)

], tD < Tn +α

−11 , (247)

J = J0n +βsσa0∆San

(1− 1

λs+

e−λs

λs

), tD ≥ Tn +α

−11 . (248)

4.5 Determinação dos parâmetros do modelo a partir de experi-mentos

Ochi e Vernoux (1998) realizaram testes de laboratório utilizando arenito Berea visando mobili-

zar finos. Alguns testes dizem respeito à mudança abrupta de velocidade, enquanto outros privilegiam

mudanças de salinidade. Destes testes, dois (BS012 e BS013) apresentaram condições de serem ana-

lisados usando o modelo matemático proposto neste capítulo. Estes testes foram realizados segundo

as condições iniciais e de contorno (231, 232): injeção de água isenta de partículas com velocidade

crescente e constante por partes. O diferencial de pressão ao longo do testemunho foi monitorado

durante o teste. O modelo analítico proposto na seção anterior foi utilizado para ajustar os dados de

impedância (equações (239, 240, 247, 248)). O resultados deste ajuste serão expostos nesta seção.

O ajuste de dados de impedância (diferencial de pressão) foi realizado utilizando como parâmetros

o coeficiente de filtração (λs), os produtos σa0βs∆San e os fatores de vagarosidade αn. A determi-

nação dos produtos σa0βs∆San permite a reconstrução da curva de retenção máxima, dadas algumas

premissas.

A razão de se ajustar o produto σa0βs∆San ao invés de ajustar esses parâmetros isoladamente é que

esses parâmetros aparecem sempre como esse produto nas fórmulas de impedância (239, 240, 247,

248). Portanto, não é possível resolver de maneira única qual o valor individual desses parâmetros

tendo por base somente os dados de impedância. Para resolver este impasse, foram lançadas as

seguintes hipóteses:

1. Todos os finos móveis foram produzidos até o final do teste.

2. Todos os finos são caulinitas.

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125

3. A porosidade dos testemunhos (não reportada) era de 20%.

4. O conteúdo de caulinita nos testemunhos é igual a média do conteúdo medido por Churcher et

al. (1991) em suas amostras de Berea (~6%).

Todas essa hipóteses permitem assumir que σa0 = 0,048. Como foi assumido que todas as partículas

foram mobilizadas, ∑ni=1 σa0βs∆Sai = σa0βs, o que permite calcular βs porque σa0 é estimado (nesta

equação, n é o número da última vazão). Novamente utilizando a premissa de que todas as partículas

foram mobilizadas, σcr (Un) é igual a zero para a última vazão de todos os testes. Da equação (242)

segue que σcr (Un−1) = σa0∆San. Portanto, é possível reconstruir a curva de retenção máxima “de trás

para frente”, somando-se σa0∆Sai ao valor de σcr (Ui) para encontrar σcr (Ui−1), para i = 3, ...,n. Em

geral, a velocidade crítica de mobilização de finos de uma amostra não é conhecida de maneira exata,

sendo possível porém estimar σcr (U0) = σa0. Este procedimento, no entanto, não é suficiente para

reconstruir a curva porque se a velocidade crítica U0 não é conhecida, não sabemos a qual abcissa

corresponder o valor σa0. O valores de λs, de αn e os produtos σa0βs∆San foram determinados por

ajuste dos dados de impedância pelo método dos mínimos quadrados. A Tabelas 10 e 11 mostram os

resultados obtidos pelo ajuste. A Figura 62 mostra o ajuste de impedância contra os dados experi-

mentais. O ajuste desta curva tem coeficiente de determinação superior a 0,95. A Figura 65 mostra a

curva de concentração retida por adesão máxima reconstruída pelo procedimento exposto nesta seção.

Uma vez que o raio crítico de mobilização de partículas depende da velocidade de fluxo e a função de

retenção máxima depende da velocidade, é possível escrever um relacionamento σcr (rs). Este tipo de

raciocínio permite a construção de histogramas de tamanho de partícula de fino. Estes histogramas

para os testes BS012 e BS013 são expostos na Figura 66.

Tabela 10: Valores dos coeficientes de filtração e dano à formação para os testes BS013 e BS012(OCHI; VERNOUX, 1998).

Parâmetro BS012 BS013

λ 2,2869 3,0069

β 30,9328 22,9161

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126

Tabela 11: Valores de fator de vagarosidade, concentrações de partículas liberadas e tempos de esta-bilização obtidos do ajustes dos testes BS012 e BS013 (OCHI; VERNOUX, 1998).

Parâmetro BS012 BS013

α1 0,0020 0,0018

α2 0,0020 0,0018

α3 0,0020 0,0018

α4 0,0020 0,0018

α5 0,0020 -

α6 0,0008 -

α7 0,0008 -

∆σ1 0,0017 0,0206

∆σ2 0,0039 0,0102

∆σ3 0,0045 0,0086

∆σ4 0,0076 0,0086

∆σ5 0,0114 -

∆σ6 0,0114 -

∆σ7 0,0076 -

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127

(a)

(b)

Figura 65: Forma da função de retenção crítica σcr (U) para os testes BS012 (figura a) e BS013 (figurab).

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128

a)

b)

Figura 66: Histograma dos finos móveis para os testes BS012 (a) e BS013 (b).

4.6 Discussão dos resultados

O modelo matemático com função de retenção máxima para liberação e transporte de partículas

com velocidade igual aquela do fluido exibe tempos de estabilização de um volume poroso. Testes de

laboratório mostram períodos de estabilização entre 10 e 1000 volumes porosos. Essa diferença pode

ser atribuída ao movimento mais lento das partículas quando comparadas com o fluido. A velocidade

das partículas no modelo proposto difere daquela do fluido por um fator da ordem de 10−3 a 10−2.

De maneira geral, uma fração das partículas mobilizadas é carregada pelo fluido e outra parte se

move ao longo da superfície dos grãos com velocidade significativamente menor. Essa fração tem seu

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129

valor determinado pela distribuição pelo tamanho dos finos e por suas interações eletrostáticas com a

rocha. O deslocamento da partícula mobilizada próximo da superfície da rocha é uma combinação de

rolamento, deslizamento, liberação temporária no fluido e retorno a superfície devido a colisão com

rugosidades, entre outros fatores.

De acordo com o balanço de torques, para cada velocidade de fluido existe um raio crítico de

partícula, de maneira que todas as partículas maiores que este valor são liberadas rs = rscr (U). Esta

afirmação permite definir a função de retenção máxima de partículas aderidas para o caso monoca-

mada distribuído por tamanho: a concentração aderida para uma dada velocidade é a concentração

inicial de partículas aderidas com tamanho menor que o tamanho crítico. Isto permite calcular a

função de retenção máxima a partir da distribuição dos finos móveis por tamanho, que por sua vez,

possibilita a solução do problema inverso, que é encontrar a distribuição de tamanho dos finos a partir

do conhecimento da função de retenção máxima.

A função de retenção máxima para diferentes tamanhos de partícula de finos aderidos às paredes

de poro em monocamada depende do histograma de finos em função das faixas de raios, das constan-

tes eletrostáticas de interação partícula-rocha e das propriedades elásticas (módulo de Young e razão

de Poisson) da partícula.

