ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ...

3

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Цель работы. Ознакомление с пакетом прикладных программ SIMULINK и ос-

новными приемами моделирования линейных динамических систем.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны ознакомить-

ся с описанием пакета прикладных программ SIMULINK (см. учебное пособие [1]), а

также получить от преподавателя вариант задания. К занятию допускаются студенты,

составившие схемы моделирования заданных динамических систем (см. пункты 1.1 и

2.1 порядка выполнения работы). Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Математическая модель линейной стационарной си-

стемы может быть представлена в виде скалярного дифференциального уравнения n-го

порядка (модель вход-выход) или в виде системы из n дифференциальных уравнений 1-

го порядка (модель вход-состояние-выход). Модель вход-выход имеет вид

y a y a y a y b u b u b u b un

n

n

m

m

m

m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1

1

0 1

1

1

1

0 , (1.1)

где y — выходная переменная, u — входной сигнал, n — порядок системы, m — поря-

док производной выходной переменной, в явном виде зависящей от u (m n ), a j , bj —

постоянные коэффициенты. При условии, что m n , модель вход-состояние-выход

может быть представлена в виде

,

,

,

,

x x x x u

x x x x u

x x x x u

y c x c x c x

n n

n n

n n n nn n n

n n

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

(1.2)

где xj — координаты вектора состояния, ij и j — постоянные коэффициенты. С ис-

пользованием обозначений

A B C

c

c

c

x

x

x

x

n

n

n n nn n

T

n n

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

1

2

1

2

, , ,

система (1.2) может быть представлена в компактной векторно-матричной форме

,

,

x Ax Bu

y Cx

(1.2а)

где А — n n матрица постоянных коэффициентов, B — n 1 вектор-столбец посто-

4

янных коэффициентов, С — 1 n вектор-строка постоянных коэффициентов, а x — n-

мерный вектор состояния.

Напомним, что решением дифференциального уравнения (1.1) (или, соответ-

ственно, системы (1.2)) является функция времени y t( ) (или вектор-функция x t( ) ),

обращающая данное уравнение (систему) в тождество и удовлетворяющая заданным

начальным условиям. Для дифференциального уравнения (1.1) начальные условия

накладываются на переменную y и ее производные до ( )n1 -го порядка включительно:

y yj

j

( ) ( )0 0 , j n 01 1, , , ,

а для системы (1.2) — на координаты вектора состояния: x xj jo( )0 , j n 12, , , . Осо-

бо отметим, что в теории управления под начальными условиями понимают условия,

которые существовали до момента приложения входного сигнала. Поэтому для любой

функции f t( ) ее начальное значение понимается в смысле предела

f f( ) lim ( )00

, (1.3)

где переменная стремится к нулю, оставаясь отрицательной ( 0 ). При этом гово-

рят, что предел (1.3) задает начальные условия слева, т.е. в начальный момент t 0 . В

соответствии с принятой трактовкой начальных условий, имеем u ui i( ) ( )( ) ( )0 0 0

для всех i 012, , , .

С помощью блоков элементарных

операций — интегратора, сумматора и

блока усиления (см. рис.1.1) — могут

быть составлены схемы моделирования

уравнений (1.1) и (1.2). Указанные блоки

легко реализуются физически (например,

в виде электронных схем на основе опе-

рационных усилителей) и составляют

элементную базу аналоговых вычисли-

тельных машин (АВМ).

Для составления схемы моделиро-

вания дифференциальных уравнений (1.2) необходимо использовать n интеграторов

(число интеграторов определяется числом дифференциальных уравнений). При этом

полагается, что на выходе j-го интегратора действует величина x j , а на его входе, соот-

ветственно, x j . Далее, в соответствии со структурой правых частей уравнений (1.2)

вводятся прямые и обратные связи, формирующие сигналы x j . Проиллюстрируем дан-

ный подход следующим примером. Пусть динамическая система описывается диффе-

ренциальными уравнениями

,

,

x x u

x x x u

y x x

1 2

2 1 2

1 2

2

5 2 3

7

(1.4)

с начальными условиями x1 0 2( ) , x2 0 1( ) и входным воздействием u t 2sin . То-

гда схема моделирования системы (1.4) будет иметь вид, представленный на рис.1.2,

Рис. 1.1. Блоки элементарных опера-

ций: а) интегратор; б) сумматор;

в) усилитель

5

где начальные условия на интеграторах соответствуют начальным значениям коорди-

нат вектора состояния x1 0( ) и x2 0( ) .

Существует несколько различных способов построения схем моделирования

уравнения (1.1). Рассмотрим на примере один из них. Пусть динамическая система опи-

сывается уравнением

y y y y u u u( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 2 15 2 4 6 3 (1.5)

с начальными условиями y( )0 1 , y( ) ( )1 0 2 , y( ) ( )2 0 0 и входным воздействием

u t sin .

Заменим в (1.5) операцию дифференцирования оператором дифференцирования

s d dt /

s y s y sy y s u su u3 2 25 2 4 6 3

и выразим слагаемое со старшей степенью s :

s y s y sy y s u su u3 2 25 2 4 6 3 .

Разделив обе части на s3 , после элементарных преобразований окончательно получаем

ysu y

su y

su y

14 5

16 2

132 3( ) ( ) ( ) . (1.6)

Таким образом, выходная переменная y представлена в виде суммы сигналов

прямых и обратных связей, проинтегрированных соответствующее число раз. Схема

моделирования, составленная на основе уравнения (1.6), приведена на рис.1.3.

