.t(t) = .t,,, cos(w,,l + </>), ( 15-45)

onde Xm é a amplitude das oscilações. A amplitude do deslocrunento x,,. é uma função complicada de w e w, .. A ampli­

tude da velocidade v"' das oscilações é n1ais si1nples de descrever; é máxima para

w .. = w (ressonância), (15-46)

uma situação conhecida como ressonância. A Eq. 15-46 expressa também, aproxi-1110danzente, a situação para a qual a a1nplitude do deslocamento, x,,,, é máxima. As­shn. se e1npurramos um balanço com a frequência angular natural de oscilação, as amplitudes do deslocamento e da velocidade atingem valores elevados, um fato que as crianças aprende1n depressa por tentativa e erro. Quando empurra1nos o balanço com outra frequência angular, maior ou menor, as amplitudes do deslocamento e da velocidade são menores.

A Fig. 15-16 mostra a variação da amplitude do deslocamento de um oscila­dor com a frequência angular we da força externa para três valores do coeficiente de amortecimento b. Observe que para os três valores, a amplitude é aproximadamente máxima para wjw = 1 (a condição de ressonância da Eq. 15-46). As curvas da Fig. 15-16 mostram que a um amortecimento menor está associado um pico de resso­nância mais alto e mais estreito.

Todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais frequências angulares na­turais; se a estrutura é submetida a uma força externa cuja frequência coincide com uma dessas frequências angulares naturais, as oscilações resultantes podem fazer com que a estrutura se rompa. Assim, por exemplo, os projetistas de aeronaves devem se certificar de que nenhuma das frequências angulares naturais com as quais urna asa pode oscilar coincide com a frequência angular dos motores durante o voo. Uma asa que vibrasse violentamente para certas velocidades dos motores obviamente tomaria qualquer voo muito perigoso.

A ressonância parece ter sido uma das causas do desabamento de muitos edifí­cios na Cidade do México em setembro de 1985, quando um grande ter:rernoto (8,1 na escala Richter) aconteceu na costa oeste do México. As ondas sísmicas do terre­moto eram provavelmente fracas demais para causar grandes danos quando chega­ram à Cidade do México, a cerca de 400 km de distância. Entretanto, a Cidade do México foi, em sua maior parte, construída no leito de um antigo lago, uma região onde o solo ainda é úmido e macio. Embora a amplitude das ondas sísmicas fosse pequena no solo firme a caminho da Cidade do México, aumentou consideravelmente no solo macio da cidade. A amplitude da aceleração das ondas chegou a 0,20g e a frequência angular se concentrou (surpreendentemente) em tomo de 3 rad/s. Não só o solo oscilou violentamente, mas muitos edifícios de altura intermediária tinham frequências de ressonância da ordem de 3 rad/s. A maioria desses edifícios desabou durante os tremores (Fig. 15-17), enquanto edifícios mais baixos (com frequência angular de ressonância maior) e mais altos (com frequência angular de ressonância menor) permaneceram de pé. ~

·­-o..

~

0,6 0,8

OSCILAÇÕES 105

h-50g/s ( IJU rmt

Hl1Hh:1 lnltUIO)

1,0

w, (J)

b 711 ~/s

b-llUg/s

l •) .~ l , 1

Figura 15-16 A a1nplitude do deslocamento xm de u1n oscilador forçado varia quando a frequência angular wc da força externa varia. As curvas da figura corresponde1n a três valores diferentes da constante de amortecimento b.

Figura 15-17 Em 1985, edifícios de altura intermediária desabaram na Cidade do México por causa de um terremoto que ocorreu longe da cidade. Edifícios mais altos e mais baixos permaneceram de pé. (John T. Barr/ Getty Jrnages Ne~vs and Sport Services)

l ---.~-..--,, •--..,..,

REVISÃO E RESUMO_· :· 1 1 F~equência A frequência/ de um movimento periódico, ou os­cilatóno, é o número de oscilações por segundo. No SI, é medida em hertz:

1 hertz= 1 H1 = 1 oscilação por segundo= 1 s-1• (15-1)

Período O perfodo T é o tempo necessário para uma oscilação com­plet;i r,u <:iclo, e está relacionado à frequência através da equação

l ' - ~ . (15-2)

Movimento Harmônico Simples No n1ovil11~11to har111ô!1ico simples (MHS), o deslocamento x(t) de u~a parttcula a parttr da posição de equilíbrio é descrito pela equaçao

( 1 + "') (deslocamento), X = X111 COS W 'I' ( 15-3)

1 + cp é a fase do n10-onde x é a amplitude do deslocamento, w ~ . , .,

• m ante de fase. A frcquenc1a angular w est.i v1me~to e cp é a co?sdt. , :.. 1· , uência do movin1ento através da relacionada ao perto o e ,1 ri.:q

-equaçao

1

106 CAPÍTULO 15

21r 2 /' w = 7· = 1T' ( fn:quência angular). ( 15-5)

Derivando a Eq. 15-3, chega-se ~1s equações da velocidade e da ace­leração de uma partícula em MHS em função do tempo:

e

v = -wx,,, sen(wt + </>)

a= -w2x,,, cos(wt + cp)

(velocidade)

( ace lcração).

( 15-6)

( 1 5-7)

Na Eq. 15-6, a grandeza positiva wx,,, é a amplitude da velocidade do 1novi1nento, v,,,. Na Eq. 15-7, a grandeza positiva w2x,,, é a am­plitude da aceleração do movi1nento, a,,..

O Oscilador linear U1na pa1tícula de massa ,n que se move sob a influência de uma força restauradora dada pela lei de Hooke F = -kx exibe u1n 1novimento har,nônico simples, no qual

w=[f ( frequência angular) (15-12)

Movimento Harmônico Simples e Movimento Circul .t lni. forme O 111ov11nento har1nônico si1nples é a projeção do n )vi. mento circular unifor1ne en1 um diâmetro da circunferênc1.i n, qual ocorre O 1novunento circular unífor1ne. A Fig. 15-13 n1ostra que as projeções de todos os parã1netros do movimento circular (no,, ão, velocidade e aceleração) fornece1n os valores correspondtnh: <lo~ parârnetros do 1novi1nento harrnônico simples.

Movimento Harmônico Amortecido A energia 1nctan1c,1 E de sistemas oscilatórios reais diminui durante as oscilaçõt , porque forças externas, como a força de arrasto, inibe1n as oscilações 1: 1 ns­

ferem energia mecânica para energia térmica. Nesse caso, d1 . 1 ios que o oscilador real e seu movir:iento s~o amor!e~idos. St a •orça de amortecimento é dada por F,, = -bv. onde v e a veloc1d,1de do oscilador e b é uma constante de amortecimento, o desloca1nt nto do oscilador é dado por

x(t) = x111 e-"1'2"'cos(w't + </>). ( 15-42)

e T = 21r H- (período). (15-13) onde w', a frequência angular do oscilador amortecido. é dada por

U1n sistema desse tipo é chamado de oscilador harmônico linear simples.

Energia Uma partícula en1 movimento harmônico simples possui, em qualquer instante, uma energia cinética K = { mv2 e uma energia potencial U = ! kx2

• Se não há atrito, a energia mecânica E = K + U permanece constante mesmo que K e U variem.

Pêndulos Entre os dispositivos que executam um movimento har­mônico simples estão o pêndulo de torção da Fig. 15-7, o pêndulo simples da Fig. 15-9 e o pêndulo físico da Fig. 15-10. Os períodos de oscilação para pequenas oscilações são, respectivamente,

T = 21r~ (pêndulo de torção), (15-23)

T = 21rVUg (pêndulo simples), (15-28)

T=27T~ (pêndulo físico). (15-29) L

w' = J~ - b2 . n1 4m2 ( 15-43)

Se a constante de amortecimento é pequena (b << & ), w'"'

w, onde w é a frequência angular do oscilador não amortecido. Para pequenos valores de b, a energia mecânica E do oscilador é dada por

(15-44)

Oscilações Forçadas e Ressonância Se uma força externa de frequência angular w, age sobre um sistema oscilatório defreq11ê11-cia angular natural w, o sistema oscila com frequência angular w,. A amplitude da velocidade v111 do sistema é máxima para

W e = W, (15-46)

uma situação conhecida como ressonância. A amplitude x,,, do sis­tema é (aproximadamente) máxima na mesma situação.

