( equação geral ) y = 3x - 11 ( equação reduzida ) ... -11 . geometria analítica . equação

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  • ACAFE

    Erivaldo

  • Chamaremos de S(n) a soma dos algarismos do nmero inteiro positivo n, e de P(n) o produto dos algarismos de n. Por exemplo, se n = 47 ento S(n) = 11 e P(n) 28. Se n um nmero inteiro positivo de dois algarismos tal que n = S(n) + P(n) ento, o algarismo das unidades de n a) 1. b) 2. c) 3. d) 6. e) 9. Resoluo:

    Matemtica Bsica

    n = ab

    n = a.101 +b.100

    n = 10.a + b

    n = S(n) + P(n)

    10.a + b = (a+b) + (a.b)

    10.a + b a b = a.b

  • Chamaremos de S(n) a soma dos algarismos do nmero inteiro positivo n, e de P(n) o produto dos algarismos de n. Por exemplo, se n = 47 ento S(n) = 11 e P(n) 28. Se n um nmero inteiro positivo de dois algarismos tal que n = S(n) + P(n) ento, o algarismo das unidades de n a) 1. b) 2. c) 3. d) 6. e) 9. Resoluo:

    Matemtica Bsica

    n = S(n) + P(n)

    10.a + b a b = a.b

    9.a = a.b

    9.a = a.b (a)

    b = 9

    Gabarito : e

  • Potnciao

    Exemplos:

    1) (2)3 = 8

    2) ( 4 )2 = 16

    3) 52 = 25

    4) 30 = 1

    5) 7-1 = 1/7

    6) (5/3)-2 = 9/25

    Propriedades:

    P1) am.an = am+n

    P2) aman = am n

    P3) (am)n = am.n

    P4) (a.b)n = an.bn

    P5) (ab)n = an bn

    Importante:

    No de Algarismos

    .1042 324

    3 + 42

    45 algarismos

  • Radiciao

    ndice

    radicando

    raiz

    radical

    Classifique em Verdadeiro ou Falso, cada item: V

    V

    V

    V

    V

    F

  • Matemtica Bsica Exemplo 05:

    Identifique os casos de fatorao:

    a) x2 + 9x + 14 = (x + 2).(x + 7) Trinmio do segundo grau

    b) 2x5 4x3 + 6x2 = 2x2.( x3 2x + 3) Fator comum em evidncia

    c) 4x6 9y2 = (2x3 + 3y).(2x3 3y) Diferena de dois quadrados

    d) 9x2 30xy + 25y2 = (3x 5y)2 Trinmio quadrado perfeito

    e) x4 x3 8x + 8 = (x3 8).(x 1) Agrupamento

  • Geometria Analtica

    Baricentro:

    A(2,6) , B(6,9) e C(7,-3) :

    rea:

    A(2,6) , B(6,9) e C(7,-3) : 2 6

    6 9

    7 -3

    2 6

  • Geometria Analtica

    Equao da reta:

    Dois pontos: A(3,-2) e B(4,1)

    -3x + y +11 = 0 ( Equao Geral )

    y = 3x - 11 ( Equao Reduzida )

    Coeficiente angular : 3 Coeficiente linear : -11

  • Geometria Analtica

    Equao da reta:

    Um ponto e o coeficiente angular: A(-3,2) e m = 5

    y y0 = m.(x x0)

    5x y + 17 = 0

    y = a.x + b

    y = 5.x + b

    A(-3,2) 2 = 5.(-3) + b

    b = 17

    y = 5x + 17

    y 2 = 5.(x +3)

  • Geometria Analtica

    Retas paralelas:

    Mesmo coeficiente angular

    r//s mr = ms

    Retas perpendiculares:

    Coeficientes angulares, inversos e opostos

    (r) 3x 4y + 2 = 0

    (s) 3x 4y + c = 0

    (r) 5x + 2y 3 = 0

    (s) 2x 5y + c = 0

  • Geometria Analtica

    Equao da circunferncia:

    Dados : Centro C(a , b) e Raio r

    Exemplo: C( 3, -2) e r = 5

    (x a)2 + (y b)2 = r2

    (x 3)2 + (y + 2)2 = 25

  • Geometria Analtica

    Equao da circunferncia:

    x2 + y2 8x 8y + 28 = 0

    :(-2) :(-2)

    C ( 4 , 4)

    (4)2 (4)2 + 28 = R2 2 = R

  • Anlise Combinatria

    Questo

    Assinale V ou F nas seguintes afirmativas:

    I) ( ) Com os algarismos do sistema decimal possvel formar 900 nmeros distintos de trs algarismos.

    Resoluo:

    Algarismos: { 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

    Etapas: ____ . ____ . ____ = 9p 10p 10p 900

    F

  • Anlise Combinatria

    II)( ) Com os algarismos do sistema decimal possvel formar 320 nmeros pares de trs algarismos distintos.

    Resoluo: Algarismos: { 0 , 1 2, 3 4, 5, 6, 7 8, 9 }

    Etapas: ____ . ____ . ____

    1 caso: O zero est na casa das unidades

    ____ . ____ . ____ = 0 fixo

    par

    9p 8p 72

    2 caso: O zero no est na casa das unidades

    ____ . ____ . ____ = 4p 8p 8p 256 Resposta: 72 + 256 = 328

    F

  • Anlise Combinatria

    III)( ) Com 5 homens e 4 mulheres, podem ser formadas 81 comisses de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens.

    Resoluo: (3H e 2M) ou (4H e 1M) ou (5H)

    x x + +

    V

  • Anlise Combinatria

    IV)( ) Dos 120 anagramas da palavra CLARO, 36 possuem as consoantes juntas.