Определим начальные условия интеграторов. Для удобства обозначим выходные

сигналы интеграторов через z1 , z2 и z3 (см. рис.1.3) и, следовательно, искомые началь-

ные условия — через z1 0( ) , z2 0( ) и z3 0( ) . Так как z y1 , то z y1 0 0 1( ) ( ) . Далее, из

схемы моделирования видно, что y z z u y 1 2 4 5 и, следовательно,

x1 x1

x2 x2

u

y

Рис.1.2. Схема моделирования системы (1.4)

6

z y u y2 4 5 . (1.7)

Подставляя в (1.7) начальные значения сигналов y( )0 , u( )0 и ( )y 0 , вычисляем

начальное условие для второго интегратора (блок Int 2)

z y u y2 0 0 4 0 5 0 2 0 5 7( ) ( ) ( ) ( ) .

Так же из структурной схемы получаем, что z z u y2 3 6 2 и, следовательно,

z z u y3 2 6 2 . Дифференцируя z2 в силу уравнения (1.7), окончательно получаем

z y u y u y3 4 5 6 2 . (1.8)

Подставляя в (1.8) начальные значения соответствующих сигналов, вычисляем

начальное условие для третьего интегратора (блок Int 3)

z y u y u y3 0 0 4 0 5 0 6 0 2 0 0 0 10 0 2 12( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

Еще раз отметим, что мы рассматриваем начальные условия слева и, следова-

тельно, u u( ) ( )0 0 0 .

Порядок выполнения работы.

1. Исследование модели вход-выход.

1.1. В соответствии с вариантом задания (см. табл.1.1), построить схему модели-

рования линейной динамической системы (1.1).

1.2. Осуществить моделирование системы при двух видах входного воздействия

— u t 1( ) и u t 2sin — и нулевых начальных условиях. На экран выводить графики

сигналов u t( ) и y t( ) . Продолжительность интервала наблюдения выбрать самостоя-

тельно.

z y1 z1 z2 z2 z3 z3

Рис.1.3. Схема моделирования уравнения (1.6)

7

1.3. Осуществить моделирование свободного движения системы, т.е. с нулевым

входным воздействием и ненулевыми начальными условиями, заданными в табл.1.2. На

экран выводить y t( ) .

2. Исследование модели вход-состояние-выход.

2.1. В соответствии с вариантом задания (см. табл.1.3), построить схему модели-

рования линейной динамической системы (1.2а).

2.2. Осуществить моделирование линейной динамической системы при двух ви-

дах входного воздействия: u t 1( ) и u t 2sin . На экран выводить графики сигналов

u t( ) и y t( ) . Для всех вариантов начальное значение вектора состояния нулевое.

2.3. Осуществить моделирование свободного движения системы с начальными

условиями, приведенными в табл.1.4. На экран выводить y t( )

Содержание отчета.

1. Математические модели динамических систем и соответствующие им схемы

моделирования.

2. Расчет начальных условий интеграторов для п.1.3 программы исследований.

3. Результаты моделирования (графики переходных процессов).

4. Выводы.

Вопросы к защите лабораторной работы.

1. Почему для моделирования динамических систем не используются блоки

дифференцирования?

2. Укажите условие физической реализуемости системы, описанной дифферен-

циальным уравнением (1.1).

3. С помощью каких команд пакета MATLAB можно рассчитать корни характе-

ристического уравнения моделируемой системы?

4. Составьте схему моделирования уравнения y y u u 3 2 5 .

5. Составьте по схеме моделирования дифференциального уравнения (1.5) (см.

рис.1.3) модель вход-состояние-выход.

Таблица 1.1

Варианты параметров моделей вход-выход

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Порядок

модели n

3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2

a0 9 5 5 8 7 15 7 2 1 25 30 0,12

a1 6 4 4 6 5 5 3 0,5 0,5 1 0,8 1

a2 3 3 2 2 2 10 — — — — — —

b0 12 2,5 7,5 12 10 15 10 4 2 25 30 0,1

b1 2 2 0 1 3 0,5 6 2 2 2 3 2

b2 0,1 3 5 10 1,5 1 0 0 0 0 0 0

8

Таблица 1.2

Варианты начальных условий моделей вход-выход

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Порядок

модели n

3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2

y( )0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

( )y 0 0,5 -0,2 -0,4 0,1 -0,5 0,5 0,4 1 -0,5 0 0,5 0

( )y 0 0 0,1 0,2 -0,1 0 0,1 — — — — — —

Таблица 1.3

Варианты значений матриц A, В и C

Вариант n А B СT Вариант n A B C

T

1 2 0 1

6 15 ,

0

6

1

0

7 3

3 0 0

2 0 1

1 6 1

1

0

1

0 5

2 5

0

,

,

2 2 0 2

1 0 5

,

0 5

0

,

4

0

8 3

1 4 3

0 0 4

0 1 0 5,

1

2

0

0 25

1

0

,

3 2 0 1

3 0 5 ,

0 5

1 5

,

,

2

0 2,

9 3 0 1 0

0 0 1

6 4 2 5 ,

0 1

0

3

,

2

0

0 2,

4 2 0 4

1 1

0 5

0 25

,

,

0

8

10 3 0 0 10

1 0 7

0 1 3

5

0

0 2,

0

0 1

2

,

5 2 0 1

5 0 5 ,

0 5

1

,

5

0 5,

11 3 0 1 1

4 1 2

0 1 2

0

2

1

1

0

0 5,

6 2 0 12

1 0 8

,

2

0

3

0 1,

12 3 0 15 2

1 0 5 0

0 0 0 25

,

,

2

0

0 5,

0

2

0 25,

Таблица 1.4

Варианты начальных условий автономных систем

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x1 0( ) 1 0,5 0,5 -0,5 0,2 0,33 -0,2 0 0,5 3 0,5 -5

x2 0( ) 0,5 0,25 -0,4 0,13 -0,1 -0,5 0,4 1 2 0 -2 0,5

x3 0( ) — — — — — — 0,1 -0,1 0 0,5 0 0

9


КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Цель работы. Ознакомление с методами взаимного перехода между моделями

вход-выход и вход-состояние-выход, а также с каноническими формами представления

моделей вход-состояние-выход.