PERGUNTAS 1 1 Qual dos seguintes intervalos se aplica ao ângulo </> do MHS da, Fig. 15-18a:

(a) -7r < </> < -7r/2,

(b) 7T < <b < 37T/2,

(c) -37T/2 < </> < -7r?

2 A velocidade v(t) de uma partícula que executa um MHS é mos­trada no gráfico da Fig. 15-18b. A partícula está momentaneamente e1n repouso. está se deslocando em direção a - x,,, ou está se deslo­cando em direção a +,l"., (a) no ponto A do gráfico e (b) no ponto B do gráfico? A partícula está em - x,,,. em + x.,, em O, entre -x,,, e O ou entre O e + x,,, quando sua velocidade é representada (c) pelo ponto A e < d) pelo ponto B? A velocidade da partícula está aumen­tando ou dimjnu1ndo (e) no ponto A e (f) no ponto B?

3 (J gráfico da Fig. 15-19 rno~tra a aceleração a(t) de u1na partícula 4ue executa um MIJS. (a) Qual do~ pontos indicados corresponde à partícula na posição .t, ·1 (b) No ponto 4, a velocidade da partícu­l.1 é poi;itiva, negativa ou nula'? (e:) No ponto 5, a partícula está e,n - , . crn + ,,,,, cn1 O, entre t e O ou entre O e + t ? m m·

X V

(a) (b)

Figura 15- 18 Perguntas 1 e 2.

a

2 1

6

Figura 15-19 Pergunta 3.

4 Qual das seguintes relações entre a aceleração a e o deslocamento x de uma partícula con·esponde a um MHS: (a) a = O.Sx, (b) a = 400x2

, (c) a= -20x. (d) a= -3x2?

5 Você deve co1npletar a Fig. 15-20a para que seja O gráfico da velocidade vem. função do te1npo t do oscilador massa-1nola que é 1nostrado .na ~1g. l 5-20b para t = O. (a) Na Fig. l 5-20a, em qual dos pontos ~nd1cados ~or letras ou em que região entre os pontos

0 eixo v (vertical) deve interceptar o eixo t? (Por exemplo: ele deve interceptar o eixo t no ponto A, ou, talvez, na região entre os pontos A e B?) (b) Se a velocidade do bloco é dada por v = -v sen(wt + cp), qual é o valor de</>? Suponha que é positivo, e se~ão puder especificar u1n valor (como +'TT/2 rad), especifique u1n intervalo (como O<</>< 7T/2).

~ ---+---J~-+--~ t B D E

(a)

] - t=O b eaeoa cW ------l -1----+----+---x -x,,, o x,,,

(b)

Figura 15-20 Pergunta 5.

6 Você deve completar a Fig. 15-21a para que seja o gráfico da aceleração a em função do tempo t do oscilador massa-mola que é mostrado na Fig. 15-21b para t = O. (a) Na Fig. 15-2la, em qual dos pontos indicados por letras ou em que região entre os pontos o eixo v (vertical) deve interceptar o eixo t? (Por exemplo, ele deve interceptar o eixo t no ponto A, ou, talvez, na região entre os pontos A e B?). (b) Se a aceleração do bloco é dada por a= -am sen(wt + </>), qual é o valor de cf>? Suponha que é posit~vo, e se n~o puder especificar um valor (como +'TT/2 rad), especifique um intervalo (como O<</>< 'TT/2).

(a)

~ t= o J

X

-X,n o Xm

(b)

Figura 15-21 Pergunta 6.

7 A Fig. J 5-22 rnostra as curvas x(t) obti~as em três ;~;ri~e;tos Ja,cndo urn certo siste1na massa-mola oscilar ei

1n t~n . t · r(;;1:

as 1.:ur\a, de :.icordo com (a) a frequência angu ar o ~IS ~1néat: a do' · t te l - 0 (C) a energia Clll IC, energia potencial da ,nola no 1ns an - ' . _

0 hloco no in,tantc I = O. (d) a velocidade do bloco no instante,, -/. . d bloco em orde1n decrescente. e i e J a energia cinética m<1x1ma o •

PARTE

OSCILAÇÕES 107

Figura 15-22 Pergunta 7.

8 A Fig. 15-23 mostra os gráficos da energia cinética K em função da posição x para três osciladores har1nônicos que têm a mes1na massa. Ordene os gráficos de acordo (a) com a constante elástica e (b) o período do oscilador, em ordem decrescente.

:,: Figura 15-23 Pergunta 8.

9 A Fig. 15-24 mostra três pêndulos físicos formados por esferas uniformes iguais, rigidamente ligadas por barras iguais de massa desprezível. Os pêndulos são verticais e podem oscilar em tomo do ponto de suspensão O. Ordene os pêndulos de acordo com o período das oscilações, em ordem decrescente.

o •

Figura 15-24 Pergunta 9. (a) (b) (e)

1 O Você deve construir o dispositivo de transferência de oscilação mostrado na Fig. 15-25. Ele é composto por dois sistemas massa-mola pendurados em uma barra flexível. Quando a mola do sistema 1 é dis­tendida e depois liberada, o MHS resultante do sistema 1, de frequên­cia J;, faz a barra oscilar. A barra exerce uma força sobre o sistema 2. com a mesma frequênciaJ;. Você pode escolher entre quatro molas com constantes elásticas k de 1600, 1500, 1400 e 1200 N/m e entre quatro blocos com 1nassas ,n de 800, 500, 400 e 200 kg. Determine mentahnente que n1ola deve ser ligada a que bloco nos dois sistemas para maximizar a amplitude das oscilações do sistema 2.

- Barra

Si,1,•m,, 1 ) ) ,____,Sistt'l\\,1 ~ Figura 15-25 Pergunta 1 O.

•

108 CAPÍTULO 15

11 Na Fig. 15-26, um sistema massa-mola é colocado em MHS em dois experimentos. No primeiro, o bloco é puxado até sofrer um deslocamento d1 em relação à posição de equilíbrio e depois libe­rado. No segundo, é puxado até sofrer um deslocamento maior d2 e depois liberado. (a) A amplitude, (b) o período, (c) a frequência , (d) a energia cinética máxima e (e) a energia potencial máxima do movimento no segundo experimento é maior, menor ou igual à do primeiro experimento?

Figura 15-26 Pergunta 11.

12 A Fig. 15-27 mostra, para três situações, os deslocamentoç r(t)

de um par de osciladores harmônicos simples (A e B) que <;ão iguais em tudo, exceto na fase. Para cada par, qual o deslocamento de fase (em radianos e em graus) necessário para deslocar a curva 4. t' lazê. la coincidir com a curva B? Das várias respostas possíveis, es,·olha o deslocamento com o menor valor absoluto.

X •• :B. • • • • • • • • • •

1--ll---+--+-- t • • • • • • • • • • •

• • •

(a)

• • • • • • •••

X

A ••• . ·. B

• • • • 1---1--1-+-.;.· -t-- t

• • •

• • • • • • • • • •

(b)

. • • •

Figura 15-27 Pergunta 12.

•

( e)

1 1 PROBLEMAS 1 • - - O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema

:;'.$a= Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Ffsica de Jearl Walker, LTC, Alo de Janeiro, 2008.

Seção 15-3 A Lei do Movimento Harmônico Simples

•1 Um objeto que executa um movimento harmônico simples leva 0,25 s para se deslocar de um ponto de velocidade nula para o pon­to seguinte do mesmo tipo. A distância entre esses pontos é 36 cm. Calcule (a) o período, (b) a frequência e (c) a amplitude do movi­mento.

•2 Um corpo de 0, 12 kg executa um movimento harmônico simples de amplitude 8,5 cm e período 0,20 s. (a) Qual é o módulo da força máxima que age sobre o corpo? (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante elástica da mola?

•3 Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,20 cm e uma frequência de 6,60 Hz?

