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Centro de Preparaçao aos Exames de Admisao ao Ensino Superior- CPEAES www.cpeaes.ac.mz Por: Justino M. J. Rodrigues

Justino Rodrigues ( Coordenador ),E– Mail [email protected] , Cel? 82-0432 760- www.cpeaes.ac.mz

17

PREFÁCIO

O presente livro (manual) foi preparado pelos professores deste centro (CPEAES) sob a sua

coordenação e é destinado ao âmplo circulo de estudantes ocupados no estudo de preparação aos

exames de admissão para o ensino superior ou no desenvolvimento da actividade pedagógica nos

centros de ensino e pesquisa em particular.

O traço característico deste livro (manual) consiste em expor os problemas e as tendências

actuais de planos curriculares orientados para o ensino geral e técnico nacional, o

aperfeiçoamento e assimilação das matérias dadas nas escolas, assinalados sob óptica do

desenvolvimento estável dos princípios básicos da teoria e da prática, planificação dos métodos

de estudos, sem expor a metodologia concreta de planificação.

Os autores põe em destaque os elementos que devem ser assimilados e que possam ser úteis nas

diferentes condições de avaliação nos exames de admissão de modo a alcançar os objectivos

desejados.

O livro pode ser utilizado como material de estudo.

O CPEAES ficar-lhe-á muito grato se nos dar a conhecer a sua opinião a cerca da tradução do

presente livro, assim como acerca da sua apresentação e impressão.

Agradecer-lhe-emos também qualquer outra sugestão.

NB: Este livro é propriedade do centro e todos seus direitos e obrigações estão reservados a este

centro ( CPEAES )

É expressamente proibido a sua reprodução, seja ela por fotocópia ou outra forma electrónica,

tanto como a sua venda fora deste estabelecimento (CPEAES) como detentor de todos direitos.

Maputo, Maio de 2007

Justino M. J. Rodrigues (Coordenador )

Centro de Preparação aos Exames de Admissão ao Ensino Superior – www.cpeaes.ac.mz

e-mail: [email protected] Cell: +258-82 043 2760

Curso de Física – Manual de Apoio ao Estudante – Parte I Por: Edson Anselmo José

1

Ao Estudante O conhecimento das leis e fenómenos físicos constitui um complemento indispensável à formação cultural do homem moderno, não só em virtude do grande desenvolvimento científico e tecnológico do mundo actual, como também porque o mundo da Física nos rodeia por completo. Assim, com a orientação do facilitador, lendo com atenção os textos de cada capítulo, discutindo com seus colegas e procurando realizar as actividades sugeridas, espera-se que no final deste curso, você consiga transpor a barreira dos exames de admissão sem dificuldades.




2

Os Ramos da Física No início do desenvolvimento das ciências, os sentidos do homem eram fontes de informação

utilizadas na observação dos fenómenos que ocorrem na natureza. Por isso mesmo o estudo da

Física foi se desenvolvendo, subdividido em diversos ramos, cada um deles agrupando

fenómeno relacionados com sentido pelos quais eles eram percebidos. Então surgiram:

1) Mecânica – É o ramo da Física que estuda os fenómenos relacionados com os

movimentos dos corpos. Assim, estamos tratando fenómenos mecânicos quando

estudamos o movimento de queda de um corpo, o movimento dos planetas, a colisão de

dois automóveis, etc.

2) Calor – Como o próprio nome indica, este ramo da Física trata de fenómenos térmicos.

Portanto, a variação da temperatura de um corpo, a fusão de um pedaço de gelo, a

dilatação de um corpo aquecido, são fenómenos estudados neste ramo da Física.

3) Movimento Ondulatório – Nesta parte estudam-se as propriedades das ondas que se

propagam num meio material como, por exemplo, as ondas em uma corda ou na

superfície da água. Também são estudados, aqui, os fenómenos sonoros, porque o som

nada mais é do que um tipo de onda que se propaga em meios materiais.

4) Óptica – É a parte da Física que estuda os fenómenos relacionados com a luz. A

formação de sua imagem em um espelho, a observação de um objecto distante através

de uma luneta, a separação da luz solar nas cores do arco-íris etc., são fenómenos

ópticos.

5) Electricidade – Neste ramo da Física, incluem-se os fenómenos eléctricos e magnéticos.

Desta maneira, são estudadas: as atracções e repulsões entre os corpos electrizados, o

funcionamento dos diversos aparelhos electrodomésticos, as propriedades de um íman, a

produção de um relâmpago em uma tempestade, etc.

6) Física Moderna – Esta parte, cobre o desenvolvimento da Física alcançado no século

XX, abrangendo o estudo da estrutura do átomo, do fenómeno da radioactividade, da

teoria de relatividade de Einstein, etc.




3

1. Cinemática – Movimento Rectilíneo

Introdução

1.1 Sistemas de Referência

1.2 Relatividade de Movimentos

Velocidade Relativa

1.3 Velocidade Escalar, Deslocamento e Velocidade

1.3.1 Velocidade Escalar Média

1.3.2 Deslocamento e Velocidade

1.3.3 Interpretação Gráfica de Velocidade

1.4 Velocidade Instantânea — Interpretação matemática da Velocidade Instantânea

Questionário e Exercícios

Introdução

O objectivo da Cinemática é o estudo dos movimentos, isto é, descreve a posição de um

objecto em relação a um observador. No caso da descrição dos movimentos, os principais

conceitos são posição, deslocamento, velocidade e aceleração, que precisamos de definir. Na

cinemática não se especifica a natureza do corpo móvel, nem se atende às causas que

eventualmente sejam responsáveis pelos movimentos, mas sim estabelece-se a relação entre a

posição, a velocidade e a aceleração dos móveis, e o tempo em que os movimentos se efectuam.

Para simplificar a descrição, por vezes tratam-se os objectos como partículas ou pontos

materiais1, isto é, um ponto no qual se considera toda a massa do objecto concentrada. Por

exemplo, um carro ao longo duma auto estrada ou a Terra no seu movimento em torno do sol,

podemos tratar como pontos materiais. No caso da Terra estamos interessados somente no

movimento do seu centro ignorando o seu tamanho e a sua rotação. No movimento do carro

podemos escolher qualquer ponto da carroçaria para descrever o seu deslocamento, apesar do

movimento complicado dos pontos das rodas.

1 Designa-se ponto material, a um corpo de dimensões desprezíveis em relação às distâncias consideradas no

estudo do seu movimento.




4

z

y

x

P(x,y,z)

O

y

x

P(x,y)

1.1 Sistemas de Referência

Para descrever o movimento de um corpo, necessitamos de um

referencial. Referencial é um sistema de eixos no qual podemos,

em qualquer instante, localizar o corpo por intermédio das

coordenadas dos seus pontos. No caso geral, dum movimento

qualquer no espaço (por exemplo dum avião no espaço),

precisamos de três eixos x,y,z perpendiculares entre si.

A fig. 1.1 mostra como a posição P de um objecto em relação ao ponto O é determinada pelas

coordenadas x,y,z nos eixos correspondentes. Movendo-se o objecto, as suas coordenadas

variam ao longo do tempo considerando-se funções do tempo x(t), y(t), z(t),

A fig. 1.2 mostra a posição P de um objecto em relação ao ponto O, é

determinada a posição pelas coordenadas x, y. Movendo-se o objecto ao

longo do tempo, portanto são funções do tempo x(t), y(t).

Finalmente limitamo-nos a discussão do movimento ao longo duma linha recta, isto é, ao

movimento rectilíneo, que é o movimento em que um objecto descreve, em relação à Terra uma

linha recta. O referencial que convém para descrever um movimento rectilíneo

(unidimensional) deverá ter o seu eixo coincidente com a linha recta que é a trajectória do

objecto. Um exemplo deste tipo de movimento pode ser um carro movendo-se ao longo de uma

auto-estrada plana e recta. A fig. 3 mostra o exemplo de um movimento unidimensional.

Para distinguir as posições P1 e P2, a distâncias iguais do ponto O, chama-se à parte, à direita do

ponto O, o eixo positivo e à esquerda o eixo negativo, como mostra a fig. 3. A escolha do ponto

O, do eixo positivo e negativo é arbitrária, porém a escolha é essencial para a forma da função

x(t), por isso é obrigatório fazer e indicar essa escolha do referencial em cada problema..

x P2 O P1 Fig. 1.3




5

1.2 Relatividade dos Movimentos

Qualquer pessoa que observe um objecto, por exemplo, um automóvel é capaz de dizer se ele

está parado ou se está em movimento. No entanto, uma análise científica da situação mostra-

nos qualquer destas afirmações é discutível. Um automóvel que esteja parado junto ao passeio,

acompanha a Terra no seu movimento. Um observador que estivesse ligado à Terra diria que o

mesmo automóvel estava em movimento. Analogamente, um ocupante de um automóvel em

movimento dirá que a mala colocada no assento, ao seu lado, está imóvel, enquanto que um

observador que, da berma da estrada vê passar o automóvel, dirá que a mesma mala está em

movimento.

O estado de repouso ou de movimento de qualquer corpo, precisa portanto, de ser referido a um

outro corpo. Diremos, por exemplo, que a mala está em repouso em relação ao automóvel mas

que está em movimento em relação à Terra. Por sua vez, o automóvel estacionado está em

repouso em relação à Terra mas em movimento em relação ao Sol. Diremos então que o estado

de repouso ou de movimento de um corpo é relativo e não absoluto.

Velocidade Relativa

Supunha que um carro A ande com velocidade constante de 80km/h e um outro carro B no

mesmo sentido ande com velocidade de 50km/h e que o carro B tenha um avanço de 10km.

Quanto tempo o carro A leva para alcançar e ultrapassar o carro B?

Neste exemplo não importam as velocidades VA e VB, mas sim a diferença das duas VA-VB.

Esta diferença chama-se velocidade relativa (de A em relação a B).

Definição de Velocidade Relativa (de A em relação a B)

BAAB VVV −= (1.0)

Em termos de sistema de referência, considera-se no exemplo presente o carro B como

referencial. Portanto, o carro A aproxima o carro B com velocidade VAB = 80-50 = 30 e precisa

de 40min para alcançar e ultrapassar o carro B.

VA = 80km/h VB = 50km/h

VAB = 30km/h

Fig. 1.4




6

x -x

P’

O

P

X

Quando, no exemplo dado, os dois carros andam em sentidos contrários, a velocidade relativa

ou a velocidade com que A vai ao encontro de B é igual à:

VAB = 80-(-50) = 130km/h VA = 80km/h 50km/h = VB

VAB = 130km/h

Considerando neste caso VA positiva, consequentemente VB é negativa por ter sentido contrário

como mostra a figura.

Observação

A atribuição do sinal positivo ou negativo à velocidade dum objecto, dependendo do sentido

desta, significa que estamos a tratar deste modo o movimento unidimensional vectorialmente.

1.3 Velocidade escalar, Deslocamento e Velocidade

1.3.1 Velocidade Escalar Média

Se um móvel cobre uma distância de 200km em 5h, diz se que a sua velocidade média é

(200km)/(5h) = 40km/h. A velocidade média obtida desta maneira, denomina-se na Física

velocidade escalar média, isto é, a razão entre o percurso total percorrido e o tempo gasto no

percurso.

Velocidade Escalartotaltempo

totalpercursoMedia = (1.1)

A velocidade escalar média não diz nada sobre os detalhes da viagem. É possível que o carro

tenha sido conduzido a 40km/h durante as 5h ou possa ter andado mais rápido parte do tempo e

mais lento no restante percurso. O conceito de velocidade escalar média não diz nada sobre a

direcção do objecto em movimento; a única informação que ela nos dá é o percurso medido ao

longo da trajectória que pode ter qualquer forma, e o tempo correspondente.

1.3.2 Deslocamento e Velocidade Média

Limitando-nos aos movimentos rectilíneos escolhemos um sistema de referência, neste caso um

eixo x no qual se escolhe uma origem O. A posição P do objecto em relação ao ponto O é

definida pela distância x entre P e O, sendo x positivo à direita e negativo à esquerda.

Fig. 1.5

Fig. 1.6




7

Movendo-se o objecto da distância x até a origem varia ao longo do tempo, isto significa que a

posição é uma função do tempo: x(t).

Suponhamos que o nosso objecto esteja na posição x(t1) no instante t1 (ou com outra designação

x1, a posição inicial) e na posição x(t2) no instante t2 (ou x2) a posição final. A variação da

posição da partícula x2 - x1, é o deslocamento da mesma. É habitual usar a letra grega ∆, para

indicar a variação de uma grandeza, assim a variação x é escrita como ∆x.

Definição do Deslocamento

)()( 2112 txtxxxx −=−=∆ (1.2)

A velocidade média dum objecto é definida como a razão entre o deslocamento ∆x e o intervalo

tempo ∆t = t2-t1.

Definição de Velocidade Media

O deslocamento e a velocidade média podem ser positivos ou negativos, dependendo de ser x2

maior ou menor que x1.

12

12

12

12 )()(tt

txtxttxx

txVmed −

−=

−−

=∆∆

= (1.3)

Observação

Um valor positivo indica movimento para a direita e um valor negativo indica movimento para

a esquerda.

Exemplo 1:

Sendo x1 = 18m em t1 = 2.0 s, e x2 = 3.0m em t2 = 7.0 s, calcular o deslocamento e a velocidade

média neste intervalo de tempo. Pela definição, o deslocamento é

∆x = x2 – x1 = 3.0m –18m = -15m e a velocidade média é

smsm

ssmm

ttxx

txVmed /0.3

0.515

0.20.7180.3

12

12 −=−

=−−

=−−

=∆∆

=

Portanto, o objecto move-se para a esquerda!

X1=18 m x2=3.0m O




8

Exemplo 2:

Um corredor cobre 100m em 10s e depois retorna andando 50m, na direcção do ponto de

partida, em 30s. Qual é a sua velocidade escalar média e qual a velocidade média durante todo

o evento?

O percurso total percorrido é 100m + 50m =150m, e o tempo total correspondente é 40s. Então

a velocidade escalar média é (150m)/(40s) = 3.75m/s.

Para ter a velocidade média, primeiro determinamos o deslocamento, que é 50m

(tomando x1 = 0 e x2 = 50m). Portanto, a velocidade média é (50m)/(40s) = 1.25m/s. Repare

bem a diferença nas duas respostas devido às definições diferentes. O exemplo 2 mostra que a

diferença entre as definições dos conceitos de velocidade escalar média e de velocidade média é

essencial.

1.3.3 Interpretação gráfica da velocidade Média

Suponhamos que se determinem as posições x(t) dum

objecto em movimento rectilíneo. A fig.7 mostra o

gráfico das posições em função do tempo. Na figura

traçamos uma recta entre a posição inicial, identificada

como ponto P1, e a posição final, identificada pelo

ponto P2. O deslocamento ∆x = x2 – x1 e o intervalo de

tempo ∆t = t2 – t1, correspondente a estes pontos, estão

indicados na figura 1.7.

O segmento de recta entre P1 e P2 é a hipotenusa do triângulo cujos lados são ∆t e ∆x. a razão

∆x/∆t é o coeficiente angular ou inclinação deste segmento. Para um dado intervalo de tempo

∆t, quando mais inclinada for a recta, maior será o valor de ∆x/∆t. Sendo Vmed = ∆x/∆t,

chegamos à conclusão:

O coeficiente angular ou inclinação da recta, que une dois pontos do gráfico x – t, é

equivalente à velocidade média no intervalo de tempo concernente.

A velocidade média depende do intervalo de tempo em que é medida. Por exemplo, a

velocidade média no intervalo de tempo ∆t’, correspondente aos pontos P1 e P’2 da figura acima

é maior, conforme se vê pela maior inclinação da recta que passa por estes pontos.




9

1.4 Velocidade Instantânea

Quando o valor da velocidade de um corpo não se mantém constante, dizemos que este corpo

está em movimento variado. Isto ocorre, por exemplo, com automóvel cujo ponteiro do

velocímetro indica valores diferentes a cada instante. O valor indicado no velocímetro a cada

instante, é a velocidade instantânea do automóvel naquele momento. Como definir a

velocidade instantânea e como determiná-la sem ajuda do velocímetro?

Tentemos que definir a velocidade instantânea no instante t1 do movimento representado pela

fig. 7 anterior. A fig. 8 abaixo é a mesma curva de x – t da figura anterior, mostrando uma

sequência de intervalos ∆t1, ∆t2, ∆t3, …, cada qual menor que o seu antecedente. Em cada

intervalo ∆t, a velocidade média é representada pela inclinação da linha de intersecção

pontilhada, pertencente ao intervalo.

Fig. 1.8

A figura mostra que, enquanto os intervalos de tempo diminuem, as rectas tornam-se mais

inclinadas, mas não mais inclinadas que a tangente à curva no ponto correspondente a t1. A

interpretação disto é importante:

Pretendendo definir a velocidade instantânea no momento t1, consideramos a velocidade média

no intervalo de tempo, t1 até t2. Diminuindo este intervalo de tempo, o ponto P2 aproxima-se

cada vez mais do ponto P1. Simultaneamente a inclinação da recta de intersecção entre P1 e P2,

quer dizer a velocidade média no intervalo considerado, aproxima-se cada vez mais da

inclinação da tangente no ponto P1. Portanto, definimos graficamente a velocidade instantânea

no instante t1 como a inclinação da tangente à curva no ponto P1.

Definição gráfica de Velocidade Instantânea:

v(t) = inclinação da tangente à curva x(t) (1.4)




10

Exemplo 3:

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6

t (s)

x(m)

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4 5 6

t (s)

x(m)

Dum certo movimento está dado o gráfico x - t, como mostra a fig. 9.a. Determine a velocidade

instantânea no instante t = 2.0s.

Para resolver este problema, temos que traçar a tangente à curva no instante t = 2.0s, como

mostra a fig. 9.b, e determinar a inclinação desta tangente, escolhendo dois pontos apropriados

na mesma recta para executar o procedimento.

smv /22.10.42.08.5)0.2( =

−−

=

Repare Bem: Os dois pontos na tangente para determinar a inclinação desta recta, e,

por conseguinte, para determinar a velocidade instantânea no instante t = 2.0s, não

fazem parte da própria curva x – t!

Exemplo 4:

A posição, em relação ao ponto de partida, de uma pedra que cai do alto de uma montanha, a

partir de repouso, é dada por x(t) = 5t2, onde x está em metros e t em segundos. Como se obtém

a função de um objecto em queda livre mostrar-se-á futuramente. Calcule o deslocamento e a

velocidade média em intervalos de tempo ∆t cada vez menores, partindo todos eles em

t = 2,0s. Tomando t1 sempre igual a 2.0s e variando t2 de tal maneira que ∆t = t2 – t1 fique cada

vez menor, aproximando-se assim a zero, podemos calcular ∆x = x(t2) – x(t1) e vmed = ∆x/∆t.

Fig 1.9.a Fig.1.9 b




11

A tabela mostra o resultado deste cálculo.

∆t (s) ∆x (m) ∆x/∆t (m/s)

1.00 25.0 25.0

0.500 11.25 22.5

0.200 4.20 21.0

0.100 2.05 20.5

0.050 1.0125 20.25

0.010 0.2005 20.05

0.001 0.020005 20.005

A tabela mostra claramente que, quanto menor for o intervalo ∆t, mais se aproxima vmed do

valor 20m/s. Portanto, a velocidade instantânea no instante t = 2.0s é igual a 20m/s.

Matematicamente, este exemplo seria:

Sendo a função da posição dada por x(t) = 5t2, a posição de pedra no instante t1 é: x(t1) = 5t2.

Num instante posterior t2 = t1 + ∆t a posição é x(t2), dada por:

x(t2) = 5t22 = 5.(t1 + ∆t)2 = 5.[t1

2 + 2.t1. ∆t + (∆t)2]

= 5.t12 + 10.t1. ∆t + 5.( ∆t)2.

O deslocamento, neste intervalo de tempo, é: ∆x = x(t2) – x(t1) = 10.t1. ∆t + 5.( ∆t)2

A velocidade média, neste intervalo de tempo é: tttxVmed ∆+=∆∆

= .5.10 1

A medida que consideramos intervalos de tempo cada vez mais curtos, ∆t se aproxima de zero e

a segunda parcela 5. ∆t também se aproxima de zero, enquanto a primeira permanece

inalterada. A velocidade instantânea no instante t1 é, então:

101 10lim)( ttxtv

t=

∆∆

=→∆

Preenchendo nesta expressão t1 = 2.0s, encontramos de novo o valor da velocidade instantânea

v(2.0) = 20m/s. A partir deste tratamento podemos formular a definição matemática da

velocidade instantânea.




12

Definição de Velocidade Instantânea:

A velocidade instantânea é igual ao limite do quociente ∆x/∆t, quando ∆t tende a zero; este limite é igual à inclinação da tangente à curva x(t):

dtdx

txtv

t=

∆∆

=→∆ 0

lim)( (1.5)

dx/dt chama-se derivada de x em relação a t;

Uma vez conhecida a função x(t), podemos aplicar as regras do cálculo diferencial para

encontrar a velocidade em função do tempo, isto é, a velocidade instantânea em qualquer

instante .

Questionário:

1. A distância da terra ao Sol é cerca de 104 vezes maior do que o diâmetro da Terra. Ao

estudarmos o movimento da Terra em torno do Sol, acha que pode ser tratada como ponto

material?

2. Dois carros A e B deslocam-se numa estrada plana e recta, ambos no mesmo sentido. O

carro A desenvolve uma velocidade de 60km/h e o carro B, um pouco mais à frente,

desenvolve também uma velocidade de 60km/h.

a) A distância entre A e B está variando?

b) Para um observador em A o carro B está parado ou em movimento?

3. Um satélite artificial, de 10m de raio, está girando em torno da Terra a uma altura de

500km. Sabe-se que o raio da Terra vale cerca de 6000km. No estudo deste movimento:

a) A Terra pode ser considerada um ponto material?

b) E o satélite?

4. Uma pessoa que se encontra sentada num comboio que se desloca com velocidade

constante, deixa cair um objecto. Descreva o movimento do objecto visto:

a) Por esta pessoa;

b) Por um observador colocado na plataforma pela qual passa o comboio;

5. Um carro desloca-se durante 4h à uma velocidade constante de 30km/h. Depois ele passa a

desenvolver uma velocidade de 80km/h durante uma hora. Calcule a velocidade escalar

média do carro no percurso total;




13

6. Um estudante calculou a velocidade média no problema anterior como sendo a média

aritmética das duas velocidades desenvolvidas. Justifique porque é que este método está

errado.

7. Quando Vmed = 0 num dado intervalo de tempo ∆t, a velocidade instantânea deve ser zero

num certo instante dentro deste intervalo? Justifique a sua resposta mediante o gráfico de

uma curva de x-t em que ∆x = 0 num intervalo ∆t correspondente.

Exercícios

1. Desenhe um sistema de referência tridimensional com eixos ortogonais, indique no mesmo

os pontos P(2,4,1) e M(1,6,4) e determine a distância entre P e M.

2. A tabela abaixo dá as distâncias de um objecto em relação a uma certa origem, medidas em

certos instantes.

t(s) 0.6 1.5 2.0 2.8 3.5 4.4 5.1

x(m) 1.8 4.5 6.0 8.4 10.5 13.2 15.3

a) Construa o gráfico x-t;

b) Caracterize o movimento;

c) Determine a inclinação do gráfico;

d) Qual é o significado físico desta inclinação;

e) Mantendo este movimento qual é a distância até a origem no momento t = 17.0s;

3. Um objecto move-se em linha recta. A distância até a origem é dada por: x(t) = 5 + 2t2 (t em

s, x em m).

a) Faça uma tabela dos valores de x(t) e t, tomando t = 0, 1, 2, 3, 4, 5s;

b) Construa o gráfico x-t

c) Calcule a velocidade média no intervalo de t = 2.0s até t = 50s;

4. Dois comboios movem-se ao longo de caminhos paralelos um ao encontro do outro com

velocidades de 36km/h e 54km/h respectivamente. Um passageiro no primeiro comboio

observa que a passagem do outro leva 10s. Determine o comprimento do segundo comboio.




14

5. Um atleta vai de uma aldeia à outra percorrendo metade do caminho com uma velocidade

V1=12km/h, logo a seguir percorre metade do tempo que lhe resta com velocidade

V2=6km/h, para depois percorrer o resto da distância com uma velocidade V3=4m/s.

a) Faça o desenho do problema num sistema unidimensional;

b) Determine a velocidade média do atleta durante todo o percurso;

c) Calcule a distância total que separa as aldeias;

6. No gráfico x(t) abaixo calcule:

a) A velocidade média entre os instantes t=0,0s e t=6,0s

b) A velocidade instantânea em t=5s mediante a medida da inclinação da tangente.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

t(s)

x(m)




15

2. Movimento Rectilíneo (continuação)

Índice

Introdução

2.1 Movimento Uniforme

2.2 A área sob o gráfico v-t

2.3 Movimento Variado

2.3.1 Movimento Uniformemente Acelerado

2.4 Aceleração

2.5 Queda Livre

2.6 Relações Gerais entre x(t), v(t), a(t)


Introdução

No capítulo anterior iniciamos a descrição de movimentos introduzindo as noções necessárias,

como sistemas de referência, deslocamento, velocidade média e velocidade instantânea.

Definindo o conceito de velocidade, distinguimos entre a velocidade escalar e velocidade

média. Neste capítulo vamos completar essa teoria e aplicá-la a certos tipos de movimentos

rectilíneos, nomeadamente o movimento uniforme e o movimento uniformemente acelerado.

2.1 Movimento Uniforme

Movimento uniforme é, como já se sabe do curso geral, o movimento de um corpo que percorre

espaços iguais em intervalos de tempo iguais, isto é, em que a velocidade é constante. Nesta

definição não se refere à forma da trajectória do movimento, pelo que se admite que possa ter

uma forma qualquer. Se este movimento efectuar-se numa trajectória de linha recta, sob as

mesmas condições acima descritas este chamar-se-á movimento rectilíneo uniforme.

Por ser o caso mais simples, começamos por estudar o movimento uniforme com trajectória

rectilínea e as conclusões a que chegarmos serão posteriormente alargadas a uma trajectória

qualquer. Suponha que um carro ande a velocidade constante de 20m/s numa estrada recta.

Durante 1s o carro desloca-se 20m; durante 2s 40m; durante 3s 60m; etc. Para determinar a

velocidade média podemos dividir qualquer deslocamento pelo intervalo de tempo

correspondente.

sms

ms

msmvm /20

0.360

0.240

0.120

====




16

Note-se entretanto, que no movimento uniforme e rectilíneo o corpo desloca-se em linha recta

sempre no mesmo sentido, e que, portanto, o módulo do deslocamento x∆ , coincide com o

espaço percorrido seja qual for o intervalo de tempo ∆t considerado. De acordo com a definição

do movimento uniforme, diremos que nesse movimento os espaços percorridos pelo corpo são

directamente proporcionais aos intervalos de tempo gastos em percorre-lo. Este é o enunciado

da chamada lei dos espaços do movimento uniforme. A sua expressão matemática será:

ktx=

∆∆ (2.1)

A grandeza constante K tem um valor numérico igual ao do espaço percorrido numa unidade de

tempo. Esta grandeza é designada velocidade do ponto material.

Lei do Movimento Uniforme

O deslocamento de um móvel, em movimento rectilíneo e uniforme é directamente proporcional

ao intervalo de tempo em que se efectua.

Portanto, neste caso há coincidência entre a velocidade média e a velocidade de um ponto

material: vm = v. Segundo a definição (1.3) do capítulo anterior: ktxvvm =∆∆

==

Exemplo 1:

Um automóvel percorre uma distância de 150km desenvolvendo, nos primeiros 120km, uma

velocidade média de 80km/h e, nos restantes 30km uma velocidade média de 60km/h.

a) Qual é o tempo total da viagem;

b) Qual é a velocidade média do automóvel no percurso total?

a. Conhecendo-se à distância percorrida e a velocidade média a relação txvm ∆

∆= nos fornece

mvxt ∆

= . Então, na primeira parte do percurso, o tempo gasto foi: 80

1201 =t ou t1=1.5h; na

segunda parte do percurso teremos: 6030

2 =t ou t2=0.5h. Assim o tempo total de viagem foi:

t = t1 + t2 = 1.5h + 0.5h = 2.0h.

b. Sendo de 150km a distância total percorrida e 2.0h o tempo total de viagem, a velocidade

média neste percurso, terá sido: hkmh

kmvm /750.2

150== .




17

0 t

x0

x

Expressão Analítica da Lei do Movimento Uniforme:

Sendo ∆x um deslocamento qualquer e ∆t o intervalo de tempo correspondente, tomando o

intervalo de tempo de 0 até t, o deslocamento ∆x é )0()( xtx − , então: 0

)0()(−−

=t

xtxv ou

)0()(. xtxtv −= . Consequentemente a função do movimento uniforme será:

tvxtx .)0()( += Utilizaremos na expressão muitas vezes o símbolo x0 em vez de x(0), portanto teremos:

tvxtx .)( 0 += (2.2)

A função (2.2) descreve a posição dum objecto em função do tempo para o caso geral do

movimento uniforme.

As figuras 2.1.a e 2.1.b mostram os gráficos x-t e v-t deste movimento no caso de velocidade

positiva, e as figuras 2.2.a e 2.2.b mostram os gráficos no caso de velocidade negativa. Note

que a inclinação do gráfico x-t representa o valor da velocidade, que é valor constante no

gráfico v-t.

Fig. 2.1.a Fig. 2.1.b

x v xo 0 0 t t Fig. 2.2.a Fig. 2.2.b

0 t

v




18

t1 0

v

t

v

2.2 A área sob o gráfico v-t A lei do movimento uniforme é, como já vimos, uma relação de proporcionalidade directa.

Como já se sabe da matemática, uma relação deste tipo é traduzida graficamente por uma linha

recta.

Fig. 2.3.a Fig. 2.3.b

Como já vimos anteriormente, estas figuras são os gráficos v-t do movimento uniforme. Na fig.

2.3.a a área tracejada representa o produto v.t1, que segundo a equação 2.2, é igual ao

deslocamento entre os instantes 0 e t1, isto é, ∆x = x(t1) – x0. Pela mesma razão é, na fig. 2.3.b a

área tracejada igual ao deslocamento entre os instantes t1 e t2;

v.(t2 – t1) = v.t2 – v.t1 = (x0 – v.t2) – (x0 – v.t1) = x(t2) – x(t1) = ∆x

Portanto:

O deslocamento dum objecto, movendo-se a velocidade constante, é equivalente à área sob o

gráfico v-t entre os momentos correspondentes. É de notar que, com auxílio da área sobre

gráfico v-t, só podemos determinar o deslocamento, mas não a posição do objecto.

No caso em que a velocidade seja negativa, como a parte B da figura abaixo, o deslocamento,

portanto a área da parte B, é também negativo.

v

A

B t

Fig. 2.6

x

v

0 t1 t2 t




19

Exemplo 2:

Um automóvel, em frente a um sinal de tráfego, logo que a luz

verde se acendeu, arrancou com uma velocidade variando de

acordo com o gráfico. Depois de decorridos 10s, qual a distância

que o carro percorreu?

Como o movimento é variado (a velocidade variou de v=0 a v=2m/s em 10s), a distância

percorrida deverá ser calculada através da área sob o gráfico v-t. Na figura, esta área é a do

triângulo mostrado, cuja base corresponde ao tempo de 10s e a altura corresponde à velocidade

de 20m/s. Então, como para um triângulo temos área = (base * altura)/2 virá:

mx 1002

20*10==∆

2.3 Movimento Variado

Os movimentos que conhecemos na vida prática não são, em geral uniformes; as velocidades

dos móveis variam com o tempo não só em direcção e sentido, mas também em módulo.

Chama-se a estes movimentos variados.