Методические рекомендации. До начала работы студенты должны получить от

преподавателя вариант задания. К занятию допускаются студенты, получившие анали-

тические выражения для математических моделей в соответствии с пунктами 1.1, 2.1 и

3.1 порядка выполнения работы. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Математическая модель одной и той же линейной ди-

намической системы может быть представлена в различных формах: в форме скалярно-

го дифференциального уравнения n -го порядка (модель вход-выход) или в форме си-

стемы из n дифференциальных уравнений 1-го порядка (модель вход-состояние-

выход). Следовательно, между различными формами представления математических

моделей существует определенная взаимосвязь, т.е. модель вход-состояние-выход мо-

жет быть преобразована к модели вход-выход и наоборот. При этом модели будут эк-

вивалентными в том смысле, что они определяют одно и то же преобразование входно-

го сигнала u в выходной y .

Модель вход-выход динамической системы описывается уравнением (подробнее

— см. лабораторную работу № 1)

y a y a y a y b u b u bu b un

n

n

m

m

m

m( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1

1

0 1

1

1

1

0 , (2.1)

где y и u — выходная и входная переменные, соответственно. При m n , модель вход-

состояние-выход имеет вид

,

.

x Ax Bu

y Cx

(2.2)

Причем координаты вектора состояния x и коэффициенты матриц A, B и C зависят от

выбора базиса в пространстве состояний. Преобразование вектора состояния, связанное

с заменой базиса, задается выражениями

x Mx x M x , 1 , (2.3)

где x —вектор состояния в "новом" базисе, М — неособая n n матрица преобразова-

ния координат. Преобразование (2.3) обеспечивает переход от модели (2.2) к подобной

модели

,

.

x Ax Bu

y Cx

(2.4)

Матрицы подобных моделей связаны соотношениями:

10

, , A M AM B M B C CM 1 1 .

Если известно, что модели (2.2) и (2.4) являются различными формами описания

одной и тойже динамической системы, то матрица преобразования координатM может

быть найдена из выражения

M N Ny y 1 ,

где N b Ab A by

n [ ] 1 — матрица управляемости модели (2.2),

[ ]N b Ab A by

n 1 —матрица управляемости модели (2.4).

Переход от модели вход-состояние-выход (2.2) к модели вход-выход (2.1) явля-

ется однозначным и определяется соотношением

W s C sI A B( ) ( ) 1 ,

где W s( ) — передаточная функция системы. Очевидно, что по известной передаточной

функции может быть легко записано дифференциальное уравнение (2.1).

Переход от модели вход-выход (2.1) к модели вход-состояние-выход (2.2) явля-

ется неоднозначным, что связано с возможностью достаточно произвольного назначе-

ния вектора состояния. На практике наиболее часто используются следующие две, так

называемые, канонические формы представления моделей вход-состояние-выход: ка-

ноническая наблюдаемая форма и каноническая управляемая форма. Удобство канони-

ческих форм состоит в возможности непосредственного определения параметров мат-

риц А, B и C на основе коэффициентов ai и bj дифференциального уравнения (2.1) без

каких-либо дополнительных вычислений. Кроме того, использование канонических

форм позволяет упростить решение целого ряда прикладных задач анализа и синтеза

систем управления.

Переход от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход удобнее всего

совершать через схему моделирования. При этом в качестве переменных состояния вы-

бираются выходы интеграторов, а уравнения состояния записываются в соответствии

со структурой схемы моделирования.

Метод построения схемы моделирования в канонической наблюдаемой форме

соответствует методу, рассмотренному в лабораторной работе № 1. При этом, в случае

дифференциального уравнения n -го порядка, схема моделирования принимает вид,

приведенный на рис.2.1. Нумеруя координаты вектора состояния в указанной на рисун-

ке последовательности, легко получить следующие выражения для матриц системы

вход-состояние-выход

A

a

a

a

a

B

b

b

b C

n

T

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1 0

0

0

0

1

0

1

2

1

0

1

2

, , .

11

Рис.2.1. Схема моделирования в канонической наблюдаемой форме

При этом требуемые начальные условия координат вектора состояния x( )0 могут быть

определены из системы алгебраических уравнений

y CA x i ni i( ) ( )( ) ( ), , , , ,0 0 012 1 . (2.5)

В системе (2.5) слагаемые с начальными значениями входного сигнала и его производ-

ных отсутствуют, так как для начальных условий слева имеем u u( ) ( )( ) 0 0 01

(см. лабораторную работу №1).

Для построения схемы моделирования в канонической управляемой форме, вве-

дем вспомогательную переменную z t( ) , являющуюся решением дифференциального

уравнения

z a z a z a z un

n

n( ) ( ) ( )

1

1

1

1

0 .

Следовательно

z a z a z a z un

n

n( ) ( ) ( )

1

1

1

1

0 . (2.6)

Уравнение (2.6) позволяет определить структуру обратных связей схемы моде-

лирования (см. рис.2.2). Для формирования прямых связей заметим, что в силу свойств

линейных систем

y b z b z b z b zm

m

m

m

( ) ( ) ( )

1

1

1

1

0 .

Нумеруя координаты вектора состояния в указанной на рисунке последователь-

ности, можно получить следующие выражения для матриц системы вход-состояние-

выход

12

Рис.2.2. Схема моделирования в канонической управляемой форме

A

a a a a

B C

b

b

b

n

T

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0

0

0

1 00 1 2 1

0

1

2

, , .

Требуемые начальные условия координат вектора состояния x( )0 рассчитывают-

ся из системы алгебраических уравнений (2.5).


1. Переход от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход.

1.1. В соответствии с вариантом задания (см. табл.1.1), построить математиче-

ские модели вход-состояние-выход в канонической управляемой и канонической

наблюдаемой формах. Определить передаточную функцию системы.