•4 Do ponto de vista das oscilações verticais, um automóvel pode ser considerado como estando apoiado em quatro molas iguais. As molas de um carro são ajustadas de tal forma que as oscilações têm uma frequência de 3,00 Hz. (a) Qual é a constante elástica de cada mola se a massa do carro é 1450 kg e está igualmente distribuída pelas molas? (b) Qual é a frequência de oscilação se cinco passa­geiros pesando, em média, 73,0 kg, entram no carro e a distribuição de massa continua uniforme?

• 5 Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para a frente e para trás, ao longo de uma distância de 2,0 mm, em um movimento harmônico simples com uma frequência de 120 Hz. Determine (a) a amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) o módulo da aceleração máxima da lâmina.

•6 Uma partícula com uma massa de 1,00 X 10-20 kg descreve um movimento harmônico simples com um período de 1,00 X 10-s se uma velocidade máxima de 1,00 X 103 m/s. Calcule (a) a frequência angular e (b) o deslocamento máxitno da partícula.

•7 Um alto-falante produz um som musical através das oscilações de um diafragma cuja amplitude é limitada a 1,00 µ..m. (a) Para que frequénc1a o módulo a da aceleração do diafragma é igual a g? (b) Para frequC:ncia'> maiores, a é maior ou menor que g?

o Qual é a <.on\tante de fase do oscilador harmônico cuja função po'>t~ao \(/ J aparece na Fig. 15-28 se a l unção posição é da fonna .\ = t., co'>( r,J/ , q, )'' A escala do eixo vertical é definida por x, = 6,0 cm.

x (cm) s

Figura 15-28 Problema 8.

•9 A função x = (6,0 m) cos[(31r rad/s)t + 1r/3 rad] descreve o movimento harmônico simples de um corpo. No instante t = 2,0 s, qual é (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase do movimento? Qual é também (e) a frequência e (f) o período do movimento?

•10 Um sistema oscilatório massa-mola oscilante leva 0,75 s para começar a repetir seu movimento. Determine (a) o período, (b) a frequência em hertz e (e) a frequência angular em radianos por se­gundo.

•11 Na Fig. 15-29, duas molas iguais, de constante elástica 7580 N/m, estão ligadas a um bloco de massa 0,245 kg. Qual é a frequên· eia de oscilação no piso sem atrito?

Ili

Figura 15-29 Problemas 11 e 21.

• 12 Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função velocidade v(t) aparece na Fig. 15-30 se a função posição x(t) é da forma x = x,,, cos( wt + </>)? A escala do eixo vertical é definida por v, = 4,0 cm/s.

Figura 15-30 Problema J 2.

v (cm/s)

-v 1

• 13 Um oscilador é formado por um bloco co d 0 m uma massa e 500

kg ligado a uma mola. Quando é posto em osci·1 - ' . açao com uma am-

plitude de 35,0 cm, o oscilador repete O movimento d O 500 . ( ) , d (b a ca a , s. Determine a o per10 o, ) a frequência (c) a fre A •

1 , . , quenc1a angu ar, ( d) a cons:ante elast1ca, (e) a velocidade máxima e (t) 0 módulo da força máxima que a mola exerce sobre O bloco.

••14 Um oscilador harmônico simples é formad bl o por um oco de massa 2,00 kg pr~s~ a uma mola de constante elástica 100 N/m. Em t = 1,00 s, a pos1çao e a velocidade do bloco são x = o 129 in e v = 3,415 rn/s. (a) Qual é a amplitude das oscilações? Qu~I era (b) a posição e (c) a velocidade do bloco em t = os?

•• 15 Duas partículas oscilam em movimento harmônico simples ao longo ?e um ~egmento r_etilíneo comum de comprimento A. As duas part1culas tem um penodo de 1,5 s, mas existe uma diferença de fase de 1r/6 rad entre seus movimentos. (a) Qual é a distância entre as partículas (em termos de A) 0,50 s após a partícula atrasada passar por uma das extremidades da trajetória? (b) Nesse instante, as partícula~ estão se movendo no mesmo sentido, em sentidos opostos se aproximando uma da outra ou em sentidos opostos se afastando uma da outra?

• • 16 Duas partículas executam movimentos harmônicos simples de mesma amplitude e frequência ao longo de retas paralelas próximas. Elas passam uma pela outra, movendo-se em sentidos opostos, toda vez que seu deslocamento é metade da amplitude. Qual é a diferença de fase entre elas?

••17 Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m). Em um certo instante t, a posição (medida a partir da posição de equilfbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x = O, 100 m, v = -13,6 rn/s e a = -123 m/s2• Calcule (a) a frequência de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitu­de do movimento.

••18 Em um ancoradouro, as marés fazem com que a superfície do oceano suba e desça uma distância d (do nível mais alto ao nível mais baixo) em um movimento harmônico simples com um período de 12,5 h. Quanto tempo é necessário para que a água desça uma distância de 0,250d a partir do nível mais alto?

••19 Um bloco está apoiado em um êmbolo que se move vertical­mente em um movimento harmônico simples. (a) Se o MHS tem um período de 1,0 s, para que valor da amplitude do movimento o bloco e o êmbolo se separam? (b) Se o êmbolo se move com uma amplitude de 5,0 cm, qual é a maior frequência para a qual o bloco e o êmbolo pennanecem continuamente em contato?

• • ., ú A Fig. 15-3 la é um gráfi­co parcial da função posição x(t) de um oscilador harmônico sim­ples com uma frequência angu­lar d1;; 1,20 rad/s; a Fig. 15-3lb é u,n gráfico parcial da função velocidade v(r) correspondente. A e~calas dos eixos verticais \llo definidas por x = 5,0 cm e \ 5,() cm/.,, Qual é a cons­tante de fase do MHS .,,e a fun­Ç.to J.)O~rçao rir) é dada na forma t ',. COS(<,JI -t tpJ?

x (cm) x,

- -- -

- - -~ - ,-.

- -X J

(a)

v (cm/s) v,

-1' ' (h)

- - -

- -- -

Figura l 5-31 Problentu 20.

t

PARTE 2

OSCILAÇÕES 109

•21 Na Fig. 15-29. duas 1nolas estão presas a um bloco que pode oscilar em um piso se1n atrito. Se a 1nola da esquerda é removida, o bloco oscila com uma frequência de 30 Hz. Se a 1nola removida é a da direita, o bloco oscila com uma frequência de 45 Hz. Co1n que frequência o bloco oscila se as duas 1nolas estão presentes?

••22 A Fig. 15-32 mostra o bloco 1, de massa 0,200 kg, desli­zando para a direita, em uma superfície elevada, com uma ve­locidade de 8,00 m/s. O bloco sofre uma colisão elástica com o bloco 2, inicialmente em repouso, que está preso a uma mola de constante elástica 1208,5 N/m. (Suponha que a mola não afeta a colisão.) Após a colisão, o bloco 2 inicia um MHS com um período de 0,140 se o bloco 1 desliza para fora da extremidade oposta da superfície elevada, indo cair a uma distância horizontal d dessa superfície, depois de descer uma distância h = 4,90 m. Qual é o valor de d?

2 k 1

//-r;:J=::=::!:::::==::::=::::::=.J I

I li /

d

Figura 15-32 Problema 22.

••23 Um bloco está em uma superfície horizontal (uma mesa os­cilante) que se move horizontalmente para a frente e para trás em um movimento harmônico simples com uma frequência de 2,0 Hz. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície é 0,50. Qual o maior valor possível da amplitude do MHS para que o bloco não deslize pela superfície?

•• •24 Na Fig. 15-33, duas molas são ligadas entre si e a um bloco de massa 0,245 kg que oscila em um piso sem atrito. As duas molas possuem uma constante elástica k = 6430 N/m. Qual é a frequência das oscilações?

m

Figura 15-33 Problema 24.

