acafe · ... ( equação geral ) y = 3x - 11 ( equação reduzida ) ... -11 . geometria analítica...

ACAFE

Erivaldo

Chamaremos de S(n) a soma dos algarismos do número inteiro positivo n, e de P(n) o produto dos algarismos de n. Por exemplo, se n = 47 então S(n) = 11 e P(n) 28. Se n é um número inteiro positivo de dois algarismos tal que n = S(n) + P(n) então, o algarismo das unidades de n é a) 1. b) 2. c) 3. d) 6. e) 9. Resolução:

Matemática Básica

n = ab

n = a.101 +b.100

n = 10.a + b

n = S(n) + P(n)

10.a + b = (a+b) + (a.b)

10.a + b – a – b = a.b

Chamaremos de S(n) a soma dos algarismos do número inteiro positivo n, e de P(n) o produto dos algarismos de n. Por exemplo, se n = 47 então S(n) = 11 e P(n) 28. Se n é um número inteiro positivo de dois algarismos tal que n = S(n) + P(n) então, o algarismo das unidades de n é a) 1. b) 2. c) 3. d) 6. e) 9. Resolução:

Matemática Básica

n = S(n) + P(n)

10.a + b – a – b = a.b

9.a = a.b

9.a = a.b ÷(a)

b = 9

Gabarito : e

Potênciação

Exemplos:

1) (2)3 = 8

2) (– 4 )2 = 16

3) –52 = – 25

4) 30 = 1

5) 7-1 = 1/7

6) (5/3)-2 = 9/25

Propriedades:

P1) am.an = am+n

P2) am÷an = am – n

P3) (am)n = am.n

P4) (a.b)n = an.bn

P5) (a÷b)n = an ÷ bn

Importante:

No de Algarismos

.1042 324

3 + 42

45 algarismos

Radiciação

índice

radicando

raiz

radical

Classifique em Verdadeiro ou Falso, cada item: V

V

V

V

V

F

Matemática Básica Exemplo 05:

Identifique os casos de fatoração:

a) x2 + 9x + 14 = (x + 2).(x + 7) Trinômio do segundo grau

b) 2x5 – 4x3 + 6x2 = 2x2.( x3 – 2x + 3) Fator comum em evidência

c) 4x6 – 9y2 = (2x3 + 3y).(2x3 – 3y) Diferença de dois quadrados

d) 9x2 – 30xy + 25y2 = (3x – 5y)2 Trinômio quadrado perfeito

e) x4 – x3 – 8x + 8 = (x3– 8).(x – 1) Agrupamento

Geometria Analítica

Baricentro:

A(2,6) , B(6,9) e C(7,-3) :

Área:

A(2,6) , B(6,9) e C(7,-3) : 2 6

6 9

7 -3

2 6


Equação da reta:

Dois pontos: A(3,-2) e B(4,1)

-3x + y +11 = 0 ( Equação Geral )

y = 3x - 11 ( Equação Reduzida )

Coeficiente angular : 3 Coeficiente linear : -11


Equação da reta:

Um ponto e o coeficiente angular: A(-3,2) e m = 5

y – y0 = m.(x – x0)

5x – y + 17 = 0

y = a.x + b

y = 5.x + b

A(-3,2) 2 = 5.(-3) + b

b = 17

y = 5x + 17

y – 2 = 5.(x +3)


Retas paralelas:

Mesmo coeficiente angular

r//s mr = ms

Retas perpendiculares:

Coeficientes angulares, inversos e opostos

(r) 3x – 4y + 2 = 0

(s) 3x – 4y + c = 0

(r) 5x + 2y – 3 = 0

(s) 2x – 5y + c = 0


Equação da circunferência:

Dados : Centro C(a , b) e Raio r

Exemplo: C( 3, -2) e r = 5

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 3)2 + (y + 2)2 = 25


Equação da circunferência:

x2 + y2 – 8x – 8y + 28 = 0

:(-2) :(-2)

C ( 4 , 4)

(4)2 (4)2 + – 28 = R2 2 = R

Análise Combinatória

Questão

Assinale V ou F nas seguintes afirmativas:

I) ( ) Com os algarismos do sistema decimal é possível formar 900 números distintos de três algarismos.

Resolução:

Algarismos: { 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Etapas: ____ . ____ . ____ = 9p 10p 10p 900

F


II)( ) Com os algarismos do sistema decimal é possível formar 320 números pares de três algarismos distintos.

Resolução: Algarismos: { 0 , 1 2, 3 4, 5, 6, 7 8, 9 }

Etapas: ____ . ____ . ____

1º caso: O zero está na casa das unidades

____ . ____ . ____ = 0 fixo

par

9p 8p 72

2º caso: O zero não está na casa das unidades

____ . ____ . ____ = 4p 8p 8p 256 Resposta: 72 + 256 = 328

F


III)( ) Com 5 homens e 4 mulheres, podem ser formadas 81 comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens.

Resolução: (3H e 2M) ou (4H e 1M) ou (5H)

x x + +

V


IV)( ) Dos 120 anagramas da palavra CLARO, 36 possuem as consoantes juntas.

Resolução: Anagramas = Permutação

____ ____ ____ ____ ____ C L R O A

P3 P3.

3!. 3!