1.2. Используя блоки "Transfer Fcn" и "State-Space" пакета SIMULINK, осуще-

ствить моделирование моделей вход-выход, вход-состояние-выход в канонической

управляемой форме и вход-состояние-выход в канонической наблюдаемой форме при

ступенчатом единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях. Схема

моделирования иллюстрируется рис.2.3, где блок с именем "Transfer Fcn" задает модель

вход-выход в форме передаточной функции, блок "State-Space"— модель вход-

состояние-выход в канонической управляемой форме, а блок "State-Space1"— модель

вход-состояние-выход в канонической наблюдаемой форме.

2. Переход от модели вход-состояние-выход к модели вход-выход.

2.1. В соответствии с вариантом задания (см. табл.2.1), осуществить расчет пе-

редаточной функции системы, а также канонических моделей вход-состояние-выход.

2.2. Используя блоки "Transfer Fcn" и "State-Space" пакета SIMULINK, осуще-

ствить моделирование исходной модели и полученных моделей вход-выход, вход-

13

состояние-выход в канонической управляемой форме и вход-состояние-выход в кано-

нической наблюдаемой форме, при ступенчатом единичном входном воздействии и ну-

левых начальных условиях.

2.3. Рассчитать матрицы преобразования исходной модели к каноническим фор-

мам.

3. Замена базиса в пространстве состояний.

3.1. В соответствии с вариантом матрицы преобразования координат (см.

табл.2.2), построить модель, подобную модели из п.2.1.

3.2. Используя блоки "State-Space", осуществить моделирование исходной и

преобразованной систем при ступенчатом единичном входном воздействии и нулевых

начальных условиях. На экран вывести выходные переменные двух систем.


1. Аналитический вывод математических моделей канонических форм, подоб-

ных систем и матриц преобразования координат.

2. Результаты моделирования.

3. Выводы.


1. В каком смысле понимается эквивалентность подобных математических мо-

делей вход-состояние-выход?

2. Выведете в общем виде матрицу преобразования координат M для перехода

от канонической управляемой формы к канонической наблюдаемой форме модели вто-

рого порядка.

3. Чем вызвана неоднозначность перехода от модели вход-выход к модели вход-

состояние-выход?

4. Используя схему моделирования, приведенную на рис.2.2, составьте модель

вход-состояние-выход, отличную от канонической управляемой формы.

Рис. 2.3 Схема эксперимента

14

Таблица 2.1

Варианты значений матриц A, B и C

Номер

варианта

n А B CT Номер

варианта

n A B CT

1 2

2 4

0 5 4,

1

1

1

0

7 2 1 15

0,5 2

2

0

0 5

1

,

2 2

0 5 2

12 4

,

1

1

5

0 5,

8 2 1 1

15 2

0

1

10

1

3 2 0 2

10 2

1

1

5

0

9 2 2 2

15 3

0

1

8

1

4 2 0 5 1

15 3

,

0

1

5

1

10 2 1 2

10 3

0

1

8

2

5 2 0 5 10

1 2

,

0

1

3

1

11 2

1 2

10 3

0 5

1

,

6

15,

6 2 1 15

1 3

2

0

2

1

12 2

1 1

8 1

0 5

1

,

5

1

Таблица 2.2

Варианты элементов матрицы преобразования координат Mm m

m m

11 12

21 22

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

m11 2 1 0,5 2 4 5 2 2 2,5 -1 1 5

m12 1 5 0 0 0 0 3 8 2 0 2 0

m21 0 0 6 5 -2 6 0 0 0 0 0 5

m22 4 2 2 0,5 0,5 2 5 2 4 -1 2 1

15


ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ

ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

Цель работы. Ознакомление с принципами построения моделей внешних воз-

действий — сигналов задания и возмущений.


преподавателя вариант задания. К занятию допускаются студенты, составившие схемы

моделирования командных генераторов внешних воздействий. Лабораторная работа

рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. В ряде задач анализа и синтеза систем управления

требуется построить дифференциальное уравнение по известному частному решению,

заданному в виде функции времени. Такая задача возникает, например, при построении

динамических моделей внешних воздействий (так называемых, командных генерато-

ров) — сигналов задания и возмущений. Особо отметим, что, в известном смысле, дан-

ная задача является обратной по отношению к задаче нахождения решения дифферен-

циального уравнения (см. лабораторную работу № 1).

Командный генератор (КГ) внешнего воздействия g t( ) , как правило, описывает-

ся моделью в пространстве состояний вида

,

,

z Gz

g Hz

(3.1)

где z — n-мерный вектор состояния командного генератора, G — n n матрица по-

стоянных коэффициентов, H — 1 n вектор-строка постоянных коэффициентов. Мо-

дель (3.1) определяет класс внешних воздействий вида

g t H e zGt( ) ( ) 0 .

При этом изменение начальных условий z( )0 модели (3.1) обеспечивает генерирование

различных реализаций воздействия g t( ) .

Основной метод построения моделей внешних воздействий (командных генера-

торов) — метод последовательного дифференцирования. Проиллюстрируем данный

метод двумя примерами.

Пусть требуется построить командный генератор гармонического сигнала

g t A t( ) sin ,

где A и — известные константы. Выберем в качестве первой координаты вектора

состояния КГ сам сигнал g , т.е. z g1 . Дифференцируя z по времени, находим

cosz A t1 .

Выберем в качестве второй координаты вектора состояния КГ производную сигнала g ,

т.е. z g2 . Тогда

16

sinz A t z2

2 2

1 .

Учитывая, что g z z 1 2 ,

окончательно получаем

, ,z z z z g z1 2 2

2

1 1 . (3.2)

Для векторно-матричной формы (3.1)

имеем

zz

zG HT

1

2

2

0 1

0

1

0, ,

.

При этом легко видеть, что

z g1 0 0 0( ) ( ) и z g A2 0 0( ) ( ) .