Quanto maior for o raio da partícula menor é a função de retenção máxima. Quanto maior for o

coeficiente de variância para a distribuição das partículas por tamanho, menor é a função de retenção

máxima para baixas velocidade e maior é essa função nas altas velocidades.

A função de retenção máxima para adesão de partículas monodispersas em policamadas é con-

vexa, enquanto para adesão em monocamada de partículas polidispersas esta função apresenta-se

côncava em altas velocidades e convexa para baixas velocidades.

O problema unidimensional de fluxo com velocidade crescente e constante por partes e liberação

instantânea de partículas seguida de exclusão por tamanho admite solução analítica exata. A frente

de concentração começa na face de injeção do testemunho, no instante do aumento de velocidade, e

separa a região isenta de partículas atrás da área onde a concentração em suspensão é uniforme.

O bom ajustamento do modelo aos dados de diferencial de pressão obtidos durante o teste com

velocidade crescente e constante por partes valida a modelagem proposta.

A boa concordância entre os dados laboratoriais e as predições do modelo ajustado provê uma

validação apenas preliminar da modelagem proposta. Testes com medidas de perfil de retenção e

histórico de concentração no efluente precisam ser realizados para validar o modelo com velocidade

de deslocamento da partícula diferente daquela do fluido.

Testes de laboratório mais detalhados podem servir para maior validação do modelo. Medidas

de concentração do efluente podem ser comparadas com a solução (233, 244) do problema de fluxo

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130

unidimensional. As medidas de perfil de retenção post-mortem podem ser comparadas com as pre-

vistas pelas equações (234, 245). Medidas de distribuição por tamanho das partículas produzidas no

efluente podem ser utilizadas na obtenção da curva de tamanho crítico de liberação rscr (U). A com-

paração entre as curvas rscr (U) obtidas em dois testemunhos similares com a curva teórica validaria

a modelagem matemática proposta.

A teoria apresentada neste capítulo objetiva realizar a previsão do comportamento da migração

de finos em poços e no reservatório como um todo, podendo ser diretamente estendida para simular

o comportamento de poços. Outra possível extensão é a previsão do comportamento da injeção de

água de baixa salinidade como método de recuperação terciário. Em alguns casos, poços horizontais

podem apresentar comportamento de fluxo linear nos períodos iniciais de teste de poço (LEE et al.,

2003), sendo então a aplicação da teoria proposta mais direta, com as devidas modificações para os

cálculos de pressão. A mesma consideração é valida para formações hidraulicamente fraturadas.

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131

5. COMPARAÇÃO DA TEORIA DE

MIGRAÇÃO LENTA DE FINOS COM

TESTES COM PONTOS DE PRESSÃO

INTERMEDIÁRIOS

5.1 Introdução

A liberação de finos em reservatórios, sua migração como coloides ou suspensões e sua exclusão

pelo tamanho em poros finos e/ou adesão às paredes de poro ocorre em numerosos processos de

produção de petróleo. As principais características desses processos são a mudança da concentração

em suspensão no fluido e o declínio de permeabilidade. O primeiro desses processos é importante

para o descarte de água em aquíferos, enquanto o segundo é relevante na produtividade e injetividade

de campos de petróleo (CIVAN, 2007; ROUSSEAU et al., 2008; BYRNE; WAGGONER, 2009).

Ambos ocorrem durante a invasão do filtrado de fluido de perfuração (SCHECHTER, 1992; WATSON

et al., 2008), na migração de finos em reservatórios de gás e óleo (SCHEMBRE; KOVSCEK, 2005;

CIVAN, 2007) e na injeção de água de baixa qualidade em campos de petróleo (NABZAR et al., 1996;

PANG; SHARMA, 1997; CHAUVETEAU et al., 1998). O efeito da migração de finos durante a

injeção de água de baixa salinidade em reservatórios de petróleo é objeto de intensa pesquisa (TANG;

MORROW, 1999; MORROW; BUCKLEY, 2011; ZEINIJAHROMI et al., 2011a; YUAN; SHAPIRO,

2011a; HUSSAIN et al., 2013). A redução da permeabilidade durante a migração de finos pode ser

usada para controle de produção de água (ZEINIJAHROMI et al., 2011a). A lista de aplicações de

migração de finos pode ser expandida significativamente.

O consenso no fluxo de finos mobilizados em reservatórios porosos é que os finos coloidais ou as

partículas em suspensão são transportados pelo fluido. Em geral assume se que a velocidade advec-

tiva das partículas é igual a do fluido que as carreia; a estabilização da permeabilidade ocorre após

a chegada da “última” partícula mobilizada na saída do testemunho, ou seja após a injeção de um

volume poroso. Muitos autores mencionam uma estrutura de duas velocidades para o fluxo de sus-

pensões/coloides, onde as partículas podem se mover perto da superfície dos poros com velocidade

significativamente reduzida se comparada com o fluido (YUAN; SHAPIRO, 2010, 2011b). A movi-

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132

mentação das partículas próximas das paredes de poros rugosas, conforme modelado pelas equações

de Navier-Stokes, tem velocidade muito inferior àquela da água injetada (SEFRIOUI et al., 2013).

Porém, a grande maioria dos modelos matemáticos assume igualdade da velocidade das partículas e

da água (BRADFORD; TORKZABAN, 2008; BRADFORD et al., 2009).

Diversos testes laboratoriais com velocidade crescente para liberar finos foram realizados, es-

clarecendo os fenômenos de mobilização e exclusão pelo tamanho desse finos (PRIISHOLM et al.,

1987; OCHI; VERNOUX, 1998; KüHN et al., 1998). Uma revisão detalhada desses trabalhos pode

ser encontrada em Tiab et al. (2004) e Civan (2007). No entanto, os períodos de estabilização da per-

meabilidade não podem ser avaliados a partir dos resultados destes testes devido à sua curta duração.

Além disso, o perfil de permeabilidade não pode ser avaliado já que apenas o diferencial de pressão

ao longo de toda amostra foi medido.

Neste capítulo, testes de laboratório com velocidade crescente e constante por partes, com o obje-

tivo de liberar finos do meio poroso, executados até a estabilização da permeabilidade serão expostos.

Foi descoberto que os períodos de estabilização da permeabilidade excedem significativamente um

volume poroso injetado para todos os testes, em contraponto à hipótese de velocidades iguais para

fluido e partículas. Esta demora é atribuída ao transporte lento de finos perto das paredes de poro. O

tempo de estabilização diminui com o aumento da vazão, o que é explicado pelo aumento simultâneo

da força de arraste movendo as partículas ao longo da superfície da rocha.

A estrutura deste capítulo é a seguinte: breve descrição física do transporte de suspensões-

coloides em meios porosos é dada na seção 5.2.Na seção 5.3 apresenta-se os detalhes dos equipa-

mentos usados nos testes, rochas e dos fluidos usados e da metodologia empregada. Os resultados

experimentais são apresentados na seção 5.4. A seção 5.5 estende a solução obtida na seção 4.4 para

sistemas que não atingem a estabilidade de permeabilidade antes da mudança de vazão. A seção 5.6

apresenta os resultados do ajuste dos dados experimentais e o modelo proposto na seção 5.5. As

discussões sobre esses resultados serão realizadas na seção 5.7, onde a demora na estabilização da

permeabilidade é atribuída ao deslocamento lento das partículas sobre a superfície da rocha.