2.3.1 Movimentos Acelerados e Retardados

Um movimento é acelerado se o módulo da sua velocidade aumenta; é retardado se o módulo

da sua velocidade diminui. No caso de o movimento ser rectilíneo, o carácter de acelerado ou

retardado entre duas posições P1 e P2 está relacionado com o sentido da variação da velocidade

do móvel entre as mesmas posições. Esta variação é definida por:

12 vvv −=∆ (2.3)

Se ∆v tem o sentido de v, isto é, o sentido do movimento, este é acelerado: 12 vv > ; se ∆v tem

o sentido contrário, o movimento é retardado: 12 vv < . É evidente que só podemos ter

movimento retardado se a velocidade inicial não for nula.

0

20

10

v(m/s)

t(s)




20

2.3.2 Movimento Uniformemente Variado

Um movimento diz-se uniformemente variado quando a sua velocidade varia de quantidades

iguais em intervalos de tempos iguais.

Lei das Velocidades do Movimento Uniformemente Variado

Nos movimentos uniformemente variados, a variação da velocidade é directamente

proporcional ao intervalo de tempo em que se verifica essa variação. Portanto:

ktv=

∆∆ , com k constante

2.4 Aceleração

Definição

A aceleração média am dum objecto em movimento é o quociente entre a variação da

velocidade ∆v e o intervalo de tempo correspondente ∆t.

Matematicamente:

tvam ∆

∆= (2.4)

A unidade da aceleração segue da definição:

[ ] 2/1*/ smss

ms

sma ===

O conceito aceleração descreve como a velocidade se altera: o aumento ou diminuição da

velocidade por segundo. Para a = 2m/s2 significa que, em cada segundo a velocidade aumenta

em 2m/s. O sinal da aceleração depende do sinal da variação da velocidade ∆v, pois ∆t sempre

é positivo. Neste caso ∆v>0 quer dizer a>0 e ∆v <0 também a <0.

Mas repare bem: a>0 pode significar tanto uma aceleração como retardação. O mesmo vale

para a<0.

A figura 2.5, mostra esquematicamente as quatro possibilidades. É de salientar que se fala dum

movimento acelerado quando o valor absoluto da velocidade aumenta, e dum movimento

retardado, quando o valor absoluto da velocidade diminui.

As situações a e b da figura esclarecem; em ambos casos o valor absoluto da velocidade

aumenta e, por isso fala-se dum movimento acelerado.




21

Entretanto, no caso “a” a aceleração é positiva e no caso “b” negativa, por causa dos sentidos

das velocidades v1 e v2 e, por consequência o de ∆v.

0 x a.

movimento acelerado com a > 0 b.

movimento acelerado com a < 0 c. movimento retardado com a < 0 d.

2.4.1 Movimento Uniformemente Acelerado

Um movimento rectilíneo uniformemente acelerado é todo aquele em que a aceleração é

constante. Pelo facto de a aceleração ser constante, também mantêm-se constante a aceleração

média.

Portanto: tvaa m ∆

∆==

Em que ∆t é um intervalo qualquer de tempo e ∆v a variação correspondente da velocidade.

Tomando o intervalo de tempo ∆t de 0 até t, a variação da velocidade correspondente é

)0()( vtv − ; então: t

vtva )0()( −= ou )0()(* vtvta −=

consequentemente a equação do movimento rectilíneo uniformemente acelerado será:

tavtv *)( 0 += (2.5)

V1 V2 ∆v > 0 a > 0

V2 V1 ∆v < 0 a <0

V1 V2 ∆v < 0 a < 0

V2 V1 ∆v a > 0




22

v(t)

v0

t

∆v = v(t) – v0

∆t = t - 0

A figura 2.8 mostra o gráfico correspondente a este tipo de movimento: a curva v(t) é uma linha

recta (neste caso v0 e a são ambos positivos).

Para derivar a função x(t) podemos aplicar o princípio explicado na secção anterior; a área sob

o gráfico v-t é equivalente ao deslocamento. Na figura 2.8 acima a área tracejada é equivalente

à: 0)( xtxx −=∆ ; esta área tem duas partes:

• um rectângulo com área: v0.t

• um triângulo com área: ])(.[21

0vtvt −

Segundo a equação 2.5: tavtv *)( 0 =− ; portanto a área do triângulo é: 2

21*

21 atatt = ;

adicionando as áreas teremos:

200 2

1)( attvxtxx +=−=∆ e rescrevendo a equação anterior obteremos a função do movimento

rectilíneo uniformemente acelerado:

200 *

21)( tatvxtx ++= (2.6)

Podemos obter a expressão (2.5) derivando em relação ao tempo a expressão (2.6)




23

2.5- Queda Livre

Queda dos Corpos

Entre os diversos movimentos que ocorrem na natureza, houve sempre interesse no estudo do

movimento de queda dos corpos próximos à superfície da Terra. Quando abandonamos um

objecto (uma pedra por exemplo) de uma certa altura, podemos verificar que ao cair, sua

velocidade decresce, isto é, o seu movimento é acelerado.

Se lançarmos um objecto para cima, sua velocidade diminui gradualmente até se anular no

ponto mais alto, isto é, o movimento de subida é retardado. As características destes

movimentos de subida e descida foram objecto de estudo desde há tempos bastante remotos.

Queda Livre

Como deve ter visto muitas vezes, ao deixarmos cair uma pedra e uma pena ao mesmo tempo, a

pedra cai mais depressa, assim afirmava Aristóteles. Entretanto, isto ocorre porque o ar exerce

um efeito retardador na queda de qualquer objecto e que este efeito exerce maior influência

sobre o movimento da pena do que sobre o movimento da pedra.

De facto se deixarmos cair a pedra e a pena dentro de um tubo, do qual se retirou o ar (foi feito

vácuo no tubo), verifica-se que os dois objectos caem simultaneamente, como afirmava Galileu.

O movimento de queda dos corpos no vácuo ou no ar, quando a resistência do ar é desprezível,

é denominado queda livre.

Aceleração de Gravidade

Conforme já foi dito, o movimento de queda livre é acelerado. Com suas experiências, Galileu

conseguiu verificar que o movimento é uniformemente acelerado, isto é, durante a queda o

corpo cai com aceleração constante.

Esta aceleração é denominada, aceleração de gravidade, e é representada pela letra “g”, que

segundo experimentalmente concluiu-se que o seu valor é o mesmo para todos os corpos em

queda livre. O valor de “g” é cerca de 9.8m/s2 (o valor depende de certa maneira do local da

Terra: 9.83m/s2 nos pólos, 9.78m/s2 no equador).




24

Então se a força de gravidade for a única que actua no objecto, podemos substituir nas equações

(2.5) e (2.6) a aceleração “a” por “g”, para descrever este movimento vertical. Portanto, as

equações x(t) e v(t) para a queda livre serão:

200 *

21)( tgtvyty ++= (2.7)

tgvtv *)( 0 += (2.8)

Importante: O valor de y0 depende da escolha do referencial, isto é, da escolha do local da

origem e da escolha do eixo positivo e negativo. Dependendo desta escolha os valores de v0 e g

são positivos ou negativos.

Exemplo 3:

Duma altura de 80m, lança-se uma bola verticalmente para cima. Ao sair da mão, a bola tem

uma velocidade inicial de 30m/s.

a) Faça uma escolha do referencial e escreva as

equações para descrever o movimento referido.

b) Em que instante e com que velocidade a bola atinge o

chão?

c) Em que instante a bola atinge o ponto mais alto e qual

essa altura?

d) Trace os gráficos y-t e v-t

a. Pode-se escolher um sistema de referência de diferentes maneiras. A escolha tem influência

nas equações mas não na solução. Aqui se escolhe a origem do eixo de referência na Terra e o

eixo positivo para cima.

Uma vez que v0 está dirigida para cima no sentido do eixo positivo, ela é positiva: v0 = +30m/s.

Entretanto, g está dirigida para baixo, no sentido do eixo negativo, portanto g é negativo:

g = -10m/s2, (utilizando o valor arredondado).

Então as equações do movimento serão:

y(t) = 80 + 30t – 5t2

v(t) = 30 – 10t

V0 = 30m/s y

0

80m g = -10m/s2




25

b. No chão é válido: y(t) = 0

Portanto: 80 + 30t – 5t2

5t2 – 30t – 80 = 0

t2 – 6t – 16 = 0

(t – 8)(t + 2) = 0

Daí: t = 8.0s ou t = -2.0s

t = -2.0s não tem significado físico, pois a bola foi lançada no instante t = 0s.

A velocidade da bola, ao atingir o chão:

v(8) = 30 – 10*8 = -50m/s (negativo, pois o sentido da velocidade no chão é para baixo, no

sentido do eixo negativo).

c. No ponto mais alto v(t) = 0

então: 30 – 10t = 0 t = 3.0s

A distância até a origem no momento t = 3.0s: y(3) = 80 + 30*3 – 5*32 = 125m.

d. Veja os gráficos abaixo:

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 1 2 3 4 5 6

t(s)

v(m)

Fig. 2. 10.b

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7 8

t(s)

x(m)

Fig.2.10.a




26

2.6 Relações Gerais entre x(t), v(t) e a(t)

Mostrou-se no Capítulo 1 que a velocidade instantânea v(t) é igual a derivada, em relação ao

tempo t, da posição x(t).

Matematicamente:

dtdxtxtv == )()( ' (2.9)

A partir da definição da aceleração média, passando ao limite do quociente ∆v/∆t, pode-se

mostrar que a aceleração num certo instante, ou a aceleração instantânea é igual à derivada

de v em relação a t:

dtdvtvta == )()( ' (2.10)

Isto significa que, no gráfico v-t, a aceleração num certo instante é equivalente à inclinação à

curva v(t).

Nota:

Num gráfico v-t que seja linha recta, a inclinação desta recta representa a aceleração num dado

intervalo de tem correspondente.

Para um gráfico v-t que seja uma curva, traça-se uma recta tangente num dado tempo t e

escolhem-se dois pontos nesta recta tangente para encontrar a inclinação da mesma, que é

equivalente à aceleração.

Questionário:

1. Uma pessoa informa-lhe que um corpo está em movimento rectilíneo uniforme:

a) O que esta indicado pelo termo rectilíneo?

b) E pelo termo uniforme?

2. Quando um corpo está em movimento uniforme, com velocidade v, qual é a expressão

matemática que nos permite calcular a distância x que ele percorre após decorrido um

tempo t?




27

3. Um automóvel desloca-se em linha recta. Classifique o movimento supondo que:

a) O ponteiro do velocímetro indica sempre o mesmo valor.

b) A posição do ponteiro varia de um instante para o outro.

4. No movimento uniforme vimos que o gráfico x-t é uma recta passando pela origem e sua

inclinação nos fornece o valor da velocidade. No movimento variado, o gráfico x-t é ainda

uma linha recta?

5. Um automóvel, desloca-se em linha recta, tem sua velocidade variando com o tempo de

acordo com a tabela deste exercício.

v(m/s) 10 12 14 16 16 16 15 18 20

t(s) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

a) Em que intervalo a aceleração do carro se anula?

b) Em que intervalo a aceleração é negativa?

c) Em que intervalo o movimento é uniformemente acelerado?

6. Um corpo em movimento uniformemente variado, com velocidade inicial v0 e aceleração a,

percorre uma distância x. Qual é a equação que nos permite calcular a velocidade no fim do

percurso em função destes dados. ( Repare que o tempo t não é dado do problema).

7. Um corpo, partindo de repouso, desloca-se em linha recta com aceleração constante.

a) Que tipo de relação existe entre x e t?

b) Faça um desenho mostrando o aspecto do gráfico x-t.

8. Duas partículas têm no instante t =0 uma distância mútua d e movem-se ao longo de uma

linha recta com velocidades iguais e contrárias. Determine a função que descreve a

distância entre elas em função do tempo.

9. Abandonando um objecto duma certa altura, sem velocidade inicial, as funções x(t) e v(t)

do objecto simplificam-se bastante. Escreva essas funções neste caso, tomando o ponto de

partida como origem e o eixo positivo para baixo.

10. Dê exemplo de um movimento em que a velocidade seja negativa, mas a aceleração

positiva. Esboce um gráfico v-t que representa este caso. Faça o mesmo para o caso em que

a velocidade e a aceleração sejam negativa.

11. É possível um corpo ter velocidade nula e aceleração diferente de zero?




28

Exercícios:

1. Uma pessoa fornece-lhe a equação da posição em função do tempo dum objecto que se

desloca em linha recta: x(t) = 6t + 2,5t2 (t em s e x em m). A partir desta informação

determine:

a) O tipo de movimento e a velocidade inicial do objecto;

b) A aceleração do movimento;

2. Duas pessoas movem-se ao longo de uma estrada recta ao encontro um do outro. A pessoa

A tem uma velocidade de 18km/h e a pessoa B 36km/h. No instante t = 0s a distância entre

elas é de 75m.

a) Escolhendo o local, onde se encontra a pessoa A no instante t = 0s, como a origem, escreva

as funções XA(t) e XB(t);

b) Calcule o momento e o lugar de encontro das duas pessoas;

c) Faça um gráfico com as duas funções XA(t) e XB(t) e verifique a partir do gráfico a resposta

à pergunta b;

3. Dois corpos A e B movem-se no mesmo sentido. O corpo A tem uma velocidade constante

de 10m/s. O corpo B está em movimento uniformemente acelerado com uma aceleração de

1.6m/s2 e a velocidade inicial é zero. No instante t = 0s eles encontram-se na origem.

a) Escreva as duas funções XA(t) e XB(t);

b) Quanto tempo decorre para B alcançar A?

c) Faça um gráfico com as duas funções;

d) Qual é o instante em que A e B têm a mesma velocidade;

e) Explique que neste instante a distância entre A e B é máxima;

4. Um astronauta na Lua, lançou um objecto verticalmente para cima, com uma velocidade

inicial de 8,0m/s. O objecto gastou 5,0s para atingir o ponto mais alto da sua trajectória.

Com estes dados calcule:

a) O valor da aceleração de gravidade na Lua;

b) A altura que o objecto alcançou;




29

5. Lançou-se um objecto A verticalmente para cima com velocidade inicial de 30m/s.

Simultaneamente lançou-se um objecto B para baixo com

velocidade inicial 10m/s, de uma altura de 40m.

a) Escreva para os dois objectos as funções x(t) e v(t); tomando

o sistema de referência, cuja origem está no chão;

b) Calcule o momento e a altura de encontros dos dois objectos;

6. A figura deste problema é um gráfico v-t para um automóvel ao arrancar diante de um

semáforo, quando a luz verde se acendeu.

a) Qual é a distância equivalente à área de cada malha?

b) Qual é o percurso do carro até o instante t=5.0s;

c) Qual foi a velocidade média do carro no instante

t = 0,0s a t = 5,0s?

d) Esboce o gráfico a-t deste movimento;

7. Os movimentos de três carros A, B e C em uma rua estão representados no gráfico v-t da

figura deste problema. No instante t = 0,0s, os três carros estão um ao lado do outro e

situados a uma distância de 140m de um sinal de trânsito proibido.

a) Descreva o movimento de cada

carro;

b) Usando o gráfico, verifique se

algum deles avançou o sinal;

c) Desenhe os gráficos XA(t),

XB(t) e Xc(t) numa única figura;

8. Miriam, a namorada do super-homem, é empurrada do alto de um edifício de 180m de

altura e cai em queda livre. O super-homem chega ao alto do edifício 4.0s após o início da

queda da Miriam e, parte com velocidade constante para salvá-la. Qual é o mínimo valor de

velocidade que o super-homem deve desenvolver para alcançar sua namorada antes que ela

chegue ao chão. Considere g = 10m/s2.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12 14

t(s)

v(m/s)

A

BC

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

0 1 2 3 4 5

t ( s )

v ( m / s )

40m

B V0B=10m/s

V0A=30m/s A




30

9. Um corpo é atirado de baixo para cima com uma velocidade v1 = 3.1m/s. Quando atinge o

seu ponto mais alto, do mesmo ponto de partida e mesma velocidade atira-se um segundo

corpo de baixo para cima.

a) Desenhe um sistema referencial indicando os dois corpos em movimento e determine o

tempo e o local de encontro dos dois

10. A posição de uma partícula em movimento é determinada pela seguinte expressão:

x(t) = 3t2 + 4t + 7, onde x é em metros e t em segundos.

a) Determine a velocidade da partícula 10s depois;

b) Determine a aceleração nesse mesmo instante;

c) Qual é o percurso total coberto pela partícula?

d) Explique graficamente os resultados obtidos;

11. Dois carros vão um ao encontro do outro. Um deles movimenta-se com uma velocidade de

18km/h e o seu movimento é retardado, com uma aceleração de 20cm/s2. O outro

movimenta-se com uma velocidade de 5.4km/h e o seu movimento é acelerado com uma

aceleração de 0.2m/s2.

a) Depois de quanto tempo os dois carros se encontram?

b) Qual é o percurso percorrido por cada uma destes carros se a distância que os separava era

de 130m?

c) Resolva o problema graficamente;




31

3. Cinemática - Movimento Curvilíneo

Índice

Introdução

3.1 Grandezas Vectoriais e Escalares

3.2 Vectores

3.2.1 Propriedades dos Vectores

3.2.3 Componentes de um Vector

3.3 Vector Velocidade

3.3.1 Vector posição e vector deslocamento

3.3.2 Vector velocidade média

3.3.3 Vector velocidade instantânea

3.4 Vector aceleração

3.5 Lançamentos horizontais

3.6 Movimento circular uniforme

3.6.1 Velocidade tangencial (ou escalar)

3.6.2 Velocidade angular

3.6.3 Relação entre velocidade tangencial e velocidade angular

3.6.4 Aceleração centrípeta


Introdução

Neste capítulo vamos aplicar a descrição de movimentos de um objecto para os casos gerais do

movimento em duas ou três dimensões. Neste movimento geral, o deslocamento, a velocidade e

a aceleração são vectores. Discutiremos as diferenças essenciais entre grandezas vectoriais e

grandezas escalares, bem como as propriedades do cálculo vectorial.

3.1 Grandezas Vectoriais e Escalares

Na vida prática estamos habituados a lidar com uma série grandezas como, por exemplo o

volume de um corpo, a área de um terreno, a temperatura de um objecto, etc. Assim dizemos

que o volume de uma lata de tinta é de 5 litros, a área coberta por uma sala de aulas é de 200m2

ou que a temperatura de um indivíduo é de 400C.




32

Entretanto, todas as grandezas aqui mencionadas são completamente conhecidas quando

especificamos o seu valor, isto é, o seu módulo (magnitude), e a unidade usada na medida.

Portanto, uma GRANDEZA ESCALAR é aquela que só tem módulo ou valor numérico. Os

escalares somam-se pelos métodos comuns da álgebra,; por exemplo: 2S + 5S = 7S.

Por outro lado, uma GRANDEZA VECTORIAL é aquela que para além do módulo, possui

direcção e sentido, portanto, uma grandeza vectorial só fica completamente determinada

quando são conhecidos o seu módulo, a sua direcção e o seu sentido. Por exemplo :

1) Deslocamento - avião que voa a uma distancia de 160km para o sul;

2) Velocidade - um carro que anda à 20km/h para leste;

3) Força – uma força de 10N aplicada a um corpo na vertical e com sentido para cima;

3.2 Vectores

Como vimos existe uma diferença entre grandezas vectoriais e escalares e definimos

anteriormente, uma grandeza vectorial é aquela que tem para além de módulo, sentido e

direcção, é necessário que tenhamos uma representação do símbolo desta grandeza que nos

facilite estas duas grandezas.

Fig. 3.1

Em caso de grandezas vectoriais escrevemos uma flecha por cima do símbolo, por exemplo, a

força →

F (vector força), velocidade →

v , etc. Quando nos referimos apenas ao módulo de um

vector, deixamos de colocar a flecha sobre a letra que o representa, escrevendo simplesmente F,

v, etc. →

F : representa o vector (módulo, sentido e direcção);

F: representa apenas o módulo;

B

a A




33

3.2.1 Propriedades dos Vectores

Igualdade

Dois vectores →

A e →

B são iguais, por definição quando têm o mesmo módulo, o mesmo sentido

e direcção. Não se exige que os pontos inicial e final do vector sejam coincidentes para serem

iguais.

N.B: deslocar um vector no espaço, sem mudar a sua direcção e sentido deixa o vector

inalterado.

Adição Vectorial (geometricamente)

A resultante de dois vectores cujas direcções formam um ângulo se representa por um vector

cuja direcção é a diagonal do paralelogramo formado com os vectores dados e a origem

coincide com a origem comum de ambos.

(a) (b)

→→→

+= bac Fig. 3.2

Uma outra alternativa para determinar graficamente a soma de dois vectores é deslocar o vector →

a colocando a sua origem na extremidade do vector →

b . O vector resultante terá neste caso a

sua origem coincidente com a origem do vector →

b e a sua extremidade coincidente com a

extremidade do vector →

a , como mostra a Fig. 3.2 (b).

Subtracção Vectorial (geometricamente)

Para subtrair um vector →

A dum vector →

B basta somar geometricamente, o vector →

A com o

oposto do vector →

B .; quer dizer: )(→→→→

−+=− BABA .

→

c

→

b

→

a →

c

→

b →

a




34

θ

→

V vy

vx

y

x 0 B

A

3.2.2 Componentes de um vector

Componente de um vector segundo uma direcção, é a projecção ortogonal do vector sobre a

dita direcção. Por exemplo, a componente horizontal de um vector é a sua projecção sobre a

direcção horizontal.

Consideremos o vector →

v representado na figura 3.3. Tracemos a partir da origem 0 do vector,

os eixos perpendiculares 0X e 0Y. Da extremidade de →

v ,

tracemos uma perpendicular sobre 0X. Assim estamos

projectando o vector →

v sobre o eixo 0X e obtemos o vector →

xv mostrado na figura. Este vector →

xv denomina-se

componente do vector →

v segundo a direcção do eixo 0X.

Do mesmo modo, podemos obter a componente de →

v sobre o eixo 0Y, projectando-se sobre

este eixo. Esta componente →

yv , é também mostrada na figura. Vx e Vy são denominadas

componentes rectangulares do vector →

v .

Para calcular matematicamente os valores das componentes, podemos usar as relações de um

triângulo rectângulo:

hipotenusaaopostocatetoSen θθ = e

hipotenusaaadjacentecatetoCos θθ =

Teremos para o triângulo OAB da figura

vv

Sen y=θ donde θvSenvy = e vv

Cos x=θ donde θvCosvx =

N.B: Para calcular a resultante →

R de dois ou mais vectores seguem-se os procedimentos acima

descritos, considerando: Portanto:

222yx VVV += (3.1)

x

y

VV

tg =θ (3.2)

Fig. 3.3




35

É de salientar que as componentes de um vector são escalares, e somam-se pelos métodos

comuns da álgebra. Se uma componente está dirigida no sentido do eixo positivo, então o seu

valor é positivo e se estiver dirigida no sentido do eixo negativo, então o seu valor é negativo.

....+++= xxxx CBAR e ...+++= yyyy CBAR donde 22yx RRR +=

Exemplo 1:

Os vectores da figura representam forças que

actuam sobre um objecto que se encontra no

ponto O. Os módulos destas forças têm os valores

A=40N, α=600 e B=30N, β=300. Determine o

vector resultante →

R , o seu módulo e a sua

direcção.

Portanto dados os vectores →

A e →

B e os seus respectivos módulos e ângulos, podemos

determinar a resultante →

R , mediante as componentes dos vectores, procedendo:

• Decompor os vectores →

A e →

B e calcular as componentes Ax, Ay, Bx e By. Sendo:

NAAx 2060cos*40cos* 0 === α ; NsensenAAy 6.3460*40* 0 === α ;

NBBx 2630cos*30cos* 0 === β ; NsensenBBy 1530*30* 0 === β ;

• Calcular as componentes Rx e Ry, sendo:

NNNBAR xxx 462620 =+=+= ; NNNBAR yyy 6.49156.34 =+=+= ; então:

NRRR yx 6.676.4946 2222 =+=+= ;

• Calculamos a direcção, sabendo que:

078.146

6.49===

x

y

RR

tgδ ; portanto 02.47078.1 == arctgδ ;




36

3.3 Vector velocidade

3.3.1 Vector posição e vector deslocamento

Considere uma partícula movendo-se ao longo de uma curva em duas dimensões, como mostra

a figura. No instante t1 ela está no ponto P1, e em um instante posterior t2 em P2. pode-se

descrever a posição da partícula pelo vector →

1r da origem a posição da partícula.

Fig. 3.4

Da figura vemos que o vector deslocamento →

∆ r é a diferença dos dois vectores da posição.

Assim:

→→→

−=∆ 12 rrr (3.3)

O vector posição →

2r é a soma do vector posição →

1r e o vector deslocamento →

∆ r .

3.3.2 Vector velocidade média

Define-se o vector velocidade média da mesma maneira que no caso unidimensional, isto é, o

quociente entre o vector deslocamento →

∆ r e o intervalo de tempo correspondente 12 ttt −=∆ .

Assim:

trvmed ∆

∆=

→→

(3.4)

Pode-se concluir que o vector velocidade média tem a mesma direcção e sentido que o vector

deslocamento. Além disso pode-se observar que o módulo do vector deslocamento →

∆ r não é

igual à distância percorrida ∆S ao longo do arco da curva. Na realidade →

∆ r é menor que a

distância ∆S.

Note: O vector deslocamento →

∆ r , é igual à distância percorrida ∆S somente quando a partícula

se desloca numa linha recta. Neste caso ∆S ≅ →

∆ r .




37

3.3.3 Vector velocidade instantânea

Se considerarmos intervalos de tempo cada vez mais pequenos, de acordo com a figura 3.5, o

valor do deslocamento se aproxima à distância percorrida ao longo da curva. Também a

direcção e sentido de →

∆ r se aproxima da direcção e sentido da recta tangente a curva no ponto

P1.

Figura.3.5

Definição do vector velocidade instantânea

Define-se o vector velocidade instantânea como o limite de velocidade média quando o intervalo de tempo ∆t tende para zero.

trtv

t ∆∆

=

→

→∆

→

0lim)( (3.5)

O vector velocidade instantânea num certo ponto da trajectória tem sempre a direcção da

tangente à curva neste ponto. Na fig. 3.5 mostra-se que diminuindo o deslocamento →

∆ r , o

mesmo coincide cada vez mais com o percurso percorrido ao longo da trajectória designada ∆S.

A consequência deste facto é:

O valor absoluto do vector velocidade é a velocidade escalar, que foi introduzida no capítulo 1.




38

v2

v1

v0

B

A

3.4 O Vector aceleração

Definimos o vector aceleração média correspondente ao caso unidimensional, como sendo a

razão entre a variação do vector velocidade instantânea ∆v e o intervalo de tempo ∆t: Assim:

tvv

tvamed ∆

−=

∆∆

=

→→→

12 (3.6)

O vector aceleração instantânea segue do vector aceleração média por tomar ∆t cada vez

menor, deste modo aproximando ∆t a zero. Pode-se dizer que o vector aceleração instantânea é

a derivada do vector velocidade instantânea em relação ao tempo. Portanto:

dtvd

tvta

t

→→

→∆

→

=∆∆

=0

lim)( (3.7)

É de salientar que o vector velocidade pode estar modificando tanto o seu módulo como a sua

direcção ou ambos. No entanto, um objecto pode mover-se com velocidade escalar constante e

estar acelerado caso a direcção esteja modificando.

3.5 Lançamentos Horizontais

Chama-se lançamento horizontal a todo aquele em que a velocidade inicial está dirigida

horizontalmente.

Fig. 3.6

De acordo com a figura acima, largando uma bola em A, esta atinge o ponto B com velocidade →

0V , que é a velocidade inicial do lançamento; reconhece-se que a trajectória é curvilínea e que

o vector velocidade se altera continuamente. Da figura pode-se ver ainda que a bola está

animada de dois movimentos simultâneos; um movimento rectilíneo e outro queda livre;




39

Para descrever este movimento, decompõe-se em dois movimentos independentes um do outro:

um ao longo do eixo X e o outro ao longo do eixo Y.

Fig. 3.7

Nota-se que o movimento real compõe-se de um uniformemente acelerado ao longo do eixo-y e

o outro uniforme ao longo do eixo-x. Reconhece-se que o vector velocidade em cada instante é

igual à resultante das velocidades ao longo do eixo-x e ao longo do eixo-y. Sendo o movimento

ao longo do eixo-x uniforme com v0, a expressão da coordenada em função do tempo x(t) é:

tvtx .)( 0= , onde v0 é constante;

Ao longo do eixo-y o movimento é uniformemente acelerado com velocidade inicial zero;

assim:

2..21)( tgty =

Donde se obtém para as correspondentes velocidades:

0)( vtvx = e tgtvy .)( = Assim:

O movimento ao longo do eixo-x:

tvtx .)( 0= (3.8)

0)( vtvx = (3.9)

O movimento uniformemente acelerado ao longo do eixo-y

2..21)( tgty = (3.10)

tgtvx .)( = (3.11)




40

Assim em qualquer ponto da trajectória teremos:

)()()( 22 tvtvtv yx += (3.12)

Exemplo 2

Lança-se horizontalmente uma bola com uma velocidade inicial de 20m/s. Considere g=10m/s2.

a) Calcule as posições e as velocidades nos movimentos t = 0, 1, 2, 3, e 4 s;

b) Construa nesta figura os vectores da velocidade nos instantes t = 0, 1, 2, 3, e 4s;

c) Determine a direcção da velocidade no instante t = 4s;

a. Substituindo nas expressões (3.8), (3.9),(3.10) e (3.11) v0 = 20m/s e g = 10m/s2, podemos

calcular x(t), y(t), vx(t) e vy(t). Uma vez que vx(t) e vy(t) são perpendiculares entre si ,

calculamos a velocidade instantânea v(t) com a expressão (3.12).

Veja a tabela:

t(0s) x(t) (m) y(t) (m) vx(t) (m/s) vy(t) (m/s) v(t) (m/s)

0 0 0 20 0 20

1 20 5 20 10 22

2 40 20 20 20 28

3 60 45 20 30 36

4 80 80 20 40 48

b. Para podermos desenhar o vector velocidade é necessário escolher uma escala. Aqui

representamos v = 10m/s por um vector de 1cm de comprimento. As velocidades →

v (1), →

v (2),

etc. são os vector velocidades (instantânea) da bola na trajectória. Estes vectores têm a direcção

da tangente à curva, como foi dito anteriormente.

c. Podemos calcular o ângulo da seguinte maneira;

0.22040

===y

x

vv

tgα donde 063)0.2( == arctgα




41

3.6 Movimento Circular Uniforme

Dizemos que uma partícula está em movimento circular quando sua trajectória é uma

circunferência, como por exemplo, a trajectória descrita por uma pedra que gira presa a uma

extremidade de uma corda. Se além disso o valor da velocidade permanecer constante, o

movimento é denominado circular uniforme.

Figura 3.8

Neste movimento o vector velocidade tem módulo constante, mas a

sua direcção varia continuamente.

3.6.1 Velocidade Tangencial (ou escalar)

De acordo com a figura anterior, o vector velocidade está sempre dirigido segundo a tangente à

trajectória. O tempo que a partícula gasta para efectuar uma volta completa é denominado

período do movimento e é representado por T. O espaço percorrido pela partícula durante um

período, é o comprimento da circunferência, que como sabemos, vale 2πr; onde r é o raio da

trajectória. Portanto, como o movimento é uniforme o valor da velocidade será dado por:

TR

percursonogastotempopercorridoespaçov π2

== (3.13)

3.6.2 Velocidade Angular

Consideremos uma partícula em movimento circular, passando pela posição P1 mostrada na

figura. Após um intervalo de tempo ∆t, a partícula estará passando pela posição P2, deslocando-

se numa distância ∆S ao longo da circunferência. Neste intervalo de tempo ∆t, o raio que

acompanha a partícula em seu movimento descreve um ângulo ∆θ. Portanto pode-se exprimir

em radianos o ângulo ∆θ pela relação:

RS∆

=∆θ ∆θ em rad. (3.14)

Onde θ∆=∆ .RS (3.15)

Lembre-se que 3600 = 2πrad e 1 rad = 57.30.