Пусть теперь требуется по-

строить командный генератор зада-

ющего сигнала с трапецеидальным

графиком скорости (см. рис.3.1). На

рисунке через V и обозначены

амплитуды скорости и ускорения за-

дающего воздействия g , а через F —

конечное значение сигнала g. Вводя

первую координату вектора состоя-

ния в виде z g1 , получаем z v1 . Обозначая z v2 и продолжая процедуру диффе-

ренцирования, имеем z a2 . Наконец, вводя третью координату вектора состояния КГ

z a3 , получаем z3 0 для всех участков графика задающего воздействия. Таким об-

разом, окончательно можно записать

, , ,z z z z z g z1 2 2 3 3 10 ,

или в векторно-матричной форме (3.1), где

z

z

z

z

G HT

1

2

3

0 1 0

0 0 1

0 0 0

1

0

0

, , .

При z1 0 0( ) и z2 0 0( ) различный характер задающего сигнала на участках 0А, АВ и

ВС будет определяться изменяющимися начальными условиями на третьем интеграто-

ре: в точке 0 — z3 0( ) ; в точке А — z tA3 0( ) ; в точке В — z tB3( ) ; в точке С

— z tC3 0( ) . Однако, переключение начальных условий интегратора трудно реализо-

вать на практике. Поэтому при моделировании командного генератора задающего сиг-

нала с трапецеидальным графиком скорости третий интегратор предлагается заменить

группой блоков ступенчатого воздействия. При этом структурная схема генератора

принимает вид, представленный на рис.3.2. Рисунок 3.3 демонстрирует временные диа-

граммы выходных сигналов блоков ступенчатого воздействия и результирующий сиг-

нал — ускорение a.

Рис.3.1 Вид задающего воздействия g и

его производных:

скорости v g и ускорения a g

17

Рис.3.2 Схема моделирования командного генератора

задающего сигнала с трапецеидальным графиком

скорости

z g1 z V2 z a3

Рис.3.3 Временные диаграммы выходных сигналов

блоков ступенчатого воздействия s1 , s2 , s3 и s4 ,

а также результирующего сигнала — ускорения a

s1

s2

s3

s4

18


1. Исследование командного генератора гармонического сигнала.

1.1. Построить математическую модель командного генератора сигнала сканиро-

вания. Варианты значений угла сканирования и частоты сканирования f приведены в

табл.3.1. Указание: в данном случае сигнал задания выбрать в виде гармонической

функции g t A t( ) sin , амплитуда A и угловая частота которой рассчитываются на

основе значений и f.

1.2. Построить схему моделирования командного генератора.

1.3. Осуществить моделирование работы командного генератора. На экран выво-

дить сигнал g t( ) .

2. Исследование командного генератора сигнала с трапецеидальным графиком

скорости.

2.1. Построить математическую модель командного генератора сигнала с трапе-

цеидальным графиком скорости. Варианты значений амплитуды ускорения , скоро-

сти V и конечного значения сигнала задания F приведены в табл.3.2. Необходимые

значения моментов времени tA , tB и tC рассчитать самостоятельно.

2.2. Выполнить пункт 1.2.

2.3. Осуществить моделирование работы командного генератора. На экран выво-

дить задающий сигнал g t( ) , его скорость V t( ) и ускорение a t( ) .

3. Исследование командного генератора возмущения.

3.1. В соответствии с вариантом задания (см. табл.3.3), построить математиче-

скую модель командного генератора возмущения.

3.2. Выполнить пункты 1.2 и 1.3.


1. Расчет параметров и синтез математических моделей командных генераторов.

2. Схемы моделирования командных генераторов.

3. Результаты моделирования.

4. Выводы.


1. Составить дифференциальное уравнение по его частному решению

y t t( ) exp( ) 2 3 .

2. Поясните, когда командный генератор реализуется в качестве одного из бло-

ков системы управления, а когда он используется только в качестве математической

модели внешнего сигнала.

3. Как изменить амплитуду и начальную фазу сигнала командного генератора

(3.2).

Таблица 3.1

Варианты параметров командного генератора системы сканирования

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Угол

сканирования

40

10

20

18

24

4

30

8

16

12

14

6

Частота

сканирования

f , с-1

1

1,5

2

3

2

4

0,5

10

5

6

2,5

8

19

Таблица 3.2

Варианты параметров командного генератора задающего сигнала

с трапецеидальным графиком скорости

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 0,5 2 1 4 2 3 6 1,5 2 4 4

V 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 2

F 5 5 5 10 10 10 15 15 15 20 20 20

Таблица 3.3

Варианты внешних возмущений

Вариант Вид возмущения Вариант Вид возмущения Вариант Вид возмущения

1 2 3 05exp( ) sin , t t t 5 3 05 0 2exp( , ) sin , t t t 9 4 05 2 1exp( , ) sin( ) t t

2 5 3 0 2 2sin ,t t 6 4 3 4sin cost t 10 4 2 05sin ,t t

3 2 01 3 1exp( , ) sin( )t t 7 2 3 01 2exp( )sin , t t t 11 2 3 4 7sin cost t

4 2 2 3 5sin cost t 8 3 2 01 2sin ,t t 12 4 2 0 3 2sin ,t t

24


СВОБОДНОЕ И ВЫНУЖДЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Цель работы. Исследование динамических свойств линейных систем второго

порядка.


преподавателя вариант задания. К занятию допускаются студенты, выполнившие тре-

буемые расчеты и заполнившие табл.5.2. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. При исследовании движений линейных динамиче-

ских систем принято различать свободную и вынужденную составляющие. Свободная

составляющая описывает движение системы при отсутствии воздействия на систему со

стороны окружающей среды (автономной системы) и обусловлено ее состоянием в

начальный момент времени. Вынужденная составляющая представляет собой реакцию

системы на входное воздействие и не зависит от ее начального состояния.