5.2 Física da mobilização, migração e captura de finos

SeguindoMuecke (1979), Sharma e Yortsos (1987a), Chauveteau et al. (1998), Bergendahl e

Grasso (2000), Freitas e Sharma (2001), Byrne et al. (2010), Bradford et al. (2011), Bedrikovetsky et

al. (2011a, 2012), será feita uma breve descrição dos principais fatores físicos determinantes para a

migração de finos e consequente declínio de permeabilidade em meios porosos. A liberação de finos,

sua migração e sua captura são mostrados na Figura 46. As partículas mobilizadas de finos são reti-

das por exclusão pelo tamanho caso suas dimensões excedam às do poro. Finos que interceptam um

grão podem acabar aderidos nele, caso existam vagas para adesão na superfície desse grão. As forças

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133

exercidas sobre uma partícula solitária aderida ao grão estão expostas na Figura 11. A partícula na

superfície do grão ou no topo do reboco interno formado pelas outras partículas aderidas está sujeita a

forças eletrostáticas, de arraste, de elevação e gravitacionais. A partícula permanece aderida se o tor-

que das forças eletrostáticas e gravitacionais (torque adesivo) excede o torque das forças de arraste e

de elevação (torque liberador). Caso contrário, a partícula deixa a superfície do grão. O equilíbrio de

torques é a condição de equilíbrio mecânico da partícula. A força eletrostática depende da distância

de separação, tendo seu valor máximo em alguma distância de separação. Para dados valores de força

de arraste, de elevação e eletrostática, a mobilização da partícula é controlada pelo valor máximo da

força eletrostática atrativa. Se o torque adesivo exceder o torque liberador, a distância de separação é

determinada pelo balanço de torque nos dados valores de forças de arraste, de elevação e eletrostática.

Do critério de balanço de torques segue que no equilíbrio mecânico existe uma concentração máxima

de partículas retidas que é uma função da velocidade do fluido, salinidade, pH, temperatura, etc. A

liberação de partículas devido à velocidade, pH ou aumento de temperatura ou diminuição de salini-

dade é descrito pela diminuição da função de retenção máxima. O aumento de velocidade implica

em um aumento nas forças de arraste e de elevação, aumentando o torque liberador e eventualmente

liberando a partícula (MIRANDA; UNDERDOWN, 1993; OCHI; VERNOUX, 1998; BRADFORD

et al., 2011). A redução da salinidade da água decresce a força eletrostática com consequente decrés-

cimo do torque adesivo, o que tende a mobilizar finos (LEVER; DAWE, 1984; SARKAR; SHARMA,

1990; VALDYA; FOGLER, 1992; KHILAR; FOGLER, 1998; CIVAN, 2010). O aumento de tempe-

ratura e pH também causa enfraquecimento da força eletrostática com consequente mobilização de

finos (VALDYA; FOGLER, 1992; CIVAN, 2010).

A teoria clássica de filtração profunda introduz a velocidade crítica como a velocidade mínima

para a ocorrência de mobilização de finos (MIRANDA; UNDERDOWN, 1993). A salinidade crítica

é o limite de salinidade abaixo da qual os finos são levantados (KHILAR; FOGLER, 1998). A taxa

de liberação de finos é proporcional à diferença entre os valores atuais e limites de velocidade, sali-

nidade, pH, etc. Os coeficientes de proporcionalidade correspondem a tempos de relaxação, que são

empíricos e obtidos por ajuste de dados. O modelo exibe demora na resposta da permeabilidade à

mudança abrupta dos parâmetros, enquanto diversos estudos laboratoriais mostram resposta instan-

tânea da permeabilidade (LEVER; DAWE, 1984; OCHI; VERNOUX, 1998; BEDRIKOVETSKY et

al., 2012). O modelo acima mencionado de função de retenção máxima não possui esta contradição.

Se a partícula em migração intercepta um grão e o torque adesivo excede o torque liberador, a

partícula adere a esse grão. O mecanismo de exclusão pelo tamanho também pode ocorrer. Outro

possível mecanismo é a difusão para poros não-conectados, onde a partícula pode permanecer inaces-

sível ao fluxo nos poros conectados. Na próxima seção apresenta-se a metodologia e os equipamentos

usados nos testes de migração de finos ocasionada pelo aumento de velocidade de fluxo.

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134

5.3 Testes de laboratório

Nesta seção serão descritos os equipamentos utilizados (seção 5.3.1), as características do fluido

e meio poroso empregados (seção 5.3.2) e a metodologia dos testes em diferentes velocidade (seção

5.3.3) a serem utilizados neste capítulo. Mais detalhes podem ser encontrados em Oliveira (2013),

uma vez que a realização prática desses testes foi realizada por essa autora. A contribuição do autor

desta tese foi o planejamento dos testes e sua análise do ponto de vista teórico.

5.3.1 Equipamentos

O esquema dos equipamentos de laboratório com especificações para todos os elementos chave

é mostrado na Figura 67. A Figura 68 é uma foto desses equipamentos. O fluido injetado era posto

no becker 1 e então injetado por uma bomba Jasco modelo PU-2087 em regime de vazão constante.

O “coreholder” Mantec (Labconte) com dois orifícios intermediários para medida de pressão era

controlado pelas válvulas 14 e 15. A pressão de confinamento no “coreholder” era provida por uma

bomba manual Fluke 10, sendo monitorada por um manômetro 11. Os transdutores de pressão 5,6 e

7 mediam o diferencial de pressão ao longo do testemunho, entre a entrada e o segundo orifício e ao

longo da primeira seção do testemunho, respectivamente. Os transdutores Yokogawa foram calibrados

para medir a pressão de poros de zero até 500 psi. O sistema de aquisição de dados 8 digitalizava

as medidas dos três transdutores e as transferia para o computador 8. Os dados eram então tratados

pelo software LabView instalado no computador. O efluente era coletado no becker 4 para medida de

resistividade elétrica, pH, concentração de efluente e de distribuição de tamanho dos finos.

Figura 67: Esquema dos equipamentos de laboratório utilizados nos testes de migração de finos emmeios porosos: 1-fluido injetado, 2-bomba, 3-coreholder com testemunho, 4-fluido produzido; 5,6,7-transdutores de pressão, 8-sistema de aquisição de dados, 9-Computador com LabView, 10-bombamanual para manutenção de pressão de confinamento, 11-manometro, 12-16-válvula de controle.

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135

Figura 68: Equipamentos utilizados nos testes de migração de finos em meios porosos.