42

A relação entre o ângulo descrito pela partícula e o intervalo de tempo gasto para descreve-lo é

denominada velocidade angular da partícula e representa-se pela letra ω. Portanto:

Velocidade angular ω é o ângulo descrito por unidade de tempo, quer dizer, por segundo.

t∆∆

=θω (3.16)

Se a partícula efectuar uma volta completa, então substituímos ∆θ por 2πR e t por T daí teremos:

Tπω 2

= (3.17)

3.6.3 Relação entre v e ω

Segundo a equação (3.13) RTT

Rv *)2(2 ππ== ; vista no movimento circular uniforme a

velocidade tangencial (ou escalar) acima descrita. Como Tπ2 é a velocidade angular,

concluímos:

Rv *ω= (3.18)

Esta expressão permite-nos calcular a velocidade tangencial (escalar) quando conhecemos a

velocidade angular ω e o raio R da trajectória. Repare que ela é só válida se os ângulos

estiverem expressos em radianos.

3.6.4 Aceleração Centrípeta

No movimento circular uniforme fica constante o módulo do vector velocidade →

v , ou seja fica

constante a velocidade tangencial (ou velocidade escalar). No entanto a sua direcção varia

continuamente, como mostra a figura.

Figura 3.9




43

Na figura, →

1v e →

2v são vectores, portanto →

1v é diferente de →

2v , pois as suas direcções são

diferentes. Na mesma figura está deslocado o vector →

2v para o ponto A afim de podermos

determina a variação 12 vvv −=∆ . Portanto, visto vectorialmente, há uma variação de

velocidade →

∆ v e consequentemente uma aceleração (média) (a) no intervalo de tempo

decorrido entre os dois instantes correspondentes à velocidades →

1v e →

2v .

Diminuindo, o intervalo de tempo pode-se observar que a aceleração está dirigida

perpendicularmente à velocidade tangencial, como mostra a figura.

A aceleração centrípeta ac, que está sempre dirigida para o centro da circunferência e por isso está perpendicular à velocidade tangencial. Assim

Rvac

2

= (3.19)

Dado que Rv *ω= , então Rac *2ω= (3.20)

Questionário:

1. Compare as velocidades angulares dos ponteiros dos minutos e das horas de um relógio.

Qual é a proporcionalidade entre as duas velocidades angulares?

2. Qual é a aceleração de um projéctil, lançado verticalmente para cima, no topo da sua

trajectória?

3. Certo ou errado:

a) O vector velocidade instantânea está sempre orientado na direcção do movimento;

b) O vector aceleração instantânea está sempre na direcção do movimento;

c) Quando a velocidade escalar é constante, a aceleração tem que ser nula;

d) Quando a aceleração é nula, a velocidade escalar tem que ser nula;

e) O módulo da soma de dois vectores deve ser maior que o módulo de qualquer dos dois

vectores;

f) É impossível efectuar uma curva sem aceleração

g) O tempo necessário para que uma bala, disparada horizontalmente atinja o solo, é mesmo

que ela gastaria se caísse do repouso, de igual altura;




44

Exercícios

1. Um atleta corre ao redor de uma pista circular a uma velocidade angular de 4rpm e uma

aceleração radial de 3.8m/s2.

a) Determine o raio da pista;

b) Qual é a velocidade linear do atleta;

c) Quanto tempo ele gasta para completar uma volta mantendo esta velocidade;

2. Um automóvel, sendo testado em um pista circular de 300m de raio, parte do ponto A

mostrado na figura deste problema.

a) Desenhe na figura o vector →

r , que representa o deslocamento do

automóvel, após ele ter completado meia volta;

b) Qual é o módulo deste deslocamento

c) Qual será o módulo do deslocamento do automóvel após ter completado uma volta;

3. Dois deslocamentos →

1r e →

2r têm módulos 4,0m e 3,0m respectivamente. Sabe-se que →

1r

tem direcção horizontal e sentido da esquerda para a direita.

a) Qual deve ser a direcção e sentido de →

2r para que a resultante desses vectores tenha módulo

igual a 7,0m;

b) Responda a questão anterior, para que a resultante tenha módulo igual a 1,0m;

4. Dadas as distâncias indicadas na figura ao lado, calcule

a velocidade mínima que a bola deve ter para atingir o

outro lado, desprezando o atrito. Tome g = 10m/s2.

5. Uma pedra desprende-se duma montanha e rola pela encosta,

chegando à beirada de um penhasco com a velocidade →

0v . Em

virtude desta velocidade inicial ela atinge o solo no ponto P.

a) Sabendo-se que h = 20m e considerando g = 10m/s2, calcule o

tempo que a pedra gasta para se deslocar da beirada até ao solo;

b) Supondo que vo = 6,0m/s, calcule a distância d mostrada na figura.

c) Qual é a velocidade com que a pedra atinge o solo;

A




45

6. Os vectores posição →

A e →

B na figura deste exercício têm o módulo

2,0m.

a) Determine as componentes x e y destes vectores;

b) Determine as componentes, o módulo e a direcção da soma →

A +→

B ;

c) Determine as componentes, o módulo e a direcção da diferença →

A -→

B ;

7. Uma pedra presa a um barbante, é colocada em movimento circular uniforme de período

T=0,20s e raio R = 10cm. Calcule para a pedra:

a) A velocidade angular em rad/s;

b) A velocidade escalar, em m/s; e a aceleração, em m/s2;

8. Um menino, nadando com velocidade →

Mv deve atravessar um rio cuja corrente tem uma

velocidade →

cv . Suponha que ele queira seguir a

trajectória AB, perpendicular às margens (veja a

figura). Para isto, o menino nada orientando a sua

velocidade numa direcção. que forma um ângulo θ

com a margem.

a) Desenhe na figura, as componentes vMx e vMy.

Escreva as expressões destas componentes em

função de vM e θ;

b) Qual deve ser a relação entre vMx e vC para que o menino siga a trajectória AB;

c) Considerando que vc = 0,50m/s e vM = 1,0m/s, calcule o valor de θ para que o menino siga

a trajectória AB;

d) Sabendo-se que o rio tem uma largura de 87m, quanto tempo gasta o menino para

atravessar;




46

9. A figura deste exercício mostra um objecto A, caindo de

repouso verticalmente para baixo, e um objecto B, lançado

horizontalmente com velocidade inicial →

Hv . Suponha que o

corpo A gastou 0,45s para atingir o solo e que o corpo B

tenha sido lançado com velocidade vH = 2,0m/s.

a) Quanto tempo o corpo B gastou para atingir o solo;

b) A que distância do pé da mesa cairá o corpo B no solo;

c) Qual é a altura da mesa;

d) Calcule a velocidade com que os corpos A e B atingem o solo;




47

4. Dinâmica – Leis de Newton

Índice

Introdução

4.1 A Primeira Lei de Newton

4.1.1 Conceito de Força

4.2 A Segunda Lei de Newton

4.2.1 Relação entre Força e Aceleração

4.2.2 Massa

4.2.3 Relação entre Força, Massa e Aceleração

4.3 A Terceira Lei de Newton

4.4 Força de Gravidade, Peso e Força Normal

4.4.1 Força de Gravidade

4.4.2 Peso, Força Normal e Tensão numa corda


Introdução

Nos capítulos anteriores discutimos e descrevemos os movimentos e determinamos num certo

instante a posição, a velocidade e a aceleração. Neste capítulo vamos iniciar o estudo da

dinâmica, procurando responder as questões tais como: o que provoca um movimento.

Aproximadamente há três séculos, o famoso físico e matemático inglês Isaac Newton (1642-

1727), baseado em observações suas e de outros cientistas, formulou três princípios que são

fundamentais para responder estas questões e na solução de outros problemas relacionados com

os movimentos.

Estas leis constituem os verdadeiros pilares da Mecânica e foram enunciadas na famosa obra de

Newton Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, publicada em 1686. Elas são conhecidas

como 1a, 2a e 3a leis de Newton, de acordo com a ordem em que aparecem na obra citada.




48

4.1 A Primeira Lei de Newton

4.1.1 Conceito de Força

Quando exercemos um esforço muscular para puxar um objecto, estamos lhe comunicando uma

força; um jacto de água exerce força para accionar uma turbina, etc. Analisando os exemplos

acima descritos, podemos concluir que, para que o efeito de uma força fique bem definido, será

necessário especificar o seu módulo, a sua direcção e o seu sentido; portanto:

força é toda causa capaz de modificar o estado de movimento ou de repouso de um corpo; é

algo que causa uma aceleração.

Definição da primeira lei de Newton

Na ausência de forças, um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em movimento move-se em linha recta, com velocidade constante.

Esta lei é chamada por vezes lei da inércia porque um objecto tende a manter inalterado o seu

estado a menos que seja obrigado a modificar tal estado quando sobre ele actuarem forças.

4.2 A Segunda Lei de Newton

A primeira lei de Newton descreve o estado de um corpo na ausência de uma força,

equivalente a situação em que a força resultante →

R é igual a zero, logo a aceleração é nula.

A segunda lei de Newton descreve o estado de um corpo que sofre a acção de uma ou mais

forças cuja resultante é diferente de zero.

4.2.1 Relação entre a força e a aceleração

Aqui consideramos o aspecto da aceleração, provocada por uma

força.

Consideremos um objecto colocado sobre uma superfície lisa (sem

atrito), sendo puxado por uma força →

F .

Fig. 1




49

Como outras forças que actuam no corpo (peso e a reacção normal) se equilibram, podemos

considerar a força →

F como a única que actua no corpo. A figura anterior mostra as posições

tomadas pelo corpo em intervalos de tempo iguais em seu movimento.

Como a distância entre duas posições está crescendo sucessivamente é evidente que a

velocidade do corpo está aumentando, ou seja, o movimento corpo é acelerado. Conclui-se que

um corpo sob acção de uma força única, adquire uma aceleração, isto é, se 0≠→

F , então temos

≠→

a 0.

No exemplo anterior, para um dado valor de força →

F aplicada no corpo, podemos medir o valor

da aceleração →

a que o corpo adquire. Repetindo a experiência com diversos valores de força →

F , verifica-se que:

Duplicando F, o valor de a também duplica

Triplicando F, o valor de a também triplica

Quadruplicando F, o valor de a também quadruplica, etc.

Portanto através da experiência conclui-se que:

A força F que actua em um corpo é directamente proporcional à aceleração “a” que ela produz no corpo, isto é, F ∝ a.

Desta maneira construindo um gráfico F – a, com os valores obtidos através da experiência

citada, obteremos uma recta passando pela origem:

Fig. 2

Matematicamente teremos:

constaF= (4.1)

a

F




50

4.2.2 Massa

É mais fácil colocar em movimento uma bola de ténis do que uma bola de futebol ou uma

bicicleta em comparação com um carro. Diz-se que o carro tem uma massa, maior do que a

bicicleta e que a bola de futebol tem massa maior que de ténis. Um carro contém mais matéria

do que uma bicicleta. De facto, a massa de um objecto é uma medida para a quantidade de

matéria do objecto.

Toda a matéria compõe-se pelas mesmas partículas: protões, neutrões e electrões, os quais

constituem os átomos dos diferentes materiais. Portanto, dentro de um átomo, a massa de um

electrão é desprezável em comparação com a dos protões e neutrões (que têm massas

praticamente iguais). Daí que a quantidade de matéria de um certo objecto significa: a matéria

total armazenada nos protões e neutrões do objecto.

A massa de um objecto tem como unidade Quilograma (kg) e é considerada como quantidade

de matéria. A massa é uma característica intrínseca do objecto, isto é, não depende de factores

externos, por exemplo, da força de gravidade do planeta no qual se encontra.

4.2.3 Relação entre força, massa e aceleração

Ao determinar a relação entre a força aplicada e a aceleração provocada pela mesma,

conservamos a massa constante, executando a experiência com um só objecto. Como vimos, a

figura 2 mostra o resultado desta experiência, enquanto que a equação (4.1) expressa

matematicamente a experiência.

Sendo F ∝ a, sabemos que a relação F/a é constante e esta constante é

igual à inclinação do gráfico F – a. Suponha que a experiência fosse

repetida usando-se porém um outro corpo. Construindo o gráfico F- a

para este outro corpo, obteríamos ainda uma recta passando pela

origem, mas com uma inclinação diferente da anterior.

De um modo geral verificamos que, para um dado corpo temos sempre F ∝ a, mas a inclinação

do gráfico F – a varia de um corpo para o outro como mostra a figura. Portanto, o quociente F/a

tem um valor constante para um dado corpo sendo assim característico de cada objecto.




51

Sabendo que a inclinação é igual à razão F/a podemos chegar à conclusão que esta constante é

directamente proporcional à massa do objecto:

aF ∝ m (4.2)

Portanto a constante em (4.1) depende linearmente da massa. A massa de um corpo é o

quociente entre a força que actua no corpo e a aceleração que ela produz nele.

Pode-se escolher a unidade de força de tal maneira que a proporcionalidade (4.2) se torne numa

igualdade:

1 Newton (N) é a força que provoca a um objecto, de massa 1 kg, uma aceleração de 1 m/s2.

Assim torna-se a equação (4.2) na 2a lei de Newton:

Segunda lei de Newton

A aceleração que um corpo adquire é directamente proporcional à resultante das forças que actuam nele e tem a mesma direcção e o mesmo sentido desta resultante:

maF= ou amF *= (4.3)

A 2a lei de Newton é uma das leis básicas da Mecânica, sendo utilizada na análise dos

movimentos que observamos próximos à superfície da Terra e também no estudo dos corpos

celestes. O próprio Newton aplicou ao desenvolver os estudos dos movimentos dos planetas e o

grande sucesso alcançado constituiu uma das primeiras confirmações desta lei.




52

4.3 A Terceira Lei de Newton

Em seus estudos de Dinâmica, Newton percebeu que as forças sempre aparecem como

resultado da interacção de dois corpos. Em outras palavras, a acção de uma força sobre um

corpo não pode se manifestar sem que haja um outro corpo que provoque esta acção. Além

disso, Newton constatou que, na interacção de dois corpos, as forças sempre aparecem aos

pares: para cada acção de um corpo existirá sempre uma reacção igual e contrária deste outro

sobre o primeiro. Estas observações de Newton podem ser sintetizadas no enunciado da sua 3a

lei, também denominada lei da acção e reacção:

A terceira Lei de Newton (Lei de Acção e Reacção)

Quando um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, o corpo B reage sobre A com uma

força de mesmo módulo, mesma direcção e de sentido contrário.

Nesta figura mostra-se que por causa dos dois

imanes os dois carrinhos exercem forças entre si. →

aF e rF→

nunca se anulam, são forças actuando

em diferentes objectos.

4.4 Força de gravidade, peso e força normal

4.4.1 Força de Gravidade

Deixando cair um objecto de massa m, ele adquire a aceleração de gravidade g, supondo que

não haja outras forças actuando sobre o objecto, por exemplo, o atrito do ar. Aplicando a este

caso a 2a lei de Newton, obtém-se:

→→

= gmFg * (4.5)

Substituindo na expressão (4.5) g por 10m/s2 e a amassa por 1kg, obtém-se: NFg 10= .

Portanto, perto da Terra, onde se pode considerar a força de gravidade constante, uma massa de

1kg é atraída pela Terra com uma força de cerca de 10N.




53

A força de gravidade é uma grandeza vectorial. O vector →

gF desenha-se no

centro do objecto, que se chama centro de massa. O centro de massa ou

centro de gravidade é o ponto onde podemos considerar actuando a força de

gravidade sobre o objecto inteiro. Veja a figura ao lado.

4.4.2 Peso, Força Normal e Tensão numa corda

Num bloco, colocado sobre uma superfície, actua a força

de gravidade. Por causa desta força o bloco realiza uma

força sobre a superfície. Define-se esta força o peso do

bloco.

Fig. 4.6.a Fig. 4.6.b

Definição de Peso:

O peso de um corpo é a força que o corpo exerce sobre a superfície de sustentação.

Portanto, o peso é uma força não actuando sobre o corpo, mas sim sobre o plano de sustentação,

como está mostrado na figura acima.

A força de reacção, provocada pelo peso, é a força normal, isto é, a força que o plano de

sustentação realiza sobre o bloco. As duas forças sobre o bloco, a força de gravidade e a força

normal desenhadas na figura 4.6.a, estão em equilíbrio, pois o bloco permanece em repouso.

Então : →

→

−= ng FF (equilíbrio)

Também : →

→

=− PFn (3a lei de Newton)

Portanto : →

→

= PFg

Este resultado significa que para um corpo em repouso ou em movimento uniforme o valor da

força de gravidade é igual ao peso do objecto.

→→

= gmFg *




54

Suspendendo o bloco por uma corda, a força de

gravidade continua a actuar do mesmo modo. Por

conseguinte, a força que o bloco realiza sobre a corda,

define-se como sendo o seu peso. Veja as figuras ao

lado. Então, uma definição melhor de peso é:

Fig. 4.7.a Fig. 4.7.b

O peso é a força que o corpo exerce sobre o plano de sustentação ou sobre o ponto de

suspensão.

Por conseguinte, a corda sofre a força do bloco (o peso do bloco) e reage com a força de

reacção: a tensão na corda, desenhada na Fig. 4.7.a no centro da massa.

Da mesma maneira que anteriormente, pode-se mostrar que de novo é válido: →

→

= PFg , desde

que o bloco esteja em repouso ou em movimento uniforme.

Questionário:

a. Certo ou errado:

a) Quando não existem forças actuando sobre um corpo, o corpo não está acelerado;

b) Quando um corpo não está acelerado, não existem forças actuando sobre ele;

c) O movimento dum corpo ocorre sempre na direcção da resultante;

d) As forças de acção e reacção nunca actuam sobre o mesmo objecto;

e) A massa dum objecto depende da sua localização;

f) A força de acção só é igual à força de reacção quando os corpos não estão acelerados;

b. Num foguetão a caminho da Lua, cujo motor está desligado, uma pessoa torna-se

imponderável. O que é que pode dizer sobre a força de gravidade, o peso e a massa desta

pessoa?

c. Suponha que um corpo é remetido para o espaço sideral, longe das galáxias, das estrelas e

de outros corpos. Qual seria a variação da sua massa?

d. O que acontece com a massa, a força de gravidade e o peso de um objecto de massa 10kg,

quando transportado para a Lua?




55

e. Um Volkswagen choca com um grande camião carregado.

a) Nesta interacção, a força que o Volkswagen exerce no camião é maior, menor ou igual à

força que o camião exerce no Volkswagen?

b) Então, por que o Volkswagen, normalmente se estraga mais do que o camião?

f. Um carrinho bem vedado contém blocos de gelo. Aplicando-se no carrinho uma força de

15N, verifica-se que ele adquire uma aceleração de 0,50m/s2. se o gelo derreter,

transformando-se totalmente em água, qual deve ser a força aplicada no carrinho para que

ele adquira a mesma aceleração? Porque?

Exercícios:

1. Um corpo de massa m = 2,5kg estava se deslocando sobre uma superfície horizontal e lisa,

com uma velocidade v1 = 3,5m/s. Exercendo-se sobre o corpo uma força →

F horizontal,

constante, em sentido contrário à velocidade 1

→

v , verificou-se que, após um intervalo de

tempo ∆t = 1,5s, o corpo passou a se mover com uma velocidade v2 = 2,5m/s em sentido

contrário ao movimento inicial.

a) Descreva o movimento do corpo durante o intervalo de tempo ∆t;

b) Qual é o módulo da aceleração que a força →

F produziu no corpo;

c) Qual é o valor da força →

F ;

2. Um arado desloca-se em movimento rectilíneo

uniforme, puxado por dois cavalos que exercem sobre

ele as forças →

1F e →

2F , como mostra a figura. Cada uma

dessas forças vale 103N e há uma força →

f , força total de

resistência que tende a impedir o movimento do arado.

a) O arado está em equilíbrio?

b) Qual é o valor da resultante das forças que actuam sobre o arado?

c) Calcule a força resultante de →

1F e →

2F ;

d) Qual é o valor da força →

f ?




56

3. De acordo com a figura, dois corpos apoiados sobre uma superfície

horizontal sem atrito são empurrados por uma pessoa. As massas

dos dois corpos são 2,0 e 1,0kg, respectivamente. A força exercida

pela mão sobre o corpo de 2,0 kg é de 5,0N.

a) Qual é a aceleração do sistema dos dois blocos?

b) Qual deve ser a força resultante sobre o bloco de 1,0 kg e qual é a origem desta força?

4. Um sinal de trânsito está sustentado por um sistema constituído por uma

haste horizontal e um cabo inclinado, como mostra a figura. Para além

das forças indicadas na figura actua a força de gravidade sobre o sinal,

cuja massa é de 20kg.

a) Como são provocadas as forças →

T e →

F ?

b) Determine os valores de →

T e →

F ;

5. Um carro numa estrada recta tem uma velocidade de 25m/s. O

motorista desliga o motor o que faz com que o carro ainda se

desloque 250m antes de parar. O carro tem uma massa de 900kg.

a) Desenhe as forças que actuam no carro e indique a resultante das mesmas;

b) Calcule a aceleração do carro supondo que o movimento seja uniformemente retardado;

c) Calcule a força de atrito;

6. A figura deste exercício mostra uma pessoa de peso →

P , no interior de um

elevador que sobe com uma aceleração →

a dirigida para cima. →

1F é a força

com que a pessoa comprime o assoalho do elevador e →

2F é a força do

assoalho sobre a pessoa. Entre as afirmativas seguintes, assinale aquelas que

estão correctas:

a) O valor da resultante das forças que actuam na pessoa é F2 – P – F1;

b) F2>P porque a pessoa possui uma aceleração a para cima;

c) F1 = F2 porque constituem uma par de acção e reacção;

d) F1 = P, isto é, a compressão da pessoa sobre o assoalho é igual ao seu peso;

e) F2 = P porque constituem um par de acção e reacção;




57

5. Aplicação das Leis de Newton

Introdução

5.1 Atrito

5.1.1 Força de Atrito Estático

5.1.2 Força de Atrito Cinético

5.1.3 Atrito Indispensável

5.2 Plano Inclinado

5.3 Corpos ligados por um fio

5.3.1 Em Equilíbrio

5.3.2 Em Movimento Acelerado

Exercícios

Introdução

No capítulo anterior tratamos as três leis de Newton. Como foi dito, elas são as leis básicas da

Mecânica Clássica. Neste capítulo vamos aplicá-las em várias situações práticas. Na resolução

de problemas reais é necessário considerar o fenómeno de atrito. Por este motivo, vamos

primeiro ampliar o nosso conhecimento na aplicação de tal fenómeno.

5.1 Atrito

Consideremos um bloco apoiado numa superfície horizontal.

Como o bloco está em repouso, as forças que actuam sobre

ele têm resultante nula, isto é, o seu peso →

P , é equilibrado

pela reacção normal →

NF da superfície. Fig. 5.1

Fig. 5.1

Suponhamos agora que uma pessoa puxe ou

empurre o bloco com uma força →

F e que o

bloco continue em repouso. Então, a

resultante das forças que actuam no bloco é,

ainda nula. Deve portanto, existir uma força

actuando no bloco, que equilibre a força →

F . Este equilíbrio é devido a uma força exercida pela

superfície sobre o bloco, denominada força de atrito.




58

A força de atrito sempre se opõe a tendência de movimento do corpo sobre a superfície e é

devida, entre outros factores, a existência de pequenas irregularidades das superfícies em

contacto. Fig. 5.2

5.1.1 Força de Atrito Estático

Na figura 5.2, se aumentarmos o valor da força →

F e verificarmos que o bloco continua em

repouso, podemos concluir que a força de atrito →

f continua equilibrando a força →

F . Em outras

palavras, o módulo de →

f também tornou-se maior ao aumentarmos o valor de →

F . Esta força

de atrito que actua no bloco em repouso, é denominada força de atrito estático →

ef .

A força de atrito estático →

ef é variável, estando sempre a equilibrar as forças que tendem a

colocar o corpo em movimento.

Aumentando continuamente o valor de →

F , verificamos que a força de atrito estático →

ef também

cresce, continuando sempre com o seu módulo igual ao módulo de →

F . Entretanto, a força →

ef

cresce até um valor limite, além do qual ela não mais equilibra a força →

F . Este valor limite de →

ef denomina-se força de atrito estático máxima, →

eMf . Quando o valor de →

F ultrapassa o valor

de →

eMf , o bloco começa a movimentar-se. Experimentalmente pode-se encontrar a dependência

de →

eMf dos factores que a influenciam:

A força normal →

NF , pois quanto maior for esta força, tanto mais forte será o contacto do

objecto com a superfície;

A natureza das superfícies em contacto;

Verifica-se que valor de →

eMf é proporcional ao valor de →

NF . Portanto, escrever-se →

eMf ∝→

NF .

A relação entre as duas grandezas é dada por:

NeeM Ff *µ= (5.1)

eµ denomina-se coeficiente de atrito estático e depende da natureza das superfícies em

contacto.




59

5.1.2 Força de Atrito Cinético

Suponhamos que na figura 5.2, o valor de →

F tenha se tornado superior ao valor de →

eMf . Nesta

condições, o bloco estará em movimento. Observamos então que a força de atrito continua, a

actuar sobre o corpo, sempre se opondo ao seu movimento. Esta força de atrito que actua sobre

o corpo em movimento se denomina força de atrito cinético, →

cf . Verifica-se que o valor de →

cf

é menor do que o valor de →

ef , isto é, o valor da força de atrito diminui quando o movimento se

inicia. O valor de →

cf é praticamente constante (não depende da velocidade do corpo) é

proporcional ao valor de →

NF . Então:

Ncc Ff *µ= (5.2)

Em geral, cµ é inferior a eµ e que cµ depende até certo grau das velocidades relativas das

superfícies. Experiências mostram que eµ é um pouco superior a cµ . Para simplificar o

tratamento, vamos supor que eµ = cµ . Com outras palavras supomos que a força de atrito

sobre o objecto em movimento seja igual à no princípio do movimento: →

cf = →

ef .

5.1.3 Atrito Indispensável

Uma pessoa que anda a pé não sofre incómodos da força de atrito entre os pés e o chão, isto é,

não vai ser retardada por esta força; pelo contrário, ela aproveita da força de atrito para poder

andar.

Consideremos mais pormenores desta afirmação:

A pessoa andando, um dos pés tem, durante um pequeno intervalo de tempo, contacto fixo com

o chão. Neste intervalo de tempo o pé exerce uma força para trás sobre o chão (graças a força

de atrito) a que força o chão reage com uma força para frente (a força de reacção segundo a

terceira lei de Newton).

É esta última força, do chão sobre o pé, que possibilita a pessoa andar, pois sem atrito seria

impossível tal movimento. Nesta situação a força de atrito entre as duas superfícies em contacto

não tem efeito retardador pela ausência de velocidade de uma superfície relativa à outra.




60

Apesar de ser mais difícil entender, podemos aplicar o mesmo raciocínio ao movimento dum

carro numa estrada. Enquanto que as rodas estão a rolar, há uma sucessão de contactos fixos,

durante um intervalo de tempo infinitesimalmente pequeno, entre os pontos sucessivos dos

pneus e o chão. Deste modo a força do motor actua, mediante as rodas, para trás sobre o chão,

o qual reage com uma força para frente sobre o carro. De novo a força de atrito entre os pneus e

o chão possibilita o movimento e não tem efeito retardador.

A resistência que encontra a pessoa, andando a pé, ou o carro circulando a certa velocidade, é

sobretudo de natureza aerodinâmica, isto é, é causada pela resistência do ar (é claro que, no

caso do carro, também existe fricção entre partes do próprio motor).

Em resumo pode-se dizer:

Em caso de escorregamento existe a força de atrito cinético; neste caso as duas

superfícies, que fazem contacto, movem-se uma relativa à outra;

Em caso de movimentos sem escorregamento é a força de atrito entre as superfícies, em

contacto, que possibilita o movimento sem retardá-lo;

5.2 Plano Inclinado

Um corpo encontra-se num plano inclinado. Suponha-se que o atrito seja desprezável. Sobre o

bloco actuam neste caso duas forças, a força de gravidade verticalmente para baixo e a força

normal (como sempre perpendicular à superfície). A figura abaixo mostra o método para

determinar graficamente a resultante →

RF (note que →

RF é paralelo ao plano inclinado.

Fig 5.3ª Fig 5.3b

O bloco da figura 5.3ª tem uma massa m e o ângulo de inclinação denominado α. Escolhe-se

um eixo-x e um eixo-y para decompor a força de gravidade →

gF , como está representado na

figura 5.3b. Deste modo substitui-se a força →

gF pelas componentes →

gxF e →

gyF .




61

Devido a componente →

gyF da força de gravidade, o bloco realiza uma força perpendicular ao

plano inclinado. Esta força não está indicada na figura, pois é uma força do bloco sobre o plano

e é mais sensato só indicar no desenho as forças que actuam sobre o bloco.

O plano inclinado reage a esta força com uma força normal →

NF . As componentes →

NF e →

gyF

anulam-se, restando apenas a componente →

gxF . Conclui-se pois, que a resultante →

RF das duas

forças →

gF e →

NF sobre o bloco é igual à componente →

gxF . Portanto:

gxR FF = (5.3)

Além disso é válido que (no caso do eixo x no sentido de →

gxF )

g

gx

FF

sen =α ou αsengmFgx **= (5.4)

Logo:

αsengmFR **= (5.5)

Da 2a lei de Newton temos: amFR *= , então: amsengm *** =α

Donde:

αsenga *= (5.6)

Portanto, no caso em que o atrito é desprezável o bloco adquire um movimento uniformemente

acelerado ao longo do plano com αsenga *= .

No caso em que o atrito não é desprezável, trata-se o problema do mesmo modo, considerando

os casos segundo a figura:

Fig. 5.4




62

Há três forças →

gF , →

NF e →

aF (força de atrito), actuando sobre o bloco. As componentes →

gxF e

→

gyF substituem a força de gravidade →

gF .

Agora a resultante →

RF é igual a agx FF − , em que →

aF é o módulo da força de atrito. Sendo

conhecida a força de atrito →

aF e →

gxF , calculada com base em (5.4), pode-se calcular →

RF e, com

auxílio da 2a lei de Newton a aceleração a.

Quando o valor da força de atrito não é conhecido, mas sim o coeficiente de atrito cinético µc,

pode-se calcular a força de atrito com base em (5.2): Nca FF *µ=

Além disso é válido que g

gy

F

F=αcos e Ngy FF = (os módulos). Logo:

αcos** gmFN = , donde:

αµ cos*** gmF ca = (5.7)

Ângulo Crítico

Existe um método directo para determinar experimentalmente o coeficiente de atrito cinético

µc. Colocando um bloco num plano horizontal, inclina-se o plano até que o bloco principie a

escorregar ao longo do plano. Seja αc o ângulo crítico onde principia o escorregamento. Com

ângulos menores a força de atrito estático anula a componente →

gxF ; com ângulos maiores que

αc, o bloco acelera ao longo do plano, pois →

gxF será superior a →

eMf . Entretanto, com α = αc, é

válido: gxeM Ff =→

. Portanto: cceNe sengmgmF ααµµ **cos**** == ; daí:

cc

cce tg

senα

αα

µµ ===cos

(5.8)

Assim determinado o ângulo crítico αc, podemos calcular directamente o coeficiente de atrito

mediante a equação (5.8).




63

5.3 Corpos Ligados por um fio

5.3.1 Em equilíbrio (em repouso ou em movimento uniforme)

Dois blocos A e B, de mesma massa M, estão

suspensos numa roldana, sem atrito, por meio de um

fio, cuja massa é desprezável, como mostram as

figuras 5.5a e 5.5b. Para entender o movimento deste

conjunto, é útil considerar tanto as forças externas

sobre o sistema inteiro dos dois blocos, ligados pelo

fio, como as forças sobre um bloco individual.

