CORRENTES DE CONDUÇÃO E DE DESLOCAMENTO

a) Formas instantâneas densidade de corrente condução: cj eσ=

densidade de corrente de deslocamento: /dj d dt= ∂

.

b) Formas fasoriais densidade de corrente condução: cJ Eσ=

densidade de corrente de deslocamento: dJ j D j Eω ωε= =

MEIOS DIELÉTRICOS E CONDUTORES

Considerem-se as seguintes razões assumem em meios materiais:

c dJ J σωε

=

ou d cJ J ωε

σ=

a) Dielétrico perfeito (ideal ou sem perdas): σ=0

Se: / 1σ ωε << → / 1c dJ J <<

No limite, quando σ=0 deve ocorrer: 0cJ =

(não há corrente de condução)

b) Dielétrico prático (com pequenas perdas)

Por definição: 1%c dJ J<

c) Condutor perfeito (ideal): σ=∞

Se: / 1ωε σ << → / 1d cJ J <<

No limite, quando σ=∞ deve ocorrer: 0dJ =

(não há corrente de deslocamento)

d) Condutor prático

Por definição: 1%d cJ J<

A CONSTANTE DE PROPAGAÇÃO COMPLEXA

( )j j jγ ωμ σ ωε α β= + = + A partir de operação algébricas simples, pode-se mostrar que esta expressão conduz aos seguintes valores para α e β:

2

1 12

ω με σαωε = + −

2

1 12

ω με σβωε = + +

a) Dielétrico perfeito (σ=0) 0α = β ω με= O primeiro resultado já era esperado. O segundo informa que β varia linearmente com a ω ... ondas TEM não dispersivas.

b) Dielétrico prático ( / 1σ ωε << )

. . 1j j j j j σγ ωμ σ ωε ωμ ωεωε

= + = −

Série binomial: 21 1 / 2 / 8 ...x x x+ = + + + para 1x < . Fazendo-se ( / )x j σ ωε= −

21.[1 ( ) ]8 2

j j jσ σγ ω με α βωε ωε

≅ − − = +

Portanto:

2σ μα

ε≅

Tem-se disponível uma expressão para se determinar o fator de atenuação. O valor de α deve resultar muito pequeno, mas não nulo (para comunicação de longa distância valor de α pode conduzir a uma redução significativa da amplitude da onda).

211

8σβ ω με ω μεωε

≅ − ≅

(a segunda parcela foi considerada desprezível em relação à unidade) A expressão para β permanece aproximadamente igual à do meio sem perdas.

c) Condutor prático ( / 1ωε σ << )

21. . 1 . .{1 ( ) }8 2

j jj jωε ωε ωεγ ωμ σ ωμσσ σ σ

= + ≅ − +

Lembrar que 1/2 /2 1/2 /4( ) 1 / 2 / 2j jj j e e jπ π= = = = +

2 2

2 2

1 1 1. [1 ( ) ] [1 ( ) ]8 2 8 22

1 1[1 ( ) ] [1 ( ) ]2 2 8 2 8

j j

j j

ωε ωε ωε ωεγ ωμσσ σ σ σ

ωμσ ωε ωε ωε ωε α βσ σ σ σ

= − − + − +

= − − + − − = +

Desprezando-se os termos / 2ωε σ e 2( / ) / 8ωε σ diante da unidade:

2

fωμσα π μσ≅ = (Np/m)

(resulta muito elevado para condutores práticos)

2

fωμσβ π μσ≅ = (rad/m)

(diferente dos meios dielétrico, no condutor β varia com ω : meio dispersivo)

Para 710σ ≈ S/m (platina), a atenuação α é tão intensa em metais que impossibilita a propagação de onda eletromagnética em seu interior.

Após uma certa profundidade de penetração no metal (dependendo da frequência, pode ser da ordem de frações de mm), a onda evanesce e é totalmente dissipada em seu interior.

Por isso, invólucros metálicos são amplamente usados como blindagem de circuitos eletrônicos e instrumentos de medição contra interferências eletromagnéticas externas. c) Condutor ideal (σ=∞)

Não há propagação de onda eletromagnética no interior do condutor ideal.

Exemploσ=107 S/m Solução: metal, umtem forma uma senó sendo E0 o

A profunddo campofazendo-s

A partir d

Utilizando

: Calculam e frequê

A figura ma onda ea geral con

ide amorte

o valor do

didade deo decai a se:

daí, calcula

o-se a rela

ar a profuência f=1

ilustra a eletromagnnforme

e =

ecida na d

E

o campo n

penetraçã1/e do se

a-se:

ação α ≅

1 /δ =

undidade MHz.

geometrianética é in

0 cozE e α−=

direção z. A

max 0E E e=

a superfíc

ão, z=δ, éeu valor

0E e αδ−

1δ =

fπ μσ , d

6.10 .4π π

de penetr

a do problnserida pr

os( t zω β−

A envoltó

ze α− ,

cie do meta

é definida da superf

0 /E eδ = .

/ α .

determina

710 .10π −×

ração num

lema. Na ropagando

ˆ)z x ,

ória da ond

al.

como a dfície do m

a-se:

70 = 160 μ

m metal

interface o-se para a

da é dada p

distância nmetal. Este

μm.

com cond

z=0, entra direita.

por:

na qual a e valor é

dutividade

e o ar e oEsta onda

amplitudecalculado

e

o a

e o

IMPEDÂNCIA INTRÍNSECA PARA MEIOS MATERIAIS

jj

ωμησ ωε

=+

a) Dielétrico perfeito (σ=0)

μηε

=

( um número real puro) Constitui motivo de equívoco interpretar a impedância intrínseca real como no caso da resistência elétrica na teoria de circuitos elétricos, ou seja, que está associada a perdas por efeito Joule. Deve ser interpretado apenas como uma razão entre os módulos de E

e H

, e cujo

resultado no meio sem perdas é puramente real. Os campos elétrico e magnético estão em fase no espaço: E Hφ ϕ ϕ= − =0.