5.3.2 Meio poroso e fluido

Testes foram realizados em 16 amostras de arenito Berea com velocidades alternadas. Algumas

propriedades da amostra e do fluido injetado são exibidas na Tabela 12. A Tabela 13 mostra a permea-

bilidade inicial e salinidade da solução para os 16 testes. As amostras 8-20 e 21-24 foram serradas de

dois blocos diferentes. As permeabilidades no primeiro bloco são menores que aquelas do segundo

bloco. Os testemunhos tem diâmetro determinado pelas dimensões do “coreholder” - 0.038 m. O

comprimento da amostra varia entre 0.044 e 0.072 m. Água ultrapura Milli-Q tipo 1 foi utilizada na

preparação das soluções de cloreto de sódio. Estas soluções foram filtradas em um filtro de 0,22 µm.

Tabela 12: Condições gerais de água e testemunho para o teste 12.

Parâmetro Teste 12

Salinidade 10 g/L NaCl

pH 6.4

Comprimento total do testemunho 7.2 cm

Comprimento dos pontos intermediários 0.7 cm e 2.9 cm

Porosidade 19%

Área de secção transversal 11.53 cm2

Viscosidade da solução 1.0 cP

Permeabilidade inicial 58 mD

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136

Tabela 13: Tempos de estabilização para diferentes testes.

No. Testek0

(mD)

Q

(mL/min)

Duração

(VPI)

Tempo de

Estabilização (VPI)

Salinidade

(g/L)

kst

(mD)

8 57

10 303 20 10 40

20 595 16 10 36

30 585 20 10 32

9 70

10 281 16 10 61

20 623 14 10 55

30 706 18 10 50

10 44

10 200 16 6 38

20 505 15 6 33

30 778 20 6 31

11 30

10 18 16 10 30

20 469 20 10 27

30 710 14 10 26

12 58

10 91 25 10 31

20 361 17 10 26

30 455 30 10 24

13 61

10 127 11 30 42

20 752 19 30 35

30 563 22 30 32

14 44,910 146 14 30 40

20 628 17 30 34

15 56

10 123 14 10 46

20 451 23 10 38

30 485 15 10 34

16 50

10 129 14 6 39

20 420 20 6 33

30 527 20 6 30

18 60

10 133 27 6 43

20 599 23 6 35

30 803 18 6 34

19 71

10 146 23 6 45

20 595 25 6 36

30 627 19 6 31

20 75 10 120 12 10 32

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137

Tabela 13: Tempos de estabilização para diferentes testes (continuação).

No. Testek0

(mD)

Q

(mL/min)

Duração

(VPI)

Tempo de

Estabilização (VPI)

Salinidade

(g/L)

kst

(mD)

21 270

10 72 19 10 173

20 306 18 10 155

40 421 21 10 122

48 450 23 10 118

22 109

5 44 13 10 106

10 97 18 10 84

15 213 12 10 71

20 198 10 10 67

25 367 11 10 59

30 1278 12 10 56

23 247

10 86 11 3 180

20 258 12 3 148

40 441 12 3 113

24 250

10 77 10 10 188

20 317 21 10 148

40 300 13 10 111

48 310 20 10 102

5.3.3 Metodologia dos testes

Para determinar a porosidade, as amostras secas foram pesadas, saturadas com solução de salini-

dade conhecida em uma câmara de vácuo e pesadas novamente. Então as amostras foram submetidas

a fluxo em baixa velocidade com vazões variando de 0,5 até 2,0 mL/min para determinar a permea-

bilidade inicial. Em seguida, os testemunhos foram submetidos às vazões de teste, uma após a outra

(Tabela 13). A primeira vazão sempre foi de 1 mL/min durante o curto período onde a permeabilidade

permaneceu constante. A pressão na entrada, saída e em dois pontos intermediários do testemunho

foram medidas durante as injeções (ver o esquema da Figura 67). Medidas de pressão nos pontos

intermediários proveram mais informação para o ajuste de modelos matemáticos e também permitem

a estimativa do perfil de permeabilidade (BEDRIKOVETSKY et al., 2001). A salinidade do fluido

produzido foi determinada a partir da condutividade elétrica (Figura 69.a). O pH do fluido produzido

também foi medido.

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138

(a) (b)

Figura 69: Análise dos efluentes líquidos: a) medidas de condutividade; b) finos residuais submetidosà análise de difração de raios-X após evaporação de água produzida.

As concentrações dos efluentes com finos foram pequenas demais para serem medidas com pre-

cisão razoável. Por isso, os finos foram removidos da amostra com alta concentração no efluente

após a injeção de três vazões de água de baixa salinidade (0,5 g/L). A Figura 69.a mostra a suspen-

são efluente semi transparente assim obtida, com turbidez significativa. A distribuição por tamanho

das partículas nesta suspensão foi medida por um analisador de partículas CILAS 1180 (Figura 70).

Então a água produzida foi evaporada para extraírem-se os finos (Figura 69.b). A mineralogia dessas

partículas foi determinada por análise de difração de raios-X (Figura 71).

Figura 70: Distribuição por tamanho dos finos produzidos.

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139

Figura 71: Resultados da análise de difração de raios-X dos finos oriundos do fluido produzido.

Os dados de laboratório obtidos são apresentados na próxima seção.

5.4 Resultados laboratoriais

A distribuição por tamanho das partículas conforme obtidas a partir da suspensão efluente (Figura

69.a) é apresentada na Figura 70. Os cortes de diâmetro correspondentes à 10%, 50% e 90% são 0,38

µm; 1,35 µm e 5,03 µm; respectivamente. O tamanho médio foi de 2,14 µm. A permeabilidade

inicial k0 foi de 247 mD e a porosidade φ = 0,20. O tamanho médio de poro é estimado por Dp =

10√

k0/φ = 11,1 µm (AMIX et al., 1964). De acordo com a “regra de ouro da filtração”, as partículas

com diâmetro inferior a Dp/7 são transportadas sem sofrerem captura enquanto aquelas superiores àDp/3 são capturadas após migrarem por uma distância desprezível quando comparada com o tamanho

do testemunho, não aparecendo no efluente, com as partículas de tamanho intermediário a esses dois

sofrendo filtração profunda (OORT; VELSEN J. F. G., 1993). A distribuição por tamanho dos finos

exposta na Figura 70 mostra que uma fração significativa dos finos tem diâmetro menor que Dp/7 =

1,6 µm; a fração de partículas com diâmetro superior à Dp/3 = 3,7 µm é significativamente menor que

um. A razão de bloqueio entre os tamanhos médios de poro e de partícula no efluente 11,2/2,14=5,1

é típica de filtração profunda (BRADFORD; TORKZABAN, 2008; BRADFORD et al., 2009, 2011).

O resíduo seco da suspensão produzida evaporada (Figura 69.b) foi submetido a análise por di-

fração de raios-X. Os resultados da análise qualitativa são exibidos na Figura 71. Além dos cristais

de sal, o resíduo contém as folhas de caulinita e partículas de quartzo oriundas do arenito. A presença

do sal é atribuída à solução injetada. O refinamento dos dados mostra que essa amostra consiste em

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140

cristais de 79% NaCl, 18% caulinita e 3% quartzo (porcentagens em massa).