Рассмотрим систему второго порядка

,y a y a y bg 1 0 y y y y( ) , ( ) 0 00 0 (5.1)

где g g t ( ) - входное воздействие, y y t ( ) — выход системы, a a b1 0, , - параметры

системы. Переменные состояния рассматриваемой системы могут быть определены как

x y1 , x y2 . Тогда система уравнений вход-состояние-выход принимает вид:

,

,

,

x x

x a x a x bg

y x

1 2

2 0 1 1 2

1

(5.2)

с начальными условиями x x y10 1 00 ( ) ,

x x y20 2 00 ( ) . Структурная схема, соот-

ветствующая уравнениям (5.2) приведена

на рис. 5.1.

Примером такой системы является

тело массой m (рис. 5.2), которое подве-

шено на пружине и может совершать вер-

тикальные движения. При условии, что

сила трения пропорциональна скорости

движения тела, а сила, с которой действует пружина на тело, пропорциональна его

смещению y относительно положения равновесия, движение такой системы описыва-

ется дифференциальным уравнением:

my ly ky F ,

где l — коэффициент трения, k— коэффициент жесткости пружины, F — внешняя

сила, приложенная к телу. Полагая al

m1 , ak

m0 , bm

1

, получим уравнение (5.1).

25

Движение рассматриваемой динамической

системы описывается решением y t( ) дифференци-

ального уравнения (5.1) и содержит две составляю-

щие

y t y t y tсв в( ) ( ) ( ) ,

где y tсв ( ) и y tв ( ) — соответственно свободная и

вынужденная составляющая движения. Свободная

составляющая y tсв ( ) находится как частное решение однородного дифференциального

уравнения

y a y a y 1 0 0 (5.3)

с начальными условиями y y y yсв св( ) , ( ) 0 00 0 . Вынужденная составляющая y tв ( )

находится как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (5.1)

при нулевых начальных условиях y yв в( ) ( )0 0 0 . Таким образом, исследование рас-

сматриваемых процессов сводится к изучению свойств решений дифференциальных

уравнений (5.1) и (5.3).

Для интегрирования дифференциального уравнения (5.3) надо найти корни ха-

рактеристического уравнения

2

1 0 0 a a . (5.4)

Если корни 1 2, характеристического уравнения вещественны и различны, то реше-

ние дифференциального уравнения (5.3) есть

y t С e С eсв

t t( ) 1 21 2 , (5.5)

где постоянные C C1 2, определяются по начальным условиям. Если 1 2 , то

y t С С t eсв

t( ) ( ) 1 21 (5.6)

Когда корни характеристического уравнения (5.4) комплексные 1 2, j , решение

дифференциального уравнения (5.3)

y t Ae tсв

t( ) sin( ) , (5.7)

где постоянные A, определяются по начальным условиям.

При a1 0 корни характеристического уравнения (5.3) чисто мнимые 1 2, j и вы-

ражение (5.7) будет иметь вид

y t A tсв ( ) sin( ) . (5.8)

Соотнося приведенные выше формулы для свободной составляющей движения с

параметрами l k, механической системы (рис. 5.2), можно сделать следующий вывод.

При увеличении коэффициента трения l и фиксированном значении коэффициента

жесткости пружины k характер свободной составляющей изменяется от гармоническо-

m

Рис.5.2. Механическая система

26

го незатухающего (5.8) (при l 0 ) до колебательного затухающего (5.7) (при

0 42 l km ). При дальнейшем увеличении коэффициента трения характер свободной

составляющей принимает монотонный затухающий характер (5.4).

Рассмотрим на примере поиск свободной составляющей системы с параметрами

a1 2 a0 1 и начальными условиями y yсв св( ) , ( )0 1 0 0 . В этом случае корни ха-

рактеристического уравнения: 1 2 1 . Свободную составляющую ищем в виде

(5.5) и, следовательно, при t 0 имеем: y Ссв ( )0 11 , ( )y С Ссв 0 01 2 . Таким

образом, C C1 2 1 и y t t eсв

t( ) ( ) 1 .

Для исследования свободного движения динамических систем часто оказывает-

ся удобным изобразить его на плоскости в Декартовой прямоугольной системе коорди-

нат Ox x1 2 . Координаты x y1 и x y2 в этом случае называют фазовыми координа-

тами, а плоскость Ox x1 2 - фазовой плоскостью. В каждом частном случае движения

системы (5.3) при t t 0 состояние системы изображается на фазовой плоскости точкой

с фиксированными координатами x y t1 0 ( ) , x y t2 0 ( ) . При изменении времени t

изображающая точка перемещается по фазовой плоскости, прочерчивая на ней ли-

нию, называемую фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий системы

(5.3) образует фазовый портрет.

Вынужденная составляющая y tв ( ) движения системы есть решение неоднород-

ного уравнения (5.1) при нулевых начальных условиях. Установившейся реакцией на

заданное воздействие g t( ) называют, такую функцию y tу ( ) , что

lim| ( ) ( )|t

уy t y t

0

Для некоторых видов воздействий, т.е. некоторых функций g t( ) , удается указать очень

простые способы вычисления установившейся реакции системы при условии, что дей-

ствительная часть каждого корня характеристического уравнения (5.3) отрицательна,

т.е. Re i 0 ( i 1 2, ). Так реакция системы на воздействие

g t A tkk

k

n

( )

0

,

где n - любое неотрицательное целое число, есть

y t C tу k

k

k

n

( )

0

,

а на воздействие

g t A k t B k tkk

n

k( ) [ cos( ) sin( )]

0

есть

y t C k t D k tу kk

n

k( ) [ cos( ) sin( )]

0

.

27

Неизвестные постоянные C Dk k, ( k n 012, , ,..., ), участвующие в определении устано-

вившейся реакции, определяются из условия обращения уравнения (5.1) в тождество

при подстановке в него соответствующего воздействия и реакции. Проиллюстрируем

сказанное на примере. Пусть требуется определить установившуюся реакцию системы с

параметрами a1 3 , a0 2 , b 2 на воздействие g t t( ) cos( ) 2 . В этом случае, корни

характеристического уравнения: 1 21 0 2 0 , . Установившуюся реакцию

ищем в виде y t C C t D tу ( ) cos( ) sin( ) 0 1 1 . После подстановки функций y tу ( ) , g t( ) в

уравнение (5.1) и группировки подобных членов, получим

2 3 4 3 00 1 1 1 1C C D t D C t ( )cos( ) ( ) sin( ) .