6. 6 = 36

V

Gabarito: F , F , V , V

Probabilidade

Questão Considere uma urna contendo 10 bolas idênticas. Em cada bola foi gravado um único número do conjunto Qual é a probabilidade de se retirar dessa urna, ao acaso, uma bola em que está gravado um número racional? Resolução:

Números Racionais:

Probabilidade:

Probabilidade

Questão Se um casal tiver quatro filhos, a probabilidade de que tenham exatamente duas meninas é de :

Resolução:

M e M e H e H

x x x

Probabilidade:

Função

Lei de formação

Domínio Contradomínio x y

Função

Questão Encontre os domínios das seguintes funções:

Resolução:

Função Afim

f(x) = a.x + b

x

y

x

y

x

y

a b

< 0

b

(x,0)

> 0 x: raiz ou zero da função

a b

> 0 < 0

b (x,0)

x: raiz ou zero da função

a b

= 0 > 0

b

Função Quadrática

f(x) = a.x2 + b.x + c

x

y

Sinal do a: a > 0

Parábola côncava para cima

Sinal do b: b < 0

Parábola passa por “y” descendo

Sinal do c: c > 0

Parábola toca “y” no positivo

c

(x1,0) (x2,0)

x1 e x2: zeros da função ou raízes

Sinal do Δ: Δ > 0

Parábola toca “x” em dois pontos


x

y

x1 x2

vértice

xV

yV

O Vértice da parábola será:

-O ponto máximo ( a<0 )

-O ponto mínimo

( a>0 )

f(x) = a.x2 + b.x + c

Um jogador de futebol chuta uma bola a 30 m do gol adversario. A bola descreve uma trajeto ria parabo lica, passa por cima da trave e cai a uma distancia de 40 m de sua posicao original. Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre


a) 4,1 e 4,4m. b) 3,8 e 4,1m. c) 3,2 e 3,5m. d) 3,5 e 3,8m.


Resolução: “Se, ao cruzar a linha do gol, a bola estava a 3 m do chão, a altura máxima por ela alcançada esteve entre”

x

y

0 40

3

30


x

y

0 40 30

3

Lei de formação: y = a.(x – x1).(x – x2)

y = a.(x – 0).(x – 40)

(30,3) 3 = a.(30 – 0).(30 – 40) a = -1/100

y = a.(x – 0).(x – 40)


x

y

0 40 30

3

“a altura máxima por ela alcançada esteve entre”

20

ymáx.

x = 20

Gabarito: b

Paridade

Função Par f(x) = f(-x)

Domínios opostos

Imagens iguais

Função Ímpar f(x) = -f(-x)

Domínios opostos

Imagens opostas

Função Inversa

O gráfico de uma função e o gráfico da sua inversa sempre serão simétricos em relação as B.Q.I.

x

y f B.Q.I.

f-1

A composta de uma função com a sua inversa sempre

resultará na função identidade

fof-1(x) = x f-1of(x) = x

Exponencial

Função

f(x) = ax

C.E. a > 0 e a ≠ 1 a 0 1

0 < a < 1 a >1

decrescente crescente

f(x) = ax

x

y

0 < a < 1

1 x

y

a > 1

1

Exponencial

Inequação

>

>

base > 1

>

<

0 < base < 1

Logaritmo

Definição:

logb a = x bx = a

Condição de Existência: Base: b > 0 e b ≠ 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0

Propriedades:

logb (a.c) = logb a + logbc

logb (a/c) = logb a – logb c

logb (an) = n.logb a

Mudança de base:

logb a = log log

c

c a b

Logaritmo

Assinale V ou F:

( ) log71 = 0 V

( ) eln5 = 5 V

V

V

( ) log32 + log37 = log314 V

( ) log(x3.y2) = 3.log x+2.log y V

V

( ) log 2 + log 5 = 1 V

Logaritmo

A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava (0,01) °C (graus Celsius) acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função t(x)=(0,01).2(0,05).x ,com t(x) em °C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela registrada em 1870) no ano (1880 + x), x ≥ 0. Com base na função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá aumentado 3°C. (Use as aproximações log2(3) = 1,6 e log2(5) = 2,3).

Logaritmo

A função: t(x) = (0,01).2(0,05).x ,com t(x) em °C e x em anos. Use as aproximações: log23 = 1,6 e log25 = 2,3.

Em que ano (1880+x) a temperatura terá aumentado 3°C. Resolução:

Logaritmo

Use as aproximações: log23 = 1,6 e log25 = 2,3.

Em que ano (1880+x) a temperatura terá aumentado 3°C. Resolução:

Ano: 1880 + 164 = 2044

Polinômios

Do ano 2000 (x=0) até o ano 2006 (x=6), o número de automóveis numa certa cidade variou conforme a função V(x) = 9x + 100, enquanto a população variou, nesse mesmo período, segundo o polinômio P(x) = 1,8x2 + 47x + 300, sendo V(x) e P(x) dados em milhares de unidades. Podemos afirmar que, nesse período, o número de habitantes por automóvel variou segundo a função: a) y = 0,2x + 2,4 b) y = 0,3x + 1,8 c) y = 3x + 0,6 d) y = 0,2x + 3 e) y = 1,2x + 1,6

Resolução: Habitantes: P(x) = 1,8x2 + 47x + 300 Automóveis: V(x) = 9x + 100

Polinômios

Resolução: Habitantes: P(x) = 1,8x2 + 47x + 300

Automóveis: V(x) = 9x + 100

“O número de habitantes por automóvel”

a) y = 0,2x + 2,4 b) y = 0,3x + 1,8 c) y = 3x + 0,6 d) y = 0,2x + 3 e) y = 1,2x + 1,6

1,8x2 + 47x + 300 9x + 100

0,2x -1,8x2 - 20x 0.x2 + 27x + 300

+ 3

- 27x - 300 0

FIM

Erivaldo

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