Os resultados das medidas são mostrados nas Figuras 72, 73, 74 e 75. As vazões 10, 20 e 30

mL/min foram utilizadas no teste 12. A variável adimensional impedância foi utilizada para descrever

a permeabilidade média das diferentes secções do testemunho:

J (tD) =∆p(tD)q(tD)

q(0)∆p(0)

=k0

k (tD); ∆p(tD) = p(0, tD)− p(L, tD) , (249)

na qual p é a pressão, q é a vazão, ∆p corresponde a diferença entre os valores de pressão à jusante

e a vazante. A impedância é a razão entre as permeabilidades inicial e atual. O histórico de impe-

dância J (tD) para todo o testemunho e suas secções é apresentado na Figura 72.a. O diferencial de

pressão para todo o testemunho e suas secções é apresentado na Figura 72.b. As Figuras 73,74 e 75

correspondem a um zoom a partir do começo da injeção de cada vazão.

Se faz necessário definir um critério para o tempo de estabilização de diferencial de pressão

(permeabilidade). O intervalo de tempo típico entre 2 medidas é de 0.5 VPI para as vazões utilizadas

nos testes. A precisão das medidas de pressão é de 0.5 psi. O sistema é considerado estabilizado se

o diferencial de pressão não aumenta mais. O seguinte critério foi então utilizado - o aumento do

diferencial de pressão dividido pelo tempo entre 2 medidas seguidas não deve exceder 0.5/0.5 psi. Os

tempos de estabilização tDst , J (tDst) = Jst são apresentados na quinta coluna da Tabela 13. A coluna

sete exibe a permeabilidade estabilizada conforme calculada a partir da impedância estabilizada. Os

gráficos de permeabilidade em função da velocidade para o teste 12 são mostrados na Figura 76. Os

tempos de estabilização em função da velocidade para o teste 12 estão expostos na Figura 77.

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141

a)

b)

Figura 72: Dados laboratoriais do teste 12: a) histórico de impedância; b) diferenciais de pressão aolongo do testemunho e de suas seções em função dos volumes porosos injetados (VPI).

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142

Figura 73: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a vazãode 10 mL/min. Medidas referentes ao teste 12.

Figura 74: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a vazãode 20 mL/min. Medidas referentes ao teste 12.

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143

Figura 75: Histórico de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas seções para a vazãode 30 mL/min. Medidas referentes ao teste 12.

Figura 76: Permeabilidade estabilizada em função da velocidade de fluxo para o teste 12, conformeobtida a partir dos dados de diferencial de pressão ao longo do testemunho e de suas secções.

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144

Figura 77: Tempos de estabilização de permeabilidade em função da velocidade para 16 testes.

5.5 Solução exata para o modelo de liberação e migração de finoscom velocidade crescente e constante por partes

No capítulo anterior, seção 4.4, foi discutida detalhadamente a solução analítica da modelagem

proposta para os casos onde ocorre estabilização completa em cada vazão. Porém, nem sempre esta

condição é verificada em testes laboratoriais. Utilizando-se o método das características, é possível

desenvolver uma solução que considere essa possibilidade. Além disso, não foi mencionada a pos-

sibilidade de medição de pressão em pontos intermediários. Os coeficientes de filtração e dano à

formação também podem ser diferentes para cada vazão imposta. A solução completa do sistema

exposto na 4.4, com essas modificações, vem dada por:

C (xD, tD) =

0, xD < αn (tD−Tn) ,

e−αnλn(tD−Tn) [Cn (xD−αn (tD−Tn))+∆San] , xD ≥ αn (tD−Tn) ,(250)

Ss−Ssn =

∆San

(1− e−λnxD

)+λne−λnxD

∫ xD0 eλnuC(n−1) (u)du, xD < αn (tD−Tn) ,

∆San

[1− e−λnαn(tD−Tn)

]+λne−λnxD

∫ xDxD−αn(tD−Tn)

eλnuC(n−1) (u)du, xD ≥ αn (tD−Tn) ,

(251)

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145

Jω (tD) = J0n +βnσa0

ω∫0

(Ss−Ssn)dxD. (252)

O termo Cn é referente a concentração em suspensão herdada. Seu cálculo depende das posições das

frentes de concentração geradas antes da vazão em questão, [Xwn] j:

[Xwn] j =j

∑k=1

αn−k(T(n−k+1)−T(n−k)

), j < n. (253)

Uma vez calculadas essas posições, é possível expressar Cn como:

Cn =

xD≥[Xwn] j

∑j=1

Wn− j+1(T(n− j+2)

) n

∏k=n− j+2

e−αnλ (Tk+1−Tk), (254)

Wn (tD) = ∆Sane−αnλn(tD−Tn). (255)

É importante ressaltar que as equações (251) e (252) foram calculadas numericamente, devido à forma

pouco prática da equação (254).

5.6 Comparação entre os dados experimentais e o ajuste de da-dos

O modelo analítico proposto na seção anterior foi ajustados para os testes de velocidade apresen-

tados neste capítulo, em geral com resultados satisfatórios. Nesta tese, ênfase será dada para o ajuste

de dados do teste 12, que seguiu os mesmos procedimentos descritos na seção 4.5, exceto no que diz

respeito aos coeficientes de filtração e dano à formação. Estes coeficientes também foram obtidos via

otimização, um valor para cada vazão. A mudança de procedimento para obter os valores dos βn’s

causou a modificação esperada nos procedimentos de obtenção de σcr (U). A Tabela 14 mostra os

resultados deste ajuste.As Figuras 78 e 79 mostram os resultados do ajuste do modelo proposto aos

dados do teste 12. O coeficiente de determinação (R2) para este ajuste foi de 0,8617; indicando bom

ajuste.

Tabela 14: Valores dos parâmetros obtidos a partir do ajuste do teste 12.

Vazão λn βn ∆San αn

10 ml/min 29,3601 36,0322 0,554228 0,0119593

20 ml/min 22,6503 29,2664 0,277841 0,00299511

30 ml/min 19,4552 26,0446 0,167931 0,00285602

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146

Figura 78: Ajuste de dados de impedância para o teste 12. Quadrados: dados experimentais para todoo testemunho. Círculos: dados referentes a impedância medida entre a face de injeção e um pontodistante desta por 2.9 cm (total - seção 3). Curvas azuis: ajuste do modelo. Curva vermelha tracejada:velocidade de fluxo.

Figura 79: Curva de retenção máxima reconstituída a partir do teste 12.

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147

5.7 Discussões

A distribuição por tamanho dos finos produzidos está em concordância qualitativa com a regra

1/3-1/7 de filtração. Isto corresponde à possibilidade das partículas mobilizadas de migrarem ao

longo do testemunho e serem produzidas no efluente, permitindo atribuir o aumento do diferencial

de pressão durante o fluxo de vazão constante ao tamponamento de poros pelas partículas de finos

mobilizadas.

Numerosos estudos de laboratório indicam presença simultânea de argilominerais e outras partí-

culas de arenito no resíduo da água produzida e evaporada (LEVER; DAWE, 1984; KHILAR; FO-

GLER, 1998). A análise de difração de raios-X dos finos no resíduo apresentada na Figura 71 também

mostra a presença de caulinita e quartzo.