Для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы постоянные C C D0 1 1, , удо-

влетворяли системе линейных уравнений

C D

D C

C

1 1

1 1

0

3 4

3 0

2 0

,

,

.

Решая эту систему, найдем C C D0 10 04 12 , . , . . Таким образом, установившаяся ре-

акция системы будет иметь вид

y t t tу ( ) . cos( ) . sin( ) 0 4 12 .

Порядок выполнения работы

1. Для каждого из вариантов (Табл. 5.1) задано по шесть наборов значений кор-

ней 1 2, характеристического уравнения (5.4) и начальных условий

y y y y( ) , ( ) 0 00 0 . Вычислить коэффициенты a a1 0, и найти аналитическое выражение

для свободной составляющей y tсв ( ) . Результаты вычислений занести в табл. 5.2. Осу-

ществить моделирование свободного движения системы при t 0 с соответствующими

заданной функции y tсв ( ) параметрами a1 , a0 и начальными условиями y( )0 , ( )y 0 . На

экран монитора выводить графики y t( ) , ( )y t .

2. Для 2-го, 3-го и 4-го набора значений корней 1 2, и начальных условий

y y y y( ) , ( ) 0 00 0 (Табл. 5.1) экспериментально построить фазовые траектории авто-

номной системы. На экран монитора выводить зависимости ( )y y

3. Для каждого входного воздействия g t( ) осуществить моделирование вынуж-

денного движения системы при t 0 с начальными условиями y0 1 0 1 ; ; и y0 0 .

Параметры системы и входные воздействия приведены в Табл. 5.3. На экран монитора

выводить графики y t( ) , g t( ) .

Содержание отчета

1. Математическая модель исследуемой динамической системы и соответству-

ющая ей схема моделирования.

2. Результаты расчетов (Табл. 5.2).

3. Результаты вычислительных экспериментов (шесть графиков свободного

движения, три графика фазовых траекторий и три графика вынужденного движения

системы).

28

4. Выводы.

Вопросы к защите лабораторной работы

1. Как связаны знаки вещественных частей корней характеристического уравне-

ния и коэффициентов ?

2. Какими должны быть корни характеристического уравнения, чтобы свобод-

ная составляющая движения системы с течением времени стремилась к нулю ?

3. Какими должны быть корни характеристического уравнения, чтобы свобод-

ная составляющая движения системы подчинялась гармоническому закону ?

4. Определите корни характеристического уравнения, если свободная составля-

ющая движения системы равна e tt2 2sin( ) .

5. Определите установившуюся реакцию системы ,y y y f 2 1 3 если

f t t( ) 2 .

29

Таблица 5.1

Варианты начальных условий и корней характеристического уравнения

Номер эксперимента

1 2 3 4 5 6

Начальные условия

y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0 y0

1 0 1 0 1 0 0.05 0 0.05 0 0 0.1

Вариант Корни характеристического уравнения

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 -1 -1 -0.5+j3 -0.5-j3 j3 -j3 0.5+j3 0.5-j3 1 1 -0.1 0.1

2 -1 -1.5 -0.6+j4 -0.6-j4 j4 -j4 0.6+j4 0.6-j4 1 1.5 -0.2 0.2

3 -1 -2 -0.7+j5 -0.7-j5 j5 -j5 0.7+j5 0.7-j5 1 2 -0.3 0.3

4 -2 -1.5 -0.8+j6 -0.8-j6 j6 -j6 0.8+j6 0.8-j6 2 1.5 -0.4 0.4

5 -2 -2 -0.9+j7 -0.9-j7 j7 -j7 0.9+j7 0.9-j7 2 2 -0.5 0.5

6 -2.5 -2.5 -1+j8 -1-j8 j8 -j8 1+j8 1-j8 2.5 2.5 -0.6 0.6

7 -3 -1 -1.1+j9 -1.1-j9 j9 -j9 1.1+j9 1.1-j9 3 1 -0.7 0.7

8 -3 -1.5 -1.2+j10 -1.2-j10 j10 -j10 1.2+j10 1.2-j10 3 1.5 -0.8 0.8

9 -3 -2 -1.3+j11 -1.3-j11 j11 -j11 1.3+j11 1.3-j11 3 2 -0.9 0.9

10 -3 -3 -1.4+j12 -1.4-j12 j12 -j12 1.4+j12 1.4-j12 3 3 -1 1

11 -4 -3 -1.6+j13 -1.6-j13 j13 -j13 1.6+j13 1.6-j13 4 3 -1.2 1.2

12 -4 -4 -1.7+j14 -1.7-j14 j14 -j14 1.7+j14 1.7-j14 4 4 -1.3 1.3

30

Таблица 5.2

Результаты вычислений

№ Корни Параметры системы Начальные условия Свободная

1 2 a0 a1 y(0) (y 0) составляющая y tсв ( )

1

6

Таблица 5.3

Варианты параметров системы и входного воздействия

Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a0 4 1 4 4 3 1 4 1 4 4 3 1

a1 2 2 3 4 3 3 2 2 3 4 3 3

b 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

g1(t) 1 1.5 2 2.5 2 2.5 1 1.5 2 2.5 1 1.5

g2(t) 0.5t 0.4t 0.8t 0.6t 0.8t 0.6t 0.5t 0.4t 0.8t 0.6t 0.5t 0.4t

g3(t) sin(2t) cos(2t) sin(3t) cos(t) sin(3t) cos(t) sin(2t) cos(2t) sin(3t) cos(t) sin(2t) cos(2t)

20


ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ

Цель работы. Исследование переходных характеристик элементарных звеньев.