    Resoluo: Anagramas = Permutao

    ____ ____ ____ ____ ____ C L R O A

    P3 P3.

    3!. 3!

    6. 6 = 36

    V

    Gabarito: F , F , V , V

  • Probabilidade

    Questo Considere uma urna contendo 10 bolas idnticas. Em cada bola foi gravado um nico nmero do conjunto Qual a probabilidade de se retirar dessa urna, ao acaso, uma bola em que est gravado um nmero racional? Resoluo:

    Nmeros Racionais:

    Probabilidade:

  • Probabilidade

    Questo Se um casal tiver quatro filhos, a probabilidade de que tenham exatamente duas meninas de :

    Resoluo:

    M e M e H e H

    x x x

    Probabilidade:

  • Funo

    Lei de formao

    Domnio Contradomnio x y

  • Funo

    Questo Encontre os domnios das seguintes funes:

    Resoluo:

  • Funo Afim

    f(x) = a.x + b

    x

    y

    x

    y

    x

    y

    a b

    < 0

    b

    (x,0)

    > 0 x: raiz ou zero da funo

    a b

    > 0 < 0

    b (x,0)

    x: raiz ou zero da funo

    a b

    = 0 > 0

    b

  • Funo Quadrtica

    f(x) = a.x2 + b.x + c

    x

    y

    Sinal do a: a > 0

    Parbola cncava para cima

    Sinal do b: b < 0

    Parbola passa por y descendo

    Sinal do c: c > 0

    Parbola toca y no positivo

    c

    (x1,0) (x2,0)

    x1 e x2: zeros da funo ou razes

    Sinal do : > 0

    Parbola toca x em dois pontos

  • Funo Quadrtica

    x

    y

    x1 x2

    vrtice

    xV

    yV

    O Vrtice da parbola ser:

    -O ponto mximo ( a0 )

    f(x) = a.x2 + b.x + c

  • Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversario. A bola descreve uma trajeto ria parabo lica, passa por cima da trave e cai a uma distancia de 40 m de sua posicao original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do cho, a altura mxima por ela alcanada esteve entre

    Funo Quadrtica

    a) 4,1 e 4,4m. b) 3,8 e 4,1m. c) 3,2 e 3,5m. d) 3,5 e 3,8m.

  • Funo Quadrtica

    Resoluo: Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do cho, a altura mxima por ela alcanada esteve entre

    x

    y

    0 40

    3

    30

  • Funo Quadrtica

    x

    y

    0 40 30

    3

    Lei de formao: y = a.(x x1).(x x2)

    y = a.(x 0).(x 40)

    (30,3) 3 = a.(30 0).(30 40) a = -1/100

    y = a.(x 0).(x 40)

  • Funo Quadrtica

    x

    y

    0 40 30

    3

    a altura mxima por ela alcanada esteve entre

    20

    ymx.

    x = 20

    Gabarito: b

  • Paridade

    Funo Par f(x) = f(-x)

    Domnios opostos

    Imagens iguais

    Funo mpar f(x) = -f(-x)

    Domnios opostos

    Imagens opostas

  • Funo Inversa

    O grfico de uma funo e o grfico da sua inversa sempre sero simtricos em relao as B.Q.I.

    x

    y f B.Q.I.

    f-1

    A composta de uma funo com a sua inversa sempre

    resultar na funo identidade

    fof-1(x) = x f-1of(x) = x

  • Exponencial

    Funo

    f(x) = ax

    C.E. a > 0 e a 1 a 0 1

    0 < a < 1 a >1

    decrescente crescente

    f(x) = ax

    x

    y

    0 < a < 1

    1 x

    y

    a > 1

    1

  • Exponencial

    Inequao

    >

    >

    base > 1

    >

    <

    0 < base < 1

  • Logaritmo

    Definio:

    logb a = x bx = a

    Condio de Existncia: Base: b > 0 e b 1 Logaritmo: x real Logaritmando: a > 0

    Propriedades:

    logb (a.c) = logb a + logbc

    logb (a/c) = logb a logb c

    logb (an) = n.logb a

    Mudana de base:

    logb a = log log

    c

    c a b

  • Logaritmo

    Assinale V ou F:

    ( ) log71 = 0 V

    ( ) eln5 = 5 V

    V

    V

    ( ) log32 + log37 = log314 V

    ( ) log(x3.y2) = 3.log x+2.log y V

    V

    ( ) log 2 + log 5 = 1 V

  • Logaritmo

    A temperatura mdia da Terra comeou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 j apareceu uma diferena: estava (0,01) C (graus Celsius) acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A funo t(x)=(0,01).2(0,05).x ,com t(x) em C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura mdia da Terra (em relao quela registrada em 1870) no ano (1880 + x), x 0. Com base na funo, determine em que ano a temperatura mdia da Terra ter aumentado 3C. (Use as aproximaes log2(3) = 1,6 e log2(5) = 2,3).

  • Logaritmo

    A funo: t(x) = (0,01).2(0,05).x ,com t(x) em C e x em anos. Use as aproximaes: log23 = 1,6 e log25 = 2,3.

    Em que ano (1880+x) a temperatura ter aumentado 3C. Resoluo:

  • Logaritmo

    Use as aproximaes: log23 = 1,6 e log25 = 2,3.

    Em que ano (1880+x) a temperatura ter aumentado 3C. Resoluo:

    Ano: 1880 + 164 = 2044

  • Polinmios

    Do ano 2000 (x=0) at o ano 2006 (x=6), o nmero de automveis numa certa cidade variou conforme a funo V(x) = 9x + 100, enquanto a populao variou, nesse mesmo perodo, segundo