As curvas de impedância mostradas na Figura 72.a indicam resposta quase instantânea para a

alteração abrupta de permeabilidade, o que significa que a liberação de partículas ocorre durante

tempos que são muito menores que os tempos de fluxo. A 72.b mostra o diferencial de pressão ao

longo do testemunho, sua terceira secção e entre as seções 2 e 3. As Figuras 73,74 e 75 exibem zooms

para cada começo de injeção à vazão constante. O diferencial de pressão aumenta gradualmente

durante cada injeção à vazão constante, tanto para as secções quanto para o testemunho inteiro. A

redução gradual de permeabilidade é explicada pela migração de finos e sua captura.

Os valores estabilizados de permeabilidade para todo o testemunho e suas secções são mostrados

na Figura 76. Quanto mais alta a velocidade de fluxo menor é a permeabilidade. Isto é explicado pela

acumulação de partículas nas gargantas de poro oriundas da mobilização de finos realizada por cada

aumento de velocidade.

A Figura 72.a mostra que a curva de impedância para a terceira secção da amostra está acima

daquela para a secção entre a segunda e a terceira; e a impedância da amostra inteira é a menor

de todas. Consequentemente, a permeabilidade média de todo o testemunho é maior que aquela da

secção entre a segunda e a terceira; a permeabilidade da terceira secção é a menor delas. O mesmo

relacionamento é revelado na Figura 76: ela mostra a permeabilidade estabilizada da amostra e de suas

secções após a injeção prolongada. Este fenômeno admite a seguinte explicação: os finos mobilizados

movem-se no testemunho com uma determinada velocidade. Esta é a velocidade da frente de água

limpa movendo-se da face de injeção a partir do começo da injeção. A exclusão por tamanho das

partículas causando a redução da permeabilidade acontece à frente desta frente, os finos suspensos

estão ausentes atrás dela. Quanto maior a distância entre a face de injeção e um ponto no testemunho,

maior é o período no qual ocorre neste ponto ocorre captura de partículas e menor é a permeabilidade

final dele. O perfil da permeabilidade final ao longo do testemunho é dados por uma curva de declínio.

É conveniente discutir também os tempos de estabilização e suas implicações sobre as velocidades

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dos finos. É assumido que os finos são liberados por uma troca de vazão abrupta durante um período

de tempo que é muito menor que o tempo de referência para o fluxo na amostra. Por isso, a frente de

concentração da água limpa injetada move-se com a velocidade da água a partir da face de injeção no

começo da aplicação de vazão. A espessura da frente difusiva é muito menor do que o comprimento

do testemunho. A exclusão pelo tamanho dos finos mobilizados pára quando a frente de concentração

atinge o fim do testemunho, ou seja, após um volume poroso injetado. A hipótese de que as partículas

mobilizadas são transportadas pelo fluido resulta em um tempo de estabilização de um volume poroso.

Porém, os tempos de estabilização observados excedem em muito um volume poroso (Tabela 13).

Isto mostra que as partículas mobilizadas deslocam-se com velocidade muito menor que a do fluido.

Este deslocamento pode ser concebido como a resultante de diferentes movimentações microscópicas

como rolamento sobre a superfície da rocha ou deslizamento sobre segmentos da parede de poro

(YUAN; SHAPIRO, 2011b). A partícula pode ser mobilizada e mover-se com o fluido até encontrar

uma rugosidade, podendo deixá-la ou permanecer aderida. A faixa de tempos de transição em VPI,

que é igual à razão entre as velocidades de fluido e de deslocamento da partícula variam entre 10 e 27

(Tabela 13).

A Figura 77 mostra os tempos de estabilização em função da velocidade de fluido para as con-

dições de todos os testes. A curva superior corresponde a testemunhos com permeabilidade mais

alta que foram serrados do segundo bloco (testes 21-24, Tabela 13). A curva inferior corresponde a

testemunhos com permeabilidade mais baixa que foram serrados do primeiro bloco de rochas (testes

8-20). Não é esperado que os pontos se localizem exatamente sobre a mesma curva, já que os tempos

de transição para esses pontos foram calculados a partir de testes em amostras diferentes. Porém, as

curvas apresentam a seguinte tendência: quanto mais alta é a velocidade do fluido, menor é o tempo

de transição ou, maior é a velocidade de deslocamento da partícula. Isto é explicado pela proporcio-

nalidade entre a velocidade de fluxo e a força de arraste exercida sobre as partículas na superfície do

meio poroso.

Durante a injeção de suspensões em meios porosos, o tempo de produção da água injetada (“bre-

akthrough”) varia em torno de um VPI. Pequenos desvios da unidade são explicados pela acessibi-

lidade dos poros a partículas de tamanho finito (ILINA et al., 2008) ou por efeitos concomitantes

de captura e difusão de partículas (ALTOÉ et al., 2006). Disso é possível concluir que partículas

injetadas movem-se com a velocidade do fluido. Em contrapartida, para as condições dos testes de la-

boratório apresentadas neste capítulo, as partículas liberadas movem-se lentamente perto das paredes

de poro. Ainda sim, não é possível excluir a possibilidade de ocorrência de liberação de partículas

para as partes mais rápidas do fluxo, resultando em transporte mais rápido das partículas. Isto pode

ocorrer em altas velocidades de fluxo e requer maior investigação laboratorial.

Mesmo com a clara tendência de crescimento de impedância na escala de tempo dos períodos de

teste, numerosos saltos localizados para baixo na curva J (tD) são observados. O maior desses saltos

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149

é observado quando da troca de vazão 1 mL/min para 10 mL/min (Figura 73). Isto pode ser explicado

pela formação de pontes por várias partículas na entradas das gargantas de poro e sua destruição

durante mudanças localizadas de fluxo e desvios devido ao tamponamento dos poros.

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150

6. CONCLUSÕES

Neste capítulo, serão abordadas as principais conclusões deste trabalho. Primeiro, serão apre-

sentados as conclusões depreendidas de cada capítulo. Após, serão feitas as conclusões finais. É

importante observar que a modelagem de migração de finos introduzida no capítulo 4 é específica

para arenitos.

6.1 Conclusões para o capítulo 3

O modelo analítico para o transporte de suspensão com liberação de partículas em caso de alter-

nância de velocidade de fluxo e a comparação entre os dados de laboratório e a modelagem proposta

permitem concluir o seguinte:

1. A permuta abrupta da vazão baixa de injeção de suspensão para alta resulta na liberação ime-

diata das partículas retidas, o que corresponde a um aumento da permeabilidade instantâneo

durante o teste. As partículas libertadas são varridas da rocha durante uma um volume poroso,

o que fica exposto por um aumento súbito da concentração do efluente. Além disso, a retenção

de partículas e declínio de permeabilidade não ocorrem.

2. Comutação da vazão alta para baixa resulta em gradual retenção de partículas e declínio de

permeabilidade até que a concentração máxima retida é atingida em todo testemunho.

3. O aumento e redução sequenciais de vazão com retorno à mesma vazão inicial resulta em res-

tauração da permeabilidade da amostra nesta vazão.