No vácuo (ou ar): ε0=10-9/36π F/m e μ0=4π×10-7 H/m

0 0 0/η μ ε= =120π rad ≈377 Ω.

Como 0rε ε ε= e 0rμ μ μ= , então, para meio dielétrico 1rμ =

0 00 0

0 0

1 1r

r r r

μ μ μη η ηε ε ε ε ε

= = = ≤

(o maior valor de impedância intrínseca possível é a do vácuo)

b) Dielétr

Série: 1 /

c) Condu

Aplicandoperfeito é d) Condu

η =

Como vissuperfíciepenetraçã

rico práti

1 1x− =

η

utor perfe

o: .E η=

nulo (emb

utor práti

(1j

j ω

ωμσ +

(def

sto, um tale do metaão, todo o c

co ( /σ ωε

/ 2 3x+ +

μηε

=

(um n

ito (σ=∞)

η =

. H

=0, cobora o cam

co ( /ωε σ

)j

ωεσ

μ ωσ

≅

fasagem en

l campo eal por oncampo dev

1ε << )

2 / 8 ...x +

1

1 j σμε

≅−

número co

)

lim jσ

ωσ→∞

=+

onclui-se qmpo magn

1σ << )

ωμ ωμσ σ

=

ntre E

e H

letromagnnde incideve ter sido

, para x <

1με

≅ −

omplexo, c

0j

ωμωε

=+

que o camnético pos

/4je πμσ

=

H

de π/4

nético deve a onda;o dissipad

1< , 2

38

σμε

+

como espe

mpo elétricsa ser fini

2jωμ

σ+

rad dentro

ve existir sapós um

o por efeit

j σμε

+

erado)

co no interto).

2ωμ π

σ=

o do condu

somente nma pequen

to Joule.

rior de um

f jπ μ πσ

+

utor)

nas proximna profun

m condutor

fπ μσ

midades dandidade de

r

a e

SUPERFÍCIE DE FASE INSTANTÂNEA CONSTANTE Neste estágio da análise, o leitor já deve estar mais familiarizado com o conceito de onda eletromagnética. Por isso, a noção de fase instantânea iφ pode ser estudada em maior profundidade.

• Seja um campo normalizado dado por:

0 ˆ/ cos( )e E t z xω β= −.

• Será analisado um ponto de fase instantânea constante valendo, por exemplo,

2i t zφ ω β π= − = − rad → 2z tβ π ω= + .

• Neste caso,

0 ˆ ˆ ˆ/ cos( ) cos( 2 ) 1e E t z x x xω β π= − = − = +,

que informa que este ponto deve corresponder a um máximo positivo. Na Tabela encontra-se o resultado do cálculo de 2z tβ π ω= + para os 5 instantes de tempo t (para ω constante).

Tabela – Valores de βz para o ponto de fase instantânea constante t, s Valor de 2z tβ π ω= +0 βz = 2π−0=2π radπ/2ω βz = 2π+ω.(π/2ω)=5π/2 radπ/ω βz=2π+ω.(π/ω)=3π rad3π/2ω βz=2π+ω.(3π/2ω)=7π/2 rad2π βz=2π+ω.(2π)=4π rad

Como se (ou a fren5π/2, (c) 3

• O perfil

• O ponto

• A partionda, por

Tabela –

observa, ànte de ond3π, (d) 7π

l do campo

o associado

ir destes rexemplo,

– Valores dt, s 0 π/2ωπ/ω 3π/2ω2π

à medida da) se pro

π/2 e (e) 4π

o translada

o à fase in

resultados, poderão s

de βz paraValoβz =

βz = βz=2

ω βz=2βz=2

que o temopaga paraπ rad.

a-se na dir

nstantânea

, expressõser deduzi

a o ponto dor de zβ =2π−0=2π2π+ω.(π/

2π+ω.(π/ω2π+ω.(3π/2π+ω.(2π)

mpo passa,a a direita

reção do e

a 2iφ π= −

ões para vidas com m

de fase ins2 tπ ω= +

π rad/2ω)=5π/2ω)=3π rad/2ω)=7π/2)=4π rad

, o ponto a, assumin

eixo zβ .

rad, enco

velocidadmaior prop

stantânea

2 rad

2 rad

de fase inndo os val

ontra-se m

e de fase priedade.

constante

nstantânealores (a) β

marcado na

e compr

a constanteβz=2π, (b)

a figura.

imento de

e )

e

A expressão para a velocidade de grupo, vg, dada por:

' '1 1

/c

go o

vd d ω ωβ β β ω =

= = =

pode ser aplicada ao caso da onda plana, para linhas de transmissão TEM, guias de ondas metálicos, fibras ópticas, etc.

O único cuidado é que a largura de banda do sinal deve ser pequena relativamente à frequência da portadora (ωc).

Exemplo: Mostrar que no caso particular da onda plana, o valor da velocidade de grupo coincide com o da velocidade de fase. Solução:

No caso de onda plana se propagando em meio sem perdas, β satisfaz a β ω με= , e assim,

1 1 1( )g p

d dv vd d

β ω μεω ω με

− − = = = =

informando-se que as velocidades de grupo e de fase são iguais. Este resultado não deve surpreender, pois no caso da onda plana uniforme e ilimitada β varia linearmente com ω. Em geral essas velocidades são diferentes para ondas guiadas não TEM, nas quais existe o problema de dispersão de guia de ondas (β não varia linearmente com ω).