•••25 Na Fig. 15-34, um bloco pesando 14,0 N, que pode deslizar sem atrito em um plano inclinado de ângulo() = 40,0°, está ligado ao alto do plano inclinado por uma mola de massa desprezível de 0,450 m de comprimento quando relaxada e cuja constante elásti­ca é 120 N/m. (a) A que distância do alto do plano inclinado fica o ponto de equilíbrio do bloco? (b) Se o bloco é puxado ligeiramente para baixo ao longo do plano inclinado e depois liberado, qual é o período das oscilações resultantes?

Figura 15-34 Problc111a 25.

1

1

1 1

1

1 I 1

110 CAPÍTULO 15

•••26 NaFigura l5-35.dois blocos (111 = l ,8kgeA,J =, I.Okg)_e uma ,nola (k = 200 N/tn) estão dispostos e1n urna superf1~1e hori­zontal sern atrito. O coeficiente de atrito est.itico entre os dors bl?cos

A • • J ,s do srste-é 0,40. Que amplitude do movimento har1non1co sim~ e. A • '

ma blocos-n1ola faz corn que o bloco 1nenor fique na 1111,nencia de deslizar sobre o bloco maior?

m

Figura 15-35 Problema 26.

Seção 15-4 A Energia do Movimento Harmônico Simples

•27 Quando o deslocamento em um MH~ é ~et~de da amplitu~e xm, que fração da energia total é (a) energia cinética e (b) ~nerg1a potencial? (c) Para que deslocamento, como fração da ampl1t~de, a energia do sistema é metade energia cinética e metade energia po­tencial?

•28 A Fig. 15-36 mostra o poço de energia potencial u~idim~n~io­nal no qual se encontra uma partícula de 2,0 kg [a funçao U(x) e da forma bx2 e a escala do eixo vertical é definida por U, = 2,0 JJ: (a) Se a partícula passa pela posição de equilíbrio com uma velo'.:da­de de 85 cm/s, a partícula retoma antes de chegar ao p~nto x - 15 cm? (b) Caso a resposta seja afirmativa, calcule a pos1çao ~o ponto de retomo; caso a resposta seja negativa, calcule a velocidade da partícula no ponto x = 15 cm.

-20 -10

Figura 15-36 Problema 28.

U(J) u,

o x (cm)

10 20

•29 Determine a energia mecânica de u1n sistema massa-mola com uina constante elástica de J ,3 N/cm e uma amplitude de oscilação de 2.4 cm.

•30 Urn sistema O!>cilatórío massa-mola possui uma energia me­cânica de J ,00 J. u1na amplitude de 10,0 c1n e uma velocidade má­xnna de 1.20 mi!>. Detennine (a ) a con .. tantc clá!>tica, (b) a 1nassa c.Jo bloco e (<..) a frequcncia de o,ctlação.

•31 U,n ohJetu de 5,00 kg que rcpou,a c1n u,na ,upcrfícic hori1on-1al c111 ..11n10 c,1.1 prc!;o a u1na 1nola con1 k = 1000 N/n1. O objeto é do,; locadc, hon1011tal111cnlL 'iO,O crn a partir da po,ição de cquilíbno e rcccl>e urr, 1 ., lo 1dac.Jc 11ttlt,1l de I O.O 111/, na direçao da pos1çao d cqutl1hr11J <Ju,11 e l,1J a l1 c,111ênl'1:1 do 1nov1111cn10, (h) a energia f)Ol 111,;lul HIICJ,lf tf11 ~I h:111,1 tna~sa lllola, (CJ a l'flClfHl l'lllCIICa lflÍ

e.a I e (d) .1 a111plrtudc d1t 111ov1111l'111o'1

• 2 A l 1 • IS 17 'º" tr 1,1 Cllllff,l llllCltl,1 A dl' 11111 o~ctlado1 ha1 11 OI O lfllpl lll lUlll1 11,cl.1 JIII llj,Ut, \ 1• l,ll.1 Vét l Íl',11 l défffllda J r li I O J (.)u 11 eu cu11 t,1111,• 1.:l,1 111.:,1 1

A. (J)

K '

- 12 -8 -·1 o ·1 8 12

,\" (crn )

Figura l 5-37 Problema 32.

M _ 5 4 kg em repouso e111 uma 1nesa •• 33 Um bloco de massa - • ' . , d . . está li ado a um suporte ríg ido atraves e u1na

horizontal sem atnto, . g_ 6000

N/m Uma bala de massa 111 == 1 d constante elástica k - · .

mo ª e . _ d ód lo 630 m/s atinge o bloco e fica aloJada 9 5 g e velocidade v e m u , d , 1 , d a compressão da mola e esprez1ve

nele (Fig. 15-318).' Suponbloºc~u~etermine (a) a velocidade do bloco até a bala se a oJar no , . . h

. 6 1. a- o e (b) a a,nplitude do movimento ar-imediatamente ap s a co ts mônico simples resultante.

-V I> k

.::t ) M 111

Figura 15-38 Problema 33.

••34 Na Fig. 15-39, o bloco 2, de massa 2,0 kg, oscila na extr~­midade de uma mola em MHS com um período de 20 ms. A posi­ção do bloco é dada por x = (1,0 cm) cos(wt + 7T/2). O bloco. l , de massa 4,0 kg, desliza em direção ao bloco 2 com uma velocidade rJe módulo 6,0 m/s, dirigida ao longo do comprimento da mola. Os dois blocos sofrem u1na colisão pe1feitamente inelástica no instante t = 5,0 ms. (A duração da colisão é muito menor que o período do movimento.) Qual é a amplitude do MHS após a colisão?

.. .... 1 2 r--, k

Figura 15-39 Problema 34.

••35 Uma partícula de 10 g executa um MHS com uma amplitu­de de 2,0 mm, uma aceleração máxima de módulo 8,0 X 103 m/s2

e u1na constante de fase desconhecida </>. Qual é (a) o período do 1novimento, (b) a velocidade máxima da partícula e (c) a energia mecânica total do oscilador? Qual é o módulo da força que age so­bre a partícula no ponto no qual (d) o deslocamento é máximo e (e) o desloca1nento é metade do deslocamento máximo?

••36 Se o ângulo de fase de um sistema 1nassa-mola em MHS é 1r/6 rad e a posição do bloco é dada por x = x,,. cos( wt + cp ). qual é a razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante t = O?

•••37 Uma mola de massa desprezível está pendurada no teto con1

un1 pequeno objeto preso à cxtren1idade inferior. O objeto é inicial· rncnte mantido crn repouso e1n uma posição \', tal que a rnola se en· contra no estado relaxado. Etn seguida, o obJcto e liberado e passa a oscilar para c1n1a e para bai\.o, con1 a posição n1ais baixa 10 crn ahar\.o de \'1, (a) Qual e a lrcquêncin das oscilações? (b) Qual é a vclocrdndc du objeto quando ,e encontra 8.0 cn1 abaixo da posição 1111L'1al'

1 (e) lJ111 oh1e10 dl.' lllil'>sa ,oo g e preso ao pr1111ciro objeto.

.ipo, o que n ,i,tl.'llt:1 pa,sa a osctl,tr co111 n1ctade da frequência or~· g111al (>11,11e,1111:1,su do pn1nc1tll ob.1cto'l (ti) A que distância abat·

, . -xo de Y, esta a nova pos,çao de equi I íhno (

1.

, 1 ·1 t: pnu,o ). con1 o, do 1, objetos presos a ,no a .

seção 15-5 Um Oscilador Harmônico Angular Simples

•38 Unia eslera ,naciça com un1a ,nas~,.. 0,, ,15 k . 1 s d ' ·' " '"

7 g e - cn1 e raio está suspensa por u,n fio vert 1cal. U ,n torque de 0.20 N . m e ne-cessário para fa1er a esfera girar 0,85 rad e ,nanter essa

O. t· ~ , , . . _ , , 11en c1ç,10

Qual e o per1odo das osc1laçoes quando a esfera é liberada?

••39 O balan~o de u1n rel?gio antigo oscila coin u,na ainplitude angular de 7T 1ad ~ ~,n per1odo de 0.500 s. Determine (aJ a velo­cidade angular 1nax11na do balanço. (b) a velocidade angular 110 instante em que o desloca1nenlo é 'TT/2 rad e (c) 0 módulo da ace­leração angular no instante e1n que o deslocamento é 7T/4 rad.