Considerando o sistema inteiro:

As duas forças de gravidade →→

= gMFg . , que actuam sobre os blocos A e B, são as únicas forças

externas, que determinam o estado de movimento do sistema. Apesar de elas terem o mesmo

sentido, é claro que as duas forças estão a contrariar um ao outro e devem se anular, pois o

sistema está em equilíbrio.

Considerando uma parte do sistema

Dentro do sistema actua a força de tensão no fio (os dois blocos esticam o fio o que causa a

tensão no mesmo). Uma vez que actua dentro do sistema, denomina-se esta força um força

interna, que actua tanto no bloco A como no bloco B. Consideremos as forças actuando no

bloco A, por exemplo:

Como o sistema inteiro está em repouso, também está o bloco A. Portanto, a força de tensão →

tF

do fio deve anular a força de gravidade actuando sobre A. O mesmo é válido para as duas

forças, actuando sobre B. È importante compreender que a tensão sobre A e a tensão sobre B

são de facto forças de acção e reacção:

São as forças →

ABF e →

BAF que A e B exercem entre si por meio do fio. Segundo a 3a lei de

Newton estas duas forças são sempre iguais, mesmo que o sistema esteja em movimento

acelerado.

Fig. 5.5ª Fig. 5.5b




64

5.3.2 Em movimento Acelerado

Agora colocando sobre o bloco B um sobrepeso de massa m. Desprezamos de novo a força de

atrito.

Fig. 5.6

Considerando o sistema inteiro

As duas forças de gravidade sobre A e B são as únicas forças externas que actuam no sistema.

Veja a figura 5ª. A resultante destas duas forças é: gmgMgmMFR ***)( =−+= . De facto,

a força de gravidade é a única força que acelera o sistema, cuja massa total é igual a 2M + m.

Portanto, aceleração do sistema é:

mMgm

mF

atot

R

+==

2* (5.9)

Considerando uma parte do sistema

Para determinar a força de tensão no fio, é necessário considerar uma parte do sistema, por

exemplo o bloco A. É lógico que o bloco A tem a mesma aceleração, neste caso para cima, que

o sistema inteiro. A força resultante sobre A é igual à diferença das duas forças, actuando sobre

o bloco, aMgMFt ** =− é possível calcular tF , depois de calcular a aceleração a partir da

equação (5.9).

Exemplo 1:

As massas dos blocos A e B são M = 5,0kg. O sobrepeso, colocado em cima do bloco B, é de

massa m = 2,0kg. Calcule a aceleração do sistema e a tensão no fio (g = 10m/s2).

Considerando o sistema inteiro, isto é, as duas forças de gravidade, actuando nos dois blocos,

chegamos à conclusão que a força resultante, que acelera o sistema é:

NgMgmMFR 0,20**)( =−+= e a aceleração a do sistema: 2/67,10,120,20 smkgN

mF

atot

R === .




65

Considerando agora somente o bloco A, aplicando a 2a lei de Newton a este, obtemos:

67,1*00,50,50** =−→=−= ttRA FaMgMFF ; daí: NFt 4,58= .

Este valor pode ser verificado considerando o bloco B. O bloco B está sujeito a mesma tensão

que o bloco A (3a Lei de Newton).

A força resultante RBF sobre B é:

NFgmMF tRB 6,114,580,70*)( =−=−+=

Este valor é correcto, pois RBF também é igual a:

NamMFRB 7,1167,1*00,7*)( ==+= ; (a diferença de 0,1 N é causada por arredondar). A

máquina acima descrita chama-se máquina de Atwood.

Exercícios:

1. Sobre um bloco de massa 5,0kg situado sobre uma superfície horizontal, aplica-se uma

força horizontal de 20,0N durante 3s. Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o

bloco e a superfície é de 0.25, achar a velocidade que o bloco adquire ao fim dos três

segundos.

2. Um corpo cai por um plano inclinado que forma um ângulo de 300 com a horizontal.

Supondo que não há atrito, calcular a velocidade v do corpo ao fim de 8s do início do

movimento a partir de repouso e o tempo t que empregará em percorrer 8m.

3. Calcular a força constante →

F que é necessária aplicar

para que o bloco de 20N suba com uma aceleração de 1

m/s2. (Considere 25kgf = 25N e g = 10m/s2).

a) Qual é a tensão da corda?

4. Um avião de 23t aterra com uma velocidade de 229km/h num porta-aviões. A força média

de travagem é de 4,3.105N.

a) Calcule a aceleração;

b) Quanto tempo demora a aterragem;

c) Quantos metros percorre o avião no porta-aviões;

5. Uma certa combinação de um bloco e um plano tem um coeficiente de atrito cinético de

0,35. Qual deve ser o ângulo de inclinação para que o bloco tenha um movimento uniforme

ao longo do plano.




66

6. Duas pessoas puxam o barco da figura de massa igual

a 500kg, uma com uma força de 150N e a outra com

uma de 200 N.

a) Determine a direcção em que se move o barco;

b) Determine a aceleração com que o barco se move

supondo que não haja atrito;

7. Uma bola de massa 200g e velocidade 350m/s penetra numa quantidade de areia atingindo

uma profundidade de 15cm. Calcule a aceleração média de retardação.

8. O carrinho da figura desloca-se sem atrito.

a) Calcule a aceleração;

b) Calcule a força normal;

c) Sabendo que em seguida o mesmo carrinho sofre o

atrito e possui uma aceleração de 1,0m/s2 calcule a

força de atrito a que está sujeito;

9. O bloco A de massa 3,0kg pode-se mover sem atrito. O bloco

B tem uma massa de 1,0kg. Tome g = 10m/s2.

a) Calcule a aceleração dos dois blocos;

b) Calcule a tensão na corda;

10. Do problema anterior, se considerarmos que existe uma força de atrito entre o bloco A e a

mesa igual a 2,0N.

a) Calcule de novo a aceleração;


11. O bloco A de massa 4,0kg, pode mover-se sem atrito.

O bloco B tem uma massa de 1,0kg. Tome g = 10m/s2.

a) Calcule a aceleração dos dois blocos;





67

6. O Movimento Circular Uniforme

Índice

Introdução

6.1 Força Centrípeta

6.2 Aplicações do Movimento Circular

6.2.1 Movimento de um objecto sobre o prato de um gira-discos

6.2.2 Pêndulo Cónico

6.3 Força Gravitacional

6.3.1 Lei de Gravitação Universal

6.3.2 Aceleração de Gravidade

6.3.3 Órbitas de Satélites e Planetas


Introdução

Anteriormente abordamos o movimento circular uniforme, através da introdução de alguns

conceitos novos, tais como: velocidade angular e a aceleração centrípeta.

Neste capítulo, vamos tratar a dinâmica deste tipo de movimento, isto é, aplicar as três leis de

Newton ao movimento circular. Também aplicaremos essas teorias para descrever os

movimentos dos planetas em torno do Sol e de satélites em torno da Terra.

6.1 Força Centrípeta

Na secção 3.6 estudamos o movimento circular uniforme, no qual o

vector →

v , tem módulo constante e direcção variável. Vimos então, que a

variação da direcção do vector →

v é caracterizada por uma aceleração

centrípeta →

ca , dirigida para o centro da curvatura, cujo módulo é dado

Fig. 6.1 por:

Rvac

2

= (6.1)




68

Sendo a relação entre v e a velocidade angular ω, v = ω*R, pode-se escrever (6.1) do seguinte

modo:

Rac *2ω= (6.2)

Onde R é o raio da circunferência.

Como o movimento do corpo apresenta uma aceleração, concluímos, pela 2a lei de Newton, que

deve estar actuando sobre o corpo uma força responsável por esta aceleração. Esta força terá a

mesma direcção e o mesmo sentido da aceleração →

ca , isto é, estará apontada para o centro da

curva. Por este motivo, ela é denominada força centrípeta, →

cF . Sendo m a massa do corpo em

movimento, podemos escrever:

cc amF *= (6.3)

É de salientar que →

cF não é uma nova força, actuando sobre o objecto, mas é de facto a força

resultante de todas as forças que actuam sobre o corpo e esta resultante das forças é

responsável pela mudança contínua da direcção do vector velocidade do corpo. Combinando

(6.1) e (6.3) ou (6.2) e (6.3), obtém-se a seguinte expressão para →

cF :

RvmFc

2

*= (6.4)

ou

RmFc ** 2ω= (6.5)

A força centrípeta →

cF é a resultante de todas as forças que actuam sobre um objecto, que

descreve um movimento circular uniforme; →

cF aponta para o centro da circunferência.




69

6.2 Aplicação do Movimento Circular Uniforme

6.2.1 Força centrípeta em alguns movimentos

A figura representa o prato de um gira-discos visto de cima, no qual se

encontra um cubo preso a um dinamómetro fixo no centro do disco. A

partir de repouso aumenta-se lentamente o número de rotações até o

prato e cubo atingirem o número de 33 rotações/minuto. Observa-se

que o dinamómetro se estica, enquanto o cubo descreve um círculo de

um raio de 0,20m.

Fig 6.2

Sabendo que a massa do cubo é de 100g e desprezando a força de atrito, a velocidade angular

do gira-discos é dada por:

t∆∆

=φω , onde ∆φ é o ângulo descrito e ∆t é o intervalo de tempo correspondente; sendo

∆φ=33*2π e ∆t=60s; cada ponto do prato descreve, num certo intervalo de tempo, o mesmo

ângulo, portanto cada ponto tem a mesma velocidade angular. Esta velocidade angular terá o

valor:

srads

/5,360

2*33==

πω

A velocidade tangencial ou (escalar) do cubo será:

Rv *ω= , portanto, mv 70,020,0*5,3 ==

Da figura pode-se ver que as forças que actuam no bloco são:

A força de gravidade →

gF , a força normal →

NF , e a força do

dinamómetro →

dF . Porque →

NF e →

gF se anulam, a resultante das três

forças é igual a →

dF . Tratando-se dum movimento circular uniforme,

esta resultante chama-se força centrípeta →

cF , portanto, nesta figura →

cF = →

dF .

Neste caso, o valor indicado pelo dinamómetro será:

NRmFF cd 25,02,0*)5,3(*1,0** 22 ==== ω ;

Fig 6.3




70

6.2.2 Pêndulo Cónico

Consideremos um avião preso a extremidade de uma corda e a outra

extremidade fixa num ponto. O avião descreve um movimento circular

uniforme que se denomina pêndulo cónico

A figura mostra esquematicamente o pêndulo cónico.

Fig 6.4

Simplificando, pode-se considerar que actuam sobre o corpo duas forças, a força de gravidade →

gF e a tensão no fio →

tF .

Fig 6.5a Fig 6.5b Fig. 6.5c

Na realidade actuam a força do propulsor e a do atrito, mas estas duas anulam-se, uma vez que

a velocidade escalar se mantém constante.

A resultante, como mostra a figura 6.5b, determinada pelo paralelogramo, deve ser a força

centrípeta →

cF . A figura 6.5c mostra as forças decompostas ao longo dos eixos x e y. A força →

tF

é decomposta pelas componentes →

txF e →

tyF . →

gF e →

tyF anulam-se, donde segue que a resultante

é igual à componente →

txF . Portanto, →

txF =→

cF .

Pelas figuras 6.5b e 6.5c pode-se ver facilmente:

gr

mgrm

FF

FF

tgg

c

ty

tx22 ** ωωα ==== (6.6)

Portanto:

αω tgrg *2 = (6.7)




71

De (6.7) pode-se concluir que:

Medindo o comprimento e o raio, é possível calcular hrtg =α (com auxílio de αsen ou do

teorema de Pitágoras) para depois calcular ω.

Uma vez que Tπω 2

= ou ωπ2

=T , pode-se calcular o período deste movimento.

Exemplo 1:

Considerando que o comprimento do fio é de 1,80m e o raio da circunferência descrita pelo

avião é de 1,20m, calcule a velocidade angular e o período do movimento.

Da relação (6.7) temos: αω tgrg *2 = ; da figura pode-se ver que:

lrsen =α e

lh

=αcos , logo:

hrsentg ==

ααα

cos, mas 22222 rlhrhl −=⇒+=

Então: sradl

rlrg /71,2

8,1)2,1()8,1(

*2,1

10*2222

=−

=−

=ω

sT 32,271.2

14,3*22===

ωπ ;




72

6.3 Força Gravitacional

6.3.1 Lei de Gravitação Universal

As leis de Kepler

Alguns anos após a morte de Copérnico, o astrónomo dinamarquês, Tycho Brahe, começou a

desenvolver um importante trabalho no sentido de obter medidas mais precisas das posições dos

corpos celestes. Os dados colhidos por Tycho Brahe, cuidadosamente tabelados, constituíram a

base de trabalho que foi desenvolvido, após a sua morte, por seu discípulo, o astrónomo alemão

Johannes Kepler (1571-1630). O trabalho de Kepler foi coroado de êxitos, tendo conseguido

descobrir as três leis sobre o movimento dos planetas, que deram origem ao nascimento da

Mecânica celeste. Apresentam-se a seguir as três leis de Kepler:

1ª Lei de Kepler:

Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.

2ª Lei de Kepler

A recta que une um planeta ao Sol, varre áreas iguais em tempos iguais

3ª Lei de Kepler

Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas.

Estudando o movimento dos planetas, apoiando-se nas leis de Kepler, Newton observou que,

como eles descrevem órbitas em torno do sol, devem estar sujeitos a uma força centrípeta pois,

de contrário, suas trajectórias não seriam curvas. Desta maneira, Newton estava admitindo que

as suas leis (de movimento) seriam válidas também para os corpos celestes e concluiu que:

A força centrípeta, que mantém um planeta em sua órbita, é devida a atracção do Sol sobre

este planeta.

Baseando-se em suas leis (de movimento) e nos estudos de Kepler, Newton conseguiu chegar à

expressão matemática da força de atracção entre o Sol e um planeta.




73

Lei de Gravitação Universal

Dois corpos quaisquer atraem-se com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa; Portanto:

2

*r

mMGFG = (6.8)

G é a constante de gravitação universal, medida por Cavendish através de uma balança de

torção sensível. Ele conseguiu medir a força gravitacional entre duas massas m1 e m2 e daí foi

possível calcular o valor de G com auxílio da equação (6.8). G = 6,67.10-11 Nm2/kg2.

6.3.2 Aceleração de Gravidade

Já sabemos que um objecto, de massa m, na superfície da Terra sofre uma força de gravidade

Fg = m*g. Entretanto, com auxílio da expressão (6.8) pode-se dizer: mR

MGR

mMGFg *..22 == .

Em que M é a massa da Terra e R o raio dela. Portanto, pode-se ver que a aceleração de

gravidade g na superfície da Terra é igual à:

2

.R

MGg = (6.9)

A partir de (6.9) pode-se compreender porque é que:

a aceleração de gravidade é constante na superfície da Terra, e não depende da massa;

a aceleração de gravidade somente perto da Terra tem este valor constante g = 9,8 m/s2;

a aceleração de gravidade nos pólos da Terra difere um pouco da no equador;

6.3.3 Órbitas de Satélites e de Planetas

Aplicando a lei de Gravitação Universal às órbitas dos planetas em torno do Sol ou dos

satélites, em torno da Terra, simplifica-se o tratamento considerando as órbitas em forma de

circunferências; na realidade são elípticas mas com eixos quase iguais.

A figura representa a órbita da Terra em torno do Sol; a única força actuando

na Terra é a força de gravidade, apontada para o centro do Sol e é causada

pela atracção mútua do Sol e da Terra.




74

Neste caso →

gF é o agente que fornece a força centrípeta necessária para descrever esta órbita

circular: →

gF = →

cF donde: rvm

rmMG

2

2

..= ou seja:

rMGv

rMGv ..2 =⇒= (6.10)

Com:

Trv π2

= (6.11)

A partir de (6.10) e (6.11) obtém-se a terceira lei de Kepler:

22

3

4.πMG

Tr

= (6.12)

O membro direito da equação (6.12) é constante, sendo M a massa do Sol. A terceira lei de

Kepler foi derivada, considerando a órbita da Terra. Entretanto, para qualquer planeta que gira

em torno do Sol, pode-se chegar à mesma equação, sendo r o raio do planeta e T o seu período.

Portanto, para cada planeta dos sistema solar é válido:

constTr

=2

3

(6.13)

A equação (6.13) expressa a relação que existe entre o raio e o período de um certo planeta,

mas mostra também como os raios e os períodos de diferentes planetas no sistema solar estão

relacionados.

Exemplo 2:

O raio da Terra em torno do Sol é de rT = 1,496.1011m; o raio da órbita do Saturno em torno do

Sol é: rS = 1,433.1012m; quantos anos (terrestres) dura o período TS do Saturno?

constTr

=2

3

, o que significa 2

3

2

3

S

S

T

T

Tr

Tr

= ; substituindo os dados dos raios e o período da Terra TT

por 1 ano (terrestre), pode-se mostrar que: TS = 29,7 anos.




75

Exemplo 3

Calcule, com base nos dados da órbita da Terra, a massa do Sol:

Na órbita da Terra é válido: →

gF = →

cF , donde se deriva a equação (6.12); daí: 2

324GT

rM π= ;

com: r = 1,496.1011m; T = 365,25 dias = 3,156.107s; G = 6,67.1011Nm2/kg2

Efectuando o cálculo obtém-se: M = 1,99.1030kg.

Satélite Estacionário

Suponha que um satélite seja colocado em órbita a uma altura h sobre um ponto do equador. O

raio da sua órbita será:

hRr += (6.14)

Onde R é o raio da Terra e h a altura em que foi colocado o satélite medidos a partir da

superfície da Terra;

A partir da equação (6.10) calculamos a velocidade do satélite e o período do satélite pela

equação (6.11).

Se por exemplo h for igual à 3600km então v será igual à 10.800km/h e T será 24h. Observe

que este período é igual ao período de rotação da Terra. Como ele está no plano do equador

terrestre e gira junto com a Terra, gastando ambos o mesmo tempo para dar uma volta, o

satélite parecerá estar parado para um observador na Terra.

Questionário

1. Mostre porque g só perto da superfície da Terra é aproximadamente constante;

2. Mostre porque o valor de g no equador é diferente do g nos pólos da Terra;

3. Porque é melhor andar mais lentamente numa curva numa estrada molhada;

4. Que força fornece a força centrípeta para um carro numa curva;

5. Explique por que um satélite deve ser colocado em órbita em regiões fora da atmosfera

terrestre;

6. Imagine que a massa do Sol se tornasse subitamente 4 vezes maior. Para que a força de

atracção do Sol sobre a Terra não fosse alteração, qual deveria ser a distância entre ambos;




76

Exercícios

1. A velocidade angular do movimento de rotação de Júpiter é de π/5 rad/h.

a) Quantas horas Júpiter gasta para dar uma volta completa em torno do seu eixo?

b) Imagine que existisse em Júpiter um satélite estacionário usado apara telecomunicações.

Qual seria o período do satélite?

2. Uma curva de 30m tem uma inclinação tal que um automóvel pode faze-la com uma

velocidade de 15m/s. Determine o ângulo de inclinação da curva;

3. Uma bola está unida a uma extremidade de um fio de 24cm de comprimento e a outra

extremidade é um ponto fixo O. A bola descreve uma circunferência horizontal de raio r.

Determine a velocidade da bola sabendo que o fio forma uma ângulo de 300 com a vertical;

4. Um satélite artificial descreve uma órbita circular em torno da Terra em um período

gRT 24π= , onde R é o raio da Terra e g a aceleração de gravidade na superfície terrestre.

A que altura acima da superfície da Terra se encontra o satélite;

5. Dois satélites A e B de massas ma = 100kg e mb = 300kg respectivamente, orbitam em volta

da Terra. O satélite A está a uma altura h igual ao raio da Terra e o satélite B está a uma

altura que é 2 vezes maior que o raio da terra. Qual é a relação dos períodos de rotação dos

dois satélites;

6. Satélites estacionários são aqueles que giram de tal modo que a sua posição relativa a certo

ponto na Terra permanece constante. Tal satélite deve estar situado no plano do equador.

a) Qual deve ser o período dum satélite estacionário?

b) Mostre com cálculos que a altura deste satélite é cerca de 3,6.104km;

7. Uma bola de massa m = 0,50kg está suspensa na extremidade dum fio de comprimento

0,50m. Solta-se a bola a certa distância da posição de equilíbrio de tal modo que ela passa

pelo ponto mais baixo com velocidade de 2,0m/s. Calcule a tensão no fio no ponto mais

baixo;




77

8. O prato de um gira-discos gira com uma velocidade angular de 4rad/s. Uma moeda, cuja

massa é de 20g, sobre o prato, gira com ele a uma distância R = 10cm do eixo:

a) Qual é a velocidade escalar da moeda?

b) Quais são as forças que actuam na moeda?

c) Quais destas forças proporcionam a força centrípeta que actua na moeda?

d) Calcule a força de atrito que actua na moeda;

9. A força de atracção do Sol sobre a Terra vale, aproximadamente 4.1022N. Diga qual seria o

valor desta força supondo que:

a) A massa da Terra fosse três vezes maior;

b) A massa do Sol fosse duas vezes menor;

c) A distância entre a Terra e o Sol fosse duas vezes menor;




78

7. Oscilações

Índice

Introdução

7.1 Cinemática do Movimento Harmónico

7.1.1 Posição x(t) do Movimento Harmónico

7.1.2 Velocidade v(t) do Movimento harmónico

7.1.3 Aceleração a(t) do Movimento Harmónico

7.2 Força Harmónica

7.3 Aplicações

7.3.1 Oscilações numa Mola

7.3.2 Pêndulo Simples


Introdução

Um dos movimentos mais importantes que encontramos na natureza é a oscilação, que é um

movimento periódico em torno de um ponto fixo, chamado ponto de equilíbrio. Um corpo

vibrando na extremidade de uma mola, uma corda de viola em vibração, um pêndulo, são

alguns exemplos deste tipo de movimento. Dentre os movimentos periódicos destaca-se o

movimento harmónico, que é a projecção do movimento circular uniforme.

O conhecimento das oscilações é essencial para entender os fenómenos ondulatórios, tais como

o som, ondas de rádio, a luz, etc. Este capítulo limita-se ao tratamento de um tipo especial de

oscilações, denominado movimento harmónico.

7.1 Cinemática do Movimento Harmónico

Movimento harmónico (linear ou de translação) é um movimento periódico rectilíneo da direita

para a esquerda, de cima para baixo, etc., no qual a aceleração e a força restauradora são:

proporcionais à elongação; de sentido contrário ao deslocamento, isto é, dirigem-se sempre

para o centro da trajectória. Algumas grandezas que caracterizam o movimento harmónico são

a amplitude (A), o período (T) e a frequência (f).

A amplitude A é a distância entre a posição de equilíbrio e uma das posições extremas




79

O período T de uma oscilação é o intervalo de tempo depois do qual o movimento se repete identicamente.

A frequência f é o número de oscilações por unidade de tempo:

tnf = (7.1)

Entre a frequência e o período existe uma relação de inversa proporcionalidade:

Tf 1= (7.2)

7.1.1 Posição x(t) do Movimento Harmónico A posição X(t) do movimento harmónico é dada pela seguinte expressão :

)()( tASentX ω= (7.3)

Considerando que Tπω 2

= , a expressão (7.3) pode tomar a seguinte forma:

).2()( tT

ASentX π= (7.4)

Onde :

X(t) .é posição (em m)

A .. é a amplitude (em m)

ω .... é frequência cíclica (em rad/s)

t .......é o tempo (em s)




80

7.1.2 Velocidade v(t) do Movimento Harmónico

A velocidade em função do tempo no movimento harmónico é expressa através da seguinte

fórmula:

)()( tCosAtV ωϖ= (7.5)

A velocidade máxima, isto é, a velocidade com que o corpo passa pela posição de equilíbrio é

dada pela seguinte expressão:

ϖAVmáx = (7.6)

7.1.3 Aceleração a(t) do movimento harmónico

A aceleração do movimento harmónico é expressa pela seguinte expressão:

)()( 2 tSenAta ωϖ−= (7.7)

A aceleração máxima, isto é, a aceleração com que o corpo oscilante passa pela posição de

equilíbrio pode ser escrita da seguinte forma:

2ϖAamáx −= (7.8)

7.2 Força harmónica

Sobre o movimento harmónico actua uma força, a força harmónica, que é uma força dirigida

para a posição de equilíbrio. Esta força é directamente proporcional à distância do objecto até a

posição de equilíbrio, consequentemente, a força harmónica é tanto maior quanto maior for a

distância X até a posição de equilíbrio.

7.2.1 Função da força harmónica

Da segunda lei de Newton sabe-se que amF *= . Substituindo a expressão (7.7) na equação

(7.9) resulta:

)()( 2 tASenmtF ωϖ−= (7.9)




81

Substituindo (7.3) na expressão (7.9) obtém-se:

)()( 2 tXmtF ϖ−= (7.10)

O sinal negativo na equação indica o sentido da força harmónica:

• Quando X(t) é positiva, F(t) é negativa, o que quer dizer que nesta situação a força

aponta no sentido do eixo negativo.

• Quando X(t) é negativa, F(t) é negativa

Conclusão:

A força harmónica F(t) está sempre dirigida para a posição de equilíbrio

7.3 Aplicações

7.3.1 Oscilações numa mola

Suponha que um objecto é preso a uma mola que é esticada e comprimida. A mola exerce uma

força sobre o objecto. Esta força é proporcional ao deslocamento da mola a partir de sua

posição de equilíbrio e é no sentido oposto ao deslocamento:

XKF .−= (7.11)

Esta forma para a força é chamada lei de Hooke.

Fig. 7.4

Aplicando a segunda lei de Newton é possível estabelecer uma relação entre o período T, do

movimento, a massa, m, do corpo e a constante elástica, K, da mola:

.2KmT π= (7.12)




82

Analisando esta expressão vemos que:

Quanto maior for a massa do corpo, maior será o seu período de oscilações, isto é, um

corpo de maior massa oscila com menor frequência (oscila lentamente).

Quanto maior for a constante da mola (mola mais dura), menor será o período de

oscilação, maior será a frequência com que o corpo oscila.

O período não depende da amplitude.

7.3.2 O pêndulo simples (ou pêndulo matemático)

Um pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma partícula suspensa por um fio

inextensível e de massa desprezível.

Quando afastado da sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscilará, o movimento é

periódico e oscilatório, sendo assim, podemos determinar o período do movimento:

.2glT π= (7.13)

Esta expressão nos mostra que:

Quanto maior for o comprimento do pêndulo, maior será o seu período.

Quanto maior for o valor da aceleração de gravidade no local onde o pêndulo oscila,

menor será o seu período.

O período do pêndulo não depende nem da sua massa, nem da amplitude de oscilação

(desde que ela seja pequena).




83

Questionário e Exercícios:

1. Certo ou errado:

a) Todo movimento periódico é um movimento harmónico.

b) Todo o movimento harmónico é periódico

c) No movimento harmónico simples a aceleração é proporcional ao deslocamento e tem

sentido oposto.

2. Sendo dada a elongação de um Movimento Harmónico simples (MHS) X(t)=8Sen(πt),

determine:

a) A amplitude do movimento

b) A frequência do movimento

3. Demonstre que a constante K de um pêndulo matemático é igual a mg/l.

4. Suponha que um astronauta levasse um relógio de pêndulo para a lua:

a) O período do pêndulo aumentaria ou diminuiria?

b) E a frequência do pêndulo?

c) Então o relógio se adiantaria ou atrasaria?

d) Para acertar o relógio, o astronauta deveria aumentar ou diminuir o comprimento do

pêndulo?

5. Um corpo executa um MHS, preso à extremidade de uma mola. Diga se o tempo que corpo

gasta para efectuar uma vibração completa aumentará, diminuirá ou não sofrerá alteração,

em cada um dos seguintes casos:

a) O corpo é substituído por outro de massa menor;

b) A mola é substituída por uma outra mais macia;

c) O corpo é colocado em vibração com uma amplitude menor;

6. Determine o valor da aceleração de gravidade num lugar onde um pêndulo simples de

150cm de comprimento realiza 100 oscilações em 246s.

7. O período de um movimento harmónico é 6s. No instante t=0s o objecto oscilante passa

pela origem para cima.

a) Em que instante o desvio é igual a amplitude?

b) Em que instante o desvio é igual a metade da amplitude?




84

8. Um corpo oscila harmonicamente com uma frequência de 8Hz e uma amplitude de 2cm. No

instante t=0s ele passa pela origem para cima.

a) Escreva a equação de desvio em função do tempo.

b) Construa o gráfico x-t desse movimento.

9. Resolva o problema anterior mas no instante t=0 o corpo encontra-se no ponto mais baixo.

a) Construa o gráfico x-t desse movimento.

b) Construa o gráfico v-t desse movimento.

c) Construa o gráfico a-t desse movimento.

10. A equação ).4

()( tCostV ππ= mostra como varia a velocidade dum pêndulo simples em MHS

a) Calcule o comprimento do pêndulo.

b) Qual é o valor da elongação máxima do oscilador.

c) Escreva para este movimento a equação de elongação em função do tempo.

11. Um bloco de 40g está preso numa mola de k=16N/m em cima de uma mesa lisa. Põe-se o

bloco em movimento de tal maneira que ele oscila entre as posições 0cm e 6cm.

a) Qual seria o valor de x na posição de equilíbrio?

b) Determine a amplitude desse movimento.

c) Calcule a velocidade angular dessa oscilação.

d) Determine o valor da força harmónica para x=4cm. Qual é a direcção dessa força.

12. Um bloco de 50g está preso numa mola de k=10N/m em cima de uma mesa lisa. Põe-se o

bloco em movimento de tal maneira que ele oscila entre as posições de 4cm e 10cm.

a) Qual será o valor de x na posição de equilíbrio?

b) Determine a amplitude do movimento

c) Calcule o seu período.

13. O gráfico ao lado mostra como varia a elongação de um

corpo de massa 400g por uma mola suspenso por uma mola.

a) Calcule a constante elástica da mola.

b) Qual é a velocidade máxima que o corpo atinge?

c) Escreva a equação da velocidade em função do tempo para este movimento;




85

14. Um ponto material realiza um MHS de acordo com o gráfico (v-t).

Determine:

a) O período e a amplitude.

b) A equação de elongação em função do tempo.

15. Uma bola presa na extremidade dum fio oscila em torno

da posição de equilíbrio entre as posições indicadas na

figura. A massa do corpo é m=200g.

Sabendo que o corpo faz 30 oscilações por minuto, (dar a resposta em unidades do S.I)

a) Calcule a frequência da oscilação.

b) Escreva a equação do movimento do corpo em função do tempo sabendo que no instante

t=0s ele passa pela posição de equilíbrio para a direita. As grandezas conhecidas devem ser

substituídas.

c) Calcule a velocidade do corpo em t=0,4s

d) Calcule a força harmónica no mesmo instante. O corpo está no lado esquerdo ou direito da

posição de equilíbrio? Justifique.

16. Uma bola de massa igual a 400g presa numa extremidade de um fio de 1m de comprimento

encontra-se em oscilação, sendo a sua amplitude de 10cm. No instante t=0s ela passa pelo

ponto mais baixo para a direita.

a) Calcule o período do pêndulo

b) Calcule a distância até a origem no instante t=1,2s.

c) Calcule a velocidade máxima.

d) Calcule a velocidade no instante t=1,2s.

e) Calcule a força harmónica nesse instante.




86

8. Movimento Ondulatório

Índice

Introdução

8.1 Noção de Ondas.

8.2 Tipos de Onda e sua classificação

8.2.1 Origem ou natureza das Ondas

8.2.2 Direcção de propagação das Ondas

8.2.3 Direcção de vibração ou oscilação

8.2.4 Tipo de energia transmitida pela Onda

8.2.5 Ondas esféricas e Ondas planas

8.3 Propagação de Ondas

8.3.1 Propagação de uma Onda sinusoidal ao longo de uma corda

8.3.2 Ondas aperiódicas e periódicas

8.3.2.1 Características das Ondas

8.3.3 Princípio de superposição

8.4 Propriedades das Ondas


Introdução

O homem sempre sentiu fascínio e curiosidade pelas ondas do mar. No nosso mundo estamos

rodeados por ondas; ondas mecânicas, sonoras, luminosas, ondas de rádio, electromagnéticas,

etc. Na história da Física, grandes cientistas dedicaram-se ao estudo das ondas, entre eles:

Christian Huygens (1629-1695), Robert Hooke (1635-1703), Isaac Newton (1643-1727),

Guglielmo Marconi (1874-1937), Doppler (1803-1853). Graças às ondas é que existem muitas

das maravilhas do mundo moderno, como a televisão, a rádio, as telecomunicações via satélite,

o radar, o forno de microondas, entre outras.