4. As afirmações acima estão de acordo com o principal pressuposto do modelo de que a concen-

tração máxima retida é uma função da velocidade de fluxo. Boa concordância entre os dados

laboratoriais e a modelagem proposta valida o modelo de transporte suspensão modificado com

a adição da função de concentração máxima retida para a descrição da liberação de partículas.

6.2 Conclusões do Capítulo 4

A modelagem analítica da liberação de finos com velocidade crescente e constante por partes

durante injeção em arenitos Berea e sua comparação com os resultados dos testes de laboratório

permitem extrair as seguintes conclusões:

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1. Períodos longos de estabilização de permeabilidade podem ser explicados pela movimentação

lenta (em comparação com o fluido) das partículas sobre ou próximo das superfícies de poro.

2. O tamanho crítico das partículas liberadas diminui com o aumento da velocidade.

3. A função máxima de retenção para finos distribuídos por tamanho e aderidos nas paredes de

poro em monocamada é expressa através da distribuição por tamanho das partícula aderidas e

da curva de tamanho crítico para liberação por uma equação explícita. Esta função de retenção

máxima é igual à concentração acumulada das partículas menores que aquelas mobilizadas pelo

fluxo com uma dada velocidade U .

4. Quanto maior for o tamanho dos finos, maior é a função de retenção crítica. Quanto maior for o

coeficiente de variância dos tamanhos de partícula, maior é a função de retenção máxima para

altas velocidades e menor é esta função para velocidades baixas.

5. A distribuição de tamanho das partículas de finos mobilizáveis pode ser determinada a partir

da função de retenção máxima e da curva de tamanho crítico de liberação obtidas de testes

laboratoriais.

6. A comparação entre as curvas de diferencial de pressão de dois testes laboratoriais e os dados

da modelagem exibem ajuste com coeficiente de determinação superior á 0.98, o que valida o

modelo proposto.

6.3 Conclusões do Capítulo 5

Testes de laboratório com velocidade crescente e escalonada em arenitos Berea, nos quais o dife-

rencial de pressão foi medido, permitem concluir que:

1. Testes de laboratório exibem resposta quase instantânea de permeabilidade à mudança abrupta

de vazão, sugerindo que a mobilização de finos é instantânea.

2. Os tempos de estabilização excedem em muito um volume poroso, o que sugere que os finos

migram com velocidade significativamente menor que a água que os suporta.

3. Quanto maior for a velocidade tanto menor é o tempo de estabilização, o que é explicado

pela proporcionalidade entre a velocidade e a força de arraste movendo partículas mobilizadas

próximos às paredes de poro.

4. A permeabilidade post-mortem diminui ao longo do testemunho, já que pontos remotos dele

são expostos à partículas por mais tempo, aumentando assim a concentração retida.

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152

6.4 Conclusões Finais

Os conceitos de estocagem de partículas (BEDRIKOVETSKY et al., 2011a) e de retardo de mi-

gração das partículas em filtração profunda (YUAN E SHAPIRO, 2011b) são bem fundamentados na

literatura. Todavia, na literatura não existe nenhuma modelagem que considere-os simultaneamente.

Com isso em mente, conclui-se que:

1. O modelo matemático aqui apresentado, contemplando tanto o conceito de capacidade de es-

tocagem quanto o retardo na velocidade dos finos, explica a migração de finos de maneira

satisfatória.

2. A modelagem apresentada é geral, sendo apresentada com equações básicas. Isto implica na

possibilidade de extensão do modelo para outros cenários (geometria radial, simulação de re-

servatórios, entre outros).

3. Pelas mesmas razões já apresentadas, a teoria proposta é adequada para a previsão do com-

portamento de injeção de água de baixa salinidade quando empregada como um método de

recuperação avançada.

A importância desta tese para a indústria do petróleo provêm de sua capacidade de prever o dano à

formação tanto para o poço injetor de água de baixa qualidade como para os poços sujeitos à migração

de finos. Além disso, a teoria proposta possibilita a simulação da injeção de água de baixa salinidade

como método de recuperação avançada.

Trabalhos Publicados

BEDRIKOVETSKY, P., ZEINIJAHROMI, A., SIQUEIRA, F.D., FURTADO, C.A., SOUZA,

A.L.S. (2012) Particle Detachment Under Velocity Alternation During Suspension Transport in Po-

rous Media. Transport in Porous Media. 91 (1): 173-197.

Trabalhos Submetidos

OLIVEIRA, M., VAZ, A., SIQUEIRA, F., YANG, Y., YOU, Z., BEDRIKOVETSKY, P. (2013)

Slow migration of mobilized fines during flow in reservoir rocks: laboratory study. Journal of Petro-

leum Science and Engineering.

SIQUEIRA, F.D., YANG, Y., VAZ, A., YOU, Z., BEDRIKOVETSKY, P. (2014) Slow migration

of detached particles over rock surface in porous media. Journal of Hydrology.

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153

8. RECOMENDAÇÕES

1. Desenvolver modelo analítico semelhante ao modelo proposto para alteração de velocidade que

contemple o caso de alteração de salinidade ou pH.

2. Outra importante área do desenvolvimento de teoria é caso bifásico, onde soluções básicas

deveriam ser deduzidas. A obra deve incluir obtenção de soluções analíticas e sua comparação

com dados laboratoriais.

3. Desenvolver as soluções do modelo proposto em geometria radial e outras, visando aplicação

em dados de poços. Caso a teoria para o caso bifásico esteja disponível, desenvolver a solução

radial para este caso também.

4. Adaptar o modelo proposto para o caso de formações de carbonato, tendo em vista possíveis

aplicações para o pré-sal. Este caso difere significativamente dos arenitos devido a reatividade

do meio poroso em relação ao fluido injetado.

5. Toda a modelagem proposta foi escrita a partir de equações unidimensionais. Expandir a mode-

lagem para duas e/ou três dimensões, mostrando que de fato se reduzem as equações propostas

para o caso unidimensional.

6. Verificar o efeito das concentrações de partícula na velocidade de deslocamento dos finos Us,

tendo em vista a não-linearidade das equações resultantes e as diferentes soluções analíticas

que delas depreendem.

7. Na literatura, é detalhada a influência que os estados de tensão das rochas têm sobre as pro-

priedades do reservatório (porosidade, permeabilidade, saturação de óleo, entre outras). De

semelhante maneira, a aplicação de campos eletromagnéticos pode causar alterações em tais

parâmetros. No entanto, em termos de migração de finos, não há literatura disponível. Haja

vista que a migração de finos é causada pelo desequilíbrio mecânico das partículas e que exis-

tem forças elétricas envolvidas nesse balanço, seria interessante estudar os efeitos das tensões

(propriedades elásticas) e da aplicação desses campos na migração de finos.

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APÊNDICE A. FORÇAS ATUANTES

SOBRE A PARTÍCULA NA SUPERFÍCIE

DO GRÃO

A Figura 58 mostra a partícula de fino aderida à parede do poro. A partícula na superfície da

rocha está submetida às forças de arraste, de elevação, eletrostática e gravitacional. A Figura 58.a

corresponde ao caso de força eletrostática atrativa e partícula deformável. A Figura 58.b mostra uma

partícula não-deformável presa numa rugosidade da superfície da rocha. As forças eletrostática e

gravitacional tendem a aderir as partículas à superfície, enquanto as forças de arraste e de elevação

tedem a remove-las. As expressões utilizadas para estas forças serão expressas abaixo.