Seção 15-6 Pêndulos

•40 Um pêndulo físico é for1nado por uma régua de um metro cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distân­cia d da 1narca de 50 cm. O período de oscilação é 2,5 s. Determine o valor de d.

•41 Na Fig. 15-40, o pêndulo é formado por um disco uniforme de raio r = l 0,0 cm e 500 g de massa preso a uma barra homogê­nea de comprimento L = 500 mm e 270 g de massa. (a) Calcule o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão. (b) Qual é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do pên­dulo? (c) Calcule o período de oscilação.

•

Figura 15-40 Problema 41.

•42 Suponha que um pêndulo simples é formado por um pequeno · d d de uma corda de massa peso de 60.0 g pendurado na extrem1 a e . , da e a verucal e dado por desprezível. Se o ângulo (J entre a cor

O= (0.0800 rad) cos[(4.43 rad/s)t +cp],

(b) a energia cinética máxima qual é (a) o comprimento da corda e do peso? . .

I ue envolve a Fig. J 5-11 e •43 (a) Se o pêndulo físico do exemp O q, 'odo de oscilação? invertido e pendurado pelo ponto P, qual e O per, t ·or?

· 1 ao valor an en · (bJ O período é maior. ,nenor ou igua 1

.0

de • A • • r duas réguas de um ,nc , 44 ~1n pendulo f1s1co é formad~ po na Fig. I 5-41. Qual é o p1·-

cornpnmento unidas da forma indicada d pino qui· passa pelo ríodc, de o,cilação do pêndulo e1n torn~ e um

é horizontal? flúntu ,1 ,ituado no centro da r gua

'1

Figura 15-41 Problema 44.

PARTE

OSCILAÇÕES 111

•45 _ l•n1,1 artista 1k· l·11cu. sentada em u,n trapézio, está ba­lan(,,andu co111 un1 penodu Je 8.85 s Quando fica de pé. elevando "''1111 Je ,s.u c111 o ,·t.'11trl1 de ,nassa do sistema rrapé::Jo + rrape­·1.,ra. 4ual é o novl1 penodo do sistema? Trate o siste1na trapé;:Jo + tre1pe;:1sta con10 un1 pêndulo sirnples.

"46 No exe,nplo que envolve a Fig. 15-11. vi1nos que un, pêndu­lo físico em forma de régua possui um centro de oscilação a tuna distância 2U3 do ponto de suspensão. Mostre que a distância entre o ponto de suspensão e o centro de oscilação para u1n pêndulo de qualquer formato é J/,nh, onde J é o momento de inércia.111 é a ,nassa e h é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de 1nassa do pêndulo.

•47 Na Fig. 15-42. u1n pêndulo físico é formado por um disco uni­for1ne (de raio R = 2,35 cm) sustentado em um plano vertical por um pino situado a uma distância d = 1,75 cm do centro do disco. O disco é deslocado de um pequeno ângulo e liberado. Qual é o período do movimento harmônico simples resultante?

Pino •

Figura 15-42 Problema 4 7.

• •48 Um bloco retangular. com faces de largura a= 35 cm e com­primento b = 45 cm, é suspenso por uma barra fina que passa por um pequeno furo no interior do bloco e colocado para oscilar como um pêndulo, com uma amplitude suficientemente pequena para que se trate de um MHS. A Fig. 15-43 mostra uma possível posição do furo, a uma distância r do centro do bloco. sobre a reta que liga o centro a um dos vértices. (a) Plote o período do pêndulo em função da distância r de modo que o mínimo da curva fique evidente. (b) O mínimo acontece para que valor der? Na realidade. existe um lugar geométrico em torno do centro do bloco para o qual o período de oscilação possui o mesn10 valor mínimo. (c) Qual é a forma desse lugar geométrico?

T r

l

Figura 15-43 Problema 48.

• •49 O ângulo do pêndulo da Fig. 15-9b é dado por e= O,,, co~[(4.44 radh,)1 + </> ]. Se. en1 I = O. fl = 0,0-lO rad e t!Oldt = -0.200 rad/s. qual é (a) a constante de fa!-e </> e lb) o ângulo maxi1no (),,,? (Suges-11111 não con1undn a t.r,a de variação de O. df)/dt, co1n a frequência nngula1 u, do 1\11 IS.)

112 CAPÍTULO 15

••50 Uma barra fina uniforme (massa= 0,50 kg) oscila e1n tomo de um eixo que passa por uma das extremidades da barra e é per­pendicular ao plano de oscilação. A barra oscila com um período de 1,5 se uma amplitude angular de 10º. (a) Qual é o comprimento da barra? (b) Qual é a energia cinética máxima da barra?

••51 Na Fig. 15-44, uma barra de comprimento L = 1,85 m oscila como um pêndulo físico. (a) Que valor da distância x entre o centro de massa da barra e o ponto de suspensão O corresponde ao 1nenor período? (b) Qual é esse período?

~

o 1 1 1

1 1 1

., 1

Figura 15-44 Problema 51.

L/2

••52 O cubo de 3,00 kg na Fig. 15-45 tem d = 6,00 cm de aresta e está montado em um eixo que passa pelo centro. Uma mola (k = 1~00 N/m) liga o vértice superior do cubo a uma parede rígida. Ini­cialmente, a mola está relaxada. Se o cubo é girado de 3º e liberado qual é o período do MHS resultante? '

Figura 15-45 Problema 52.

••53 Na vista superior da Fig. 15-46, uma barra longa e uniforme de massa 0,600 kg está livre para girar em um plano horizontal

d . . al em

tomo eu~ eixo vertic que p.assa pelo centro. Uma mola de cons-tante elástica k = 1850 N/m é ligada horizontalmente entre uma d extremidades da barra e uma parede fixa. Quando a barra tá as

' lííb · fi es em equ1 no, 1ca paralela à parede Qual é o período das . _ · pequenas oscilaçoes que acontecem quando a barra é girada ligeira d · lib d ? mente e epois era a.

Parede

k

Eixo de rotação

Figura 15-46 Problema 53.

••54 Na Fig. 15-47a, uma placa de metal está montada em . ~uc pa'>sa pelo centro de massa. Uma mola com k = 2000 ~m eixo ligada a uma parede e a um ponto da borda d 1 /m está

2 ª P aca a uma disti- · r e ,5 cm do centro de massa. Inicialmente a m ,: anc1a Se a placa é girada de 7º e J'b d' . ' ola esta relaxada.

• a era a, oscila em torno do ei um MI IS, com a P0'>1çao angular dada I p· xo em do eixo hon,ontal é definida por

1 =

20Pe a Qig. l 5-47 b. A escala

. é d ms. uai é o mo d 1n reia a placa t:Jn relação ao C"ntro d mento e ... e ma<,su?

l r

T

(a)

O (graus) 8

4

o o

-1 -4

-8 =! -

Figura 15-47 Problema 54.

t ( 1ns)

1

1

t (b)

•••55 Um pêndulo é formado suspendendo por um ponto unia bar­ra longa e fina. Em uma série de experimentos, o período é 1nedido em função da distância x entre o ponto de suspensão e o centro da barra. (a) Se o comprimento da barra é L = 2,20 m e a massa é 111

= 22,1 g, qual é o menor período? (b) Se x é escolhido de modo a minimizar o período e L é aumentado, o período aumenta, dirninui ou permanece o mesmo? ( c) Se, em vez disso, m for aumentada com L mantido constante, o período aumenta, diminui ou permanece o mesmo?

•••56 Na Fig. 15-48, um disco de 2,50 kg com D = 42,0 cm de diâmetro está preso a uma das extremidades de uma barra de com­primento L = 76,0 cm e massa desprezível que está suspensa pela outra extremidade. (a) Com a mola de torção de massa desprezível desconectada, qual é o período de oscilação? (b) Com a mola de torção conectada, a barra fica em equilfbrio na vertical. Qual é a constante de torção da mola se o período de oscilação diminuiu de 0,500 s?

L

Figura 15-48 Problema 56.