87

8.1 Noção de Ondas.

Quando se deixa cair uma pedra na superfície da água, em repouso, nota-se no líquido, uma

formação sucessiva de círculos de raios cada vez maiores. Quando a pedra atinge a superfície

da água, esta sofre uma deformação brusca, que não fica localizada, mas que se vai

transmitindo a toda a superfície.

Colocando pequenos corpos flutuantes na superfície da água à distâncias diferentes da origem

da perturbação, verifica-se que ficam sujeitos a movimentos de subida e descida de pequena

amplitude. A propagação da perturbação constitui um movimento ondulatório. Portanto,

denomina-se onda o movimento causado por uma perturbação que se propaga através de um

meio. Uma onda transmite energia sem o transporte de matéria.

8.2 Tipos de Ondas e sua classificação:

As ondas podem ser classificadas de quatro modos:

• Sua origem ou natureza

• Direcção de propagação

• Direcção de vibração ou oscilação

• Tipo de energia transportada.

8.2.1 Origem ou natureza das Ondas:

Quanto à origem uma onda pode ser classificada em onda mecânica e onda electromagnética.

Ondas mecânicas: Ondas mecânicas são as ondas produzidas por uma perturbação num meio

material, como, por exemplo, uma onda na água, a vibração de uma corda de violão, a voz de

uma pessoa, etc.

Fig. 8.1

As Ondas mecânicas precisam de um meio material para se propagar (não se propagam no

vácuo). Exemplo: Ondas em cordas e ondas sonoras (som).




88

Ondas electromagnéticas: são geradas (produzidas) por variação de um campo eléctrico

(cargas eléctricas oscilantes) e um campo magnético, tais como as ondas de rádio, de televisão,

as microondas e outras mais; não necessitam de uma meio material para se propagar, podendo

se propagar no vácuo. Exemplos: Ondas de rádio, de televisão, de luz, raios X, raios laser,

ondas de radar etc.

Fig. 8.2

8.2.2 Direcção de propagação da Onda:

Uma outra classificação de onda é em relação à direcção de oscilação, comparada com a

direcção de propagação:

Unidimensionais: são aquelas que se propagam numa só direcção. Exemplo: Ondas em cordas.

Bidimensionais: são aquelas que se propagam num plano. Exemplo: Ondas na superfície de um

lago.

Tridimensionais: são aquelas que se propagam em todas as direcções. Exemplo: Ondas

sonoras no ar atmosférico ou em metais. 8.2.3 Direcção de vibração ou oscilação

Quanto a direcção de vibração ou oscilação as ondas podem ser:

Transversais: são aquelas cujas vibrações (oscilações) são perpendiculares à direcção de

propagação. Exemplo: Ondas em corda.

Fig. 8.3




89

Longitudinais: são aquelas cujas vibrações coincidem com a direcção de propagação.

Exemplos: Ondas sonoras, ondas em molas.

Fig. 8.4

Existem também as ondas mistas, como o som nos sólidos.

8.2.4 Tipo de energia transmitida pela Onda

Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, podemos classificá-la em ondas sonoras,

ondas luminosas, ondas térmicas, etc.

8.2.5 Ondas esféricas e Ondas planas

Chama-se superfície de uma onda a qualquer superfície de um meio elástico cujos pontos

entram em vibração num mesmo instante. Uma perturbação causada pelo impacto duma pedra

na água origina um movimento que se propaga pela superfície do lago como circunferências de

mesmo centro, afastando-se do ponto de impacto.

Fig. 8.5

Qualquer superfície que imaginemos num fluído, e que seja concêntrica da esféra-origem,

constitui uma superfície de onda. As ondas consideradas dizem-se ondas esféricas figura 8.5.

Chama-se raio de onda a qualquer linha normal à superfície de onda, em cada ponto. O raio da

Onda indica a direcção de propagação da mesma. Em regiões muito afastadas da origem da

perturbação, as superfícies de onda das Ondas esféricas podem considerar-se numa extensão

apreciável, como sendo planas. Diz-se então que as ondas propagadas são planas. Os raios de

Onda são linhas paralelas e, portanto, corresponde a estas Ondas uma única direcção de

propagação.




90

8.3 Propagação de Ondas

8.3.1 Propagação de uma Onda sinusoidal ao longo de uma corda

Considere uma corda de comprimento ℓ.

Fig. 8.6

Suponha que a mão de uma pessoa, agindo na extremidade livre da corda, realiza um

movimento vertical, periódico, de sobe-e-desce. Um movimento sinusoidal, rectilíneo, de

amplitude a e de período T passa a propagar-se horizontalmente com velocidade v. Cada ponto

da corda entrará em vibração com um atraso, em tempo τ, proporcional à distância que o separa

da origem.

Cada ponto da corda sobe e desce. Assim que o ponto A

começa seu movimento (quando O sobe), B inicia seu

movimento (quando O se encontra na posição inicial),

movendo-se para baixo. O ponto D inicia seu

movimento quando o ponto O descreve um ciclo

completo (subiu, baixou e voltou a subir e regressou à

posição inicial). Se continuarmos a movimentar o ponto

O, chegará o instante em que todos os pontos da corda

estarão em vibração.

Fig. 8.7

Seja A um ponto da corda situado à distância x da origem, quando A e O estão em repouso. Se

tomarmos como origem dos tempos o instante em que a origem, O¸ da perturbação começa

efectuar uma vibração, a elongação de O, no instante t, será dada por:

tT

aseny π20 = (8.1)

A perturbação sinusoidal originada em O, demora um intervalo de tempo vx

=τ para atingir o

ponto A. No instante t, a elongação de A será, por isso, igual à elongação do ponto O no instante

(t - τ), então podemos escrever:

)(2 τπ−= t

TAseny ou )(2

vxt

TAseny −=

π




91

Assim:

)(2vTx

TtAseny −= π (8.2)

Como nesta equação, a distância x tem um valor fixo para um dado ponto A, concluímos que ela

será a equação do movimento do ponto A e que, portanto, permitirá calcular os valores das

elongações desse ponto, no decorrer do tempo.

Como A é um ponto qualquer, concluímos também que qualquer ponto da corda executa um

movimento vibratório sinusoidal, de amplitude a e período T iguais aos da origem, com um

desfasamento de vT

xπ2 em relação a essa origem. Além disso a equação (8.2) permite conhecer

os valores das elongações de todos os pontos da corda, num determinado instante. Por todas as

razões apontadas à equação (8.2) designa-se por equação da Onda.

8.3.2 Ondas aperiódicas e periódicas

Ondas aperiódicas

Quando se desloca a extremidade de uma corda, nas condições da figura 8.7, cada ponto da

corda permanece em repouso até que a perturbação o atinja. À chegada da perturbação cada um

dos pontos inicia um movimento idêntico ao que se imprimiu à extremidade e volta novamente

ao repouso. Diz-se, neste caso, que se produziu um impulso ou uma onda única e que o

movimento ondulatório é aperiódico porque os diferentes pontos da corda não são perturbados

periodicamente.

Ondas periódicas

Considere uma pessoa executando um movimento vertical de sobe-e-desce na extremidade livre

da corda indicada na figura, em intervalos de tempo iguais.

Fig. 8.8

Se a pessoa continuar a agitar a extremidade da corda, num e noutro sentido, produz-se uma

sucessão de ondas que se designa por trem de ondas.




92

Se o movimento comunicado à extremidade da corda for periódico, então produz-se um trem de

ondas periódicas e cada ponto do meio (corda) executa um movimento periódico. No caso

particular de a origem constituir um oscilador harmónico simples diz-se que as ondas

propagadas no meio (corda neste caso) são ondas periódicas sinusoidais.

8.3.2.1 Características das Ondas

Características das ondas (Amplitude, velocidade, comprimento de onda, período e frequência)

A parte elevada (figura 8.8) denomina-se crista da onda e a cavidade entre duas cristas chama-

se vale.

Denomina-se período T o tempo necessário para que duas cristas consecutivas passem pelo

mesmo ponto.

Chama-se frequência f o número de cristas consecutivas que passam por um mesmo ponto, em

cada unidade de tempo. Entre T e f vale a relação:T

f 1= do capítulo anterior.

A distância entre duas cristas ou dois vales consecutivos é denominada comprimento de onda,

representada por λ, e a é a amplitude da onda.

Como um pulso se propaga com velocidade constante, vale a expressão s = vt.

Fazendo s = λ, temos t = T. Logo:

Tv.=λ ou seja f

v 1.=λ (8.3)

O comprimento de Onda é uma grandeza que caracteriza um dado movimento ondulatório. O

seu valor depende da frequência de perturbação e da natureza do meio que determina o valor da

velocidade de propagação da Onda. Podemos então escrever a equação (8.2):

)(2λ

π xTtAseny −= (8.4)




93

Exemplo 1:

O movimento de um oscilador harmónico simples é traduzido pela equação: y = a sen t, em que

A = 1,0cm. O comprimento de Onda resultante da propagação desse movimento num meio

elástico é de 10cm. Calcule no instante t = 62,8s, o valor da elongação de uma partícula que no

repouso, dista 20cm do oscilador.

Da equação (8.3) podemos resolver o problema.

Sendo )(2λ

π xTtAseny −= , e igualando a equação (8.2) com a lei de movimento do oscilador

e substituindo os dados teremos:

cmseny 0,0)10.110.2

14,3.28,62(180.210.1 1

12 =−= −

−− .

8.3.3 Princípio de Superposição

Quando duas ou mais ondas se propagam, simultaneamente, num mesmo meio, diz-se que há

uma superposição de ondas. Como exemplo, considere duas ondas propagando-se conforme

indica a figura.

Fig. 8.9

Supondo que as duas Ondas atinjam o ponto P no mesmo instante, elas causarão nesse ponto

uma perturbação que é igual à soma das perturbações que cada onda causaria se o tivesse

atingido individualmente, ou seja, a onda resultante é igual à soma algébrica das ondas que cada

uma produziria individualmente no ponto P, no instante considerado.

Após a superposição, as ondas continuam a propagar-se com as mesmas características que

tinham antes. Os efeitos são subtraídos (soma algébrica), podendo-se anular no caso de duas

propagações com deslocamento invertido.

Fig. 8.10




94

Em resumo:

• Quando ocorre o encontro de duas cristas, ambas levantam o meio naquele ponto; por isso

ele sobe muito mais (ondas progressivas).

• Quando dois vales se encontram eles tendem a baixar o meio naquele ponto (ondas

progressivas)

• Quando ocorre o encontro entre um vale e uma crista, um deles quer puxar o ponto para

baixo e o outro quer puxá-lo para cima. Se a amplitude das duas ondas for a mesma, não

ocorrerá deslocamento, pois eles se cancelam (amplitude zero) e o meio não sobe e nem

desce naquele ponto (ondas estacionárias).

Fig. 8.11a Fig. 8.11b

Ondas Estacionárias

Ondas estacionárias, são ondas resultantes da superposição de duas ondas de mesma

frequência, amplitude, comprimento de Onda, direcção e sentidos opostos.

Fig. 8.12

Em que: N = nós ou nodos e V= ventres.

Ao atingirem a extremidade fixa, elas se reflectem, retornando com sentido de deslocamento

contrário ao anterior. Dessa forma, as perturbações superpõem-se às outras que estão chegando

à parede, originando o fenómeno das ondas estacionárias.




95

Uma onda estacionária caracteriza-se pela amplitude variável de ponto para ponto, isto é, há

pontos da corda que não se movimentam (amplitude nula), chamados nós (ou nodos), e pontos

que vibram com amplitude máxima, chamados ventres. É evidente que, entre nós, os pontos da

corda vibram com a mesma frequência, mas com amplitudes diferentes.

Observe que:

Como os nós estão em repouso, não pode haver passagem de energia por eles, não havendo,

então, em uma corda estacionária o transporte é 2λ de energia.

A distância entre dois nós consecutivos vale 2λ .

A distância entre dois ventres consecutivos vale 2λ .

A distância entre um nó e um ventre consecutivo vale2λ .

Ondas progressivas

A equação (8.4) mostra que a cada valor de t corresponde uma função y = f(x) cuja

representação gráfica é um sinusóide. As sinusóides correspondentes aos vários valores de t têm

todas a mesma amplitude e o mesmo período e representam aspectos instantâneos de uma

mesma sinusóide que se desloca ao longo de um eixo OX, sem se deformar com a velocidade v.

Nestas condições diz-se que há uma propagação ao longo da corda de uma Onda transversal

progressiva. Exemplo de uma onda progressiva pode-se ver na figura 11.a

8.4 Propriedades das Ondas

Na propagação do som observam-se os fenómenos gerais da propagação ondulatória. Dada sua

natureza longitudinal, o som não pode ser polarizado; sofre, entretanto, os demais fenómenos, a

saber: difracção, reflexão, refracção, interferência e efeito Doppler.

Difracção

A difracção depende do comprimento de onda; é a propriedade que a onda apresenta em

contornar (teoria da ondulatória “no princípio de Huyghens”) os obstáculos que encontra

durante sua propagação. Como o comprimento de Onda das Ondas sonoras é bastante grande

(enorme, em relação ao comprimento de onda da luz), a difracção sonora é intensa.




96

Reflexão

Quando um pulso, propagando-se numa corda, atinge sua extremidade, pode retornar para o

meio em que estava se propagando. Esse fenómeno é denominado reflexão. A reflexão do som

obedece às leis da reflexão ondulatória nos meios materiais elásticos e suas consequências.

Refracção

Propagando-se numa corda de menor densidade, se um pulso passa para outra de maior

densidade, dizemos que sofreu uma refracção. A refracção do som obedece às leis da refracção

ondulatória, fenómeno que caracteriza o desvio sofrido pela frente de onda, que geralmente

ocorre, quando ela passa de um campo ondulatório (por exemplo, ar) a outro de elasticidade (ou

compressibilidade, para as ondas longitudinais) diferente (por exemplo, água).

Convém frisar que ao passar de um meio para outro (do ar para a água, no exemplo), a

característica do som que se mantém é a sua frequência; assim, tanto o comprimento de Onda

como sua velocidade de propagação são diferentes em cada campo ondulatório.

Efeito Doppler

O efeito Doppler é a consequência do movimento relativo entre o observador e a fonte sonora,

o que determina uma modificação aparente na altura do som recebido pelo observador.

Questionário

1. Explique a diferença entre uma onda transversal e uma onda longitudinal.

2. Qual é a relação matemática existente entre a velocidade de uma onda, sua frequência e seu

comprimento de onda?

3. Qual é a única coisa que uma onda pode transportar?

4. Ondas mecânicas podem ser do tipo transversal, longitudinal, ou mistas. Numa onda

transversal, as partículas do meio:

a) não se movem;

b) movem-se numa direcção perpendicular à direcção de propagação da onda;

c) movem-se nu realizam movimento rectilíneo uniforme ma direcção paralela à direcção de

propagação da onda;

d) nenhuma das alíneas anterior;




97

5. Considere uma pessoa batendo periodicamente em um ponto da superfície de um líquido.

Uma onda passa a se propagar nessa superfície. Portanto podemos afirmar que:

A. A velocidade de propagação da Onda na superfície de um líquido depende do meio. Assim,

em líquidos diferentes (água, óleo etc.) teremos velocidades de propagação diferentes.

B. A distância entre duas cristas sucessivas é o comprimento de onda λ.

C. A frequência (f) da onda é igual à frequência da fonte que deu origem à onda.

D. As grandezas v, f e λ estão relacionadas pela equação λ = v/f e, portanto, como v é

constante para um dado meio, quanto maior for f, menor será o valor de λ neste meio.

Assinale a alternativa correcta:

a) apenas as afirmativas A, B e D são correctas;

b) apenas as afirmativas A, e C são correctas;

c) apenas as afirmativas A, C e D são correctas;

d) apenas as afirmativas B e D são correctas;

e) se todas as afirmativas forem correctas;

6. Um rapaz e uma rapariga estão em lados opostos de uma lagoa de águas calmas. O rapaz,

querendo comunicar-se com a rapariga, coloca dentro de um frasco plástico um bilhete e,

tapa o frasco, coloca-o na água e dá-lhe uma pequena velocidade inicial. A seguir, o rapaz

pratica movimentos periódicos sobre a água, produzindo ondas que se propagam,

pretendendo com isso aumentar a velocidade do frasco em direcção à rapariga. Com

relação a esse facto podemos afirmar:

a) se o rapaz produzir ondas de grande amplitude, a garrafa chega à outra margem mais

rapidamente.

b) o tempo que a garrafa gasta para atravessar o lago dependerá de seu peso.

c) quanto maior a frequência das ondas, menor será o tempo de percurso até a outra margem.

d) a velocidade da garrafa não varia, porque o que se transporta é a perturbação e não o meio.

e) quanto menor o comprimento de onda, maior será o aumento na velocidade da garrafa.

7. Quando uma gota de chuva cai sobre uma poça de água, forma-se um pulso que se propaga

por sua superfície. Esse pulso é transversal ou longitudinal?




98

-0,2

0

0,2

0 20 40 60 80 100 X(m)

y(m

)

-0,20

0,2

0 5 10 15 20 25t(s)

y(m

)

Exercícios 1. A figura abaixo representa uma onda periódica propagando-se na água (a onda está

representada de perfil). A velocidade de propagação desta onda é de 40m/s, e cada

quadradinho possui 1m de lado.

Determine:

a) O comprimento de onda (λ) desta Onda.

b) A amplitude (A) desta onda.

c) A frequência (f) da onda.

d) O período (T) de oscilação do barquinho sobre a onda.

2. Uma onda desloca-se na superfície de um lago com velocidade de 0,3m/s. Sabendo que o

comprimento de onda é 0,6m, determine quantas vezes por segundo um pedaço de madeira

que flutua neste lago vai realizar um movimento de “sobe-desce”. Isso corresponde a

perguntar qual é a frequência deste movimento oscilatório, em hertz.

3. Os gráficos abaixo mostram a elongação de uma Onda que se propaga numa corda em função

do tempo e em função da posição. Determine a equação de Onda.

4. Do exercício anterior determine:

a) o comprimento de onda;

b) a velocidade e o período de propagação da Onda;

c) a frequência de propagação da Onda;




99

9. Equilíbrio de um Ponto Material

Índice

Introdução

9.1 Equilíbrio de um Ponto Material

Forças Concorrentes

9.2 Momento de uma Força

9.3 Equilíbrio de Rotação

9.4 Condições Gerais de Equilíbrio


Introdução

Nos capítulos anteriores consideramos algumas aplicações das leis de Newton, analisando e

discutindo o movimento de um corpo a partir das forças que actuam sobre ele. Neste capítulo

vamos falar sobre o equilíbrio. Um objecto diz-se que está em equilíbrio quando está em

repouso ou quando executa um movimento uniforme.

9.1 Forças concorrentes

Forças concorrentes são forças cujas linhas de acção têm um ponto comum de intersecção.

Chama-se linha de acção de uma força →

F a linha ao longo do qual actua o vector →

F .

Fig. 9.1

Na figura 9.1 temos um caso em que sobre um objecto actuam forças no mesmo ponto,

facilmente se pode determinar a resultante →

RF das forças como abordamos nos capítulos

anteriores.




100

9.2 Condições de equilíbrio de translação

Actuando sobre um objecto, forças concorrentes, isto é, as linhas de acção das forças

intersectam –se no mesmo ponto, as condições para se obter o equilíbrio são:

0== ∑ ixRX FF (9.1)

0== ∑ yxRY FF (9.2)

Se a resultante neste caso não for nula, o objecto executará um movimento de translação. Por

esta razão, as equações (9.1) e (9.2) são denominadas por condições de equilíbrio de

translação.

9.3 Momento de uma força

As condições (9.1) e (9.2) são válidas para o caso em que as forças actuam no mesmo ponto.

Vamos considerar agora o caso em que sobre um objecto actuam forças em pontos arbitrários:

A barra horizontal pode girar livremente em torno de um eixo

horizontal através do ponto O. A esta barra são aplicadas duas

forças →

1F e →

2F de módulos iguais e de sentidos contrários.

Além disso, sobre a barra actuam também a força de gravidade →

gF e a força de reacção (ou força normal) →

rF que se anulam

mutuamente. Figura 9.2

Verifica-se facilmente que a soma de todas as forças sobre a barra é zero, isto significa que a

barra está em equilíbrio de translação. No entanto, verifica-se também que sob mesmas

condições a barra adquire um movimento de rotação, tanto →

1F como →

2F causam uma rotação no

mesmo sentido. Por esta razão, introduzimos uma nova grandeza física que se chama momento

de uma força em relação a um certo ponto.

Definição:

Chama-se momento de uma força M em relação a um ponto O ao produto do módulo da força pelo braço da força. O braço da força (d) em relação ao ponto O é a distância perpendicular da linha de acção de F até O.

dFM *= (9.3)




101

A partir da definição, conclui-se facilmente que a unidade do momento S.I é N.m. Por

convenção tem-se:

Uma rotação horária é negativa e uma rotação anti-horária é positiva

9.4 Equilíbrio de rotação

9.4.1 Condição de equilíbrio de rotação

Um objecto encontra-se em equilíbrio de rotação quando a soma algébrica dos momentos das forças é zero: 0=∑ iM (9.4)

Isto quer dizer que a soma dos momentos no sentido horário, em relação a um eixo qualquer,

deve ser igual à soma dos momentos em sentido contrário em relação ao mesmo eixo.

Figura 9.3

Consideremos duas massas penduradas (Fig. 9.3). Os momentos 1M e 2M podem ser

calculados com base na equação (9.3):

1M =→

1F .d = -60.0,16 = -9,6Nm; 2M =→

2F .d = +80.0,12 = +9,6Nm

Os sinais (negativo e positivo) dependem dos sentidos (horário e anti-horário).

9.5 Condições gerais de equilíbrio

Para um objecto estar completamente em equilíbrio, isto é, tanto de translação como de rotação,

é necessário que se verifiquem as duas condições:

0== ∑ ixRX FF

0== ∑ yxRY FF (9.5)

0=∑ iM (9.6)




102

Nota:

No caso de translação, equilíbrio significa que o objecto está em repouso ou tem

velocidade constante.

No caso de rotação, equilíbrio significa que o objecto está em repouso ou tem

velocidade angular constante.

Vamos aplicar as condições (9.5) para resolver alguns exemplos.

Exemplo 1:

Uma tábua rígida de 3m, de peso desprezível, apoia-se pelas extremidades em duas balanças

conforme ilustra a figura. Um pequeno peso de 60N está sobre a tábua. Determine as leituras

das balanças.

Fig. 9.4a Fig. 9.4b

Resolução:

A figura 9.4b mostra o diagrama das forças sobre a tábua. A força EF é a que actua na

extremidade esquerda, provocada pela balança. Uma vez que a tábua exerce sobre a balança

uma força igual mas oposta, o módulo de EF é a leitura da balança esquerda. Da primeira

condição de equilíbrio (a força resultante deve ser nula) sabemos que EF + NFD 60= .

Teremos uma segunda relação entre EF e DF se analisarmos os momentos. Imaginemos que o

ponto de aplicação seja o “ponto fixo”, teremos então, dois momentos, um horário e o outro

anti-horário. Igualando os dois momentos tem-se ED FF 5,25,0 = resolvendo obtém–se

NFE 10= e NFD 50= .

Exemplo 2:

Uma barra homogénea de massa 2kg está suspensa em

duas cordas. A uma distância de 0,5m do ponto P (veja

a figura abaixo) suspende-se uma massa de 8kg. Calcule

as tensões nas cordas 1 e 2.

Fig. 9.5




103

Resolução:

Calculemos os momentos das forças em relação ao ponto P:

0=∑ iM → -80*0.5-20*1+ 2T *2 = 0 → 2T = 30 N

0=∑ iyF → 03020801 =+−−T → NT 701 =

Exemplo 3:

A massa do braço da balança da figura abaixo é de 2kg. A uma

distância de 20cm à esquerda do eixo O está suspensa uma massa

de 5kg:

a) A que distância se deve suspender uma massa de 7,5kg para

estabelecer equilíbrio

b) Calcule a força do eixo sobre o braço.

Resolução :

Sobre o braço actuam quatro forças, três para baixo e uma para cima, não existem forças na

direcção do eixo das abcissas.

Tomando em conta as condições de equilíbrio, temos:

0=∑ iyF → 0752050 =−−−eF → NFe 145=

0=∑ iM → +50*0.2-75*x= 0 → x =0,13 m

Exercícios

1. Certo ou errado:

a) Quando um objecto está em equilíbrio de translação, portanto quando 0=∑ xF e

0=∑ yF , necessariamente o objecto não pode fazer uma rotação.

b) Quando um objecto está em equilíbrio de rotação, portanto quando a soma dos momentos

for nula, necessariamente o objecto não pode fazer translação.

c) Quando a soma dos momentos, que actuam sobre um objecto, é igual a zero em relação a

certo ponto, essa soma será igual a zero em relação a qualquer outro ponto.




104

2. Uma esfera uniforme de massa m=15kg está presa entre dois planos lisos

(veja a figura ao lado), sendo AB vertical. Determine as forças que os

planos exercem sobre a esfera.

Indicação: No centro de gravidade actuam três forças em equilíbrio: a força de

gravidade e as duas forças normais dois planos

3. Uma barra está colocada em cima de dois postes. Sobre

as extremidades da barra actuam os pesos das massas

de 100kg e 50kg como mostra a figura ao lado. A massa

da barra é igual a 30kg. Calcule as forças dos postes

sobre a barra nos pontos A e B.

4. Uma escada de 5m, uniforme, pesa 12N e está apoiada

contra uma parede vertical, com atrito desprezível(figura

ao lado). O pé da escada está a 3m da parede. Qual é o

coeficiente de atrito mínimo entre a escada e o solo para

que não haja escorregamento?

5. A massa da barra é de 30 kg. Calcule a força que o

suporte S actua sobre a barra e a tensão na corda C.

6. Uma mesa tem um peso de 300N.

a) Qual é a força necessária para levantar um lado puxando

este para cima?

b) Qual é a força necessária para levantar um lado

empurrando o outro para baixo?

7. Uma barra uniforme horizontal de massa m = 60kg está

articulada no ponto A de uma parede vertical e sustentada

pelo fio BC. Determine a tensão no fio e a força →

F ,

exercida pela articulação A sobre a barra (o módulo, a

direcção e o sentido de →

F )




105

8. Tendo m um valor apropriado e encontrando-se no local certo, a barra está em equilíbrio. A

massa da barra é de 150g.

a) Mostre que a barra não está em equilíbrio sem a massa m.

b) Calcule m se x=50g.

c) Calcule a força sobre a barra no ponto S nesta nova situação.




106

10. Energia

Introdução

10.1 Trabalho de uma força constante

10.1.1 Trabalho da força resultante

10.2 Trabalho de uma força variável

10.3 Energia

10.3.1 Energia e a relação trabalho

10.3.2 Lei de conservação de energia

10.4 Trabalho e energia cinética

10.5 Potencia e rendimento

10.6 Energia potencial Gravitacional


Introdução

Energia é uma das ideias mais importantes em Física e também um termo muito usado na

nossa vida diária. Embora o termo “energia” se use todos os dias, ele tem um significado bem

preciso em Física, como veremos ao longo do estudo desta unidade temática.

Comecemos por tentar explicar o que queremos dizer quando usamos certas frases, por

exemplo, “estou cheio de energia” significa que nos sentimos em forma e capazes de fazer

muita coisa; de uma pessoa que está sempre activa e ocupada dizemos que é uma pessoa

enérgica; depois de um dia de trabalho duro ou mesmo de uma actividade física como, por

exemplo, um jogo de futebol, dizemos que estamos “sem energia”.

Na linguagem quotidiana, as palavras “força” e “energia” têm mais ou menos o mesmo

significado, entretanto, em Física é necessário distinguir estas noções. Na dinâmica, definimos

a força como sendo toda a causa capaz de modificar o estado de movimento ou de repouso de

um corpo, isto é, algo que causa aceleração. A questão agora é definir o conceito “energia”, esta

abordagem será feita ao longo desta unidade temática.




107

10.1 Trabalho de uma força constante

No caso especial de uma força constante que actua sobre uma partícula, definimos trabalho (W)

realizado por uma força F como o produto do deslocamento pela componente da força ao longo

da trajectória:

θCosdFW **= (10.1)

De (10.1) pode-se concluir que o trabalho é positivo se o movimento ocorre na mesma direcção

que a força e é negativo se a sua direcção é oposta. No sistema internacional (S.I), a unidade do

trabalho é o Joule (J) : 1J = 1. N.m

Observações :

Na definição de trabalho estão envolvidas duas grandezas vectoriais (força e deslocamento),

entretanto, na equação (10.1) estamos nos referindo apenas aos módulos dessas grandezas,

isto é, o trabalho é uma grandeza escalar.

Se uma força for aplicada a um corpo e este não sofrer um deslocamento (d=0) , o trabalho

dessa força é nulo.

Apesar de terem mesmas unidades mesmas expressões e sob certas condições, o trabalho

(W) e o momento (M) de uma força são noções completamente diferentes.

10.1.1 Trabalho da força resultante

Quando diversas forças actuam sobre uma partícula, podemos calcular o trabalho efectuado

isoladamente por cada uma delas com base na equação (10.1). O trabalho total ou líquido é, o

trabalho efectuado por todas as forças que agem sobre a partícula e é igual à soma algébrica dos

trabalhos efectuados pelas forças isoladamente. O trabalho líquido é igual ao trabalho efectuado

pela força resultante:

........321 +++= WWWWtotal (10.2)




108

10.2 Trabalho de uma força variável

Na maior parte das ilustrações a respeito das leis de

movimento, escolhemos circunstâncias em que, para

simplificar os problemas, as forças tinham módulo constante.

Quando as forças são constantes, as funções posição e

velocidade determinam-se pelas fórmulas de aceleração Fig. 10.1

constante, uma vez tenha sido determinada a aceleração pela segunda lei de Newton. Na

maioria das situações da Física, as forças não são constantes, dependem das posições das

partículas.

No caso de uma força variável, o trabalho realizado pela força numericamente, é igual à área

compreendida entre a curva que representa a força e o eixo entre as posições 1x e 2x . Fig. 10.1.

Para distender uma mola devemos exercer sobre ela uma força

XKF *= sendo K a constante elástica da mola: Fig. 10.2.

Calculando a área do triângulo da figura 10.2, achamos que o

trabalho realizado pela força sobre a mola é dado pela seguinte

expressão:

2**21 xkW = (10.3)

10.3 Energia

10.3.1 Energia e a relação com o trabalho

Um sistema tem energia se tiver a possibilidade de realizar trabalho. Por realizar trabalho positivo ele transfere a sua energia a outro sistema; por realizar trabalho negativo, um sistema retira energia do outro recebendo assim, essa energia.

Então, a quantidade de trabalho que um sistema pode realizar é a medida da energia que possui,

consequentemente, a energia é medida com as mesmas unidades com que se mede o trabalho,

isto é, no S.I a unidade da energia é o Joule.




109

10.3.2 Lei de conservação de energia

Na água de Cahora Bassa está armazenada energia bem como numa pilha ou numa bateria

energia eléctrica. Há muitas possibilidades para conservar energia. Mas uma vez que certa

forma de energia se transforma em calor (sempre que um objecto ou máquina se move uma

parte da sua energia cinética transforma-se em calor) é muito difícil, ou seja, impossível

conservar esta energia.