преподавателя вариант задания и файл с математическими моделями элементарных

звеньев. Лабораторная работа рассчитана на 2 часа.

Теоретические сведения. Типовыми динамическими звеньями называются про-

стейшие составные части системы, поведение которых описывается обыкновенными

дифференциальными уравнениями 0-2-го порядка:

a y a y a y b g b g2 1 0 1 0 , (4.1)

где g g t ( ) - входная переменная звена , y y t ( ) -выходная переменная; a bi i, -

постоянные коэффициенты (параметры). С использованием оператора дифференциро-

вания s=d/dt уравнение (4.1) запишется в виде

a s y a sy a y b sg b g2

2

1 0 1 0

или

yb s b

a s a s ag W s g

1 0

2

2

1 0

( ) ,

где W(s)-передаточная функция звена (4.1).

Переходным процессом называется изменение во времени переменных (сигна-

лов) динамической системы или звена: y y t ( ) , ( )y y t , обусловленное начальными

условиями или входным воздействием.

Переходной функцией системы или звена

y=h(t) называется переходный процесс выходной

переменной при единичном входном воздей-

ствии g=1(t) и нулевых начальных условиях. По

графику переходной функции может быть опре-

делена математическая модель исследуемого ди-

намического звена и ее параметры.

Интегрирующее звено (интегратор) опи-

сывается дифференциальным уравнением:

y k g или yk

sg ,

где k - коэффициент усиления, а его переходная

функция h t k t t( ) ( ) 1 .

t

1 ( )t

O

1

t

h t( )

O

kt

21

Интегрирующее звено с замедлением опи-


Ty y kg или yk

s Tsg

( )1

где T - постоянная времени, а его переходная

функция

h t k t T e t

t

T( ) [ ( )] ( )

1 1 .

Изодромное звено описывается диффе-

ренциальным уравнением:

( )y k Tg g или yk Ts

sg

( )1,

а его переходная функция -

h t k t T t( ) ( ) ( ) 1 .

Реальное дифференцирующее звено опи-

сывается дифференциальным уравнением

Ty y kg или yks

Tsg

1


h tk

Te t

t

T( ) ( )

1 .

Апериодическое звено 1-го порядка опи-


Ty y k g или yk

Tsg

1,


h t k е t

t

T( ) = (1- ) 1( )

.

Апериодическое звено 2-го порядка описывается дифференциальным уравнени-

ем:

T y T y y k g2

2

1 или y

k

T s T sg

2

2 2

1 1,

где T T1 2, - постоянные времени, причем T T1 22 . При этом корни характеристического

уравнения T s T s2

2 2

1 1 0 будут вещественными и отрицательными.

Знаменатель передаточной функции апериодического звена 2-го порядка разла-

гается на множители:

yk

T s T sg

( )( )3 41 1,

где TT T

T3

1 1

2

2

2

2 4 , T

T TT4

1 1

2

2

2

2 4

t

h t( )

O

k t

T

t

h t( )

O

k t

k T

t

h t( )

O T

kT

T

t

h t( )

O

k

22

Апериодическое звено второго порядка

эквивалентно двум звеньям первого порядка,

включенным последовательно друг за другом, с

общим коэффициентом усиления k и постоян-

ными времени T T3 4, . Его переходная функция

имеет вид

h t kT

T Te

T

T Te t

t

T

t

T( ) ( ) ( )

1 13

3 4

4

3 4

3 4 .

Колебательное звено описывается тем же дифференциальным уравнением, что и

апериодическое звено второго порядка. Однако корни характеристического уравнения

T s T s2

2 2

1 1 0 должны быть комплексными, что будет выполняться при T T1 22 .

Передаточная функция колебательного звена обычно представляется в виде

yk

T s T sg

2 2 2 1

,

где 2T - период свободных колебаний при от-

сутствии затухания, - параметр затухания, ле-

жащий в пределах 0 1 . Переходную функ-

цию данного звена можно представить в виде

h t k e t t tt( ) [ (cos sin )] ( ) 1 1

,

где

T , 1

1 2

T. Параметр легко определяется по графику переходной

функции, а параметр находится посредством выражения

ln

a

a

1

2

.

Консервативное звено является частным

случаем колебательного звена при 0. Тогда

корни характеристического уравнения

T s2 2 1 0 будут чисто мнимые. Передаточная

функция колебательного звена имеет вид

yk

T sg

2 2 1,


h t k t t( ) = (1- cos ) 1( ) ,

где 1

T.

Порядок выполнения работы

Открыть файл lab_N.m, где N - номер варианта, содержащий шесть блоков. Каж-

дый блок описывает некоторое элементарное звено. Снять переходные характеристики

каждого из них. По переходным характеристикам определить тип звена, его передаточ-

ную функцию и параметры. Подтвердить полученные результаты вычислительными

экспериментами.

T 3

t

h t( )

O

kT T3 4

T T

T T

T

T

3 4

3 4

3

4l n

t

h t( )

O

k

2

a 1a 2

t

h t( )

O

k

2

23

Содержание отчета

1. Переходные характеристики исследуемых элементарных звеньев, их переда-

точные функции и параметры

2. Выводы

Вопросы к защите лабораторной работы

1. Перечислите способы, с помощью которых может быть задана динамическая

система.

2. Назовите типовое динамической звено, если корни знаменателя его переда-

точной функции чисто мнимые, а числитель передаточной функции равен постоянной.

3. Назовите типовое динамической звено и параметры, если его переходная

функция - h t e et t( ) / 1 2 2 .

4. Динамической звено описывается дифференциальным уравнением

4 3 y ay y g . При каких значения параметра a оно называется колебательным

звеном?

5. Найдите переходную функцию динамической звена заданного дифференци-

альным уравнением .y y g 2 15

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 МОДЕЛИРОВАНИЕ...

Documents