Seção 15-8 Movime t H A •

Amortecido " 0 armon,co Simples

•51 A amplitude de um ·i . . de 3 om d . osci ador fracamente amortecido dim1nu1

, ,o a ca a ciclo. Que . A •

oscilador é perd'd P~tcentagem da energia mecanrca do a a em cada ciclo?

• 58 Em u,n oscilado . . . b = 70 g/s qu 1 , t ~mortec1do com n1 = 250 g k = 85 N/rn e . , a e a razao entre 1· ' c1das e a amplitud . . . a amp 1tude das oscilações amorte·

e 1n1c1al após 20 ciclos? •59 Na Fig. 15-14 o bloc . . tante elástica é 8,00 N/ 0 possui uma massa de 1,50 kg e a cons· - b(dxldt), onde b =

230m·

1 A força de amortecirnento é dada fºr

e liberado. (u) Calcul g s. O bloco é puxado 12,0 cm para baiJC0

oscilações resultante: ~.te~po necessário para que a amplitudedOS Quantas oscilações

0·bl im,nua para um terço do valor inicial. (b)

oco realiza · ? • •Go o · nesse intervalo de tempo. 1-1ste1na de suspe - ..

1 O cm quando o ch~ssis é nsao de um automóvel de 2000 kg "ced~ colocado no lugar. Além disso, a amph·

tude das oscilações diminui de 50010 a e d · 1 ,< e a a CJC O Esti TI j

(a) da constante elástica k e (b) da const d . · · 1

e o va or . 1

ante e amortec1mento b do sistema mo a-an1ortecedor de uina das d roda sustenta 500 kg. • ro as, supondo que cada

Seção 15-9 Oscilações Forçadas e Re A • ssonanc1a •61 Suponha que, na Eq. 15-45, a anlplitud _ , d d e .'I'.,,, e a a por

V = F,/1 "'" Ili

[1112(w~ - w2)2 + b2wJ]ll2'

onde F,. é a amplitude (constante) da força alt d . erna a externa exer-cida sobre a mola pelo suporte rígido da Fig. 15_14 Q 1 ,

A • ( ) • • ua e, na resso~ancia, a a amplitude do movimento e (b) a am litude d velocidade do bloco? P ª •62 São pendurados em uma viga horizontal nov A d 1 . . e pen u os com os seguintes comprimentos: (a) 0,10; (b) 0,30; (c) 0,40; (d) 0,80; (e) ,1,2; (~ 2,8; (g) 3,5A; (~) 5,0; (i) 6,2 m. A viga sofre oscilações honzonta1s co~ frequencias angulares no intervalo de 2,00 rad/s a 4,00 rad/s. Quais dos pêndulos entram (forteinente) em oscilação?

••63 Um carro de 1000 kg com quatro ocupantes de 82 kg viaja em uma estrada de ten·a com "costelas" separadas por uma distância média de 4,0 m. O carro trepida com amplitude máxima quando está a 16 km/h. Quando o carro para e os ocupantes saltam, de quanto aumenta a altura do carro?

Problemas Adicionais

64 ~ Embora o estado da Califórnia seja conhecido pelos ter­remotos, possui vastas regiões com rochas precariamente equilibra­das que tombariam mesmo quando submetidas a um fraco tremor de terra. As rochas permaneceram na mesma situação por milhares de anos, o que sugere que grandes terremotos não ocorreram nes­sas regiões durante todo esse tempo. Se um terremoto submetesse uma dessas rochas a uma oscilação senoidal (paralela ao solo) com uma frequência de 2,2 Hz, uma amplitude de oscilação de 1,0 cm faria a rocha tombar. Qual seria o módulo da aceleração máxima

da oscilação, em termos de g? 65 O diafragma de um alto-falante está oscilando em um movi­mento harmônico simples com uma frequência de 440 Hz e um deslocamento máximo de 0,75 mm. Qual é (a) a frequência angular, (b) a velocidade máxima e (c) o módulo da aceleração máxima?

66 Uma mola homogênea coin k = 8600 N/m é cortada :m dois pedaços, 1 e 2, cujos comprimentos no estado relaxado?sao L, = 7,0 cm e L,_ = 10 cm. Qual é o valor (a) de k1 e (b~ de ki,. Um blo­co preso na mola original, como na Fig. 15-5, ~sc~a com uma fre­quência de 200 Hz. Qual é a frequência de osc1laçao se o bloco for

preso (c) no pedaço 1 e (d) no pedaço 2? 67 Na Fig. 15-49, três vagonetes de minério de 10.000 kg são man-

tidos em repouso sobre os trilhos de uma ,nina por um cabo paralelo aos trilho,. que possuem urna inclinação O = 30 c1n relação à horizonlal. O \ 1agonl·1e

bo d 15 <illl' ,l' solt; ca ~oi rc u111 alongamenlo e 1:m 1mc<liata1ncnlc antes de o enga­h; entre o, do1, vagonctcs de baixo !>e ron1pcr. liberando urn deles. Su­[lonu11 4uc o cabo ohcJccc a lei ele l-h1<.1l.1. dctcnn1nc (a) .i frcqucncia e (hl ,1 Jtnphtu<l1. <la, o,~1laçuc, <los ll111~, ,tgonctc, que 11!'.'>t:un.

Figura 1 5-49 Problc1nn 6 7.

_ PARTE 2

OSCILAÇÕES 113

68 U1n bloco de 2,00 kg estéí pendurado em un1a 1nola. Quando um corpo de 300 g é pendurado no bloco, a 1nola sofre uma distensão adicional de 2,00 cm. (a) Qual é a constante elástica da 1nola? (b) Detcnnine o período do movi1nento se o corpo de 300 g é re1novido e o bloco é posto para oscilar.

69 O êmbolo de uma locomoliva te1n u1n curso (o dobro da ampli­tude) de 0,76 m. Se o êtnbolo executa u1n 1novi1nento har1nônico sitnples co1n uma frequência angular de 180 rev/Jnin, qual é sua velocidade máxima?

70 Uma roda pode girar livremente em torno do eixo, que é man­tido fixo. Uma mola está presa a um dos raios a uma distância r do eixo, como mostra a Fig. 15-50. (a) Supondo que a roda é um anel de massa n1 e raio R, qual é a frequência angular w para pequenas oscilações deste sistema em termos de tn, R, r e da constante elás­tica k? Qual é o valor de w para (b) r = R e (c) r = O?

k

• R _U '\ ,

- " ~ o \

Figura 15-50 Problema 70.

71 Uma pedra de 50,0 g está oscilando na extremidade inferior de uma mola vertical. Se a maior velocidade da pedra é 15,0 crn/s e o período é 0,500 s, determine (a) a constante elástica da mola, (b) a amplitude do movimento e (c) a frequência de oscilação.

72 Um disco circular uniforme cujo raio Ré 12,6 cm está suspenso por um ponto da borda para formar um pêndulo físico. (a) Qual é o período? (b) A que distância do centro r < R existe um ponto de suspensão para o qual o período é o mesmo?

73 Uma mola vertical sofre uma distensão de 9,6 cm quando um bloco de 1,3 kg é pendurado na extremidade. (a) Calcule a constante elástica. O bloco é deslocado de mais 5,0 cm para baixo e liberado a partir do repouso. Detennine (b) o período, (c) a frequência, (d) a amplitude e (e) a velocidade máxima do MHS resultante.

74 Uma mola de massa desprezível e constante elástica 19 N/m está pendurada verticalmente. Um corpo de massa 0,20 kg é preso na extremidade livre da mola e liberado. Suponha que a mola esta­va relaxada antes de o corpo ser liberado. Determine (a) a distância que o corpo atinge abaixo da posição inicial; (b) a frequência e (c) a amplitude do MHS resultante.

75 Um bloco de 4,00 kg está suspenso por uma mola com k = 500 N/m. Um bala de 50,0 g é disparada verticalmente contra o bloco, de baixo para ciina, com uma velocidade de 150 m/s, e fica alojada no bloco. (a) Determine a a1nplitude do MHS resultante. (b) Que porcentagem da energia cinética original da bala é transferida para a energia mecânica do oscilador?