Além disso, é impossível transformar calor completamente numa outra forma de energia.

Portanto, apesar da lei de conservação de energia, existe um problema de energia no mundo

devido à “perda” de energia sob forma de calor.

Lei de conservação de energia

Em cada transferência ou transformação a energia total permanece constante.

10.4 Trabalho e energia cinética

Quando um corpo de uma massa m está se movendo com uma velocidade v, ele possui energia

cinética ( cE ) que é dada pela seguinte expressão:

2

2mvEc = (10.4)

Há uma relação importante entre o trabalho líquido efectuado sobre uma partícula e a

velocidade escalar da partícula nas posições inicial e final (veja a figura 10.3)

Figura 10.3

Procuremos calcular o trabalho total, ABW , realizado sobre o corpo, desde A até B. Este

trabalho, como vimos, é dado pelo trabalho da força resultante. Como a força resultante actua

no sentido do movimento (θ = 0) e desloca o corpo numa distância d, temos:

dFWAB *= (10.5)




110

Da segunda lei de Newton sabe-se que amF *= , onde “a” representa a aceleração adquirida

pelo corpo. Além disso, como o movimento é uniformemente acelerado, podemos relacionar

Av , Bv , a e d, com base na expressão advv AB 222 += (10.6) . Isolando d na expressão (10.6) e

substituindo na relação (10.5) resulta:

22

21

21* ABAB mvmvdFW −== (10.6)

Mas 2

21

Bmv representa a energia cinética do corpo ao chegar em B ( cBE ) e 2

21

Amv é a energia

cinética que ele possuía em A ( cAE ). Logo, o trabalho total realizado sobre o corpo é igual à

variação da energia cinética:

iniciocfimcc EEEW ,, −=∆= (10.7)

Exemplo1:

Um corpo, de massa m = 2,0kg passa por um ponto A com uma velocidade de 3,0 m/s.

a) Se a velocidade do corpo ao passar por um outro B, for 4,0m/s, qual foi o trabalho total

realizado sobre o corpo?

Resolução:

jmvE BcB 16521 2 == , jmvE AcA 9

21 2 ==

jjjEEEW iniciocfimcc 7916,, =−=−=∆=

10.5 Energia potencial

A energia potencial é a energia que um corpo possui devido à sua posição, isto é, a capacidade

que um corpo possui de realizar trabalho devido ao estado ou posição em que ele se encontra.

10.5.1 Energia potencial gravitacional (energia gravitacional)

Se um corpo de massa m encontra-se a uma altura h acima de um nível de referência , este

corpo possui energia potencial ( PE ), relativa a esse nível, expressa por :

mghEP = (10.8)

Onde g é a aceleração de gravidade.




111

10.5.2 Energia potencial elástica

É a energia que uma mola possui devido à tendência de recuperar sua posição primitiva depois

de uma deformação. Essa energia é expressa pelo semi-produto da constante k da mola pelo

quadrado da sua deformação:

2

21 kxEPel = (10.9)

9.5.3 Relação entre trabalho e energia potencial Gravitacional

Consideremos um corpo de massa m, inicialmente no ponto A, a m altura a

uma altura Ah acima de um nível de referência ( figura 10.4). Quando um

corpo se desloca de um ponto A para um outro B, o seu peso realiza um

trabalho que é igual à diferença entre as energias potenciais gravitacionais

deste corpo naqueles pontos, isto é:

PBPAAB EEW −= (10.10)

10.6 Conservação de energia

10.6.1 Forças conservativas e dissipativas

As forças cujo trabalho não depende do caminho são denominadas forças conservativas. São

alguns exemplos desse tipo de forças, a força de gravidade, a força elástica e a força eléctrica.

O trabalho realizado por uma força conservativa entre dois pontos A e B é sempre dado pela

seguinte expressão:

PBPAAB EEW −= (10.11)

As forças cujo trabalho depende do caminho são denominadas forças dissipativas ou forças não

conservativas. Um exemplo típico de força dissipativa é a força de atrito. Ao contrário das

forças conservativas, não existe uma energia potencial relacionada com uma força dissipativa.




112

10.6.2 Conservação de energia mecânica

Suponhamos que um corpo se desloca de uma posição A para B ao longo de uma trajectória

qualquer e que sobre ele actuam somente forças conservativas. O trabalho realizado por estas

forças, como já vimos, é dado pela expressão (10.11), sabemos também que quaisquer que

sejam as forças, o trabalho total realizado por elas é igual a variação da energia cinética

(equação 10.7). Igualando (10.7) e (10.11) resulta:

cBPBcAPA EEEE +=+ (10.12)

Conclusão:

Se apenas forças conservativas actuam sobre um corpo em movimento, a soma da energia cinética do corpo com a sua energia potencial permanece constante.

A soma da energia cinética de um corpo com sua energia potencial, num dado ponto, é

denominada energia mecânica.

10.7 Potência e rendimento

Como vimos, para o cálculo do trabalho de uma força não é necessário conhecer o tempo

decorrido na realização desse trabalho. Na vida prática, porém, o conhecimento desse tempo

pode ser importante pois, de maneira geral temos interesse em que um determinado trabalho

seja realizado em menor tempo possível. Para se medir a rapidez com que se realiza um certo

trabalho, define-se uma grandeza denominada potência (P):

A potência é a razão entre o trabalho realizado e o tempo gasto ao realizá-lo.

tWP∆∆

= (10.13)

No S.I a unidade da potência é o Watt, Watt = 1J/s .

O rendimento é razão entre o trabalho realizado ou energia útil pela energia fornecida:

100*fornecida

realizado

EW

=η % (10.14)




113

Exemplo 2:

Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade

inicial 0v . Determine a altura máxima atingida pela bola supondo que:

a) Não existe atrito

b) Actua uma força de atrito constante e que um processo dissipa uma

certa quantidade de calor Q.

Resolução:

a) Sem atrito

Podemos escrever: cBPBcAPA EEEE +=+

Considerando o nível de referência em A teremos:

0=PAE pois, para o ponto A, tem-se h=0

2

21

AcA mvE = onde m é massa do corpo

mghEPB = sendo h a altura de B em relação a A

0=cBE porque a velocidade do corpo é nula em B

Assim, cBPBcAPA EEEE +=+ ⇔ mghmvA =2

21

⇒ g

vh A

2

2

=

b) Com atrito: cBPBcAPA EQEEE ++=+

0=cBE , facilmente se chega ao resultado de que:mg

mvh

A2

21

=

Exemplo 3:

Um bloco de massa m =2kg está apoiado numa superfície

horizontal, encostado a uma mola de constante elástica

k=32N/m. A mola está comprimida de x =10cm e

mantida nesta situação por meio de um barbante amarrado

a ela. Queimando-se o barbante, a mola se distende,

empurrando o bloco. Qual é a velocidade com que o bloco abandona a mola?




114

Resolução:

A medida que a mola se distende, a energia potencial elástica do corpo vai diminuindo,

enquanto sua energia cinética aumenta. Pela conservação da energia mecânica vem:

cBPBcAPA EEEE +=+

Mas 2.21 XKEPA = , 0=cAE , 0=PBE e 2

21 mvEcB = , então, 22

21

21 mvKX = ,

Donde: smXmkv /4,0* ==

Questionário/Exercício

1. Certo ou errado:

a) Somente a força resultante que actua sobre um corpo é capaz de efectuar trabalho.

b) Nenhum trabalho pode ser realizado sobre uma partícula que permanece em repouso.

c) O trabalho é a área subentendida pela curva da força contra o tempo.

d) Uma força que é sempre perpendicular à velocidade de uma partícula não efectua trabalho

sobre a partícula.

e) O quilowatt-hora é uma unidade da potência.

f) Somente as forças conservativas podem efectuar trabalho.

g) A qualquer força está associada uma função energia potencial.

h) Quando somente actuam forças conservativas, a energia cinética de uma partícula não se

altera.

i) O trabalho efectuado por uma força conservativa diminui a energia potencial associada a

esta força.

j) Quando uma partícula efectua uma trajectória fechada, o trabalho total efectuado por uma

força conservativa qualquer é igual a zero.

2. Sob acção de uma força constante, um móvel de 49kg de massa adquiriu uma velocidade

de 40m/s ao fim de 25s. Calcule:

a) O trabalho da força.

b) A potência da força.




115

3. Um corpo que pesa 2N é lançado, verticalmente, de baixo para cima, com 0v =39,2m/s num

local onde a aceleração de gravidade é 210sm . Calcule :

a) A energia cinética ao fim de 5 segundos.

b) A energia potencial nesse instante.

c) O trabalho realizado pela gravidade entre o quinto e o sexto segundos.

4. Uma pedra, de massa igual a 2kg é abandonada ( 00 =v ) do

ponto A, caindo verticalmente, como mostra a figura deste

problema. Supondo que a resistência do ar não é desprezível

assinale, entre as afirmações seguintes, aquelas que são

correctas (considere 10=g m/s2):

A energia mecânica total, em A, é igual a 100 J.

a) A energia mecânica total, em B, é igual a 100J.

b) A energia potencial em B é igual a 40J

c) A energia cinética em B é igual a 60 J

d) A energia potencial perdida pela pedra, durante a queda, transforma-se integralmente em

energia cinética.

5. Dá-se um tiro contra uma porta. A bala de massa m = 20g, antes de atravessar a porta tinha

uma velocidade 1v = 800m/s. Logo após ter atravessado a porta sua velocidade passou a ser

de 2v = 200m/s.

a) Qual o trabalho da resultante das forças que agiram sobre a bala enquanto estava

atravessando a porta?

b) Qual é o valor da força resultante suposta constante? Considere a espessura da porta igual a

5cm.




116

6. Um menino, exercendo uma força F = 30N, está puxando

um carrinho, cujo peso é P = 50N, ao longo da rampa

mostrada na figura deste problema. Desprezando o atrito

entre o carro e a rampa e considerando o deslocamento

AB=4m, assinale entre as afirmações seguintes, as

verdadeiras e as falsas:

a) O trabalho realizado pela reacção norma é nulo.

b) O ângulo formado pela forca F com o deslocamento do carrinho é de o30 .

c) O trabalho realizado pela componente→

TP é de -100J.

d) O ângulo formado pela componente→

NP com o deslocamento do carrinho é de o90 .

e) O trabalho total realizado sobre o carrinho é de 20J.

7. Um corpo de peso igual a 800N desce num plano inclinado de o30 . A força de atrito vale

100N. Calcule o trabalho da resultante das forças que agem sobre o corpo se o

deslocamento sofrido pelo corpo é igual a 5cm.

8. Uma pequena esfera de massa m = 2kg, desliza sem

atrito ao longo do trilho ABCD mostrado na figura

deste problema. Em A, a energia cinética da esfera é de

10J e sua potencial vale 54J. Quais das afirmações

seguintes são correctas:

a) A energia cinética da esfera ao passar por B é de 64J.

b) A energia potencial da esfera em C vale 18J.

c) A energia cinética da esfera da esfera em C vale 46J.

d) A energia mecânica total da esfera em D vale 64J.

e) A velocidade da esfera em D é de 8m/s.




117

9. Uma pessoa lança um objecto para cima fazendo um

ângulo de o25 com a vertical. A bola escapa a mão com

uma velocidade inicial de 15,8m/s a uma altura de

1,20m (veja o ponto A da figura) e aterra num tecto no

ponto B, 12m acima do chão. A bola pára 1,9m depois

no ponto C. A massa da bola é 485g. Use 210 smg = .

Escolha o chão como referência da energia potencial.

a) Calcule a energia cinética e potencial da bola no ponto A.

b) E no ponto C.

c) Para a bola, escreva a equação da conservação de energia comparando as energias

mecânicas dos pontos A e C.

d) Calcule a energia dissipada para o ambiente neste lançamento de A para C.

10. Um objecto de massa m = 2kg está inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal. O

coeficiente de atrito cinético entre o objecto e a mesa é 0,40. O objecto é impulsionado

sobre a mesa a uma distância de 3m por uma força aplicada horizontal de 10N. Determine:

a) O trabalho efectuado pela força aplicada.

b) O trabalho efectuado pelo atrito.

c) A variação da energia cinética do objecto..

d) A velocidade do objecto depois de cobrir a distância de 3m.

11. Um fazendeiro possui nas suas terras uma pequena queda de água, cuja altura é de 10m,

tendo verificado que nesta cachoeira, caem 36m de água em 2 minutos.

a) Qual é a energia potencial que 36m de água possuem quando situados no alto da cachoeira?

b) Qual é o trabalho que esta massa de 36m é capaz de realizar ao chegar à base da cachoeira?

c) O fazendeiro necessita de uma potência de 7KW para a instalação eléctrica da fazenda.

d) Uma hidroeléctrica, instalada nesta cachoeira, resolveria as necessidades do fazendeiro?




118

11. Quantidade de Movimento - Colisões

Introdução

11.1 Impulso e Quantidade de Movimento

11.2 Lei de Conservação de Quantidade de Movimento

11.3 Forças Impulsivas - Colisões

Questionário e exercícios

Introdução

Neste capitulo introduzem-se dois conceitos novos: impulso e quantidade de movimento. Estes

conceitos permitem-nos descrever a segunda lei de Newton de um outro ponto de vista. Além

disso, ser-se-á capaz de encontrar a lei de conservação de quantidade de movimento. Esta lei é

útil para a descrição do colisões ou, mais em geral, de situações nas quais só forças mútuas

actuam dentro de um sistema de objectos.

11.1 Impulso e Quantidade de Movimento

Quando um jogador de futebol cobra uma penalidade ou quando um tenista, usando sua

raquete, rebate a bola, em ambos os casos temos uma força actuando durante um curto intervalo

de tempo sobre a bola, o que faz com que ela seja impulsionada. De um modo geral, sempre

que uma força actuar em um corpo durante um certo intervalo de tempo, diz-se que recebeu um

impulso. Para o caso de uma força F constante, actuando durante um intervalo de tempo t∆ ,

define-se o impulso I , exercido pela força, através da expressão:

tFI ∆= . (11.1)

Veja que I é um vector que tem a mesma direcção e sentido de F como mostra a figura 11.1.

Pela expressão 11.1 vemos que, no sistema internacional (S.I.) a unidade do impulso é [N.s].

Fig. 11.1a e 11.1b




119

Quantidade de movimento

A figura 11.2 mostra um carrinho, com um propulsor, que exerce uma força F constante sobre

ele. No instante t=0 o carro já tem uma velocidade inicial iv . Qual é a velocidade final fv , se

F actuar durante o intervalo de tempo t∆ ?

Fig. 11.2

Sendo constante a aceleração, é válido: tav ∆=∆ . . Segundo a 2a lei de Newton: mFa = ,

portanto tmFv ∆=∆ . e daí: tFvm ∆=∆ .. . Como foi visto anteriormente o produto tF ∆. chama-

se impulso.

O termo vm ∆. pode-se interpretar e definir da seguinte maneira: if vvv ∆−∆=∆ , e pode-se

escrever: if vmvmvm ... −=∆ . Ao produto vm∆. chama-se quantidade de movimento p .

Definindo assim o produto pvm ∆=∆. , nota-se claramente que é a variação p∆ da quantidade

de movimento.

Relação entre impulso e quantidade de movimento

O impulso é igual a variação da quantidade de movimento

if vmvmpvmtFI ..).(. −=∆=∆=∆= (11.2)

A unidade de quantidade de movimento é [kg.m/s].

A equação 11.2 expressa mais em geral a 2a lei de Newton:

tp

tvmF

∆∆

=∆

∆=

).( (11.3)

t∆ mais tarde 0=t

F Fiv fv




120

Sendo m constante, o que é quase sempre o caso, (10.3) reduz-se em:

amtvmF .. =

∆∆

= (11.4)

Entretanto, se m não for constante, por exemplo a massa de um foguetão, expelindo grandes

quantidades de gases para trás, é necessário aplicar as expressões (11.2) ou (11.3).

Quantidade de movimento vmp = tem dois aspectos que a determinam: a velocidade e a

massa do objecto. Por exemplo, a quantidade de movimento de um carro carregado,

andando com certa velocidade, é maior do que a de um que anda com mesma velocidade e

que esteja vazio. Para diminuir a quantidade de movimento até zero numa situação perigosa

(isto é, para parar), o carro carregado precisará de mais tempo em ralação ao carro vazio.

A expressão ).21( 2vmEW c ∆=∆= usa−se para calcular a velocidade, se for conhecida a

força, que actua sobre o objecto e o deslocamento. Tanto w como cE são grandezas

escalares, portanto as direcções de F e v não importam. A expressão pI ∆= pode-se usar

para calcular a mudança de velocidade no caso em que a força e o intervalo de tempo são

conhecidos. Entretanto, I e p são grandezas vectoriais.

Exemplo 1:

O carrinho descrito na derivação das equações (11.2) e (11.3) tem uma massa de 0,80kg e uma

velocidade inicial de 4,0m/s. Durante 2,0s actua sobre ele uma força de 8,0N no mesmo sentido

que a velocidade inicial. Calcule a velocidade do carrinho depois do intervalo de tempo em que

actua a força, desprezando o atrito.

Apliquemos (11.2): if vmvmtF ... −=∆ , então, smm

vmtFv if /24

8,00,4*8,00,2*0,8..=

+=

+= .




121

Exemplo 2:

O mesmo problema que no exemplo 1. Agora consideremos a força de atrito não desprezável e

igual a 2,0N. Calcule de novo a velocidade do carrinho depois de 2,0s.

É de salientar que a força nas equações (11.2) e (11.3) deve ser sempre a força resultante de

todas as forças que actuam no sistema.

Aqui a força resultante é: NFR 0,60,20,8 =−= , daí que:

smm

vmtFv if /19

8,00,4*8,00,2*0,6..=

+=

+= .

Exemplo 3:

Uma bola de 220g de massa tem uma velocidade de 0,40m/s para a esquerda. Colidindo com a

parede a velocidade num certo instante torna-se zero. Em seguida a bola volta à direita com

uma velocidade de 0,30m/s. Qual é a variação da quantidade de movimento p∆ ?

Sabe-se que 12 .. vmvmp −=∆ . Se escolhermos 2v positivo, por conseguinte 1v é negativo.

Portanto: skgmp /154,0)4,0(220,03,0*220,0 =−−=∆ . Tomando o aspecto vectorial a

variação da velocidade é de 0,70m/s.

Exemplo 4:

11.3a 11.3b

Uma bola de ténis tem uma velocidade iv de 30m/s. Um tenista muda a velocidade em 50m/s,

como mostra a figura 11.3a.

a) Qual é o impulso (ou variação de quantidade de movimento) da bola, sendo a massa da bola

de 110g?

skgmpi /3,330*11,0 == ; skgmp f /5,550*110,0 == ;

smvi /30=

smv f /50=

skgmp i /3,3=

skgmp f /5,5= if pppI −=∆=




122

A figura 11.3b em forma de triângulo mostra os vectores ip , fp e p∆ , com ppp if ∆+= .

Usando o teorema de Pitágoras, obtemos: skgmp /4,6)5,5()3,3( 22 =+=∆ .

b) Qual é o sentido da força da raqueta?

Como tFI ∆= * , sendo t∆ o intervalo de tempo de contacto entre a bola e a raqueta, a força

F tem o mesmo sentido que I . O ângulo α, que faz a direcção de F com a linha horizontal,

podemos calcular com o auxílio de αtan : 05967,1arctan67,13,35,5tan ==→=== αα

i

f

pp

.

c) Sendo o tempo de contacto st 10,0=∆ , calcule a força da raqueta sobre a bola.

tFI ∆= * , em que NspI 4,6=∆= . Portanto, NF 64= .

11.2 Lei de conservação de quantidade de movimento

Na secção anterior formulamos a 2a lei de Newton com auxílio das grandezas impulso e

quantidade de movimento. Nesta secção encontraremos uma Lei importante, baseada na 3a lei

de Newton, que diz, como já sabe:

Quando o objecto A exerce uma força ABF sobre B, B exerce uma força BAF sobre A, de

módulo igual e de sentido contrário. Ou seja BAAB FF −= .

Sendo t∆ o intervalo de tempo, durante o qual as forças actuam mutuamente, por exemplo

durante uma colisão, é válido a partir da igualdade acima:

tFtF BAAB ∆−=∆ .. , com BAB ptF ∆=∆. e AAB ptF ∆=∆. , obtemos:

AB pp ∆−=∆ ou ).().( AABB vmvm ∆−=∆ (11.5)

A expressão (11.5) significa:

Quando A e B exercem só forças mútuas entre si, as quantidades de movimento de A e B varia

de tal maneira que o ganho de quantidade de movimento de A é exactamente igual à perda de

B ou vice-versa.

Representando a quantidade de movimento total, BA pp + , por totp , pode-se formular a Lei de

conservação de quantidade de movimento de um movimento do seguinte modo:




123

Lei de conservação de quantidade de movimento:

Se actuarem só forças mútuas entre dois objectos A e B, a quantidade de movimento total permanece constante:

teconspp BA tan=+ ou depoistotantestot pp ,, = (11.6)

O mesmo raciocínio pode ser aplicado a um sistema de mais partículas. Sob a condição que só

actuarem forças mútuas entre as partículas de um sistema, é válido que:

permanecepppptot ...321 +++= tecons tan .

Forças Internas e Externas

As forças que actuam num sistema de partículas podem ser

classificadas em forças internas e forças externas. Se uma partícula do

sistema exercer uma força em outra partícula que também pertence ao

sistema, esta força será uma força interna. Por outro lado, se a força que

actua numa partícula do sistema for exercida por um agente que não

pertence ao sistema, ela será uma força externa. Fig. 11.4

Por exemplo podemos considerar duas bolas de bilhar como um sistema.

Colidindo as bolas, as forças mútuas durante colisão são forças internas. A força de atrito se no

caso existir, actuando sobre as bolas, é uma for externa, de como a força de gravidade e a força

normal sobre as bolas.

Usando estes termos pode-se formular a lei de conservação de quantidade de movimento da

seguinte maneira:

Lei de conservação de quantidade de movimento:

Se a resultante das forças externas, que actuam num sistema de partículas, for nula, a quantidade de movimento total do sistema teconspppptot tan...321 =+++=

No exemplo das bolas de bilhar isto significa que, sendo desprezável a força de atrito, somente

há troca de quantidade de movimento das bolas durante uma colisão.




124

Como já foi dito, a força de gravidade e a força normal sobre as bolas são forças externas. No

entanto, estas forças anulam-se num plano horizontal e por isso não têm influência à quantidade

de movimento total das bolas. Por outro lado, se não for desprezável a força de atrito, a

quantidade total de movimento das bolas vai diminuindo, devido a esta força externa

retardadora.

Um outro exemplo:

Um objecto qualquer tem um sistema de moléculas que exercem forças internas sobre si. Cada

molécula tem uma quantidade de movimento que se altera continuamente. A soma vectorial das

quantidades de movimento das moléculas individuais fornece a quantidade do movimento total

do objecto: vmp .= . Sendo nula a resultante das forças externas, vm. permanece constante, o

que não é nada mais que a 1a lei de Newton. Por outro lado, se uma força externa, por exemplo

a força de gravidade actuar sobre o objecto, este vai se a acelerar, portanto a quantidade de

movimento total deste sistema vai aumentar.

11.3 Forças Impulsivas - Colisões

Forças Impulsivas

Quando uma bomba explode ou quando dois automóveis colidem e em várias outras situações

semelhantes, aparecem, entre os corpos, forças muito grandes mas que actuam durante um

intervalo de tempo muito curto.

Considerando dois objectos que colidem como um sistema, as forças mútuas são forças internas

dentro deste sistema. Como as forças internas provocam grandes variações nas velocidades dos

objectos que colidem em intervalos de tempo muito pequenos, ou seja, provocam acelerações

apreciáveis, estas forças internas são grande. Por esta razão chama-se forças impulsivas.

Em situações, nas quais não existem forças externas ou a resultante das forças externas é nula,

por exemplo, dois objectos colidindo num plano horizontal liso, a consequência é que a

quantidade de movimento total dos dois objectos permanece constante.

Entretanto, mesmo que existam forças externas, é permitido postular que a quantidade de

movimento de um sistema, imediatamente antes e imediatamente depois de qualquer colisão,

pode ser considerada como sendo inalterada. A razão é que o impulso das forças externas é

muito pequeno em relação aos das forças impulsivas, sendo o intervalo de tempo da colisão

muito pequeno.




125

Então, a lei de conservação de quantidade de movimento no caso de colisão ou explosões,

formula-se da seguinte maneira:

No caso de uma colisão ou de uma explosão, a quantidade de movimento total do sistema, imediatamente antes do acontecimento é igual à quantidade de movimento total do sistema imediatamente após o acontecimento:

depoistotantestot pp ,, = (11.7)

Exemplo 5:

Um canhão de 1,0.103kg de massa lança uma granada, de massa m=2,0kg, com uma velocidade

inicial de 800m/s. Qual é a velocidade é a velocidade com que o canhão se move para trás?

Antes do lançamento o sistema “canhão e granada” tem uma quantidade de movimento

total igual a zero: 0, =antestotp .

Depois do lançamento a granada possui uma quantidade de movimento:

skgpg /10.6,1800*2 3== e o canhão: vpc .1000= . Portanto:

0.100016000.10001600 ,, =+⇒==+= vpvp antestotapostot logo smv /6,1−=

Em geral: se objectos estiverem inicialmente em repouso e se repelirem, a quantidade de

movimento permanece zero.

Colisões directas e Obliquas

Quando dois corpos colidem, por exemplo, no choque entre duas bolas de bilhar, pode

acontecer que a direcção do movimento dos corpos não seja alterada pelo choque, isto é, eles se

movimentam sobre uma mesma recta antes e depois da colisão. Quando isto acontece diz-se

que ocorreu uma colisão directa, ou uma colisão central, ou, ainda, que houve um choque

unidimensional.

Por outro lado, pode ocorrer que os corpos se movimentem em direcções diferentes, antes ou

depois da colisão. Neste caso, a colisão é denominada colisão obliqua.




126

Colisões elásticas e inelástica

Considere a colisão representada na figura abaixo. Suponha que as energias cinéticas dos

corpos, antes da colisão, sejam JECA 8= e JECB 4= e que, após o choque passaram a ser:

JECA 5' = e JECB 7' = . Observe que antes da colisão, a energia cinética total do sistema era

JJJEE CBCA =+=+ 48

Calculando-se a energia cinética dos sistema após a colisão,

verificamos que JJJEE CBCA 1275'' =+=+ .

Fig. 11.3

Portanto, nesta colisão, a energia cinética total tem o mesmo valor antes e depois do choque,

isto é, a energia cinética do sistema se conservou. Sempre que isto ocorre diz-se que é uma

colisão elástica.

De modo geral o choque é elástico quando os corpos que colidem não sofrem deformações

permanentes durante a colisão. Duas bolas de bilhar por exemplo, realizam colisões que

podem ser consideradas elásticas.

No caso contrário, se os corpos apresentarem deformações permanentes em virtude da colisão,

ou se houver produção de calor durante o choque, verificamos que haverá uma redução no valor

da energia cinética do sistema, pois parte desta energia cinética foi utilizada para produzir

deformações ou foi transformada em calor. Sempre que os valores da energia cinética do

sistema, antes e depois da colisão, forem diferentes, diz-se que a colisão é inelástica.

Um caso particular de colisão inelástica ocorre quando os corpos, após o choque, passam a ter

velocidades iguais. Isto ocorre, por exemplo, quando dois automóveis colidem e movem-se

colados após o choque. Neste caso verifica-se a maior redução possível no valor da energia

cinética do sistema. Por isso, esta colisão é denominada completamente inelástica.




127

Exemplo 6:

Dois carrinhos deslocam-se um de encontro ao

outro. Uma agulha presa no carrinho A faz com que

os dois andem ligados por diante depois da colisão.

a) Calcule a velocidade com que os dois andam

juntamente por diante.

vvmmvmvmpp BABBAAdepoistotantestot ).2,05,0(10.2,07.5,0).(..,, +=−⇒+=−⇔=

(Somar vectorialmente antestotBA ppp ,=+ significa aqui que Ap é positivo e Bp é negativo!).

Donde: smv /1,2= .

O sinal positivo de v significa que o sistema dos dois carrinhos move-se para a direita.

b) Calcule a perda de energia cinética durante a colisão.

JvmvmE BBAAantesc 2210.2,0.217.5,0.

21.

21.

21 2222

, =+=+=

JvmmE BAaposc 5,1)1,2.(7,0.21).(

21 22

, ==+=

Portanto. A perda de energia cinética é igual: J5,205,122 =−

Durante a penetração da agulha no carrinho B, esta energia cinética transformou-se em calor.

Exemplo 7:

Dois objectos deslocam-se como está indicado na figura abaixo. No ponto 0 realiza-se uma

colisão completamente inelástica, portanto os dois objectos movimentam-se juntamente depois

da colisão.

a) Determine a velocidade (módulo e sentido) deste objecto.

Fig. 11.4

smvB /2=

smva /3= A 2,0Kg

B 4,0Kg

α

totp

skgmp A /0,6=

skgmpB /0,8=




128

Antes da colisão a quantidade de movimento total BAantestot ppp +=, . A figura 11.4 mostra

como determinar a quantidade de movimento total graficamente. Analiticamente determina-se a

quantidade total de movimento:

skgmppp BAantestot /1086 2222, =+=+= ; como sempre é válido: apostotantestot pp ,, = , assim:

skgmp antestot /10, = e vvmmp BAapostot .6).(, =+= , logo: smv /7,16

10== e:

05333,13,168tan =→==== αα

A

B

pp

b) Calcule a perda de energia cinética durante a colisão:

JvmvmE BBAAantesC 17..21..

21 22

, =+= , e JvmmE BAaposC 7,8)..(21 2

, =+= , portanto a perda de

energia cinética é igual a: JE perdidaC 3,87,817, =−= . Esta energia transformou-se em calor

devido à deformação dos objectos A e B durante a colisão.

Repare bem:

Independentemente do tipo de colisão sempre é válido que a quantidade de movimento total

dos objectos se mantém constante. Somente nas colisões elásticas é válido que a energia

cinética total se mantém constante.

Exemplo 8:

Uma bola de 2,0kg de massa com uma velocidade de 3,0m/s colide elásticamente com uma bola

de 1,0kg de massa que está em repouso. A colisão é central. Calcule as velocidades 1v e 2v

após a colisão.

Além de: apostotantestot pp ,, = (1)

também é válido: ∑∑ = aposCantesC EE ,, , logo: (2)

21.203*2 vv +=+ ou 21.26 vv += (1)

22

21

2 .21.2.

2103.2.

21 vv +=+ ou 2

221.218 vv += (2)

como se pode ver é um sistema de duas equações com duas incógnitas. Substituindo:

12 .26 vv −= em (2), obtém-se: 21

21 ).26(.218 vv −+= , dai: 018.24.6 1

21 =+− vv ,

donde: 03.4 121 =+− vv , dai: 0)1)(3( 11 =−− vv ;




129

logo substituindo na equação (1):

smv /0,31 = e smv /0,11 =

smv /0,02 = e smv /0,42 =

A solução smv /0,31 = e smv /0,02 = é lógica: sem colisão totp e totalCE , permanece também

constante. Portanto após a colisão as velocidades são smv /0,11 = e smv /0,42 = , verifica-se

facilmente que estas velocidades cumprem as equações (1) e (2).

Exemplo 9:

Um carro L com uma velocidade de 20m/s, colide frontalmente com um carro R do mesmo

tipo, que está estacionado. Durante o choque os carros amolgam-se, para depois continuarem o

caminho conjuntamente até o repouso. Durante o choque, ao amolgarem-se mutuamente, a

lanterna traseira do carro R desloca-se 0,50m.

a) Quanto é que se encurtaram os carros devido ao choque?

b) Qual é o carro que tem a maior avaria depois do choque?

Os dois carros colidem completa e inelásticamente. Aplicando o princípio de conservação de

quantidade de movimento, encontra-se a velocidade comum depois da colisão. smv /0,10= .