A.1 Força de arraste

A expressão para a força de arraste atuante sobre uma partícula em uma superfície plana é obtida

a partir da solução assintótica das equações de Navier-Stokes deduzidas por O’Neil (1968), sendo

muito utilizada na modelagem de adesão e liberação de partículas em meios porosos (SCHECHTER,

1992; BRADFORD; TORKZABAN, 2008; TORKZABAN et al., 2007; BERGENDAHL; GRASSO,

2000; BEDRIKOVETSKY et al., 2011a; ALTMANN; RIPPERGER, 1997):

Fd = ωπµrs ut |H−rs, (256)

na qual µ é a viscosidade, rs é o raio da partícula, H é metade do comprimento do canal, ut |H−rsé

a velocidade tangencial do fluido no centro da partícula e o fator de arraste ω é igual à 6 ∗ 1,7. O

caso ω = 6 corresponde a formúla de Stokes para a partícula em fluxo uniforme e sem interferência

de fronteiras (LANDAU; LIFSHITZ, 1987). Para os fluxos Hele-Shaw em uma fenda e Poiseuille

em um tubo, as velocidades de fluxo no centro da partícula situada na parede de poro vem dadas

respectivamente por:

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168

ut |H−rs=

3rsuH

, (257)

ut |rp−rs=

3rsqπr3

p. (258)

Nas expressões anteriores, u representa a velocidade média através da fenda e q é a vazão imposto

num poro de raio rp.

A.2 Força de Elevação

A força de elevação exercida pelo fluido numa partícula esférica sobre uma superfície plana vem

dada por (SAFFMANN, 1965, 1968; AKHATOV et al., 2008):

Fl = χ

√ρµ(rs ut |H−rs

)3, (259)

na qual o coeficiente de elevação χ vem dado por 81,2 por Kang et al. (2004), enquanto Altmann e

Ripperger (1997) utilizaram-no igual à 0,761; ρ é a densidade do fluido. Expressões similares foram

utilizadas por Akhatov et al. (2008). As referências acima basearam-se em Saffmann (1965, 1968).

A.3 Força Gravitacional

Neste trabalho, por força gravitacional se entende a força resultante entre a força gravitacional

propriamente dita e o empuxo. Esta resultante pode ser escrita como:

Fg =43

∆ρgr3s , (260)

na qual ∆ρ é a diferença entre as massas específicas da partícula e do fluido.

A.4 Forças Eletrostáticas

A força eletrostática total é a derivada da energia potencial total:

Fe =−∂V∂h

, (261)

na qual a eneregia total é a soma dos potenciais de London-van-der-Waals, de dupla camada elétrica

e de Born. O conjunto desses potenciais resulta naquilo que é conhecido como teoria DLVO (DER-

JAGIN; LANDAU, 1941; GREGORY, 1981; ELIMELECH et al., 1995; KHILAR; FOGLER, 1998;

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169

ISRAELACHVILI, 2006):

VLVA =−A132

6

[2(1+Z)Z (2+Z)

+ ln(

Z2+Z

)]; Z =

hrs, (262)

VDLR =ε0Drs

4

[2ψ01ψ02 ln

(1+ exp(−κh)1− exp(−κh)

)−(ψ

201 +ψ

202)

ln(1− exp(−2κh))], (263)

VBR =A132

7560

(σLJ

rs

)6[

8+Z

(2+Z)7 +6−Z

Z7

], (264)

V =VLVA +VDLR +VBR, (265)

na quais A132 é a constante de Hamaker, h é a separação entre as superfícies sendo Z seu valor adi-

mensional, ε0 é a permissividade do espaço livre, D é a constante dielétrica do meio, ψ01 e ψ02 são

os potenciais de superfície das partículas e grãos (coletores), respectivamente, σLJ é o diâmetro de

colisão atômica no potencial de Lennard-Jones (LANDAU; LIFSHITZ, 1980). O inverso do compri-

mento de Debye κ pode ser escrito como:

κ =

√e2 ∑viz2

iε0DkBT

, (266)

na qual kB é a constante de Boltzmann, vi é a concentração do i-ésimo íon em solução (longe da

influência das superfícies) definida como número de íons por unidade de volume, zi é a valência do

i-ésimo íon e e é o valor absoluto da carga do elétron e≈ 1,6.10−19C.

Para soluções aquosas em temperatura ambiente (25 oC), a equação (266) simplifica para:

κ = 0,73.108√

∑Cmiz2i , (267)

na qual Cmi é a concentração molar do i-ésimo íon em mol/m3 (ELIMELECH et al., 1995).

A.5 Balanço de Torques

A partir das expressões (256)-(267), é possível expressar o critério para o tamanho crítico de

liberação como o seguinte balanço de torques:

Fd (U,rs) ld (rs) = [Fe (rs)−Fl (U,rs)+Fg (rs)] ln (rs) . (268)

Nessa equação, ld e ln representam, respectivamente, o braço de alavanca para as forças de arrasto e

resultante normal.

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APÊNDICE B. DETERMINAÇÃO DA

RAZÃO DE BRAÇOS DE ALAVANCA A

PARTIR DA DEFORMAÇÃO DE

CONTATO DA PARTÍCULA

Seguindo os trabalhos de Schechter (1992), Bradford e Torkzaban (2008), Torkzaban et al. (2007),

Bedrikovetsky et al. (2011a), a os braços de alavanca presentes na equação 268 serão determinados

pela deformação elástica da partícula na superfície causada pela força resultante normal. A soma

algébrica das forças eletrostática, de elevação e gravitacional deforma a partícula e cria uma área

que tangencia o contato partícula-grão. É assumido que a partícula roda sobre a fronteira da área

deformada no momento de sua liberação, de sorte que o braço de alavanca para a força normal é igual

ao raio da área de contato gerada pela deformação. A Figura 60.a apresenta a partícula deformada

pela força de adesão e mostra como uma partícula gira no momento da mobilização. A teoria de Hertz

apresenta, com fórmula explicita, para o raio da área de contato que é igual ao braço de alavanca ln.

Essa expressão foi originalmente deduzida por Derjagin e Landau (1941) para o caso de partícula

deformada por força eletrostática e foi utilizada para partículas coloidais aderiadas as paredes de uma

superfície sólida (SCHECHTER, 1992; BRADFORD; TORKZABAN, 2008; TORKZABAN et al.,

2007; BEDRIKOVETSKY et al., 2011a):

ln =3

√(Fe−Fl +Fg)rs

K, ld =

√r2

s − l2n , (269)

nas quais, K é o módulo de Young composto, que depende das razões de Poisson νi e os módulos de

Young Ei da partícula e do grão:

K ≡ 4

3(

1−ν21

E1+

1−ν22

E2

) , (270)

na qual o subscritos 1 e 2 correspondem a partícula e ao grão respectivamente.