76 Um bloco de 55,0 g oscila em um MHS na ex.tre1nidade de uma mola co1n k = 1500 N/Jn de acordo com a equação"= x,,, cos(wt + <f>). Quanto te1npo o bloco leva para se deslocar da posição +0,800xnr para a posição (a) +0,600x,,, e (b) -0,800x.,')

77 A Fig. J 5-51 1nostra a posição de un1 bloco de 20 g oscilando em u1n MJ--IS na extren1iJade de u1na 1nola. A escala do eixo horizontal é dl!finida por t, = 40,0 111s. Qual é (a) a energia cinética máxima do bloco e (h) o nú111ero de vezes por segundo que esse máxilno é

114 CAPÍTULO 15

atingido? (Sugestão: 1nedir a inclinação de uma curva provaveln1ente fornecerá valores pouco precisos. Tente encontrar outro método.)

x (cm) 8

1 l

i

l (ms) o l -

-4 1 - ----1 1 1 --

i - - -8 _t --

-- _L

Figura 15- 51 Problemas 77 e 78.

78 A Fig. 15-51 mostra a posição x(t) de um bloco que oscila em um MHS na extremidade de uma mola (ts = 40,0 ms). Qual é (a) a velocidade e (b) o módulo da aceleração radial de uma partícula no movimento circular uniforme correspondente?

79 A Fig. 15-52 mostra a energia cinética K de um pêndulo simples em função do ângulo e com a vertical. A escala do eixo vertical é definida por Ks = 10,0 mJ. O peso do pêndulo tem uma massa de 0,200 kg. Qual é o comprimento do pêndulo?

K(mJ)

-100 -50 O 50 100 e (mrad)

Figura 15-52 Problema 79.

80 Um bloco está em MHS na extremidade de uma mola, com a po­sição dada por x = xm cos(wt + cp ). Se cp = 7T/5 rad, que porcentagem da energia mecânica total é energia potencial no instante t = O?

81 Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco de 0,50 kg preso a uma mola. O bloco oscila em linha reta, de um lado para outro, em uma superfície sem atrito, com o ponto de equilí­brio em x = O. No instante t = O, o bloco está em x = O e se move no sentido_positivo de x. A Fig. 15-53 mostra o módulo da força aplicada F em função da posição do bloco. A escala vertical é de­finida por F, = 75,0 N. Qual é (a) a amplitude do movimento, (b) o período do movi1nento, (c) o módulo da aceleração máxima e (d) a energia cinética máxima?

F(N)

- ......_~~~,--~~º~·3;:..:.0 ~.30 1

X (m)

1 -F: 1

Figura 15-53 Problc1na 81.

82 lJ1n pcndulo si1nplcs con1 20 c111 de coinpriinento e 5,0 g de 10.1\sa e ,ta \uspen,o cm u1n carro de corrida que se move coin ve­loc1d,1dc 1..unstantc de 70 111/s, descrevendo un1a circunferência coin

50 ,n d!! raio <:;e o pêndulo sofre pequenas oscilações na d11 t:\'Jo ra<lial c:n1 torno da posição de equilíbrio, qual é a frequência des-

sas oscilações? 83 A escala de u1na balança de mola que mede de O a 15,0 kg lcin 12,0 c1n de comprimento. Um pacote suspenso na balança oscila verticahnente co1n u1na frequência de 2,00 Hz. (a) Qual é a cons­tante elástica? (b) Quanto pesa o pacote?

84 Urn bloco de 0,10 kg oscila em linha reta em uma supe1fícic ho­rizontal sem atrito. O deslocamento em relação à orige1n é dado por

x = (10 cm) cos[(lO rad/s)t + 7T/2 rad].

(a) Qual é a frequência de oscilação? (b) Qual é a velocidade 1ná­xima do bloco? (c) Para que valor de x a velocidade é máxilna? (d) Qual é o módulo da aceleração máxi1na do bloco? (e) Para que valor de x a aceleração é máxima? (f) Que força, aplicada ao bloco pela mola produz uma oscilação como essa?

85 A extremidade de uma mola oscila com um período de 2,0 s quando um bloco de massa m está preso à mola. Quando a massa é aumentada de 2,0 kg, o período do movimento passa a ser 3,0 s. Determine o valor de m.

86 A ponta de um diapasão executa um MHS com uma frequência de 1000 Hz e uma amplitude de 0,40 mm. Para esta ponta, qual é o módulo (a) da aceleração máxima, (b) da velocidade máxima, (c) da aceleração quando o deslocamento é 0,20 mm e ( d) da velocidade quando o deslocamento é 0,20 mm?

87 Um disco plano circular uniforme possui uma massa de 3,00 kg e um raio de 70,0 cm e está suspenso em um plano horizontal por um fio vertical preso ao centro. Se o disco sofre uma rotação de 2,50 rad em torno do fio, é necessário um torque de 0,0600 N·m para manter essa orientação. Calcule (a) o momento de inércia do disco em relação ao fio, (b) a constante de torção e (c) a frequência angular deste pêndulo de torção quando é posto para oscilar.

88 Um bloco pesando 20 N oscila na extremidade de uma mola vertical para a qual k = 100 N/m; a outra extremidade da mola está presa a um teto. Em um certo instante, a mola está esticada 0,30 m al~m do c?mprimento relaxado (o comprimento quando nenhum ~bJeto esta preso à mola) e o bloco possui velocidade nula. (a) Qual e a f~rça a que o bloco está submetido nesse instante? Qual é (b) a amph~ude e (c~ o ?er~odo do movimento harmônico simples? (d) Qual e a energia c1nét1ca máxima do bloco? 89 U , 1 ma particu a de 3,0 kg está em movimento har1nônico simples em uma dimensão e se move de acordo com a equação

x = (5,0 m) cos[(7T/3 radls)t - 7r/4 rad],

com t em segundos (a) Pa . 1 d , , . · 1a que va or ex a energia potencial da parl!cula e igual à met d d . , a e a energia total? (b) Quanto ten1po a particula leva para se é . _ . . _ mover at a pos1çao do item (a) a partir da posiçao de equilíbrio? ' '

90 Uma partícula exec t MHS . o 25 H u ª um hnear com uma frequência de

1 ' z em torno do ponto x = O. Em t = O, a partícula tc1n uni des-ocamento x = O 37 cm e veloc·d d l

A

1 d ' 1 a e nu a. Dctennine os seguintes

parame ros o MHS · (a) p , d (b . litude d · erio o, ) J requência angular, (e) a1n-p á . ' ( ) deslocainento x(t), (e) velocidade 1•(1), (J) velocidade m _ x

3im

0a, (g)_ •nódul? da aceleração n1,íxi1na, (h) dcsloc:11nc11to e,n

t - , se (1) velocidade cn1 1 = 3,0 s.

91 Qu~I é a frequência de un1 pêndulo siinplcs de 2,0 in de con1pri-1nen10 (,1) en1 uma sala. (b) ein uni elevador acelerando para ciina a 2,0 n1/s2 e (c) cn1 queda livre'?

92 O pêndulo de u,n relógio é forrnado por um disco fino de latão de raio r = 15,00 cm e massa 1,000 kg ligado a uma barra longa e fina de massa desprezível. O pêndulo oscila livre1nente em torno de um eixo perpendicular à barra que passa pela extremidade oposta à do disco, como mostra a Fig. 15-54. Se o pêndulo deve ter u1n período de 2,000 s para pequenas oscilações nurn local onde g = 9,800 m/s

2, qual deve ser o co1npri1nento Lda haste co1n precisão

de décimos de milímetro?

Eíxo de rotação

r

Figura 15-54 Problema 92.

L

93 Um bloco de 4,00 kg pendurado em uma mola produz um alon­gamento de 16,0 cm em relação à posição relaxada. (a) Qual é a constante elástica da mola? (b) O bloco é removido e um corpo de 0,500 kg é pendurado na mesma mola. Se a mola é distendida e li­berada, qual é o período de oscilação?