Durante a colisão, isto é, até atingir a velocidade comum, a velocidade do carro L diminui de

20m/s até 10m/s, portanto a sua velocidade média neste período é de (20+10)/2=15m/s. No

mesmo intervalo de tempo a velocidade do carro R aumente de 0m/s até 10m/s, portanto, a sua

velocidade média é de 5m/s.

A lanterna traseira do carro R desloca-se 0,50m durante a sua deformação. O carro L tem neste

período uma velocidade média 3 vezes maior, portanto, desloca-se 1,5m. Isto significa que “se

perdeu” 1,5-0,5=1,0m. Portanto, os carros encurtam-se 1,0m.

Que carro tem a maior avaria?

Durante a colisão a força de L sobre R é igual à de R sobre L (3a lei de Newton). Como os

carros são idênticos, também as avarias provocadas devem ser iguais. Com diferentes carros

não é fácil prever que carro sofrerá a maior avaria; depende tanto da massa como da construção

dos carros.




130

Questionário

1. Mostre que as unidades N.s e kgm/s são equivalentes;

2. Atirando um pedaço de argila contra parede, “desaparece” quantidade de movimento.

Comente esta afirmação.

3. Quando é que a lei de conservação de quantidade de movimento é válida e quando é que se

conserva a energia cinética de dois objectos que colidem?

4. Porquê se pode aplicar a lei de conservação de quantidade de movimento, logo antes e depois

da colisão, à colisão de dois carros, mesmo quando existem forças externas como, por

exemplo, o atrito.

5. Considere um sistema constituído pela Terra e a Lua. Diga se cada uma das forças seguintes é

uma força externa.

a. força da Terra sobre a Lua;

b. força do Sol sobre a Terra;

c. força do Sol sobre a Lua;

d. força da Lua sobre a Terra;

Exercícios

1. Um foguete na plataforma de lançamento possui uma massa total (incluindo o combustível)

de 4.103kg. Processando-se a combustão, o foguete expele rapidamente 800kg de gás, com

uma velocidade de 2,0.103m/s. Determine a velocidade adquirida pelo foguete após expulsar

esta massa de gás.

2. Um camião de brinquedo, cuja massa é m1=3,5kg, está se deslocando com uma velocidade

smv /20,01 = sobre uma superfície horizontal lisa. Um menino arremessa, sobre a carroceria

do camião, um tijolo de massa m2=0,50kg, com uma velocidade horizontal smv /0,52 = .

Logo após o impacto, o camião e o tijolo (dentro da carroceria) passam a deslocar-se juntos,

com velocidade v . Considerando o sistema camião+tijolo indique, entre as afirmativas

seguintes, aquelas que estão correctas:

a. A colisão do tijolo com o camião é uma colisão elástica;

b. A quantidade de movimento do sistema, imediatamente antes da colisão era 3,2kgm/s;

c. A quantidade de movimento do sistema, logo depois da colisão, é menor que antes da colisão;

d. A energia cinética do sistema, logo após a colisão, é menor do que antes da colisão;




131

e. A velocidade do camião deve diminuir, porque a sua massa aumentou;

f. A velocidade do sistema, logo após a colisão, é smv /80,0= .

3. Dois automóveis, de massa m1=2,0t e m2=1,0t deslocam-se ao longo de duas ruas

perpendiculares, com velocidades smv /201 = e smv /302 = . Na esquina destas ruas eles

colidem e passam a mover-se juntos após a colisão.

a) Calcule em unidade de S.I., a quantidade de movimento total dos dois carros antes do choque.

b) Qual é o valor da velocidade comum dos dois carros após a colisão?

4. Uma granada, de massa m=1,0kg, é lançada verticalmente para cima e explode no ponto mais

alto, fragmentando-se em três pedaços. Imediatamente após a explosão, o primeiro fragmento

cuja massa é de 0,20kg, move-se verticalmente para cima com velocidade de 100m/s. O

segundo fragmento, cuja massa é 0,70kg, move-se verticalmente para baixo com velocidade

de 10m/s.

a) Qual é o módulo, a direcção e o sentido da velocidade do terceiro fragmento?

b) Determine a energia libertada na explosão da granada.

5. Uma granada de massa igual a 10kg, é lançada

verticalmente para cima e explode no ponto mais alto,

fragmentando-se em três pedaços. A figura deste

problema mostra de que maneira afastam-se dois dos três

pedaços logo depois da explosão.

a) Calcule a velocidade do terceiro pedaço (o módulo e o sentido), logo depois da explosão.

b) Calcule a energia libertada na explosão.

6. Pêndulo balístico.

Para determinar a velocidade duma bala de revólver, pode-se

fazer a experiência seguinte. Considere uma bala m, disparada

com velocidade v , cujo valor desejamos medir. Fazendo a bala

incidir contra um bloco de madeira, massa M, suspenso por um

fio, a bala se engata no bloco e o conjunto sobe até uma altura h.

Veja a figura deste problema. Supondo que, em uma experiência,

na qual m=8,0g e M=2,0kg, tenha-se observado que h=20cm.

1,0kg 100m/s

300

4,0kg 50m/s




132

a) Sendo v a velocidade do conjunto da bala+bloco logo após a colisão, expresse v em função

de V .

b) Lembrando-se que a energia cinética, com que o conjunto parte após a colisão, transforma-se

em energia potencial, calcule o valor de V .

c) Determine a velocidade de v , com que a bala foi disparada

7. Um rapaz cuja massa é igual a 40kg, corre a uma velocidade de 6,0m/s atrás de um carrinho

de 50kg de massa que tem uma velocidade igual a 3,0m/s. Determine a velocidade do

carrinho depois de o rapaz saltar em cima dele.

8. Duas bolas A e B colidem central e elasticamente, como a figura deste problema mostra. A

massa de A é igual à massa de B. Calcule as velocidades Av e Bv e os sentidos das bolas

depois da colisão.

B 2,0m/s A 4,0m/s




133

Exercícios Complementares

1. Um motorista percorre uma distância de 80km a uma velocidade constante de 20km/h e, em

seguida percorre uma distância de 160km a uma velocidade constante de 80km/h. Determine

a velocidade média do motorista.

2. A figura abaixo mostra o movimento de dois objectos I e II. O ponto de intersecção dos dois

gráficos fisicamente significa que neste momento os dois I e II:

A. estão na mesma distância do ponto de referência

B. possuem a mesma velocidade

C. possuem a mesma aceleração

D. possuem trajectórias que se cruzam

3. A velocidade de um peão que se move em linha recta, sobre um superfície horizontal, varia

em função de tempo de acordo com o gráfico v=V(t) abaixo. Considere v dado em km/h e t

em horas. Nas primeiras 4h o peão percorreu:

A. 40km

B. 20km

C. 30km

D. 60km

4. Se no problema anterior, o peão passar da origem no instante t=0, então ao fim de 8h estará

afastado da origem:

A. 30km B. 25km C. 35km D. 40km

5. O peão do problema anterior realiza em geral, movimento variado. Mas especificamente nos

trechos 2-4 e 6-8 horas pode-se considerar que o peão realiza:

A. movimento uniformemente acelerado. B. movimento uniforme

C. movimento uniformemente retardado. D. acelerado e retardado respectivamente

6. Uma pedra é lançada verticalmente para cima, no vácuo. No ponto mais alto da trajectória a

velocidade da pedra é nula e a aceleração é:

A. 9,8m/s2 dirigida para cima B. depende da massa da pedra

C. nula D. 9,8m/s2 dirigida para baixo

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4

I

II

t(s)

-10

-5

0

5

10

0 2 4 6 8 10




134

B

A

7. Um carro desce um plano inclinado que faz com a horizontal um ângulo de 300 à velocidade

constante. A aceleração do carro é igual à:

A. 9,8m/s2 B. 0m/s2

C. 4,5m/s2 D. depende da massa do carro

8. Um rapaz deixa cair uma pedra de um prédio de altura h. Desprezando o atrito do ar a

velocidade com que a pedra atinge o solo pode ser calculada pela expressão:

A. gh /2 B. hg2

C. hg 2/ D. )2/(1 hg

9. Quando um corpo cai livremente a partir de certa altura, e sem resistência do ar, então, no

âmbito da conservação de energia tem lugar o seguinte:

A. energia cinética é conservada B. energia potencial é conservada

C. as duas energias conservam-se D. a grande Ec + Ep é conservada

E. a quantidade de movimento p é constante F. a EP transforma-se em p

10. Uma bola de massa m largada em A, a uma altura de 2,20m, passa por um trilho circular de

raio 0,50m segundo a figura. A bola sai do trilho em B, a altura de 0,20m, com velocidade

igual à:

A. 10m/s

B. 20m/s

C. 1,0m/s

D. 2,0m/s

11. Considere o problema anterior. Durante o movimento, a bola exerce sobre o trilho uma força

variável. Ao passar pela parte inferior do trilho o valor dessa força é:

A. igual a mg B. superior a mg C. inferior a mg D. 0

12. Na extremidade de um fio que passa por uma roldana fixa está preso um corpo de 8kg de

massa. Para que o corpo se movimente para cima com uma aceleração de 5m/s2 é preciso

puxar a extremidade do fio com uma força aproximadamente igual à:

A. 8N B. 80N C. 120N D. 13N




135

13. A relação entre os vectores velocidade (v) e aceleração (a) de um movimento circular

uniforme é graficamente representado por:

A B C D

14. Um corpo parte de repouso e percorre em queda livre 10m no último segundo. Desprezando a

resistência do ar, a altura a que se encontrava o corpo é igual à:

A. 11,25m B. 10,0m C. 9,25m D. 8,0m

15. Um automóvel fez um percurso rectilíneo com velocidade escalar média negativa. Podemos

afirmar que:

A. deslocou-se de marcha atrás

B. teve um movimento com sentido contrário à orientação positiva do eixo coincidente com

a trajectória

C. é impossível esta situação, pois não há significado físico para velocidade escalar negativa

D. a velocidade escalar (instantânea) foi diminuindo

16. Num trajecto de 60km a velocidade máxima permitida é de 80km/h. Um condutor excede-a

em 29km/h. Qual foi o tempo que poupo com a transgressão?

A. 45 minutos B. 9 minutos C. 1 hora D. 5 minutos

17. Um corpo, no instante de tempo t0=0s, é lançado verticalmente para cima e alcança uma

altura h num instante de tempo t. Supondo nula a resistência do ar, identifique entre os

gráficos abaixo, o que melhor representa a variação do deslocamento do corpo, em função do

tempo, desde t0 até t. As curvas são ramos de parábola.

a

v

v

a

a

v

a

v




136

18. Um comboio que possui 100m de comprimento atinge a boca de um túnel e, 30s após, a

extremidade de seu último vagão abandona o túnel. Sabendo que a velocidade do comboio é

constante e igual a 20m/s, podemos concluir que o comprimento do túnel é:

A. 4,5x102m B. 5,0x102m C. 6,0x102 m D. 7,0x102 m E. 7,5x102m

19. Um corpo, que se movimenta rectilineamente, tem sua velocidade variando em função do

tempo, conforme mostra o gráfico abaixo.

Pode-se afirmar que aceleração deste corpo foi:

A. maior no intervalo "C" do que no intervalo "A".

B. nula no intervalo de tempo "B".

C. nula no intervalo de tempo "D".

D. variável nos intervalos de tempo "B" e "D".

E. constante no intervalo de tempo "D".

20. Quando um corpo se movimenta rectilineamente, sua velocidade varia de acordo com o

tempo, conforme mostra a seguinte tabela:

O Gráfico que melhor representa o comportamento da aceleração deste corpo em função do

tempo é:




137

21. O esquema ao lado representa um corpo que desliza, sem

atrito. No instante de tempo tA=0, o corpo encontra-se no

ponto A com velocidade vA. O ponto C é o ponto mais alto

da superfície inclinada atingido pelo corpo; ele o atinge no

instante t=tC. O ponto B é equidistante de A e C. Na

subida, quando o corpo passa por B, pode-se afirmar que:

22. Um corpo de massa m movimenta-se sobre uma estrada

rectilínea, partindo de uma posição inicial -10m. O gráfico

representa a velocidade deste corpo em função do tempo.

A equação da velocidade que descreve este movimento é:

23. Lança-se um corpo para cima com uma velocidade inicial vi e este leva um tempo t1 para

atingir a altura máxima. Pode-se afirmar, desprezando as forças de resistência do ar:

A. na metade da altura v=vi/2

B. na metade da altura t=t1/2

C. para t=t1 a aceleração é zero.

D. para t=2t1 o corpo estará no ponto de partida.

E. na metade da altura t=3t1/2




138

24. Considere o gráfico posição x em função do tempo t para um móvel

em movimento rectilíneo. Qual é o gráfico velocidade v em função

do tempo t correspondente?

25. O gráfico em função do tempo mostra dois carros A e B em

movimento rectilíneo. Em t= 0s os carros estão na mesma

posição. O instante em que os carros novamente se encontram na

mesma posição é:

A. 2,0s B. 4,0s C. 6,0s D. 8,0s E. 10s

26. Um corpo é lançado de baixo para cima sobre um plano inclinado, livre de atrito, com

velocidade inicial de 6,0m/s. Após 5/3s ele atinge o topo do plano com velocidade de 1,0m/s.

A equação de velocidade que melhor se adapta a este movimento é:

A. v = 6 - 5t/3 B. v = 5 - 5t/3 C. v = 1 - 5t/3 D. v = 6 - 3t E. v = 6 –t

27. Dois móveis, A e B, descrevem respectivamente um movimento

rectilíneo, representados pelo gráfico v=f(t) ao lado. A razão entre

os deslocamentos dos móveis A e B durante os respectivos

intervalos de tempo é:

A. 5/6 B. ¾ C. ½ D. 1/3 E. 4/3

28. Uma polia A de raio RA = 0,2 m está ligado, através de uma

correia, a outra polia B de raio RB = 0,4 m sem nenhum

deslizamento entre as polias e a correia, durante o movimento.

Se o movimento descrito pelas polias A e B for movimento

circular uniforme, então a velocidade angular da polia A é numericamente.

A. igual à velocidade angular da polia B. B. igual à velocidade tangencial da polia A

C. menor que a velocidade angular da polia B D. maior que a velocidade angular da polia B

E. igual à velocidade tangencial da polia B.




139

29. Um móvel descreve um movimento rectilíneo sob a acção de uma força constante, partindo

da origem com velocidade inicial nula e passando sucessivamente pelas posições x1, x2, x3, x4

e x5 . O móvel gasta um intervalo de tempo igual a 1/10 de segundo na passagem entre duas

posições sucessivas.

Sendo constante a aceleração do móvel, podemos afirmar que esta aceleração vale, em m/s2:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

30. Uma esfera está deslizando sobre uma mesa sem atritos, com

certa velocidade v0. Quando a esfera abandona a superfície da

mesa, projectando-se no vácuo, descreve a trajectória

representada na figura ao lado.

A altura da mesa Y é de 5m e o alcance horizontal X é 10m. Qual a velocidade inicial v0 da

esfera, em m/s?

A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 E. 10

31. Um projéctil é disparado contra um alvo por um atirador. Sabe-se que o ruído do impacto é

ouvido pelo atirador 1,2s após o disparo e que a velocidade do projéctil tem valor constante

de 680m/s. Considerando que a velocidade do som no ar é de 340m/s, a distância entre o

atirador e o alvo, em metros, é de:

A. 170 B. 272 C. 300 D. 480 E. 560

32. Para responder às duas próximas questões, utilizar o gráfico v = f(t)

ao lado.

33. No intervalo de tempo compreendido entre t = 0s e t = 2s, a aceleração, em m/s2, é igual a:

A. zero B. 2 C. 3,5 D. 4,0 E. 5,0

34. Entre os instantes t = 4s e t = 8s, a distância percorrida pelo móvel, em metros, é de:

A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 E. 40




140

35. Qual dos gráficos abaixo representa a variação da velocidade v, em função do tempo t, de

uma pedra lançada verticalmente para cima? (A resistência do ar é desprezível.)

36. A posição inicial de um móvel que descreve um movimento rectilíneo,

representado pelo gráfico v = f(t) a seguir, vale 10 m. A equação horária

que melhor representa o movimento considerado é:

A. x = 10 + 30t - 4t2 B. x = 10 + 30t + 2t2 C. x = 10 + 30t - 2t2

D. x = 30t - 4t2 E. x = 30t - 2t2

37. Dois automóveis, A e B, se deslocam sobre uma mesma estrada, na mesma direcção e em

sentidos opostos, animados, respectivamente, das velocidades constantes vA=90km/h e

vB=60km/h. Num determinado instante t0 = 0, passam pelo mesmo referencial. Ao final de

15min contados a partir da passagem pelo referencial, a distância entre os automóveis, em

km, será:

A. 10,0 B. 37,5 C. 42,7 D. 54,8 E. 81,3

38. O disco da figura gira no plano da folha em torno do eixo

C, no sentido horário, animado de um MCU. O eixo C é

perpendicular ao plano da figura. Os pontos 1 e 2,

situados às distâncias R1 e R2 do eixo C, giram solidários

com o disco. Sabendo que R1=1/2R2, a relação entre as

velocidades lineares v1 e v2 dos pontos 1 e 2 é:

A. v1 = 1/3v2 B. v1 = 1/2v2 C. v1 = v2 D. v1 = 2v2 E. V1 = 3v2

39. Um móvel, inicialmente em repouso, parte do referencial A da figura, no instante t = 0,

ocupando, sucessivamente, as posições B, C, D e E de segundo em segundo. Cada divisão do

papel milimétrico corresponde a 1,0m.

A

aceleração do móvel, em m/s2, vale:

A. 2,25 B. 3,00 C. 3,75 D. 4,50 E. 5,25




141

40. Um motor acciona o eixo 1, imprimindo a este uma velocidade

angular constante de módulo w. As polias B e C estão ligadas

através de uma correia e as polias A e B estão ligadas por um

eixo.

Com relação aos sistema, podemos afirmar que as velocidades

periféricas tangenciais de módulo v e angulares de módulo w de

cada polia são:

A. vB>vC wB=wA; B. vB=vC wB=wA; C. vB=vC wB>wA; D. vB<vC wB>wA; E. vB<vC wB=wA

41. Uma partícula parte do repouso com aceleração constante, percorrendo os pontos A, B, C e D

em intervalos de tempos iguais (1s).

Se a partir do ponto D a aceleração da partícula for duplicada, então a distância DE valerá, em

metros:

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

42. Duas partículas são lançadas de alturas diferentes, h e 2h, com

velocidades horizontais iniciais iguais, através de duas calhas

conforme a figura. Quando a partícula A estiver sobre a posição

3, a partícula B estará simultaneamente sobre a posição:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

43. As figuras abaixo representam quadrados nos quais todos os lados são formados por vectores

de módulos iguais. A resultante do sistema de vectores é nula na figura de número:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5




142

44. Um avião está voando na horizontal em relação ao solo, com velocidade constante de 50m/s,

quando abandona uma bomba de uma altura vertical de 405m acima do solo. Considerando

nula a resistência do ar e a aceleração da gravidade g = 10m/s2, a bomba ao atingir o solo,

terá percorrido na horizontal uma distância, em metros, igual a:

A. 50 B. 100 C. 200 D. 450 E. 900

45. Dois carros, A e B, deslocam-se numa estrada rectilínea como mostra

o gráfico ao lado, onde x representa a distância percorrida durante o

tempo t. Podemos afirmar que a velocidade do carro B:

A. é menor que a do carro A B. é maior que a do carro A

C. é igual à do carro A D. cresce com o tempo E. decresce com o tempo.

46. Um móvel, partindo do repouso, executa um movimento rectilíneo uniformemente variado.

Ao término dos 2,0s iniciais a sua velocidade é de 8,0m/s. Qual a distância percorrida, em

metros, após 5,0s de movimento?

A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 E. 70

47. Um objecto é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial v0, sendo 2t0 o tempo

necessário para voltar ao ponto de partida. Dos gráficos da velocidade v em função do tempo

t, a seguir apresentados, o que melhor representa a variação da velocidade do objecto

enquanto se manteve em movimento é:

48. Duas polias, A e B, unidas através de um eixo rígido, executam

movimento circular uniforme conforme mostra a figura. Qual é

a relação entre as velocidades lineares vA e vB dos pontos da

periferia das respectivas polias, sabendo-se que o raio da polia

A vale a metade do raio da polia B?

A. vA=0,5vB B. vA=1,0vB C. vA=1,5vB D. vA=2,0vA E. vA=2,5vB

A

B




143

49. Duas esferas, A e B, deslocam-se com velocidades constantes vA e vB, respectivamente,

ocupando sucessivas posições ao longo do percurso indicado a seguir.

Sabendo-se que vA=2.vB e que num dado instante elas ocupam as posições indicadas, concluí-se

que a esfera A alcançara a esfera B na posição:

A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 E. 20 Instrução:

Responda às 2 questões seguintes considerando o gráfico abaixo. O gráfico da velocidade v em

função do tempo t, mostra o deslocamento rectilíneo de uma partícula.

50. A partícula, nos 2,0s iniciais de movimento, apresenta, em m/s2, aceleração de:

A. 2,0 B. 3,0 C. 4,0 D. 5,0 E. 6,0

51. O deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 4,0 s a 8,0 s, em metros, é de:

A. 15 B. 18 C. 20 D. 22 E. 25

52. Em relação à aceleração de um móvel que executa um movimento circular uniforme, pode-se

afirmar que:

A. é constante em módulo B. é variável em módulo C. é nula

D. tem componente tangencial diferente de zero E. tem direcção constante

53. Nos gráficos abaixo estão representadas velocidade (v), aceleração (a) e posição (d) como

funções do tempo (t). O gráfico que representa um movimento uniformemente acelerado é o:




144

54. Dizer que um movimento se realiza com aceleração constante de 5m/s2 significa que:

A. em cada segundo o móvel se desloca 5m

B. em cada segundo a velocidade do móvel aumenta de 5m/s

C. em cada segundo a aceleração do móvel aumenta de 5m/s

D. em cada 5 segundos a velocidade aumenta de 1m/s

E. a velocidade é constante e igual a 5m/s

55. Um disco de gravação em que há dois pontos, A e B, está representado na figura. Ao

considerar o disco em movimento de rotação, podemos afirmar que:

A. A tem velocidade angular maior que B

B. A tem velocidade angular menor que B

C. os dois têm a mesma velocidade linear.

D. os dois têm a mesma velocidade angular

E. B tem velocidade linear menor que A

56. O gráfico abaixo representa a posição x ocupada por um móvel em

movimento rectilíneo e uniforme, em função do tempo t. A expressão

matemática desta função é:

A. x = 2 + 1t B. x = -1 + 2t C. x = 2 + 3t D. x = 2 + 2t E. x = 4 - 2t

57. O gráfico da velocidade v em função do tempo t representa movimentos rectilíneos de dois

móveis A e B. Considerando-se os 8s iniciais de movimento, é

correcto afirmar que:

A. o móvel A tem aceleração menor do que o móvel B

B. o móvel B percorre maior distância do que o móvel A

C. o movimento do móvel A é uniforme

D. os móveis percorrem distâncias iguais

E. os móveis têm a mesma aceleração

58. A equação horária da posição x de uma partícula material em movimento uniformemente

variado é dada pela expressão x = 3t + 2t2, onde x está em metros e t em segundos. Após 5s

de movimento, o móvel adquire velocidade, em m/s, igual a:

A. 10 B. 13 C. 17 D. 23 E. 25




145

Instrução:

Responda às 2 próximas questões baseando-se no enunciado abaixo.

Dois móveis, A e B, percorreram uma trajectória rectilínea, conforme as equações horárias

xA=30 + 20t e xB=90 - 10t, sendo a posição x em metros e o tempo t, em segundos:

59. No instante t = 0s, a distância entre os móveis, em metros, era:

A. 30 B. 50 C. 60 D. 80 E. 120

60. O instante de encontro dos dois móveis, em segundos foi:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

61. Um rapaz estava conduzindo uma motocicleta a uma velocidade de 72,0km/h, quando

accionou os travões e parou em 4,0s. A aceleração imprimida à motocicleta pelos travões foi,

em módulo, igual a:

A. 2km/h2 B. 4,0m/s2 C. 5,0m/s2 D. 15m/min2 E. 4,8km/h2

62. No gráfico ao lado está representada a velocidade v = f(t) de um determinado

movimento, e cinco alternativas para a aceleração a = f(t) correspondente.

Assinale a correcta.

63. Um atirador ouve o ruído da bala atingindo um alvo 4,0 segundos após dispará-la com

velocidade média de 1020m/s. Supondo-se que a velocidade do som no ar seja 340m/s, a

distância entre o atirador e o alvo, em metros é:

A. 340 B. 680 C. 1020 D. 1360 E. 1700

64. As afirmações a seguir referem-se a um movimento rectilíneo realizado por um objecto

qualquer.

I - O vector velocidade pode mudar de sentido

II - O vector velocidade tem sempre módulo constante

III - O vector velocidade tem direcção constante

A alternativa que representa correctamente o movimento rectilíneo é:

A. I, II e III B. somente III C. somente II D. II e III E. I e III




146

65. Um pequeno objecto é lançado verticalmente para cima realizando na descida um movimento

de queda livre. Supondo-se positiva a velocidade do objecto na subida, pode-se afirmar que

sua aceleração será:

A. positiva na subida e negativa na descida B. negativa na subida e positiva na descida.

C. constante e positiva na subida e na descida D. constante e negativa na subida e na

descida.

E. variável e negativa na subida e na descida.

66. Nos pares de gráficos a seguir, estão representadas velocidade v e aceleração a, ambas em

função do tempo t. O par de gráficos que representa o mesmo movimento é o da alternativa:

67. A barra da figura é um corpo rígido de peso

desprezível, apoiada no ponto P.

Qual o módulo da força que mantém a barra

em equilíbrio mecânico na posição horizontal?

A. 10 N B. 20 N C. 30 N D. 40 N E. 60 N

68. Uma barra homogénea X, de 1,0m de comprimento, está pendurada horizontalmente pelos

seus extremos, enquanto o bloco Y está pendurado a

25cm da extremidade esquerda dessa barra, conforme

mostra a figura. A barra pesa 60N e o bloco, 40N. Qual

a tensão na corda presa na extremidade direita dessa

barra?

A. 30N B. 40N C. 50N D. 70N E. 100N




147

69. A barra homogénea BC da figura tem um

peso de 100kN e seu comprimento é de 10m.

O centro de gravidade CG da barra e o ponto

de apoio A estão, respectivamente, a 5m e

2m da extremidade B. Qual é o peso do corpo X que deve ser suspenso na extremidade B para

que a barra se mantenha em equilíbrio mecânico na posição horizontal?

A. 10kN B. 66kN C. 150kN D. 170kN E. 600kN

70. A figura representa uma barra rígida e homogénea em

equilíbrio estático, a qual pode girar livremente no plano da

página, em torno do ponto de apoio P. Quando for aplicada

uma força de 3N, no ponto 2, na direcção e sentidos indicados

na figura, é possível manter a barra em equilíbrio, aplicando-se sobre ela outra força igual a:

A. 3N, para cima, na posição 5 B. 3N, para baio, na posição 5

C. 2N, para cima, na posição 7 D. 2N, para baio, na posição 7

E. 3N, para baixo, na posição 7

71. Uma barra homogénea de massa 2,0kg está apoiada nos seus extremos A e B, distanciados de

1,0 m. A 20cm da extremidade B foi colocado um bloco de massa m igual 2,0kg.

Considerando a aceleração da gravidade igual a 10m/s2, quais os módulos das forças que os

apoios exercem sobre a barra em A e B, respectivamente?

A. 1,0N e 3,0N B. 2,0N e 6,0N C. 8,0N e 32N D. 10,0N e 30,0N E. 14.0N e 26,0N

72. Uma régua de 60cm de comprimento, cuja massa por unidade de comprimento é constante,

está suspensa por um fio na marca dos 30cm. Um peso de 1N é suspenso na régua, na marca

dos 10cm. Para que a régua permaneça em equilíbrio mecânico, na posição horizontal, um

peso de 2N deve ser suspenso na marca dos:

A. 30cm B. 40cm C. 45cm D. 50cm E. 60cm




148

73. Na figura, o segmento AB representa uma barra homogénea, de 1m de comprimento, que é

mantida em equilíbrio mecânico na posição horizontal. A barra está apoiada num ponto a 25

cm da extremidade A, e o módulo da força , aplicada na extremidade B, é 2 N. Qual é o

peso da barra?

A. 0,66N B. 1N C. 4N D. 6N E. 8N

74. A figura representa a barra homogénea AO, rígida e horizontal, de

peso . A barra é mantida em equilíbrio, sustentada numa

extremidade pela articulação O e, na outra extremidade, por um

cabo AB, preso a uma parede no ponto B. No ponto O, a força

exercida pela articulação sobre a barra tem uma componente vertical que é:

A. diferente de zero e dirigida para cima B. diferente de zero e dirigida para baixo

C. diferente de zero e de sentido indefinido D. igual a zero

E. igual, em módulo, ao peso da barra.

75. A figura ao lado representa uma régua

uniforme, apoiada directamente abaixo

do seu centro, na qual podem ser

penduradas massas de valores M1 e M2.

Para tanto, a cada 5cm há um pequeno

gancho de massa desprezível.

No caso indicado na figura acima, a régua encontra-se em equilíbrio. Observe os três casos

abaixo. Quais deles também representam a régua em equilíbrio?

A. apenas I B. apenas I e II C. apenas I e III D. apenas II e III E. I, II e III




149

76. A figura mostra uma alavanca de 1,0m de comprimento, apoiada a 20cm da extremidade

esquerda.

Considerando desprezível o peso da alavanca, qual o modulo da força que deve ser aplicada

na extremidade direita para sustentar, em equilíbrio, um peso de 500N colocado na outra

extremidade?

A. 50N B. 100N C. 125N D. 250N E. 500N

77. As figuras das alternativas representam uma alavanca de massa desprezível apoiada sobre um

fulcro. Uma caixa de massa M foi depositada sobre a alavanca. Em qual das alternativas é

maior a força que a pessoa deve exercer para manter a alavanca em equilíbrio mecânico?

(A) (B) (C) (D) (E)

78. Expresse as quantidades seguintes nas unidades escritas do lado direito:

a) 1,2kg = ____________ g;

b) 22,3J = ____________ kJ;

c) 50mm2 = ____________ m2;

d) 8,2g-1 0C-1 = ____________Jkg-1K-1

e) 2,1km h-1 = ____________ms-1

79. É dada r

mvF2

= da dinâmica.

a) Quais são as grandezas representadas nesta equação;

b) Quais são as unidades no SI de cada uma destas grandezas?

c) Qual é a relação de proporcionalidade que existe entre F e r, quando m e v permanecem

constante?

d) O que acontecerá à F, quando v for duplicada? Tome m e r constantes.




150

0

20

40

60

80

0 2 4 6 8 10t(s)

X(m)80. Um atleta correu uma certa distância. A figura

mostra o gráfico x – t do movimento deste atleta.

a) Descreva os tipos de movimentos mostrados nos

intervalos (0 a 2); (2 a 7,5) e (7,5 a 10) do

gráfico, dizendo o que se passa com o

deslocamento e com a velocidade em cada

intervalo;

b) Qual foi a distância total percorrida pelo atleta?

c) Calcule a velocidade do atleta no instante t =

5,5s.

81. Um bloco B de massa igual a 6,0kg move-se verticalmente para baixo,

puxando um outro bloco A de 15kg. O bloco A move-se ao longo

duma superfície cujo coeficiente de atrito é µ = 0,20.

a) Na figura, identifique todas as forças que actuam sobre estas massas;

b) Escreva as equações de movimento para cada massa. A partir destas equações, exprima a

aceleração do sistema em função das massas;

c) Calcule a aceleração do bloco A;

d) Determine a força de tensão sobre o bloco A;

82. Expresse as quantidades seguintes nas unidades escritas ao lado direito:

a) 15m = _____________ mm

b) 9,1dm2 = _____________ mm2

c) 1,8kΩ = _____________ Ω

d) 415kg/m3 = _____________ kg/dm3

e) 0,2g/mm2 = _____________ kg/m3

83. É dada a equação 2rMmGF = da gravitação, onde G é uma constante:

a) Quais são as grandezas representadas nesta equação?

b) Quais são as unidades no SI destas grandezas?

c) Qual é a relação de proporcionalidade que existe entre F e r, quando M e m permanecem

constante?

d) O que é que acontecerá a F, quando r passar para a metade?