94 Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função aceleração a(t) aparece na Fig. 15-55 se a função posição x(t) é da forma x = x"' cos(wt + cJ>) e a, = 4,0 m/s2?

---- 1--+-- ---

Figura 15-55 Problema 94.

95 U1n engenheiro possui um objeto de 1 O kg de forma irregular e precisa conhecer o momento de inércia do objeto em relação a u~ eixo que passa pelo centro de massa. O objeto é preso ª um fio esti-

. . _ , d · 0 o fio possui u1na constante cado cuJa or1entaçao e a mesma o e1x . _ . de torção k = 0,50 N . m. Se esse pêndulo de torçao sofre 20 ?sei-

- é to de inércia do obJeto? laçoes completas em 50 s, qual o momen . 96 ~ U1na aranha fica sabendo se sua teia captur?u um inseto

ª . v · n1entos do inseto fazem (u1na 1nosca, por exemplo) porque os 1no 1 , d l·ar ate 1nes1no o tamanho oscilar o~ f1os da teia. A aranha po e ava 1 · .

. • • .1• - • Suponha que um inseto Llo 1n,eto pela f requcnc1a das oscr ,,çoes. Q , 1

~ bl co preso a uma mola. u,1 e 11 ~ila ll!J /10 de ca11tura como um o ·

•1 - de uni inseto de n,assa 111 e a ra1:;.10 entre a frcquén1.:ia de osc1 açao ·>

1 , . _ <l n•cto de n1as:.a 2,5,11. a 1cqucric1a Jc o-.c.1lac,:ao e uni t ,

. J 0 1 uni disco de n1ctal con1 97 1 111 rcnLlulo de 1011;,10 e lonna O P ... 1 t .. 10 vcrticahncntc e c ... 11,,1l o. u111 1111 ulcl.u.121 nu ccnllo CJ ho e rnon .tu

, PARTE 2

OSCILAÇÕES 115

A Fig. l 5-56a 1nostra o n1ódulo r do torque necessá1io para fazer o disco girar en1 torno do centro (torcendo o fio) e1n função do ângu­lo de rotação e. A escala do eixo vertical é definida por r, = 4,0 X

1 O 3 N · 1n. O disco é girado até O = 0.200 rad e depois liberado. A Fig. 15-56b rnostra a oscilação resultante cm tcr1nos da posição angular e e1n função do ternpo t. (a) Qual é o 1nomento de inércia do disco em relação ao centro? (b) Qual é a velocidade angular má­xima d()/dt do disco? [Atenção: não confunda a frequência angular (constante) do MHS e a velocidade angular (variável) do disco, que nor1nalrnente são representadas pelo n1es1no símbolo. w. Sugestão: a energia potencial U do pêndulo de torção é igual a f K82, uma ex­pressão análoga à da energia potencial de uma 1nola, U = + kx 2 .]

Ê 't".I

z "' 1 o .... ._,

I,> o 0,10 0,20

8(rad)

(a)

-0,2 ,. 1

_.i.___ -- -

(b)

Figura 15-56 Problema 97.

98 Quando uma lata de 20 N é pendurada na extremidade inferior de uma mola vertical, a mola sofre uma distensão de 20 cm. (a) Qual é a constante elástica da mola? (b) A mesma mola é colocada horizontalmente em uma mesa sem atrito. Uma das extremidades é mantida fixa e a outra é presa a uma lata de 5,0 N. A lata é deslocada (esticando a mola) e liberada a partir do repouso. Qual é o período das oscilações?

99 Determine a amplitude angular O,,. das oscilações de um pêndulo simples para a qual a diferença entre o torque restaurador neces­sário para o movimento harmônico simples e o torque restaurador verdadeiro é igual a 1,0%. (Veja "Expansões Trigonométricas" no Apêndice E.)

100 Na Fig. 15-57, um cilindro maciço preso a uma mola horizon­tal (k = 3,00 N/m) rola sem deslizar e1n uma superfície horizontal. Se o siste1na é liberado a partir do repouso quando a 1nola está dis­tendida de 0,250 m, determine (a) a energia cinética de translação e (b) a energia cinética de rotação do cilindro ao passar pela posição de equilíbrio. (c) Mostre que, nessas condições, o centro de massa do cilindro executa u1n movimento hannônico simples de período

onde M é a 1nassa do cilindro. (Sugestão: calcule a derivada da ener­gia mecânica total e1n relação ao te,npo.)

/\/ k

•

Figura 15-57 P1 obk·111a 100.

116 CAPÍTULO 15

101 U1n bloco de 1.2 kg deslizando e1n uma superfície horizontal sem atrito está preso a u1na mola horizontal con1 k = 480 N/m. Seja x o desloca1nento do bloco a partir da posição na qual a 1nola se en­contra relaxada. No instante t = O, o bloco passa pelo ponto x = O co1n u1na velocidade de 5,2 m/s no sentido positivo de x. Qual é (a) a frequência e (b) a a1nplitude do movimento do bloco? (c) Escreva uma expressão para o desloca1nento x e1n função do te1npo.

102 Um oscilador harmônico simples é for1nado por um bloco de 0,80 kg preso a u1na mola (k = 200 N/in). O bloco desliza em uma superfície horizontal sem atrito em torno da posição de equilíbrio x = O com uma energia mecânica total de 4,0 J. (a) Qual é a a1npli­tude das oscilações? (b) Quantas oscilações o bloco completa em 10 s? (c) Qual é a energia cinética máxima do bloco? (d) Qual é a velocidade do bloco emx = 0,15 1n? 103 Um bloco que desliza em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola horizontal de constante elástica 600 N/m. O bloco executa um MHS em torno da posição de equilfbrio com u1n periodo de 0,40 s e uma amplitude de 0,20 m. Quando o bloco está passando pela posição de equilíbrio, uma bola de massa de modelar de 0,50 kg é deixada cair verticalmente no bloco. Se a massa fica grudada no bloco, determine (a) o novo periodo do movimento e (b) a nova amplitude do movimento. 104 Um oscilador harmônico amortecido é formado por um bloco (nz = 2,00 kg), uma mola (k = 10,0 N/m) e uma força de amorteci­mento (F = -bv). Inicialmente, o bloco oscila com uma amplitude de 25,0 cm; devido ao amortecimento, a amplitude cai a três quartos do valor inicial após quatro oscilações completas. (a) Qual é o valor de b? (b) Qual é a energia "perdida" durante as quatro oscilações?

105 Um bloco pesando 10,0 N e.stá preso à extremidade inferior de uma mola vertical (k = 200,0 N/m). A outra extremidade da

mola está presa a um teto. O bloco oscila verticalmente e p11• ~ui u1na energia cinética de 2,00 J ao passar pelo ponto no qual a 111ola está relaxada. (a) Qual é o período de oscilação? (b) Use .i lei de conservação da energia para determinar os maiores desloca111cntos do bloco acima e abaixo do ponto no qual a mola fica relaxad 1 (Os dois valores não são necessariamente iguais.) (c) Qual é a a1nphtude de oscilação? (d) Qual é a energia cinética máxima do bloco 1

106 Um oscilador harmônico simples é formado por un1 bloco preso a uma mola com k = 200 N/m. O bloco desliza em urna su­perfície sem atrito, com o ponto de equilíbrio e1n x = O e u1na am­plitude de 0,20 rn. O gráfico da velocidade v <lo bloco em função do tempo t aparece na Fig. 15-58. Qual é (a) o período do MHS, (b) a 1nassa do bloco, (c) o deslocamento do bloco no instante t = O, (d) a aceleração do bloco no instante t = 0,10 se (e) a energia cinética

máxima do bloco?

v (m/ s)

2.1t ~--~--~- l (s) o

-21r ------~~

Figura 15-58 Problema 106.

107 As frequências de vibração dos átomos nos sólidos e1n tem­peraturas normais são da ordem de 1013 Hz. Imagine que os átomos estão ligados uns aos outros através de molas. Suponha que um áto­mo de prata em um sólido vibra com essa frequência e que todos os outros átomos estão em repouso. Calcule a constante elástica efetiva. Um mol (6,02 X 1023 átomos) de prata tem uma massa de 108 g.