151

84. A figura mostra o movimento de oscilação

harmónica de um pêndulo simples.

a) Qual é a amplitude da oscilação do pêndulo?

b) Indique o período da sua oscilação;

c) Calcule a frequência da oscilação;

d) Calcule a velocidade máxima do pêndulo;

85. Duas massas A e B de 5,0kg e 4,4kg, respectivamente, estão penduradas

numa máquina de Atwood. Despreze o atrito entre o fio e a roldana, bem

como as massas da roldana e do fio. Tome g = 10m/s2;

a) Na figura, identifique todas as forças que actuam sobre estas massas;

b) Escreva as equações de movimento para cada massa. A partir destas

equações, exprima a aceleração do sistema em função das massas;

c) Calcule a aceleração;

d) Calcule a força de tensão;

86. Os movimentos de dois objectos A e B, estão

representados no gráfico x-t da figura ao lado. O

objecto B está em movimento uniformemente

acelerado com aceleração 1,6m/s2 e velocidade

inicial igual a zero.

a) Escreva a função posição x(t) para cada

objecto;

b) Leia no gráfico o instante em que os objectos se encontram;

c) Verifique analiticamente o resultado da alínea anterior, a partir das equações XA(t) e XB(t);

87. Um bloco de massa 2kg é puxado uniformemente para cima por

uma força F, de 19,2N, ao longo de um plano inclinado rugoso

(com atrito) e que faz um ângulo de 450 com a horizontal.

a) Desenhe na figura todas as forças que actuam sobre o bloco. Faça a

legenda dessas forças.

b) Qual é a aceleração do bloco? Justifique;

c) Usando a equação de movimento do bloco, mostre através de cálculos que o coeficiente de

atrito cinético entre o bloco e a superfície é µ = 0,35. Use para o efeito cos450 = sen450=0,71

e g = 10m/s2.

-0,4

0

0,4

0 0,2 0,4 0,6 0,8t(s)

X(m)

B

A

020406080

100120140160

0 4 8 12 t(s)

X(m)

A

B

F

450




152

88. Um objecto A é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 8m/s.

Simultaneamente, do ponto máximo que A pode atingir, lança-se para baixo, um outro

objecto B com a mesma velocidade inicial. Tome g = 10m/s2.

a) Escreva a função posição x(t) para cada objecto, tomando o ponto de lançamento de A

como origem do eixo.

b) Determine a velocidade de cada objecto no momento de encontro;

89. Um bloco de massa 2kg é acelerado sob acção da força F = 15N

e do atrito com o solo, caracterizado pelo coeficiente µ = 0,2.

a) Determine a aceleração do bloco para α = 300;

b) Calcule a força que o solo exerce sobre o bloco na situação da

alínea anterior;

90. Um carro percorre para o Norte com uma velocidade de 120km/h. Depois faz o percurso no

sentido contrário com uma velocidade de 80km/h.

a) Calcule a velocidade escalar média do carro;

b) Esboce o gráfico da posição (espaço) em função do tempo;

91. Uma bolinha é lançada verticalmente para cima a partir de um prédio de 100m de altura.

Sabendo que a velocidade inicial da bolinha é de 50m/s, determine:

a) O tempo necessário para atingir a altura máxima;

b) A altura máxima atingida (medida a partir da base do prédio);

c) O tempo de permanência no ar;

92. A partir de um helicóptero que se encontra a 300m do solo, deixa-se cair um objecto. Depois

de quanto tempo o objecto atinge o solo se:

a) O helicóptero desce com velocidade constante de 5m/s?

b) O helicóptero sobe com velocidade constante de 5m/s?

93. Um projéctil de 100kg, movendo-se horizontalmente com velocidade de 500m/s, ao longo de

uma linha férrea, colide frontalmente com um vagão cheio de areia e que pesa 10t. Usando

um dos princípios de conservação, determine a velocidade do vagão imediatamente após a

colisão, se este movia-se ao encontro do projéctil, com uma velocidade de 36km/h;

α

F




153

94. A figura ao lado mostra o gráfico da elongação

(posição) de um certo movimento harmónico

simples.

a) Determine a amplitude e a frequência cíclica

das oscilações;

b) Represente no mesmo diagrama o gráfico da velocidade do movimento em causa;

c) Determine o primeiro instante em que a velocidade da partícula oscilante é igual a

velocidade máxima;

95. Dadas as fórmulas, que experimentem as leis de newton e Coulomb: 221.

rqqKF = e

221.

rmmGF = , podemos dizer que;

a) G e K dependem do meio;

b) As forças gravitacionais exprimem, em geral, interacções mais intensas que as

electrostáticas;

c) O valor da relação K/G não depende do sistema de unidades;

d) G é uma grandeza adimensional;

e) As alternativas a, b, c, e d não são correctas;

96. No eixo de uma roldana móvel está presa a massa m = 8kg. Com que força

F é preciso puxar a extremidade livre do fio enrolado na segunda roldana,

para que:

a) A massa m se movimento para cima com aceleração de 5m/s2;

b) A massa m esteja em repouso;

97. Dois objectos são lançados verticalmente para cima com a mesma velocidade inicial v0. Se os

objectos forem separados por um intervalo τ = 2s, a velocidade relativa do segundo

comparativamente ao primeiro objecto será:

A. 40m/s B. 10m/s C. 30m/s D. 20m/s

98. Um objecto é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial 10m/s.

Simultaneamente, 1 segundo objecto cai livremente a partir de uma altura de 90m. Passados

3s, a distância que separa os dois objectos será igual à:

A. 70m B. 45m C. 30m D. 60m

-8-6-4-202468

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

t(s)

X(m)

F




154

99. Observe atentamente as figuras 1.2, 1.3, 1.4 e 1.5

Fig. 1.2 Fig. 1.3 Fig. 1.4 Fig. 1.5

A. Cada um dos gráficos representa um certo movimento rectilíneo uniforme;

B. Há dois gráficos que representam um intervalo de tempo durante o qual os objectos estão

parados;

C. No instante t = 10s os objectos representados pelo gráfico 1.2 e 1.3 têm a mesma posição;

D. Há pelo menos um gráfico que representa o movimento rectilíneo uniformemente variado;

100. Um camião cuja massa bruta é 5t passa por uma ponte convexa à velocidade de 36km/h.

Supondo que o raio de curvatura da ponte seja de 50m, a força que o camião exerce sobre o

centro da ponte é:

A. 4,0.104N B. 5,8.104N C. 4,5.104N D. 6,0.104N

101. A cabine de um elevador tem de massa 400kg e descendo em movimento uniformemente

acelerado percorreu 30m em 10s. A que tensão esteve sujeito durante este movimento o cabo

do elevador:

A. 6380N B. 8630N C. 3680N D. 1830N

102. Uma espingarda automática dispara 600 balas por minuto. Cada bala tem uma massa de 30g e

é disparada com velocidade de 50m/s. A força média exercida pela espingarda contra o

suporte onde está apoiada é:

A. 20N B. 12N C. 1,7 D. 15N

103. Um pequeno tractor com massa 4t, estava deslocando-se em uma estrada. Repentinamente,

surgiu a sua frente um automóvel com massa 900kg e uma velocidade 80km/h, na contramão

colidindo frontalmente com o tractor. Sabendo-se que as velocidades dos veículos se

anularam logo após o choque, podemos afirmar que a colisão é completamente:

A. inelástica, e a velocidade do tractor antes do choque é 18km/h;

B. elástica, e a velocidade do tractor antes do choque é 18km/h;

C. inelástica, e a velocidade do tractor antes do choque é 40km/h;

D. elástica, e a velocidade do tractor antes do choque é 40km/h;

-20

0

20

0 5 10t(s)

x(m)

-10

0

10

0 5 10t(s)

x(m)

0

10

0 5 10

t(s)

X(m)

0

2

0 5 10

t(s)

v(m)




155

104. Num dia de chuva intensa em que a altitude das nuvens relativamente ao solo era de 500m,

mediram-se várias grandezas para a caracterizar (a chuva). Algumas das grandezas obtidas

são: caudal da água, Q = 5.10-3l/m2s, a velocidade da queda das gotas da chuva, v = 5m/s; e a

massa média das gotas, m = 65.10-3g. O valor absoluto do trabalho realizado pelas forças de

atrito sobre uma gota é igual a massa média das gotas é igual a:

A. 8.10-4J B. 3,2.10-1J C. 31,85.10-2J D. 65.10-3J

105. Um corpo com a massa 2kg move-se sobre um plano horizontal com velocidade 4m/s e

embate-se com uma mola colocada a sua frente. A constante elástica da mola é de 200N/m e

não existe atrito entre o corpo e o plano. A deformação sofrida pela mola é de:

A. 0,2m B. 0,4m C. 0,6m D. 0,8m

106. A figura ao lado mostra uma bola de massa m, suspensa na

extremidade de um arame de massa desprezível, que é largada de

uma altura h e colide elasticamente quando chega ao seu ponto

mais baixo, com um bloco de massa 2m em repouso numa

superfície sem atrito. Depois do choque, a bola eleva-se até uma

altura igual à:

A. h/9 B. h/8 C. h/2 D. 2h/3

107. Um elevador tem massa igual a 500kg e está a descer com uma velocidade constante de 5m/s.

A tensão no cabo do elevador é igual a:

A. 500N B. 5000N C. 100N D. 1000N

108. A figura ao lado representa um sistema de dois blocos

ligados por um fio inextensível. O coeficiente de atrito entre

o bloco de 4kg e a superfície do plano inclinado em que é

arrastado vale 0,2. Nestas condições, a aceleração do

sistema, em m/s2, vale:

A. 1,0N B. 2,0 C. 3,0 D. 4,0

109. Duas forças concorrentes de 8N e 6N admitem como resultante uma força R. Das hipóteses

abaixo, a única impossível é:

A. R < 14N B. R > 2 C. R > 14N D. 2N ≤ R ≤ 14N

m

h 2m

4kg

6kg 300




156

110. Um cilindro de massa m e raio r, assenta em dois suportes à

distância L um do outro, como mostra a figura. O módulo da

reacção de cada suporte é dado por:

A. 224 Lr

mgrR−

= B. 22

2

4 LrmgrR

−= C.

224 rLmgrR

−= D.

22

2

4 rLmgrR

−=

111. A figura representa uma esfera de 2kg deslocada da sua posição de

equilíbrio devido a acção de uma força F. O valor da força F em N, é

de:

A. 320 B. 340 C.

3320 D.

3340

112. O sistema da figura, constituído por uma haste horizontal, um cabo inclinado

e uma massa m está em equilíbrio. Desprezando a massa do cabo, a tensão T

no fio e a reacção R da haste sobre o cabo são dadas por:

A. R = m.g.cotg300; T = m.g/sen300 B. T = m.g.cotg300; R = m.g/sen300

C. R = m.g.tg300; T = m.g/cos300 D. T = m.g.tg300; R = m.g/cos300

113. Um carro está deslocar-se com velocidade 15m/s, quando o motorista pisa no travão. A partir

deste instante o movimento do carro passa a ser uniformemente retardado, fazendo o carro

parar em 3s. A aceleração imprimida ao carro é igual à:

A. -3m/s2 B. -5m/s2 C. -15m/s2 D. -45m/s2

114. Um avião, voando horizontalmente a 180m de altitude, precisa largar um saco com

mantimentos no centro de uma povoação. O módulo da sua velocidade é constante e igual a

100m/s. A que distância do centro da povoação terá de situar-se a vertical que passa pelo

ponto de lançamento?

A. 1,8m B. 100m C. 180m D. 600m

115. Uma pedra cai em queda livre do cimo de um prédio de 60m de altura. Depois de quanto

tempo a pedra terá percorrido um terço da altura do prédio?

A. 6s B. 4s C. 2s D. 12

L

F

300

T

m

300

0




157

116. O gráfico ao lado representa a velocidade em função do

tempo para o movimento de uma partícula. Sabe-se que a

posição inicial da partícula é nula. Dos gráficos abaixo, o

que representa correctamente a posição em função do

tempo para o movimento da partícula é:

A. B. C. D.

117. Um avião voa 40km na direcção Sul-Norte e seguidamente 30km na direcção Oeste-Este. A

que distância fica o avião do ponto de partida?

A. 10km B. 70km C. -10km D. 50km

118. Um automóvel circula a 80km/h durante 40km e a 120km/h durante outros 40km. A sua

velocidade média é de:

A. 96km/h B. 100km/h C. 90km/h D. 2,5km/h

119. A lei dos espaços de determinado movimento é: x = 20 + 6t + 8t2. Será incorrecto afirmar:

A. é um movimento uniformemente acelerado B. a aceleração é de 16m/s2

C. é um movimento uniforme D. a velocidade inicial é 6m/s2

120. Observe o gráfico da aceleração em função do tempo de um

M.H.S mostrado na figura. Dentre os gráficos abaixo o que

representa a elongação correspondente em função do tempo

para o movimento é:

Considere: (20 = 2π2; -20 = -2π2); (13 = 4π2; -13 = 4π2); (25 = 8π2; -25 = 8π2)

A. B. C. D.

-10

0

10

20

0 2 4 6 8

t(s)

v(m/s)

-10

10

30

50

0 2 4 6

t(s)

x(m)

-1010

3050

0 2 4 6

t(s)

X(m)

-10103050

0 2 4 6

t(s)

X(m)

-100

1020304050

0 2 4 6

t(s)

X(m)

-20

0

20

0 1 2 3 4 5 6

t(s)a(m/s2)

-4

0

4

0 1 2 3 4 5

t(s)

y(m)

-8

0

8

0 1 2 3 4 5

t(s)

y(m)

-13

0

13

0 1 2 3 4 5

t(s)

y(m)

-25

0

25

0 1 2 3 4 5

t(s)

y(m)




158

121. Os gráficos ao lado mostram a elongação de uma Onda

que se propaga numa corda em função do tempo e em

função da posição. A equação da Onda em função do

tempo é dada por:

A. )205

(2,0)( xtsenty ππ−= B. )

205(2,0)( txsenty ππ

−=

C. )520

(2,0)( xtsenty ππ−= D. )

205(2,0)(

xtsenty ππ

−=

122. Um oscilador tem um movimento harmónico simples (MHS) cuja equação, em função do

tempo, é dada por: )62

(2,1)( π+=

tsentx (SI). Para este movimento o valor do período é igual:

A. 1,2s B. 1/2s C. π/6 D. 12,56s

123. A equação da elongação em função do tempo dum M.H.S é dada pela expressão:

)2

(21)( tsenty π

= , em unidades do SI. O gráfico correcto da elongação em função do tempo

para a expressão dada é:

A. B. C. D.

124. A posição de uma partícula que se desloca numa

recta varia com o tempo de acordo com o gráfico

da figura ao lado. Coloque em ordem crescente as

velocidades correspondentes aos instantes

CBA ttt ,, e Dt :

A. DCBA vvvv <<< B. ADCB vvvv <<<

C. BADC vvvv <<< D. BCDA vvvv <<<

-0,2

0

0,2

0 5 10 15 20 25

t(s)y(m)

-0,2

0

0,2

0 20 40 60 80 100

X(m)y(m)

-2

0

2

0 1 2

t(s)

y

-0,25

0

0,25

0 4 8

t(s)

y

-0,5

0

0,5

0 2 4

t(s)

y

-0,5

0

0,5

0 0,5 1

t(s)

y




i

Definições e Conversões Grandeza Físicas

Força

1 pound é a intensidade da força resultante que imprime aceleração de 1 pé/s2 na massa de 1 lb,

ou,

1 pdl = (1 lb).(1 pé/s2) = (0,454 kg).(0,305 m/s2) = 0,138N

1 kgf é o peso normal do quilograma-padrão, ou,

1 kgf = (1 kg).(9,806 65 m/s2) ~ 9,8 N

1 lbf é o peso normal da libra-massa, ou,

1 lbf = (1 lb).(32,2 pé/s2) = 32,2 pdl = (0,454 kg).(9,81 m/s2) ~ 4,45N

1 tf é o peso normal da massa de 1t, com 1t = 1000kg, ou,

1 tf = (1t).(9,806 65m/s2) = (1000kg).(9,81m/s2) = 1000kgf = 9810N

1 dina (dyn) = 10-5N

Massa

1utm (unidade técnica de massa) é a massa na qual a força de intensidade 1kgf imprime

aceleração de 1m/s2, ou,

1utm = (1kgf)/(1m/s2) ~ (9,81N)/(1m/s2) = 9,81kg

1 slug é a massa na qual a força de intensidade 1 lbf imprime aceleração de 1 pé/s2 ou,

1 slug = (1 lbf)/(1pé/s2) ~ (32,2pdl)/(1pé/s2) ~ 32,2lb ~ (4,45N)/(0,305m/s2) ~ 14,6kg

1t (tonelada) = 1 000kg

1c (quintal métrico) = 100kg

1quilate = 2.10-4kg (é utilizado exclusivamente para a definição de massa das pedras

preciosas; a onça, para a massa de metais preciosos); 1 onça = 31,103g

Trabalho

1 pdl.1pé é o trabalho de uma força constante de intensidade 1pdl cujo ponto de aplicação se

desloca de 1pé na mesma direcção e sentido da força, ou,

1 pdl.pé = (0,138 N).(0,305 m) ~ 0,042 09J

Analogamente se definem:

1kgm = (1kgf).(1 m) ~ 9,81J

1 lbf.pé = (1 lbf).(1pé) = (4,45N).(0,305m) ~ 1,356J




ii

Potência

1 pdl.(1pé/s) é a potência da força que realiza trabalho uniformemente à razão de 1pdl.pé em

cada segundo, ou,

1 pdl.pé/s = 0,0421W

Analogamente definem-se o kgm/s e a lbf.pé/s, ou seja,

1kgm/s ~ 9,81W e 1lbf.pé/s ~ 1,356W

Definem-se também os múltiplos:

Cavalo-vapor: 1CV = 75kgm/s ~ 736W

Horse-power: 1HP = 550lbf.pé/s ~ 746W

Pressão

A unidade do Sistema Internacional (SI) é o pascal: 1Pa = 1N/m2. Outras unidades usuais de

pressão originaram-se no Sistema CGS (centímetro, grama, segundo). Pela ordem:

Unidade CGS de força = 1dina = (1g).(1cm/s2) = 10-5N

Unidade CGS de pressão = 1bar = 1dina/cm2 = 10-1Pa

Múltiplo usual: 1 bar = 1Mbar = 105Pa

Atmosfera normal = 1Atm = 101 325Pa (por definição) ~ 1bar.

São usuais também:

atmosfera técnica = 1at = 1kgf/cm2 ~ 9,81x104Pa

psi = (pound-weight) per (square-inch) = libra-força por polegada quadrada, ou,

1 psi = 1 lbf/pol2 = 6899, portanto, 1 At ~ 14,7psi.

Em resumo: Pa/1 = bar/105 = At/101325 = at/9,81x104 = psi/6899




iii

Grandezas Fundamentais - Unidades Básicas do SI

Grandeza Nome Símbolo

Comprimento Metro m

Massa Quilograma kg

Tempo Segundo s

Intensidade de Corrente Eléctrica Ampere A

Temperatura Termodinâmica Kelvin K

Quantidade de Substância Mole mol

Intensidade Luminosa Candela cd

Unidades Suplementares do SI

Grandeza Nome Símbolo Unidade do SI

Ângulo plano radiano rad m.m-1 = 1

Ângulo sólido esterorradiano sr m2. m-2 = 1

Unidades Derivadas com nomes e símbolos Especiais

Grandeza Nome Símbolo Relação

Frequência Hertz Hz s-1

Força Newton N kg.m.s-2

Pressão Pascal Pa N m-2 kg.m-1.s-2

Energia, trabalho, Quantidade de calor Joule J N m kg.m2s-2

Potência Watt W J s-1 kg.m2s-3

Quantidade de electricidade carga eléctrica

Coulomb C A.s

Potencial eléctrico força electromotriz Volt V W.A-1 kg.m2s-3.A-1

Resistência eléctrica Ohm Ω V.A-1 kg.m2.s-3.A-2

Capacitância eléctrica Farad F C.V-1 kg-1m-2.s4.A2

Fluxo magnético Weber Wb V.s kg.m2.s-2.A-1

Indução magnética Tesla T Wb.m2 kg.s-2.A1

Indutância Henry H Wb.A-1 kg.m2.s-2.A-2




iv

Grandeza Nome Símbolo Relação Viscosidade dinâmica pascal Segundo Pa s m-1.kg.s-1

Entropia joule por kelvin J/K m2.kg.s-2K-1

Capacidade térmica específica joule por quilograma. kelvin J/(kg K) m2 s-2.K-1

Condutividade térmica watt por metro kelvin W/(m K) m.kg.s-3.K-1

Intensidade de campo eléctrico volt por metro V/m m.kg.s-3.A-1

Prefixos no Sistema Internacional

Factor Nome Símbolo Factor Nome Símbolo1024 yotta Y 10-1 Deci D 1021 zetta Z 10-2 Centi C 1018 exa E 10-3 Milli M 1015 peta P 10-6 Micro µ 1012 tera T 10-9 Nano N 109 giga G 10-12 Pico P 106 mega M 10-15 Femto F 103 kilo k 10-18 Atto A 102 hecto h 10-21 Zepto Z 100 deka da

10-24 Yocto Y

Factores de conversão para unidades do S.I.

Tabela 1: Conversão de unidades inglesas de comprimento, para unidades SI correspondentes

Para converter de para multiplique por jardas (yd) metro (m) 0, 914 4 pés (ft) metro (m) 0, 304 8 polegada (inch) metro (m) 0, 025 4 milha terrestre quilómetro (km) 1, 610 milha náutica quilómetro (km) 1, 853 Tabela 2: Conversão de unidades inglesas ou usuais de área, para unidades SI correspondentes

Para converter de Para multiplique por acre quilómetro quadrado (km2) 0, 004 047 hectare quilómetro quadrado (km2) 0, 01 jarda quadrada (yd2) metro quadrado (m2) 0, 836 13 polegada quadrada (inch2) metro quadrado (m2) 0, 000 645 2 pé quadrado (ft2) metro quadrado (m2) 0, 092 9 milha quadrada quilómetro quadrado (km2) 2, 59




v

Tabela 3: Conversão de unidades inglesas de volume e de capacidade, para unidades SI

correspondentes

Para converter de para multiplique por Barril (EUA) litros (l) 115, 63 Barril (Inglaterra) litros (l) 163, 66 Barril de Petróleo (EUA) litros (l) 158, 98 galão (EUA) metro3(m3) 0, 003 785 galão (EUA) litros (l) 3, 785 galão (Inglaterra) metro3(m3) 0, 004 545 9 galão (Inglaterra) litros (l) 4, 545 9 gill litros (l) 0, 142 06 pés3 metro3(m3) 0, 028 32 pés3 litros (l) 28, 32 pint (EUA) litros (l) 0, 473 164 pint (Inglaterra) litros (l) 0, 568 245 pol3 metro3(m3) 0, 000 016 39 pol3 litros (l) 0, 016 39

* O litro (l) é empregado como um nome especial para o decímetro cúbico, dm3, porém não é

recomendável o seu uso para medidas técnicas de precisão.

Tabela 4: Conversão de unidades inglesas de massa, para unidades SI correspondentes

Para converter de Para multiplique por libra-massa avoirdupois (lbm) quilograma (kg) 0, 454 libra-massa troy quilograma (kg) 0, 373 241 onça avoirdupois (oz) quilograma (kg) 0, 028 35 onça troy quilograma (kg) 0, 031 103 5 slug quilograma (kg) 14, 6 Tabela 5: Conversão de unidades inglesas ou usuais de força , para unidades SI correspondentes

Para converter de Para multiplique por dina newton (N) 0, 000 01 kilograma-força (kgf) newton (N) 9, 807 libra-força (lbf) newton (N) 4, 45 pound newton (N) 0, 138 3




vi

Tabela 6: Conversão de unidades inglesas ou usuais de pressão, para unidades SI

correspondentes

Para converter de Para multiplique por atmosfera (atm) pascal (Pa) 101 300, 0 bar pascal (Pa) 100 000, 0 dina/cm2 pascal (Pa) 0, 1 libra-força/pé2 pascal (Pa) 47, 88 libra-força/pol2 (psi) pascal (Pa) 6 895, 0 milímetros Hg (mmHg) pascal (Pa) 133, 3 polegada H2O (pol H2O) pascal (Pa) 249, 0 polegada Hg (pol Hg) pascal (Pa) 5, 248 quilograma-força/cm 2 (kgf/cm2) pascal (Pa) 98 066, 5 torr pascal (Pa) 133, 3

Tabela 7: Conversão de unidades inglesas de trabalho, energia, calor , para unidades SI

correspondentes

Para converter de Para multiplique por caloria (cal) joule (J) 4, 186 unidade térmica inglesa (BTU) joule (J) 1055, 0 Watt-hora (Wh) joule (J) 3600, 0 cavalo vapor-hora (CVh) kilojoule (kJ) 2 684, 525 horse power-hora (HPh) kilojoule (kJ) 2 647, 796 pé . libra-força (ft.lb) joule (J) 1, 356 kilograma-força . metro (kgf.m) joule (J) 9, 80665 Todas as unidades derivadas inglesas são do sistema USCS; isto indica o uso da libra massa

avoirdupois e não o slug.

O pound é a denominação especial da libra massa x pé/segundo2 (lbm.ft/s2). O quilograma não é uma unidade de força, mas muitas vezes é popularmente usado como tal e,

infelizmente, nem a denominação completa é usada, restringindo-se apenas a "quilo"; um

quilograma-força significa que a massa de um quilograma sofre a força de 9,807 newtons sob a

acção da gravidade padrão (g = 9,807 m/s2).

O pascal é a denominação especial do newton/metro2 (N/m2).




vii

Tabela 8: Conversão de unidades inglesas de potência , para unidades SI correspondentes

Para converter de Para multiplique por BTU/s kilowatt (kW) 1, 054 8 cavalo vapor (CV) kilowatt (kW) 0, 735 497 horsepower (HP) kilowatt (kW) 0, 746 kcal/s kilowatt (kW) 4, 185 pé.libra-força/segundo watt (W) 1, 35 Tabela 9: Conversão de unidades inglesas de velocidade , para unidades SI correspondentes

Para converter de Para multiplique por quilómetros horários (km/h) metro/segundo (m/s) 0, 277 8 milhas horárias (mile/h) metro/segundo (m/s) 0, 447 nós (USA)* metro/segundo (m/s) 0, 514 4 pés/segundo (ft/s) metro/segundo (m/s) 0, 304 8 * nó é a milha marítima (náutica) horária. 1 nó = 1 milha marítima/hora.

Algumas Grandeza e Constantes em Física

Aceleração máxima para ejectar um banco de um caça 1,7.100 m/s2

Aceleração de gravidade na superfície lunar 1,5.102 m/s2

Aceleração de gravidade (latitude 00) 9,78039.100 m/s2

Aceleração de gravidade (lat 900) 9,83217.100 m/s2

Aceleração de gravidade (média) 9,8067.100 m/s2

Aceleração de gravidade na superfície do Sol 2,7.102 m/s2

Carga transferida em um relâmpago 2,5.101 CCarga eléctrica 1,6021.10-19 CCampo magnético da Terra (média) 5.10-5 TCalor de fusão do mercúrio 1,1.104 J/kgCalor de fusão da água 3,29.105 J/kgCalor de vaporização do mercúrio 2,88.105 J/kgCalor de vaporização da água 2,285.106 J/kgCalor produzido por um homem (média) 1.102 J/sConstante Gravitacional – G 6,6720.10-1 1m3/s2.kgConstante do Gás Ideal – R 8,3143.100J/KmolConstante de Boltzmann 1,380662.10-23 J/KConstante de Planck – h 6,6256.10-34 J.sConstante de Faraday – F 9,6487.104 C/molConstante dieléctrica do ar 1,00054.100

Constante dieléctrica do vácuo 1.100

Constante dieléctrica da água 8,0.101

Número de Avogadro - N 6,02205.1023 /molDensidade do Sol 1,410.103 kg/m3

Densidade da água (273 K) 9,9987.102 kg/m3

Densidade da água (277,13 K) 1,00.103 kg/m3




viii

Densidade do ar em CNTP 1,2250.100 kg/m3

Densidade da Terra 5,519.103 kg/m3

Densidade da Lua 3,342.104 kg/m3

Dióxido de carbono exalado - homem (médio) 1,2.10-5 kg/sDióxido de carbono exalado - mulher (média) 1,0.10-5 kg/sDiâmetro do cabelo humano 1.10-4 mEnergia de um relâmpago 1.109 JEnergia cinética da translação da Terra ao redor do Sol 2,6.1033 JEnergia cinética de rotação da Terra 2,1.1024 JEnergia cinética de uma gota de chuva 4,0.10-3 JInclinação do eixo da Terra em relação ao plano da órbita 2,345.101grausÍndice de refracção da água 1,33.100

Ingestão de gordura – homem (média) 1,4.10-6 kg/sIngestão de gordura – mulher (média) 9,3.10-7 kg/sForça Gravitacional da Terra sobre um homem 7,3.102 NForça Gravitacional da Terra sobre a Lua 2,0.1020 NForça Gravitacional do Sol sobre a Terra 3,5.1022 NMassa do átomo de hidrogénio 1,68.10-27 kgMassa da Lua 7,354.1022 kgMassa do protão 1,6726485.10-27 kgMassa de uma gota de chuva 2,0.10-6 kgMassa do Sol 1,99.1030 kgPeríodo da translação da Terra 3,1558150.107 sPeríodo de translação da Lua 2,36055.106 sPeríodo de rotação da Terra 8,616406.104 sPeríodo de rotação da Lua 2,36055.106 sPeríodo de rotação do Sol 2,125.106 sPeríodo de uma batida de coração típica 9.10-1 sPermissividade do vácuo 8,85418781.10-12 F/mPermeabilidade do vácuo 1,25663706.10-6 H/mPonto de ebulição da água 3,73.102 KPonto de fusão da água 2,73.102 KPotência da luz solar que atinge a Terra 1,7.1017 J/sPotência irradiada pelo Sol para o espaço 3,7.1026 J/sPressão no fundo do oceano 6.107 PaPressão no centro da Terra 4.1011 PaPressão no nível do mar 1,01.105 PaPressão atmosférica a 10 km de altitude 2,80.104 PaPressão atmosférica a 20 km de altitude 5,6.103 PaPressão atmosférica a 50 km de altitude 9,9.101 PaPressão atmosférica a 100 km de altitude 5,6.10-2 PaPressão sanguínea diastólica 1,1.104 PaProfundidade dos oceanos (média) 3,794.103 mRaio da órbita da Terra 1,49457.1011 mRaio da órbita da Lua 3,84403.108 mRaio da Terra 6,371.106 mRaio da Lua 1,7383.106 m




ix

Raio do Sol 6,95950.108 mTemperatura média na superfície da Terra 2,87.102 KTemperatura de corpo negro da Terra 2,50.102 KTemperatura de corpo negro do Sol 5,75.103 KUnidade de massa atómica 1,6605655.10-27 kgVolume molar de um gás em CNTP 2,241383.10-2 m3

Volume de ar inalado - homem (médio) 2,64.10-4 m3/sVolume de ar inalado - mulher (médio) 2,44.10-4 m3/sVelocidade de rotação da Terra no equador 4,651.102 m/s

· centro de preparaçao aos exames de admisao ao ensino superior-cpeaes por: justino m. j....

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